كيفية حل معادلات اللوغاريتم الطبيعي. بعض طرق حل المعادلات اللوغاريتمية

المعادلة اللوغاريتميةتسمى المعادلة التي يكون فيها المجهول (س) والتعبيرات الموجودة بها تحت علامة دالة لوغاريتمية. يفترض حل المعادلات اللوغاريتمية أنك معتاد بالفعل على و.
كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية؟

أبسط معادلة هي سجل أ س = ب، حيث a و b بعض الأرقام ، x غير معروف.
حل المعادلة اللوغاريتميةهل س = أ ب المقدمة: أ> 0 ، أ 1.

وتجدر الإشارة إلى أنه إذا كان x في مكان ما خارج اللوغاريتم ، على سبيل المثال log 2 x \ u003d x-2 ، فإن هذه المعادلة تسمى بالفعل مختلطة وهناك حاجة إلى نهج خاص لحلها.

الحالة المثالية هي عندما تصادف معادلة تكون فيها الأرقام فقط تحت علامة اللوغاريتم ، على سبيل المثال x + 2 \ u003d log 2 2. يكفي هنا معرفة خصائص اللوغاريتمات لحلها. لكن هذا النوع من الحظ لا يحدث كثيرًا ، لذا استعد لأشياء أكثر صعوبة.

لكن لنبدأ أولاً ، بعد كل شيء ، بمعادلات بسيطة. لحلها ، من المستحسن أن يكون لديك فكرة عامة عن اللوغاريتم.

حل المعادلات اللوغاريتمية البسيطة

تتضمن هذه المعادلات مثل log 2 x \ u003d log 2 16. يمكن أن نرى بالعين المجردة أنه بحذف علامة اللوغاريتم نحصل على x \ u003d 16.

من أجل حل معادلة لوغاريتمية أكثر تعقيدًا ، عادةً ما يتم توجيهها إلى حل معادلة جبرية عادية أو إلى حل أبسط معادلة لوغاريتمية log a x = b. في أبسط المعادلات ، يحدث هذا في حركة واحدة ، وهذا هو سبب تسميتها بالأبسط.

الطريقة المذكورة أعلاه لإسقاط اللوغاريتمات هي إحدى الطرق الرئيسية لحل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. في الرياضيات ، تسمى هذه العملية التقوية. هناك قواعد أو قيود معينة لهذا النوع من العمليات:

• اللوغاريتمات لها نفس القواعد العددية
• اللوغاريتمات في كلا الجزأين من المعادلة مجانية ، أي بدون أي معاملات وأنواع مختلفة من التعبيرات.

دعنا نقول في المعادلة log 2 x \ u003d 2log 2 (1- x) ، التقوية غير قابلة للتطبيق - لا يسمح المعامل 2 على اليمين. في المثال التالي ، log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) أحد القيود غير مستوفٍ أيضًا - يوجد لوغاريتمان على اليسار. سيكون ذلك - أمرًا مختلفًا تمامًا!

بشكل عام ، لا يمكنك إزالة اللوغاريتمات إلا إذا كانت المعادلة بالشكل:

تسجيل ا (...) = تسجيل ا (...)

بالتأكيد يمكن أن تكون أي تعبيرات بين قوسين ، وهذا لا يؤثر على الإطلاق في عملية التقوية. وبعد إزالة اللوغاريتمات ، ستبقى معادلة أبسط - خطية ، تربيعية ، أسية ، إلخ ، والتي آمل أن تعرف كيف تحلها بالفعل.

لنأخذ مثالًا آخر:

سجل 3 (2x-5) = سجل 3 x

بتطبيق التقوية ، نحصل على:

سجل 3 (2x-1) = 2

بناءً على تعريف اللوغاريتم ، أي أن اللوغاريتم هو الرقم الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على تعبير تحت علامة اللوغاريتم ، أي (4x-1) ، نحصل على:

مرة أخرى ، حصلنا على إجابة لطيفة. لقد فعلنا هنا بدون إزالة اللوغاريتمات ، لكن التقوية قابلة للتطبيق هنا أيضًا ، لأن اللوغاريتم يمكن صنعه من أي رقم ، وهو بالضبط الذي نحتاجه. هذه الطريقة مفيدة جدًا في حل المعادلات اللوغاريتمية وخاصة المتباينات.

دعنا نحل معادلتنا اللوغاريتمية log 3 (2x-1) = 2 باستخدام التقوية:

دعنا نمثل الرقم 2 على أنه لوغاريتم ، على سبيل المثال ، سجل 3 9 ، لأن 3 2 = 9.

ثم log 3 (2x-1) = log 3 9 ومرة ​​أخرى نحصل على نفس المعادلة 2x-1 = 9. آمل أن يكون كل شيء واضحًا.

لذلك نظرنا في كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية ، والتي تعتبر في الواقع مهمة جدًا ، لأن حل المعادلات اللوغاريتمية، حتى أكثرها فظاعة وتواءًا ، في النهاية يأتي دائمًا حل أبسط المعادلات.

في كل ما فعلناه أعلاه ، أغفلنا نقطة واحدة مهمة للغاية ، والتي ستلعب دورًا حاسمًا في المستقبل. الحقيقة هي أن حل أي معادلة لوغاريتمية ، حتى أبسطها ، يتكون من جزأين متكافئين. الأول هو حل المعادلة نفسها ، والثاني هو العمل بمنطقة القيم المقبولة (ODV). هذا فقط الجزء الأول الذي نتقنه. في الأمثلة أعلاه ، لا يؤثر ODD على الإجابة بأي شكل من الأشكال ، لذلك لم نفكر فيها.

لنأخذ مثالًا آخر:

سجل 3 (× 2-3) = سجل 3 (2x)

ظاهريًا ، لا تختلف هذه المعادلة عن المعادلة الابتدائية ، التي تم حلها بنجاح كبير. ولكنه ليس كذلك. لا ، بالطبع سنحلها ، ولكن على الأرجح سيكون خطأ ، لأن هناك كمينًا صغيرًا فيه ، يقع فيه كل من طلاب C والطلاب المتفوقين على الفور. دعونا نلقي نظرة فاحصة عليها.

افترض أنك بحاجة إلى إيجاد جذر المعادلة أو مجموع الجذور ، إذا كان هناك عدة جذور:

سجل 3 (× 2-3) = سجل 3 (2x)

نحن نطبق التقوية ، هنا جائز. نتيجة لذلك ، نحصل على المعادلة التربيعية المعتادة.

نجد جذور المعادلة:

هناك نوعان من الجذور.

الجواب: 3 و -1

للوهلة الأولى ، كل شيء صحيح. لكن دعونا نتحقق من النتيجة ونعوض بها في المعادلة الأصلية.

لنبدأ بـ x 1 = 3:

سجل 3 6 = سجل 3 6

تم التحقق بنجاح ، والآن قائمة الانتظار × 2 = -1:

تسجيل 3 (-2) = تسجيل 3 (-2)

نعم توقف! خارجيا ، كل شيء على ما يرام. لحظة واحدة - لا توجد لوغاريتمات للأرقام السالبة! وهذا يعني أن الجذر x \ u003d -1 غير مناسب لحل المعادلة. وبالتالي فإن الإجابة الصحيحة ستكون 3 ، وليس 2 ، كما كتبنا.

كان هنا أن لعبت ODZ دورها القاتل ، الذي نسيناه.

دعني أذكرك أنه في نطاق القيم المقبولة ، يتم قبول قيم x هذه المسموح بها أو المنطقية للمثال الأصلي.

بدون ODZ ، أي حل ، حتى لو كان صحيحًا تمامًا ، لأي معادلة يتحول إلى يانصيب - 50/50.

كيف يمكن أن يتم القبض علينا أثناء حل مثال بدائي على ما يبدو؟ وها هي لحظة التقوية. لقد ولت اللوغاريتمات ومعها كل القيود.

ماذا تفعل في مثل هذه الحالة؟ ترفض حذف اللوغاريتمات؟ وهجر تماما حل هذه المعادلة؟

لا ، نحن فقط ، مثل الأبطال الحقيقيين من أغنية واحدة مشهورة ، سوف نذهب!

قبل الشروع في حل أي معادلة لوغاريتمية ، سنكتب ODZ. ولكن بعد ذلك ، يمكنك أن تفعل ما تشتهيه قلبك من خلال معادلتنا. بعد تلقي الإجابة ، نطرح ببساطة تلك الجذور التي لم يتم تضمينها في ODZ الخاص بنا ، ونكتب النسخة النهائية.

الآن دعنا نقرر كيفية كتابة ODZ. للقيام بذلك ، نفحص المعادلة الأصلية بعناية ونبحث عن الأماكن المشبوهة فيها ، مثل القسمة على x ، وجذر الدرجة الزوجية ، إلخ. حتى نحل المعادلة ، لا نعرف ما يساوي x ، لكننا نعلم على وجه اليقين أن هذا x ، الذي ، عند التعويض ، سيعطي قسمة على 0 أو استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب ، من الواضح أنه غير مناسب للإجابة. لذلك ، فإن مثل هذه x غير مقبولة ، في حين أن الباقي سيشكل ODZ.

دعنا نستخدم نفس المعادلة مرة أخرى:

سجل 3 (× 2-3) = سجل 3 (2x)

سجل 3 (× 2-3) = سجل 3 (2x)

كما ترى ، لا توجد قسمة على 0 ، ولا توجد جذور تربيعية أيضًا ، ولكن هناك تعبيرات بها x في جسم اللوغاريتم. نتذكر على الفور أن التعبير داخل اللوغاريتم يجب أن يكون دائمًا> 0. هذا الشرط مكتوب على شكل ODZ:

أولئك. لم نحل أي شيء بعد ، لكننا كتبنا بالفعل شرطًا إلزاميًا لكامل تعبير اللوغاريتمية. الدعامة المتعرجة تعني أن هذه الشروط يجب أن تتحقق في نفس الوقت.

تمت كتابة ODZ ، ولكن من الضروري أيضًا حل نظام عدم المساواة الناتج ، وهو ما سنفعله. نحصل على الإجابة س> v3. نحن نعرف الآن على وجه اليقين ما هو x لن يناسبنا. ثم نبدأ في حل المعادلة اللوغاريتمية نفسها ، وهو ما فعلناه أعلاه.

بعد تلقي الإجابات x 1 \ u003d 3 و x 2 \ u003d -1 ، من السهل أن ترى أن x1 \ u003d 3 فقط هو المناسب لنا ، ونكتبه كإجابة نهائية.

بالنسبة للمستقبل ، من المهم جدًا تذكر ما يلي: نقوم بحل أي معادلة لوغاريتمية على مرحلتين. الأول - نحل المعادلة نفسها ، والثاني - نحل حالة ODZ. يتم تنفيذ كلتا المرحلتين بشكل مستقل عن بعضهما البعض ولا تتم مقارنتهما إلا عند كتابة الإجابة ، أي نتجاهل كل ما هو غير ضروري ونكتب الإجابة الصحيحة.

لدمج المادة ، نوصي بشدة بمشاهدة الفيديو:

في الفيديو ، أمثلة أخرى لحل السجل. المعادلات وإيجاد طريقة الفترات في الممارسة.

إلى هذا الموضوع ، كيفية حل المعادلات اللوغاريتميةحتى كل شيء. إذا كان هناك شيء وفقا لقرار السجل. ظلت المعادلات غير واضحة أو غير مفهومة ، اكتب أسئلتك في التعليقات.

ملاحظة: أكاديمية التربية الاجتماعية (KSUE) جاهزة لقبول الطلاب الجدد.

يتضمن التحضير للاختبار النهائي في الرياضيات قسمًا مهمًا - "اللوغاريتمات". المهام من هذا الموضوع واردة بالضرورة في الامتحان. تظهر تجربة السنوات الماضية أن المعادلات اللوغاريتمية تسببت في صعوبات للعديد من أطفال المدارس. لذلك ، يجب على الطلاب ذوي المستويات المختلفة من التدريب فهم كيفية العثور على الإجابة الصحيحة والتعامل معها بسرعة.

اجتياز اختبار الشهادة بنجاح بمساعدة البوابة التعليمية "شكلكوفو"!

عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة ، يحتاج خريجو المدارس الثانوية إلى مصدر موثوق به يوفر المعلومات الأكثر اكتمالاً ودقة من أجل حل ناجح لمشاكل الاختبار. ومع ذلك ، فإن الكتاب المدرسي ليس دائمًا في متناول اليد ، وغالبًا ما يستغرق البحث عن القواعد والصيغ الضرورية على الإنترنت وقتًا.

تتيح لك البوابة التعليمية "شكولكوفو" الاستعداد للامتحان في أي مكان وفي أي وقت. يقدم موقعنا الطريقة الأكثر ملاءمة لتكرار وإتقان كمية كبيرة من المعلومات حول اللوغاريتمات ، بالإضافة إلى معلومات مجهولة واحدة وعدة. ابدأ بالمعادلات السهلة. إذا تعاملت معهم دون صعوبة ، فانتقل إلى أكثر صعوبة. إذا كنت تواجه مشكلة في حل مشكلة عدم مساواة معينة ، فيمكنك إضافتها إلى المفضلة حتى تتمكن من العودة إليها لاحقًا.

يمكنك العثور على الصيغ اللازمة لإكمال المهمة ، وتكرار الحالات الخاصة وطرق حساب جذر معادلة لوغاريتمية قياسية من خلال النظر في قسم "المرجع النظري". قام معلمو "شكولكوفو" بجمع وتنظيم وتقديم جميع المواد اللازمة لتسليم ناجح في أبسط شكل ومفهوم.

من أجل التعامل بسهولة مع المهام من أي تعقيد ، يمكنك على بوابتنا التعرف على حل بعض المعادلات اللوغاريتمية النموذجية. للقيام بذلك ، انتقل إلى قسم "الكتالوجات". لقد قدمنا ​​عددًا كبيرًا من الأمثلة ، بما في ذلك تلك التي تحتوي على معادلات مستوى ملف تعريف امتحان الدولة الموحد في الرياضيات.

يمكن للطلاب من المدارس في جميع أنحاء روسيا استخدام بوابتنا. للبدء ، ما عليك سوى التسجيل في النظام والبدء في حل المعادلات. لتوحيد النتائج ، ننصحك بالعودة إلى موقع Shkolkovo يوميًا.

بهذا الفيديو ، أبدأ سلسلة طويلة من الدروس حول المعادلات اللوغاريتمية. الآن لديك ثلاثة أمثلة في آنٍ واحد ، سنتعلم على أساسها حل أبسط المهام ، والتي تسمى - الكائنات الاوليه.

سجل 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

دعني أذكرك أن أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل أ و (س) = ب

من المهم أن يكون المتغير x موجودًا فقط داخل الوسيطة ، أي فقط في الوظيفة f (x). والعددان a و b مجرد رقمين ، ولا يمثلان بأي حال دالات تحتوي على المتغير x.

طرق الحل الأساسية

هناك طرق عديدة لحل مثل هذه الهياكل. على سبيل المثال ، يقترح معظم المعلمين في المدرسة هذه الطريقة: عبر فورًا عن الوظيفة f (x) باستخدام الصيغة F( س) = أ ب. أي ، عندما تقابل أبسط إنشاءات ، يمكنك المتابعة فورًا إلى الحل دون إجراءات وإنشاءات إضافية.

نعم ، بالطبع ، سيكون القرار صحيحًا. ومع ذلك ، فإن مشكلة هذه الصيغة هي أن معظم الطلاب لا تفهم، من أين أتى ولماذا بالضبط نرفع الحرف أ إلى الحرف ب.

نتيجة لذلك ، غالبًا ما ألاحظ أخطاء مسيئة للغاية ، على سبيل المثال ، عندما يتم تبادل هذه الأحرف. يجب فهم هذه الصيغة أو حفظها ، والطريقة الثانية تؤدي إلى أخطاء في أكثر اللحظات غير المناسبة والأكثر أهمية: في الامتحانات والاختبارات وما إلى ذلك.

لهذا السبب أقترح على جميع طلابي التخلي عن صيغة المدرسة القياسية واستخدام الطريقة الثانية لحل المعادلات اللوغاريتمية ، والتي تسمى ، كما خمنت من الاسم ، شكل قانوني.

فكرة الشكل المتعارف عليه بسيطة. دعونا ننظر إلى مهمتنا مرة أخرى: على اليسار لدينا log a ، بينما الحرف a يعني الرقم بالضبط ، ولا بأي حال من الأحوال الدالة التي تحتوي على المتغير x. لذلك ، تخضع هذه الرسالة لجميع القيود المفروضة على أساس اللوغاريتم. يسمى:

1 ≠ أ> 0

من ناحية أخرى ، من نفس المعادلة ، نرى أن اللوغاريتم يجب أن يكون مساويًا للرقم ب ، ولا توجد قيود مفروضة على هذا الحرف ، لأنه يمكن أن يأخذ أي قيمة - موجبة وسالبة. كل هذا يتوقف على القيم التي تأخذها الدالة f (x).

وهنا نتذكر القاعدة الرائعة التي تقول إن أي عدد ب يمكن تمثيله في صورة لوغاريتم في الأساس أ من أ إلى أس ب:

ب = سجل أ أ ب

كيف تتذكر هذه الصيغة؟ نعم ، بسيط جدا. دعنا نكتب البناء التالي:

ب = ب 1 = ب سجل أ

بالطبع ، في هذه الحالة ، تظهر جميع القيود التي كتبناها في البداية. والآن ، لنستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتم ، وندخل العامل b باعتباره قوة a. نحن نحصل:

ب = ب 1 = ب سجل أ أ = سجل أ أ ب

نتيجة لذلك ، ستتم إعادة كتابة المعادلة الأصلية بالشكل التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب → و (س) = أ ب

هذا كل شئ. لم تعد الوظيفة الجديدة تحتوي على لوغاريتم وتم حلها بالتقنيات الجبرية القياسية.

بالطبع ، سيعترض شخص ما الآن: لماذا كان من الضروري الخروج بنوع من الصيغة الكنسية على الإطلاق ، ولماذا تنفيذ خطوتين إضافيتين غير ضروريتين ، إذا كان من الممكن الانتقال فورًا من البناء الأصلي إلى الصيغة النهائية؟ نعم ، فقط لأن معظم الطلاب لا يفهمون مصدر هذه الصيغة ، ونتيجة لذلك ، يرتكبون أخطاء بانتظام عند تطبيقها.

لكن مثل هذا التسلسل من الإجراءات ، الذي يتكون من ثلاث خطوات ، يسمح لك بحل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية ، حتى لو كنت لا تفهم من أين تأتي هذه الصيغة النهائية. بالمناسبة ، يسمى هذا الإدخال بالصيغة المتعارف عليها:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

تكمن ملاءمة الشكل الأساسي أيضًا في حقيقة أنه يمكن استخدامه لحل فئة واسعة جدًا من المعادلات اللوغاريتمية ، وليس فقط أبسط المعادلات التي ندرسها اليوم.

أمثلة الحل

الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة حقيقية. لذلك دعنا نقرر:

سجل 0.5 (3x - 1) = -3

دعنا نعيد كتابتها على النحو التالي:

تسجيل 0.5 (3x - 1) = تسجيل 0.5 0.5 −3

كثير من الطلاب في عجلة من أمرهم ويحاولون على الفور رفع الرقم 0.5 إلى القوة التي أتت إلينا من المشكلة الأصلية. وبالفعل ، عندما تكون مدربًا جيدًا بالفعل على حل مثل هذه المشكلات ، يمكنك تنفيذ هذه الخطوة على الفور.

ومع ذلك ، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة هذا الموضوع ، فمن الأفضل عدم التسرع في أي مكان حتى لا ترتكب أخطاء مسيئة. إذن لدينا الصيغة المتعارف عليها. لدينا:

3 س - 1 = 0.5 -3

لم تعد هذه معادلة لوغاريتمية ، لكنها معادلة خطية بالنسبة للمتغير x. لحلها ، دعونا نتعامل أولاً مع الرقم 0.5 أس −3. لاحظ أن 0.5 تساوي 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

حول كل الكسور العشرية إلى كسور عندما تحل معادلة لوغاريتمية.

نعيد الكتابة ونحصل على:

3 س - 1 = 8
3 س = 9
س = 3

كل ما حصلنا عليه هو الجواب. تم حل المهمة الأولى.

المهمة الثانية

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية:

كما ترى ، لم تعد هذه المعادلة هي الأبسط. فقط لأن الفرق على اليسار ، وليس لوغاريتم واحد في قاعدة واحدة.

لذلك ، تحتاج إلى التخلص بطريقة ما من هذا الاختلاف. في هذه الحالة ، كل شيء بسيط للغاية. لنلقِ نظرة فاحصة على القواعد: يوجد على اليسار الرقم الموجود أسفل الجذر:

توصية عامة: في جميع المعادلات اللوغاريتمية ، حاول التخلص من الجذور ، أي من السجلات ذات الجذور والتحول إلى وظائف القوة ، وذلك ببساطة لأن الأسس لهذه القوى يتم إخراجها بسهولة من علامة اللوغاريتم ، وفي النهاية ، مثل هذا يعمل الترميز على تبسيط العمليات الحسابية وتسريعها بشكل كبير. دعنا نكتبها على هذا النحو:

الآن نتذكر الخاصية الرائعة للوغاريتم: من السعة وكذلك من القاعدة ، يمكنك إخراج الدرجات. في حالة القواعد يحدث ما يلي:

سجل أ ك ب = 1 / ك لوغا ب

بمعنى آخر ، يتم تقديم الرقم الذي كان يقف في درجة القاعدة ويتم قلبه في نفس الوقت ، أي أنه يصبح مقلوبًا للرقم. في حالتنا ، كانت هناك درجة من القاعدة بمؤشر 1/2. لذلك ، يمكننا إخراجها على أنها 2/1. نحن نحصل:

5 2 سجل 5 س - سجل 5 س = 18
10 سجل 5 س - سجل 5 س = 18

يرجى ملاحظة: يجب ألا تتخلص بأي حال من الأحوال من اللوغاريتمات في هذه الخطوة. فكر مرة أخرى في الرياضيات للصف 4-5 وترتيب العمليات: يتم تنفيذ الضرب أولاً ، وعندها فقط يتم إجراء الجمع والطرح. في هذه الحالة ، نطرح أحد العناصر نفسها من 10 عناصر:

9 سجل 5 س = 18
سجل 5 س = 2

الآن تبدو معادلتنا كما ينبغي. هذه أبسط بناء ، ونحلها بالصيغة المتعارف عليها:

سجل 5 س = سجل 5 5 2
س = 5 2
س = 25

هذا كل شئ. تم حل المشكلة الثانية.

المثال الثالث

دعنا ننتقل إلى المهمة الثالثة:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

أذكر الصيغة التالية:

سجل ب = سجل 10 ب

إذا شعرت بالحيرة لسبب ما عند كتابة lg b ، فعند إجراء جميع الحسابات ، يمكنك ببساطة كتابة log 10 b. يمكنك العمل مع اللوغاريتمات العشرية بالطريقة نفسها كما هو الحال مع الآخرين: إخراج القوى وإضافة وتمثيل أي رقم مثل lg 10.

هذه الخصائص بالتحديد هي التي سنستخدمها الآن لحل المشكلة ، لأنها ليست أبسط ما كتبناه في بداية الدرس.

بادئ ذي بدء ، لاحظ أنه يمكن إدخال العامل 2 قبل lg 5 ويصبح قوة الأساس 5. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا تمثيل المصطلح المجاني 3 على أنه لوغاريتم - من السهل جدًا ملاحظة ذلك من خلال تدويننا.

احكم بنفسك: يمكن تمثيل أي رقم كسجل للأساس 10:

3 = سجل 10 10 3 = سجل 10 3

دعنا نعيد كتابة المشكلة الأصلية مع مراعاة التغييرات المستلمة:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25000

أمامنا مرة أخرى الشكل القانوني ، وحصلنا عليه متجاوزين مرحلة التحولات ، أي أن أبسط معادلة لوغاريتمية لم تظهر في أي مكان معنا.

هذا ما كنت أتحدث عنه في بداية الدرس. يسمح الشكل الأساسي بحل فئة أكبر من المشكلات مقارنة بالصيغة المدرسية القياسية ، والتي يقدمها معظم معلمي المدارس.

هذا كل شيء ، نتخلص من علامة اللوغاريتم العشري ، ونحصل على بناء خطي بسيط:

س + 3 = 25000
س = 24997

كل شئ! تم حل المشكلة.

ملاحظة حول النطاق

هنا أود أن أبدي ملاحظة مهمة حول مجال التعريف. بالتأكيد يوجد الآن طلاب ومعلمون سيقولون: "عندما نحل التعبيرات باللوغاريتمات ، من الضروري أن نتذكر أن الحجة f (x) يجب أن تكون أكبر من الصفر!" في هذا الصدد ، يبرز سؤال منطقي: لماذا لم نطلب في أي من المشاكل المدروسة تلبية هذا التفاوت؟

لا تقلق. لن تظهر أي جذور إضافية في هذه الحالات. وهذه خدعة أخرى رائعة تتيح لك تسريع الحل. فقط اعلم أنه إذا كان المتغير x في المشكلة يحدث فقط في مكان واحد (أو بالأحرى ، في الوسيطة الواحدة والوحيدة للوغاريتم الوحيد) ، وليس في أي مكان آخر في حالتنا يوجد المتغير x ، فاكتب المجال لا حاجةلأنه سيعمل تلقائيًا.

احكم بنفسك: في المعادلة الأولى ، حصلنا على 3x - 1 ، أي يجب أن تكون الحجة تساوي 8. وهذا يعني تلقائيًا أن 3x - 1 ستكون أكبر من صفر.

وبنفس النجاح ، يمكننا أن نكتب أنه في الحالة الثانية ، يجب أن تساوي x 5 2 ، أي أنها بالتأكيد أكبر من الصفر. وفي الحالة الثالثة ، حيث x + 3 = 25000 ، أي مرة أخرى ، من الواضح أنه أكبر من الصفر. بمعنى آخر ، يكون النطاق تلقائيًا ، ولكن فقط إذا حدث x فقط في وسيطة لوغاريتم واحد فقط.

هذا كل ما تحتاج إلى معرفته لحل المشكلات البسيطة. ستسمح لك هذه القاعدة وحدها ، جنبًا إلى جنب مع قواعد التحويل ، بحل فئة واسعة جدًا من المشكلات.

لكن لنكن صادقين: من أجل فهم هذه التقنية أخيرًا ، من أجل معرفة كيفية تطبيق الشكل المتعارف عليه للمعادلة اللوغاريتمية ، لا يكفي مجرد مشاهدة درس فيديو واحد. لذلك ، في الوقت الحالي ، قم بتنزيل خيارات حل مستقل مرفقة بفيديو تعليمي وابدأ في حل واحد على الأقل من هذين العملين المستقلين.

سيستغرق الأمر بضع دقائق فقط. لكن تأثير هذا التدريب سيكون أعلى بكثير مقارنة بما إذا كنت قد شاهدت للتو هذا الفيديو التعليمي.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في فهم المعادلات اللوغاريتمية. قم بتطبيق النموذج المتعارف عليه ، وتبسيط التعبيرات باستخدام قواعد العمل مع اللوغاريتمات - ولن تخاف من أي مهام. وهذا كل ما لدي لهذا اليوم.

النظر في النطاق

لنتحدث الآن عن مجال الدالة اللوغاريتمية ، وكيفية تأثير ذلك على حل المعادلات اللوغاريتمية. ضع في اعتبارك بناء النموذج

سجل أ و (س) = ب

يُطلق على مثل هذا التعبير الأبسط - له وظيفة واحدة فقط ، والأرقام a و b مجرد أرقام ، وليست بأي حال من الأحوال دالة تعتمد على المتغير x. يتم حلها بكل بساطة. تحتاج فقط إلى استخدام الصيغة:

ب = سجل أ أ ب

هذه الصيغة هي إحدى الخصائص الأساسية للوغاريتم ، وعند الاستبدال في التعبير الأصلي ، نحصل على ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

و (س) = أ ب

هذه بالفعل صيغة مألوفة من الكتب المدرسية. من المحتمل أن يكون لدى العديد من الطلاب سؤال: نظرًا لأن الوظيفة f (x) في التعبير الأصلي تقع تحت علامة السجل ، يتم فرض القيود التالية عليها:

f (x)> 0

هذا القيد صالح لأن لوغاريتم الأرقام السالبة غير موجود. لذا ، ربما بسبب هذا القيد ، يجب عليك تقديم فحص للإجابات؟ ربما يحتاجون إلى استبدالهم في المصدر؟

لا ، في أبسط المعادلات اللوغاريتمية ، لا داعي لإجراء فحص إضافي. وهذا هو السبب. ألق نظرة على صيغتنا النهائية:

و (س) = أ ب

الحقيقة هي أن الرقم a في أي حال أكبر من 0 - وهذا الشرط مفروض أيضًا بواسطة اللوغاريتم. الرقم أ هو الأساس. في هذه الحالة ، لا توجد قيود على الرقم ب. لكن هذا لا يهم ، لأنه بغض النظر عن الدرجة التي نرفع بها رقمًا موجبًا ، سنظل نحصل على رقم موجب في الناتج. وبالتالي ، يتم استيفاء المتطلب f (x)> 0 تلقائيًا.

ما يستحق التحقق حقًا هو نطاق الوظيفة تحت علامة السجل. يمكن أن تكون هناك تصميمات معقدة للغاية ، وفي عملية حلها ، يجب عليك بالتأكيد اتباعها. دعنا نرى.

المهمة الأولى:

الخطوة الأولى: تحويل الكسر على اليمين. نحن نحصل:

نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على المعادلة غير المنطقية المعتادة:

من الجذور التي تم الحصول عليها ، يناسبنا الأول فقط ، لأن الجذر الثاني أقل من الصفر. الجواب الوحيد سيكون رقم 9. هذا كل شيء ، تم حل المشكلة. لا حاجة لمزيد من التحقق من أن التعبير الموجود أسفل علامة اللوغاريتم أكبر من 0 ، لأنه ليس فقط أكبر من 0 ، ولكن بشرط المعادلة يساوي 2. لذلك ، فإن المطلب "أكبر من الصفر" يكون تلقائيًا استيفاء.

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية:

كل شيء هو نفسه هنا. نعيد كتابة البناء واستبدال الثلاثية:

نتخلص من علامات اللوغاريتم ونحصل على معادلة غير منطقية:

نقوم بترتيب كلا الجزأين ، مع مراعاة القيود ، ونحصل على:

4-6 س - س 2 = (س - 4) 2

4-6 س - س 2 = س 2 + 8 س + 16

س 2 + 8 س + 16 4 + 6 س + س 2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |: 2

س 2 + 7 س + 6 = 0

نحل المعادلة الناتجة من خلال المميز:

د = 49-24 = 25

× 1 = -1

× 2 \ u003d -6

لكن x = −6 لا يناسبنا ، لأننا إذا عوضنا بهذا الرقم في المتباينة ، فسنحصل على:

−6 + 4 = −2 < 0

في حالتنا ، يجب أن تكون القيمة أكبر من 0 أو متساوية في الحالات القصوى. لكن x = −1 يناسبنا:

−1 + 4 = 3 > 0

الجواب الوحيد في حالتنا هو x = −1. هذا كل ما في الحل. دعنا نعود إلى بداية حساباتنا.

الاستنتاج الرئيسي من هذا الدرس هو أنه ليس مطلوبًا التحقق من حدود دالة في أبسط المعادلات اللوغاريتمية. لأنه في عملية حل جميع القيود يتم تنفيذها تلقائيًا.

ومع ذلك ، هذا لا يعني بأي حال من الأحوال أنه يمكنك نسيان التحقق تمامًا. في عملية العمل على معادلة لوغاريتمية ، قد تتحول إلى معادلة غير منطقية ، والتي سيكون لها حدودها ومتطلباتها الخاصة بالجانب الأيمن ، والتي رأيناها اليوم في مثالين مختلفين.

لا تتردد في حل مثل هذه المشاكل وكن حذرًا بشكل خاص إذا كان هناك جذر في الجدل.

المعادلات اللوغاريتمية ذات الأسس المختلفة

نواصل دراسة المعادلات اللوغاريتمية ونحلل حيلتين أكثر إثارة للاهتمام والتي من المألوف حل الهياكل الأكثر تعقيدًا. لكن أولاً ، لنتذكر كيف يتم حل أبسط المهام:

سجل أ و (س) = ب

في هذا الترميز ، a و b مجرد أرقام ، وفي الوظيفة f (x) يجب أن يكون المتغير x موجودًا ، وهناك فقط ، أي ، يجب أن يكون x في الوسيطة فقط. سنقوم بتحويل هذه المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصيغة المتعارف عليها. لهذا ، نلاحظ ذلك

ب = سجل أ أ ب

و أ ب مجرد حجة. دعنا نعيد كتابة هذا التعبير على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا هو بالضبط ما نحاول تحقيقه ، بحيث يوجد لوغاريتم للقاعدة a على اليسار وعلى اليمين. في هذه الحالة ، يمكننا ، من الناحية المجازية ، شطب علامات السجل ، ومن وجهة نظر الرياضيات ، يمكننا القول إننا ببساطة نساوي الحجج:

و (س) = أ ب

نتيجة لذلك ، نحصل على تعبير جديد سيتم حله بسهولة أكبر. دعونا نطبق هذه القاعدة على مهامنا اليوم.

إذن التصميم الأول:

بادئ ذي بدء ، ألاحظ وجود كسر على اليمين ، مقامه log. عندما ترى تعبيرًا مثل هذا ، يجدر بنا أن نتذكر الخاصية الرائعة للوغاريتمات:

ترجم إلى الروسية ، وهذا يعني أن أي لوغاريتم يمكن تمثيله على أنه حاصل قسمة لوغاريتمين مع أي أساس c. بالطبع 0< с ≠ 1.

إذن: تحتوي هذه الصيغة على حالة خاصة رائعة عندما يكون المتغير c مساويًا للمتغير ب. في هذه الحالة ، نحصل على بناء النموذج:

هذا هو البناء الذي نلاحظه من العلامة الموجودة على اليمين في معادلتنا. دعنا نستبدل هذا البناء بالسجل أ ب ، نحصل على:

بمعنى آخر ، بالمقارنة مع المهمة الأصلية ، قمنا بتبديل الوسيطة وأساس اللوغاريتم. بدلاً من ذلك ، كان علينا قلب الكسر.

نذكر أنه يمكن إخراج أي درجة من القاعدة وفق القاعدة التالية:

بمعنى آخر ، المعامل k ، وهو درجة القاعدة ، يؤخذ ككسر مقلوب. لنأخذها في صورة كسر مقلوب:

لا يمكن ترك العامل الكسري في المقدمة ، لأننا في هذه الحالة لن نكون قادرين على تمثيل هذا الإدخال كشكل أساسي (بعد كل شيء ، في الشكل المتعارف عليه ، لا يوجد عامل إضافي أمام اللوغاريتم الثاني). لذلك ، دعنا نضع الكسر 1/4 في السعة كقوة:

الآن نساوي بين الحجج التي أساسها هي نفسها (ولدينا بالفعل نفس الأسس) ، ونكتب:

س + 5 = 1

س = −4

هذا كل شئ. حصلنا على إجابة أول معادلة لوغاريتمية. انتبه: في المشكلة الأصلية ، المتغير x يحدث فقط في سجل واحد ، وهو موجود في الوسيطة الخاصة به. لذلك ، ليست هناك حاجة للتحقق من المجال ، وعددنا x = −4 هو الإجابة بالفعل.

الآن دعنا ننتقل إلى التعبير الثاني:

سجل 56 = سجل 2 سجل 2 7-3 سجل (س + 4)

هنا ، بالإضافة إلى اللوغاريتمات المعتادة ، علينا العمل مع lg f (x). كيف تحل مثل هذه المعادلة؟ قد يبدو للطالب غير المستعد أن هذا نوع من القصدير ، ولكن في الواقع يتم حل كل شيء بشكل أساسي.

انظر عن كثب إلى المصطلح lg 2 log 2 7. ماذا يمكننا أن نقول عنه؟ قواعد وحجج log و lg هي نفسها ، وهذا من شأنه أن يعطي بعض الدلائل. دعونا نتذكر مرة أخرى كيف يتم أخذ الدرجات من تحت علامة اللوغاريتم:

سجل أ ب ن = ن سجل أ ب

بمعنى آخر ، ما كانت قوة الرقم ب في السعة يصبح عاملاً أمام اللوغاريتم نفسه. دعنا نطبق هذه الصيغة على التعبير lg 2 log 2 7. لا تخف من lg 2 - فهذا هو التعبير الأكثر شيوعًا. يمكنك إعادة كتابته على النحو التالي:

بالنسبة له ، جميع القواعد التي تنطبق على أي لوغاريتم آخر صالحة. على وجه الخصوص ، يمكن إدخال العامل في المقدمة في قوة الحجة. دعنا نكتب:

في كثير من الأحيان ، لا يرى الطلاب النقطة الفارغة هذا الإجراء ، لأنه ليس من الجيد إدخال سجل واحد تحت علامة سجل آخر. في الواقع ، لا يوجد شيء إجرامي في هذا. علاوة على ذلك ، نحصل على صيغة يسهل حسابها إذا كنت تتذكر قاعدة مهمة:

يمكن اعتبار هذه الصيغة على أنها تعريف وكواحدة من خصائصها. في أي حال ، إذا قمت بتحويل معادلة لوغاريتمية ، يجب أن تعرف هذه الصيغة بنفس طريقة تمثيل أي رقم في شكل سجل.

نعود إلى مهمتنا. نعيد كتابته مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الحد الأول على يمين علامة المساواة سيكون ببساطة مساويًا لـ lg 7. لدينا:

إل جي 56 = إل جي 7 - 3 إل جي (س + 4)

دعنا ننتقل lg 7 إلى اليسار ، نحصل على:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

نطرح التعابير الموجودة على اليسار لأن لها نفس الأساس:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

لنلقِ الآن نظرة فاحصة على المعادلة التي لدينا. إنه عمليًا الشكل الأساسي ، ولكن يوجد العامل −3 على اليمين. دعنا نضعها في وسيطة lg الصحيحة:

lg 8 = lg (x + 4) −3

أمامنا الشكل الأساسي للمعادلة اللوغاريتمية ، لذلك نشطب علامات lg ونساوي الحجج:

(س + 4) -3 = 8

س + 4 = 0.5

هذا كل شئ! لقد حللنا المعادلة اللوغاريتمية الثانية. في هذه الحالة ، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية ، لأنه في المشكلة الأصلية ، كان x موجودًا في وسيطة واحدة فقط.

اسمحوا لي أن ألخص النقاط الرئيسية في هذا الدرس.

الصيغة الأساسية التي تمت دراستها في جميع الدروس الموجودة في هذه الصفحة والمخصصة لحل المعادلات اللوغاريتمية هي الصيغة المتعارف عليها. ولا تنزعج من حقيقة أن معظم الكتب المدرسية تعلمك كيفية حل هذه الأنواع من المشاكل بشكل مختلف. تعمل هذه الأداة بكفاءة عالية وتسمح لك بحل فئة أكبر من المشكلات أكثر من أبسطها التي درسناها في بداية درسنا.

بالإضافة إلى ذلك ، لحل المعادلات اللوغاريتمية ، سيكون من المفيد معرفة الخصائص الأساسية. يسمى:

1. صيغة الانتقال إلى قاعدة واحدة وحالة خاصة عندما نقلب السجل (كان هذا مفيدًا جدًا لنا في المهمة الأولى) ؛
2. صيغة إدخال القوى وإخراجها من تحت علامة اللوغاريتم. هنا ، يتعثر العديد من الطلاب ولا يرون نقطة فارغة أن الطاقة المأخوذة وإحضارها يمكن أن تحتوي نفسها على السجل f (x). لا حرج في ذلك. يمكننا تقديم لوغاريتم واحد وفقًا لإشارة أخرى ، وفي نفس الوقت نبسط حل المشكلة بشكل ملحوظ ، وهو ما نلاحظه في الحالة الثانية.

في الختام ، أود أن أضيف أنه ليس مطلوبًا التحقق من النطاق في كل حالة من هذه الحالات ، لأنه في كل مكان يوجد المتغير x في علامة واحدة فقط من السجل ، وفي نفس الوقت يكون في حجته. نتيجة لذلك ، يتم استيفاء جميع متطلبات المجال تلقائيًا.

مشاكل القاعدة المتغيرة

سننظر اليوم في المعادلات اللوغاريتمية ، والتي تبدو للعديد من الطلاب غير قياسية ، إن لم تكن غير قابلة للحل تمامًا. نحن نتحدث عن التعبيرات التي لا تعتمد على الأرقام ، ولكن على المتغيرات وحتى الوظائف. سنحل مثل هذه الإنشاءات باستخدام أسلوبنا القياسي ، أي من خلال الشكل الأساسي.

بادئ ذي بدء ، لنتذكر كيف يتم حل أبسط المسائل ، والتي تعتمد على الأعداد العادية. لذلك ، فإن أبسط بناء يسمى

سجل أ و (س) = ب

لحل مثل هذه المشاكل ، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

ب = سجل أ أ ب

نعيد كتابة تعبيرنا الأصلي ونحصل على:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نساوي الحجج ، أي نكتب:

و (س) = أ ب

وبالتالي ، نتخلص من علامة السجل ونحل المشكلة المعتادة. في هذه الحالة ، ستكون الجذور التي تم الحصول عليها في الحل هي جذور المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بالإضافة إلى ذلك ، يُطلق على السجل ، عندما يكون كل من اليسار واليمين على نفس اللوغاريتم مع نفس القاعدة ، الشكل المتعارف عليه. لهذا السجل سنحاول تقليص الإنشاءات الحالية. إذا هيا بنا.

المهمة الأولى:

سجل x - 2 (2x 2-13x + 18) = 1

استبدل 1 بالسجل x - 2 (x - 2) 1. الدرجة التي نلاحظها في الحجة هي ، في الواقع ، الرقم ب ، الذي كان على يمين علامة التساوي. فلنعيد كتابة المقدار. نحن نحصل:

تسجيل x - 2 (2x 2-13x + 18) = تسجيل x - 2 (x - 2)

ماذا نرى؟ أمامنا الشكل الأساسي للمعادلة اللوغاريتمية ، لذلك يمكننا مساواة الحجج بأمان. نحن نحصل:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

لكن الحل لا ينتهي عند هذا الحد ، لأن هذه المعادلة لا تعادل المعادلة الأصلية. بعد كل شيء ، يتكون البناء الناتج من وظائف محددة على خط الأعداد بالكامل ، ولم يتم تحديد اللوغاريتمات الأصلية في كل مكان وليس دائمًا.

لذلك ، يجب علينا كتابة مجال التعريف بشكل منفصل. دعونا لا نكون أكثر حكمة ونكتب أولاً جميع المتطلبات:

أولاً ، يجب أن تكون حجة كل من اللوغاريتمات أكبر من 0:

2x 2 - 13x + 18> 0

س - 2> 0

ثانيًا ، يجب ألا تكون القاعدة أكبر من 0 فحسب ، بل يجب أن تختلف أيضًا عن 1:

س - 2 1

نتيجة لذلك ، حصلنا على النظام:

لكن لا تقلق: عند معالجة المعادلات اللوغاريتمية ، يمكن تبسيط مثل هذا النظام إلى حد كبير.

احكم بنفسك: من ناحية ، نحن مطالبون بأن تكون الدالة التربيعية أكبر من الصفر ، ومن ناحية أخرى ، هذه الدالة التربيعية تعادل تعبيرًا خطيًا معينًا ، وهو أمر مطلوب أيضًا أن يكون أكبر من الصفر.

في هذه الحالة ، إذا طلبنا ذلك x - 2> 0 ، فسيتم أيضًا تلبية المتطلب 2x 2 - 13x + 18> 0 تلقائيًا ، لذلك يمكننا حذف المتباينة التي تحتوي على دالة تربيعية بأمان. وبالتالي ، سيتم تقليل عدد التعبيرات الموجودة في نظامنا إلى ثلاثة.

بالطبع ، يمكننا أيضًا حذف المتباينة الخطية ، أي شطب x - 2> 0 وطلب 2x 2 - 13x + 18> 0. لكن يجب أن تعترف بأن حل أبسط تفاوت خطي أسرع وأسهل بكثير ، من التربيعي ، حتى لو حصلنا على نفس الجذور نتيجة لحل هذا النظام بأكمله.

بشكل عام ، حاول تحسين العمليات الحسابية كلما أمكن ذلك. وفي حالة المعادلات اللوغاريتمية ، احذف أصعب المتباينات.

دعنا نعيد كتابة نظامنا:

هذا نظام من ثلاثة تعبيرات ، اثنان منها ، في الواقع ، اكتشفنا بالفعل. دعنا نكتب المعادلة التربيعية بشكل منفصل ونحلها:

2x2 - 14x + 20 = 0

س 2 - 7 س + 10 = 0

أمامنا ثلاثي الحدود المربع المصغر ، وبالتالي ، يمكننا استخدام صيغ Vieta. نحن نحصل:

(س - 5) (س - 2) = 0

× 1 = 5

س 2 = 2

الآن ، بالعودة إلى نظامنا ، نجد أن x = 2 لا تناسبنا ، لأننا مطالبون بالحصول على x أكبر من 2 تمامًا.

لكن x \ u003d 5 يناسبنا تمامًا: الرقم 5 أكبر من 2 ، وفي الوقت نفسه 5 لا يساوي 3. لذلك ، سيكون الحل الوحيد لهذا النظام هو x \ u003d 5.

كل شيء ، يتم حل المهمة ، بما في ذلك مراعاة ODZ. دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية. نحن هنا في انتظار المزيد من الحسابات الشيقة وذات المغزى:

الخطوة الأولى: بالإضافة إلى المرة الأخيرة ، نضع كل هذه الأعمال في شكل أساسي. للقيام بذلك ، يمكننا كتابة الرقم 9 على النحو التالي:

لا يمكن لمس القاعدة مع الجذر ، لكن من الأفضل تحويل الحجة. دعنا ننتقل من الجذر إلى الأس بأس كسري. دعنا نكتب:

اسمحوا لي ألا أعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية الكبيرة بأكملها ، ولكن فقط سأساوي الحجج على الفور:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

س 2 + 4 س + 3 = 0

قبل أن نحدد ثلاثي الحدود المربع مرة أخرى ، سنستخدم صيغ Vieta ونكتب:

(س + 3) (س + 1) = 0

× 1 = -3

× 2 = -1

إذن ، حصلنا على الجذور ، لكن لم يضمن لنا أحد أنها ستناسب المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بعد كل شيء ، تفرض علامات السجل قيودًا إضافية (هنا سيتعين علينا كتابة النظام ، ولكن نظرًا لإرهاق البناء بأكمله ، قررت حساب مجال التعريف بشكل منفصل).

بادئ ذي بدء ، تذكر أن الوسيطات يجب أن تكون أكبر من 0 ، وهي:

هذه هي المتطلبات التي يفرضها مجال التعريف.

نلاحظ على الفور أنه نظرًا لأننا نساوي أول تعبيرين للنظام ببعضهما البعض ، فيمكننا شطب أي منهما. لنشطب الأول لأنه يبدو أكثر خطورة من الثاني.

بالإضافة إلى ذلك ، لاحظ أن حلول المتباينات الثانية والثالثة ستكونان نفس المجموعتين (مكعب عدد ما أكبر من صفر ، إذا كان هذا الرقم نفسه أكبر من صفر ؛ وبالمثل مع جذر الدرجة الثالثة - فهذه المتباينات هي متشابه تمامًا ، لذا يمكننا شطب أحدهم).

لكن مع عدم المساواة الثالثة ، هذا لن ينجح. دعنا نتخلص من علامة الجذر على اليسار ، والتي من أجلها نرفع كلا الجزأين إلى مكعب. نحن نحصل:

لذلك نحصل على المتطلبات التالية:

−2 ≠ x> 3

أي من جذورنا: x 1 = -3 أم x 2 = -1 يلبي هذه المتطلبات؟ من الواضح أن x = −1 فقط ، لأن x = −3 لا تحقق المتباينة الأولى (لأن المتباينة لدينا صارمة). في المجموع ، بالعودة إلى المسألة ، نحصل على جذر واحد: x = −1. هذا كل شيء ، تم حل المشكلة.

مرة أخرى ، النقاط الرئيسية لهذه المهمة:

1. لا تتردد في تطبيق وحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصيغة المتعارف عليها. الطلاب الذين يقومون بعمل مثل هذا السجل ، ولا ينتقلون مباشرة من المشكلة الأصلية إلى البناء مثل log a f (x) = b ، يرتكبون أخطاء أقل بكثير من أولئك الذين يتعجلون في مكان ما ، ويتخطون الخطوات الوسيطة للحسابات ؛
2. بمجرد ظهور قاعدة متغيرة في اللوغاريتم ، تتوقف المشكلة عن كونها أبسطها. لذلك ، عند حلها ، من الضروري مراعاة مجال التعريف: يجب أن تكون الحجج أكبر من الصفر ، ويجب ألا تكون القواعد أكبر من 0 فحسب ، بل يجب ألا تكون أيضًا مساوية لـ 1.

يمكنك فرض المتطلبات الأخيرة على الإجابات النهائية بطرق مختلفة. على سبيل المثال ، من الممكن حل نظام كامل يحتوي على جميع متطلبات المجال. من ناحية أخرى ، يمكنك أولاً حل المشكلة نفسها ، ثم تذكر مجال التعريف ، والعمل بشكل منفصل في شكل نظام وتطبيقه على الجذور التي تم الحصول عليها.

إن طريقة الاختيار عند حل معادلة لوغاريتمية معينة أمر متروك لك. على أي حال ، ستكون الإجابة هي نفسها.

دعنا نفكر في بعض أنواع المعادلات اللوغاريتمية التي لا يتم أخذها في الاعتبار كثيرًا في دروس الرياضيات في المدرسة ، ولكنها تستخدم على نطاق واسع في إعداد المهام التنافسية ، بما في ذلك للاستخدام.

1. حل المعادلات بطريقة اللوغاريتم

عند حل المعادلات التي تحتوي على متغير سواء في الأساس أو في الأس ، يتم استخدام طريقة اللوغاريتم. إذا كان الأس يحتوي بالإضافة إلى ذلك على لوغاريتم ، فيجب أن يكون كلا طرفي المعادلة لوغاريتميًا على أساس هذا اللوغاريتم.

مثال 1

حل المعادلة: x log 2 x + 2 = 8.

المحلول.

نأخذ لوغاريتم الطرفين الأيمن والأيسر للمعادلة في الأساس 2. نحصل على

تسجيل 2 (x تسجيل 2 x + 2) = تسجيل 2 8 ،

(سجل 2 س + 2) سجل 2 س = 3.

دع سجل 2 x = t.

ثم (t + 2) t = 3.

ر 2 + 2 ت - 3 = 0.

د = 16. ر 1 = 1 ؛ ر 2 \ u003d -3.

لذا سجل 2 x \ u003d 1 و x 1 \ u003d 2 أو سجل 2 x \ u003d -3 و x 2 \ u003d 1/8

الجواب: 1/8 ؛ 2.

2. المعادلات اللوغاريتمية المتجانسة.

مثال 2

حل المعادلة log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

المحلول.

مجال المعادلة

(× 2-3 س + 4> 0 ،
(x + 5> 0. → x> -5.

سجل 3 (x + 5) = 0 لـ x = -4. بالتحقق ، نحدد أن القيمة المعطاة لـ x ليست كذلك هو جذر المعادلة الأصلية. لذلك ، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على log 2 3 (x + 5).

نحصل على السجل 2 3 (x 2 - 3x + 4) / السجل 2 3 (x + 5) - 3 السجل 3 (x 2 - 3x + 4) / السجل 3 (x + 5) + 2 = 0.

دع سجل 3 (x 2 - 3x + 4) / سجل 3 (x + 5) = t. ثم ر 2 - 3 ر + 2 = 0. جذور هذه المعادلة هي 1 ؛ 2. بالعودة إلى المتغير الأصلي ، نحصل على مجموعة من معادلتين

ولكن مع الأخذ في الاعتبار وجود اللوغاريتم ، يجب مراعاة قيم (0 ؛ 9] فقط. وهذا يعني أن التعبير على الجانب الأيسر يأخذ أكبر قيمة 2 عند x \ u003d 1. الآن ضع في اعتبارك الوظيفة y \ u003d 2 x-1 + 2 1-x. إذا أخذنا t \ u003d 2 x -1 ، فسيأخذ الشكل y \ u003d t + 1 / t ، حيث t> 0. في ظل هذه الظروف ، لديها نقطة حرجة واحدة t \ u003d 1. هذه هي النقطة الدنيا. Y vin \ u003d 2. ويتم الوصول إليها عند x \ u003d 1.

من الواضح الآن أن الرسوم البيانية للوظائف المدروسة يمكن أن تتقاطع مرة واحدة فقط عند النقطة (1 ؛ 2). اتضح أن x \ u003d 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة التي يتم حلها.

الجواب: س = 1.

مثال 5. حل المعادلة log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \ u003d 6 - 2x

المحلول.

لنحل هذه المعادلة لـ log 2 x. دع سجل 2 x = t. ثم t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \ u003d 0.

د = (س - 1) 2-4 (2 س - 6) \ u003d (س - 5) 2. ر 1 \ u003d -2 ؛ ر 2 \ u003d 3 - س.

نحصل على المعادلة log 2 x \ u003d -2 أو log 2 x \ u003d 3 - x.

جذر المعادلة الأولى هو x 1 = 1/4.

سيتم العثور على جذر المعادلة سجل 2 س \ u003d 3 - س عن طريق التحديد. هذا الرقم هو 2. هذا الجذر فريد ، لأن الوظيفة y \ u003d log 2 x تتزايد على نطاق التعريف بأكمله ، والدالة y \ u003d 3 - x تتناقص.

بالتحقق من ذلك ، من السهل التأكد من أن كلا الرقمين هما جذور المعادلة

الجواب: 1/4 ؛ 2.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

كما تعلم ، عند ضرب التعابير ذات القوى ، يتم جمع الأسس دائمًا (أ ب * أ ج = أ ب + ج). اشتق أرخميدس هذا القانون الرياضي ، وفي وقت لاحق ، في القرن الثامن ، أنشأ عالم الرياضيات فيراسن جدولًا لمؤشرات الأعداد الصحيحة. كانوا هم الذين خدموا لمزيد من اكتشاف اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث يلزم تبسيط الضرب المرهق إلى عملية الجمع البسيطة. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال ، فسنشرح لك ماهية اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. لغة بسيطة ويمكن الوصول إليها.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير عن النموذج التالي: log ab = c ، أي أن لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي موجب) "b" بقاعدته "a" يعتبر قوة "c" ، التي يجب رفع القاعدة "أ" إليها ، بحيث تحصل في النهاية على القيمة "ب". دعنا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة ، فلنفترض أن هناك تعبير log 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية ، فأنت بحاجة إلى العثور على الدرجة التي تحصل عليها من 2 إلى الدرجة المطلوبة 8. وبعد إجراء بعض العمليات الحسابية في ذهنك ، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح ، لأن 2 أس 3 يعطي الرقم 8 في الإجابة.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب ، يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم ، ولكن في الواقع ، اللوغاريتمات ليست مخيفة جدًا ، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع مختلفة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a ، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العلامة العشرية a حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي عدد ب للقاعدة أ> 1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية ، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات ، يجب على المرء أن يتذكر خصائصها وترتيب الإجراءات في قراراتهم.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات ، هناك العديد من قيود القواعد المقبولة كبديهية ، أي أنها لا تخضع للنقاش وهي صحيحة. على سبيل المثال ، من المستحيل قسمة الأرقام على صفر ، كما أنه من المستحيل أخذ جذر زوجي من الأرقام السالبة. تمتلك اللوغاريتمات أيضًا قواعدها الخاصة ، والتي يمكنك بعدها بسهولة معرفة كيفية العمل حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن تكون القاعدة "a" دائمًا أكبر من الصفر ، وفي نفس الوقت لا تساوي 1 ، وإلا فإن التعبير سيفقد معناه ، لأن "1" و "0" إلى أي درجة تساوي دائمًا قيمهما ؛
• إذا كانت a> 0 ، ثم a b> 0 ، فقد اتضح أن "c" يجب أن تكون أكبر من صفر.

كيف تحل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال ، تم تكليف المهمة للعثور على إجابة المعادلة 10 × \ u003d 100. إنه أمر سهل للغاية ، تحتاج إلى اختيار هذه القوة ، ورفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. هذا ، بالطبع ، هو 10 2 \ u003d 100.

الآن ، لنمثل هذا المقدار على أنه واحد لوغاريتمي. نحصل على log 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات ، تتقارب جميع الإجراءات عمليًا لإيجاد الدرجة التي يجب إدخال أساس اللوغاريتم عندها للحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة الدرجة غير المعروفة بدقة ، يجب أن تتعلم كيفية التعامل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترى ، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقلية تقنية ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك ، ستتطلب القيم الأكبر جدول طاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يفهمون أي شيء على الإطلاق في الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (القاعدة أ) ، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج ، التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع في الخلايا ، يتم تحديد قيم الأرقام ، وهي الإجابة (أ ج = ب). لنأخذ ، على سبيل المثال ، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 وتربيعها ، نحصل على القيمة 100 ، والتي يشار إليها عند تقاطع خليتينا. كل شيء بسيط للغاية وسهل لدرجة أن حتى أكثر دعاة إنسانية حقيقيين سيفهمونه!

المعادلات وعدم المساواة

اتضح أنه في ظل ظروف معينة ، يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك ، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية كمعادلة لوغاريتمية. على سبيل المثال ، يمكن كتابة 81 = 4 3 في صورة لوغاريتم 81 للأساس 3 ، وهو أربعة (log 3 81 = 4). للقوى السالبة ، القواعد هي نفسها: 2-5 = 1/32 نكتب كلوغاريتم ، نحصل على log 2 (1/32) = -5. يعد موضوع "اللوغاريتمات" أحد أكثر أقسام الرياضيات روعة. سننظر في أمثلة وحلول للمعادلات أقل قليلاً ، فور دراسة خصائصها. لنلقِ الآن نظرة على شكل المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء تعبير بالصيغة التالية: log 2 (x-1)> 3 - إنها متباينة لوغاريتمية ، لأن القيمة غير المعروفة "x" تحت علامة اللوغاريتم. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب في الأساس الثاني أكبر من الرقم ثلاثة.

يتمثل الاختلاف الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات في أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال ، لوغاريتم 2 × = 9) تتضمن قيمة عددية محددة أو أكثر في الإجابة ، بينما عند حل المتباينة ، فإن كلا من نطاق القيم المقبولة والنقاط التي تكسر هذه الوظيفة. نتيجة لذلك ، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية ، كما هو الحال في إجابة المعادلة ، ولكنها سلسلة متصلة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم ، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة ، فمن الضروري أولاً أن نفهم بوضوح وتطبيق جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات في الممارسة العملية. سنتعرف على أمثلة المعادلات لاحقًا ، دعنا أولاً نحلل كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. تبدو الهوية الأساسية كما يلي: a logaB = B. يتم تطبيقه فقط إذا كان a أكبر من 0 ، ولا يساوي واحدًا ، وكان B أكبر من صفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. في هذه الحالة ، يكون المتطلب الأساسي: d، s 1 and s 2> 0؛ أ ≠ 1. يمكنك تقديم دليل على صيغة اللوغاريتمات هذه ، مع أمثلة وحل. لنفترض أن 1 = f 1 وسجل كـ 2 = f 2 ، ثم f1 = s 1 ، a f2 = s 2. نحصل على s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (خصائص الدرجة ) ، وكذلك بالتعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2 ، والذي كان من المقرر إثباته.
3. يبدو لوغاريتم حاصل القسمة على النحو التالي: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الصيغة التالية: log a q b n = n / q log a b.

تسمى هذه الصيغة "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية ، وهذا ليس مفاجئًا ، لأن كل الرياضيات تقوم على افتراضات منتظمة. لنلقِ نظرة على الدليل.

دع السجل أ ب \ u003d t ، اتضح أن t \ u003d ب. إذا رفعت كلا الجزأين إلى القوة m: a tn = b n ؛

ولكن بما أن tn = (a q) nt / q = b n ، وبالتالي سجل a q b n = (n * t) / t ، ثم سجل a q b n = n / q log a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع مسائل اللوغاريتم شيوعًا هي أمثلة على المعادلات والمتباينات. تم العثور عليها في جميع الكتب المشكلة تقريبًا ، وهي مدرجة أيضًا في الجزء الإلزامي من امتحانات الرياضيات. لدخول الجامعة أو اجتياز اختبارات القبول في الرياضيات ، تحتاج إلى معرفة كيفية حل هذه المهام بشكل صحيح.

لسوء الحظ ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة غير المعروفة للوغاريتم ، ومع ذلك ، يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. أولًا ، يجب أن تعرف ما إذا كان التعبير يمكن تبسيطه أو تصغيره إلى صورة عامة. يمكنك تبسيط التعابير اللوغاريتمية الطويلة إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعنا نتعرف عليهم قريبا.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية ، من الضروري تحديد نوع اللوغاريتم الموجود أمامنا: مثال على تعبير قد يحتوي على لوغاريتم طبيعي أو واحد عشري.

فيما يلي أمثلة ln100 ، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنك بحاجة إلى تحديد الدرجة التي سيكون عندها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و 1026 على التوالي. للحصول على حلول اللوغاريتمات الطبيعية ، يجب على المرء تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. لنلقِ نظرة على أمثلة لحل المسائل اللوغاريتمية بمختلف أنواعها.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع أمثلة وحلول

لذا ، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الرئيسية في اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون من الضروري فيها تحليل قيمة كبيرة للرقم ب إلى عوامل أبسط. على سبيل المثال ، السجل 2 4 + السجل 2128 = السجل 2 (4 * 128) = السجل 2512. الإجابة هي 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - كما ترون ، باستخدام الخاصية الرابعة لدرجة اللوغاريتم ، تمكنا من حل تعبير معقد وغير قابل للحل للوهلة الأولى. من الضروري فقط تحليل الأساس ثم أخذ قيم الأس من علامة اللوغاريتم.

مهام من الامتحان

غالبًا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول ، خاصةً الكثير من المشكلات اللوغاريتمية في اختبار الدولة الموحدة (امتحان رسمي لجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء للاختبار من الاختبار) ، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر صعوبة وضخامة). يتضمن الاختبار معرفة دقيقة وكاملة لموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

يتم أخذ الأمثلة وحل المشكلات من الإصدارات الرسمية للامتحان. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

معطى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير ، ونبسطه قليلاً log 2 (2x-1) = 2 2 ، من خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4 ، وبالتالي 2x = 17 ؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس القاعدة بحيث لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• يشار إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها موجبة ، لذلك ، عند إخراج الأس الأس للتعبير ، الذي يقع تحت علامة اللوغاريتم وكقاعدة له ، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.