Üçbucaqlı piramidanın xüsusiyyətləri. Normal piramidanın əsas xüsusiyyətləri

Bu video dərslik istifadəçilərə Piramida mövzusu haqqında fikir əldə etməyə kömək edəcək. Düzgün piramida. Bu dərsdə biz piramida anlayışı ilə tanış olacaq və ona tərif verəcəyik. Müntəzəm piramidanın nə olduğunu və hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu nəzərdən keçirək. Sonra düzgün piramidanın yan səthi haqqında teoremi sübut edirik.

Bu dərsdə biz piramida anlayışı ilə tanış olacaq və ona tərif verəcəyik.

Çoxbucaqlı düşünün A 1 A 2...A nα müstəvisində yerləşən , və nöqtə P, α müstəvisində yatmayan (şək. 1). Nöqtələri birləşdirək P zirvələri ilə A 1, A 2, A 3, … A n. alırıq nüçbucaqlar: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R və s.

Tərif. Çoxüzlü RA 1 A 2 ...A n, ibarətdir n-kvadrat A 1 A 2...A n Və nüçbucaqlar RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 adlanır n- kömür piramidası. düyü. 1.

düyü. 1

Dördbucaqlı bir piramidaya nəzər salın PABCD(Şəkil 2).

R- piramidanın üstü.

A B C D- piramidanın əsası.

RA- yan qabırğa.

AB- əsas qabırğa.

Nöqtədən R perpendikulyarını buraxaq RN baza müstəvisinə A B C D. Perpendikulyar çəkilmiş piramidanın hündürlüyüdür.

düyü. 2

Piramidanın tam səthi yanal səthdən, yəni bütün yan üzlərin sahəsindən və təməlin sahəsindən ibarətdir:

S tam = S tərəfi + S əsas

Piramida düzgün adlanır, əgər:

• onun əsası müntəzəm çoxbucaqlıdır;
• piramidanın yuxarı hissəsini təməlin mərkəzinə birləşdirən seqment onun hündürlüyüdür.

Müntəzəm dördbucaqlı piramida nümunəsindən istifadə edərək izahat

Adi dördbucaqlı piramidaya nəzər salın PABCD(şək. 3).

R- piramidanın üstü. Piramidanın əsası A B C D- müntəzəm dördbucaqlı, yəni kvadrat. Nöqtə HAQQINDA, diaqonalların kəsişmə nöqtəsi, kvadratın mərkəzidir. O deməkdir ki, RO piramidanın hündürlüyüdür.

düyü. 3

İzahat: düzgün nÜçbucaqda, həkk olunmuş dairənin mərkəzi ilə dairənin mərkəzi üst-üstə düşür. Bu mərkəz çoxbucaqlının mərkəzi adlanır. Bəzən deyirlər ki, təpənin mərkəzə proyeksiyası var.

Düzgün piramidanın təpəsindən çəkilmiş yan üzünün hündürlüyünə deyilir apotem və təyin edilir h a.

1. müntəzəm piramidanın bütün yan kənarları bərabərdir;

2. Yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır.

Bu xassələrin sübutunu adi dördbucaqlı piramida nümunəsindən istifadə edərək verəcəyik.

verilmiş: PABCD- müntəzəm dördbucaqlı piramida,

A B C D- kvadrat,

RO- piramidanın hündürlüyü.

Sübut et:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Bax şək. 4.

düyü. 4

Sübut.

RO- piramidanın hündürlüyü. Yəni düz RO müstəviyə perpendikulyar ABC, və buna görə də birbaşa ASC, VO, SO Və EDİN içində yatmaq. Belə ki, üçbucaqlar ROA, ROV, ROS, ROD- düzbucaqlı.

Bir kvadrat düşünün A B C D. Kvadratın xassələrindən belə çıxır AO = VO = CO = EDİN.

Sonra düz üçbucaqlar ROA, ROV, ROS, ROD ayaq RO- ümumi və ayaqları ASC, VO, SO Və EDİN bərabərdir, yəni bu üçbucaqlar iki tərəfdən bərabərdir. Üçbucaqların bərabərliyindən seqmentlərin bərabərliyi gəlir, RA = PB = RS = PD. 1-ci nöqtə sübut edilmişdir.

Seqmentlər AB Və Günəş eyni kvadratın tərəfləri olduqları üçün bərabərdirlər, RA = PB = RS. Belə ki, üçbucaqlar AVR Və VSR - ikitərəfli və üç tərəfdən bərabərdir.

Bənzər şəkildə bu üçbucaqları tapırıq ABP, VCP, CDP, DAP 2-ci bənddə sübut edilməli olduğu kimi, ikitərəfli və bərabərdir.

Müntəzəm piramidanın yan səthinin sahəsi baza və apotem perimetrinin məhsulunun yarısına bərabərdir:

Bunu sübut etmək üçün adi üçbucaqlı piramida seçək.

verilmiş: RAVS- müntəzəm üçbucaqlı piramida.

AB = BC = AC.

RO- hündürlük.

Sübut et: . Şəkilə baxın. 5.

düyü. 5

Sübut.

RAVS- müntəzəm üçbucaqlı piramida. Yəni AB= AC = BC. Qoy HAQQINDA- üçbucağın mərkəzi ABC, Sonra RO piramidanın hündürlüyüdür. Piramidanın təməlində bərabərtərəfli üçbucaq yerləşir ABC. qeyd et ki .

Üçbucaqlar RAV, RVS, RSA- bərabər ikitərəfli üçbucaqlar (xassəyə görə). Üçbucaqlı piramidanın üç yan üzü var: RAV, RVS, RSA. Bu o deməkdir ki, piramidanın yan səthinin sahəsi:

S tərəfi = 3S RAW

Teorem sübut edilmişdir.

Müntəzəm dördbucaqlı piramidanın təməlinə yazılmış dairənin radiusu 3 m, piramidanın hündürlüyü 4 m. Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.

verilmiş: müntəzəm dördbucaqlı piramida A B C D,

A B C D- kvadrat,

r= 3 m,

RO- piramidanın hündürlüyü,

RO= 4 m.

Tapın: S tərəfi. Şəkilə baxın. 6.

düyü. 6

Həll.

Sübut edilmiş teoremə görə, .

Əvvəlcə təməlin tərəfini tapaq AB. Bilirik ki, müntəzəm dördbucaqlı piramidanın təməlinə daxil edilmiş dairənin radiusu 3 m-dir.

Sonra, m.

Kvadratın perimetrini tapın A B C D 6 m tərəfi ilə:

Üçbucağı nəzərdən keçirək BCD. Qoy M- tərəfin ortası DC. Çünki HAQQINDA- orta BD, Bu (m).

Üçbucaq DPC- ikitərəfli. M- orta DC. Yəni, RM- median və buna görə də üçbucaqdakı hündürlük DPC. Sonra RM- piramidanın apothemi.

RO- piramidanın hündürlüyü. Sonra düz RO müstəviyə perpendikulyar ABC, və buna görə də birbaşa OM, içində yatmaq. Apotemi tapaq RM düz üçbucaqdan ROM.

İndi piramidanın yan səthini tapa bilərik:

Cavab verin: 60 m2.

Düzgün üçbucaqlı piramidanın bünövrəsi ətrafında çəkilmiş dairənin radiusu m-ə bərabərdir.Yan səthinin sahəsi 18 m 2-dir. Apotemin uzunluğunu tapın.

verilmiş: ABCP- müntəzəm üçbucaqlı piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

S tərəfi = 18 m2.

Tapın: . Şəkilə baxın. 7.

düyü. 7

Həll.

Düzgün üçbucaqda ABC Dairənin radiusu verilmişdir. Gəlin bir tərəf tapaq AB sinus qanunundan istifadə edərək bu üçbucaq.

Düzgün üçbucağın tərəfini (m) bilməklə onun perimetrini tapırıq.

Müntəzəm piramidanın yanal səth sahəsinə dair teoremə görə, burada h a- piramidanın apothemi. Sonra:

Cavab verin: 4 m.

Beləliklə, biz piramidanın nə olduğunu, nizamlı piramidanın nə olduğunu araşdırdıq və düzgün piramidanın yan səthi haqqında teoremi sübut etdik. Növbəti dərsdə kəsilmiş piramida ilə tanış olacağıq.

Biblioqrafiya

1. Həndəsə. 10-11-ci siniflər: ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik (əsas və ixtisas səviyyələri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-ci nəşr, rev. və əlavə - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: xəstə.
2. Həndəsə. 10-11-ci siniflər: Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik / Sharygin İ.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Həndəsə. 10-cu sinif: Riyaziyyatı dərindən və ixtisaslaşdırılmış ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvaliç. - 6-cı nəşr, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: xəstə.

1. "Yaklass" internet portalı ()
2. İnternet portalı "Birinci Sentyabr" Pedaqoji Fikirlər Festivalı ()
3. "Slideshare.net" internet portalı ()

Ev tapşırığı

1. Düzgün çoxbucaqlı nizamsız piramidanın əsası ola bilərmi?
2. Normal piramidanın ayrı-ayrı kənarlarının perpendikulyar olduğunu sübut edin.
3. Normal dördbucaqlı piramidanın bünövrəsinin yan tərəfindəki dihedral bucağın qiymətini tapın, əgər piramidanın apotemi onun əsasının tərəfinə bərabərdir.
4. RAVS- müntəzəm üçbucaqlı piramida. Piramidanın təməlində dihedral bucağın xətti bucağını qurun.

Giriş

Stereometrik fiqurları öyrənməyə başlayanda “Piramida” mövzusuna toxunduq. Bu mövzunu bəyəndik, çünki piramida memarlıqda çox istifadə olunur. Gələcək memarlıq peşəmiz də bu rəqəmdən ilhamlandığından, onun bizi gözəl layihələrə sövq edə biləcəyini düşünürük.

Memarlıq strukturlarının möhkəmliyi onların ən mühüm keyfiyyətidir. Gücü, ilk növbədə, onların yaradıldığı materiallarla, ikincisi, dizayn həllərinin xüsusiyyətləri ilə əlaqələndirdikdə, bir quruluşun möhkəmliyinin onun üçün əsas olan həndəsi forma ilə birbaşa əlaqəli olduğu ortaya çıxır.

Başqa sözlə, söhbət müvafiq memarlıq formasının modeli kimi qəbul edilə bilən həndəsi fiqurdan gedir. Belə çıxır ki, həndəsi forma həm də memarlıq quruluşunun möhkəmliyini müəyyən edir.

Qədim dövrlərdən bəri Misir piramidaları ən davamlı memarlıq tikililəri hesab olunurdu. Bildiyiniz kimi, onlar müntəzəm dördbucaqlı piramidaların formasına malikdirlər.

Böyük baza sahəsi sayəsində ən böyük sabitliyi təmin edən bu həndəsi formadır. Digər tərəfdən, piramida forması yerdən hündürlük artdıqca kütlənin azalmasını təmin edir. Piramidanı sabit və buna görə də cazibə şəraitində güclü edən bu iki xüsusiyyətdir.

Layihənin məqsədi: piramidalar haqqında yeni bir şey öyrənin, biliklərinizi dərinləşdirin və praktik tətbiq tapın.

Bu məqsədə çatmaq üçün aşağıdakı vəzifələri həll etmək lazım idi:

· Piramida haqqında tarixi məlumatları öyrənin

· Piramidaya həndəsi fiqur kimi baxaq

· Həyatda və memarlıqda tətbiq tapın

· Dünyanın müxtəlif yerlərində yerləşən piramidalar arasında oxşar və fərqli cəhətləri tapın

Nəzəri hissə

Tarixi məlumat

Piramida həndəsəsi Qədim Misir və Babildə başlamış, lakin Qədim Yunanıstanda fəal şəkildə inkişaf etmişdir. Piramidanın həcmini ilk təyin edən Demokrit idi və Knidli Evdoks bunu sübut etdi. Qədim yunan riyaziyyatçısı Evklid özünün “Elementlər” əsərinin XII cildində piramida haqqında bilikləri sistemləşdirdi və eyni zamanda piramidanın ilk tərifini aldı: bir müstəvidən bir nöqtəyə yaxınlaşan müstəvilərlə məhdudlaşan bərk fiqur.

Misir fironlarının məzarları. Onlardan ən böyüyü - El Gizadakı Xeops, Xafre və Mikerin piramidaları qədim zamanlarda dünyanın yeddi möcüzəsindən biri hesab olunurdu. Yunanların və romalıların artıq misilsiz padşahların qüruruna və bütün Misir xalqını mənasız tikintiyə məhkum edən qəddarlığına bir abidə gördükləri piramidanın tikintisi ən vacib dini akt idi və görünür, ifadə etməli idi. ölkənin və onun hökmdarının mistik kimliyi. İlin kənd təsərrüfatı işlərindən azad olan hissəsində ölkə əhalisi türbənin tikintisində çalışıb. Bir sıra mətnlər padşahların özlərinin (sonralar da olsa) qəbrinin tikintisinə və onun inşaatçılarına göstərdikləri diqqət və qayğıdan xəbər verir. Piramidanın özünə verilən xüsusi kult mükafatları da məlumdur.

Əsas anlayışlar

piramida bazası çoxbucaqlı olan çoxüzlü, qalan üzləri isə ümumi təpəsi olan üçbucaqlar adlanır.

Apotem- düzgün piramidanın təpəsindən çəkilmiş yan üzünün hündürlüyü;

Yan üzlər- təpəsində kəsişən üçbucaqlar;

Yan qabırğalar- yan üzlərin ümumi tərəfləri;

Piramidanın üstü- yan qabırğaları birləşdirən və baza müstəvisində yatmayan nöqtə;

Hündürlük- piramidanın yuxarı hissəsindən onun əsasının müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar seqment (bu seqmentin ucları piramidanın yuxarı hissəsi və perpendikulyarın əsasıdır);

Piramidanın diaqonal hissəsi- piramidanın üst hissəsindən və əsasın diaqonalından keçən hissəsi;

Baza- piramidanın təpəsinə aid olmayan çoxbucaqlı.

Normal piramidanın əsas xüsusiyyətləri

Yan kənarlar, yan üzlər və apotemlər müvafiq olaraq bərabərdir.

Bazadakı dihedral bucaqlar bərabərdir.

Yan kənarlardakı dihedral bucaqlar bərabərdir.

Hər bir hündürlük nöqtəsi təməlin bütün təpələrindən bərabər məsafədədir.

Hər bir hündürlük nöqtəsi bütün yan üzlərdən bərabər məsafədədir.

Əsas piramida düsturları

Piramidanın yanal və ümumi səthinin sahəsi.

Piramidanın yan səthinin sahəsi (tam və kəsilmiş) onun bütün yan üzlərinin sahələrinin cəmidir, ümumi səth sahəsi bütün üzlərinin sahələrinin cəmidir.

Teorem: Normal piramidanın yanal səthinin sahəsi təməlin perimetri ilə piramidanın apoteminin məhsulunun yarısına bərabərdir.

səh- baza perimetri;

h- apotem.

Kəsilmiş piramidanın yan və tam səthlərinin sahəsi.

səh 1, səh 2 - əsas perimetrlər;

h- apotem.

R- müntəzəm kəsilmiş piramidanın ümumi səth sahəsi;

S tərəfi- müntəzəm kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsi;

S 1 + S 2- baza sahəsi

Piramidanın həcmi

forma həcmi ula istənilən növ piramidalar üçün istifadə olunur.

H- piramidanın hündürlüyü.

Piramida küncləri

Piramidanın yan üzünün və əsasının əmələ gətirdiyi bucaqlara piramidanın təməlində ikiüzlü bucaqlar deyilir.

Dihedral bucaq iki perpendikulyar tərəfindən əmələ gəlir.

Bu bucağı təyin etmək üçün tez-tez üç perpendikulyar teoremdən istifadə etməlisiniz.

Yan kənarın və onun əsas müstəviyə proyeksiyasının yaratdığı bucaqlar deyilir yan kənar ilə bazanın müstəvisi arasındakı bucaqlar.

İki yan kənarın yaratdığı bucağa deyilir piramidanın yan kənarında dihedral bucaq.

Piramidanın bir üzünün iki yan kənarından əmələ gələn bucaq deyilir piramidanın yuxarı hissəsindəki bucaq.

Piramida bölmələri

Piramidanın səthi çoxüzlü səthdir. Üzlərinin hər biri bir müstəvidir, buna görə də kəsici müstəvi ilə müəyyən edilmiş piramidanın bölməsi fərdi düz xətlərdən ibarət qırıq bir xəttdir.

Diaqonal bölmə

Piramidanın eyni üzdə olmayan iki yan kənarından keçən müstəvi ilə kəsişməsinə deyilir. diaqonal bölmə piramidalar.

Paralel bölmələr

Teorem:

Əgər piramida bazaya paralel müstəvi ilə kəsişirsə, onda piramidanın yan kənarları və hündürlükləri bu müstəvi ilə mütənasib hissələrə bölünür;

Bu müstəvinin bölməsi bazaya bənzər çoxbucaqlıdır;

Bölmənin və əsasın sahələri təpəyə olan məsafələrinin kvadratları kimi bir-birinə bağlıdır.

Piramida növləri

Düzgün piramida– əsası düzgün çoxbucaqlı olan və piramidanın yuxarı hissəsi təməlin mərkəzinə proyeksiya olunmuş piramida.

Adi bir piramida üçün:

1. yan qabırğalar bərabərdir

2. yan üzlər bərabərdir

3. apotemlər bərabərdir

4. bazada ikitərəfli bucaqlar bərabərdir

5. yan kənarlardakı dihedral bucaqlar bərabərdir

6. hər hündürlük nöqtəsi təməlin bütün təpələrindən bərabər məsafədədir

7. hər hündürlük nöqtəsi bütün yan kənarlardan bərabər məsafədədir

Kəsilmiş piramida- piramidanın bazası ilə bazaya paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi.

Kəsilmiş piramidanın əsası və müvafiq bölməsi deyilir kəsilmiş piramidanın əsasları.

Bir bazanın istənilən nöqtəsindən digərinin müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar deyilir kəsilmiş piramidanın hündürlüyü.

Tapşırıqlar

№1. Düzgün dördbucaqlı piramidada O nöqtəsi əsasın mərkəzidir, SO=8 sm, BD=30 sm.Yan kənarını SA tapın.

Problemin həlli

№1. Adi bir piramidada bütün üzlər və kənarlar bərabərdir.

OSB-yə nəzər salın: OSB düzbucaqlı düzbucaqlıdır, çünki.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Memarlıqda piramida

Piramida, tərəflərin bir nöqtədə birləşdiyi adi müntəzəm həndəsi piramida şəklində monumental bir quruluşdur. Funksional təyinatına görə, qədim zamanlarda piramidalar dəfn və ya dini ibadət yerləri idi. Piramidanın əsası ixtiyari sayda təpələri olan üçbucaqlı, dördbucaqlı və ya çoxbucaqlı ola bilər, lakin ən çox yayılmış variant dördbucaqlı bazadır.

Qədim dünyanın müxtəlif mədəniyyətləri tərəfindən, əsasən məbədlər və ya abidələr kimi tikilmiş xeyli sayda piramida var. Böyük piramidalara Misir piramidaları da daxildir.

Dünyanın hər yerində piramidalar şəklində memarlıq tikililərini görə bilərsiniz. Piramida binaları qədim dövrləri xatırladır və çox gözəl görünür.

Misir piramidaları Qədim Misirin ən böyük memarlıq abidələridir, o cümlədən “Dünyanın Yeddi Möcüzəsindən biri”, Xeops Piramidası. Ayaqdan zirvəyə qədər 137,3 m-ə çatır və zirvəni itirməmişdən əvvəl hündürlüyü 146,7 m idi.

Slovakiyanın paytaxtında ters çevrilmiş piramidaya bənzəyən radiostansiya binası 1983-cü ildə tikilib. Ofis və xidmət binalarından əlavə, həcmin içərisində Slovakiyanın ən böyük orqanlarından birinə malik olan kifayət qədər geniş konsert zalı var.

“Səssiz, dəyişməz və əzəmətli, bir piramida kimi” olan Luvr dünyanın ən böyük muzeyinə çevrilməzdən əvvəl əsrlər boyu bir çox dəyişikliklərə məruz qalmışdır. 1190-cı ildə Filip Avqust tərəfindən ucaldılan və tezliklə kral iqamətgahına çevrilən bir qala kimi doğuldu. 1793-cü ildə saray muzeyə çevrildi. Kolleksiyalar vəsiyyət və ya satınalma yolu ilə zənginləşdirilir.

Tərif. Yan kənar- bu, bir bucağın piramidanın yuxarı hissəsində yerləşdiyi və əks tərəfinin əsas tərəfi (poliqon) ilə üst-üstə düşdüyü üçbucaqdır.

Tərif. Yan qabırğalar- bunlar yan üzlərin ümumi tərəfləridir. Piramidanın çoxbucaqlının bucaqları qədər kənarları var.

Tərif. Piramida hündürlüyü- bu, piramidanın yuxarısından bazasına endirilmiş perpendikulyardır.

Tərif. Apotem- bu, piramidanın yuxarısından bazanın yan tərəfinə endirilmiş piramidanın yan üzünə perpendikulyardır.

Tərif. Diaqonal bölmə- bu, piramidanın yuxarı hissəsindən və təməlin diaqonalından keçən bir təyyarə ilə bir hissəsidir.

Tərif. Düzgün piramidaəsasının nizamlı çoxbucaqlı olduğu və hündürlüyün əsasın mərkəzinə endiyi piramidadır.

Piramidanın həcmi və səthi

Düstur. Piramidanın həcmi baza sahəsi və hündürlüyü ilə:

Piramidanın xüsusiyyətləri

Bütün yan kənarlar bərabərdirsə, o zaman piramidanın əsası ətrafında bir dairə çəkilə bilər və təməlin mərkəzi dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Həmçinin, yuxarıdan düşmüş bir perpendikulyar bazanın (dairə) mərkəzindən keçir.

Bütün yan kənarlar bərabərdirsə, onlar eyni açılarda bazanın müstəvisinə meyllidirlər.

Yan kənarlar, təməlin müstəvisi ilə bərabər bucaqlar meydana gətirdikdə və ya piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilə bildikdə bərabərdir.

Yan üzlər eyni bucaq altında təməl müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın əsasına bir dairə yazıla bilər və piramidanın yuxarı hissəsi onun mərkəzində proyeksiya olunur.

Yan üzlər eyni bucaq altında baza müstəvisinə meyllidirsə, yan üzlərin apotemləri bərabərdir.

Adi piramidanın xassələri

1. Piramidanın yuxarı hissəsi təməlin bütün künclərindən bərabər məsafədə yerləşir.

2. Bütün yan kənarlar bərabərdir.

3. Bütün yan qabırğalar bazaya bərabər açılarda meyllidir.

4. Bütün yan üzlərin apotemləri bərabərdir.

5. Bütün yan üzlərin sahələri bərabərdir.

6. Bütün üzlər eyni dihedral (düz) bucaqlara malikdir.

7. Piramidanın ətrafında kürə təsvir edilə bilər. Haşiyələnmiş kürənin mərkəzi kənarların ortasından keçən perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

8. Piramidaya kürə yerləşdirə bilərsiniz. Yazılı kürənin mərkəzi kənar və əsas arasındakı bucaqdan çıxan bisektorların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

9. Yazılı sferanın mərkəzi dairəvi kürənin mərkəzi ilə üst-üstə düşürsə, təpəsindəki müstəvi bucaqlarının cəmi π-ə bərabərdir və ya əksinə, bir bucaq π/n-ə bərabərdir, burada n ədəddir. piramidanın təməlindəki bucaqlar.

Piramida ilə kürə arasındakı əlaqə

Piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər, o zaman piramidanın təməlində bir dairə təsvir edilə bilən bir çoxüzlüdür (zəruri və kifayət qədər şərt). Kürənin mərkəzi piramidanın yan kənarlarının orta nöqtələrindən perpendikulyar keçən təyyarələrin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

İstənilən üçbucaqlı və ya nizamlı piramidanın ətrafında sferanı təsvir etmək həmişə mümkündür.

Piramidanın daxili dihedral bucaqlarının bisektor müstəviləri bir nöqtədə kəsişirsə (zəruri və kifayət qədər şərt) bir kürə piramidaya daxil edilə bilər. Bu nöqtə sferanın mərkəzi olacaq.

Piramidanın konus ilə birləşməsi

Konusun zirvələri üst-üstə düşərsə və konus əsası piramidanın alt hissəsinə yazılmışsa, piramidaya yazıldığı deyilir.

Piramidanın apotemləri bir-birinə bərabər olarsa, konus piramidaya yazıla bilər.

Konusun təpələri üst-üstə düşürsə və konusun əsası piramidanın əsası ətrafında dairəvi olarsa, bir konus piramidanın ətrafına çəkilir.

Piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabər olarsa, bir konus bir piramida ətrafında təsvir edilə bilər.

Piramida və silindr arasındakı əlaqə

Piramidanın yuxarı hissəsi silindrin bir əsasına, piramidanın əsası isə silindrin başqa bir əsasına yazılmışdırsa, piramida silindrə yazılmış adlanır.

Piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilə bilərsə, silindr bir piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər.

Tetraedrin dörd üzü, dörd təpəsi və altı kənarı var, burada hər iki kənarın ümumi təpələri yoxdur, lakin toxunmur.

Hər bir təpə üç üzdən və meydana gələn kənarlardan ibarətdir üçbucaqlı bucaq.

Tetraedrin təpəsini əks üzün mərkəzi ilə birləşdirən seqment deyilir tetraedrin medianı(GM).

Bimedian toxunmayan əks kənarların orta nöqtələrini birləşdirən seqment adlanır (KL).

Tetraedrin bütün bimedianları və medianları bir nöqtədə (S) kəsişir. Bu zaman bimedianlar yarıya bölünür, medianlar isə yuxarıdan başlayaraq 3:1 nisbətində bölünür.

Tərif. Kəskin bucaqlı piramida- apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından çox olduğu piramida.

Tərif. Kütləvi piramida- apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından az olduğu piramida.

Tərif. Adi tetraedr- dörd üzün hamısının bərabərtərəfli üçbucaq olduğu tetraedr. Beş müntəzəm çoxbucaqlıdan biridir. Müntəzəm tetraedrdə bütün dihedral bucaqlar (üzlər arasında) və üçbucaqlı bucaqlar (təpəsində) bərabərdir.

Tərif. Düzbucaqlı tetraedr zirvədə üç kənar arasında düz bucaq olan (kənarları perpendikulyar olan) tetraedr adlanır. Üç üz formalaşır düzbucaqlı üçbucaqlı bucaq və üzləri düzbucaqlı üçbucaqlar, əsası isə ixtiyari üçbucaqdır. İstənilən sifətin apotemi apotem düşdüyü bazanın tərəfinin yarısına bərabərdir.

Tərif. İzohedral tetraedr yan üzləri bir-birinə bərabər olan tetraedr, əsası isə düzgün üçbucaq adlanır. Belə bir tetraedrin isosceles üçbucaqları olan üzləri var.

Tərif. Ortosentrik tetraedr yuxarıdan qarşı tərəfə endirilən bütün hündürlüklərin (perpendikulyarların) bir nöqtədə kəsişdiyi tetraedr adlanır.

Tərif. Ulduz piramidası bazası ulduz olan çoxüzlü adlanır.

Burada piramidalar və əlaqəli düsturlar və anlayışlar haqqında əsas məlumatları tapa bilərsiniz. Onların hamısı Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq üçün riyaziyyat müəllimi ilə birlikdə öyrənilir.

Bir müstəvi, çoxbucaqlı düşünün , içində uzanan və bir S nöqtəsi, içində yatmayan. S-i çoxbucaqlının bütün təpələrinə birləşdirək. Yaranan çoxüzlüyə piramida deyilir. Seqmentlərə yan qabırğalar deyilir. Çoxbucaqlı əsas adlanır və S nöqtəsi piramidanın yuxarı hissəsidir. n ədədindən asılı olaraq piramida üçbucaqlı (n=3), dördbucaqlı (n=4), beşbucaqlı (n=5) və s. Üçbucaqlı piramidanın alternativ adıdır tetraedr. Piramidanın hündürlüyü onun yuxarısından təməl müstəvisinə enən perpendikulyardır.

Əgər piramida müntəzəm adlanır düzgün çoxbucaqlıdır və piramidanın hündürlüyünün əsası (perpendikulyarın əsası) onun mərkəzidir.

Tərbiyəçinin şərhi:
"Normal piramida" və "müntəzəm tetraedr" anlayışlarını qarışdırmayın. Adi bir piramidada yan kənarlar mütləq bazanın kənarlarına bərabər deyil, adi tetraedrdə bütün 6 kənar bərabərdir. Bu onun tərifidir. Bərabərliyin çoxbucaqlının P mərkəzinin üst-üstə düşməsini nəzərdə tutduğunu sübut etmək asandır baza hündürlüyü ilə, buna görə də müntəzəm tetraedr müntəzəm piramidadır.

Apotem nədir?
Piramidanın apotemi onun yan üzünün hündürlüyüdür. Əgər piramida nizamlıdırsa, onun bütün apotemləri bərabərdir. Bunun əksi doğru deyil.

Riyaziyyat müəllimi öz terminologiyası haqqında: Piramidalarla işin 80%-i iki növ üçbucaq vasitəsilə qurulur:
1) Tərkibində SK apotem və SP hündürlüyü var
2) Yan kənar SA və onun proyeksiyası PA olan

Bu üçbucaqlara istinadları sadələşdirmək üçün riyaziyyat müəlliminin onlardan birincisini çağırması daha rahatdır. apothemal, və ikinci kostal. Təəssüf ki, heç bir dərslikdə bu terminologiyaya rast gəlməyəcəksiniz və müəllim onu ​​birtərəfli qaydada təqdim etməlidir.

Piramidanın həcmi üçün düstur:
1) , piramidanın təməlinin sahəsi haradadır və piramidanın hündürlüyüdür
2) , burada yazılmış sferanın radiusu və piramidanın ümumi səthinin sahəsidir.
3) , burada MN hər hansı iki kəsişən kənar arasındakı məsafədir və qalan dörd kənarın orta nöqtələrindən əmələ gələn paraleloqramın sahəsidir.

Piramidanın hündürlüyünün əsasının xüsusiyyəti:

Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə P nöqtəsi (şəklə bax) piramidanın altındakı həkk olunmuş dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür:
1) Bütün apotemlər bərabərdir
2) Bütün yan üzlər bazaya bərabər şəkildə meyllidir
3) Bütün apotemlər eyni dərəcədə piramidanın hündürlüyünə meyllidir
4) Piramidanın hündürlüyü bütün yan üzlərə bərabər şəkildə meyllidir

Riyaziyyat müəlliminin şərhi: Nəzərə alın ki, bütün nöqtələr bir ümumi xüsusiyyət ilə birləşir: bu və ya digər şəkildə, yan üzlər hər yerdə iştirak edir (apotemlər onların elementləridir). Buna görə də, tərbiyəçi daha az dəqiq, lakin öyrənmə üçün daha əlverişli, formalaşdırmağı təklif edə bilər: P nöqtəsi, onun yanal üzləri haqqında bərabər məlumat varsa, yazılmış dairənin mərkəzi, piramidanın əsası ilə üst-üstə düşür. Bunu sübut etmək üçün bütün apotem üçbucaqlarının bərabər olduğunu göstərmək kifayətdir.

Üç şərtdən biri doğru olarsa, P nöqtəsi piramidanın əsasına yaxın dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür:
1) Bütün yan kənarlar bərabərdir
2) Bütün yan qabırğalar bazaya bərabər şəkildə meyllidir
3) Bütün yan qabırğalar hündürlüyə bərabər şəkildə meyllidir