Logarithmic tənliklərin tərifi. Logaritmik tənliklərin həlli - son dərs

Tənliklərlə hamımız ilkin siniflərlə tanışıq. Hətta orada ən sadə nümunələri həll etməyi öyrəndik və qəbul etməliyik ki, hətta ali riyaziyyatda da istifadə edirlər. Tənliklərlə, hər şey sadə, o cümlədən və kvadratdır. Bu mövzuda probleminiz varsa, onu təkrar etməyinizi tövsiyə edirik.

Yəqin ki, siz də keçdiyiniz logaritmlər. Buna baxmayaraq, hələ bilməyənlər üçün olduğunu söyləmək vacib hesab edirik. Loqarifm, logaritm işarəsinin sağ tərəfində dayanan nömrəni etmək üçün bazanın götürülməsi dərəcəsinə bərabərdir. Hamınızın aydın olmasına bir nümunə verək.

Əgər dördüncü dərəcəyə girdiyiniz təqdirdə, 81-i ortaya çıxır. İndi bənzətmə ilə əvəz olunur və logarifmlərin tamamilə həll olunduğunu başa düşəcəksiniz. İndi müzakirə olunan iki anlayışı birləşdirmək yalnız qalır. Əvvəlcə vəziyyət son dərəcə çətin görünür, amma daha yaxından müayinədə, çəki öz yerinə olur. Əminik ki, bu qısa məqalədən sonra imtahanın bu hissəsində heç bir probleminiz olmayacaqdır.

Bu gün belə strukturları həll etməyin bir çox yolu var. Ən sadə, səmərəli və tətbiq olunan xəbərlər haqqında danışacağıq. Loqarifmik tənliklərin həlli ən sadə nümunədən başlamalıdır. Ən sadə logaritmik tənliklər bir funksiyadan və içərisində bir dəyişəndən ibarətdir.

X-nin mübahisənin içərisində olduğunu düşünmək vacibdir. A və B nömrələri olmalıdır. Bu vəziyyətdə sadəcə bir sıra dərəcədə funksiyanı ifadə edə bilərsiniz. Bu belə görünür.

Əlbəttə ki, logaritmik tənliyin həlli bu üsulu düzgün cavaba aparacaqdır. Bu vəziyyətdə şagirdlərin əksəriyyəti problemi budur ki, nəyi və harada lazım olduğunu başa düşməmələridir. Nəticədə səhvləri və istədiyiniz nöqtələri qəbul etməməlisiniz. Məktublarda hərfləri qarışdırsanız, ən təhqiramiz xətası olacaq. Bu şəkildə tənliyi həll etmək üçün bu standart məktəb formulunu əldə etməlisiniz, çünki bunu başa düşmək çətindir.

Bunu asanlaşdırmaq üçün başqa bir üsula - kanonik formaya müraciət edə bilərsiniz. Fikir son dərəcə sadədir. Vəzifəni yenidən uzaqdan. A hərfinin bir nömrə olduğunu və bir funksiya və ya dəyişən olmadığını unutmayın. A bir və daha sıfıra bərabər deyil. B-də heç bir məhdudiyyət yoxdur. İndi bir düsturu xatırlayıram. B aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər.

Bu, logaritmləri olan bütün mənbə tənlikləri aşağıdakı kimi təqdim edə bilər:

İndi logarifmləri ata bilərik. Daha əvvəl gördüyümüz sadə bir dizayn çıxır.

Bu düsturun rahatlığı budur ki, bu, yalnız ən sadə dizayn üçün deyil, müxtəlif işlərdə tətbiq oluna bilər.

OOO-dan narahat olmayın!

Təcrübəli riyaziyyatçıların bir çoxu tərif sahəsinə diqqət yetirmədiyimizi fərq edəcəkdir. Qayda f (x) mütləq 0-dan çox olması, bu anı qaçırmadıq. İndi kanonik formanın başqa bir böyük üstünlüyü haqqında danışırıq.

Burada əlavə köklər olmayacaq. Dəyişən yalnız bir yerdə baş verərsə, tərif sahəsi zərurət deyil. Avtomatik olaraq aparılır. Bu qərarı əmin etmək üçün bir neçə sadə nümunəyə həll edin.

Fərqli əsaslarla logaritmik tənlikləri necə həll etmək olar

Bunlar artıq mürəkkəb logaritmik tənliklərdir və onların həllinə yanaşma xüsusi olmalıdır. Nadir hallarda bədnam kanonik forma alır. Ətraflı hekayəmizə başlayaq. Aşağıdakı dizaynımız var.

Fraksiyaya diqqət yetirin. Bunun bir loqarifmi var. Bunu tapşırığda görsəniz, bir maraqlı texnikanı xatırlamağa dəyər.

Bunun mənası nədi? Hər bir logaritm rahat bir baza olan xüsusi iki loqarifm kimi təmsil oluna bilər. Və bu formula bu nümunəyə tətbiq olunan xüsusi bir işə sahibdir (əgər varsa, c \u003d b).

Nümunəmizdə gördüyümüz belə bir hissədir. Bu minvalla.

Əslində, fraksiya üzərində çevrildi və daha rahat bir ifadə aldı. Bu alqoritmi xatırlayın!

İndi logaritmik tənliyin fərqli əsasları olmaması lazımdır. Fraqucens tərəfindən nümayəndəliyi.

Riyaziyyatda bazadan bir dərəcə verə biləcək bir qayda var. Aşağıdakı tikinti əldə edilir.

Görünür ki, indi onu həll etmək üçün indi canonik formada və ibtidai sinifdə ifadəmizi açmağa indi müdaxilə edir? O qədər də sadə deyil. Loqarifmdən əvvəl fraksiyalar olmamalıyıq. Bu vəziyyəti düzəldin! Hissənin dərəcədə dözməyə icazə verilir.

Müvafiq olaraq.

Əgər əsaslar eynidirsə, loqarifmləri silmək və ifadələri özləri düzəldə bilərik. Beləliklə, vəziyyət olduğundan çox asan olacaq. İbtidai tənlik, hər birimizin 8 və ya hətta 7-ci sinifdə necə qərar verəcəyimizi bilirik. Özünüzü istehsal edə biləcəyiniz hesablamalar.

Bu logaritmik tənliyin yeganə əsl kökünü aldıq. Loqaritmik tənliyin həllinin nümunələri olduqca sadədir, elə deyilmi? İndi və istifadənin hazırlanması və çatdırılması üçün ən çətin vəzifələri də başa düşməyiniz üçün özünüzü başa düşəcəksiniz.

Nəticə nədir?

Hər hansı bir loqaritmik tənliklərin vəziyyətində bir çox vacib qayda olaraq davam edirik. İfadəni ən sadə zehninə aparan kimi hərəkət etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə, sadəcə tapşırığı düzgün həll etməmək üçün daha çox şansınız olacaq, eyni zamanda ən sadə və məntiqli bir yol təqdim edir. Riyaziyyat həmişə hərəkət edir.

Xüsusilə bu vəziyyətdə mürəkkəb yollar axtarmağı tövsiyə edirik. Hər hansı bir ifadəni dəyişdirməyə imkan verən bir neçə sadə qaydaları xatırlayın. Məsələn, bir bazaya iki və ya üç loqarifm gətirin və ya yerdən bir dərəcə çəkin və üzərində qazanın.

Həm də xatırlamağa dəyər, logaritmik tənliklərin həllində daim məşq etmək lazımdır. Tədricən, daha çox mürəkkəb dizaynlara davam edəcəksiniz və bu, istifadə üçün bütün vəzifələrin inamlı bir həllinə aparacaqdır. Əvvəlcədən imtahanlara hazır olun və sizə uğurlar!

Bu gün ilkin dəyişikliklərin və köklərin seçilməsinin tələb olunmadığı ən sadə logaritmik tənlikləri həll etməyi öyrənəcəyik. Ancaq bu cür tənlikləri necə həll edəcəyinizi öyrənsəniz, o zaman daha asan olacaq.

Ən sadə logaritmik tənlik, A, B nömrələri (A\u003e 0, A ≠ 1), f (x), burada (X) olan bir f (x) olan bir f (x) \u003d b tipinin tənliyidir.

Bütün logaritmik tənliklərin fərqli bir xüsusiyyəti, loqarifmin işarəsi altında dəyişən bir xın olmasıdır. Əvvəlcə tənlik problemdə verilirsə, bu, ən sadə deyilir. Hər hansı digər logaritmik tənliklər xüsusi dəyişikliklər ilə ən sadə şəkildə azalır ("Əsas logarithm xüsusiyyətlərinə baxın"). Bununla birlikdə, çoxsaylı incəlikləri nəzərə almaq lazımdır: lazımsız köklər baş verə bilər, buna görə mürəkkəb logaritmik tənliklər ayrıca baxılacaqdır.

Belə tənlikləri necə həll etmək olar? Bərabərlik işarəsi, sol kimi eyni əsasda olan loqarifliyin sağındakı sayını əvəz etmək kifayətdir. Sonra logaritm işarəsindən qurtula bilərsiniz. Alırıq:

giriş A f (x) \u003d b ⇒ Giriş A f (x) \u003d A log a b ⇒ f (x) \u003d a b

Adi tənliyi aldı. Kökləri orijinal tənliyin kökləridir.

Dərəcə çəkmək

Tez-tez açıq və təhdid edən logaritmik tənliklər mürəkkəb düsturları cəlb etmədən sanki bir neçə sətirdə həll olunur. Bu gün sizin üçün tələb olunan hər şeyin, loqarifmlərin tərifi sahəsini axtararkən, keronik forma üçün düsturu yumşaq bir şəkildə azaltmaq və qarışıq olmamaqdır.

Bu gün, onsuz da adından təxmin etdiyiniz kimi, keçid düsturlarında logaritmik tənlikləri kanonik formaya qədər həll edəcəyik. Bu videonun əsas "çipi" dərəcələri və daha doğrusu, baza və mübahisədən bir dərəcə hazırlayacaqdır. Qaydanı nəzərdən keçirək:

Eynilə, Fonddan bir dərəcə verə bilərsiniz:

Gördüyünüz kimi, sadəcə logarithm arqumentindən görünsəniz, sadəcə qarşısında görünür, sonra bazadan dərəcəsi yalnız bir çarpan, lakin tərs bir çarpan deyil. Xatırlamaq lazımdır.

Nəhayət, ən maraqlısı. Bu düsturlar birləşdirilə bilər, sonra əldə edəcəyik:

Əlbəttə ki, məlumat keçidlərini yerinə yetirərkən müəyyən bir sahənin mümkün genişləndirilməsi və ya əksinə tərif sahəsinin daralması ilə əlaqəli müəyyən sualtı daşlar var. Özünüz üçün Hakim:

giriş 3 x 2 \u003d 2 ∙ Giriş 3 x

Birinci halda, 0-dan fərqli olan hər hansı bir nömrə, I.E., x kimi dayana bilər, sonra ikinci halda yalnız x, yalnız bərabər olmayan və 0-dan çox olan, çünki logarithm tərifi sahəsi Bu, mübahisənin 0.-dən çox olmasıdır, buna görə də 8-9 sinif cəbri kursundan sizə gözəl bir düsturu xatırladacağam:

Yəni düsturumuzu aşağıdakı kimi yazmalıyıq:

giriş 3 x 2 \u003d 2 ∙ Giriş 3 | X |

Sonra tərif sahəsinin daralması baş verməyəcək.

Ancaq bugünkü video təlimatında meydanlar yoxdur. Tapşırıqlarımıza baxsanız, yalnız kökləri görəcəksiniz. Nəticə etibarı ilə bu qaydanı tətbiq etməyəcəyik, amma hələ də başımda saxlamaq lazımdır ki, doğru anda, mübahisədə kvadratik funksiyanı görəndə bu qaydanı xatırlayırsınız və bütün dəyişiklikləri yerinə yetirirsiniz düzgün.

Beləliklə, birinci tənlik:

Belə bir işi həll etmək üçün bu formulada mövcud olan terminlərin hər birinə diqqətlə baxmağı təklif edirəm.

İlk termini rasional göstərici ilə bir dərəcədə yenidən yazaq:

İkinci müddətə baxırıq: Giriş 3 (1 - X). Burada bir şey etmək lazım deyil, hər şey artıq burada çevrilir.

Nəhayət, 0, 5. Əvvəlki dərslərdə dediyim kimi, logaritmik tənliklər və düsturlar həll edərkən onluq fraksiyalardan normala keçməyi çox tövsiyə edirəm. Gəl edək:

0,5 = 5/10 = 1/2

Əldə edilən şərtləri nəzərə alaraq orijinal düsturumuzu yenidən yazırıq:

giriş 3 (1 - X) \u003d 1

İndi kanonik formaya keçin:

giriş 3 (1 - X) \u003d log 3 3

Arqumentləri bərabərləşdirən logaritm əlaməti ilə qurtulun:

1 - x \u003d 3

-X \u003d 2.

x \u003d -2.

Hamısı, tənliyi həll etdik. Bununla birlikdə, tərif sahəsini yaxşılaşdırıb tapaq. Bunu etmək üçün, orijinal formulaya qayıdın və baxın:

1 - X\u003e 0

-X\u003e -1

x.< 1

Kök x \u003d -2 bu tələbi qane edir, buna görə x \u003d -2 orijinal tənliyin bir həllidir. İndi ciddi bir aydın bir əsas götürdük. Hamısı, vəzifə həll olunur.

İkinci vəzifəyə keçin:

Hər biri ilə ayrı-ayrılıqla məşğul olaq.

Birincisini yazırıq:

İlk termini dəyişdirdik. İkinci müddətlə işləyirik:

Nəhayət, bərabərlik əlaməti ilə dayanan son müddət:

Yaranan düsturda komponentlərin əvəzinə alınan ifadələri əvəz edirik:

giriş 3 x \u003d 1

Canonik formaya getmək:

giriş 3 x \u003d log 3 3

Arqumentləri bərabərləşdirərək logaritm işarəsindən qurtulun və biz əldə edirik:

x \u003d 3.

Yenə də, işlə, orijinal tənliyə qayıdır və baxın. Mənbə formulunda, dəyişən x yalnız mübahisədədir, buna görə də

x\u003e 0.

İkinci loqarifmdə, bu, yenidən mübahisədə dayanır, buna görə də kök 0-dan çox olmalıdır, yəni bəslənmə ifadəsi 0-dan çox olmalıdır. Bu tələbi qane edir. Nəticə etibarilə, X \u003d 3 orijinal logaritmik tənliyin bir həllidir. Hamısı, vəzifə həll olunur.

Bugünkü video təlimatındakı əsas anlar iki:

1) Loqarifmləri dəyişdirməkdən qorxma və xüsusən də, əsas formulumuzu xatırlayarkən, logaritm işarəsi üçün dərəcələrə dözməkdən qorxma: mübahisədən bir dərəcə verərkən, sadəcə bir çarpan kimi dəyişdirilmir və Baza dərəcəsi dərəcəsi olduqda, bu dərəcə çevrilir.

2) İkinci nöqtə kanonik formada əlaqələndirilir. Canonik formaya keçid, logaritmik tənliyin formulunun dönüşünün sonunda həyata keçirilmişdir. İcazə verin, aşağıdakı düsturu xatırladım:

a \u003d log b b a

Əlbətdə ki, "istənilən nömrə" ifadəsi altında, logaritm əsasında tətbiq olunan tələblərə cavab verən bu nömrələri nəzərdə tutur, yəni

1 ≠ b\u003e 0

Beləliklə, B belə B və Fondumuzun artıq məlum olduğu üçün bu tələb avtomatik olaraq icra ediləcəkdir. Ancaq belə b - bu tələbi təmin edən hər hansı bir bu keçid həyata keçirilə bilər və logaritm işarəsindən qurtula biləcəyiniz bir kanonik bir formaya sahib olacağıq.

Tərif və əlavə köklərin sahəsinin genişlənməsi

Loqarifmik tənliklərin çevrilməsi prosesində tərif sahəsinin gizli bir genişlənməsi baş verə bilər. Çox vaxt tələbələr səhvlərə və yanlış cavablara səbəb olan bunu belə görmürlər.

Ən sadə quruluşlardan başlayaq. Ən sadə logaritmik tənlik aşağıdakılardır:

a f (x) \u003d b daxil olun

DİQQƏT: X yalnız bir logaritmin bir dəlilində mövcuddur. Belə tənlikləri necə həll edirik? Bir kanonik bir forma istifadə edirik. Bunu etmək üçün B \u003d A-dan bir B nömrəsini təqdim edirik və tənliyimiz aşağıdakı formada geri qaytarır:

a f (x) \u003d a b log log

Bu giriş kanonik forma adlanır. Bu, təkcə bugünkü dərsdə deyil, hər hansı bir müstəqil və test işində də görüşdüyünüz hər hansı bir lirminli tənlik onun üçündür.

Canonik formaya necə gəlmək olar, istifadə üçün hansı üsullar artıq təcrübə məsələsidir. Əsas odur ki, başa düşməkdir: belə bir rekord alan kimi, tapşırığın həll olunduğunu güman edə bilərik. Çünki növbəti addım giriş olacaq:

f (x) \u003d a b

Başqa sözlə, loqarifmənin işarəsindən qurtulur və sadəcə arqumentləri bərabərləşdiririk.

Bütün bu söhbət nədir? Fakt budur ki, kanonik formada yalnız ən sadə vəzifələrə deyil, digərlərinə də aiddir. Xüsusilə və bu gün qərar verəcəyimizlərə. Görək.

İlk tapşırıq:

Bu tənliyin problemi nədir? Funksiyanın dərhal iki loqarifmada dayanması faktı. Vəzifə yalnız digərindən bir loqarifmdən çıxartmaq ən sadə qədər azaldıla bilər. Ancaq tərif sahəsi ilə bağlı problemlər var: əlavə köklər baş verə bilər. Beləliklə, loqarifmlərdən birini sağa köçürək:

Bu belə bir rekord artıq bir kanonik formaya bənzəyir. Ancaq başqa bir nüans var: kanonik formada arqumentlər eyni olmalıdır. 3-cü altındakı və sağda - 1/3-cü əsasında bir logaritm var. Bilirsən, bu səbəbləri eyni sayda gətirməlisən. Məsələn, mənfi dərəcələrin nə olduğunu xatırlayaq:

Və sonra girişdən kənarda "-1" göstəricisindən istifadə edəcəyik:

Xahiş edirik unutmayın: bazada dayanan dərəcə çevrilir və bir hissəyə çevrilir. Demək olar ki, kanonik bir rekord aldıq, fərqli səbəblərdən qurtulur, ancaq bunun müqabilində "-1" çarpanını sağa aldı. Bunu bir dərəcəyə çevirərək mübahisədə bu çarxı edək:

Əlbəttə ki, bir kanonik bir forma alaraq, logarifmənin işarəsini cəsarətlə keçir və arqumentləri bərabərləşdiririk. Eyni zamanda, "-1" dərəcəsinə tikildikdə, fraksiya sadəcə çevrilir - nisbət əldə edilir.

Nisbor və dəyişkən çarpaz yolun əsas xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:

(x - 4) (2x - 1) \u003d (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - X - 8x + 4 \u003d 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 \u003d 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 \u003d 0

Verilən bir kvadrat tənliyimiz var, buna görə bunu Vietanın düsturlarının köməyi ilə həll edirik:

(x - 8) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 8; x 2 \u003d 2

Hamısı budur. Sizcə tənlik qərara alınır? Vəhşi! Belə bir qərar üçün 0 xal qazanırıq, çünki mənbə tənliyində x dəyişəndən iki loqaritə malikdir. Buna görə tərif sahəsini nəzərə almaq tələb olunur.

Və burada əyləncəyə başlayır. Tələbələrin əksəriyyəti qarışıqdır: logaritm tərifinin sahəsi nədir? Əlbətdə ki, bütün arqumentlər (iki var) daha sıfır olmalıdır:

(x - 4) / (3x - 4)\u003e 0

(x - 5) / (2x - 1)\u003e 0

Bu bərabərsizlərin hər birinin həll edilməsi, düz bir xətt üzərində işarələnməlidir, çarpaz və yalnız bundan sonra kəsişmənin nə olduğunu gör.

Düzünü deyəcəyəm: bu texnikanın mövcud olmaq hüququ var, etibarlıdır və düzgün cavab alacaqsınız, ancaq lazımsız hərəkətləri çoxdur. Beləliklə, bir daha həllimizi keçib baxın: Tərif sahəsini tətbiq etmək üçün dəqiq harada lazımdır? Başqa sözlə, əlavə köklərin nə vaxt olacağını başa düşmək lazımdır.

1. Əvvəlcə iki loqarifmimiz var idi. Sonra onlardan birini sağa köçürdük, ancaq tərif sahəsinə təsir etmədi.
2. Sonra təməldən bir dərəcə dözürük, amma logarifmlər hələ də iki qalır və hər birində dəyişən x var.
3. Nəhayət, giriş əlamətlərini keçib klassik fraksiya rasional tənliyini əldə edirik.

Tərif sahəsinin genişləndirildiyi son bir addımdadır! Bir fraksiya rasional tənliyinə keçdikdən sonra, giriş əlamətlərindən qurtulmaq, dəyişən x üçün tələblər kəskin şəkildə dəyişdirildi!

Nəticə etibarilə, qərarın başlanğıcında tərif sahəsi nəzərdən keçirilə bilməz, ancaq qeyd olunan addımda - arqumentləri birbaşa bərabərləşdirmədən əvvəl.

Optimallaşdırmaq fürsəti də var. Bir tərəfdən, hər iki mübahisənin daha sıfır olmasını tələb edirik. Digər tərəfdən - sonra bu dəlilləri bərabərləşdiririk. Nəticə etibarilə ən azı bir və onlar müsbətdirsə, ikincisi də müsbət olacaq!

Beləliklə, bir anda iki bərabərsizliyin yerinə yetirilməsini tələb edən bir şeyin artıq olduğu ortaya çıxır. Bu fraksiyalardan yalnız birini nəzərdən keçirmək kifayətdir. Hansı? Bu daha asandır. Məsələn, onu düzgün fraksiya ilə anlayaq:

(x - 5) / (2x - 1)\u003e 0

Bu tipik bir fraksiya rasional bərabərsiz bir bərabərsizlikdir, interval ilə həll edin:

İşarələri necə təşkil etmək olar? Nömrəni, hamısından çox kökümüzdən çoxunu götürün. Məsələn, 1 milyard və biz onu fraksiyanı əvəz edirik. Müsbət bir nömrə alırıq, I.E. Kökün sağında x \u003d 5 "Plus" işarəsi olacaq.

Sonra işarələr alternativdir, çünki hətta çoxluğun köklərinin kökləri yoxdur. Funksiyanın müsbət olduğu fasilələrlə maraqlanırıq. Nəticə etibarilə, x ∈ (-∞; -1/2) ∪ (5; + ∞).

İndi cavabları xatırlayıram: x \u003d 8 və x \u003d 2. Qəribə danışan, bu hələ cavab deyil, yalnız cavab üçün namizədlər. Hansı müəyyən edilmiş dəstə aiddir? Əlbəttə ki, X \u003d 8. Amma x \u003d 2 tərif sahəsində bizə yaraşmaz.

İlk logaritmik tənliyinə ümumi cavab X \u003d 8. İndi tərif sahəsinə əsaslanan bir səlahiyyətli, ağlabatan bir həll aldıq.

İkinci tənliyə gedin:

giriş 5 (X - 9) \u003d Giriş 0.5 4 - Giriş 5 (X - 5) + 3

Xatırladıram ki, tənliyin onluğa bir fraksiyası varsa, bundan yaxa qurtarmaq lazımdır. Başqa sözlə, adi bir fraksiya olaraq 0.5 yenidən yazın. Dərhal bu bazanı ehtiva edən logaritmin asanlıqla nəzərdən keçirildiyini görürük:

Bu çox vacib məqamdır! Yerdə olanda və mübahisənin qiymət dərəcələrində bu dərəcələrin göstəricilərini formula görə edə bilərik:

İlkin logaritmik tənliyimizə qayıdırıq və yenidən yazırıq:

giriş 5 (X - 9) \u003d 1 - Giriş 5 (X - 5)

Bir dizayn, kanonik formaya yaxın bir dizayn aldı. Ancaq bərabərlik əlaməti hüququna "mənfi" şərtləri və işarəsi ilə utanırıq. Bir bölməni 5-ə əsaslanan bir logaritm kimi təsəvvür edək:

giriş 5 (X - 9) \u003d log 5 5 1 - Giriş 5 (X - 5)

Sağdakı loqarifmələrə abunə olun (arqumentləri bölündüyü halda):

giriş 5 (X - 9) \u003d Giriş 5 5 / (X - 5)

Mükəmməl. Beləliklə, bir kanonik bir forma aldıq! Döşəmə işarələri arqumentləri bərabərləşdirir:

(x - 9) / 1 \u003d 5 / (x - 5)

Bu, çarpazlığın vurma ilə asanlıqla həll olunan bir nisbətdir:

(x - 9) (x - 5) \u003d 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 \u003d 5

x 2 - 14x + 40 \u003d 0

Aydındır ki, Azaldılmış kvadrat tənliyik var. Vyeta düsturlarının köməyi ilə asanlıqla həll olunur:

(x - 10) (x - 4) \u003d 0

x 1 \u003d 10

x 2 \u003d 4

İki kök aldıq. Lakin bunlar son cavab deyil, yalnız namizədlərdir, çünki logaritmik tənliyi tərif sahəsini də yoxlayır.

Xatırladıram: Nə vaxt axtarmayın hər kəs Arqumentlərdən daha sıfır olacaq. Bir dəlilin - ya x - 9, ya da 5 / (x - 5) - sıfırdan çox olmasını tələb etmək kifayətdir. İlk mübahisəni nəzərdən keçirin:

x - 9\u003e 0

x\u003e 9.

Aydındır ki, bu tələb yalnız x \u003d 10-u qane edir. Bu son cavabdır. Bütün tapşırıq həll olunur.

Bir daha bugünkü dərs haqqında düşüncələr

1. Dəyişən x bir neçə loqarifmada göründüyü kimi, tənlik ibtidai olmağı dayandırır və tərif sahəsi nəzərə alınmalıdır. Əks təqdirdə əlavə kökləri asanlıqla yaza bilərsiniz.
2. Tərifin ən yüksək sahəsi ilə işləmək, bərabərsizliyin dərhal olmadığı təqdirdə, ancaq qeyd əlamətlərindən qurtulduğumuz anda asanlaşdırmaq asandır. Axı, arqumentlər bir-birinə bərabər olduqda, onlardan yalnız birinin daha sıfır olduğunu tələb etmək kifayətdir.

Əlbəttə ki, özümüzün qeyri-bərabərlik etməsi üçün özümüzü seçdik, buna görə ən asan seçmək üçün məntiqlidir. Məsələn, ikinci tənliyində, fraksiya ilə rasional bir arqumentdən fərqli olaraq, bir mübahisə (x - 9) -in xətti funksiyanı seçdik. Razılaşın, bərabərsizliyi həll edin X - 9\u003e 0 5 / (x - 5)\u003e 0-dan çox sadədir. Nəticə eyni olsa da.

Bu qeyd, OTZ üçün axtarışları əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırır, amma diqqətli olun: mübahisələr olduqda yalnız iki hal yerinə bir bərabərsizliyi istifadə edin bir-birinə bərabərdir!

Əlbəttə ki, kimsə soruşacaq: Fərqli nə olur? Bəli, bəzən. Məsələn, addımlarda, dəyişən olan iki arqumenti çevirdikdə, əlavə köklərin meydana gəlməsi təhlükəsi qoyulur.

Özünüz üçün hakim: Əvvəlcə arqumentlərin hər birinin daha sıfır olması tələb olunur, lakin işlərini daha sıfır etmək üçün kifayət qədər çoxaldıqdan sonra. Nəticədə, bu, bu rənglərin hər biri mənfi olduqda dava diqqətdən kənarda qalır.

Buna görə, yalnız mürəkkəb logaritmik tənliklərlə məşğul olmağa başlamısınızsa, heç bir halda dəyişən x-ni ehtiva edən loqarifmləri qoymadı - çox vaxt əlavə köklərin meydana gəlməsinə səbəb olacaqdır. Bir əlavə addım daha yaxşı, bir müddəti başqa bir şəkildə başqa bir şəkildə köçürün.

Yaxşı, necə davranmaq olar? Bu cür loqarifmləri çoxaltmadan edə bilmirsinizsə, növbəti video dərsində müzakirə edəcəyik. :)

Tənliyin dərəcələri haqqında bir daha

Bu gün biz logaritmik tənliklər, daha doğrusu, arqumentlərdən və logarifmlərin əsasları olan dərəcələri dərəcəsi ilə bağlı olduqca sürüşkən bir mövzu təhlil edəcəyik.

Hətta deyərdim ki, hətta dərəcələri də düzəltməklə bağlı olacaq, çünki bu, ən çox çətinliklərdən ibarətdir və həqiqi logaritmik tənliklərin həlli ilə də dərəcədir.

Canonik forma ilə başlayaq. Tutaq ki, tip log a f (x) \u003d b. Bu vəziyyətdə b formula b \u003d A-dan bir B-ni qeydiyyatdan keçdik. Aşağıdakılar ortaya çıxır:

a f (x) \u003d a b log log

Sonra arqumentləri bərabərləşdiririk:

f (x) \u003d a b

Canonik formanı penultimate formulu adlanır. Bu, hər hansı bir logaritmik tənliyin ilk baxışdan nə qədər çətin və dəhşətli göründüyünü azaltmağa çalışdığı üçündür.

Burada cəhd edək və cəhd edək. İlk tapşırıqdan başlayaq:

İlkin qeyd: Dediyim kimi, logaritmik tənliyindəki bütün onluq fraksiyalar onu adi hala gətirmək daha yaxşıdır:

0,5 = 5/10 = 1/2

Bu faktla tənliyimizi yenidən yazaq. Qeyd edək ki, 1/1000 və 100 onlarla, sonra hər yerdə, arqumentlərdən və hətta logarifmlərin qurulmasından hətta dərəcəni çıxarın.

Və burada bir çox şagird bir sualınız var: "Modul sağdan necə gəldi?" Həqiqətən, niyə sadəcə yazmırsınız (x - 1)? Əlbəttə ki, indi (x - 1) yazacağıq, ancaq bu cür giriş hüququ bizə tərif sahəsi üçün mühasibat uçotu verir. Axı, başqa bir logaritmdə, artıq (x - 1) və bu ifadə sıfırdan çox olmalıdır.

Lakin loqarifmin əsasından meydandan dözdükdə, modulu bazada tərk etməliyik. Niyə izah edəcəyəm.

Fakt budur ki, riyaziyyat baxımından, dərəcəsi kökün çıxarılmasına bərabərdir. Xüsusilə, meydandan (x - 1) 2-dən (x - 1) 2-dən hazırlandıqda, ikinci dərəcəli kökünü çıxarırıq. Ancaq meydanın kökü bir moduldan başqa bir şey deyil. Tam modulÇünki x - 1 ifadəsi mənfi olsa belə, "mənfi" meydanda "mənfi" nə vaxt qurulduğu təqdirdə, hələ də yanacaq. Kökün daha da çıxarılması bizə müsbət bir nömrə verəcəkdir - heç bir mənfi olmayan.

Ümumiyyətlə, təhqiramiz səhvlərin qarşısını almaq üçün, birdəfəlik yad olun:

Eyni dərəcədə qurulmuş hər hansı bir funksiyadan bərabər dərəcədə bir kök kökü funksiyanın özü və modulu ilə bərabər deyildir:

Logaritmik tənliyimizə qayıdın. Modul haqqında danışarkən, onu ağrısız şəkildə aradan qaldıra biləcəyimizi müdafiə etdim. Bu doğrudur. İndi bunun səbəbini izah edəcəyəm. Ciddi danışan, iki variantı nəzərdən keçirməyə borclu olduq:

1. x - 1\u003e 0 ⇒ | X - 1 | \u003d X - 1
2. x - 1.< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Bu seçimlərin hər biri həll edilməlidir. Ancaq bir snag var: Mənbə formulunda artıq bir modul olmadan artıq bir funksiya (x - 1) var. Loqarifmlərin tərifi sahəsində izlədikdən sonra dərhal X - 1\u003e 0 yazmaq hüququmuz var.

Bu tələb bütün modullardan və həll zamanı etdiyimiz digər dəyişikliklərdən asılı olmayaraq həyata keçirilməlidir. Nəticə etibarilə ikinci seçim mənasız hesab olunur - bu heç vaxt yaranmayacaqdır. Bu bərabərsizliyi bu filialını həll edərsə, bəzi nömrələr alacağıq, yenə də son cavaba daxil olmayacaqlar.

İndi biz sözün həqiqi mənasında logaritmik tənliyin kanonik formasından bir addımdır. Bölməni aşağıdakı formada təsəvvür edək:

1 \u003d Giriş X - 1 (X - 1) 1

Bundan əlavə, mübahisədə sağ tərəfdə dayanan bir çoxluq -4-ni düzəldəcəyik:

giriş X - 1 10 -4 \u003d Giriş X - 1 (X - 1)

Logaritmik tənliyin kanonik formasına sahibik. Logaritm işarəsindən qurtulun:

10-4 \u003d X - 1

Ancaq bazada bir funksiya var idi (və sadə bir nömrə deyil), əlavə olaraq bu funksiyanı sıfırdan çox və birinə bərabər deyildir. Sistem olacaq:

X - 1\u003e 0 avtomatik olaraq həyata keçirildiyi üçün (bütün x - 1 \u003d 10 -4), bərabərsizliklərdən biri sistemimizdən silinə bilər. İkinci şərt də silmək olar, çünki x - 1 \u003d 0.0001< 1. Итого получаем:

x \u003d 1 + 0.0001 \u003d 1.0001

Bu, avtomatik olaraq logarithm tərifi sahəsinin bütün tələblərinə cavab verən yeganə kökdür (lakin bütün tələblər, vəzifəmizin şərtləri açıq şəkildə yerinə yetirildiyi kimi atıldı).

Beləliklə, ikinci tənlik:

3 log 3 x x \u003d 2 log 9 x x 2

Bu tənlik yalnız əvvəlkindən necə fərqlidir? Onsuz da heç olmasa, çünki logarifmlərin təməlləri - 3 və 9x bir-birinin təbii dərəcəsi deyil. Nəticə etibarilə, əvvəlki həlldə istifadə etdiyimiz keçid mümkün deyil.

Gəlin hətta dərəcə qurtaraq. Bizim vəziyyətimizdə yeganə dərəcəsi ikinci dəlildədir:

3 Giriş 3 X X \u003d 2 ∙ 2 Giriş 9 x | x | x | x | x |

Bununla birlikdə, modulun işarəsi çıxarıla bilər, çünki dəyişən x bazada da dayanır, I.E. X\u003e 0 ⇒ | x | \u003d x. Logaritmik tənliyimizi yenidən yazaq:

3 log 3 x x \u003d 4 log 9 x x

Eyni arqumentlərin, lakin fərqli əsaslar olan logarifmlər aldıq. Bundan sonra nə etməli? Burada bir çox variant var, ancaq ən məntiqli olanlardan yalnız ikisini düşünəcəyik və ən əsası əksər tələbələr üçün sürətli və başa düşülən üsullardır.

Artıq ilk seçimi nəzərdən keçirdik: hər hansı bir anlaşılmaz vəziyyətdə, logarifmləri bir növün daimi bazaya dəyişən bir əsasla tərcümə edirik. Məsələn, iki dəfə. Keçid düsturu sadədir:

Əlbəttə ki, dəyişən r rolunda normal bir nömrə olmalıdır: 1 ≠ c\u003e 0. Kayimimizdə C \u003d 2. İndi adi fraksiya rasional tənliyimiz var. Bütün elementləri soldakı toplayırıq:

Aydındır ki, log 2 x çarpan dözmək daha yaxşıdır, çünki bu, birinci və ikinci hissədə mövcuddur.

giriş 2 X \u003d 0;

3 log 2 9x \u003d 4 log 2 3x

Hər bir logı iki terminlə vururuq:

log 2 9x \u003d log 2 9 + log 2 x \u003d 2 log 2 3 + log 2 x;

giriş 2 3x \u003d log 2 3 + log 2 x

Bu faktları nəzərə alaraq hər iki bərabərlik hissəsini yenidən yazırıq:

3 (2 log 2 3 + log 2 x) \u003d 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 Giriş 2 3 + 3 Giriş 2 X \u003d 4 Giriş 2 3 + 4 Giriş 2 X

2 log 2 3 \u003d log 2 x

İndi loqarifliyin işarəsi altında bir deuce etmək qalır (bir dərəyə çevriləcək: 3 2 \u003d 9):

log 2 9 \u003d log 2 x

Bizdən əvvəl klassik bir kanonik bir forma, logaritm işarəsindən qurtulun və alın:

Güman edildiyi kimi, bu kök daha sıfır oldu. Tərif sahəsini yoxlamaq qalır. Gerəklərə baxaq:

Ancaq kök x \u003d 9 bu tələbləri təmin edir. Nəticə etibarilə son qərardır.

Bu həlldən gələn nəticə sadədir: uzun hesablamalardan qorxma! Sadəcə başlanğıcda, təsadüfi olaraq yeni bir baza seçdik - və prosesi xeyli çətinləşdirdi.

Ancaq sonra sual yaranır: hansı səbəbdir optimal? Bu barədə ikinci şəkildə danışacağam.

Gəlin mənbə tənliyinə qayıdaq:

3 Giriş 3x X \u003d 2 Giriş 9x X 2

3 Giriş 3x X \u003d 2 ∙ 2 Giriş 9x | x | x | x |

x\u003e 0 ⇒ | x | \u003d H.

3 log 3 x x \u003d 4 log 9 x x

İndi bir az düşünürük: Hansı nömrə və ya funksiya optimal baza olacaq? Aydındır ki, ən yaxşı seçim C \u003d X olacaq - arqumentlərdə artıq nə var. Bu vəziyyətdə, formula giriş a b \u003d log c b / log c a forma alacaq:

Başqa sözlə, ifadə sadəcə çevrilir. Bu vəziyyətdə mübahisə və baza yerlərdə dəyişir.

Bu düstur çox faydalıdır və mürəkkəb logaritmik tənliklərin həllində çox tez-tez istifadə olunur. Ancaq bu düsturdan istifadə edərkən bir çox ciddi sualtı daş meydana gəlir. Vəqfin əvəzinə dəyişən x əvəz etsək, onda əvvəllər müşahidə olunmayan məhdudiyyətlər qoyulur:

İlkin tənlikdə belə bir məhdudiyyət yox idi. Buna görə x \u003d 1. Bu dəyəri tənliyimizdə əvəz edən işi ayrıca yoxlamaq lazımdır:

3 log 3 1 \u003d 4 log 9 1

Sadiq ədədi bərabərliyi alırıq. Nəticə etibarilə, x \u003d 1 kökdür. Qərarın əvvəlində əvvəlki metodda eyni kökü tapdıq.

İndi bu xüsusi işi ayrıca hesabladığımız zaman, bu x ≠ 1. Sonra logaritmik tənliyi aşağıdakı formada yenidən yazdığımıza inanırıq:

3 log x 9x \u003d 4 log x 3x

Əvvəlki kimi eyni düsturda həm loqarifmini əldə edin. Bu vəziyyətdə qeyd x x \u003d 1 olduğunu qeyd edirik:

3 (log x 9 + log x x) \u003d 4 (log x 3 + log x x)

3 Giriş X 9 + 3 \u003d 4 Giriş X 3 + 4

3 Giriş X 3 2 - 4 Giriş X 3 \u003d 4 - 3

2 Giriş X 3 \u003d 1

Beləliklə, canonik formaya gəldik:

log x 9 \u003d log x x 1

x \u003d 9.

İkinci kökü aldı. X ≠ 1. tələbatı qane edir, nəticədə x \u003d 1 ilə x \u003d 1-in son cavabdır.

Gördüyünüz kimi, hesablamanın həcmi bir qədər azalır. Ancaq həqiqi bir logaritmik tənliyi həll edərkən hərəkətlərin sayı daha az olacaq və hər addımı ətraflı şəkildə rəngləmək tələb olunmadığınız üçün.

Bugünkü dərsin əsas qaydası aşağıdakı kimidir: Əgər bu, eyni dərəcədə kökün kökündən hətta hətta motivi çıxarılandırsa, ondan ibarətdir. Ancaq logarifmlər sahəsinə diqqət yetirsəniz bu modul çıxarıla bilər.

Ancaq diqqətli olun: bu dərsdən sonra tələbələrin əksəriyyəti hər şeyin onlara aydın olduğuna inanır. Ancaq həqiqi tapşırıqları həll edərkən, bütün məntiqi zənciri çoxaldıra bilmirlər. Nəticədə tənlik son dərəcə köklüdür və cavab səhvdir.

Təlimat

Verilmiş logaritmik ifadəni yazın. Loqaritm 10 ifadədə istifadə olunursa, onun qeydləri qısaldılır və bu kimi görünür: LG B onlu bir logaritmdir. Loqarifmin baza şəklində e nömrəsi varsa, ifadə yazılır: LN B təbii bir logaritmdir. B.-nın nömrəsini əldə etmək üçün təməllərin sayının nəticəsi olan hər hansı bir dərəcə nəticəsi olduğu başa düşülür.

İki funksiyanın cəmindən iki funksiya olduqda, onları əvvəlcədən görmək üçün sadəcə lazımdır və nəticələr qatlanmışdır: (U + V) "\u003d U" + V ";

İki funksiyanın məhsulunun törəməsi, birinci funksiyadan bir törəmə bir törəmə saniyəyə çoxaltmaq və ilk funksiyadan çoxaldıcı funksiyanın törəməsi əlavə etməkdir: (U * v) "\u003d U" * V + V "* u;

Şəxsi iki funksiyanın törəməsini tapmaq üçün, bölücü bölgüsünün törəməsinin məhsulunu bölündürməçinin məhsulu ilə çıxmaq, bölündürücü funksiyasının məhsulu ilə çoxaldı və Bütün bunlar meydanda ucaldılmış bölücü funksiyasına bölünür. (U / v) "\u003d (U" * V-V "* U) / V ^ 2;

Kompleks bir funksiya verilmişdirsə, törəməni daxili funksiyadan və xarici birinin törəməsindən çoxaltmaq lazımdır. Y \u003d u (v (x)), sonra Y "(x) \u003d Y" (U) * v "(x).

Yuxarıda göstərilənlərdən istifadə edərək, hər hansı bir funksiyanı birbaşa laqeyd edə bilərsiniz. Beləliklə, bir neçə nümunəni nəzərdən keçirin:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2) + * x)));
Nöqtədə törəməni hesablamaq üçün də tapşırıqlar var. Qoy Y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) funksiyası verilsin, funksiyanın dəyərini X \u003d 1 nöqtəsində tapmalısınız.
1) törəmə funksiyasını tapın: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) müəyyən bir nöqtədə funksiyanın dəyərini hesablayın y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Mövzu ilə bağlı video

Faydalı məsləhət

İbtidai törəmələrin cədvəlini öyrənin. Bu nəzərəçarpacaq dərəcədə vaxta qənaət edəcəkdir.

Mənbələr:

• giriş Konstanta

Beləliklə, rasionaldan irrasional tənlik necədir? Naməlum bir dəyişən bir kvadrat kökün bir əlaməti altındadırsa, tənlik irrasional hesab olunur.

Təlimat

Belə tənlikləri həll etməyin əsas üsulu hər iki hissənin qurulması üsuludur tənliklər bir meydanda. Lakin. Bu təbii, işarədən qurtulmaq üçün ilk şeydir. Texniki cəhətdən bu üsul mürəkkəb deyil, bəzən çətinliyə səbəb ola bilər. Məsələn, v (2x-5) \u003d v (4x-7) bərabərliyi. Hər iki tərəfi meydanda quraraq, 2x-5 \u003d 4x-7 alacaqsınız. Belə bir tənlik həll etmək çətin olmayacaq; x \u003d 1. Ancaq 1 nömrəsi bu olmayacaq tənliklər. Niyə? Bölməni X-nin dəyəri əvəzinə tənliyə satmaq və sol hissədə mənası olmayan ifadələr ehtiva edir. Bu dəyər kvadrat kök üçün icazə verilmir. Buna görə 1, kənar bir kökdür və buna görə də bu tənliyin kökləri yoxdur.

Beləliklə, irrasional tənlik hər iki hissənin tikinti metodundan meydanda istifadə edərək həll olunur. Və tənliyin həlli, xarici kökləri kəsmək lazımdır. Bunu etmək üçün, orijinal tənlikdə tapılan kökləri əvəz edin.

Başqasını düşünün.
2x + vx-3 \u003d 0
Əlbəttə ki, bu tənlik əvvəlki ilə eyni şəkildə həll edilə bilər. Köçürmə tənliklərBir kvadrat kökü, sağ tərəfdə və daha sonra meydanda məşq metodundan istifadə etmir. Yaranan rasional tənlik və kökləri həll edin. Ancaq başqa, daha zərifdir. Yeni bir dəyişən daxil edin; Vx \u003d y. Müvafiq olaraq, 2Y2 + Y-3 \u003d 0 tənliyinin tənliyini alacaqsınız. Bu adi kvadrat tənliyidir. Kökləri tapın; Y1 \u003d 1 və Y2 \u003d -3 / 2. Sonra, iki qərar verin tənliklər Vx \u003d 1; Vx \u003d -3 / 2. Köklərin ikinci tənliyi yoxdur, ilkdən x \u003d 1 tapdığımızdan. Kökləri yoxlamaq ehtiyacını unutma.

Şəxsiyyətləri həll etmək asandır. Bunu etmək üçün hədəfə çatana qədər eyni dönüşümlər etməlisiniz. Beləliklə, sadə arifmetik hərəkətlərin köməyi ilə tapşırıq həll ediləcəkdir.

Sizə lazım olacaq

• - kağız;
• - qələm.

Təlimat

Bu cür dəyişikliklərin ən sadə hissəsi cəbrsiz birləşmənin (fərqin), meydanların fərqi, miqdarı (fərq), kub məbləği (fərq) kimi). Bundan əlavə, həmin şəxsiyyətləri olan bir çox və trigonometrik düsturlar var.

Həqiqətən, iki komponentin cəminin kvadratı birincisinin birincisinin birincisinin bükülmüş məhsuluna bərabərdir, ikincisinin meydanı, yəni (a + b) ^ 2 \u003d (a) + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Hər ikisini sadələşdirin

Həllin ümumi prinsipləri

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi üsulu

İkinci növ inteqralların həlli

İnteqrasiya həddlərini daxil etmək

Riyaziyyatda son sınaqlara hazırlıq vacib bir bölmə - "logarithms" daxildir. Bu mövzudan vəzifələr mütləq istifadədə tapılır. Ötən illərin təcrübəsi göstərir ki, logaritmik tənliklər bir çox məktəblilərdən çətinliklərə səbəb olur. Buna görə, düzgün cavabı necə tapacağını başa düşmək üçün və müxtəlif hazırlıq səviyyələri olan tələbələr onlarla birlikdə öhdəsindən gəlmək üçün operativ olmalıdır.

"Shkolkovo" təhsil portalından istifadə edərək sertifikat testini icarəyə verin!

Bir dövlət müayinəsinə hazırlaşarkən, liseylərin məzunları test tapşırıqlarının uğurlu həlli üçün ən tam və dəqiq məlumat verən etibarlı bir mənbədən tələb edir. Bununla birlikdə, dərslik həmişə əlində olmur və İnternetdə lazımi qaydalar və düsturlar üçün axtarış tez-tez vaxt tələb edir.

"Shkolkovo" təhsil portalı istənilən vaxt istənilən yerdə imtahana hazırlaşmağa imkan verir. Loqarifmlər haqqında çox sayda məlumatın təkrar və assimilyasiyasına, eləcə də bir və ya bir neçə bilinməyən ən rahat yanaşmanı tapa bilərsiniz. Yüngül tənliklərdən başlayın. Əgər çətinlik çəkmədən onlarla öhdəsindən gəlsəniz, daha mürəkkəbliyə keçin. Müəyyən bir bərabərsizliyi həll etməkdə probleminiz varsa, daha sonra qayıtmaq üçün onu "favoritlərə" əlavə edə bilərsiniz.

Tapşırığı yerinə yetirmək üçün lazımi formulları tapın, standart logaritmik tənliyin kökünü hesablamaq üçün xüsusi iş və metodları təkrarlayın, "nəzəri kömək" bölməsinə baxa bilərsiniz. Müəllimlər "Shkolkovo" toplanmış, sistemləşdirilmiş və ən sadə və başa düşülən formada uğurlu çatdırılma üçün lazım olan bütün materialları təsvir etdilər.

Hər hansı bir mürəkkəbliyin vəzifələri ilə çətinlik çəkmədən öhdəsindən gəlmək, portalımızda bəzi tipik logaritmik tənliklərin həlli ilə tanış ola bilərsiniz. Bunu etmək üçün "Kataloqlar" bölməsinə gedin. Riyaziyyatdakı imtahanın profil səviyyəsi tənlikləri ilə çox sayda nümunəmiz var.

Rusiyada məktəblərdən olan şagirdlər portalımızdan yararlana bilərlər. Dərslərə başlamaq üçün sadəcə sistemdə qeydiyyatdan keçin və tənlikləri həll etməyə davam edin. Nəticələri təmin etmək üçün sizə gündəlik "Skolkovo" saytına qayıtmağı məsləhət görürük.

Logaritmik tənliklərin həlli. 1-ci hissə.

Logaritmik tənlik Naməlum loqarifmin işarəsi altında (xüsusən də logaritmin bazasında) olan bir tənlik adlanır.

Ən çox logaritmik tənlik Forması var:

Hər hansı bir logaritmik tənliyin həlli Loqararifmlərdən logarifmlər əlaməti altında ifadələrdən keçidin olduğunu güman edir. Ancaq bu hərəkət tənliyin icazə verilən dəyərlərinin sahəsini genişləndirir və xarici köklərin görünüşünə səbəb ola bilər. Xarici köklərin görünüşünün qarşısını almaq üçün, Üç yoldan birini edə bilərsiniz:

1. Ekvivalent bir ötürmə etmək daxil olmaqla ilkin tənlikdən sistemə qədər

hansı bərabərsizliyin və ya daha asan olduğundan asılı olaraq.

Əgər tənlik logaritmin bazasında bilinməyən bir şey varsa:

sonra sistemə gedirik:

2. Tənliyin icazə verilən dəyərlərinin sahəsini ayrıca tapın, sonra tənliyi həll edin və həll yollarının məmnun olduğunu yoxlayın.

3. Tənliyi həll edin və sonra yoxlayın:orijinal tənliyin tapıldığını və sadiq bərabərlik alacağını yoxlayın.

Hər hansı bir mürəkkəblik səviyyəsinin logaritmik tənliyi nəticədə həmişə sadə logaritmik tənliyə qədər olur.

Bütün logaritmik tənliklər dörd növə bölünə bilər:

1 . Birinci dərəcədə logarifmlər olan tənliklər. Onlara çevrilmə və istifadə ilə verilir

Misal. Tənliyi həll etmək:

Ekspresifmənin işarəsi altında ifadələri bərabərləşdiririk:

Kökümüzün tənliyini qane olub olmadığını yoxlayın:

Bəli, razıdır.

Cavab: X \u003d 5

2 . 1-dən başqa bir dərəcəyə logarifmləri olan tənliklər (xüsusən, denomoter denominatorunda). Bu cür tənliklər həll olunur dəyişən dəyişikliyinin tətbiqi.

Misal. Tənliyi həll etmək:

OTZ tənliklərini tapın:

Tənzimləmə meydanda logaritmlər ehtiva edir, buna görə dəyişəni dəyişdirərək həll olunur.

Vacibdir! Dəyişmədən əvvəl, loqarifmlərin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək "kərpic" də tənliyin bir hissəsi olan loqarifmləri "silmək" loqarifmlərini "silmək" lazımdır.

Loqarifmləri "çökmək" olduqda, logarifmlərin xüsusiyyətlərini çox dəqiq tətbiq etmək vacibdir:

Bundan əlavə, burada daha bir incə yer var və ümumi bir səhvdən qaçmaq üçün, aralıq bərabərlikdən istifadə edirik: bu formada logaritm dərəcəsini yazırıq:

Oxşar,

Əldə edilən ifadələri orijinal tənliyə əvəz edirik. Alırıq:

İndi bilmirik ki, bilinmir, kompozisiya tənliyindədir. Bir dəyişdirmə təqdim edirik:. Hər hansı bir həqiqi dəyəri çəkə biləcəyi üçün dəyişkəndə heç bir məhdudiyyət qoymuruq.