Arifmetik orta düstur. İki üçün arifmetik ortanı necə tapmaq və hesablamaq olar
) və nümunə orta (nümunələr).
Ensiklopedik YouTube
-
1 / 5
Verilənlər toplusunu işarələyin X = (x 1 , x 2 , …, x n), onda nümunə orta adətən dəyişənin üzərində üfüqi çubuq ilə işarələnir (, tələffüz olunur " x tire ilə").
Yunan hərfi μ bütün əhalinin arifmetik ortasını ifadə etmək üçün istifadə olunur. Orta dəyərinin təyin olunduğu təsadüfi kəmiyyət üçün μ-dir ehtimal deməkdir və ya təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi. Əgər set X hər hansı bir nümunə üçün orta μ ehtimalı olan təsadüfi ədədlər toplusudur x i bu kolleksiyadan μ = E( x i) bu nümunənin riyazi gözləntisidir.
Praktikada μ ilə fərqi x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) bunda μ tipik dəyişəndir, çünki siz bütün populyasiyadan çox nümunəni görə bilərsiniz. Buna görə də, əgər nümunə təsadüfi (ehtimal nəzəriyyəsi baxımından) təqdim olunursa, onda x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(lakin μ deyil) seçmə üzrə ehtimal paylanmasına malik təsadüfi dəyişən kimi qəbul edilə bilər (ortanın ehtimal paylanması).
Bu kəmiyyətlərin hər ikisi eyni şəkildə hesablanır:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_) (1)+\cdots +x_(n)).)Nümunələr
- Üç ədəd üçün onları əlavə edib 3-ə bölmək lazımdır:
- Dörd ədəd üçün onları əlavə edib 4-ə bölmək lazımdır:
Və ya daha asan 5+5=10, 10:2. Çünki biz 2 ədəd əlavə etmişik, bu o deməkdir ki, neçə ədəd əlavə etsək, o qədər bölürük.
Davamlı təsadüfi dəyişən
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ abf (x) dx (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(ba))\int _(a)^(b) f(x)dx)Orta istifadənin bəzi problemləri
Möhkəmliyin olmaması
Arifmetik orta çox vaxt vasitə və ya mərkəzi tendensiyalar kimi istifadə olunsa da, bu konsepsiya etibarlı statistikaya aid edilmir, yəni arifmetik orta "böyük kənarlaşmalar" tərəfindən güclü şəkildə təsirlənir. Maraqlıdır ki, böyük əyrilik əmsalı olan paylamalar üçün arifmetik orta "orta" anlayışına uyğun gəlməyə bilər və möhkəm statistik göstəricilərdən (məsələn, median) orta dəyərin dəyərləri mərkəzi daha yaxşı təsvir edə bilər. trend.
Klassik misal orta gəlirin hesablanmasıdır. Arifmetik orta median kimi yanlış təfsir edilə bilər ki, bu da əslində olduğundan daha çox gəliri olan insanların olması qənaətinə gətirib çıxara bilər. “Orta” gəlir elə şərh olunur ki, əksər insanların gəlirləri bu rəqəmə yaxındır. Bu “orta” (orta hesab mənasında) gəlir əksər insanların gəlirindən yüksəkdir, çünki orta göstəricidən böyük sapma ilə yüksək gəlir arifmetik ortanı kəskin şəkildə əyriləşdirir (əksinə, orta gəlir “müqavimət göstərir”). belə bir əyrilik). Bununla belə, bu "orta" gəlir orta gəlirə yaxın olan insanların sayı haqqında heç nə demir (və modal gəlirə yaxın olan insanların sayı haqqında heç nə demir). Bununla belə, “orta” və “əksəriyyət” anlayışlarına yüngül yanaşarsa, o zaman yanlış nəticəyə gəlmək olar ki, insanların əksəriyyətinin gəlirləri əslində olduğundan daha yüksəkdir. Məsələn, Vaşinqton ştatının Mədinə şəhərində sakinlərin bütün illik xalis gəlirlərinin arifmetik ortalaması kimi hesablanan "orta" xalis gəlir haqqında hesabat, Bill Gates-ə görə təəccüblü dərəcədə böyük bir rəqəm verəcəkdir. Nümunəni nəzərdən keçirin (1, 2, 2, 2, 3, 9). Arifmetik orta 3.17-dir, lakin altı dəyərdən beşi bu ortadan aşağıdır.
Mürəkkəb maraq
Əgər nömrələr çoxalmaq, amma yox qat, arifmetik ortadan deyil, həndəsi ortadan istifadə etməlisiniz. Çox vaxt bu hadisə maliyyəyə investisiyaların geri qaytarılmasını hesablayarkən baş verir.
Məsələn, əgər səhmlər birinci ildə 10% azalıbsa, ikinci ildə isə 30% artıbsa, bu iki il ərzində “orta” artımı arifmetik orta (−10% + 30%) kimi hesablamaq düzgün deyildir / 2 = 10%; bu halda düzgün orta mürəkkəb illik artım tempi ilə verilir, ondan illik artım cəmi 8,16653826392% ≈ 8,2% təşkil edir.
Bunun səbəbi faizlərin hər dəfə yeni bir başlanğıc nöqtəsi olmasıdır: 30% - 30% birinci ilin əvvəlindəki qiymətdən aşağı rəqəmdən: səhm 30 dollardan başlayıb 10% ucuzlaşıbsa, ikinci ilin əvvəlində 27 dollar dəyərindədir. Səhm 30% artarsa, ikinci ilin sonunda 35,1 dollar dəyərindədir. Bu artımın arifmetik ortalaması 10% təşkil edir, lakin səhm 2 il ərzində cəmi 5,1 dollar artdığı üçün orta hesabla 8,2% artım 35,1 dollarlıq yekun nəticə verir:
[30 dollar (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 dollar (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 dollar]. Eyni şəkildə 10%-lik orta hesabdan istifadə etsək, faktiki dəyəri əldə etməyəcəyik: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].
2-ci ilin sonunda mürəkkəb faiz: 90% * 130% \u003d 117%, yəni ümumi artım 17% və orta illik mürəkkəb faiz 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\təqribən 108,2\%), yəni orta illik artım 8,2% Bu rəqəm iki səbəbə görə düzgün deyil.
Yuxarıdakı düstura uyğun olaraq hesablanan tsiklik dəyişən üçün orta qiymət, süni şəkildə real orta göstəriciyə nisbətən ədədi diapazonun ortasına köçürüləcəkdir. Buna görə orta fərqli bir şəkildə hesablanır, yəni ən kiçik dispersiyaya malik olan ədəd (mərkəz nöqtəsi) orta qiymət kimi seçilir. Həmçinin, çıxma yerinə modul məsafəsi (yəni çevrəvi məsafə) istifadə olunur. Məsələn, 1° ilə 359° arasındakı modul məsafə 358° deyil, 2°-dir (359° ilə 360° arasında==0° - bir dərəcə, 0° ilə 1° arasında - həmçinin 1°, cəmi - 2 °).
Excel-də orta dəyəri tapmaq üçün (rəqəm, mətn, faiz və ya digər dəyər) bir çox funksiya var. Və onların hər birinin öz xüsusiyyətləri və üstünlükləri var. Axı bu vəzifədə müəyyən şərtlər qoyula bilər.
Məsələn, Excel-də bir sıra nömrələrin orta dəyərləri statistik funksiyalardan istifadə etməklə hesablanır. Siz həmçinin öz düsturunuzu əl ilə daxil edə bilərsiniz. Müxtəlif variantları nəzərdən keçirək.
Rəqəmlərin arifmetik ortasını necə tapmaq olar?
Arifmetik ortanı tapmaq üçün çoxluqdakı bütün ədədləri əlavə edib cəmini ədədə bölmək lazımdır. Məsələn, informatika üzrə şagirdin qiymətləri: 3, 4, 3, 5, 5. Dörddəbirə nə aiddir: 4. Düsturdan istifadə edərək arifmetik ortanı tapdıq: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Excel funksiyalarından istifadə edərək bunu necə tez etmək olar? Məsələn, bir sətirdə təsadüfi ədədlər silsiləsi götürək:
Və ya: xananı aktiv edin və sadəcə olaraq düsturu əl ilə daxil edin: =ORTA(A1:A8).
İndi AVERAGE funksiyasının daha nə edə biləcəyinə baxaq.
İlk iki və son üç ədədin arifmetik ortasını tapın. Formula: =ORTA(A1:B1;F1:H1). Nəticə:
Şərtlərə görə orta
Arifmetik ortanın tapılması şərti ədədi kriteriya və ya mətn meyarı ola bilər. Biz funksiyadan istifadə edəcəyik: =AVERAGEIF().
10-dan böyük və ya ona bərabər olan ədədlərin arifmetik ortasını tapın.
Funksiya: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
">=10" şərti ilə AVERAGEIF funksiyasından istifadənin nəticəsi: Üçüncü arqument - "Ortalama diapazonu" buraxılmışdır. Birincisi, tələb olunmur. İkincisi, proqram tərəfindən təhlil edilən diapazon YALNIZ rəqəmli dəyərləri ehtiva edir. Birinci arqumentdə göstərilən xanalarda axtarış ikinci arqumentdə göstərilən şərtə uyğun olaraq həyata keçiriləcək.
Diqqət! Axtarış meyarı xanada müəyyən edilə bilər. Və düsturda ona istinad etmək.
Mətn kriteriyası ilə ədədlərin orta qiymətini tapaq. Məsələn, məhsulun orta satışları "masalar".
Funksiya belə görünəcək: =ORTALAMA($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Aralıq - məhsul adları olan sütun. Axtarış meyarı "cədvəllər" sözü olan xanaya keçiddir (A7 keçidinin yerinə "cədvəllər" sözünü daxil edə bilərsiniz). Ortalama diapazonu - orta dəyəri hesablamaq üçün məlumatların alınacağı hüceyrələr.
Funksiyanı hesablamaq nəticəsində aşağıdakı dəyəri alırıq:
Diqqət! Mətn meyarı (şərti) üçün orta diapazon müəyyən edilməlidir.
Excel-də orta çəkili qiyməti necə hesablamaq olar?
Orta çəkili qiyməti necə bilirik?
Formula: =MƏHSUL(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
SUMPRODUCT düsturundan istifadə edərək, bütün malların satışından sonra ümumi gəliri tapırıq. Və SUM funksiyası - malların miqdarını ümumiləşdirir. Malların satışından əldə edilən ümumi gəliri mal vahidlərinin ümumi sayına bölməklə biz orta çəkili qiyməti tapdıq. Bu göstərici hər bir qiymətin “çəkisi”ni nəzərə alır. Dəyərlərin ümumi kütləsində onun payı.
Standart sapma: Excel-də düstur
Ümumi əhali və nümunə üçün standart kənarlaşmanı fərqləndirin. Birinci halda, bu, ümumi variasiyanın köküdür. İkincisi, nümunə fərqindən.
Bu statistik göstəricini hesablamaq üçün dispersiya düsturu tərtib edilir. Kök ondan götürülür. Ancaq Excel-də standart sapmanı tapmaq üçün hazır bir funksiya var.
Standart sapma mənbə məlumatlarının miqyası ilə əlaqələndirilir. Bu, təhlil edilən diapazonun variasiyasının obrazlı təsviri üçün kifayət deyil. Məlumatda səpilmənin nisbi səviyyəsini əldə etmək üçün dəyişmə əmsalı hesablanır:
standart sapma / arifmetik orta
Excel-də düstur belə görünür:
STDEV (dəyərlər diapazonu) / AVERAGE (dəyərlər diapazonu).
Dəyişmə əmsalı faizlə hesablanır. Buna görə də xanada faiz formatını təyin etdik.
Riyaziyyatda ədədlərin arifmetik ortası (və ya sadəcə orta) verilmiş çoxluqdakı bütün ədədlərin cəminin onların sayına bölünməsidir. Bu, orta qiymətin ən ümumiləşdirilmiş və geniş yayılmış anlayışıdır. Artıq başa düşdüyünüz kimi, tapmaq üçün sizə verilən bütün nömrələri toplamaq və nəticəni şərtlərin sayına bölmək lazımdır.
Arifmetik orta nədir?
Bir nümunəyə baxaq.
Misal 1. Rəqəmlər verilir: 6, 7, 11. Onların orta qiymətini tapmaq lazımdır.
Həll.
Əvvəlcə bütün verilmiş ədədlərin cəmini tapaq.
İndi alınan məbləği şərtlərin sayına bölürük. Müvafiq olaraq üç şərtimiz olduğundan, üçə böləcəyik.
Buna görə də, 6, 7 və 11-in ortalaması 8-dir. Niyə 8? Bəli, çünki 6, 7 və 11-in cəmi üç səkkizlə eyni olacaq. Bu, təsvirdə aydın görünür.
Orta dəyər bir qədər sıra nömrələrin "düzləşdirilməsini" xatırladır. Gördüyünüz kimi, qələm yığınları bir səviyyəyə çevrildi.
Əldə edilmiş bilikləri möhkəmləndirmək üçün başqa bir nümunəyə nəzər salın.
Misal 2 Rəqəmlər verilir: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Onların arifmetik ortasını tapmaq lazımdır.
Həll.
cəmini tapırıq.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Termin sayına bölün (bu halda 15).
Buna görə də bu ədədlər seriyasının orta qiyməti 22-dir.
İndi mənfi ədədləri nəzərdən keçirin. Onları necə yekunlaşdıracağımızı xatırlayaq. Məsələn, iki ədəd 1 və -4 var. Onların cəmini tapaq.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Bunu bilə-bilə başqa bir nümunəyə nəzər salın.
Misal 3 Bir sıra ədədlərin orta qiymətini tapın: 3, -7, 5, 13, -2.
Həll.
Rəqəmlərin cəminin tapılması.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
5 şərt olduğundan, alınan cəmi 5-ə bölürük.
Deməli, 3, -7, 5, 13, -2 ədədlərinin arifmetik ortası 2,4-dür.
Texnoloji tərəqqi dövrümüzdə orta dəyəri tapmaq üçün kompüter proqramlarından istifadə etmək daha rahatdır. Microsoft Office Excel onlardan biridir. Excel-də ortalamanı tapmaq tez və asandır. Bundan əlavə, bu proqram Microsoft Office proqram paketinə daxildir. Bu proqramdan istifadə edərək qısa bir təlimat, dəyəri nəzərdən keçirək.
Bir sıra ədədlərin orta qiymətini hesablamaq üçün AVERAGE funksiyasından istifadə etməlisiniz. Bu funksiyanın sintaksisi:
=Orta (arqument1, arqument2, ... arqument255)
burada arqument1, arqument2, ... arqument255 ya ədədlər, ya da xana istinadlarıdır (xanalar diapazonları və massivləri nəzərdə tutur).Daha aydın olması üçün əldə edilən biliyi yoxlayaq.
- C1 - C6 xanalarına 11, 12, 13, 14, 15, 16 rəqəmlərini daxil edin.
- Bunun üzərinə klikləməklə C7 xanasını seçin. Bu xanada biz orta dəyəri göstərəcəyik.
- "Formullar" sekmesini vurun.
- Açmaq üçün Daha çox funksiyalar > Statistik seçin
- AVERAGE seçin. Bundan sonra bir dialoq qutusu açılmalıdır.
- Dialoq qutusunda diapazonu təyin etmək üçün C1-C6 xanalarını seçin və sürükləyin.
- "OK" düyməsi ilə hərəkətlərinizi təsdiqləyin.
- Hər şeyi düzgün etmisinizsə, C7 xanasında cavabınız olmalıdır - 13.7. C7 xanasına kliklədiyiniz zaman düstur sətrində funksiya (=Orta(C1:C6)) görünəcək.
Bu funksiyadan mühasibat uçotu, hesab-fakturalar üçün və ya sadəcə çox uzun diapazonun ortasını tapmaq lazım olduqda istifadə etmək çox faydalıdır. Buna görə də tez-tez ofislərdə və böyük şirkətlərdə istifadə olunur. Bu, qeydləri qaydasında saxlamağa imkan verir və bir şeyi tez hesablamağa imkan verir (məsələn, ayda orta gəlir). Funksiyanın ortasını tapmaq üçün Excel-dən də istifadə edə bilərsiniz.
Üç uşaq giləmeyvə üçün meşəyə getdi. Böyük qızı 18 giləmeyvə, ortancıl qızı 15, kiçik qardaş isə 3 giləmeyvə tapdı (şək. 1-ə baxın). Giləmeyvələri anama gətirdilər, o, giləmeyvə bərabər şəkildə bölüşmək qərarına gəldi. Hər uşaq neçə giləmeyvə aldı?
düyü. 1. Problem üçün illüstrasiya
Həll
(yağ.) - uşaqlar hər şeyi yığdılar
2) Giləmeyvələrin ümumi sayını uşaqların sayına bölün:
(yağ.) hər uşağa getdi
Cavab verin: Hər uşaq 12 giləmeyvə alacaq.
1-ci məsələdə cavabda alınan ədəd arifmetik ortadır.
arifmetik orta bir neçə ədəd bu ədədlərin cəminin onların sayına bölünməsi əmsalı adlanır.
Misal 1
Bizdə iki ədəd var: 10 və 12. Onların arifmetik ortasını tapın.
Həll
1) Bu ədədlərin cəmini müəyyən edək: .
2) Bu ədədlərin sayı 2-dir, ona görə də bu ədədlərin arifmetik ortası belədir: .
Cavab verin: 10 və 12 rəqəmlərinin arifmetik ortası 11 rəqəmidir.
Misal 2
Beş ədədimiz var: 1, 2, 3, 4 və 5. Onların arifmetik ortasını tapın.
Həll
1) Bu ədədlərin cəmi: .
2) Tərifinə görə, arifmetik orta ədədlərin cəminin onların sayına bölünməsi əmsalıdır. Beş ədədimiz var, buna görə arifmetik orta belədir:
Cavab verin: Rəqəmlər şəraitində verilənlərin arifmetik ortası 3-dür.
Daim onu sinifdə tapmaq təklif olunmaqla yanaşı, arifmetik ortanın tapılması gündəlik həyatda çox faydalıdır. Məsələn, tutaq ki, biz Yunanıstana tətilə getmək istəyirik. Düzgün paltar seçmək üçün hazırda bu ölkədəki temperatura baxırıq. Ancaq havanın ümumi mənzərəsini bilmirik. Buna görə də Yunanıstanda, məsələn, bir həftə ərzində havanın temperaturunu öyrənmək və bu temperaturların arifmetik ortasını tapmaq lazımdır.
Misal 3
Yunanıstanda həftə ərzində temperatur: Bazar ertəsi - ; çərşənbə axşamı - ; çərşənbə -; cümə axşamı - ; Cümə - ; şənbə - ; Bazar günü - . Həftənin orta temperaturunu hesablayın.
Həll
1) Temperaturların cəmini hesablayın: .
2) Alınan məbləği günlərin sayına bölün: .
Cavab verin: həftəlik orta temperatur təqribən.
Bir futbol komandasındakı oyunçuların orta yaşını müəyyən etmək, yəni komandanın təcrübəli olub-olmadığını müəyyən etmək üçün hesab ortasını tapmaq bacarığı da lazım ola bilər. Bütün oyunçuların yaşını ümumiləşdirmək və onların sayına bölmək lazımdır.
Tapşırıq 2
Tacir alma satırdı. Əvvəlcə 1 kq-ı 85 rubl qiymətinə satdı. Beləliklə, 12 kq satdı. Sonra qiyməti 65 rubla endirib, yerdə qalan 4 kq almanı satdı. Almanın orta qiyməti nə qədər idi?
Həll
1) Tacirin cəmi nə qədər pul qazandığını hesablayaq. 12 kiloqramı 1 kiloqramı 85 rubl qiymətinə satdı:
(rub.).4 kiloqramı 1 kq-ı 65 rubl qiymətinə satdı: (rub.).
Buna görə qazanılan pulun ümumi məbləği: (rubl).
2) Satılan almaların ümumi çəkisi: .
3) Alınan pul məbləğini satılan almaların ümumi çəkisinə bölün və 1 kq almanın orta qiymətini alın: (rubl).
Cavab verin: 1 kq satılan almanın orta qiyməti 80 rubl təşkil edir.
Arifmetik orta hər bir dəyəri ayrı-ayrılıqda götürmədən məlumatları bütövlükdə qiymətləndirməyə kömək edir.
Lakin arifmetik orta anlayışından istifadə etmək həmişə mümkün olmur.
Misal 4
Atıcı hədəfə iki atəş etdi (bax. Şəkil 2): ilk dəfə hədəfdən bir metr yuxarı, ikincisi isə bir metr aşağıda vurdu. Arifmetik orta, hər iki dəfə qaçırsa da, tam olaraq mərkəzə dəydiyini göstərəcəkdir.
düyü. 2. Məsələn, illüstrasiya
Bu dərsdə biz arifmetik orta anlayışı ilə tanış olduq. Bu anlayışın tərifini öyrəndik, bir neçə ədəd üçün arifmetik orta hesablamağı öyrəndik. Bu konsepsiyanın praktik tətbiqini də öyrəndik.
- N.Ya. Vilenkin. Riyaziyyat: dərslik. 5 hüceyrə üçün. general const. - Red. 17. - M.: Mnemosyne, 2005. )
- İqorun yanında 45 rubl, Andreyin 28, Denisin 17 rublu var idi.
- Bütün pulları ilə 3 kino bileti aldılar. Bir bilet neçəyə başa gəldi?
Stasionar təsadüfi prosesin ədədlər çoxluğunun elementlərinin sayı sonsuzluğa meyl etdikdə, arifmetik orta təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntilərinə meyl edir.
Giriş
Rəqəmlər çoxluğunu qeyd edin X = (x 1 , x 2 , …, x n), onda nümunə orta adətən dəyişənin üzərində üfüqi çubuq ilə işarələnir (, tələffüz olunur " x tire ilə").
Yunan hərfi μ adətən ədədlərin bütün kütləsinin arifmetik ortasını ifadə etmək üçün istifadə olunur. Orta dəyərinin təyin olunduğu təsadüfi dəyişən üçün μ-dir ehtimal deməkdir və ya təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi. Əgər set X hər hansı bir nümunə üçün orta μ ehtimalı olan təsadüfi ədədlər toplusudur x i bu kolleksiyadan μ = E( x i) bu nümunənin gözləntisidir.
Praktikada μ ilə fərqi x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) bunda μ tipik dəyişəndir, çünki siz bütün populyasiyadan çox nümunəni görə bilərsiniz. Buna görə də, əgər nümunə təsadüfi (ehtimal nəzəriyyəsi baxımından) təqdim olunursa, onda x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(lakin μ deyil) seçmə üzrə ehtimal paylanmasına malik təsadüfi dəyişən kimi qəbul edilə bilər (ortanın ehtimal paylanması).
Bu kəmiyyətlərin hər ikisi eyni şəkildə hesablanır:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_) (1)+\cdots +x_(n)).)Nümunələr
- Üç ədəd üçün onları əlavə edib 3-ə bölmək lazımdır:
- Dörd ədəd üçün onları əlavə edib 4-ə bölmək lazımdır:
Davamlı təsadüfi dəyişən
Əgər hansısa funksiyanın inteqralı varsa f (x) (\displaystyle f(x)) bir dəyişən, sonra bu funksiyanın seqment üzrə arifmetik ortası [ a ; b] (\displaystyle) müəyyən inteqral vasitəsilə müəyyən edilir:
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)Burada belə nəzərdə tutulur b > a . (\displaystyle b>a.)
Orta istifadənin bəzi problemləri
Möhkəmliyin olmaması
Arifmetik orta çox vaxt vasitə və ya mərkəzi tendensiyalar kimi istifadə olunsa da, bu konsepsiya etibarlı statistikaya aid edilmir, yəni arifmetik orta "böyük kənarlaşmalar" tərəfindən güclü şəkildə təsirlənir. Maraqlıdır ki, böyük əyriliyi olan paylamalar üçün arifmetik orta "orta" anlayışına uyğun gəlməyə bilər və möhkəm statistik göstəricilərdən (məsələn, median) orta dəyərin dəyərləri mərkəzi trendi daha yaxşı təsvir edə bilər.
Klassik misal orta gəlirin hesablanmasıdır. Arifmetik orta median kimi yanlış təfsir edilə bilər ki, bu da əslində olduğundan daha çox gəliri olan insanların olması qənaətinə gətirib çıxara bilər. “Orta” gəlir elə şərh olunur ki, əksər insanların gəlirləri bu rəqəmə yaxındır. Bu “orta” (orta hesab mənasında) gəlir əksər insanların gəlirindən yüksəkdir, çünki orta göstəricidən böyük sapma ilə yüksək gəlir arifmetik ortanı kəskin şəkildə əyriləşdirir (əksinə, orta gəlir “müqavimət göstərir”). belə bir əyrilik). Bununla belə, bu "orta" gəlir orta gəlirə yaxın olan insanların sayı haqqında heç nə demir (və modal gəlirə yaxın olan insanların sayı haqqında heç nə demir). Bununla belə, “orta” və “əksəriyyət” anlayışlarına yüngül yanaşarsa, o zaman yanlış nəticəyə gəlmək olar ki, insanların əksəriyyətinin gəlirləri əslində olduğundan daha yüksəkdir. Məsələn, Vaşinqton ştatının Mədinə şəhərində sakinlərin bütün illik xalis gəlirlərinin arifmetik ortalaması kimi hesablanan "orta" xalis gəlir haqqında hesabat, Bill Gates-ə görə təəccüblü dərəcədə böyük bir rəqəm verəcəkdir. Nümunəni nəzərdən keçirin (1, 2, 2, 2, 3, 9). Arifmetik orta 3.17-dir, lakin altı dəyərdən beşi bu ortadan aşağıdır.
Mürəkkəb maraq
Əgər nömrələr çoxalmaq, amma yox qat, arifmetik ortadan deyil, həndəsi ortadan istifadə etməlisiniz. Çox vaxt bu hadisə maliyyəyə qoyulan investisiyanın gəlirliliyini hesablayarkən baş verir.
Məsələn, əgər səhmlər birinci ildə 10% azalıbsa, ikinci ildə isə 30% artıbsa, bu iki il ərzində “orta” artımı arifmetik orta (−10% + 30%) kimi hesablamaq düzgün deyildir / 2 = 10%; bu halda düzgün orta mürəkkəb illik artım tempi ilə verilir, ondan illik artım cəmi 8,16653826392% ≈ 8,2% təşkil edir.
Bunun səbəbi faizlərin hər dəfə yeni bir başlanğıc nöqtəsi olmasıdır: 30% - 30% birinci ilin əvvəlindəki qiymətdən aşağı rəqəmdən: səhm 30 dollardan başlayıb 10% ucuzlaşıbsa, ikinci ilin əvvəlində 27 dollar dəyərindədir. Səhm 30% artarsa, ikinci ilin sonunda 35,1 dollar dəyərindədir. Bu artımın arifmetik ortalaması 10% təşkil edir, lakin səhm 2 il ərzində cəmi 5,1 dollar artdığı üçün orta hesabla 8,2% artım 35,1 dollarlıq yekun nəticə verir:
[30 dollar (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 dollar (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 dollar]. Eyni şəkildə 10%-lik orta hesabdan istifadə etsək, faktiki dəyəri əldə etməyəcəyik: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].
2-ci ilin sonunda mürəkkəb faiz: 90% * 130% \u003d 117%, yəni ümumi artım 17% və orta illik mürəkkəb faiz 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\təqribən 108,2\%), yəni orta illik artım 8,2% təşkil edib.
İstiqamətlər
Əsas məqalə: Təyinat statistikası
Dövri olaraq dəyişən bəzi dəyişənin arifmetik ortasını hesablayarkən (məsələn, faza və ya bucaq) xüsusi diqqət yetirilməlidir. Məsələn, 1 və 359 rəqəmlərinin ortası bərabər olacaq 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180. Bu rəqəm iki səbəbə görə yanlışdır.
Yuxarıdakı düstura uyğun olaraq hesablanan tsiklik dəyişən üçün orta qiymət, süni şəkildə real orta göstəriciyə nisbətən ədədi diapazonun ortasına köçürüləcəkdir. Buna görə orta fərqli bir şəkildə hesablanır, yəni ən kiçik dispersiyaya malik olan ədəd (mərkəz nöqtəsi) orta qiymət kimi seçilir. Həmçinin, çıxma yerinə modul məsafəsi (yəni çevrəvi məsafə) istifadə olunur. Məsələn, 1° ilə 359° arasındakı modul məsafə 358° deyil, 2°-dir (359° ilə 360° arasında==0° - bir dərəcə, 0° ilə 1° arasında - həmçinin 1°, cəmi - 2 °).
