Sadə kəsrlərin tam ədədə vurulması. Kəsrlərin tam ədədə vurulması və bölünməsi qaydaları

Keçən dəfə biz kəsrləri toplama və çıxarmağı öyrəndik ("Kəsrlərin toplanması və çıxılması" dərsinə baxın). Həmin hərəkətlərdə ən çətin məqam kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi idi.

İndi vurma və bölmə ilə məşğul olmaq vaxtıdır. Yaxşı xəbər budur ki, bu əməliyyatlar əlavə və çıxmadan daha asandır. Başlamaq üçün, fərqlənən tam hissəsi olmayan iki müsbət fraksiya olduqda ən sadə halı nəzərdən keçirin.

İki fraksiyanı çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini ayrıca çoxaltmaq lazımdır. Birinci ədəd yeni kəsrin payı, ikincisi isə məxrəci olacaq.

İki fraksiyanı bölmək üçün birinci fraksiyanı "ters çevrilmiş" ikinciyə vurmaq lazımdır.

Təyinat:

Tərifdən belə çıxır ki, kəsrlərin bölünməsi vurmağa qədər azalır. Kəsri çevirmək üçün sadəcə pay və məxrəci dəyişdirin. Buna görə də, bütün dərsi əsasən vurmağı nəzərdən keçirəcəyik.

Çarpma nəticəsində azaldılmış bir fraksiya yarana bilər (və tez-tez yaranır) - əlbəttə ki, azaldılmalıdır. Bütün azalmalardan sonra fraksiya səhv olduğu ortaya çıxarsa, onda bütün hissəni ayırd etmək lazımdır. Ancaq vurma ilə mütləq baş verməyəcək şey ümumi məxrəcə endirmədir: çarpaz üsullar, maksimum amillər və ən az ümumi çarpanlar yoxdur.

Tərifinə görə bizdə var:

Tam hissəli kəsrlərin və mənfi kəsrlərin vurulması

Kəsrlərdə tam ədəd varsa, onlar düzgün olmayanlara çevrilməlidir və yalnız bundan sonra yuxarıda göstərilən sxemlərə uyğun olaraq çoxaldılmalıdır.

Əgər kəsrin payında, məxrəcində və ya qarşısında mənfi olarsa, o, aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq vurma hüdudlarından çıxarıla və ya tamamilə silinə bilər:

1. Artı dəfə minus mənfi verir;
2. İki mənfi bir təsdiq edir.

İndiyə qədər bu qaydalara yalnız mənfi kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı, tam hissədən xilas olmaq tələb olunduğu zaman rast gəlinirdi. Bir məhsul üçün eyni anda bir neçə mənfi cəhətləri "yandırmaq" üçün ümumiləşdirilə bilər:

1. Mənfiləri tamamilə yox olana qədər cüt-cüt kəsirik. Həddindən artıq vəziyyətdə, bir mənfi sağ qala bilər - uyğunluğu tapmayan;
2. Heç bir minus qalmazsa, əməliyyat tamamlandı - çarpmağa başlaya bilərsiniz. Cüt tapmadığı üçün sonuncu mənfi xətt çəkilməyibsə, onu vurma hüdudlarından çıxarırıq. Mənfi kəsr alırsınız.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara tərcümə edirik və sonra vurma hüdudlarından kənarda olan mənfi cəhətləri çıxarırıq. Qalanlar adi qaydalara uyğun olaraq çoxaldılır. Biz əldə edirik:

Bir daha xatırlatmaq istəyirəm ki, vurğulanmış tam hissəsi olan kəsrdən əvvəl gələn mənfi yalnız onun tam hissəsinə deyil, konkret olaraq bütün kəsrə aiddir (bu, son iki nümunəyə aiddir).

Mənfi ədədlərə də diqqət yetirin: vurulduqda onlar mötərizədə alınır. Bu, vurma işarələrindən minusları ayırmaq və bütün qeydi daha dəqiq etmək üçün edilir.

Tez fraksiyaların azaldılması

Vurma çox zəhmət tələb edən bir əməliyyatdır. Buradakı rəqəmlər olduqca böyükdür və tapşırığı asanlaşdırmaq üçün kəsri daha da azaltmağa cəhd edə bilərsiniz çarpmadan əvvəl. Həqiqətən də, mahiyyət etibarı ilə kəsrlərin say və məxrəcləri adi amillərdir və deməli, kəsrin əsas xassəsindən istifadə etməklə onları azaltmaq olar. Nümunələrə nəzər salın:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Tərifinə görə bizdə var:

Bütün nümunələrdə azaldılmış rəqəmlər və onlardan qalanlar qırmızı rənglə qeyd olunur.

Diqqət yetirin: birinci halda, çarpanlar tamamilə azaldıldı. Bölmələr öz yerində qaldı, ümumiyyətlə, buraxıla bilər. İkinci misalda, tam azalmaya nail olmaq mümkün olmadı, lakin hesablamaların ümumi məbləği yenə də azaldı.

Ancaq heç bir halda fraksiyaları əlavə edib çıxararkən bu texnikadan istifadə etməyin! Bəli, bəzən sadəcə azaltmaq istədiyiniz oxşar rəqəmlər var. Budur, baxın:

Sən bunu edə bilməzsən!

Səhv, kəsr əlavə edərkən cəmin ədədlərin hasilində deyil, kəsrin sayında görünməsi ilə əlaqədardır. Buna görə də, kəsrin əsas xassəsini tətbiq etmək mümkün deyil, çünki bu xassə xüsusi olaraq ədədlərin vurulması ilə məşğul olur.

Fraksiyaları azaltmaq üçün sadəcə başqa səbəb yoxdur, buna görə də əvvəlki problemin düzgün həlli belə görünür:

Düzgün qərar:

Gördüyünüz kimi, düzgün cavab o qədər də gözəl deyil. Ümumiyyətlə, diqqətli olun.

ARTIQ BU RAKEDƏN KEÇİN! 🙂

Kəsrlərin vurulması və bölünməsi.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Güclü olanlar üçün "çox deyil. »
Və “çox bərabər” olanlar üçün. "")

Bu əməliyyat toplama-çıxma əməliyyatından daha gözəldir! Çünki daha asandır. Xatırladıram: bir kəsri kəsrə vurmaq üçün sayları (bu nəticənin payı olacaq) və məxrəcləri (bu məxrəc olacaq) çoxaltmaq lazımdır. Yəni:

Hər şey son dərəcə sadədir. Və xahiş edirəm ortaq məxrəc axtarmayın! Burda lazım deyil...

Kəsiri kəsrə bölmək üçün çevirmək lazımdır ikinci(bu vacibdir!) kəsr və onları çoxalt, yəni:

Tam və kəsrlərlə vurma və ya bölmə tutuldusa, eybi yoxdur. Əlavədə olduğu kimi, məxrəcdə vahid olan tam ədəddən kəsir düzəldirik - və gedin! Məsələn:

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya hətta dörd mərtəbəli!) fraksiyalarla məşğul olmalısan. Məsələn:

Bu fraksiyanı layiqli formaya necə gətirmək olar? Bəli, çox asan! İki nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Ancaq bölmə qaydasını unutma! Çoxalmadan fərqli olaraq, burada bu çox vacibdir! Təbii ki, 4:2 və ya 2:4-ü qarışdırmayacağıq. Ancaq üç mərtəbəli bir hissədə səhv etmək asandır. Qeyd edək ki, məsələn:

Birinci halda (solda ifadə):

İkincidə (sağdakı ifadə):

Fərqi hiss edirsiniz? 4 və 1/9!

Bölünmə qaydası nədir? Və ya mötərizələr və ya (burada olduğu kimi) üfüqi tirelərin uzunluğu. Göz inkişaf etdirin. Mötərizələr və tire yoxdursa, məsələn:

sonra bölmək-çoxalmaq sıra ilə, soldan sağa!

Və başqa bir çox sadə və vacib hiylə. Dərəcələri olan hərəkətlərdə bu sizin üçün faydalı olacaq! Vahidi istənilən kəsrə, məsələn, 13/15-ə bölmək:

Atış çevrildi! Və həmişə olur. 1-i hər hansı kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olur, yalnız tərs olur.

Fraksiyalarla edilən bütün hərəkətlər budur. İş olduqca sadədir, lakin kifayət qədər səhvlər verir. Praktik məsləhətlərə diqqət yetirin və onlardan (səhvlər) daha az olacaq!

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir! Bunlar ümumi sözlər deyil, xoş arzular deyil! Bu ciddi ehtiyacdır! İmtahandakı bütün hesablamaları konsentrasiya və aydınlıqla tam hüquqlu bir tapşırıq kimi aparın. Bir qaralamada iki əlavə sətir yazmaq, başınızda hesablaşarkən qarışdırmaqdan daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrli misallarda - adi kəsrlərə keçin.

3. Bütün fraksiyaları son nöqtəyə qədər azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini iki nöqtə vasitəsilə bölmədən istifadə edərək adi olanlara endiririk (bölmə ardıcıllığına əməl edirik!).

Budur tamamlamalı olduğunuz tapşırıqlar. Bütün tapşırıqlardan sonra cavablar verilir. Bu mövzunun materiallarından və praktiki məsləhətlərdən istifadə edin. Neçə nümunəni düzgün həll edə biləcəyinizi təxmin edin. İlk dəfə! Kalkulyator olmadan! Və düzgün nəticələr çıxarın.

Düzgün cavabı yadda saxla ikinci (xüsusilə üçüncü) vaxtdan əldə edilir - sayılmır! Ağır həyat belədir.

Belə ki, imtahan rejimində həll edin ! Yeri gəlmişkən, bu imtahana hazırlıqdır. Məsələni həll edirik, yoxlayırıq, aşağıdakıları həll edirik. Hər şeyə qərar verdik - birincidən sonuncuya qədər yenidən yoxladıq. Yalnız Sonra cavablara baxın.

Sizə uyğun cavablar axtarırsınız. Mən onları qəsdən, belə demək mümkünsə, şirnikləndirməkdən uzaq bir qarışıqlıqda yazdım. Burada onlar nöqtəli vergüllə ayrılmış cavablardır.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Və indi nəticə çıxarırıq. Hər şey düzəldisə - sizin üçün xoşbəxtəm! Kəsrlərlə elementar hesablamalar sizin probleminiz deyil! Daha ciddi işlərlə məşğul ola bilərsiniz. Əgər olmasa.

Beləliklə, iki problemdən biri var. Və ya hər ikisi birdən.) Bilik çatışmazlığı və (və ya) diqqətsizlik. Amma. Bu həll oluna bilən Problemlər.

555-ci “Kəsrlər” Xüsusi Bölməsində bütün bu (və təkcə deyil!) misallar təhlil edilir. Nə, niyə və necə ətraflı izahatlarla. Belə bir təhlil bilik və bacarıq çatışmazlığı ilə çox kömək edir!

Bəli, ikinci problemdə də bir şey var.) Olduqca praktik məsləhət, necə daha diqqətli olmaq olar. Hə hə! Müraciət edə biləcək məsləhətlər hər biri.

Bilik və diqqətliliyə əlavə olaraq, uğur üçün müəyyən bir avtomatizm lazımdır. Hardan almaq olar? Ağır bir ah eşidirəm... Bəli, ancaq praktikada, başqa yerdə yox.

Təlim üçün 321start.ru saytına daxil ola bilərsiniz. Orada, "Cəhd et" seçimində hər kəsin istifadə etməsi üçün 10 nümunə var. Ani yoxlama ilə. Qeydiyyatdan keçmiş istifadəçilər üçün - sadədən ciddiyə qədər 34 nümunə. Yalnız fraksiyalar üçündür.

Bu saytı bəyənirsinizsə.

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Burada siz misalların həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Maraqla öyrənin!

Və burada siz funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Qayda 1

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün onun payını bu ədədə vurmalı və məxrəci dəyişməz qoymalısınız.

Qayda 2

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün:

1. bu kəsrlərin saylarının hasilini və məxrəclərinin hasilini tapın

2. Birinci hasili say, ikincini isə məxrəc kimi yazın.

Qayda 3

Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün onları düzgün olmayan kəsrlər kimi yazmalı, sonra isə kəsrləri vurma qaydasından istifadə etməlisiniz.

Qayda 4

Bir kəsri digərinə bölmək üçün dividendləri bölənin əks hissəsinə vurmaq lazımdır.

Misal 1

Hesablayın

Misal 2

Hesablayın

Misal 3

Hesablayın

Misal 4

Hesablayın

Riyaziyyat. Digər materiallar

Ədədin rasional gücə yüksəldilməsi. (

Nömrəni təbii gücə yüksəltmək. (

Cəbri bərabərsizliklərin həlli üçün ümumiləşdirilmiş interval üsulu (Müəllif Kolçanov A.V.)

Cəbri bərabərsizliklərin həllində amillərin dəyişdirilməsi üsulu (Müəllif Kolçanov A.V.)

Bölünmə əlamətləri (Lungu Alena)

“Adi kəsrlərin vurulması və bölünməsi” mövzusunda özünüzü sınayın

Kəsrlərin vurulması

Adi fraksiyaların vurulmasını bir neçə mümkün üsulla nəzərdən keçirəcəyik.

Kəsri kəsrə vurmaq

Bu, aşağıdakılardan istifadə etməli olduğunuz ən sadə haldır kəsrlərin vurulması qaydaları.

üçün kəsri kəsrə vurmaq, zəruri:

Sayları və məxrəcləri vurmazdan əvvəl, kəsrlərin azaldıla biləcəyini yoxlayın. Hesablamalarda fraksiyaların azaldılması hesablamalarınızı xeyli asanlaşdıracaq.

Kəsirin natural ədədə vurulması

Kəsrə natural ədədə çarpın kəsrin payını bu ədədə vurmalı və kəsrin məxrəcini dəyişməz qoymalısınız.

Çarpmanın nəticəsi düzgün olmayan bir kəsrdirsə, onu qarışıq bir ədədə çevirməyi unutmayın, yəni tam hissəni seçin.

Qarışıq ədədlərin vurulması

Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın başqa bir yolu

Bəzən hesablamalarda adi bir kəsri ədədə vurmaq üçün fərqli bir üsuldan istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı eyni saxlamaq lazımdır.

Nümunədən göründüyü kimi, kəsrin məxrəci natural ədədə qalıqsız bölünürsə, qaydanın bu variantından istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsirin ədədə bölünməsi

Kəsri ədədə bölməyin ən sürətli yolu nədir? Nəzəriyyəni təhlil edək, nəticə çıxaraq və misallardan istifadə edərək kəsrin ədədə bölünməsinin yeni qısa qaydaya görə necə həyata keçirilə biləcəyini görək.

Bir qayda olaraq, kəsrin ədədə bölünməsi kəsrlərin bölünməsi qaydasına uyğun olaraq həyata keçirilir. Birinci ədəd (kəsr) ikincinin əksi ilə vurulur. İkinci ədəd tam olduğundan, onun əksi kəsrdir, onun payı birə bərabərdir, məxrəc isə verilmiş ədəddir. Sxematik olaraq, kəsri natural ədədə bölmək belə görünür:

Bundan belə nəticəyə gəlirik:

Kəsri ədədə bölmək üçün məxrəci həmin ədədə vurun və payı eyni buraxın. Qayda daha qısa şəkildə tərtib edilə bilər:

Kəsiri ədədə böldükdə, ədəd məxrəcə keçir.

Kəsiri ədədə bölün:

Kəsiri ədədə bölmək üçün payı dəyişmədən yenidən yazırıq və məxrəci bu ədədə vururuq. 6 və 3-ü 3-ə endiririk.

Kəsri ədədə bölərkən payı yenidən yazırıq və məxrəci həmin ədədə vururuq. 16 və 24-ü 8-ə endiririk.

Kəsri ədədə bölərkən, ədəd məxrəcə gedir, ona görə də biz payı eyni qoyuruq və məxrəci bölənə vururuq. 21 və 35-i 7-yə azaldırıq.

Kəsrlərin vurulması və bölünməsi

Keçən dəfə biz kəsrləri toplama və çıxarmağı öyrəndik ("Kəsrlərin əlavə edilməsi və çıxılması" dərsinə baxın). Həmin hərəkətlərdə ən çətin məqam kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi idi.

İndi vurma və bölmə ilə məşğul olmaq vaxtıdır. Yaxşı xəbər budur ki, bu əməliyyatlar əlavə və çıxmadan daha asandır. Başlamaq üçün, fərqlənən tam hissəsi olmayan iki müsbət fraksiya olduqda ən sadə halı nəzərdən keçirin.

İki fraksiyanı çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini ayrıca çoxaltmaq lazımdır. Birinci ədəd yeni kəsrin payı, ikincisi isə məxrəci olacaq.

İki fraksiyanı bölmək üçün birinci fraksiyanı "ters çevrilmiş" ikinciyə vurmaq lazımdır.

Tərifdən belə çıxır ki, kəsrlərin bölünməsi vurmağa qədər azalır. Kəsri çevirmək üçün sadəcə pay və məxrəci dəyişdirin. Buna görə də, bütün dərsi əsasən vurmağı nəzərdən keçirəcəyik.

Çarpma nəticəsində azaldılmış bir fraksiya yarana bilər (və tez-tez yaranır) - əlbəttə ki, azaldılmalıdır. Bütün azalmalardan sonra fraksiya səhv olduğu ortaya çıxarsa, onda bütün hissəni ayırd etmək lazımdır. Ancaq vurma ilə mütləq baş verməyəcək şey ümumi məxrəcə endirmədir: çarpaz üsullar, maksimum amillər və ən az ümumi çarpanlar yoxdur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Tərifinə görə bizdə var:

Tam hissəli kəsrlərin və mənfi kəsrlərin vurulması

Kəsrlərdə tam ədəd varsa, onlar düzgün olmayanlara çevrilməlidir və yalnız bundan sonra yuxarıda göstərilən sxemlərə uyğun olaraq çoxaldılmalıdır.

Əgər kəsrin payında, məxrəcində və ya qarşısında mənfi olarsa, o, aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq vurma hüdudlarından çıxarıla və ya tamamilə silinə bilər:

1. Artı dəfə minus mənfi verir;
2. İki mənfi bir təsdiq edir.

İndiyə qədər bu qaydalara yalnız mənfi kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı, tam hissədən xilas olmaq tələb olunduğu zaman rast gəlinirdi. Bir məhsul üçün eyni anda bir neçə mənfi cəhətləri "yandırmaq" üçün ümumiləşdirilə bilər:

3. Mənfiləri tamamilə yox olana qədər cüt-cüt kəsirik. Həddindən artıq vəziyyətdə, bir mənfi sağ qala bilər - uyğunluğu tapmayan;
4. Heç bir minus qalmazsa, əməliyyat tamamlandı - çarpmağa başlaya bilərsiniz. Cüt tapmadığı üçün sonuncu mənfi xətt çəkilməyibsə, onu vurma hüdudlarından çıxarırıq. Mənfi kəsr alırsınız.

Bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara tərcümə edirik və sonra vurma hüdudlarından kənarda olan mənfi cəhətləri çıxarırıq. Qalanlar adi qaydalara uyğun olaraq çoxaldılır. Biz əldə edirik:

Bir daha xatırlatmaq istəyirəm ki, vurğulanmış tam hissəsi olan kəsrdən əvvəl gələn mənfi yalnız onun tam hissəsinə deyil, konkret olaraq bütün kəsrə aiddir (bu, son iki nümunəyə aiddir).

Mənfi ədədlərə də diqqət yetirin: vurulduqda onlar mötərizədə alınır. Bu, vurma işarələrindən minusları ayırmaq və bütün qeydi daha dəqiq etmək üçün edilir.

Tez fraksiyaların azaldılması

Vurma çox zəhmət tələb edən bir əməliyyatdır. Buradakı rəqəmlər olduqca böyükdür və tapşırığı asanlaşdırmaq üçün kəsri daha da azaltmağa cəhd edə bilərsiniz çarpmadan əvvəl. Həqiqətən də, mahiyyət etibarı ilə kəsrlərin say və məxrəcləri adi amillərdir və deməli, kəsrin əsas xassəsindən istifadə etməklə onları azaltmaq olar. Nümunələrə nəzər salın:

Bütün nümunələrdə azaldılmış rəqəmlər və onlardan qalanlar qırmızı rənglə qeyd olunur.

Diqqət yetirin: birinci halda, çarpanlar tamamilə azaldıldı. Bölmələr öz yerində qaldı, ümumiyyətlə, buraxıla bilər. İkinci misalda, tam azalmaya nail olmaq mümkün olmadı, lakin hesablamaların ümumi məbləği yenə də azaldı.

Ancaq heç bir halda fraksiyaları əlavə edib çıxararkən bu texnikadan istifadə etməyin! Bəli, bəzən sadəcə azaltmaq istədiyiniz oxşar rəqəmlər var. Budur, baxın:

Sən bunu edə bilməzsən!

Səhv, kəsr əlavə edərkən cəmin ədədlərin hasilində deyil, kəsrin sayında görünməsi ilə əlaqədardır. Buna görə də, kəsrin əsas xassəsini tətbiq etmək mümkün deyil, çünki bu xassə xüsusi olaraq ədədlərin vurulması ilə məşğul olur.

Fraksiyaları azaltmaq üçün sadəcə başqa səbəb yoxdur, buna görə də əvvəlki problemin düzgün həlli belə görünür:

Gördüyünüz kimi, düzgün cavab o qədər də gözəl deyil. Ümumiyyətlə, diqqətli olun.

Kəsrlərin bölünməsi.

Kəsirin natural ədədə bölünməsi.

Kəsri natural ədədə bölmək nümunələri

Natural ədədin kəsrə bölünməsi.

Natural ədədi kəsrə bölmək nümunələri

Adi kəsrlərin bölünməsi.

Adi kəsrlərin bölünməsi nümunələri

Qarışıq ədədlərin bölünməsi.

Bir qarışıq ədədi digərinə bölmək üçün sizə lazımdır:
• qarışıq fraksiyaları düzgün olmayana çevirmək;
• birinci fraksiyanı ikincinin əksi ilə çarpın;
• yaranan fraksiyanı azaltmaq;
• Düzgün olmayan kəsr əldə etsəniz, düzgün olmayan kəsri qarışıq birinə çevirin.

Qarışıq ədədlərin bölünməsi nümunələri

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

İstənilən nalayiq şərhlər silinəcək və onların müəllifləri qara siyahıya salınacaq!

OnlineMSchool-a xoş gəlmisiniz.
Mənim adım Dovjik Mixail Viktoroviçdir. Mən bu saytın sahibi və müəllifiyəm, bütün nəzəri materialları yazmışam, həmçinin riyaziyyatı öyrənmək üçün istifadə edə biləcəyiniz onlayn məşqlər və kalkulyatorlar hazırlamışam.

Kəsrlər. Kəsrlərin vurulması və bölünməsi.

Kəsri kəsrə vurmaq.

Adi kəsrləri çoxaltmaq üçün payı paya (məhsulun payını alırıq), məxrəci isə məxrəcə (məxrəcin məxrəcini alırıq) vurmaq lazımdır.

Kəsirin çoxaldılması düsturu:





Numeratorların və məxrəclərin vurulmasına davam etməzdən əvvəl, kəsrin azaldılmasının mümkünlüyünü yoxlamaq lazımdır. Kəsiri azaltmağı bacarsanız, hesablamalara davam etmək daha asan olacaq.

Qeyd! Ortaq məxrəc axtarmağa ehtiyac yoxdur!!

Adi kəsrin kəsrə bölünməsi.

Adi kəsrin kəsrə bölünməsi belədir: ikinci kəsri çevirin (yəni, say və məxrəci yerlərdə dəyişdirin) və bundan sonra kəsrlər vurulur.

Adi fraksiyaların bölünməsi düsturu:





Kəsirin natural ədədə vurulması.

Qeyd! Kəsiri natural ədədə vurduqda kəsrin payı natural ədədimizə vurulur, kəsrin məxrəci isə dəyişməz qalır. Məhsulun nəticəsi düzgün olmayan bir fraksiyadırsa, düzgün olmayan fraksiyanı qarışıq bir hissəyə çevirərək bütün hissəni seçdiyinizə əmin olun.



Natural ədədi əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Əlavədə olduğu kimi, tam ədədi məxrəcdə vahid olan kəsrə çeviririk. Məsələn:



Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

• qarışıq fraksiyaları düzgün olmayana çevirmək;
• kəsrlərin saylarını və məxrəclərini vurmaq;
• fraksiyanı azaldır;
• düzgün olmayan kəsr alsaq, onda natamam kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Qeyd! Qarışıq kəsri başqa bir qarışıq kəsrlə vurmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan fraksiyalar formasına gətirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.



Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmağın ikinci üsulundan istifadə etmək daha rahatdır.

Qeyd! Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişmədən saxlamaq lazımdır.



Yuxarıdakı misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxsəviyyəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya daha çox) fraksiyalara rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə olunur:



Qeyd! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd, Misal üçün:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri vurmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işdə ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Başınızdakı hesablamalarda çaşqın olmaqdansa, bir qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrlər olan tapşırıqlarda adi kəsrlərin növünə keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi ifadələrə gətiririk.

• Alt-üst deyil- Yenidən işlənmiş mahnı "Bahar Tanqo" (Vaxt gəlir - cənubdan quşlar gəlir) - musiqi. Valeri Milyaev Eşitmədim, başa düşmədim, tutmadım, təxmin etmədiyim mənada, bütün felləri ayrı-ayrılıqda yazdım, nedo- prefiksini bilmədim. . Baş verir, […]
• Səhifə tapılmadı Üçüncü yekun oxunuşda xüsusi inzibati rayonların (XAR) yaradılmasını nəzərdə tutan Hökumət sənədləri paketi qəbul edildi. Avropa İttifaqından çıxması ilə əlaqədar Böyük Britaniya Avropa ƏDV sahəsinə daxil edilməyəcək və [...]
• Birgə İstintaq Komitəsi payızda meydana çıxacaq Birgə İstintaq Komitəsi payızda peyda olacaq Bütün hüquq-mühafizə orqanlarının istintaqı dördüncü cəhddə bir dam altında toplanacaq. Artıq 2014-cü ilin payızında, "İzvestiya"ya görə, prezident Vladimir Putin [ …]
• Alqoritm Patenti Alqoritm Patentinin Necə Göründüyü Alqoritm Patentinin Hazırlanması Siqnalların və/və ya verilənlərin xüsusi olaraq patentləşdirmə məqsədləri üçün saxlanması, işlənməsi və ötürülməsi üsullarının texniki təsvirlərini hazırlamaq adətən xüsusilə çətin deyil və [...]
• 12 dekabr 1993-cü il PENSİYALARIN YENİ LAYİHƏSİ HAQQINDA BİLMƏK VACİB NƏLƏR RUSİYA FEDERASİYASININ KONSTİTUSİYASI (Rusiya Federasiyasının 32 dekabr 1993-cü il tarixli 32-0080-ci il tarixli Konstitusiyasına dəyişikliklər haqqında Rusiya Federasiyasının Qanunları ilə edilmiş dəyişikliklər nəzərə alınmaqla). FKZ, 30 dekabr 2008-ci il tarixli, N 7-FKZ, […]
• Qadın üçün təqaüd haqqında çastuşkalar günün qəhrəmanı üçün sərindir kişinin ad günü üçün - qadının günün qəhrəmanı üçün xorda - qadınlar üçün təqaüdçülərə ithaf komikdir Pensiyaçılar üçün müsabiqələr maraqlı olacaq Aparıcı: Əziz dostlar! Bir anlıq diqqət! Sensasiya! Yalnız […]

Adi fraksiyaların vurulmasını bir neçə mümkün üsulla nəzərdən keçirəcəyik.

Kəsri kəsrə vurmaq

Bu, aşağıdakılardan istifadə etməli olduğunuz ən sadə haldır kəsrlərin vurulması qaydaları.

üçün kəsri kəsrə vurmaq, zəruri:

• birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vurun və hasilini yeni kəsrin payına yazın;
• birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə vurur və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazır;

Sayları və məxrəcləri vurmazdan əvvəl, kəsrlərin azaldıla biləcəyini yoxlayın. Hesablamalarda fraksiyaların azaldılması hesablamalarınızı xeyli asanlaşdıracaq.



Kəsirin natural ədədə vurulması

Kəsrə natural ədədə çarpın kəsrin payını bu ədədə vurmalı və kəsrin məxrəcini dəyişməz qoymalısınız.

Çarpmanın nəticəsi düzgün olmayan bir kəsrdirsə, onu qarışıq bir ədədə çevirməyi unutmayın, yəni tam hissəni seçin.



Qarışıq ədədlərin vurulması

Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.



Kəsiri natural ədədə vurmağın başqa bir yolu

Bəzən hesablamalarda adi bir kəsri ədədə vurmaq üçün fərqli bir üsuldan istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı eyni saxlamaq lazımdır.



Nümunədən göründüyü kimi, kəsrin məxrəci natural ədədə qalıqsız bölünürsə, qaydanın bu variantından istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsrlərlə hərəkətlər

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Kəsrlərin əlavə edilməsi iki növdür:

• Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi
• Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etməklə başlayaq. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və məxrəci dəyişməz qoymalısınız. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edirik və məxrəci dəyişmədən qoyuruq:



Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 2 Kəsrləri əlavə edin və .

Yenə sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən buraxın:



Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Tapşırığın sonu gəlirsə, o zaman düzgün olmayan fraksiyalardan qurtulmaq adətdir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan qurtulmaq üçün içindəki bütün hissəni seçməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə tam hissə asanlıqla ayrılır - iki ikiyə bölünən birə bərabərdir:



İki hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:

Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .



Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 4İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz və daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 tam pizza və daha çox pizza alacaqsınız.

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi çətin deyil. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

1. Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını toplamaq, məxrəci isə eyni qoymaq lazımdır;
2. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

İndi biz müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənəcəyik. Kəsrləri toplayanda həmin kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Ancaq onlar həmişə eyni deyil.

Məsələn, kəsrlər eyni məxrəclərə malik olduqları üçün əlavə edilə bilər.

Amma kəsrləri birdən toplamaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün onlardan yalnız birini nəzərdən keçirəcəyik, çünki qalan üsullar bir başlanğıc üçün mürəkkəb görünə bilər.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) axtarılır. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci əlavə əmsal alınır. İkinci fraksiya ilə də eyni şeyi edirlər - NOC ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlərin say və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik.

Misal 1. Kəsrləri əlavə edin və

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.

LCM (2 və 3) = 6

İndi kəsrlərə və . Əvvəlcə LCM-ni birinci kəsrin məxrəcinə bölürük və birinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.

Nəticədə çıxan 2 rəqəmi ilk əlavə amildir. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə amili onun üstünə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.

Nəticədə çıxan 3 rəqəmi ikinci əlavə amildir. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə də ikinci fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə faktoru onun üstünə yazırıq:

İndi hamımız əlavə etməyə hazırıq. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:



Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:



Beləliklə, nümunə bitir. Əlavə etmək üçün belə çıxır.

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:

Kəsrin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə gətirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).



Birinci rəsmdə bir kəsr (altıdan dörd ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (altıdan üç ədəd) göstərilir. Bu parçaları bir araya gətirərək alırıq (altıdan yeddi ədəd). Bu kəsr səhvdir, ona görə də biz orada tam hissəni vurğuladıq. Nəticə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) oldu.

Qeyd edək ki, biz bu nümunəni çox təfərrüatlı şəkildə çəkmişik. Təhsil müəssisələrində belə təfərrüatlı yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin say və məxrəcləriniz tərəfindən tapılan əlavə amilləri tez çoxaltmalısınız. Məktəbdə olarkən bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:



Amma sikkənin digər tərəfi də var. Riyaziyyatın öyrənilməsinin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparılmırsa, bu cür suallar “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.

Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:

3. Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
4. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın;
5. Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
6. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
7. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;

Misal 2İfadənin qiymətini tapın .

Yuxarıdakı diaqramdan istifadə edək.

Addım 1. Kəsrlərin məxrəcləri üçün LCM-i tapın

Hər iki fraksiyanın məxrəcləri üçün LCM-i tapırıq. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 rəqəmləridir. Bu ədədlər üçün LCM-i tapmalısınız:

Addım 2. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın

LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölsək, 6-nı alırıq. İlk əlavə amil 6-nı aldıq. Onu birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölürük, 4-ü alırıq. İkinci əlavə amil 4-ü aldıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü aldıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

Addım 3. Kəsrin say və məxrəclərini əlavə amillərinizə vurun

Biz əlavə amillərlə say və məxrəcləri vururuq:

Addım 4. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin

Bu qənaətə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:



Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və yeni sətrin əvvəlində bərabərlik işarəsi (=) qoymaq lazımdır. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.

Addım 5. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun tam hissəsini seçin

Cavabımız düzgün olmayan kəsrdir. Biz onun bütün hissəsini ayırmalıyıq. Biz vurğulayırıq:



Cavab aldım

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması

Kəsirin çıxmasının iki növü var:

8. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması
9. Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Əvvəlcə eyni məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır.

Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu misalı həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxmaq, məxrəci isə eyni saxlamaq lazımdır. Gəlin, bunu edək:

Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 2İfadənin qiymətini tapın.

Yenə birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci eyni olaraq buraxın:

Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından, qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Nümunə tamdırsa, o zaman düzgün olmayan fraksiyadan xilas olmaq adətdir. Cavabda səhv kəsrdən xilas olaq. Bunu etmək üçün onun bütün hissəsini seçin:

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Məsələn, bir kəsr kəsrdən çıxıla bilər, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Amma kəsrdən kəsri çıxmaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Ümumi məxrəc fərqli məxrəcli kəsrləri toplayanda istifadə etdiyimiz eyni prinsipə əsasən tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üzərinə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci kəsrin məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin üzərinə yazılan ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın:

Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.

LCM (3 və 4) = 12

İndi fraksiyalara qayıdın və

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunun üçün LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Dördü birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alarıq. İkinci kəsrin üzərinə üçlü yazırıq:

İndi hamımız çıxma üçün hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:

Cavab aldım

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız.

Bu həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olduğumuz üçün bu nümunəni daha qısa şəkildə həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:

Kəsrlərin və ortaq məxrəcə qədər azaldılması da bir şəkildə təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirərək və kəsrləri alırıq. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar eyni fraksiyalara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):

Birinci rəsmdə bir kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsir (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.

Misal 2İfadənin qiymətini tapın

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın.

Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunun üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölürük.

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, ilk əlavə 3 əmsalı alırıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə 6 əmsalı alırıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu qənaətə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.

Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:

Cavab düzgün kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Biz bunu daha sadə və estetik cəhətdən cəlbedici etməliyik. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı azalda bilərsiniz. Yada salaq ki, kəsrin kiçilməsi, payın və məxrəcin payın və məxrəcin ən böyük ortaq böləninə bölünməsidir.

Kəsri düzgün şəkildə azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini 20 və 30 ədədlərinin ən böyük ortaq böləninə (GCD) bölmək lazımdır.

GCD-ni NOC ilə qarışdırmayın. Bir çox yeni başlayanların etdiyi ən ümumi səhv. GCD ən böyük ümumi böləndir. Biz onu fraksiyaların azalması üçün tapırıq.

Və LCM ən az ümumi çoxluqdur. Onu kəsrləri eyni (ortaq) məxrəcə gətirmək üçün tapırıq.

İndi biz 20 və 30 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini (gcd) tapacağıq.

Beləliklə, 20 və 30 nömrələri üçün GCD-ni tapırıq:

GCD (20 və 30) = 10

İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini 10-a bölürük:

Gözəl cavab aldım

Kəsirin ədədə vurulması

Kəsri ədədə vurmaq üçün verilmiş kəsrin payını bu ədədə vurmaq və məxrəci dəyişmək lazımdır.

Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.

Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun

Giriş 1 dəfənin yarısını almaq kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız

Vurma qanunlarından bilirik ki, çarpan və çarpan bir-birini əvəz edərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə də tam və kəsri vurma qaydası işləyir:

Bu giriş vahidin yarısını götürmək kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və biz onun yarısını alırıqsa, o zaman pizzamız olacaq:

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Kəsrin payını 4-ə vurun

İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 dəfə pizza götürsəniz, iki tam pizza alırsınız.

Əgər çarpanı və çarpanı yerlərdə dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:

Kəsrlərin vurulması

Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların paylarını və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın.

Cavab aldım. Bu fraksiyanın azaldılması arzu edilir. Kəsr 2 azaldıla bilər. Sonra son həll aşağıdakı formanı alacaq:

İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:

Və bu üç hissədən ikisini götürün:

Pizza alacağıq. Üç hissəyə bölünən bir pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:

Bu pizzadan bir dilim və götürdüyümüz iki dilim eyni ölçülərə sahib olacaq:

Başqa sözlə, söhbət eyni pizza ölçüsündən gedir. Buna görə də ifadənin dəyəri

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Cavab düzgün kəsr oldu, amma azaldılsa yaxşı olar. Bu kəsri azaltmaq üçün onu pay və məxrəcin gcd-yə bölmək lazımdır. Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin GCD-ni tapaq:

(105 və 150) üçün GCD 15-dir

İndi GCD-yə verdiyimiz cavabın payını və məxrəcini bölürük:

Tam ədədi kəsr kimi təqdim etmək

İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bundan, beşlik mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "beş sayı birə bölünür" deməkdir və bu, bildiyiniz kimi, beşə bərabərdir:

Əks nömrələr

İndi riyaziyyatda çox maraqlı bir mövzu ilə tanış olacağıq. Buna "əks rəqəmlər" deyilir.

Tərif. Nömrəyə tərsinə a ilə vurulduqda olan ədəddir a vahid verir.

Gəlin bu tərifdə dəyişən əvəzinə əvəz edək a 5 nömrəli və tərifi oxumağa çalışın:

Nömrəyə tərsinə 5 ilə vurulduqda olan ədəddir 5 vahid verir.

5-ə vurulduqda bir verən ədəd tapmaq olarmı? Belə çıxır ki, edə bilərsiniz. Beşi kəsr kimi təqdim edək:

Sonra bu fraksiyanın özünə çoxalın, yalnız pay və məxrəci dəyişdirin. Başqa sözlə, kəsri yalnız tərsinə vuraraq özünə vurun:

Bunun nəticəsi nə olacaq? Bu nümunəni həll etməyə davam etsək, birini alırıq:

Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin tərsi ədəddir, çünki 5-i birə vuranda bir alınır.

Qarşılıq hər hansı digər tam ədəd üçün də tapıla bilər.

• 3-ün əksi kəsirdir
• 4-ün əksi kəsirdir

Siz həmçinin hər hansı digər fraksiya üçün əksi tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün onu çevirmək kifayətdir.

Kəsrlərin vurulması və bölünməsi.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Bu əməliyyat toplama-çıxma əməliyyatından daha gözəldir! Çünki daha asandır. Xatırladıram: bir kəsri kəsrə vurmaq üçün sayları (bu nəticənin payı olacaq) və məxrəcləri (bu məxrəc olacaq) çoxaltmaq lazımdır. Yəni:

Məsələn:

Hər şey son dərəcə sadədir. Və xahiş edirəm ortaq məxrəc axtarmayın! Burda lazım deyil...

Kəsiri kəsrə bölmək üçün çevirmək lazımdır ikinci(bu vacibdir!) kəsr və onları çoxalt, yəni:

Məsələn:

Tam və kəsrlərlə vurma və ya bölmə tutuldusa, eybi yoxdur. Əlavədə olduğu kimi, məxrəcdə vahid olan tam ədəddən kəsir düzəldirik - və gedin! Məsələn:

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya hətta dörd mərtəbəli!) fraksiyalarla məşğul olmalısan. Məsələn:

Bu fraksiyanı layiqli formaya necə gətirmək olar? Bəli, çox asan! İki nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Ancaq bölmə qaydasını unutma! Çoxalmadan fərqli olaraq, burada bu çox vacibdir! Təbii ki, 4:2 və ya 2:4-ü qarışdırmayacağıq. Ancaq üç mərtəbəli bir hissədə səhv etmək asandır. Qeyd edək ki, məsələn:

Birinci halda (solda ifadə):

İkincidə (sağdakı ifadə):

Fərqi hiss edirsiniz? 4 və 1/9!

Bölünmə qaydası nədir? Və ya mötərizələr və ya (burada olduğu kimi) üfüqi tirelərin uzunluğu. Göz inkişaf etdirin. Mötərizələr və tire yoxdursa, məsələn:

sonra bölmək-çoxalmaq sıra ilə, soldan sağa!

Və başqa bir çox sadə və vacib hiylə. Dərəcələri olan hərəkətlərdə bu sizin üçün faydalı olacaq! Vahidi istənilən kəsrə, məsələn, 13/15-ə bölmək:

Atış çevrildi! Və həmişə olur. 1-i hər hansı kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olur, yalnız tərs olur.

Fraksiyalarla edilən bütün hərəkətlər budur. İş olduqca sadədir, lakin kifayət qədər səhvlər verir. Praktik məsləhətlərə diqqət yetirin və onlardan (səhvlər) daha az olacaq!

Praktik məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir! Bunlar ümumi sözlər deyil, xoş arzular deyil! Bu ciddi ehtiyacdır! İmtahandakı bütün hesablamaları konsentrasiya və aydınlıqla tam hüquqlu bir tapşırıq kimi aparın. Bir qaralamada iki əlavə sətir yazmaq, başınızda hesablaşarkən qarışdırmaqdan daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrli misallarda - adi kəsrlərə keçin.

3. Bütün fraksiyaları son nöqtəyə qədər azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini iki nöqtə vasitəsilə bölmədən istifadə edərək adi olanlara endiririk (bölmə ardıcıllığına əməl edirik!).

5. Sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.

Budur tamamlamalı olduğunuz tapşırıqlar. Bütün tapşırıqlardan sonra cavablar verilir. Bu mövzunun materiallarından və praktiki məsləhətlərdən istifadə edin. Neçə nümunəni düzgün həll edə biləcəyinizi təxmin edin. İlk dəfə! Kalkulyator olmadan! Və düzgün nəticə çıxarın...

Düzgün cavabı yadda saxla ikinci (xüsusilə üçüncü) vaxtdan əldə edilir - sayılmır! Ağır həyat belədir.

Belə ki, imtahan rejimində həll edin ! Yeri gəlmişkən, bu imtahana hazırlıqdır. Məsələni həll edirik, yoxlayırıq, aşağıdakıları həll edirik. Hər şeyə qərar verdik - birincidən sonuncuya qədər yenidən yoxladıq. Yalnız Sonra cavablara baxın.

Hesablayın:

Siz qərar verdiniz?

Sizə uyğun cavablar axtarırsınız. Mən onları qəsdən, şirnikləndirmədən, belə demək mümkünsə, səliqə-sahmanda yazdım... Budur, cavablar nöqtəli vergüllə yazılmışdır.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Və indi nəticə çıxarırıq. Hər şey düzəldisə - sizin üçün xoşbəxtəm! Kəsrlərlə elementar hesablamalar sizin probleminiz deyil! Daha ciddi işlərlə məşğul ola bilərsiniz. Əgər olmasa...

Beləliklə, iki problemdən biri var. Və ya hər ikisi birdən.) Bilik çatışmazlığı və (və ya) diqqətsizlik. Amma bu həll oluna bilən Problemlər.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

) və məxrəci məxrəcə görə (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsirin çoxaldılması düsturu:

Məsələn:

Numeratorların və məxrəclərin vurulmasına davam etməzdən əvvəl kəsrin azaldılmasının mümkünlüyünü yoxlamaq lazımdır. Kəsiri azaltmağı bacarsanız, hesablamalara davam etmək daha asan olacaq.

Adi kəsrin kəsrə bölünməsi.

Natural ədədi əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Əlavədə olduğu kimi, tam ədədi məxrəcdə vahid olan kəsrə çeviririk. Məsələn:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

• qarışıq fraksiyaları düzgün olmayana çevirmək;
• kəsrlərin saylarını və məxrəclərini vurmaq;
• fraksiyanı azaldır;
• düzgün olmayan kəsr alsaq, onda natamam kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Qeyd! Qarışıq kəsri başqa bir qarışıq kəsrlə vurmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan fraksiyalar formasına gətirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmağın ikinci üsulundan istifadə etmək daha rahatdır.

Qeyd! Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişmədən saxlamaq lazımdır.

Yuxarıdakı misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxsəviyyəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya daha çox) fraksiyalara rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə olunur:

Qeyd! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd, Misal üçün:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri vurmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işdə ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Başınızdakı hesablamalarda çaşqın olmaqdansa, bir qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrli tapşırıqlarda - adi kəsrlərin növünə keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi ifadələrə gətiririk.

5. Sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.