Y - çıxış dəyişənlərinin vektoru, Y= t,

Z - xarici təsirlərin vektoru, Z= t,

t - zaman koordinatı.

bina riyazi model müəyyən proseslər və hadisələr arasında əlaqələrin müəyyən edilməsindən, müəyyən proses və hadisələrin, mütəxəssisi maraqlandıran fiziki kəmiyyətlər və son nəticəyə təsir edən amillər arasında əlaqəni kəmiyyət və keyfiyyətcə ifadə etməyə imkan verən riyazi aparatın yaradılmasından ibarətdir.

Adətən onların sayı o qədər çoxdur ki, onların bütün dəstini modelə daxil etmək mümkün deyil. Tikinti zamanı riyazi model Tədqiqatdan əvvəl son nəticəyə əhəmiyyətli dərəcədə təsir etməyən amilləri müəyyən etmək və nəzərə almamaq vəzifəsi yaranır ( riyazi model adətən reallıqdan xeyli az sayda faktorları ehtiva edir). Eksperimental məlumatlara əsasən, son nəticəni ifadə edən kəmiyyətlər ilə təcrübədə təqdim olunan amillər arasında əlaqə haqqında fərziyyələr irəli sürülür. riyazi model. Belə bir əlaqə çox vaxt diferensial sistemlərlə ifadə olunur qismən diferensial tənliklər(məsələn, bərk cismin, maye və qazın mexanikası məsələlərində, filtrasiya nəzəriyyəsi, istilik keçiriciliyi, elektrostatik və elektrodinamik sahələr nəzəriyyəsi).

Bu mərhələnin son məqsədi riyazi problemin formalaşdırılmasıdır, onun həlli lazımi dəqiqliklə mütəxəssisi maraqlandıran nəticələri ifadə edir.

Təqdimatın forması və prinsipləri riyazi model bir çox amillərdən asılıdır.

Tikinti prinsiplərinə uyğun olaraq riyazi modellər bölünür:

1. analitik;
2. təqlid.

Analitik modellərdə real obyektlərin, proseslərin və ya sistemlərin işləmə prosesləri açıq şəkildə yazılır. funksional asılılıqlar.

Riyazi problemdən asılı olaraq analitik model növlərə bölünür:

1. tənliklər (cəbr, transsendental, diferensial, inteqral),
2. yaxınlaşma problemləri (interpolyasiya, ekstrapolyasiya, ədədi inteqrasiya və fərqləndirmə),
3. optimallaşdırma problemləri,
4. stoxastik problemlər.

Lakin modelləşdirmə obyekti mürəkkəbləşdikcə analitik modelin qurulması həlledilməz problemə çevrilir. Sonra tədqiqatçı istifadə etməyə məcbur olur simulyasiya modelləşdirmə.

AT simulyasiya modelləşdirmə obyektlərin, proseslərin və ya sistemlərin fəaliyyəti alqoritmlər toplusu ilə təsvir olunur. Alqoritmlər prosesi və ya sistemi təşkil edən real elementar hadisələri təqlid edir, eyni zamanda öz xüsusiyyətlərini saxlayır məntiqi quruluş və zamanla ardıcıllıq. Simulyasiya mənbə məlumatları haqqında məlumat əldə etməyə imkan verir proses dövlətləri və ya zamanın müəyyən nöqtələrində sistemlər, lakin burada obyektlərin, proseslərin və ya sistemlərin davranışını proqnozlaşdırmaq çətindir. Demək olar ki simulyasiya modelləri- bunlar kompüter əsaslıdır hesablama təcrübələri ilə riyazi modellər, real obyektlərin, proseslərin və ya sistemlərin davranışını təqlid etmək.

Öyrənilən real proseslərin və sistemlərin xarakterindən asılı olaraq riyazi modellər ola bilər:

1. deterministik,
2. stokastik.

Deterministik modellərdə təsadüfi təsirlərin olmadığı, modelin elementlərinin (dəyişənlər, riyazi əlaqələr) kifayət qədər dəqiq qurulduğu və sistemin davranışının dəqiq müəyyən edilə biləcəyi güman edilir. Deterministik modellər qurarkən ən çox cəbri tənliklər, inteqral tənliklər, matris cəbri istifadə olunur.

Stokastik model tədqiq olunan obyekt və sistemlərdə ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın üsulları ilə təsvir edilən proseslərin təsadüfi xarakterini nəzərə alır.

Giriş məlumatının növünə görə modellər aşağıdakılara bölünür:

1. davamlı,
2. diskret.

Əgər məlumat və parametrlər davamlıdırsa və riyazi əlaqələr sabitdirsə, model davamlıdır. Və əksinə, əgər məlumat və parametrlər diskretdirsə və əlaqələr qeyri-sabitdirsə, o zaman riyazi model- diskret.

Modellərin vaxtında davranışına görə, onlar bölünür:

1. statik,
2. dinamik.

Statik modellər zamanın istənilən anında obyektin, prosesin və ya sistemin davranışını təsvir edir. Dinamik modellər zamanla obyektin, prosesin və ya sistemin davranışını əks etdirir.

Aralarındakı yazışma dərəcəsinə görə

Sovetov və Yakovlevin dərsliyinə görə: “model (lat. modulus - ölçü) orijinalın bəzi xassələrinin öyrənilməsini təmin edən ilkin obyektin obyekt əvəzedicisidir”. (səh. 6) “Model obyektindən istifadə edərək ilkin obyektin ən mühüm xassələri haqqında məlumat əldə etmək üçün bir obyektin digəri ilə əvəzlənməsi modelləşdirmə adlanır.” (səh. 6) “Riyazi modelləşdirmə altında biz riyazi model adlanan hansısa riyazi obyektin verilmiş real obyektinə uyğunluğun qurulması prosesini və nəzərdən keçirilən real obyektin xarakteristikalarını almağa imkan verən bu modelin öyrənilməsini başa düşəcəyik. . Riyazi modelin növü həm real obyektin təbiətindən, həm də obyektin öyrənilməsi vəzifələrindən və bu məsələnin həllinin tələb olunan etibarlılığından və dəqiqliyindən asılıdır”.

Nəhayət, riyazi modelin ən qısa tərifi: “Bir fikri ifadə edən tənlik."

Modelin təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı istifadə olunan riyazi vasitələrin təsnifatına əsaslanır. Çox vaxt dixotomiyalar şəklində qurulur. Məsələn, məşhur dixotomiya dəstlərindən biri:

və sair. Hər bir qurulmuş model xətti və ya qeyri-xətti, deterministik və ya stoxastik, ... Təbii olaraq, qarışıq tiplər də mümkündür: bir cəhətdən cəmlənmiş (parametrlər baxımından), digərində paylanmış modellər və s.

Obyektin təmsil olunma üsuluna görə təsnifat

Formal təsnifatla yanaşı, modellər obyekti təmsil etmə üsuluna görə fərqlənirlər:

• Struktur və ya funksional modellər

Struktur modellər obyekti öz cihazı və fəaliyyət mexanizmi olan bir sistem kimi təmsil edir. Funksional modellər belə təsvirlərdən istifadə etmir və yalnız obyektin xaricdən qəbul edilən davranışını (fəaliyyətini) əks etdirir. Ekstremal ifadəsində onları “qara qutu” modelləri də adlandırırlar.Kombinə edilmiş model növləri də mümkündür ki, onları bəzən “boz qutu” modelləri də adlandırırlar.

Məzmun və formal modellər

Riyazi modelləşdirmə prosesini təsvir edən demək olar ki, bütün müəlliflər qeyd edirlər ki, əvvəlcə xüsusi ideal konstruksiya qurulur, məzmun modeli. Burada müəyyən edilmiş terminologiya yoxdur və digər müəlliflər bu ideal obyekti adlandırırlar konseptual model , spekulyativ model və ya premodel. Bu halda yekun riyazi konstruksiya deyilir formal model və ya sadəcə olaraq bu məzmun modelinin (pre-model) rəsmiləşdirilməsi nəticəsində əldə edilmiş riyazi modeldir. Mənalı model, mexanikada olduğu kimi, hazır ideallaşdırmalar toplusundan istifadə etməklə qurula bilər, burada ideal yaylar, sərt cisimlər, ideal sarkaçlar, elastik mühitlər və s. mənalı modelləşdirmə üçün hazır struktur elementləri təmin edir. Bununla belə, tam başa çatmış rəsmiləşdirilmiş nəzəriyyələrin olmadığı bilik sahələrində (fizika, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və digər sahələrin ən qabaqcıl nöqtəsi) mənalı modellərin yaradılması kəskin şəkildə daha mürəkkəbdir.

Modellərin mənalı təsnifatı

Elmdə heç bir fərziyyə birdəfəlik sübut edilə bilməz. Richard Feynman bunu çox açıq şəkildə ifadə etdi:

“Bizim hər zaman bir nəzəriyyəni təkzib etmək qabiliyyətimiz var, lakin nəzərə alın ki, onun doğru olduğunu heç vaxt sübut edə bilmərik. Tutaq ki, siz uğurlu fərziyyə irəli sürmüsünüz, onun hara apardığını hesablayırsınız və onun bütün nəticələrinin eksperimental olaraq təsdiqləndiyini tapırsınız. Bu o deməkdirmi ki, sizin nəzəriyyəniz doğrudur? Xeyr, bu o deməkdir ki, siz bunu təkzib edə bilməmisiniz.

Birinci tip bir model qurulubsa, bu o deməkdir ki, müvəqqəti olaraq doğru kimi tanınır və başqa problemlərə diqqət yetirmək olar. Ancaq bu, tədqiqatda bir nöqtə ola bilməz, ancaq müvəqqəti fasilədir: birinci tip modelin statusu yalnız müvəqqəti ola bilər.

Tip 2: Fenomenoloji model (kimi davranmaq…)

Fenomenoloji model fenomeni təsvir etmək üçün bir mexanizm ehtiva edir. Bununla belə, bu mexanizm kifayət qədər inandırıcı deyil, mövcud məlumatlar ilə kifayət qədər təsdiq edilə bilməz və ya mövcud nəzəriyyələr və obyekt haqqında yığılmış biliklərlə yaxşı uyğunlaşmır. Buna görə də fenomenoloji modellər müvəqqəti həllər statusuna malikdir. Hesab olunur ki, cavab hələ də məlum deyil və “əsl mexanizmlər” axtarışını davam etdirmək lazımdır. Peierls, məsələn, ikinci növə elementar hissəciklərin kalorili modelini və kvark modelini aid edir.

Tədqiqatda modelin rolu zamanla dəyişə bilər, ola bilər ki, yeni məlumatlar və nəzəriyyələr fenomenoloji modelləri təsdiqləyir və onlar hipotez statusuna yüksəlir. Eynilə, yeni biliklər tədricən birinci tipli model-fərziyyələrlə ziddiyyətə düşə bilər və onlar ikinciyə keçə bilər. Beləliklə, kvark modeli tədricən fərziyyələr kateqoriyasına keçir; fizikada atomizm müvəqqəti həll yolu kimi yarandı, lakin tarixin gedişatı ilə birinci tipə keçdi. Lakin efir modelləri 1-ci tipdən 2-ci tipə keçdilər və indi onlar elmdən kənardadırlar.

Modellər qurarkən sadələşdirmə ideyası çox populyardır. Ancaq sadələşdirmə fərqlidir. Peierls modelləşdirmədə üç növ sadələşdirməni fərqləndirir.

Növ 3: Təxminən (bir şey çox böyük və ya çox kiçik hesab olunur)

Əgər tədqiq olunan sistemi təsvir edən tənliklər qurmaq mümkündürsə, bu o demək deyil ki, onları hətta kompüterin köməyi ilə də həll etmək olar. Bu vəziyyətdə ümumi bir texnika təxminlərin istifadəsidir (3-cü tip modellər). Onların arasında xətti cavab modelləri. Tənliklər xətti olanlarla əvəz olunur. Standart nümunə Ohm qanunudur.

Budur, bioloji sistemlərin riyazi modellərində geniş istifadə olunan 8-ci tip.

Növ 8: İmkan nümayişi (əsas olan imkanın daxili ardıcıllığını göstərməkdir)

Bunlar həm də xəyali varlıqlarla aparılan düşüncə təcrübələridir və bunu nümayiş etdirir ehtimal olunan fenomenəsas prinsiplərə uyğundur və daxili uyğundur. Gizli ziddiyyətləri üzə çıxaran 7-ci tip modellərdən əsas fərq budur.

Bu təcrübələrdən ən məşhuru Lobaçevskinin həndəsəsidir (Lobaçevski bunu “xəyali həndəsə” adlandırırdı). Başqa bir nümunə kimyəvi və bioloji rəqslərin, avtodalğaların və s. formal kinetik modellərinin kütləvi istehsalıdır. Eynşteyn-Podolski-Rozen paradoksu kvant mexanikasının uyğunsuzluğunu nümayiş etdirmək üçün 7-ci tip model kimi düşünülmüşdür. Tamamilə planlaşdırılmamış şəkildə, nəticədə o, 8-ci tip modelə çevrildi - məlumatın kvant teleportasiyasının mümkünlüyünün nümayişi.

Misal

Bir ucunda sabitlənmiş yaydan və kütlə yükündən ibarət olan mexaniki bir sistemi nəzərdən keçirək m yayın sərbəst ucuna yapışdırılır. Yükün yalnız yay oxu istiqamətində hərəkət edə biləcəyini güman edəcəyik (məsələn, hərəkət çubuq boyunca baş verir). Bu sistemin riyazi modelini quraq. Sistemin vəziyyətini məsafə ilə təsvir edəcəyik x yükün mərkəzindən tarazlıq vəziyyətinə qədər. İstifadə edərək yay və yükün qarşılıqlı təsirini təsvir edək Hooke qanunu (F = − kx ) bundan sonra Nyutonun ikinci qanununu diferensial tənlik şəklində ifadə etmək üçün istifadə edirik:

burada ikinci törəmə deməkdir x vaxta görə: .

Alınan tənlik nəzərdən keçirilən fiziki sistemin riyazi modelini təsvir edir. Bu model "harmonik osilator" adlanır.

Formal təsnifata görə, bu model xətti, deterministik, dinamik, konsentrasiyalı, davamlıdır. Onun qurulması prosesində bir çox fərziyyələr etdik (xarici qüvvələrin olmaması, sürtünmənin olmaması, sapmaların kiçikliyi və s. haqqında), əslində yerinə yetirilməyə də bilər.

Reallıqla əlaqədar olaraq, bu, ən çox 4-cü tip modeldir. sadələşdirmə(“Aydınlıq üçün bəzi təfərrüatları buraxırıq”), çünki bəzi vacib universal xüsusiyyətlər (məsələn, dağılma) buraxılmışdır. Bəzi təxmini hesablamalarda (məsələn, yükün tarazlıqdan kənara çıxması kiçik, az sürtünmə ilə, çox uzun müddətə və müəyyən digər şərtlərə tabe olduqda) belə bir model real mexaniki sistemi olduqca yaxşı təsvir edir, çünki atılan amillər onun davranışına cüzi təsir göstərir. Bununla belə, model bu amillərdən bəzilərini nəzərə almaqla dəqiqləşdirilə bilər. Bu, daha geniş (yenidən məhdud olsa da) əhatə dairəsi olan yeni bir modelə gətirib çıxaracaq.

Bununla belə, model dəqiqləşdirildikdə, onun riyazi tədqiqinin mürəkkəbliyi əhəmiyyətli dərəcədə arta bilər və modeli faktiki olaraq yararsız edə bilər. Çox vaxt daha sadə bir model daha mürəkkəb (və formal olaraq “daha ​​düzgün”) ilə müqayisədə real sistemi daha yaxşı və dərindən araşdırmağa imkan verir.

Harmonik osilator modelini fizikadan uzaq obyektlərə tətbiq etsək, onun mənalı statusu fərqli ola bilər. Məsələn, bu modeli bioloji populyasiyalara tətbiq edərkən, çox güman ki, 6-cı tipə aid edilməlidir bənzətmə(“Yalnız bəzi xüsusiyyətləri nəzərə alaq”).

Sərt və yumşaq modellər

Harmonik osilator sözdə "sərt" modelin nümunəsidir. Həqiqi fiziki sistemin güclü ideallaşdırılması nəticəsində əldə edilir. Onun tətbiqi məsələsini həll etmək üçün diqqətdən kənarda qoyduğumuz amillərin nə qədər əhəmiyyətli olduğunu başa düşmək lazımdır. Başqa sözlə, "sərt" olanın kiçik bir təlaşla əldə edilən "yumşaq" modeli araşdırmaq lazımdır. Məsələn, aşağıdakı tənlik ilə verilə bilər:

Burada - sürtünmə qüvvəsini və ya yayın sərtlik əmsalının onun uzanma dərəcəsindən asılılığını nəzərə ala bilən bəzi funksiya - bəzi kiçik parametr. Funksiyanın açıq forması f hal-hazırda maraqlanmırıq. Yumşaq bir modelin davranışının sərt olanın davranışından əsaslı şəkildə fərqlənmədiyini sübut etsək (narahat edən amillərin açıq formasından asılı olmayaraq, əgər onlar kifayət qədər kiçikdirlərsə), problem sərt modeli öyrənməyə qədər azalacaq. Əks halda, sərt modelin tədqiqi zamanı əldə edilən nəticələrin tətbiqi əlavə tədqiqat tələb edəcəkdir. Məsələn, harmonik osilatorun tənliyinin həlli formanın funksiyalarıdır, yəni sabit amplituda olan salınımlar. Buradan belə nəticə çıxır ki, həqiqi osilator sabit amplituda ilə qeyri-müəyyən müddətə salınacaq? Xeyr, çünki ixtiyari olaraq kiçik sürtünmə qüvvəsi olan sistemi (həmişə real sistemdə mövcuddur) nəzərə alsaq, biz sönümlü salınımlar alırıq. Sistemin davranışı keyfiyyətcə dəyişdi.

Əgər sistem kiçik bir pozğunluqda öz keyfiyyət davranışını saxlayırsa, onun struktur olaraq sabit olduğu deyilir. Harmonik osilator struktur cəhətdən qeyri-sabit (kobud olmayan) sistemin nümunəsidir. Bununla belə, bu model məhdud zaman intervallarında prosesləri öyrənmək üçün istifadə edilə bilər.

Modellərin universallığı

Ən vacib riyazi modellər adətən mühüm xüsusiyyətə malikdir universallıq: prinsipcə fərqli real hadisələr eyni riyazi modellə təsvir edilə bilər. Məsələn, harmonik osilator təkcə yaydakı yükün davranışını deyil, həm də çox vaxt tamamilə fərqli xarakter daşıyan digər salınım proseslərini təsvir edir: sarkacın kiçik salınımları, maye səviyyəsindəki dalğalanmalar. U-şəkilli gəmi və ya salınım dövrəsində cərəyan gücündə dəyişiklik. Beləliklə, bir riyazi modeli öyrənərək, onun təsvir etdiyi hadisələrin bütün sinfini dərhal öyrənirik. Elmi biliyin müxtəlif seqmentlərində riyazi modellərin ifadə etdiyi qanunların məhz bu izomorfizmi Lüdviq fon Bertalanfini “Ümumi Sistemlər Nəzəriyyəsi”ni yaratmağa vadar etdi.

Riyazi modelləşdirmənin birbaşa və tərs məsələləri

Riyazi modelləşdirmə ilə bağlı çoxlu problemlər var. Birincisi, modelləşdirilən obyektin əsas sxemini ortaya çıxarmaq, onu bu elmin ideallaşdırmaları çərçivəsində çoxaltmaq lazımdır. Beləliklə, qatar vaqonu müxtəlif materiallardan hazırlanmış lövhələr və daha mürəkkəb gövdələr sisteminə çevrilir, hər bir material onun standart mexaniki idealizasiyası (sıxlıq, elastik modullar, standart güc xüsusiyyətləri) kimi verilir, bundan sonra yol boyu tənliklər tərtib edilir. bəzi detallar əhəmiyyətsiz kimi atılır, hesablamalar aparılır, ölçmələrlə müqayisə edilir, model dəqiqləşdirilir və s. Bununla belə, riyazi modelləşdirmə texnologiyalarının inkişafı üçün bu prosesi onun əsas tərkib elementlərinə sökmək faydalıdır.

Ənənəvi olaraq, riyazi modellərlə əlaqəli problemlərin iki əsas sinfi var: birbaşa və tərs.

Birbaşa problem: modelin strukturu və onun bütün parametrləri məlum sayılır, əsas vəzifə obyekt haqqında faydalı biliklər çıxarmaq üçün modeli öyrənməkdir. Körpü hansı statik yükə tab gətirə bilər? Dinamik yükə necə reaksiya verəcək (məsələn, bir əsgər rotasının gedişinə və ya müxtəlif sürətlə bir qatarın keçməsinə), təyyarənin səs maneəsini necə keçəcəyi, çırpınmadan dağılacaqmı - bunlar birbaşa tapşırığın tipik nümunələridir. Düzgün birbaşa məsələnin qoyulması (düzgün sualın verilməsi) xüsusi bacarıq tələb edir. Düzgün suallar verilməsə, davranışı üçün yaxşı bir model qurulsa belə, körpü çökə bilər. Belə ki, 1879-cu ildə İngiltərədə Tey çayı üzərindən keçən metal körpü uçdu, onun dizaynerləri körpünün maketini düzəltdilər, onu faydalı yük üçün 20 qat təhlükəsizlik marjasına hesabladılar, lakin həmin yerlərdə daim əsən küləkləri unutdular. yerlər. Və bir il yarımdan sonra dağıldı.

Ən sadə halda (məsələn, bir osilator tənliyi) birbaşa məsələ çox sadədir və bu tənliyin açıq həllinə qədər azaldır.

Tərs problem: bir çox mümkün modellər məlumdur, obyekt haqqında əlavə məlumatlar əsasında konkret model seçmək lazımdır. Çox vaxt modelin strukturu məlumdur və bəzi naməlum parametrləri müəyyən etmək lazımdır. Əlavə məlumat əlavə empirik məlumatlardan və ya obyekt üçün tələblərdən ibarət ola bilər ( dizayn tapşırığı). Tərs məsələnin həlli prosesindən asılı olmayaraq əlavə məlumatlar gələ bilər ( passiv müşahidə) və ya həlli zamanı xüsusi olaraq planlaşdırılan təcrübənin nəticəsi ola bilər ( aktiv müşahidə).

Mövcud məlumatlardan maksimum istifadə etməklə tərs məsələnin virtuoz həllinin ilk nümunələrindən biri müşahidə edilən sönümlü salınımlardan sürtünmə qüvvələrinin yenidən qurulması üçün İ.Nyuton tərəfindən qurulmuş metoddur.

Əlavə nümunələr

harada x s- doğum nisbətinin ölüm nisbəti ilə dəqiq kompensasiya olunduğu "tarazlıq" əhalinin ölçüsü. Belə bir modeldə əhalinin ölçüsü tarazlıq dəyərinə meyl edir x s, və bu davranış struktur olaraq sabitdir.

Bu sistem dovşan və tülkülərin sayının sabit olduğu bir tarazlıq vəziyyətinə malikdir. Bu vəziyyətdən sapma harmonik osilatorda dalğalanmalara bənzər dovşan və tülkülərin sayında dalğalanmalara səbəb olur. Harmonik osilatorda olduğu kimi, bu davranış struktur cəhətdən sabit deyil: modeldə kiçik bir dəyişiklik (məsələn, dovşanların ehtiyac duyduğu məhdud resursları nəzərə alaraq) davranışın keyfiyyətcə dəyişməsinə səbəb ola bilər. Məsələn, tarazlıq vəziyyəti sabitləşə bilər və populyasiyanın dəyişməsi azalacaq. Əks vəziyyət də mümkündür, tarazlıq vəziyyətindən hər hansı kiçik bir sapma, növlərdən birinin tamamilə yox olmasına qədər fəlakətli nəticələrə səbəb olacaqdır. Bu ssenarilərdən hansının həyata keçirildiyi sualına Volterra-Lotka modeli cavab vermir: burada əlavə araşdırma tələb olunur.

Qeydlər

1. "Reallığın riyazi təsviri" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Kibernetik modelləşdirmənin fəlsəfi suallarına dair. M., Bilik, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin Modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mixaylov A. P. Riyazi modelləşdirmə. İdeyalar. Metodlar. Nümunələr. . - 2-ci nəşr, Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 ilə 192
6. Vikilüğət: riyazi modellər
7. Cliffs Qeydləri
8. Çoxölçülü hadisələr üçün model reduksiya və qaba dənəli yanaşmalar, Springer, Mürəkkəblik seriyası, Berlin-Heidelberq-Nyu York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
9. “Nəzəriyyə xətti və ya qeyri-xətti riyazi aparatdan, hansı xətti və ya qeyri-xətti riyazi modellərdən istifadə etməsindən asılı olaraq xətti və ya qeyri-xətti hesab olunur. ... sonuncunu inkar etmədən. Müasir fizik, əgər təsadüfən qeyri-xəttilik kimi vacib bir varlığı yenidən təyin etsəydi, çox güman ki, fərqli hərəkət edərdi və qeyri-xəttiliyi iki əksin daha vacib və ümumisi olaraq üstün tutaraq, xəttiliyi “qeyri-qeyri-qeyri” olaraq təyin edərdi. xəttilik”. Danilov Yu.A., Qeyri-xətti dinamikadan mühazirələr. Elementar giriş. Sinergetika: keçmişdən gələcək seriyaya. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. “Sonlu sayda adi diferensial tənliklər ilə modelləşdirilmiş dinamik sistemlər toplanmış və ya nöqtəli sistemlər adlanır. Onlar sonlu ölçülü faza fəzasından istifadə etməklə təsvir edilir və sonlu sayda sərbəstlik dərəcələri ilə xarakterizə olunur. Fərqli şərtlər altında bir və eyni sistem ya cəmlənmiş, ya da paylanmış hesab edilə bilər. Paylanmış sistemlərin riyazi modelləri qismən diferensial tənliklər, inteqral tənliklər və ya adi gecikmə tənlikləridir. Paylanmış sistemin sərbəstlik dərəcələrinin sayı sonsuzdur və onun vəziyyətini müəyyən etmək üçün sonsuz sayda verilənlər tələb olunur. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No 11, səh. 77-84.
11. “S sistemində öyrənilən proseslərin xarakterindən asılı olaraq modelləşdirmənin bütün növlərini deterministik və stokastik, statik və dinamik, diskret, davamlı və diskret-fasiləsiz bölmək olar. Deterministik modelləşdirmə deterministik prosesləri, yəni hər hansı təsadüfi təsirlərin olmamasının fərz edildiyi prosesləri göstərir; stoxastik modelləşdirmə ehtimal prosesləri və hadisələri göstərir. ... Statik modelləşdirmə obyektin istənilən andakı davranışını təsvir etmək üçün istifadə olunur, dinamik modelləşdirmə isə obyektin zamanla davranışını əks etdirir. Diskret modelləşdirmə diskret hesab edilən prosesləri təsvir etməyə xidmət edir, müvafiq olaraq davamlı modelləşdirmə sistemlərdə davamlı prosesləri əks etdirməyə imkan verir və diskret-fasiləsiz modelləşdirmə həm diskret, həm də davamlı proseslərin mövcudluğunu vurğulamaq istədiyiniz hallar üçün istifadə olunur. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin Modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Adətən, riyazi model modelləşdirilən obyektin strukturunu (cihazını), tədqiqatın məqsədləri üçün vacib olan bu obyektin komponentlərinin xassələrini və qarşılıqlı əlaqələrini əks etdirir; belə bir model struktur adlanır. Model yalnız obyektin necə işlədiyini - məsələn, xarici təsirlərə necə reaksiya verdiyini əks etdirirsə, o zaman funksional və ya məcazi mənada qara qutu adlanır. Birləşdirilmiş modellər də mümkündür. Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 ilə 192
13. “Aydındır, lakin riyazi modelin qurulması və ya seçilməsində ən vacib ilkin mərhələ modelləşdirilən obyekt haqqında mümkün qədər aydın təsəvvür əldə etmək və qeyri-rəsmi müzakirələr əsasında onun məzmun modelini təkmilləşdirməkdir. Bu mərhələdə vaxt və səy sərf edilməməlidir, bütün tədqiqatın uğuru əsasən ondan asılıdır. Dəfələrlə belə olub ki, riyazi problemin həllinə sərf olunan xeyli iş, məsələnin bu tərəfinə yetərincə diqqət yetirilmədiyinə görə səmərəsiz, hətta boşa çıxıb. Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Sistemin konseptual modelinin təsviri. Sistem modelinin qurulmasının bu alt mərhələsində: a) konseptual model M abstrakt termin və anlayışlarla təsvir olunur; b) tipik riyazi sxemlərdən istifadə etməklə modelin təsviri verilir; c) fərziyyələr və fərziyyələr nəhayət qəbul edilir; d) modelin qurulması zamanı real proseslərin yaxınlaşması prosedurunun seçilməsi əsaslandırılır. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin Modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, səh. 93.

Model və simulyasiya anlayışı.

Geniş mənada model- bu, onun əvəzedicisi və ya nümayəndəsi kimi istifadə edilən hər hansı bir təsvir, zehni və ya müəyyən edilmiş təsvirin analoqu, hər hansı həcmin, prosesin və ya hadisənin təsviri, diaqramı, çertyoj, xəritə və s. Obyekt, proses və ya hadisənin özü bu modelin orijinalı adlanır.

Modelləşdirmə - bu, hər hansı obyekt və ya obyektlər sisteminin modellərini qurmaq və öyrənmək yolu ilə öyrənilməsidir. Bu, xüsusiyyətləri müəyyən etmək və ya təkmilləşdirmək və yeni tikilmiş obyektlərin qurulması yollarını rasionallaşdırmaq üçün modellərin istifadəsidir.

İstənilən elmi tədqiqat metodu modelləşdirmə ideyasına əsaslanır, eyni zamanda nəzəri metodlarda müxtəlif növ işarə, mücərrəd modellərdən, eksperimentallarda isə subyektiv modellərdən istifadə olunur.

Tədqiqatda mürəkkəb real hadisə hansısa sadələşdirilmiş surət və ya sxemlə əvəz olunur, bəzən belə bir nüsxə yalnız növbəti görüşdə arzu olunan hadisəni yadda saxlamağa və tanımağa xidmət edir. Bəzən qurulmuş sxem bəzi vacib xüsusiyyətləri əks etdirir, fenomenin mexanizmini başa düşməyə imkan verir, onun dəyişməsini proqnozlaşdırmağa imkan verir. Fərqli modellər eyni fenomenə uyğun ola bilər.

Tədqiqatçının vəzifəsi hadisənin xarakterini və prosesin gedişatını proqnozlaşdırmaqdır.

Bəzən elə olur ki, obyekt mövcuddur, lakin onunla təcrübələr baha başa gəlir və ya ciddi ekoloji nəticələrə gətirib çıxarır. Belə proseslər haqqında biliklər modellərin köməyi ilə əldə edilir.

Əhəmiyyətli bir məqam ondan ibarətdir ki, elmin mahiyyəti konkret bir hadisənin deyil, əlaqəli hadisələrin geniş sinfinin öyrənilməsini nəzərdə tutur. O, qanunlar adlanan bəzi ümumi kateqoriyalı müddəaların formalaşdırılması ehtiyacını nəzərdə tutur. Təbii ki, belə bir formalaşdırma ilə bir çox detallar nəzərdən qaçırılır. Nümunəni daha aydın müəyyən etmək üçün onlar qəsdən qabalaşdırmaya, ideallaşdırmaya, sxematikliyə gedirlər, yəni hadisənin özünü yox, onun az-çox dəqiq surətini və ya modelini öyrənirlər. Bütün qanunlar modellər haqqında qanunlardır və buna görə də təəccüblü deyil ki, zaman keçdikcə bəzi elmi nəzəriyyələr yararsız kimi tanınır. Bu, elmin dağılmasına səbəb olmur, çünki bir model digəri ilə əvəz olunub. daha müasir.

Elmdə xüsusi rolu riyazi modellər, bu modellərin tikinti materialı və alətləri - riyazi anlayışlar oynayır. Onlar min illər ərzində yığılıb və təkmilləşiblər. Müasir riyaziyyat son dərəcə güclü və universal tədqiqat vasitələri təqdim edir. Demək olar ki, riyaziyyatda hər bir anlayış, ədəd anlayışından başlayaraq hər bir riyazi obyekt riyazi modeldir. Tədqiq olunan obyektin və ya hadisənin riyazi modelini qurarkən onun xüsusiyyətlərini, xüsusiyyətlərini və təfərrüatlarını ayırd edirlər ki, bu da bir tərəfdən obyekt haqqında az-çox dolğun məlumatları ehtiva edir, digər tərəfdən isə imkan verir. riyazi rəsmiləşdirmə. Riyazi formallaşdırma o deməkdir ki, obyektin xüsusiyyətləri və detalları müvafiq adekvat riyazi anlayışlarla əlaqələndirilə bilər: ədədlər, funksiyalar, matrislər və s. Sonra tədqiq olunan obyektdə onun ayrı-ayrı hissələri və komponentləri arasında tapılan və qəbul edilən əlaqələri və əlaqələri riyazi əlaqələrdən istifadə etməklə yazmaq olar: bərabərliklər, bərabərsizliklər, tənliklər. Nəticə tədqiq olunan prosesin və ya hadisənin riyazi təsviri, yəni onun riyazi modelidir.

Riyazi modelin tədqiqi həmişə öyrənilən obyektlər üzərində bəzi hərəkət qaydaları ilə əlaqələndirilir. Bu qaydalar səbəblər və nəticələr arasındakı əlaqəni əks etdirir.

Riyazi modelin qurulması hər hansı bir sistemin öyrənilməsində və ya dizaynında mərkəzi mərhələdir. Obyektin bütün sonrakı təhlili modelin keyfiyyətindən asılıdır. Modelin yaradılması formal prosedur deyil. Bu, tədqiqatçıdan, onun təcrübəsindən və zövqündən çox asılıdır, həmişə müəyyən eksperimental materiala əsaslanır. Model kifayət qədər dəqiq, adekvat və istifadə üçün əlverişli olmalıdır.

Riyazi modelləşdirmə.

Riyazi modellərin təsnifatı.

Riyazi modellər ola bilərmüəyyən edilmişdir və stokastik .

Determinist model və - bunlar obyekt və ya hadisəni təsvir edən dəyişənlər arasında təkbətək uyğunluğun qurulduğu modellərdir.

Bu yanaşma obyektlərin fəaliyyət mexanizmi haqqında biliklərə əsaslanır. Modelləşdirilən obyekt çox vaxt mürəkkəbdir və onun mexanizminin deşifrə edilməsi çox zəhmətli və vaxt aparan ola bilər. Bu zaman onlar aşağıdakı kimi hərəkət edirlər: orijinal üzərində eksperimentlər aparılır, nəticələr emal olunur və modelləşdirilmiş obyektin mexanizminə və nəzəriyyəsinə dərinləşmədən, riyazi statistika və ehtimal nəzəriyyəsi metodlarından istifadə etməklə, onlar arasında əlaqələr qurulur. obyekti təsvir edən dəyişənlər. Bu vəziyyətdə, alınstokastik model . AT stokastik model, dəyişənlər arasında əlaqə təsadüfi olur, bəzən əsaslı şəkildə baş verir. Çox sayda amillərin təsiri, onların birləşməsi obyekti və ya hadisəni təsvir edən təsadüfi dəyişənlər toplusuna səbəb olur. Rejimlərin təbiətinə görə model belədirstatistik və dinamik.

Statistikmodelzamanla parametrlərin dəyişməsini nəzərə almadan, sabit vəziyyətdə olan simulyasiya edilmiş obyektin əsas dəyişənləri arasında əlaqələrin təsvirini ehtiva edir.

AT dinamikmodellərbir rejimdən digərinə keçiddə simulyasiya edilmiş obyektin əsas dəyişənləri arasında əlaqəni təsvir edir.

Modellərdir diskret və davamlı, eləcə də qarışıq növü. AT davamlı Dəyişənlər müəyyən bir intervaldan qiymətlər alırdiskretdəyişənlər təcrid olunmuş qiymətlər alır.

Xətti Modellər- modeli təsvir edən bütün funksiyalar və münasibətlər dəyişənlərdən xətti asılıdır vəxətti deyiləks halda.

Riyazi modelləşdirmə.

Tələblər , təqdim etdi modellərə.

1. Çox yönlülük- real obyektin tədqiq olunan xassələrinin modeli ilə nümayişin tamlığını xarakterizə edir.

1. Adekvatlıq - obyektin arzu olunan xassələrini göstəriləndən yüksək olmayan xəta ilə əks etdirmək qabiliyyəti.
2. Dəqiqlik - real obyektin xüsusiyyətlərinin qiymətlərinin və modellərdən istifadə edərək əldə edilən bu xüsusiyyətlərin qiymətlərinin üst-üstə düşmə dərəcəsi ilə qiymətləndirilir.
3. İqtisadiyyat - kompüter yaddaş ehtiyatlarının dəyəri və onun həyata keçirilməsi və istismarı üçün vaxtla müəyyən edilir.

Riyazi modelləşdirmə.

Modelləşdirmənin əsas mərhələləri.

1. Problemin ifadəsi.

Təhlilin məqsədinin və ona nail olmaq yollarının müəyyən edilməsi və tədqiq olunan problemə ümumi yanaşmanın formalaşdırılması. Bu mərhələdə tapşırığın mahiyyətini dərindən başa düşmək tələb olunur. Bəzən bir vəzifəni düzgün qoymaq onu həll etməkdən daha çətin deyil. Səhnələşdirmə formal proses deyil, ümumi qaydalar yoxdur.

2. Nəzəri əsasların öyrənilməsi və orijinalın obyekti haqqında məlumatların toplanması.

Bu mərhələdə uyğun bir nəzəriyyə seçilir və ya hazırlanır. Əgər mövcud deyilsə, obyekti təsvir edən dəyişənlər arasında səbəb-nəticə əlaqəsi qurulur. Giriş və çıxış məlumatları müəyyən edilir, sadələşdirici fərziyyələr edilir.

3. Rəsmiləşdirmə.

O, simvollar sisteminin seçilməsindən və onlardan istifadə edərək obyektin komponentləri arasındakı əlaqəni riyazi ifadələr şəklində yazmaqdan ibarətdir. Tapşırıqlar sinfi qurulur, nəticədə obyektin riyazi modelinə aid edilə bilər. Bu mərhələdə bəzi parametrlərin dəyərləri hələ təyin olunmaya bilər.

4. Həll metodunun seçimi.

Bu mərhələdə obyektin istismar şərtləri nəzərə alınmaqla modellərin yekun parametrləri təyin edilir. Alınan riyazi məsələ üçün həll üsulu seçilir və ya xüsusi üsul hazırlanır. Metod seçərkən istifadəçinin biliyi, onun üstünlükləri, həmçinin tərtibatçının üstünlükləri nəzərə alınır.

5. Modelin həyata keçirilməsi.

Alqoritm işləyib hazırladıqdan sonra sazlanan, yoxlanılan proqram yazılır və istədiyiniz məsələnin həlli alınır.

6. Alınan məlumatların təhlili.

Alınan və gözlənilən həll müqayisə edilir, modelləşdirmə xətası idarə olunur.

7. Real obyektin adekvatlığının yoxlanılması.

Modelin əldə etdiyi nəticələr müqayisə edilirya obyekt haqqında mövcud olan məlumatlarla, ya da təcrübə aparılır və onun nəticələri hesablanmışlarla müqayisə edilir.

Modelləşdirmə prosesi iterativdir. Mərhələlərin qeyri-qənaətbəxş nəticələri olduqda 6. və ya 7. uğursuz bir modelin inkişafına səbəb ola biləcək erkən mərhələlərdən birinə qayıdış həyata keçirilir. Bu mərhələ və bütün sonrakı mərhələlər dəqiqləşdirilir və modelin belə dəqiqləşdirilməsi məqbul nəticələr əldə olunana qədər baş verir.

Riyazi model riyaziyyat dili ilə real dünyanın hər hansı bir hadisə və ya obyekt sinfinin təxmini təsviridir. Modelləşdirmənin əsas məqsədi bu obyektləri tədqiq etmək və gələcək müşahidələrin nəticələrini proqnozlaşdırmaqdır. Bununla belə, modelləşdirmə həm də ətraf aləmi dərk etmək üsuludur ki, bu da onu idarə etməyə imkan verir.

Riyazi modelləşdirmə və əlaqəli kompüter təcrübəsi bu və ya digər səbəbdən tam miqyaslı eksperimentin qeyri-mümkün və ya çətin olduğu hallarda əvəzolunmazdır. Məsələn, “əgər... nə olardı” yoxlamaq üçün tarixdə tam miqyaslı təcrübə qurmaq mümkün deyil, bu və ya digər kosmoloji nəzəriyyənin doğruluğunu yoxlamaq mümkün deyil. Prinsipcə, vəba kimi bir növ xəstəliyin yayılması ilə təcrübə aparmaq və ya onun nəticələrini öyrənmək üçün nüvə partlayışı etmək mümkündür, lakin ağlabatan deyil. Ancaq bütün bunları əvvəllər tədqiq olunan hadisələrin riyazi modellərini quraraq kompüterdə etmək olar.

1.1.2 2. Riyazi modelləşdirmənin əsas mərhələləri

1) Modelin qurulması. Bu mərhələdə hansısa "qeyri-riyazi" obyekt dəqiqləşdirilir - təbiət hadisəsi, tikinti, təsərrüfat planı, istehsal prosesi və s. Bu halda, bir qayda olaraq, vəziyyətin aydın təsviri çətindir. Birincisi, fenomenin əsas xüsusiyyətləri və onlar arasında keyfiyyət səviyyəsində əlaqə müəyyən edilir. Sonra tapılan keyfiyyət asılılıqları riyaziyyatın dilində tərtib edilir, yəni riyazi model qurulur. Bu modelləşdirmənin ən çətin hissəsidir.

2) Modelin gətirdiyi riyazi məsələnin həlli. Bu mərhələdə problemin kompüterdə həlli üçün alqoritmlərin və ədədi üsulların işlənib hazırlanmasına böyük diqqət yetirilir, onların köməyi ilə nəticə tələb olunan dəqiqliklə və məqbul müddət ərzində tapıla bilər.

3) Riyazi modeldən alınan nəticələrin şərhi.Riyaziyyat dilində modeldən alınan nəticələr bu sahədə qəbul edilən dildə şərh olunur.

4) Modelin adekvatlığının yoxlanılması.Bu mərhələdə təcrübənin nəticələrinin müəyyən dəqiqlik daxilində modeldən gələn nəzəri nəticələrlə uyğun olub-olmaması müəyyən edilir.

5) Modelin modifikasiyası.Bu mərhələdə ya model reallığa daha adekvat olması üçün mürəkkəbləşir, ya da praktiki olaraq məqbul həllə nail olmaq üçün sadələşdirilir.

1.1.3 3. Modelin təsnifatı

Modellər müxtəlif meyarlara görə təsnif edilə bilər. Məsələn, həll olunan problemlərin xarakterinə görə modelləri funksional və struktura bölmək olar. Birinci halda, bir hadisəni və ya obyekti xarakterizə edən bütün kəmiyyətlər kəmiyyətlə ifadə edilir. Eyni zamanda onların bəziləri müstəqil dəyişənlər, digərləri isə bu kəmiyyətlərin funksiyaları kimi qəbul edilir. Riyazi model adətən nəzərdən keçirilən kəmiyyətlər arasında kəmiyyət əlaqələri quran müxtəlif tipli (diferensial, cəbri və s.) tənliklər sistemidir. İkinci halda, model ayrı-ayrı hissələrdən ibarət mürəkkəb obyektin strukturunu xarakterizə edir, onların arasında müəyyən əlaqələr mövcuddur. Tipik olaraq, bu əlaqələr kəmiyyətlə ölçülə bilməz. Belə modelləri qurmaq üçün qrafik nəzəriyyəsindən istifadə etmək rahatdır. Qrafik müstəvidə və ya fəzada bəziləri xətlərlə (kənarlarla) birləşdirilən nöqtələrin (təpələrin) məcmusu olan riyazi obyektdir.

İlkin məlumatların xarakterinə və proqnoz nəticələrinə görə modelləri deterministik və ehtimal-statistika bölmək olar. Birinci tip modellər qəti, birmənalı proqnozlar verir. İkinci tip modellər statistik məlumatlara əsaslanır və onların köməyi ilə alınan proqnozlar ehtimal xarakteri daşıyır.

RİYASİ MODELLEŞME VƏ ÜMUMİ KOMPYÜTERLƏŞMƏ VƏ YA SİMULASYON MODELLERİ

İndi ölkədə demək olar ki, universal kompüterləşmə getdiyi bir vaxtda müxtəlif peşə sahiblərinin “Ölkəmizdə kompüter tətbiq edək, onda bütün vəzifələr dərhal həll olunacaq” ifadələrini eşitmək olar. Bu nöqteyi-nəzərdən tamamilə yanlışdır, kompüterlərin özləri müəyyən proseslərin riyazi modelləri olmadan heç nə edə bilməzlər və yalnız universal kompüterləşməni xəyal etmək olar.

Yuxarıda göstərilənləri dəstəkləyərək, modelləşdirməyə, o cümlədən riyazi modelləşdirməyə ehtiyacı əsaslandırmağa çalışacağıq, onun xarici aləmin insan tərəfindən biliyində və çevrilməsində üstünlüklərini ortaya qoymağa, mövcud çatışmazlıqları aşkar etməyə və simulyasiya modelləşdirməsinə keçəcəyik, yəni. kompüterlərdən istifadə edərək modelləşdirmə. Amma hər şey qaydasındadır.

Əvvəlcə suala cavab verək: model nədir?

Model, idrak (öyrənmə) prosesində bu tədqiqat üçün vacib olan bəzi tipik xassələri saxlayaraq orijinalı əvəz edən maddi və ya əqli cəhətdən təmsil olunan obyektdir.

Yaxşı qurulmuş model tədqiqat üçün real obyektdən daha əlçatandır. Məsələn, təhsil məqsədləri üçün ölkə iqtisadiyyatı ilə təcrübələr yolverilməzdir, burada modelsiz etmək olmaz.

Deyilənləri ümumiləşdirərək suala cavab verə bilərik: modellər nə üçündür? üçün

• obyektin necə işlədiyini başa düşmək (quruluşu, xassələri, inkişaf qanunları, xarici dünya ilə qarşılıqlı əlaqə).
• obyekti (prosesi) idarə etməyi və ən yaxşı strategiyaları müəyyənləşdirməyi öyrənin
• obyektə təsirin nəticələrini proqnozlaşdırmaq.

Hər hansı bir modeldə müsbət nədir? O, obyekt haqqında yeni biliklər əldə etməyə imkan verir, lakin təəssüf ki, bu və ya digər dərəcədə tam deyil.

Modelriyazi metodlardan istifadə etməklə riyaziyyat dilində tərtib edilənə riyazi model deyilir.

Onun tikintisi üçün başlanğıc nöqtəsi adətən bəzi vəzifələrdir, məsələn, iqtisadi. Geniş yayılmış, həm təsviri, həm də optimallaşdırma riyazi, müxtəlif səciyyələndirir iqtisadi proseslər və kimi hadisələr:

• resurs bölgüsü
• rasional kəsmə
• nəqliyyat
• müəssisələrin konsolidasiyası
• şəbəkə planlaşdırılması.

Riyazi model necə qurulur?

• Əvvəlcə tədqiqatın məqsədi və mövzusu formalaşdırılır.
• İkincisi, bu məqsədə uyğun gələn ən mühüm xüsusiyyətlər vurğulanır.
• Üçüncüsü, modelin elementləri arasındakı əlaqələr şifahi şəkildə təsvir olunur.
• Bundan əlavə, münasibətlər rəsmiləşdirilir.
• Və hesablama riyazi modelə və alınan həllin təhlilinə əsasən aparılır.

Bu alqoritmdən istifadə edərək, hər hansı bir optimallaşdırma problemini, o cümlədən çox kriteriyalı problemi həll edə bilərsiniz, yəni. bir deyil, bir neçə məqsəd, o cümlədən ziddiyyətli məqsədlər güdülür.

Bir misal götürək. Növbə nəzəriyyəsi - növbə problemi. Siz iki amili balanslaşdırmalısınız - xidmət cihazlarının saxlanması xərcləri və növbədə qalma xərcləri. Modelin rəsmi təsvirini qurduqdan sonra analitik və hesablama metodlarından istifadə etməklə hesablamalar aparılır. Model yaxşıdırsa, onun köməyi ilə tapılan cavablar modelləşdirmə sisteminə adekvatdır, pisdirsə, təkmilləşdirilməli və dəyişdirilməlidir. Adekvatlıq meyarı təcrübədir.

Optimallaşdırma modellərinin, o cümlədən multikriteriyalı modellərin ümumi xassələri var – məqsəd (və ya bir neçə məqsəd) məlumdur ki, hansına tez-tez mürəkkəb sistemlərlə məşğul olmaq lazımdır, burada söhbət optimallaşdırma problemlərinin həllindən çox deyil, vəziyyətlərin tədqiqi və proqnozlaşdırılmasından gedir. seçilmiş nəzarət strategiyalarından asılı olaraq. Və burada əvvəlki planı həyata keçirməkdə çətinliklərlə üzləşirik. Onlar aşağıdakılardır:

• mürəkkəb sistem elementlər arasında çoxlu əlaqələri ehtiva edir
• real sistemə təsadüfi amillər təsir edir, onları analitik şəkildə nəzərə almaq mümkün deyil
• orijinalı modellə müqayisə etmək imkanı yalnız riyazi aparatın tətbiqinin əvvəlində və sonra mövcuddur, çünki aralıq nəticələrin real sistemdə analoqu olmaya bilər.

Mürəkkəb sistemləri öyrənərkən ortaya çıxan sadalanan çətinliklərlə əlaqədar olaraq, təcrübə daha çevik bir üsul tələb etdi və ortaya çıxdı - simulyasiya modelləşdirmə " Simujation modelləşdirmə".

Adətən, simulyasiya modeli sistemlərin ayrı-ayrı bloklarının fəaliyyətini və onlar arasında qarşılıqlı əlaqə qaydalarını təsvir edən kompüter proqramları toplusu kimi başa düşülür. Təsadüfi dəyişənlərin istifadəsi simulyasiya sistemi ilə (kompüterdə) dəfələrlə təcrübələr keçirməyi və alınan nəticələrin sonrakı statistik təhlilini zəruri edir. Simulyasiya modellərindən istifadənin çox yayılmış nümunəsi növbə probleminin MONTE KARLO üsulu ilə həllidir.

Beləliklə, simulyasiya sistemi ilə işləmək kompüterdə aparılan təcrübədir. Faydaları nələrdir?

– Riyazi modellərə nisbətən real sistemə daha çox yaxınlıq;

– Blok prinsipi hər bir bloku ümumi sistemə daxil edilməzdən əvvəl yoxlamağa imkan verir;

– Sadə riyazi əlaqələrlə təsvir olunmayan daha mürəkkəb xarakterli asılılıqların istifadəsi.

Sadalanan üstünlüklər çatışmazlıqları müəyyənləşdirir

– simulyasiya modelinin qurulması daha uzun, daha çətin və daha bahalıdır;

– simulyasiya sistemi ilə işləmək üçün sinifə uyğun kompüteriniz olmalıdır;

– istifadəçi ilə simulyasiya modeli (interfeys) arasında qarşılıqlı əlaqə çox mürəkkəb, rahat və yaxşı məlum olmamalıdır;

- simulyasiya modelinin qurulması real prosesin riyazi modelləşdirmədən daha dərindən öyrənilməsini tələb edir.

Sual yaranır: simulyasiya modelləşdirməsi optimallaşdırma üsullarını əvəz edə bilərmi? Xeyr, lakin onları rahat şəkildə tamamlayır. Simulyasiya modeli, optimallaşdırma probleminin ilk dəfə həll edildiyi idarəetməni optimallaşdırmaq üçün bəzi alqoritmləri həyata keçirən bir proqramdır.

Deməli, nə kompüter, nə riyazi model, nə də onu ayrıca öyrənmək üçün alqoritm kifayət qədər mürəkkəb məsələni həll edə bilməz. Ancaq birlikdə onlar ətrafınızdakı dünyanı tanımağa, onu insanın maraqlarına uyğun idarə etməyə imkan verən qüvvəni təmsil edirlər.

1.2 Modelin təsnifatı

Riyazi model nədir?

Riyazi model anlayışı.

Riyazi model çox sadə bir anlayışdır. Və çox vacibdir. Riyaziyyatı real həyatı birləşdirən riyazi modellərdir.

Sadə dillə desək, riyazi model hər hansı bir vəziyyətin riyazi təsviridir. Və bu qədər. Model primitiv ola bilər, super mürəkkəb ola bilər. Vəziyyət necədir, model nədir.)

İstənilən halda (təkrar edirəm - hər hansı birində!) biznes, burada nəyisə hesablamaq və hesablamaq lazımdır - biz riyazi modelləşdirmə ilə məşğuluq. Bunu bilməsək də.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Bu qeyd bizim alışlarımız üçün xərclərin riyazi modeli olacaq. Modeldə qablaşdırmanın rəngi, yararlılıq müddəti, kassirlərin nəzakəti və s. nəzərə alınmır. Ona görə də o model, real alqı-satqı deyil. Ancaq xərclər, yəni. bizə nə lazımdır- dəqiq bilərik. Model düzgündürsə, əlbəttə.

Riyazi modelin nə olduğunu təsəvvür etmək faydalıdır, lakin bu kifayət deyil. Ən əsası bu modelləri qura bilməkdir.

Məsələnin riyazi modelinin tərtibi (qurulması).

Riyazi model tərtib etmək məsələnin şərtlərini riyazi formaya çevirmək deməkdir. Bunlar. sözləri tənliyə çevirmək, düstur, bərabərsizlik və s. Üstəlik, onu çevirin ki, bu riyaziyyat ciddi şəkildə orijinal mətnə ​​uyğun olsun. Əks halda, bizə məlum olmayan başqa bir problemin riyazi modeli ilə nəticələnəcəyik.)

Daha dəqiq desək, lazımdır

Dünyada sonsuz sayda tapşırıq var. Buna görə də, riyazi modeli tərtib etmək üçün aydın addım-addım təlimatlar təklif etmək hər hansı vəzifələr qeyri-mümkündür.

Ancaq diqqət etməli olduğunuz üç əsas məqam var.

1. İstənilən tapşırıqda, qəribə də olsa, mətn var.) Bu mətn, bir qayda olaraq, var açıq, açıq məlumat. Rəqəmlər, dəyərlər və s.

2. İstənilən vəzifədə var gizli məlumatlar. Bu, başda əlavə biliklərin olmasını nəzərdə tutan bir mətndir. Onlarsız - heç nə. Bundan əlavə, riyazi məlumatlar çox vaxt sadə sözlərin arxasında gizlənir və ... diqqətdən yayınır.

3. İstənilən tapşırıqda verilməlidir verilənlər arasında əlaqə. Bu əlaqə aydın mətnlə verilə bilər (bir şey nəyəsə bərabərdir) və ya sadə sözlərin arxasında gizlənə bilər. Ancaq sadə və aydın faktlar çox vaxt diqqətdən kənarda qalır. Və model heç bir şəkildə tərtib edilmir.

Dərhal deməliyəm ki, bu üç məqamı tətbiq etmək üçün problemi bir neçə dəfə oxumaq (və diqqətlə!) lazımdır. Adi şey.

İndi - nümunələr.

Sadə bir problemlə başlayaq:

Petroviç balıq ovundan qayıtdı və ovunu qürurla ailəsinə təqdim etdi. Daha yaxından araşdırdıqda məlum oldu ki, 8 balıq şimal dənizlərindən gəlir, bütün balıqların 20% -i cənub dənizlərindən gəlir və Petroviçin balıq tutduğu yerli çaydan bir dənə də olsun. Petroviç Dəniz məhsulları mağazasında neçə balıq aldı?

Bütün bu sözləri bir növ tənliyə çevirmək lazımdır. Bunun üçün təkrar edirəm, problemin bütün məlumatları arasında riyazi əlaqə qurmaq.

Haradan başlamaq lazımdır? Əvvəlcə tapşırıqdan bütün məlumatları çıxaracağıq. Sıra ilə başlayaq:

Birinci məqama diqqət yetirək.

Burada nə var açıq-aşkar riyazi məlumat? 8 balıq və 20%. Çox deyil, amma çox şeyə ehtiyacımız yoxdur.)

İkinci məqama diqqət yetirək.

axtarırlar gizli məlumat. O, buradadır. Bu sözlər: “Bütün balıqların 20%-i". Burada faizlərin nə olduğunu və necə hesablandığını başa düşmək lazımdır. Əks halda, vəzifə həll edilmir. Bu, başda olması lazım olan dəqiq əlavə məlumatdır.

Burada da var riyazi tamamilə görünməyən məlumatlar. o tapşırıq sualı: "Neçə balıq almısan... O da bir nömrədir. Və onsuz heç bir model tərtib edilməyəcək. Ona görə də gəlin bu rəqəmi hərflə qeyd edək "X". Hələ x-in nəyə bərabər olduğunu bilmirik, lakin belə təyinat bizim üçün çox faydalı olacaq. X üçün nə götürmək və onunla necə davranmaq barədə ətraflı məlumat üçün Riyaziyyat məsələlərini necə həll etmək olar dərsinə baxın. Dərhal yazaq:

x ədəd - balıqların ümumi sayı.

Problemimizdə cənub balıqları faizlə verilir. Biz onları parçalara çevirməliyik. Nə üçün? Sonra nə var hər hansı modelin vəzifəsi olmalıdır eyni miqdarda. Parçalar - buna görə də hər şey parça-parçadır. Bizə verilirsə, deyək ki, saatlar və dəqiqələr, biz hər şeyi bir şeyə çeviririk - ya yalnız saatlar, ya da yalnız dəqiqələr. Nə fərqi yoxdur. üçün vacibdir bütün dəyərlər eyni idi.

Açıqlamaya qayıt. Faizin nə olduğunu bilməyən heç vaxt açıqlamaz, bəli... Və kim bilir, dərhal deyəcək ki, burada balıqların ümumi sayının faizləri verilir. Biz bu rəqəmi bilmirik. Bundan heç nə çıxmayacaq!

Balıqların ümumi sayı (parçalarla!) Məktubla boş yerə deyil "X" təyin edilmişdir. Cənub balıqlarını tikə-tikə saymaq işə yaramayacaq, amma yaza bilərikmi? Bunun kimi:

0,2 x ədəd - cənub dənizlərindən gələn balıqların sayı.

İndi tapşırıqdan bütün məlumatları endirdik. Həm açıq, həm də gizli.

Üçüncü məqama diqqət yetirək.

axtarırlar riyazi əlaqə tapşırıq məlumatları arasında. Bu əlaqə o qədər sadədir ki, çoxları bunu hiss etmir... Bu, tez-tez olur. Burada sadəcə toplanmış məlumatları bir dəstəyə yazmaq və nəyin nə olduğunu görmək faydalıdır.

Nəyimiz var? var 8 ədədşimal balıqları, 0,2 x ədəd- cənub balıqları və x balıq- ümumi. Bu məlumatları bir şəkildə birləşdirmək mümkündürmü? Bəli Asan! balıqların ümumi sayı bərabərdir cənub və şimal cəmi! Yaxşı, kim düşünərdi ...) Beləliklə, yazırıq:

x = 8 + 0,2x

Bu tənlik olacaq problemimizin riyazi modeli.

Nəzərə alın ki, bu problemdə bizdən heç nəyi qatlamaq tələb olunmur! Cənub və şimal balıqlarının cəminin bizə ümumi sayı verəcəyini başa düşən özümüz idik. Məsələ o qədər aydındır ki, diqqətdən yayınır. Lakin bu sübut olmadan riyazi model tərtib edilə bilməz. Bunun kimi.

İndi bu tənliyi həll etmək üçün riyaziyyatın bütün gücünü tətbiq edə bilərsiniz). Riyazi model bunun üçün nəzərdə tutulmuşdur. Bu xətti tənliyi həll edirik və cavabını alırıq.

Cavab: x=10

Başqa bir məsələnin riyazi modelini yaradaq:

Petroviçdən soruşdular: "Nə qədər pulun var?" Petroviç ağladı və cavab verdi: "Bəli, bir az. Əgər bütün pulun yarısını xərcləsəm, qalanın yarısını xərcləsəm, onda yalnız bir kisə pulum qalacaq ..." Petroviçin nə qədər pulu var?

Yenə nöqtə-nöqtə işləyirik.

1. Biz açıq məlumat axtarırıq. Onu dərhal tapa bilməyəcəksiniz! Açıq-aşkar məlumatdır bir pul çantası. Başqa yarımlıqlar da var... Yaxşı, ikinci abzasda həll edəcəyik.

2. Biz gizli məlumat axtarırıq. Bunlar yarımdır. Nə? Çox aydın deyil. Daha çox axtarır. Başqa bir məsələ var: "Petroviçin nə qədər pulu var?" Pulun miqdarını hərflə işarə edək "X":

X- bütün pullar

Və problemi yenidən oxuyun. Onsuz da Petroviç bilirik X pulun. Yarımların işlədiyi yer budur! Yazırıq:

0,5 x- bütün pulun yarısı.

Qalan da yarısı olacaq, yəni. 0,5 x. Və yarısının yarısı belə yazıla bilər:

0,5 0,5 x = 0,25x- qalanın yarısı.

İndi bütün gizli məlumatlar üzə çıxır və qeydə alınır.

3. Biz qeydə alınan məlumatlar arasında əlaqə axtarırıq. Burada sadəcə Petroviçin əzablarını oxuya və riyazi olaraq yaza bilərsiniz):

Bütün pulun yarısını xərcləsəm...

Gəlin bu prosesi yazaq. Bütün pullar - X. Yarım - 0,5 x. Xərcləmək götürməkdir. İfadə belə olur:

x - 0,5 x

və qalanın yarısı...

Qalanların yarısını çıxarın:

x - 0,5 x - 0,25 x

onda məndə yalnız bir kisə pul qalacaq...

Və bərabərlik var! Bütün çıxmalardan sonra bir çanta pul qalır:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Budur, riyazi model! Bu yenə xətti tənlikdir, həll edirik, alırıq:

Nəzərdən keçirilməsi üçün sual. Dörd nədir? Rubl, dollar, yuan? Və riyazi modeldə hansı vahidlərdə pulumuz var? Çantalarda! Beləliklə, dörd çanta Petroviçin pulu. Bu da pis deyil.)

Tapşırıqlar, əlbəttə ki, elementardır. Bu, xüsusi olaraq riyazi modelin tərtib edilməsinin mahiyyətini ələ keçirmək üçündür. Bəzi tapşırıqlarda çaşdırmaq asan olan daha çox məlumat ola bilər. Bu, tez-tez sözdə olur. səlahiyyət tapşırıqları. Bir yığın söz və rəqəmdən riyazi məzmunu necə çıxarmaq nümunələrlə göstərilmişdir

Daha bir qeyd. Klassik məktəb problemlərində (borular hovuzu doldurur, qayıqlar haradasa üzür və s.), bütün məlumatlar, bir qayda olaraq, çox diqqətlə seçilir. İki qayda var:
- problemin həlli üçün kifayət qədər məlumat var;
- tapşırıqda əlavə məlumat yoxdur.

Bu bir işarədir. Riyazi modeldə istifadə olunmamış dəyər varsa, səhv olub-olmadığını düşünün. Hər hansı bir şəkildə kifayət qədər məlumat yoxdursa, çox güman ki, bütün gizli məlumatlar aşkar edilməyib və qeydə alınmayıb.

Bacarıq və digər həyat tapşırıqlarında bu qaydalara ciddi əməl edilmir. İpucum yoxdur. Amma bu kimi problemləri də həll etmək olar. Əlbəttə ki, klassik üzərində məşq etməsəniz.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Riyazi modelləşdirmə

1. Riyazi modelləşdirmə nədir?

XX əsrin ortalarından bəri. insan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində riyazi üsullardan və kompüterlərdən geniş istifadə olunmağa başladı. Müvafiq obyekt və hadisələrin riyazi modellərini, habelə bu modellərin öyrənilməsi üsullarını öyrənən “riyazi iqtisadiyyat”, “riyazi kimya”, “riyazi dilçilik” və s. kimi yeni fənlər yaranmışdır.

Riyazi model riyaziyyat dili ilə real dünyanın hər hansı bir hadisə və ya obyekt sinfinin təxmini təsviridir. Modelləşdirmənin əsas məqsədi bu obyektləri tədqiq etmək və gələcək müşahidələrin nəticələrini proqnozlaşdırmaqdır. Bununla belə, modelləşdirmə həm də ətraf aləmi dərk etmək üsuludur ki, bu da onu idarə etməyə imkan verir.

Riyazi modelləşdirmə və əlaqəli kompüter təcrübəsi bu və ya digər səbəbdən tam miqyaslı eksperimentin qeyri-mümkün və ya çətin olduğu hallarda əvəzolunmazdır. Məsələn, “əgər... nə olardı” yoxlamaq üçün tarixdə tam miqyaslı təcrübə qurmaq mümkün deyil, bu və ya digər kosmoloji nəzəriyyənin doğruluğunu yoxlamaq mümkün deyil. Prinsipcə, vəba kimi bir növ xəstəliyin yayılması ilə təcrübə aparmaq və ya onun nəticələrini öyrənmək üçün nüvə partlayışı etmək mümkündür, lakin ağlabatan deyil. Ancaq bütün bunları əvvəllər tədqiq olunan hadisələrin riyazi modellərini quraraq kompüterdə etmək olar.

2. Riyazi modelləşdirmənin əsas mərhələləri

1) Modelin qurulması. Bu mərhələdə hansısa "qeyri-riyazi" obyekt dəqiqləşdirilir - təbiət hadisəsi, tikinti, təsərrüfat planı, istehsal prosesi və s. Bu halda, bir qayda olaraq, vəziyyətin aydın təsviri çətindir. Birincisi, fenomenin əsas xüsusiyyətləri və onlar arasında keyfiyyət səviyyəsində əlaqə müəyyən edilir. Sonra tapılan keyfiyyət asılılıqları riyaziyyatın dilində tərtib edilir, yəni riyazi model qurulur. Bu modelləşdirmənin ən çətin hissəsidir.

2) Modelin gətirdiyi riyazi məsələnin həlli. Bu mərhələdə problemin kompüterdə həlli üçün alqoritmlərin və ədədi üsulların işlənib hazırlanmasına böyük diqqət yetirilir, onların köməyi ilə nəticə tələb olunan dəqiqliklə və məqbul müddət ərzində tapıla bilər.

3) Riyazi modeldən alınan nəticələrin şərhi. Riyaziyyat dilində modeldən alınan nəticələr bu sahədə qəbul edilən dildə şərh olunur.

4) Modelin adekvatlığının yoxlanılması. Bu mərhələdə təcrübənin nəticələrinin müəyyən dəqiqlik daxilində modeldən gələn nəzəri nəticələrlə uyğun olub-olmaması müəyyən edilir.

5) Modelin modifikasiyası. Bu mərhələdə ya model reallığa daha adekvat olması üçün mürəkkəbləşir, ya da praktiki olaraq məqbul həllə nail olmaq üçün sadələşdirilir.

3. Modellərin təsnifatı

Modellər müxtəlif meyarlara görə təsnif edilə bilər. Məsələn, həll olunan problemlərin xarakterinə görə modelləri funksional və struktura bölmək olar. Birinci halda, bir hadisəni və ya obyekti xarakterizə edən bütün kəmiyyətlər kəmiyyətlə ifadə edilir. Eyni zamanda onların bəziləri müstəqil dəyişənlər, digərləri isə bu kəmiyyətlərin funksiyaları kimi qəbul edilir. Riyazi model adətən nəzərdən keçirilən kəmiyyətlər arasında kəmiyyət əlaqələri quran müxtəlif tipli (diferensial, cəbri və s.) tənliklər sistemidir. İkinci halda, model ayrı-ayrı hissələrdən ibarət mürəkkəb obyektin strukturunu xarakterizə edir, onların arasında müəyyən əlaqələr mövcuddur. Tipik olaraq, bu əlaqələr kəmiyyətlə ölçülə bilməz. Belə modelləri qurmaq üçün qrafik nəzəriyyəsindən istifadə etmək rahatdır. Qrafik müstəvidə və ya fəzada bəziləri xətlərlə (kənarlarla) birləşdirilən nöqtələrin (təpələrin) məcmusu olan riyazi obyektdir.

İlkin məlumatların xarakterinə və proqnoz nəticələrinə görə modelləri deterministik və ehtimal-statistika bölmək olar. Birinci tip modellər qəti, birmənalı proqnozlar verir. İkinci tip modellər statistik məlumatlara əsaslanır və onların köməyi ilə alınan proqnozlar ehtimal xarakteri daşıyır.

4. Riyazi modellərin nümunələri

1) Mərminin hərəkəti ilə bağlı problemlər.

Mexanikada aşağıdakı problemi nəzərdən keçirin.

Mərmi Yerdən onun səthinə a = 45° bucaq altında v 0 = 30 m/s ilkin sürətlə buraxılır; onun hərəkət trayektoriyasını və bu trayektoriyanın başlanğıc və son nöqtələri arasındakı məsafəni S tapmaq tələb olunur.

Sonra, məktəb fizikası kursundan məlum olduğu kimi, mərminin hərəkəti düsturlarla təsvir olunur:

burada t - vaxt, g = 10 m / s 2 - sərbəst düşmə sürəti. Bu düsturlar tapşırığın riyazi modelini verir. Birinci tənlikdən t-ni x baxımından ifadə edərək, ikinci tənliklə əvəz etdikdə, mərminin trayektoriyası üçün tənliyi alırıq:

Bu əyri (parabola) x oxunu iki nöqtədə kəsir: x 1 \u003d 0 (traektoriyanın başlanğıcı) və (mərminin düşdüyü yer). Verilmiş v0 və a dəyərlərini alınan düsturlara əvəz edərək əldə edirik

cavab: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Qeyd edək ki, bu modelin qurulmasında bir sıra fərziyyələrdən istifadə edilib: məsələn, Yerin düz olduğu, havanın və Yerin fırlanmasının mərminin hərəkətinə təsir göstərmədiyi güman edilir.

2) Ən kiçik səth sahəsi olan bir tank problemi.

Həcmi V = 30 m 3 olan qalay çənin hündürlüyünü h 0 və radiusunu r 0 tapmaq tələb olunur, qapalı dairəvi silindr şəklinə malikdir və onun səth sahəsi S minimaldır (bu halda, ən az miqdarda qalay onun istehsalına gedəcək).

Hündürlüyü h və radiusu r olan silindrin həcmi və səthi üçün aşağıdakı düsturları yazırıq:

V = p r 2 h, S = 2p r (r + h).

Birinci düsturdan h-ni r və V ilə ifadə edərək və nəticədə alınan ifadəni ikinci ilə əvəz etməklə, əldə edirik:

Beləliklə, riyazi nöqteyi-nəzərdən problem S(r) funksiyasının minimuma çatdığı r-nin qiymətini təyin etməyə qədər azaldılır. Törəmə olan r 0 dəyərlərini tapaq

sıfıra enir: r arqumenti r 0 nöqtəsindən keçəndə S(r) funksiyasının ikinci törəməsinin işarəsinin mənfidən artıya dəyişdiyini yoxlaya bilərsiniz. Deməli, S(r) funksiyası r0 nöqtəsində minimuma malikdir. Müvafiq dəyər h 0 = 2r 0 . Verilmiş V dəyərini r 0 və h 0 ifadəsinə əvəz edərək, istədiyimiz radiusu alırıq. və hündürlük

3) Nəqliyyat tapşırığı.

Şəhərdə iki un anbarı və iki çörək sexi fəaliyyət göstərir. Hər gün birinci anbardan 50 ton, ikinci anbardan 70 ton, fabriklərə 40 ton birinciyə, 80 ton ikinci anbara un ixrac olunur.

ilə işarələyin a ij 1 ton unun i-ci anbardan j-ci zavoda daşınması xərcləridir (i, j = 1.2). Qoy

a 11 \u003d 1,2 p., a 12 \u003d 1,6 p., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 səh.

Daşınma necə planlaşdırılmalıdır ki, onların dəyəri minimal olsun?

Məsələnin riyazi formulunu verək. Birinci anbardan birinci və ikinci zavodlara, x 3 və x 4 ilə isə ikinci anbardan birinci və ikinci zavodlara daşınacaq unun miqdarını müvafiq olaraq x 1 və x 2 ilə işarə edək. Sonra:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Bütün daşımaların ümumi dəyəri düsturla müəyyən edilir

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Riyazi nöqteyi-nəzərdən tapşırıq bütün verilmiş şərtləri ödəyən və f funksiyasının minimumunu verən dörd x 1 , x 2 , x 3 və x 4 ədədini tapmaqdan ibarətdir. xi (i = 1, 2, 3, 4) ilə əlaqədar (1) tənliklər sistemini naməlumların aradan qaldırılması üsulu ilə həll edək. Bunu anlayırıq

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

və x 4 unikal olaraq təyin edilə bilməz. x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4) olduğundan (2) tənliklərindən belə nəticə çıxır ki, 30J x 4 J 70. x 1 , x 2 , x 3 ifadəsini f düsturu ilə əvəz edərək, alırıq.

f \u003d 148 - 0,2x 4.

Bu funksiyanın minimumuna x 4-ün mümkün olan maksimum dəyərində, yəni x 4 = 70-də əldə edildiyini görmək asandır. Digər naməlumların müvafiq dəyərləri (2) düsturları ilə müəyyən edilir: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktiv parçalanma problemi.

N(0) radioaktiv maddənin atomlarının ilkin sayı, N(t) isə t zamanında parçalanmamış atomların sayı olsun. Eksperimental olaraq müəyyən edilmişdir ki, bu atomların sayının dəyişmə sürəti N "(t) N (t) ilə mütənasibdir, yəni N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 müəyyən bir maddənin radioaktivlik sabiti. Məktəbin riyazi analiz kursunda göstərilir ki, bu diferensial tənliyin həlli N(t) = N(0)e –l t formasına malikdir. İlkin atomların sayının iki dəfə azaldığı T vaxtı yarımparçalanma dövrü adlanır və maddənin radioaktivliyinin mühüm xarakteristikasıdır. T-ni təyin etmək üçün düstur qoymaq lazımdır Sonra Məsələn, radon üçün l = 2,084 10-6 və buna görə də T = 3,15 gün.

5) Səyahət edən satıcı problemi.

A 1 şəhərində yaşayan səyyar satıcı A 2, A 3 və A 4 şəhərlərinə, hər bir şəhərə tam olaraq bir dəfə baş çəkməli və sonra A 1-ə qayıtmalıdır. Məlumdur ki, bütün şəhərlər cüt-cüt yollarla bağlıdır və A i və A j (i, j = 1, 2, 3, 4) şəhərləri arasında b ij yollarının uzunluqları aşağıdakı kimidir:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Müvafiq yolun uzunluğunun minimal olduğu şəhərləri ziyarət etmək qaydasını müəyyən etmək lazımdır.

Gəlin hər bir şəhəri təyyarədə bir nöqtə kimi təsvir edək və onu müvafiq etiket Ai (i = 1, 2, 3, 4) ilə qeyd edək. Bu nöqtələri xətt seqmentləri ilə birləşdirək: onlar şəhərlər arasındakı yolları təsvir edəcəklər. Hər bir “yol” üçün onun uzunluğunu kilometrlərlə göstəririk (şək. 2). Nəticə bir qrafikdir - müstəvidə müəyyən nöqtələr toplusundan (təpə nöqtələri adlanır) və bu nöqtələri birləşdirən müəyyən xətlər dəstindən (kənar adlanır) ibarət riyazi obyekt. Üstəlik, bu qrafik etiketlənir, çünki bəzi etiketlər onun təpələrinə və kənarlarına - nömrələrə (kənarlara) və ya simvollara (təpələrə) təyin olunur. Qrafikdəki dövr V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 təpələrinin elə ardıcıllığıdır ki, V 1 , ..., V k təpələri fərqli olsun və istənilən cüt V i , V təpələri i+1 (i = 1, ..., k – 1) və V 1 , V k cütü kənarla birləşir. Beləliklə, nəzərdən keçirilən problem bütün kənar çəkilərinin cəminin minimal olduğu dörd təpənin hamısından keçən qrafikdə belə bir dövrü tapmaqdır. Dörd təpədən keçən və A 1-dən başlayaraq bütün müxtəlif dövrləri axtaraq:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

İndi bu dövrələrin uzunluqlarını (km-lə) tapaq: L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Deməli, ən kiçik uzunluğun marşrutu birincidir.

Qeyd edək ki, qrafikdə n təpə varsa və bütün təpələr cüt-cüt kənarlarla birləşdirilirsə (belə qrafik tam adlanır), onda bütün təpələrdən keçən dövrlərin sayı bərabərdir.Ona görə də bizim vəziyyətimizdə tam olaraq üç dövr var. .

6) Maddələrin quruluşu və xassələri arasında əlaqənin tapılması məsələsi.

Normal alkanlar adlanan bir neçə kimyəvi birləşməni nəzərdən keçirək. Onlar n = 3 üçün Şəkil 3-də göstərildiyi kimi bir-birinə bağlı olan n karbon atomundan və n + 2 hidrogen atomundan (n = 1, 2 ...) ibarətdir. Bu birləşmələrin qaynama nöqtələrinin eksperimental qiymətləri məlum olsun:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Bu birləşmələr üçün qaynama nöqtəsi ilə n ədədi arasında təxmini əlaqə tapmaq tələb olunur. Güman edirik ki, bu asılılıq formaya malikdir

y » a n+b

harada a, b - təyin ediləcək sabitlər. Tapmaq üçün a və b bu düsturda ardıcıl olaraq n = 3, 4, 5, 6 və qaynama nöqtələrinin müvafiq dəyərlərini əvəz edirik. Bizdə:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Ən yaxşısını müəyyən etmək üçün a və b çoxlu müxtəlif üsullar var. Onlardan ən sadəindən istifadə edək. b ilə ifadə edirik a bu tənliklərdən:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

İstənilən b kimi bu dəyərlərin arifmetik ortasını götürək, yəni b » 16 - 4,5 qoyuruq. a. Bu dəyəri b-ni ilkin tənliklər sisteminə əvəz edək və hesablayırıq a, üçün alırıq a aşağıdakı dəyərlər: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a bu ədədlərin orta qiymətini, yəni təyin edirik a» 34. Deməli, istənilən tənlik formaya malikdir

y » 34n – 139.

Modelin düzgünlüyünü ilkin dörd birləşmədə yoxlayaq, bunun üçün əldə edilən düsturdan istifadə edərək qaynama nöqtələrini hesablayırıq:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Beləliklə, bu birləşmələr üçün bu xüsusiyyətin hesablama xətası 5 ° -dən çox deyil. Yaranan tənlikdən ilkin çoxluğa daxil olmayan n = 7 olan birləşmənin qaynama temperaturunu hesablamaq üçün istifadə edirik, bunun üçün bu tənliyə n = 7 əvəz edirik: y р (7) = 99°. Nəticə kifayət qədər dəqiq oldu: məlumdur ki, qaynama nöqtəsinin eksperimental qiyməti y e (7) = 98°-dir.

7) Elektrik dövrəsinin etibarlılığının təyini problemi.

Burada ehtimal modelinin bir nümunəsini nəzərdən keçiririk. Əvvəlcə ehtimal nəzəriyyəsindən - təcrübənin təkrar təkrarlanması zamanı müşahidə olunan təsadüfi hadisələrin qanunauyğunluqlarını öyrənən riyazi intizamdan bəzi məlumatlar verək. Təsadüfi hadisəni A bəzi təcrübənin mümkün nəticəsi adlandıraq. A 1 , ..., A k hadisələri təcrübə nəticəsində onlardan biri mütləq baş verərsə, tam qrup təşkil edir. Eyni təcrübədə eyni vaxtda baş verə bilməyən hadisələr uyğunsuz adlanır. Təcrübənin n-qat təkrarı zamanı A hadisəsi m dəfə baş versin. A hadisəsinin tezliyi W = ədədidir. Aydındır ki, W-nin dəyərini bir sıra n təcrübə həyata keçirməyənə qədər dəqiq proqnozlaşdırmaq mümkün deyil. Lakin təsadüfi hadisələrin təbiəti elədir ki, praktikada bəzən aşağıdakı effekt müşahidə olunur: təcrübələrin sayının artması ilə qiymət praktiki olaraq təsadüfi olmağı dayandırır və təsadüfi olmayan bəzi P(A) ədədi ətrafında sabitləşir. hadisəsinin ehtimalı A. Qeyri-mümkün hadisə üçün (təcrübədə heç vaxt baş vermir) P(A)=0, müəyyən hadisə üçün (təcrübədə həmişə baş verən) P(A)=1. Əgər A 1 , ..., A k hadisələri uyğun gəlməyən hadisələrin tam qrupunu təşkil edirsə, onda P(A 1)+...+P(A k)=1.

Məsələn, təcrübə zər atmaqdan və atılan xalların sayını X müşahidə etməkdən ibarət olsun. Sonra aşağıdakı təsadüfi hadisələri təqdim edə bilərik A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Onlar əmələ gətirirlər. uyğun olmayan bərabər ehtimallı hadisələrin tam qrupu, buna görə də P(A i) = (i = 1, ..., 6).

A və B hadisələrinin cəmi A+B hadisəsidir ki, təcrübədə onlardan ən azı birinin baş verməsindən ibarətdir. A və B hadisələrinin məhsulu bu hadisələrin eyni vaxtda baş verməsindən ibarət olan AB hadisəsidir. Müstəqil A və B hadisələri üçün düsturlar doğrudur

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) İndi aşağıdakıları nəzərdən keçirin tapşırıq. Tutaq ki, üç element bir-birindən asılı olmayaraq işləyən bir elektrik dövrəsində ardıcıl olaraq birləşdirilir. 1-ci, 2-ci və 3-cü elementlərin uğursuzluq ehtimalları müvafiq olaraq P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2-dir. Dövrədə cərəyan olma ehtimalı 0,4-dən çox deyilsə, dövrəni etibarlı hesab edəcəyik. Verilmiş zəncirin etibarlı olub olmadığını müəyyən etmək tələb olunur.

Elementlər sıra ilə birləşdirildiyi üçün elementlərdən ən azı biri sıradan çıxsa, dövrədə cərəyan olmayacaq (A hadisəsi). A i i-ci elementin işlədiyi hadisə olsun (i = 1, 2, 3). Sonra P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Aydındır ki, A 1 A 2 A 3 hər üç elementin eyni vaxtda işlədiyi hadisədir və

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Onda P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, ona görə də P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Sonda qeyd edirik ki, yuxarıda göstərilən riyazi model nümunələri (onların arasında funksional və struktur, deterministik və ehtimal var) illüstrativ xarakter daşıyır və təbii və humanitar elmlərdə yaranan bütün müxtəlif riyazi modelləri tükəndirmir.