Funktionens ekstremum. Hvad er yderpunkter for en funktion: kritiske punkter for maksimum og minimum Yderpunkter for en funktion maksimum og minimum

hjem / Snydende mand

En funktions yderpunkt er det punkt i definitionsdomænet for funktionen, hvor værdien af funktionen antager en minimums- eller maksimumværdi. Funktionens værdier på disse punkter kaldes ekstrema (minimum og maksimum) af funktionen.

Definition. Prik x1 funktionsdomæne f(x) Hedder funktionens maksimale punkt , hvis værdien af funktionen på dette tidspunkt er større end værdierne af funktionen i punkter tilstrækkelig tæt på den, placeret til højre og venstre for den (det vil sige uligheden gælder f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definition. Prik x2 funktionsdomæne f(x) Hedder minimumspunktet for funktionen, hvis værdien af funktionen på dette tidspunkt er mindre end værdierne af funktionen i punkter tilstrækkelig tæt på den, placeret til højre og venstre for den (det vil sige uligheden gælder f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). I dette tilfælde siger vi, at funktionen har på punktet x2 minimum.

Lad os sige punkt x1 - maksimalt punkt for funktionen f(x). Derefter i intervallet op til x1 funktionen øges, derfor er den afledede af funktionen større end nul ( f "(x) > 0 ), og i intervallet efter x1 funktionen falder derfor, afledet af en funktion mindre end nul ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Lad os også antage, at pointen x2 - minimumspunkt for funktionen f(x). Derefter i intervallet op til x2 funktionen er faldende, og den afledede af funktionen er mindre end nul ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktionen er stigende, og den afledede af funktionen er større end nul ( f "(x) > 0 ). I dette tilfælde også på punktet x2 den afledede af funktionen er nul eller eksisterer ikke.

Fermats teorem (et nødvendigt tegn på eksistensen af et ekstremum af en funktion). Hvis pointen x0 - ekstremumpunkt for funktionen f(x) så er den afledede af funktionen på dette tidspunkt lig nul ( f "(x) = 0 ) eller eksisterer ikke.

Definition. De punkter, hvor den afledede af en funktion er nul eller ikke eksisterer, kaldes kritiske punkter .

Eksempel 1. Lad os overveje funktionen.

På punktet x= 0 den afledede af funktionen er nul, derfor punktet x= 0 er det kritiske punkt. Men som det kan ses på grafen for funktionen, stiger den gennem hele definitionsdomænet, så pointen x= 0 er ikke ekstremumpunktet for denne funktion.

Betingelserne om, at den afledede af en funktion i et punkt er lig med nul eller ikke eksisterer, er således nødvendige betingelser for et ekstremum, men ikke tilstrækkelige, da der kan gives andre eksempler på funktioner, for hvilke disse betingelser er opfyldt, men funktionen har ikke et ekstremum på det tilsvarende punkt. Derfor der skal være tilstrækkelige beviser, hvilket giver en mulighed for at bedømme, om der er et ekstremum på et bestemt kritisk punkt, og hvilken slags ekstremum det er - maksimum eller minimum.

Sætning (det første tilstrækkelige tegn på eksistensen af et ekstremum af en funktion). Kritisk punkt x0 f(x) hvis den afledede af funktionen skifter fortegn, når den passerer dette punkt, og hvis tegnet skifter fra "plus" til "minus", så er det et maksimumpunkt, og hvis fra "minus" til "plus", så det er et minimumspunkt.

Hvis nær punktet x0 , til venstre og til højre for den beholder den afledte sit fortegn, det betyder, at funktionen enten kun aftager eller kun stiger i et bestemt område af punktet x0 . I dette tilfælde på punktet x0 der er ingen ekstrem.

Så, for at bestemme yderpunkterne for funktionen skal du gøre følgende :

Find den afledede af funktionen.
Lig den afledte til nul og bestem de kritiske punkter.
Mentalt eller på papir skal du markere de kritiske punkter på tallinjen og bestemme fortegnene for den afledede af funktionen i de resulterende intervaller. Hvis tegnet for den afledede ændres fra "plus" til "minus", så er det kritiske punkt maksimumpunktet, og hvis fra "minus" til "plus", så er minimumspunktet.
Beregn værdien af funktionen ved ekstremumpunkterne.

Eksempel 2. Find yderpunkterne af funktionen .

Løsning. Lad os finde den afledede af funktionen:

Lad os sidestille den afledede til nul for at finde de kritiske punkter:

Da nævneren for enhver værdi af "x" ikke er lig med nul, sætter vi lighedstegn mellem tælleren og nul:

Har et kritisk punkt x= 3 . Lad os bestemme fortegnet for den afledede i intervallerne afgrænset af dette punkt:

i området fra minus uendelig til 3 - et minustegn, det vil sige, at funktionen falder,

i intervallet fra 3 til plus uendelig er der et plustegn, det vil sige, at funktionen øges.

Altså punktum x= 3 er minimumspunktet.

Lad os finde værdien af funktionen ved minimumspunktet:

Således findes funktionens ekstremumpunkt: (3; 0), og det er minimumspunktet.

Sætning (det andet tilstrækkelige tegn på eksistensen af et ekstremum af en funktion). Kritisk punkt x0 er funktionens yderpunkt f(x) hvis den anden afledede af funktionen på dette tidspunkt ikke er lig med nul ( f ""(x) ≠ 0 ), og hvis den anden afledede er større end nul ( f ""(x) > 0 ), så det maksimale punkt, og hvis den anden afledede er mindre end nul ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Bemærk 1. Hvis på punktet x0 Hvis både den første og anden afledte forsvinder, så er det på dette tidspunkt umuligt at bedømme tilstedeværelsen af et ekstremum baseret på det andet tilstrækkelige kriterium. I dette tilfælde skal du bruge det første tilstrækkelige kriterium for en funktions ekstremum.

Bemærkning 2. Det andet tilstrækkelige kriterium for ekstremum af en funktion er ikke anvendeligt, selv når den første afledede ikke eksisterer i et stationært punkt (så eksisterer den anden afledede heller ikke). I dette tilfælde skal du også bruge det første tilstrækkelige tegn på et ekstremum af en funktion.

Lokal karakter af yderpunkterne af funktionen

Af ovenstående definitioner følger det, at yderpunktet af en funktion er lokalt af natur - det er den største og mindste værdi af funktionen sammenlignet med nærliggende værdier.

Lad os sige, at du ser på din indtjening over en periode på et år. Hvis du i maj tjente 45.000 rubler, og i april 42.000 rubler og i juni 39.000 rubler, så er maj-indtjening det maksimale af indtjeningsfunktionen sammenlignet med nærliggende værdier. Men i oktober tjente du 71.000 rubler, i september 75.000 rubler og i november 74.000 rubler, så oktoberindtjening er minimum af indtjeningsfunktionen sammenlignet med nærliggende værdier. Og du kan nemt se, at maksimum blandt værdierne april-maj-juni er mindre end minimum september-oktober-november.

Generelt kan en funktion på et interval have flere yderpunkter, og det kan vise sig, at et minimum af funktionen er større end et maksimum. Så for funktionen vist i figuren ovenfor, .

Det vil sige, man skal ikke tro, at maksimum og minimum af en funktion er henholdsvis dens største og mindste værdier på hele det betragtede segment. Ved maksimumpunktet har funktionen kun den største værdi i sammenligning med de værdier, som den på alle punkter har tilstrækkelig tæt på maksimumpunktet, og ved minimumspunktet har den kun den mindste værdi i sammenligning med disse værdier at den på alle punkter er tilstrækkelig tæt på minimumspunktet.

Derfor kan vi præcisere ovenstående koncept med ekstremumpunkter for en funktion og kalde minimumspunkter lokale minimumspunkter og maksimumpunkter lokale maksimumpunkter.

Vi leder efter funktionens yderpunkter sammen

Eksempel 3.

Løsning: Funktionen er defineret og fortløbende på hele tallinjen. Dens afledte findes også på hele tallinjen. Derfor er de kritiske punkter i dette tilfælde kun dem, hvor, dvs. , hvorfra og . Kritiske punkter og opdel hele definitionsområdet for funktionen i tre intervaller af monotoni: . Lad os vælge et kontrolpunkt i hver af dem og finde fortegnet for den afledte på dette tidspunkt.

For intervallet kan kontrolpunktet være: find. Tager vi et punkt i intervallet, får vi, og tager et punkt i intervallet, har vi. Altså i intervallerne og , og i intervallet . Ifølge det første tilstrækkelige kriterium for et ekstremum er der ikke noget ekstremum i punktet (da den afledede beholder sit fortegn i intervallet), og på det punkt har funktionen et minimum (da den afledede skifter fortegn fra minus til plus ved forbikørsel gennem dette punkt). Lad os finde de tilsvarende værdier af funktionen: , a . I intervallet falder funktionen, da i dette interval , og i intervallet øges den, da i dette interval .

For at tydeliggøre konstruktionen af grafen finder vi skæringspunkterne for den med koordinatakserne. Når vi får en ligning, hvis rødder er og , dvs. to punkter (0; 0) og (4; 0) af grafen for funktionen findes. Ved at bruge al den modtagne information bygger vi en graf (se begyndelsen af eksemplet).

Til selvkontrol under beregninger kan du bruge online afledte lommeregner .

Eksempel 4. Find yderpunkterne for funktionen og byg dens graf.

En funktions definitionsdomæne er hele tallinjen, undtagen punktet, dvs. .

For at forkorte undersøgelsen kan du bruge det faktum, at denne funktion er lige, da . Derfor er dens graf symmetrisk om aksen Åh og undersøgelsen kan kun udføres i intervallet.

At finde den afledte og kritiske punkter ved funktionen:

1) ;

2) ,

men funktionen lider af en diskontinuitet på dette tidspunkt, så det kan ikke være et ekstremumpunkt.

Den givne funktion har således to kritiske punkter: og . Under hensyntagen til funktionens paritet vil vi kun kontrollere punktet ved hjælp af det andet tilstrækkelige kriterium for et ekstremum. For at gøre dette finder vi den anden afledede og bestemme dets tegn ved: vi får . Siden og , er det minimumspunktet for funktionen, og .

For at få et mere komplet billede af grafen for en funktion, lad os finde ud af dens adfærd ved grænserne af definitionsdomænet:

(her angiver symbolet ønsket x til nul fra højre, og x forbliver positiv; betyder tilsvarende aspiration x til nul fra venstre, og x forbliver negativ). Så hvis , så . Dernæst finder vi

de der. hvis så .

Grafen for en funktion har ingen skæringspunkter med akserne. Billedet er i begyndelsen af eksemplet.

Til selvkontrol under beregninger kan du bruge online afledte lommeregner .

Vi fortsætter med at søge efter yderpunkter af funktionen sammen

Eksempel 8. Find yderpunkterne af funktionen.

Løsning. Lad os finde definitionsdomænet for funktionen. Da uligheden skal tilfredsstilles, får vi fra .

Lad os finde den første afledede af funktionen.

En simpel algoritme til at finde ekstrema..

At finde den afledede af funktionen
Vi sidestiller denne afledte til nul
Vi finder værdierne af variablen i det resulterende udtryk (værdierne af variablen, hvor den afledede konverteres til nul)
Ved at bruge disse værdier opdeler vi koordinatlinjen i intervaller (glem ikke brudpunkterne, som også skal plottes på linjen), alle disse punkter kaldes "mistænkelige" punkter for ekstremum
Vi beregner hvilke af disse intervaller, der vil være positiv, og hvilken der vil være negativ. For at gøre dette skal du erstatte værdien fra intervallet med den afledte.

Af de punkter, der er mistænkelige for et ekstremum, er det nødvendigt at finde . For at gøre dette ser vi på vores intervaller på koordinatlinjen. Hvis fortegnet for den afledte ændres fra plus til minus, når man passerer gennem et punkt, vil dette punkt være maksimum, og hvis fra minus til plus, så minimum.

For at finde de største og mindste værdier af en funktion, skal du beregne værdien af funktionen i enderne af segmentet og ved ekstremumpunkterne. Vælg derefter den største og mindste værdi.

Lad os se på et eksempel
Vi finder den afledede og sætter lig med nul:

Vi plotter de opnåede værdier af variablerne på koordinatlinjen og beregner fortegnet for den afledede på hvert af intervallerne. Nå, for eksempel, lad os tage den første-2 , så vil den afledede være lig-0,24 , for det andet, vi tager0 , så bliver den afledte2 , og for den tredje tager vi2 , så bliver den afledte-0,24. Vi sætter de relevante skilte ned.

Vi ser, at når den passerer gennem punkt -1, skifter den afledte fortegn fra minus til plus, det vil sige, at dette vil være minimumspunktet, og når den passerer gennem 1, vil den skifte fortegn fra henholdsvis plus til minus, dette vil være maksimum point.

Funktionen og undersøgelsen af dens funktioner optager et af nøglekapitlerne i moderne matematik. Hovedkomponenten i enhver funktion er grafer, der ikke kun viser dens egenskaber, men også parametrene for den afledede af denne funktion. Lad os forstå dette vanskelige emne. Så hvad er den bedste måde at finde maksimum- og minimumpunkterne for en funktion?

Funktion: definition

Enhver variabel, der på en eller anden måde afhænger af værdierne af en anden størrelse, kan kaldes en funktion. For eksempel er funktionen f(x 2) kvadratisk og bestemmer værdierne for hele mængden x. Lad os sige, at x = 9, så vil værdien af vores funktion være lig med 9 2 = 81.

Funktioner findes i mange forskellige typer: logisk, vektor, logaritmisk, trigonometrisk, numerisk og andre. De blev studeret af så fremragende hjerner som Lacroix, Lagrange, Leibniz og Bernoulli. Deres værker tjener som en grundpille i moderne måder at studere funktioner på. Før du finder minimumspointene, er det meget vigtigt at forstå selve betydningen af funktionen og dens afledte.

Afledt og dets rolle

Alle funktioner afhænger af deres variable, hvilket betyder, at de til enhver tid kan ændre deres værdi. På grafen vil dette blive afbildet som en kurve, der enten falder eller stiger langs ordinataksen (dette er hele sættet af "y"-tal langs den lodrette graf). Så at bestemme maksimum- og minimumpunkterne for en funktion er præcist relateret til disse "oscillationer". Lad os forklare, hvad dette forhold er.

Den afledede af enhver funktion tegnes grafisk for at studere dens grundlæggende egenskaber og beregne, hvor hurtigt funktionen ændrer sig (dvs. ændrer dens værdi afhængigt af variablen "x"). I det øjeblik, hvor funktionen stiger, vil grafen for dens afledte også stige, men i ethvert sekund kan funktionen begynde at falde, og derefter vil grafen for den afledede falde. De punkter, hvor den afledede ændres fra et minustegn til et plustegn, kaldes minimumspunkter. For at vide, hvordan man finder minimumspoint, bør du bedre forstå

Hvordan beregner man afledt?

Definitionen og funktionerne implicerer flere begreber fra Generelt kan selve definitionen af en afledt udtrykkes som følger: dette er den størrelse, der viser funktionens ændringshastighed.

Den matematiske måde at bestemme det på virker kompliceret for mange elever, men i virkeligheden er alt meget enklere. Du skal bare følge standardplanen for at finde den afledede af enhver funktion. Nedenfor beskriver vi, hvordan du kan finde minimumspunktet for en funktion uden at anvende reglerne for differentiering og uden at huske tabellen over afledte.

Du kan beregne den afledede af en funktion ved hjælp af en graf. For at gøre dette skal du afbilde selve funktionen, derefter tage et punkt på den (punkt A på figuren) Tegn en linje lodret ned til abscisseaksen (punkt x 0), og ved punkt A tegne en tangent til graf over funktionen. X-aksen og tangenten danner en bestemt vinkel a. For at beregne værdien af, hvor hurtigt en funktion stiger, skal du beregne tangenten af denne vinkel a.
Det viser sig, at tangenten af vinklen mellem tangenten og x-aksens retning er den afledede af funktionen i et lille område med punktet A. Denne metode betragtes som en geometrisk metode til at bestemme den afledede.

Metoder til undersøgelse af funktion

I skolens matematikpensum er det muligt at finde minimumspunktet for en funktion på to måder. Vi har allerede diskuteret den første metode ved hjælp af en graf, men hvordan kan vi bestemme den numeriske værdi af den afledte? For at gøre dette skal du lære flere formler, der beskriver egenskaberne af den afledede og hjælper med at konvertere variabler som "x" til tal. Følgende metode er universel, så den kan anvendes på næsten alle typer funktioner (både geometriske og logaritmiske).

Det er nødvendigt at sidestille funktionen med den afledte funktion og derefter forenkle udtrykket ved hjælp af reglerne for differentiering.
I nogle tilfælde, når der gives en funktion, hvor variablen "x" er i divisoren, er det nødvendigt at bestemme intervallet af acceptable værdier, ekskluderer punktet "0" fra det (af den simple grund, at man i matematik aldrig bør dividere med nul).
Herefter skal du transformere den oprindelige form af funktionen til en simpel ligning, der sætter lighedstegn mellem hele udtrykket og nul. For eksempel, hvis funktionen så sådan ud: f(x) = 2x 3 +38x, så er dens afledte ifølge reglerne for differentiering lig med f"(x) = 3x 2 +1. Så transformerer vi dette udtryk til en ligning af følgende form: 3x 2 +1 = 0 .
Efter at have løst ligningen og fundet "x"-punkterne, skal du plotte dem på x-aksen og bestemme, om den afledede i disse sektioner mellem de markerede punkter er positiv eller negativ. Efter betegnelsen vil det blive klart, på hvilket tidspunkt funktionen begynder at falde, det vil sige skifter fortegn fra minus til det modsatte. Det er på denne måde, du kan finde både minimum og maksimum point.

Regler for differentiering

Den mest grundlæggende komponent i at studere en funktion og dens afledte er viden om reglerne for differentiering. Kun med deres hjælp kan du transformere besværlige udtryk og store komplekse funktioner. Lad os stifte bekendtskab med dem, der er ret mange af dem, men de er alle meget enkle på grund af de naturlige egenskaber af både magt og logaritmiske funktioner.

Den afledede af enhver konstant er lig nul (f(x) = 0). Det vil sige, at den afledte f(x) = x 5 + x - 160 vil have følgende form: f" (x) = 5x 4 +1.
Afledt af summen af to led: (f+w)" = f"w + fw".
Afledt af en logaritmisk funktion: (log a d)" = d/ln a*d. Denne formel gælder for alle typer logaritmer.
Afledt af potensen: (x n)"= n*x n-1. For eksempel (9x 2)" = 9*2x = 18x.
Den afledte af den sinusformede funktion: (sin a)" = cos a. Hvis sinus af vinklen a er 0,5, så er dens afledte √3/2.

Ekstrempunkter

Vi har allerede diskuteret, hvordan man finder minimumspoint, men der er også begrebet maksimumpoint for en funktion. Hvis minimum angiver de punkter, hvor funktionen skifter fra et minustegn til et plus, så er maksimumpunkterne de punkter på x-aksen, hvor den afledede af funktionen ændres fra plus til det modsatte - minus.

Du kan finde det ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor, men du skal tage højde for, at de angiver de områder, hvor funktionen begynder at falde, det vil sige, at den afledede vil være mindre end nul.

I matematik er det sædvanligt at generalisere begge begreber og erstatte dem med udtrykket "ekstremapunkter". Når en opgave beder dig om at bestemme disse point, betyder det, at du skal beregne den afledede af en given funktion og finde minimum og maksimum point.

Overvej funktionen y = f(x), som betragtes på intervallet (a, b).

Hvis det er muligt at angive et b-kvarter til et punkt x1, der hører til intervallet (a, b), således at uligheden f(x1) > f(x) gælder for alle x (x1, b), så gælder y1 = f1(x1) kaldes maksimum af funktionen y = f(x) se fig.

Vi betegner maksimum af funktionen y = f(x) med max f(x). Hvis det er muligt at angive et b-kvarter til et punkt x2, der hører til intervallet (a, b), således at det for alle x hører til O (x2, 6), x ikke er lig med x2, gælder uligheden f(x2)< f(x) , så kaldes y2= f(x2) minimum af funktionen y-f(x) (se figur).

For et eksempel på at finde maksimum, se følgende video

Minimum funktioner

Vi betegner minimum af funktionen y = f(x) med min f(x). Med andre ord, maksimum eller minimum af en funktion y = f(x) hedder dens værdi, der er større (mindre) end alle andre værdier, der accepteres på punkter, der er tilstrækkelig tæt på den givne og forskellige fra den.

Note 1. Maksimal funktion, defineret af uligheden kaldes et strengt maksimum; det ikke-strenge maksimum bestemmes af uligheden f(x1) > = f(x2)

Note 2. har en lokal karakter (disse er de største og mindste værdier af funktionen i et tilstrækkeligt lille kvarter til det tilsvarende punkt); individuelle minima for en funktion kan være større end maksima for den samme funktion

Som et resultat kaldes det maksimale (minimum) af funktionen lokalt maksimum(lokalt minimum) i modsætning til det absolutte maksimum (minimum) - den største (mindste) værdi i funktionens definitionsdomæne.

Maksimum og minimum af en funktion kaldes ekstremum . Extrema in findes til at konstruere grafer over funktioner

latin extremum betyder "ekstrem" betyder. Værdien af argumentet x, hvor ekstremummet nås, kaldes ekstremumpunktet. Den nødvendige betingelse for et ekstremum er udtrykt ved følgende sætning.

Sætning. I ekstremumpunktet af den differentiable funktion er dens afledte lig med nul.

Sætningen har en simpel geometrisk betydning: tangenten til grafen for den differentiable funktion i det tilsvarende punkt er parallel med Ox-aksen

1°

1°. Bestemmelse af ekstremum af en funktion.

Begreberne maksimum, minimum og ekstremum af en funktion af to variable ligner de tilsvarende begreber for en funktion af en uafhængig variabel.

Lad funktionen z =f (x ; y) defineret på et eller andet område D prik N (x 0;y 0) D.

Prik (x 0;y 0) kaldet et punkt maksimum funktioner z= f (x ;y), hvis der er et sådant -naboskab af punktet (x 0;y 0), det for hvert punkt (x;y), forskellig fra (x 0;y 0) fra dette kvarter holder uligheden f (x ;y)< f (x 0;y 0). I figur 12: N 1 - maksimalt punkt, a N 2 - minimumspunktet for funktionen z =f (x ;y).

Punktet bestemmes på samme måde minimum funktioner: for alle punkter (x 0;y 0), forskellig fra (x 0;y 0), fra d -naboskab af et punkt (x 0;y 0) ulighed gælder: f (x 0;y 0) >f (x 0;y 0).

Yderpunktet for en funktion af tre eller flere variable bestemmes på samme måde.

Værdien af funktionen ved maksimum (minimum) punkt kaldes maksimum (minimum) funktioner.

Maksimum og minimum af en funktion kaldes ekstremer.

Bemærk, at funktionens yderpunkt pr. definition ligger inden for funktionens definitionsdomæne; maksimum og minimum har lokal(lokalt) tegn: værdien af en funktion i et punkt (x 0;y 0) sammenlignes med dens værdier på punkter tilstrækkelig tæt på (x 0;y 0). I området D en funktion kan have flere yderpunkter eller ingen.

2°. Nødvendige betingelser for et ekstremum.

Lad os overveje betingelserne for eksistensen af et ekstremum af en funktion.

Geometrisk ligheder f"y (x 0;y 0)= 0 og f"y (x 0;y 0) = 0 betyder, at ved funktionens yderpunkt z = f (x ; y) tangentplan til overfladen, der repræsenterer funktionen f (x ; y), parallelt med flyet Åh hov da tangentplanets ligning er z =z 0.

Kommentar. En funktion kan have et ekstremum på punkter, hvor mindst en af de partielle afledte ikke eksisterer. For eksempel funktionen har et maksimum på punktet OM(0;0), men har ingen partielle derivater på dette tidspunkt.

Det punkt, hvor den første ordens partielle afledninger af funktionen z = f (x ;y) er lig med nul, dvs. f"x = 0, f" y = 0, kaldet stationært punkt funktioner z.

Stationære punkter og punkter, hvor der ikke findes mindst én partiel afledt, kaldes kritiske punkter.

På kritiske punkter kan funktionen have eller ikke have et ekstremum. Ligheden af partielle afledte til nul er en nødvendig, men ikke tilstrækkelig betingelse for eksistensen af et ekstremum. Overvej for eksempel funktionen z = hu. For det er punktet 0(0; 0) kritisk (det bliver til nul). Det er dog ekstremumfunktionen i det z = xy ikke har, fordi der i et tilstrækkeligt lille kvarter til punktet O(0;0) er punkter, som z> 0 (point af 1. og 3. kvartal) og z< 0 (punkter i II og IV kvartaler).

For at finde yderpunkterne af en funktion i et givet område er det således nødvendigt at underkaste hvert kritisk punkt i funktionen yderligere forskning.

Stationære punkter findes ved at løse ligningssystemet

fx (x, y) = 0, f"y (x, y) = 0

(nødvendige betingelser for et ekstremum).

System (1) svarer til én ligning df(x, y)=0. Generelt på det ekstreme punkt P(a, b) funktioner f(x, y) eller df(x, y)=0, eller df(a, b) eksisterer ikke.

3°. Tilstrækkelige betingelser for et ekstremum. Lade P(a;b)- stationært punkt for funktionen f(x,y), dvs. . df(a, b) = 0. Derefter:

og hvis d2f (a, b)< 0 kl, så f(a, b) Der er maksimum funktioner f (x, y);

b) hvis d2f (a, b) > 0 kl, så f(a, b)Der er minimum funktioner f (x,y);

c) hvis d2f (a, b) skifter altså tegn f (a, b) er ikke et ekstremum af funktionen f (x, y).

De givne betingelser svarer til følgende: lad Og . Lad os komponere diskriminerende Δ=AC -B².

1) hvis Δ > 0, så har funktionen et ekstremum i punktet P(a;b) nemlig det maksimale if EN<0 (eller MED<0 ), og et minimum if A>0(eller С>0);

2) hvis Δ< 0, то экстремума в точке P(a;b) Ingen;

3) hvis Δ =0, så spørgsmålet om tilstedeværelsen af et ekstremum af funktionen i punktet P(a;b) forbliver åben (yderligere forskning påkrævet).

4°. Tilfældet med en funktion af flere variable. For en funktion af tre eller flere variable svarer de nødvendige betingelser for eksistensen af et ekstremum til betingelser (1), og de tilstrækkelige betingelser svarer til betingelser a), b), c) 3°.

Eksempel. Undersøg ekstremumfunktionen z=x³+3xy²-15x-12y.

Løsning. Lad os finde partielle afledte og skabe et ligningssystem (1):

Ved at løse systemet får vi fire stationære punkter:

Lad os finde 2. ordens afledte

og skabe en diskriminant Δ=AC - B² for hvert stationært punkt.

1) For punkt: , Δ=AC-B²=36-144<0 . Det betyder, at der ikke er noget ekstremum på det punkt.

2) For punkt P2: A=12, B=6, C=12; A=144-36>0, A>0. Ved punkt P2 har funktionen et minimum. Dette minimum er lig med værdien af funktionen ved x=2, y=1: zmin=8+6-30-12=-28.

3) For punkt: A= -6, B=-12, C= -6; A = 36-144<0 . Der er ingen ekstrem.

4) For punkt P 4: A=-12, B=-6, C=-12; A=144-36>0. Ved punkt P4 har funktionen et maksimum lig med Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Betinget ekstremum. I det simpleste tilfælde betinget ekstremum funktioner f(x,y) er maksimum eller minimum af denne funktion, opnået under den betingelse, at dens argumenter er relateret af ligningen φ(x,y)=0 (forbindelsesligning). At finde det betingede ekstremum af en funktion f(x, y) i nærværelse af en relation φ(x,y) = 0, udgør de såkaldte Lagrange funktion

F (x,y )=f (x,y)+λφ (x,y),

hvor λ er en udefineret konstant faktor, og det sædvanlige ekstremum af denne hjælpefunktion søges. De nødvendige betingelser for et ekstremum er reduceret til et system af tre ligninger

med tre ukendte x, y, λ, hvorfra disse ubekendte generelt kan bestemmes.

Spørgsmålet om eksistensen og arten af det betingede ekstremum løses baseret på at studere tegnet for den anden differential af Lagrange-funktionen

for det værdisystem, der testes x, y, λ, hentet fra (2), forudsat at dx Og dу relateret af ligningen

Nemlig funktionen f(x,y) har et betinget maksimum if d²F< 0, og et betinget minimum if d²F>0. Især hvis diskriminanten Δ for funktionen F(x,y) er positiv i et stationært punkt, så er der på dette tidspunkt et betinget maksimum af funktionen f(x, y), hvis EN< 0 (eller MED< 0), og et betinget minimum if A > O(eller С>0).

Tilsvarende findes det betingede ekstremum af en funktion af tre eller flere variable i nærværelse af en eller flere forbindelsesligninger (hvis antallet dog skal være mindre end antallet af variable). Her skal vi introducere lige så mange usikre faktorer i Lagrange-funktionen, som der er koblingsligninger.

Eksempel. Find yderpunktet af funktionen z = 6-4x -3y forudsat at variablerne x Og på opfylde ligningen x²+y²=1.

Løsning. Geometrisk handler problemet om at finde de største og mindste værdier af applikationen z fly z=6 - 4x - Zu for skæringspunkterne mellem den og cylinderen x2+y2=1.

Kompilering af Lagrange-funktionen F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2-1).

Vi har . De nødvendige betingelser giver ligningssystemet

løsning, som vi finder:

d²F = 2λ (dx²+dy²).

Hvis og, så d²F >0, og derfor har funktionen på dette tidspunkt et betinget minimum. Hvis og så d²F<0, og derfor har funktionen på dette tidspunkt et betinget maksimum.

Dermed,

6°. De største og mindste værdier af en funktion.

Lad funktionen z =f (x ; y) defineret og kontinuerligt i et begrænset lukket område . Så når hun på nogle punkter din største M og det mindste T værdier (såkaldte globalt ekstremum). Disse værdier opnås af funktionen på punkter placeret inde i regionen , eller på punkter, der ligger på grænsen af regionen.