Logaritmiske uligheder på højt niveau er eksempler på løsninger. Alt om logaritmiske uligheder

Lektionsmål:

didaktisk:

• Niveau 1 - for at lære dig at løse de enkleste logaritmiske uligheder ved hjælp af definitionen af \u200b\u200ben logaritme, logaritmernes egenskaber;
• Niveau 2 - løse logaritmiske uligheder ved at vælge din egen løsningsmetode;
• Niveau 3 - være i stand til at anvende viden og færdigheder i ikke-standardiserede situationer.

Udvikling: udvikle hukommelse, opmærksomhed, logisk tænkning, sammenligningsevner, evnen til at generalisere og drage konklusioner

Pædagogisk:at kultivere nøjagtighed, ansvar for opgaven, gensidig hjælp.

Undervisningsmetoder: verbal- , grafisk , praktisk , delvis søgning , selv , styring.

Former for organisering af studerendes kognitive aktivitet: frontal , individuel , arbejde i par.

Udstyr: et sæt testelementer, en understøttende synopsis, blanke ark til løsninger.

Lektype: læring af nyt materiale.

Under undervisningen

1. Organisatorisk øjeblik. Lektens emne og mål, lektionsplanen annonceres: Hver studerende får et vurderingsark, som eleven udfylder i løbet af lektionen; for hvert par studerende - trykt materiale med opgaver; opgaver skal udføres parvis; blanke ark til løsninger; basisark: definition af logaritme; graf over en logaritmisk funktion, dens egenskaber; egenskaber ved logaritmer; algoritme til løsning af logaritmiske uligheder.

Alle beslutninger efter selvvurdering gives til læreren.

Studenterkarakteristik

2. Opdatering af viden.

Lærerens anvisninger. Husk definitionen af \u200b\u200ben logaritme, en graf over en logaritmisk funktion og dens egenskaber. For at gøre dette skal du læse teksten på s. 88–90, 98–101 i lærebogen “Algebra og begyndelsen af \u200b\u200banalyse 10–11” redigeret af S.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin og andre.

Eleverne får de ark, der er skrevet på: definitionen af \u200b\u200blogaritmen; en graf over en logaritmisk funktion, dens egenskaber; egenskaber ved logaritmer; en algoritme til løsning af logaritmiske uligheder, et eksempel på løsning af en logaritmisk ulighed, reducering til firkant.

3. Læring af nyt materiale.

Løsningen af \u200b\u200blogaritmiske uligheder er baseret på monotoniciteten af \u200b\u200bden logaritmiske funktion.

Algoritmen til løsning af logaritmiske uligheder:

A) Find definitionsområdet for uligheden (det sublogaritmiske udtryk er større end nul).
B) Præsentér (hvis muligt) venstre og højre side af uligheden i form af logaritmer på samme grundlag.
B) Bestem om den logaritmiske funktion øges eller mindskes: hvis t\u003e 1, øges; hvis 0 1 derefter faldende.
D) Gå til en enklere ulighed (sub-logaritmiske udtryk), i betragtning af at tegnet på ulighed bliver bevaret, hvis funktionen øges, og ændres, hvis den mindskes.

Træningselement nummer 1.

Formål: at løse løsningen af \u200b\u200bde enkleste logaritmiske uligheder

Formen for organisering af studerendes kognitive aktivitet: individuelt arbejde.

Opgaver til selvstændigt arbejde i 10 minutter. For hver ulighed er der flere svar, du skal vælge det korrekte og tjekke med tasten.

Nøgle: 13321, det maksimale antal point er 6 b.

Træningselement nummer 2.

Formål: at løse løsningen af \u200b\u200blogaritmiske uligheder ved hjælp af logaritmernes egenskaber.

Lærerens anvisninger. Husk logaritmernes grundlæggende egenskaber. For at gøre dette skal du læse lærebogen på side 92, 103–104.

Opgaver til selvstændigt arbejde i 10 minutter.

Nøgle: 2113, det maksimale antal point er 8 b.

Træningselement nummer 3.

Formål: at studere løsningen af \u200b\u200blogaritmiske uligheder ved metoden til reduktion til firkant.

Lærerens instruktioner: metoden til at reducere ulighed til en kvadrat er at konvertere uligheden til en sådan form, at en bestemt logaritmisk funktion betegnes med en ny variabel, samtidig med at der opnås en kvadratisk ulighed med hensyn til denne variabel.

Vi anvender intervalmetoden.

Du har bestået det første niveau af mestring af materialet. Nu skal du vælge din egen metode til løsning af logaritmiske ligninger ved hjælp af al din viden og evner.

Træningselement nummer 4.

Formål: at konsolidere løsningen af \u200b\u200blogaritmiske uligheder ved uafhængigt at vælge en rationel løsningsmetode.

Opgaver til selvstændigt arbejde i 10 minutter

Træningselement nummer 5.

Lærerens anvisninger. Godt klaret! Du har mestret løsningen af \u200b\u200bligninger på det andet niveau af kompleksitet. Formålet med dit videre arbejde er at anvende din viden og færdigheder i mere komplekse og ikke-standardiserede situationer.

Opgaver til uafhængig beslutning:

Lærerens anvisninger. Fantastisk, hvis du klarede dig af hele opgaven. Godt klaret!

Karakteren for hele lektionen afhænger af antallet af scorede point for alle uddannelseselementer:

• hvis N ≥ 20, får du en bedømmelse på “5”,
• ved 16 ≤ N ≤ 19 - klassificeringen er “4”,
• ved 8 ≤ N ≤ 15 - vurderingen er “3”,
• ved N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Bedømmelse Fox passerer læreren.

5. Hjemmearbejde: hvis du ikke scorede mere end 15 b, skal du udføre arbejdet med fejl (beslutninger kan tages fra læreren), hvis du scorede mere end 15 b, skal du udføre den kreative opgave med emnet "Logaritmiske uligheder".

LOGARITMISKE UHELV I BRUG

Sechin Mikhail Alexandrovich

Det lille akademi for videnskaber for studerende i Republikken Kasakhstan "Søger"

MBOU "Sovjetskole nr. 1", klasse 11, landsby. Sovetsky Sovetsky District

Gunko Lyudmila Dmitrievna, lærer ved MBOU "Sovietskole nr. 1"

Sovetsky-distriktet

Formål med arbejde: studiet af mekanismen til løsning af de logaritmiske uligheder ved C3 ved hjælp af ikke-standardmetoder, identificering af interessante fakta om logaritmen.

Undersøgelsesemne:

3) Lær at løse specifikke C3-logaritmiske uligheder ved hjælp af ikke-standardmetoder.

Resultater:

Indhold

Introduktion …………………………………………………………………………… .4

Kapitel 1. Baggrund ……………………………………………………… ... 5

Kapitel 2. Indsamling af logaritmiske uligheder ………………………… 7

2.1. Ækvivalente overgange og en generaliseret intervalmetode ................... 7

2.2. Rationaliseringsmetoden ………………………………………………… 15

2.3. Brugerdefineret substitution ............................................................................. ..... 22

2.4. Opgaver med fælder …………………………………………………… 27

Konklusion …………………………………………………… 30

Litteratur……………………………………………………………………. 31

Introduktion

Jeg går i 11. klasse og planlægger at komme ind på et universitet, hvor matematik er et specialiseret fag. Og så arbejder jeg meget med opgaverne i del C. I opgave C3 skal du løse en ikke-standard ulighed eller et system af uligheder, som regel er forbundet med logaritmer. Som forberedelse til prøven stod jeg overfor problemet med manglen på metoder og teknikker til løsning af eksamenslogaritmiske uligheder, der blev foreslået i C3. De metoder, der studeres i skoleplanen om dette emne, giver ikke et grundlag for løsning af opgaver C3. Matematiklæreren inviterede mig til at arbejde på C3-opgaverne på egen hånd under hendes vejledning. Derudover var jeg interesseret i spørgsmålet: forekommer logaritmer i vores liv?

Med dette i tankerne blev emnet valgt:

"Logaritmiske uligheder ved eksamen"

Formål med arbejde: undersøgelse af mekanismen til løsning af C3-problemer ved hjælp af ikke-standardmetoder, der afslører interessante fakta om logaritmen.

Undersøgelsesemne:

1) Find de nødvendige oplysninger om ikke-standardmetoder til løsning af logaritmiske uligheder.

2) Find mere information om logaritmer.

3) Lær hvordan man løser specifikke problemer med C3 ved hjælp af ikke-standardmetoder.

Resultater:

Den praktiske betydning ligger i at udvide apparatet til løsning af C3-opgaver. Dette materiale kan bruges i nogle lektioner til ledelse af cirkler, valgfag i matematik.

Projektproduktet vil være samlingen "Logaritmiske uligheder C3 med løsninger."

Kapitel 1. Baggrund

Gennem 1500-tallet steg antallet af omtrentlige beregninger hurtigt, primært inden for astronomi. Forbedring af værktøjer, undersøgelse af planetariske bevægelser og andet arbejde krævede kolossale, undertiden mange år, beregninger. Astronomi var i reel fare for at drukne i uopfyldte beregninger. Der opstod også vanskeligheder på andre områder, for eksempel i forsikringsbranchen var der brug for sammensatte rente-tabeller til forskellige renteværdier. Den største vanskelighed var multiplikation, opdeling af flercifrede tal, især trigonometriske mængder.

Opdagelsen af \u200b\u200blogaritmer var baseret på egenskaberne for fremskridt, der var velkendt ved udgangen af \u200b\u200b1500-tallet. Forbindelsen mellem vilkårene for den geometriske progression q, q2, q3, ... og den aritmetiske progression af deres indeks 1, 2, 3, ... blev nævnt i psalmiten af \u200b\u200bArchimedes. En anden forudsætning var udvidelsen af \u200b\u200bkonceptet om grad til negative og brøkdelte indikatorer. Mange forfattere har indikeret, at multiplikation, opdeling, eksponentiering og rodekstraktion eksponentielt svarer til aritmetik - i samme rækkefølge - tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling.

Her lokket ideen om en logaritme som eksponent.

I historien med udviklingen af \u200b\u200bdoktrinen om logaritmer er flere stadier gået.

Scene 1

Logaritmer blev opfundet senest 1594 uafhængigt af den skotske baron Napier (1550-1617) og ti år senere af den schweiziske mekaniker Burgi (1552-1632). Begge ønskede at give et nyt praktisk middel til aritmetiske beregninger, skønt de nærmet sig denne opgave på forskellige måder. Neper udtrykte kinematisk en logaritmisk funktion og trådte således ind i et nyt område af funktionsteori. Burgi forblev motiveret af hensynet til diskrete fremskridt. Imidlertid er definitionen af \u200b\u200blogaritmen for begge dele ikke den moderne. Udtrykket "logaritme" (logarithmus) hører til Nepher. Det stammede fra en kombination af græske ord: logoer - "relation" og ariqmo - "antal", hvilket betød "antal relationer." Neper brugte oprindeligt et andet udtryk: numeriificiales - "kunstige tal", i modsætning til numeri naturalts - "naturlige tal."

I 1615, i en samtale med professor i matematik Gresh College i London, Henry Briggs (1561-1631), foreslog Neper at tage enheder af nul for logaritmen og 100 som logaritmen af \u200b\u200bti, eller, der koges ned til det samme, simpelthen 1. Således decimalt logaritmer og de første logaritmiske tabeller blev trykt. Senere Briggs-borde blev suppleret af den hollandske boghandler og matematiker, Andrian Flack (1600-1667). Selv om de kom til logaritmerne tidligere end alle andre, offentliggjorde Napier og Briggs deres tabeller senere end andre - i 1620. Skiltloggen og loggen blev introduceret i 1624 af I. Kepler. Udtrykket "naturlig logaritme" blev introduceret af Mengoli i 1659 og efterfulgt af N. Mercator i 1668 og offentliggjorde tabeller med naturlige logaritmer med tal fra 1 til 1000 under navnet "New Logarithms" af London-læreren John Speidel.

På russisk blev de første logaritmiske tabeller offentliggjort i 1703. Men i alle de logaritmiske tabeller blev der begået fejl i beregningen. De første fejlfri tabeller blev offentliggjort i Berlin i 1857 af den tyske matematiker C. Bremiker (1804-1877).

2 etape

Yderligere udvikling af teorien om logaritmer er forbundet med en bredere anvendelse af analytisk geometri og beregningen af \u200b\u200bdet uendelige. Oprettelsen af \u200b\u200bforholdet mellem kvadraturen af \u200b\u200ben ligesidet hyperbola og den naturlige logaritme går tilbage til den tid. Teorien om logaritmer i denne periode er forbundet med navnene på et antal matematikere.

Tysk matematiker, astronom og ingeniør Nicolaus Mercator i kompositionen

Logarithmotechnics (1668) giver en serie, der giver en udvidelse på ln (x + 1) i

grader x:

Dette udtryk svarer nøjagtigt til forløbet af hans tanke, skønt han selvfølgelig ikke brugte tegnene d, ... men mere besværlig symbolik. Med opdagelsen af \u200b\u200bden logaritmiske serie ændrede teknikken til beregning af logaritmer: de begyndte at blive bestemt ved hjælp af uendelige serier. I sine forelæsninger, "Elementær matematik fra et højere synspunkt," leveret i 1907-1908, foreslog F. Klein at bruge formlen som udgangspunkt for konstruktion af teorien om logaritmer.

3 etape

Definition af en logaritmisk funktion som en funktion af det inverse

eksponentiel, logaritme som en indikator for graden af \u200b\u200ben given base

det blev ikke straks formuleret. Arbejdet med Leonard Euler (1707-1783)

"Introduktion til analysen af \u200b\u200binfinitesimals" (1748) tjente som en yderligere

udvikling af teorien om en logaritmisk funktion. På denne måde

134 år er gået, siden logaritmerne først blev introduceret

(tæller fra 1614), før matematikere kom til definitionen

begrebet logaritme, som nu er grundlaget for skolekursen.

Kapitel 2. Indsamling af logaritmiske uligheder

2.1. Ækvivalente overgange og den generaliserede intervalmetode.

Ækvivalente overgange

hvis a\u003e 1

hvis 0 < а < 1

Generaliseret intervalmetode

Denne metode er mest universel, når man løser uligheder af næsten enhver type. Løsningsplanen er som følger:

1. Bring uligheden til den form, hvor funktionen er på venstre side
, og i højre 0.

2. Find omfanget af funktionen
.

3. Find funktionsnuller
, det vil sige, løse ligningen
(og at løse en ligning er normalt lettere end at løse en ulighed).

4. Tegn definitionsområdet og nulerne på funktionen på talelinjen.

5. Identificer funktionstegn
med de modtagne intervaller.

6. Vælg intervaller, hvor funktionen tager de nødvendige værdier, og registrer svaret.

Eksempel 1

Afgørelse:

Anvend intervallmetode

hvor fra

Med disse værdier er alle udtryk under logaritmernes tegn positive.

Svar:

Eksempel 2

Afgørelse:

1st vej . DLD bestemmes af ulighed x \u003e 3. Logaritme til sådan x på basis af 10 opnår vi

Den sidste ulighed kunne løses ved anvendelse af dekomponeringsregler, dvs. sammenligning af faktorer med nul. I dette tilfælde er det imidlertid let at bestemme intervallerne for konstant tegn på funktionen

derfor kan intervalmetoden anvendes.

Fungere f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ kontinuerligt kl x \u003e 3 og forsvinder ved punkter x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Således bestemmer vi intervallerne for konstant funktion f(x):

Svar:

2. metode . Vi anvender ideerne til intervalmetoden direkte på den indledende ulighed.

For dette skal du huske, at udtrykkene -en b - -en c og ( -en - 1)(b - 1) har et tegn. Så vores ulighed for x \u003e 3 svarer til uligheden

eller

Den sidste ulighed løses ved hjælp af intervalmetoden

Svar:

Eksempel 3

Afgørelse:

Anvend intervallmetode

Svar:

Eksempel 4

Afgørelse:

Siden 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 for alle gyldige xderefter

For at løse den anden ulighed bruger vi intervalmetoden

I den første ulighed foretager vi udskiftningen

så ankommer vi til uligheden 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yder tilfredsstiller uligheden -0,5< y < 1.

Fra hvor, siden

vi opnår uligheden

som udføres når xfor hvilke 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Nu, under hensyntagen til løsningen af \u200b\u200bsystemets anden ulighed, opnår vi endelig

Svar:

Eksempel 5

Afgørelse:

Ulighed er ensbetydende med en kombination af systemer

eller

Vi anvender intervalmetoden eller

Svar:

Eksempel 6

Afgørelse:

Ulighed er ensbetydende med et system

Lad ske

derefter y > 0,

og første ulighed

systemet tager form

eller lægge ud

firkantet trinomial multiplikator

Anvendelse af intervalmetoden på den sidste ulighed,

se, at hans løsninger opfylder betingelsen y \u003e 0 vil være alt y > 4.

Således svarer den indledende ulighed til systemet:

Så løsningen på ulighed er alle

2.2. Rationaliseringsmetode.

Tidligere løste de ikke uligheder ved rationalisering, de kendte ham ikke. Dette er "en ny moderne effektiv metode til løsning af eksponentielle og logaritmiske uligheder" (citat fra bogen Kolesnikova SI)
Og selvom læreren kendte ham, var der en frygt - kendte eksaminatoren ham, og hvorfor gav de ham ikke på skolen? Der var situationer, hvor læreren sagde til eleven: "Hvor fik du den? Sæt dig ned - 2."
Nu skrider metoden overalt. Og for eksperter er der retningslinjer relateret til denne metode, og i "Mest komplette udgaver af typiske varianter ..." i løsning C3 bruges denne metode.
Utrolig metode!

Det magiske bord

I andre kilder

hvis a\u003e 1 og b\u003e 1, log derefter en b\u003e 0 og (a -1) (b -1)\u003e 0;

hvis a\u003e 1 og 0

hvis 0<-en<1 и b >1, log derefter b<0 и (a -1)(b -1)<0;