Kolmion alueen määrittämiseksi voit käyttää erilaisia ​​kaavoja. Kaikista menetelmistä helpoin ja useimmin käytetty on kertoa korkeus pohjan pituudella ja jakaa sitten tulos kahdella. Tämä menetelmä ei kuitenkaan ole kaukana ainoasta. Alta voit lukea kuinka löytää kolmion pinta-ala eri kaavoilla.

Tarkastelemme erikseen menetelmiä tietyntyyppisten kolmioiden - suorakaiteen, tasakylkisen ja tasasivuisen - alueen laskemiseksi. Jokaisen kaavan mukana on lyhyt selitys, joka auttaa sinua ymmärtämään sen olemuksen.

Yleisiä tapoja löytää kolmion pinta-ala

Alla olevissa kaavoissa käytetään erityistä merkintää. Selvitämme jokaisen niistä:

• a, b, c ovat tarkastelemamme kuvion kolmen sivun pituudet;
• r on ympyrän säde, joka voidaan kirjoittaa kolmioon;
• R on ympyrän säde, joka voidaan kuvata sen ympärillä;
• α - sivujen b ja c muodostaman kulman arvo;
• β on a:n ja c:n välinen kulma;
• γ - sivujen a ja b muodostaman kulman arvo;
• h on kolmiomme korkeus laskettuna kulmasta α sivulle a;
• p on puolet sivujen a, b ja c summasta.

On loogisesti selvää, miksi voit löytää kolmion alueen tällä tavalla. Kolmio on helppo täydentää suunnikkaaksi, jossa kolmion toinen sivu toimii diagonaalina. Suunnikkaan pinta-ala saadaan kertomalla sen yhden sivun pituus siihen piirretyn korkeuden arvolla. Diagonaali jakaa tämän ehdollisen suuntaviivan 2 identtiseksi kolmioksi. Siksi on aivan ilmeistä, että alkuperäisen kolmiomamme pinta-alan tulee olla yhtä suuri kuin puolet tämän apusuuntaisen suuntaviivan pinta-alasta.

S=½ a b sin γ

Tämän kaavan mukaan kolmion pinta-ala saadaan kertomalla sen kahden sivun pituudet, eli a ja b, niiden muodostaman kulman sinillä. Tämä kaava on johdettu loogisesti edellisestä. Jos laskemme korkeutta kulmasta β sivulle b, niin suorakulmaisen kolmion ominaisuuksien mukaan, kun sivun a pituus kerrotaan kulman γ sinillä, saadaan kolmion korkeus, eli h.

Tarkasteltavan kuvan pinta-ala saadaan kertomalla puolet ympyrän säteestä, joka voidaan piirtää siihen sen kehällä. Toisin sanoen löydämme mainitun ympyrän puolikehän ja säteen tulon.

S = a b c/4R

Tämän kaavan mukaan tarvitsemamme arvo saadaan jakamalla kuvion sivujen tulo sen ympärille piirretyn ympyrän 4 säteellä.

Nämä kaavat ovat universaaleja, koska niiden avulla voidaan määrittää minkä tahansa kolmion pinta-ala (skaala, tasakylkinen, tasasivuinen, suorakulmainen). Tämä voidaan tehdä monimutkaisempien laskelmien avulla, joita emme käsittele yksityiskohtaisesti.

Kolmioiden alueet, joilla on erityisiä ominaisuuksia

Kuinka löytää suorakulmaisen kolmion pinta-ala? Tämän hahmon piirre on, että sen kaksi sivua ovat samanaikaisesti sen korkeuksia. Jos a ja b ovat jalkoja ja c:stä tulee hypotenuusa, alue löytyy seuraavasti:

Kuinka löytää tasakylkisen kolmion pinta-ala? Siinä on kaksi sivua, joiden pituus on a ja yksi sivu, jonka pituus on b. Siksi sen pinta-ala voidaan määrittää jakamalla 2:lla sivun a neliön tulo kulman γ sinillä.

Kuinka löytää tasasivuisen kolmion pinta-ala? Siinä kaikkien sivujen pituus on a ja kaikkien kulmien arvo on α. Sen korkeus on puolet sivun pituuden tulosta kertaa 3:n neliöjuuri. Säännöllisen kolmion alueen selvittämiseksi tarvitset sivun a neliön kerrottuna 3:n neliöjuurella ja jaettuna 4:llä.

Kolmio on hyvin tunnettu hahmo. Ja tämä huolimatta sen muotojen runsaasta valikoimasta. Suorakulmainen, tasasivuinen, terävä, tasakylkinen, tylppä. Jokainen niistä on hieman erilainen. Mutta jokaiselle on tiedettävä kolmion pinta-ala.

Yhteiset kaavat kaikille kolmiolle, joissa käytetään sivujen tai korkeuksien pituutta

Niissä käytetyt nimitykset: sivut - a, b, c; korkeudet vastaavilla sivuilla kohdissa a, n in, n s.

1. Kolmion pinta-ala lasketaan ½:n, sivun ja siihen lasketun korkeuden tulona. S = ½ * a * n a. Samoin pitäisi kirjoittaa kaavat kahdelle muulle puolelle.

2. Heronin kaava, jossa puolikehä esiintyy (se on tapana merkitä pienellä p-kirjaimella, toisin kuin koko kehä). Puolikehä on laskettava seuraavasti: laske yhteen kaikki sivut ja jaa ne 2:lla. Puolikehän kaava: p \u003d (a + b + c) / 2. Sitten yhtäläisyys pinta-alalle u200b\u200bkuvio näyttää tältä: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Jos et halua käyttää puolikehää, tällainen kaava on hyödyllinen, jossa on vain sivujen pituudet: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Se on hieman pidempi kuin edellinen, mutta se auttaa, jos olet unohtanut kuinka löytää puolikehä.

Yleiset kaavat, joissa kolmion kulmat esiintyvät

Merkintä, joka tarvitaan kaavojen lukemiseen: α, β, γ - kulmat. Ne sijaitsevat vastakkaisilla puolilla a, b, c.

1. Sen mukaan puolet kahden sivun tulosta ja niiden välisen kulman sinistä on yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala. Eli: S = ½ a * b * sin γ. Kahden muun tapauksen kaavat tulee kirjoittaa samalla tavalla.

2. Kolmion pinta-ala voidaan laskea yhdestä sivusta ja kolmesta tunnetusta kulmasta. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. On myös kaava, jossa on yksi tunnettu sivu ja kaksi kulmaa sen vieressä. Se näyttää tältä: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Kaksi viimeistä kaavaa eivät ole yksinkertaisimpia. Niitä on aika vaikea muistaa.

Yleiset kaavat tilanteelle, jossa piirrettyjen tai rajattujen ympyröiden säteet tunnetaan

Lisämerkinnät: r, R — säteet. Ensimmäistä käytetään piirretyn ympyrän säteelle. Toinen on kuvattulle.

1. Ensimmäinen kaava, jolla kolmion pinta-ala lasketaan, liittyy puolikehän. S = r*r. Toisella tavalla se voidaan kirjoittaa seuraavasti: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Toisessa tapauksessa sinun on kerrottava kaikki kolmion sivut ja jaettava ne rajatun ympyrän nelinkertaisella säteellä. Kirjaimellisesti se näyttää tältä: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Kolmannessa tilanteessa voit tehdä sivuja tuntematta, mutta tarvitset kaikkien kolmen kulman arvot. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Erikoistapaus: suorakulmainen kolmio

Tämä on yksinkertaisin tilanne, koska vaaditaan vain molempien jalkojen pituus. Ne on merkitty latinalaisilla kirjaimilla a ja b. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet siihen lisätyn suorakulmion pinta-alasta.

Matemaattisesti se näyttää tältä: S = ½ a * b. Hän on helpoin muistaa. Koska se näyttää suorakulmion alueen kaavalta, näkyviin tulee vain murto-osa, joka tarkoittaa puolta.

Erikoistapaus: tasakylkinen kolmio

Koska sen kaksi sivua ovat yhtä suuret, jotkut sen alueen kaavat näyttävät hieman yksinkertaistetuilta. Esimerkiksi Heronin kaava, joka laskee tasakylkisen kolmion alueen, on seuraavanlainen:

S = ½ tuumaa √((a + ½ tuumaa)*(a - ½ tuumaa)).

Jos muunnat sen, siitä tulee lyhyempi. Tässä tapauksessa Heronin kaava tasakylkiselle kolmiolle kirjoitetaan seuraavasti:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Pinta-alakaava näyttää hieman yksinkertaisemmalta kuin mielivaltaiselle kolmiolle, jos sivut ja niiden välinen kulma tunnetaan. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Erikoistapaus: tasasivuinen kolmio

Yleensä häntä koskevissa ongelmissa puoli tunnetaan tai voidaan jotenkin tunnistaa. Sitten kaava tällaisen kolmion alueen löytämiseksi on seuraava:

S = (a 2 √3) / 4.

Tehtävät alueen löytämiseksi, jos kolmio on kuvattu ruudulliselle paperille

Yksinkertaisin tilanne on, kun suorakulmainen kolmio piirretään siten, että sen jalat ovat samat kuin paperin viivat. Sitten sinun tarvitsee vain laskea jalkoihin mahtuvien solujen määrä. Kerro ne sitten ja jaa kahdella.

Kun kolmio on terävä tai tylppä, se on piirrettävä suorakulmioksi. Sitten tuloksena olevassa kuvassa on 3 kolmiota. Yksi on tehtävässä annettu. Ja kaksi muuta ovat apu- ja suorakaiteen muotoisia. Kahden viimeisen alueen pinta-alat on määritettävä edellä kuvatulla menetelmällä. Laske sitten suorakulmion pinta-ala ja vähennä siitä apuvälineille lasketut. Kolmion pinta-ala määritetään.

Paljon vaikeampi on tilanne, jossa mikään kolmion sivuista ei ole sama kuin paperin viivat. Sitten se on kirjoitettava suorakulmioon niin, että alkuperäisen hahmon kärjet ovat sen sivuilla. Tässä tapauksessa on kolme suorakulmaista apukolmiota.

Esimerkki ongelmasta Heronin kaavassa

Kunto. Jollakin kolmiolla on sivut. Ne ovat 3, 5 ja 6 cm. Sinun on tiedettävä sen pinta-ala.

Nyt voit laskea kolmion alueen yllä olevan kaavan avulla. Neliöjuuren alla on neljän luvun tulo: 7, 4, 2 ja 1. Eli pinta-ala on √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Jos et tarvitse suurempaa tarkkuutta, voit ottaa neliöjuuren luvusta 14. Se on 3,74. Silloin pinta-ala on 7,48.

Vastaus. S \u003d 2 √14 cm 2 tai 7,48 cm 2.

Esimerkki suorakulmaisen kolmion ongelmasta

Kunto. Suorakulmaisen kolmion yksi jalka on 31 cm pidempi kuin toinen. Niiden pituudet on selvitettävä, jos kolmion pinta-ala on 180 cm 2.
Ratkaisu. Sinun on ratkaistava kahden yhtälön järjestelmä. Ensimmäinen liittyy alueeseen. Toinen koskee jalkojen suhdetta, joka on annettu tehtävässä.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Ensin "a":n arvo on korvattava ensimmäisellä yhtälöllä. Osoittautuu: 180 \u003d ½ (in + 31) * tuumaa. Siinä on vain yksi tuntematon määrä, joten se on helppo ratkaista. Hakasulkeiden avaamisen jälkeen saadaan toisen asteen yhtälö: in 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Se antaa kaksi arvoa "in": 9 ja - 40. Toinen numero ei sovellu vastaukseksi , koska kolmion sivun pituus ei voi olla negatiivinen arvo.

Jäljelle jää toisen osuuden laskeminen: lisää saatuun numeroon 31. Osoittautuu, että 40. Nämä ovat tehtävässä haetut suuret.

Vastaus. Kolmion jalat ovat 9 ja 40 cm.

Tehtävä löytää sivu kolmion alueen, sivun ja kulman kautta

Kunto. Jonkin kolmion pinta-ala on 60 cm2. On tarpeen laskea yksi sen sivuista, jos toinen sivu on 15 cm ja niiden välinen kulma on 30º.

Ratkaisu. Hyväksyttyjen merkintöjen perusteella haluttu sivu on "a", tunnettu "b", annettu kulma on "γ". Sitten pinta-alakaava voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Tässä 30 asteen sini on 0,5.

Muutosten jälkeen "a" osoittautuu yhtä suureksi kuin 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Eli 16.

Vastaus. Haluttu sivu on 16 cm.

Suorakulmaiseen kolmioon piirretyn neliön tehtävä

Kunto. Neliön kärki, jonka sivu on 24 cm, osuu kolmion oikeaan kulmaan. Kaksi muuta makaavat jaloilla. Kolmas kuuluu hypotenuusaan. Yhden jalan pituus on 42 cm. Mikä on suorakulmaisen kolmion pinta-ala?

Ratkaisu. Harkitse kahta suorakulmaista kolmiota. Ensimmäinen on määritelty tehtävässä. Toinen perustuu alkuperäisen kolmion tunnettuun haaraan. Ne ovat samanlaisia, koska niillä on yhteinen kulma ja ne muodostuvat yhdensuuntaisista viivoista.

Silloin niiden jalkojen suhteet ovat yhtä suuret. Pienemmän kolmion jalat ovat 24 cm (neliön sivu) ja 18 cm (jalan pituus 42 cm miinus neliön sivu 24 cm). Suuren kolmion vastaavat jalat ovat 42 cm ja x cm. Tämä "x" tarvitaan kolmion pinta-alan laskemiseen.

18/42 \u003d 24 / x, eli x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Sitten pinta-ala on yhtä suuri kuin 56:n ja 42:n tulo jaettuna kahdella, eli 1176 cm 2.

Vastaus. Haluttu pinta-ala on 1176 cm 2.

Kolmio on yksi yleisimmistä geometrisista muodoista, joka on meille tuttu jo peruskoulussa. Kysymys siitä, kuinka löytää kolmion pinta-ala, joutuu jokaisen opiskelijan eteen geometrian tunneilla. Joten mitkä ovat piirteet löytää tietyn hahmon alue voidaan erottaa? Tässä artikkelissa tarkastelemme peruskaavoja, jotka ovat välttämättömiä tällaisen tehtävän suorittamiseksi, ja analysoimme myös kolmiotyyppejä.

Kolmioiden tyypit

Voit löytää kolmion pinta-alan täysin eri tavoilla, koska geometriassa on enemmän kuin yksi kuvio, joka sisältää kolme kulmaa. Näitä tyyppejä ovat:

• tylppä.
• Tasasivuinen (oikea).
• Suorakulmainen kolmio.
• Tasakylkinen.

Tarkastellaanpa tarkemmin jokaista olemassa olevaa kolmiotyyppiä.

Tällaista geometristä kuviota pidetään yleisimpana geometristen ongelmien ratkaisemisessa. Kun on tarpeen piirtää mielivaltainen kolmio, tämä vaihtoehto tulee apuun.

Terävässä kolmiossa, kuten nimestä voi päätellä, kaikki kulmat ovat teräviä ja niiden summa on 180°.

Tällainen kolmio on myös hyvin yleinen, mutta se on hieman harvinaisempi kuin teräväkulmainen. Esimerkiksi kun ratkaiset kolmioita (eli tiedät useita sen sivuja ja kulmia ja sinun on löydettävä loput elementit), joskus sinun on määritettävä, onko kulma tylpä vai ei. Kosini on negatiivinen luku.

Yhden kulman arvo on yli 90°, joten kahdella muulla kulmalla voi olla pieniä arvoja (esimerkiksi 15° tai jopa 3°).

Löytääksesi tämän tyyppisen kolmion alueen, sinun on tiedettävä joitain vivahteita, joista puhumme seuraavaksi.

Säännölliset ja tasakylkiset kolmiot

Säännöllinen monikulmio on kuvio, joka sisältää n kulmaa, jossa kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret. Tämä on oikea kolmio. Koska kolmion kaikkien kulmien summa on 180°, kukin kolmesta kulmasta on 60°.

Suorakulmaista kolmiota kutsutaan ominaisuutensa vuoksi myös tasasivuiseksi hahmoksi.

On myös syytä huomata, että vain yksi ympyrä voidaan piirtää säännölliseen kolmioon ja vain yksi ympyrä voidaan rajata sen ympärille, ja niiden keskipisteet sijaitsevat yhdessä pisteessä.

Tasasivuisen tyypin lisäksi voidaan erottaa myös tasakylkinen kolmio, joka eroaa siitä hieman. Tällaisessa kolmiossa kaksi sivua ja kaksi kulmaa ovat yhtä suuria toistensa kanssa, ja kolmas sivu (johon yhtäläiset kulmat rajoittuvat) on kanta.

Kuvassa on tasakylkinen kolmio DEF, jonka kulmat D ja F ovat yhtä suuret ja DF on kanta.

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio on saanut nimensä, koska yksi sen kulmista on suora kulma, eli yhtä suuri kuin 90°. Kaksi muuta kulmaa ovat yhteensä 90°.

Tällaisen kolmion suurin sivu, joka sijaitsee vastapäätä 90 °:n kulmaa, on hypotenuusa, kun taas sen kaksi muuta sivua ovat jalat. Tämän tyyppisille kolmioille voidaan soveltaa Pythagoraan lausetta:

Jalkojen pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden neliö.

Kuvassa on suorakulmainen kolmio BAC, jossa on hypotenuusa AC ja jalat AB ja BC.

Suorakulmaisen kolmion alueen löytämiseksi sinun on tiedettävä sen jalkojen numeeriset arvot.

Siirrytään kaavoihin annetun kuvan alueen löytämiseksi.

Peruskaavat alueen löytämiseksi

Geometriassa voidaan erottaa kaksi kaavaa, jotka sopivat useimpien kolmiotyyppien alueen löytämiseen, nimittäin teräväkulmaisille, tylppäkulmaisille, säännöllisille ja tasakylkisille kolmioille. Analysoidaan jokainen niistä.

Sivulta ja korkeudelta

Tämä kaava on universaali harkitsemamme kuvion alueen löytämiseksi. Tätä varten riittää, että tietää sivun pituus ja siihen vedetyn korkeuden pituus. Itse kaava (puolet pohjan ja korkeuden tulosta) on seuraava:

missä A on annetun kolmion sivu ja H on kolmion korkeus.

Esimerkiksi teräväkulmaisen kolmion ACB alueen löytämiseksi sinun on kerrottava sen sivu AB korkeudella CD ja jaettava saatu arvo kahdella.

Aina ei kuitenkaan ole helppoa löytää kolmion pinta-alaa tällä tavalla. Jos esimerkiksi haluat käyttää tätä kaavaa tylpäkulmaiselle kolmiolle, sinun on jatkettava yhtä sen sivuista ja piirrettävä siihen korkeus vasta sitten.

Käytännössä tätä kaavaa käytetään useammin kuin muita.

Kaksi sivua ja kulma

Tämä kaava, kuten edellinen, sopii useimpiin kolmioihin ja on merkitykseltään seurausta kolmion sivun ja korkeuden alueen löytämiskaavasta. Eli tarkasteltava kaava voidaan helposti päätellä edellisestä. Sen sanamuoto näyttää tältä:

S = ½*sinO*A*B,

missä A ja B ovat kolmion sivut ja O on sivujen A ja B välinen kulma.

Muista, että kulman siniä voidaan tarkastella erityisessä taulukossa, joka on nimetty erinomaisen Neuvostoliiton matemaatikon V. M. Bradisin mukaan.

Ja nyt siirrytään muihin kaavoihin, jotka sopivat vain poikkeuksellisille kolmiotyypeille.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala

Universaalin kaavan lisäksi, joka sisältää tarpeen piirtää korkeus kolmioon, sen jaloista löytyy suoran kulman sisältävän kolmion alue.

Joten suoran kulman sisältävän kolmion pinta-ala on puolet sen jalkojen tulosta tai:

missä a ja b ovat suorakulmaisen kolmion haarat.

suorakulmainen kolmio

Tämän tyyppiset geometriset kuviot erottuvat siitä, että sen pinta-ala löytyy vain yhden sen sivun määritetyllä arvolla (koska säännöllisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret). Joten, kun olet kohdannut tehtävän "löytää kolmion pinta-ala, kun sivut ovat yhtä suuret", sinun on käytettävä seuraavaa kaavaa:

S = A 2 *√3/4,

missä A on tasasivuisen kolmion sivu.

Heronin kaava

Viimeinen vaihtoehto kolmion alueen löytämiseksi on Heronin kaava. Jotta voit käyttää sitä, sinun on tiedettävä kuvion kolmen sivun pituudet. Heronin kaava näyttää tältä:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

missä a, b ja c ovat annetun kolmion sivut.

Joskus annetaan tehtävä: "säännöllisen kolmion pinta-ala on löytää sen sivun pituus." Tässä tapauksessa sinun on käytettävä meille jo tuntemaamme kaavaa säännöllisen kolmion alueen löytämiseen ja johdettava siitä sivun (tai sen neliön) arvo:

A 2 \u003d 4S / √3.

Kokeen ongelmia

Matematiikan GIA:n tehtävissä on monia kaavoja. Lisäksi melko usein on tarpeen löytää kolmion pinta-ala ruudulliselta paperilta.

Tässä tapauksessa on kätevintä piirtää korkeus kuvan yhdelle sivulle, määrittää sen pituus solujen mukaan ja käyttää yleistä kaavaa alueen löytämiseen:

Joten kun olet tutkinut artikkelissa esitettyjä kaavoja, sinulla ei ole ongelmia löytää minkäänlaisen kolmion pinta-ala.

Kolmion pinta-ala - kaavoja ja esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Alla ovat kaavat mielivaltaisen kolmion alueen löytämiseksi jotka sopivat minkä tahansa kolmion alueen löytämiseen sen ominaisuuksista, kulmista tai mitoista riippumatta. Kaavat on esitetty kuvan muodossa, tässä on selityksiä niiden soveltamisesta tai perustelut niiden oikeellisuuteen. Lisäksi erillisessä kuvassa näkyy kaavoissa olevien kirjainsymbolien ja piirustuksen graafisten symbolien vastaavuus.

Merkintä . Jos kolmiolla on erityisiä ominaisuuksia (tasakylkinen, suorakulmainen, tasasivuinen), voit käyttää alla olevia kaavoja sekä lisäksi erityisiä kaavoja, jotka pätevät vain kolmioihin, joilla on nämä ominaisuudet:

• "Tasasivuisen kolmion pinta-alan kaavat"

Kolmion pintakaavat

Selitykset kaavoille:
a, b, c- kolmion sivujen pituudet, joiden alueen haluamme löytää
r- kolmioon piirretyn ympyrän säde
R- kolmion ympärillä olevan rajatun ympyrän säde
h- kolmion korkeus, laskettu sivulle
s- kolmion puolikehä, 1/2 sen sivujen summasta (kehä)
α - kolmion vastakkaisen sivun a kulma
β - kolmion b vastakkainen kulma
γ - kolmion vastakkaisen sivun c kulma
h a, h b , h c- kolmion korkeus, laskettu sivulle a, b, c

Huomaa, että annettu merkintä vastaa yllä olevaa kuvaa, jotta todellista geometrian ongelmaa ratkaistaessa sinun olisi visuaalisesti helpompi korvata oikeat arvot kaavan oikeisiin paikkoihin.

• Kolmion pinta-ala on puolet kolmion korkeuden ja sen sivun pituuden tulosta, jolle tämä korkeus on laskettu(Formula 1). Tämän kaavan oikeellisuus voidaan ymmärtää loogisesti. Pohjaan laskettu korkeus jakaa mielivaltaisen kolmion kahdeksi suorakaiteen muotoiseksi. Jos täydennämme niistä jokaisen suorakulmioon, jonka mitat ovat b ja h, niin näiden kolmioiden pinta-ala on ilmeisesti yhtä suuri kuin puolet suorakulmion pinta-alasta (Spr = bh)
• Kolmion pinta-ala on puolet sen kahden sivun tulosta ja niiden välisen kulman sinistä(Kaava 2) (katso esimerkki ongelman ratkaisemisesta tätä kaavaa käyttämällä alla). Huolimatta siitä, että se näyttää erilaiselta kuin edellinen, se voidaan helposti muuttaa sellaiseksi. Jos laskemme korkeutta kulmasta B sivulle b, käy ilmi, että sivun a ja kulman γ sinin tulo suorakulmaisen kolmion sinin ominaisuuksien mukaan on yhtä suuri kuin piirretyn kolmion korkeus. meille, mikä antaa meille edellisen kaavan
• Mielivaltaisen kolmion pinta-ala löytyy kautta työ puolet ympyrän säteestä, joka on piirretty siihen kaikkien sen sivujen pituuksien summalla(Kaava 3), toisin sanoen, sinun on kerrottava kolmion puolikehä piirretyn ympyrän säteellä (on helpompi muistaa näin)
• Satunnaisen kolmion pinta-ala saadaan jakamalla sen kaikkien sivujen tulo sen ympärille piirretyn ympyrän 4 säteellä (kaava 4)
• Kaava 5 etsii kolmion pinta-alaa sen sivujen pituuksilla ja puolikehän pituudella (puolet sen kaikkien sivujen summasta)
• Heronin kaava(6) on saman kaavan esitys ilman puolikehän käsitettä, vain sivujen pituuksien kautta
• Mielivaltaisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion sivun neliön ja tämän sivun viereisten kulmien sinien tulo jaettuna tämän sivun vastakkaisen kulman kaksoissinillä (kaava 7)
• Satunnaisen kolmion pinta-ala voidaan löytää kahden sen ympärille piirretyn ympyrän neliön ja sen kunkin kulman sinien tulona. (Formula 8)
• Jos yhden sivun pituus ja kahden viereisen kulman suuruus tiedetään, niin kolmion pinta-ala voidaan löytää tämän sivun neliönä jaettuna näiden kotangenttien kaksinkertaisella summalla. kulmat (Formula 9)
• Jos tunnetaan vain kolmion kunkin korkeuden pituus (kaava 10), niin tällaisen kolmion pinta-ala on kääntäen verrannollinen näiden korkeuksien pituuteen, kuten Heronin kaavalla
• Kaava 11 antaa sinun laskea kolmion pinta-ala sen kärkipisteiden koordinaattien mukaan, jotka annetaan (x;y)-arvoina kullekin kärjelle. Huomaa, että tuloksena oleva arvo on otettava modulo, koska yksittäisten (tai jopa kaikkien) kärkien koordinaatit voivat olla negatiivisten arvojen alueella

Merkintä. Seuraavassa on esimerkkejä geometrian ongelmien ratkaisemisesta kolmion alueen löytämiseksi. Jos sinun on ratkaistava geometrian ongelma, jota vastaavaa ei ole täällä - kirjoita siitä foorumille. Ratkaisuissa sqrt()-funktiota voidaan käyttää "neliöjuuri"-symbolin sijasta, jossa sqrt on neliöjuuren symboli ja radikaalilauseke merkitään suluissa.Joskus symbolia voidaan käyttää yksinkertaisiin radikaalilausekkeisiin √

Tehtävä. Etsi kahdelle sivulle annettu alue ja niiden välinen kulma

Kolmion sivut ovat 5 ja 6 cm, ja niiden välinen kulma on 60 astetta. Etsi kolmion pinta-ala.

Ratkaisu.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme oppitunnin teoreettisen osan kaavaa numero kaksi.
Kolmion pinta-ala löytyy kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin kautta ja se on yhtä suuri kuin
S = 1/2 ab sin γ

Koska meillä on kaikki ratkaisuun tarvittavat tiedot (kaavan mukaan), voimme vain korvata ongelmalauseen arvot kaavaan:
S=1/2*5*6*sin60

Trigonometristen funktioiden arvojen taulukosta löydämme ja korvaamme lausekkeessa sinin arvon 60 astetta. Se on yhtä kuin luvun kolme kertaa kaksi juuria.
S = 15 √3/2

Vastaus: 7,5 √3 (opettajan tarpeista riippuen on luultavasti mahdollista jättää 15 √3/2)

Tehtävä. Etsi tasasivuisen kolmion pinta-ala

Etsi tasasivuisen kolmion pinta-ala, jonka sivu on 3 cm.

Ratkaisu .

Kolmion pinta-ala löytyy Heronin kaavalla:

S = 1/4 neliötä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Koska a \u003d b \u003d c, tasasivuisen kolmion pinta-alan kaava on muotoa:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastaus: 9 √3 / 4.

Tehtävä. Muuta pinta-alaa, kun vaihdat sivujen pituutta

Kuinka monta kertaa kolmion pinta-ala kasvaa, jos sivut nelinkertaistuvat?

Ratkaisu.

Koska kolmion sivujen mitat ovat meille tuntemattomia, ongelman ratkaisemiseksi oletetaan, että sivujen pituudet ovat vastaavasti yhtä suuria kuin mielivaltaiset luvut a, b, c. Sitten, jotta voimme vastata ongelman kysymykseen, löydämme tämän kolmion alueen ja sitten löydämme kolmion alueen, jonka sivut ovat neljä kertaa suuremmat. Näiden kolmioiden pinta-alojen suhde antaa meille vastauksen ongelmaan.

Seuraavaksi annamme tekstin selityksen ongelman ratkaisusta vaiheittain. Kuitenkin aivan lopussa sama ratkaisu esitetään graafisessa muodossa, joka on helpompi havaita. Halukkaat voivat pudottaa ratkaisun heti alas.

Ratkaisussa käytämme Heron-kaavaa (katso yllä oppitunnin teoreettisessa osassa). Se näyttää tältä:

S = 1/4 neliötä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(katso alla olevan kuvan ensimmäinen rivi)

Mielivaltaisen kolmion sivujen pituudet saadaan muuttujilla a, b, c.
Jos sivuja kasvatetaan 4 kertaa, uuden kolmion c pinta-ala on:

S 2 = 1/4 neliömetriä((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(katso alla olevan kuvan toinen rivi)

Kuten näet, 4 on yleinen tekijä, joka voidaan sulkea kaikista neljästä lausekkeesta matematiikan yleisten sääntöjen mukaisesti.
Sitten

S 2 = 1/4 neliötä(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - kuvan kolmannella rivillä
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - neljäs rivi

Numerosta 256 neliöjuuri erottuu täydellisesti, joten otamme sen pois juuren alta
S 2 = 16 * 1/4 neliötä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 neliömetriä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(katso alla olevan kuvan viides rivi)

Tehtävässä esitettyyn kysymykseen vastaamiseksi riittää, että jaamme tuloksena olevan kolmion alueen alkuperäisen kolmion pinta-alalla.
Määritämme pinta-alasuhteet jakamalla lausekkeet toisiinsa ja vähentämällä tuloksena olevaa murto-osaa.