Esimerkkejä murtolukujen kertomisesta samoilla nimittäjillä. Yhtälöjärjestelmän laatiminen

) ja nimittäjä nimittäjältä (saamme tuotteen nimittäjän).

Murtolukujen kertomiskaava:

Esimerkiksi:

Ennen kuin aloitat osoittajien ja nimittäjien kertomisen, sinun on tarkistettava, voidaanko murtolukua pienentää. Jos voit pienentää murto-osaa, sinun on helpompi tehdä lisälaskelmia.

Yhteisen murtoluvun jakaminen murtoluvulla.

Luonnollisia lukuja sisältävien murtolukujen jako.

Se ei ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää. Kuten yhteenlaskussa, muunnamme kokonaisluvun murto-osaksi, jonka nimittäjässä on yksi. Esimerkiksi:

Sekaosien kertominen.

Murtolukujen kertomista koskevat säännöt (sekoitetut):

• muuntaa sekafraktiot sopimattomiksi jakeiksi;
• kertomalla murtolukujen osoittajat ja nimittäjät;
• vähennä fraktiota;
• Jos saat väärän jakeen, muunnamme väärän jakeen sekamurtoluvuksi.

Huomautus! Jos haluat kertoa sekamurtoluvun toisella sekamurtoluvulla, sinun on ensin muutettava ne sopimattomien jakeiden muotoon ja kerrottava sitten tavallisten jakeiden kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla.

Voi olla kätevämpää käyttää toista tapaa kertoa yhteinen murto luvulla.

Huomautus! Jos haluat kertoa murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on jaettava murtoluvun nimittäjä tällä luvulla ja jätettävä osoittaja ennalleen.

Yllä olevasta esimerkistä käy selvästi ilmi, että tätä vaihtoehtoa on helpompi käyttää, kun murtoluvun nimittäjä jaetaan ilman jäännöstä luonnollisella luvulla.

Monikerroksiset murtoluvut.

Lukiossa kohdataan usein kolmikerroksisia (tai useampia) murto-osia. Esimerkki:

Jos haluat saada tällaisen murto-osan tavanomaiseen muotoonsa, käytä jakoa 2 pisteellä:

Huomautus! Murtolukuja jaettaessa jakojärjestys on erittäin tärkeä. Ole varovainen, täällä on helppo hämmentää.

Huomautus, Esimerkiksi:

Kun jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain käänteisesti:

Käytännön vinkkejä murtolukujen kertomiseen ja jakamiseen:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskennellessä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus. Tee kaikki laskelmat huolellisesti ja tarkasti, keskittyneesti ja selkeästi. On parempi kirjoittaa luonnokseen muutama ylimääräinen rivi kuin eksyä mielenterveyden laskelmiin.

2. Tehtävissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja, siirry tavallisten murtolukujen tyyppiin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes pelkistäminen ei ole enää mahdollista.

4. Muunnamme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiksi käyttämällä 2 pisteen jakoa.

5. Jaa yksikkö päässäsi olevalla murto-osalla yksinkertaisesti kääntämällä murto-osa ympäri.

Viime kerralla opimme lisäämään ja vähentämään murtolukuja (katso oppitunti "Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen"). Vaikein osa noista toimista oli murto-osien tuominen yhteiselle nimittäjälle.

Nyt on aika käsitellä kerto- ja jakolaskua. Hyvä uutinen on, että nämä operaatiot ovat jopa yksinkertaisempia kuin yhteen- ja vähennyslasku. Tarkastellaan ensin yksinkertaisinta tapausta, jossa on kaksi positiivista murtolukua ilman erotettua kokonaislukuosaa.

Jos haluat kertoa kaksi murtolukua, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät erikseen. Ensimmäinen numero on uuden murtoluvun osoittaja ja toinen on nimittäjä.

Kahden murto-osan jakamiseksi sinun on kerrottava ensimmäinen murto-osa "käänteisellä" toisella murto-luvulla.

Nimitys:

Määritelmästä seuraa, että murtolukujen jakaminen pelkistyy kertolaskuksi. Jos haluat "kääntää" murto-osan, vaihda osoittaja ja nimittäjä. Siksi koko oppitunnin ajan käsittelemme pääasiassa kertolaskua.

Kertomisen seurauksena voi syntyä (ja usein syntyy) pienennettävä murto-osa - sitä on tietysti vähennettävä. Jos kaikkien vähennysten jälkeen murto-osa osoittautuu vääräksi, koko osa tulee korostaa. Mutta mitä ei varmasti tapahdu kertolaskussa, on pelkistys yhteiseen nimittäjään: ei ristikkäisiä menetelmiä, suurimmat tekijät ja vähiten yhteiset kerrannaiset.

Määritelmän mukaan meillä on:

Murtolukujen kertominen kokonaisilla osilla ja negatiivisilla murtoluvuilla

Jos murtoluvut sisältävät kokonaislukuosan, ne on muutettava virheellisiksi - ja vasta sitten kerrottava edellä esitettyjen kaavioiden mukaisesti.

Jos murtoluvun osoittajassa, nimittäjässä tai sen edessä on miinus, se voidaan ottaa pois kertolaskusta tai poistaa kokonaan seuraavien sääntöjen mukaisesti:

1. Plus miinuksella antaa miinuksen;
2. Kaksi negatiivista tekee myöntävän.

Tähän asti näitä sääntöjä on kohdattu vain negatiivisia murtolukuja lisättäessä ja vähennettäessä, kun koko osasta oli päästävä eroon. Teoksen osalta ne voidaan yleistää useiden haittojen "polttamiseksi" kerralla:

1. Yliviivaamme negatiivit pareittain, kunnes ne katoavat kokonaan. Äärimmäisissä tapauksissa yksi miinus voi selviytyä - se, jolle ei ollut kumppania;
2. Jos miinuksia ei ole jäljellä, toimenpide on valmis - voit aloittaa kertomisen. Jos viimeistä miinusta ei ole yliviivattu, koska sillä ei ollut paria, jätämme sen kertolaskurajojen ulkopuolelle. Tuloksena on negatiivinen murto-osa.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Muunnamme kaikki murtoluvut vääriksi ja poistamme kertolaskusta miinukset. Kerromme sen, mikä on jäljellä tavallisten sääntöjen mukaisesti. Saamme:

Muistutan vielä kerran, että miinus, joka näkyy korostetun kokonaisosan murto-osan edessä, viittaa nimenomaan koko murto-osaan, ei vain sen kokonaisuuteen (tämä koskee kahta viimeistä esimerkkiä).

Kiinnitä huomiota myös negatiivisiin lukuihin: kerrottaessa ne on suljettu sulkeisiin. Tämä tehdään miinusten erottamiseksi kertomerkeistä ja koko merkinnän tarkentamiseksi.

Murtolukujen vähentäminen lennossa

Kertominen on erittäin työvoimavaltainen toimenpide. Tässä olevat luvut osoittautuvat melko suuriksi, ja ongelman yksinkertaistamiseksi voit yrittää pienentää murto-osaa edelleen ennen kertolaskua. Todellakin, pohjimmiltaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät ovat tavallisia tekijöitä, ja siksi niitä voidaan pienentää murtoluvun perusominaisuutta käyttämällä. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Määritelmän mukaan meillä on:

Kaikissa esimerkeissä vähennetyt numerot ja niistä jääneet on merkitty punaisella.

Huomaa: ensimmäisessä tapauksessa kertoimia pienennettiin kokonaan. Niiden tilalle jää yksiköitä, joita ei yleisesti ottaen tarvitse kirjoittaa. Toisessa esimerkissä ei ollut mahdollista saavuttaa täydellistä vähennystä, mutta laskelmien kokonaismäärä kuitenkin pieneni.

Älä kuitenkaan koskaan käytä tätä tekniikkaa, kun lisäät ja vähennät murtolukuja! Kyllä, joskus on samanlaisia ​​lukuja, joita haluat vain vähentää. Tässä, katso:

Et voi tehdä sitä!

Virhe johtuu siitä, että kun lasketaan yhteen, murtoluvun osoittaja tuottaa summan, ei lukujen tuloa. Näin ollen on mahdotonta soveltaa murtoluvun perusominaisuutta, koska tämä ominaisuus koskee nimenomaan lukujen kertomista.

Murtolukujen vähentämiseen ei yksinkertaisesti ole muita syitä, joten oikea ratkaisu edelliseen ongelmaan näyttää tältä:

Oikea ratkaisu:

Kuten näette, oikea vastaus ei osoittautunut niin kauniiksi. Yleisesti ottaen ole varovainen.

Yläasteen ja lukion kursseilla opiskelijat käsittelivät aihetta Murtoluvut. Tämä käsite on kuitenkin paljon laajempi kuin mitä oppimisprosessissa annetaan. Nykyään murto-osan käsite kohdataan melko usein, eivätkä kaikki pysty laskemaan mitä tahansa lauseketta, esimerkiksi kertomalla murtoluvut.

Mikä on murtoluku?

Historiallisesti murtoluvut syntyivät tarpeesta mitata. Kuten käytäntö osoittaa, on usein esimerkkejä segmentin pituuden ja suorakaiteen muotoisen suorakulmion tilavuuden määrittämisestä.

Aluksi opiskelijat tutustutaan osakkeen käsitteeseen. Jos esimerkiksi jaat vesimelonin 8 osaan, jokainen saa kahdeksasosan vesimelonista. Tätä yhtä kahdeksasta osaa kutsutaan osakkeeksi.

Osuutta, joka on ½ mistä tahansa arvosta, kutsutaan puoleksi; ⅓ - kolmas; ¼ - neljännes. Tietueita, joiden muoto on 5/8, 4/5, 2/4, kutsutaan tavallisiksi murtoluvuiksi. Yhteinen murto-osa jaetaan osoittajaksi ja nimittäjäksi. Niiden välissä on murtopalkki tai murtopalkki. Murtoviiva voidaan piirtää joko vaaka- tai vinoviivana. Tässä tapauksessa se tarkoittaa jakomerkkiä.

Nimittäjä ilmaisee, kuinka moneen yhtä suureen osaan määrä tai kohde on jaettu; ja osoittaja on kuinka monta identtistä osaketta otetaan. Osoittaja kirjoitetaan murtoviivan yläpuolelle, nimittäjä sen alle.

Kätevintä on näyttää tavalliset murtoluvut koordinaattisäteellä. Jos yksittäinen segmentti jaetaan 4 yhtä suureen osaan, jokainen osa on merkitty latinalaisella kirjaimella, tulos voi olla erinomainen visuaalinen apuväline. Joten piste A osoittaa osuuden, joka on 1/4 koko yksikkösegmentistä, ja piste B merkitsee 2/8 annetusta segmentistä.

Murtotyypit

Murtoluvut voivat olla tavallisia, desimaalilukuja ja sekalukuja. Lisäksi murto-osat voidaan jakaa oikeaan ja sopimattomaan. Tämä luokitus sopii paremmin tavallisille jakeille.

Oikea murtoluku on luku, jonka osoittaja on pienempi kuin sen nimittäjä. Näin ollen väärä murtoluku on luku, jonka osoittaja on suurempi kuin sen nimittäjä. Toinen tyyppi kirjoitetaan yleensä sekalukuna. Tämä lauseke koostuu kokonaisluvusta ja murto-osasta. Esimerkiksi 1½. 1 on kokonaislukuosa, ½ on murto-osa. Jos kuitenkin joudut tekemään joitain manipulaatioita lausekkeen kanssa (jakamalla tai kertomalla murtoluvut, vähentämällä tai muuntamalla niitä), sekoitettu luku muunnetaan vääräksi murtoluvuksi.

Oikea murtolauseke on aina pienempi kuin yksi ja virheellinen on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 1.

Tällä lausekkeella tarkoitamme tietuetta, jossa on esitetty mikä tahansa luku, jonka murtolausekkeen nimittäjä voidaan ilmaista ykkösellä, jossa on useita nollia. Jos murtoluku on oikea, niin kokonaislukuosa desimaalimuodossa on nolla.

Jos haluat kirjoittaa desimaaliluvun, sinun on ensin kirjoitettava koko osa, erotettava se murtoluvusta pilkulla ja kirjoitettava sitten murtolauseke. On muistettava, että desimaalipilkun jälkeen osoittajassa tulee olla sama määrä digitaalisia merkkejä kuin nimittäjässä on nollia.

Esimerkki. Ilmaise murtoluku 7 21 / 1000 desimaalimuodossa.

Algoritmi väärän murtoluvun muuntamiseksi sekaluvuksi ja päinvastoin

On väärin kirjoittaa virheellistä murtolukua tehtävän vastaukseen, joten se on muutettava sekaluvuksi:

• jaa osoittaja olemassa olevalla nimittäjällä;
• tietyssä esimerkissä epätäydellinen osamäärä on kokonaisuus;
• ja loppuosa on murto-osan osoittaja nimittäjän pysyessä muuttumattomana.

Esimerkki. Muunna väärä murto sekaluvuksi: 47/5.

Ratkaisu. 47: 5. Osaosamäärä on 9, jäännös = 2. Joten 47 / 5 = 9 2 / 5.

Joskus sinun on esitettävä sekaluku vääränä murtolukuna. Sitten sinun on käytettävä seuraavaa algoritmia:

• kokonaislukuosa kerrotaan murtolausekkeen nimittäjällä;
• tuloksena saatu tuote lisätään osoittajaan;
• tulos kirjoitetaan osoittajaan, nimittäjä pysyy ennallaan.

Esimerkki. Esitä luku sekamuodossa virheellisenä murto-osana: 9 8 / 10.

Ratkaisu. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 on osoittaja.

Vastaus: 98 / 10.

Murtolukujen kertominen

Tavallisille murtoluvuille voidaan suorittaa erilaisia ​​algebrallisia operaatioita. Jos haluat kertoa kaksi numeroa, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä. Lisäksi murto-osien kertominen eri nimittäjillä ei eroa murto-osien kertomisesta samoilla nimittäjillä.

Tapahtuu, että tuloksen löytämisen jälkeen sinun on vähennettävä fraktiota. Tuloksena olevaa lauseketta on ehdottomasti yksinkertaistettava mahdollisimman paljon. Tietenkään ei voida sanoa, että väärä murto-osa vastauksessa on virhe, mutta sitä on myös vaikea kutsua oikeaksi vastaukseksi.

Esimerkki. Etsi kahden tavallisen murtoluvun tulo: ½ ja 20/18.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, tuotteen löytämisen jälkeen saadaan pelkistävä murtoluku. Sekä osoittaja että nimittäjä jaetaan tässä tapauksessa 4:llä, ja tuloksena on vastaus 5/9.

Desimaalimurtolukujen kertominen

Desimaalilukujen tulo on periaatteeltaan aivan erilainen kuin tavallisten murtolukujen tulo. Joten murtolukujen kertominen on seuraava:

• kaksi desimaalimurtolukua on kirjoitettava toistensa alle siten, että oikeanpuoleiset numerot ovat toistensa alla;
• sinun on kerrottava kirjoitetut luvut pilkuista huolimatta, eli luonnollisina lukuina;
• laske kunkin luvun desimaalipilkun jälkeen olevien numeroiden määrä;
• kertolaskun jälkeen saadussa tuloksessa sinun on laskettava oikealta niin monta digitaalista symbolia kuin molemmissa kertoimissa desimaalipilkun jälkeen on summa, ja laitettava erotusmerkki;
• Jos tuotteessa on vähemmän lukuja, sinun on kirjoitettava niiden eteen niin monta nollaa, että tämä luku peitetään, laita pilkku ja lisää koko osa, joka on yhtä suuri kuin nolla.

Esimerkki. Laske kahden desimaaliluvun tulo: 2,25 ja 3,6.

Ratkaisu.

Sekaosien kertominen

Kahden sekamurtoluvun tulon laskemiseksi sinun on käytettävä murtolukujen kertomissääntöä:

• muuntaa sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi;
• etsi osoittajien tulo;
• löytää nimittäjien tulo;
• kirjoita tulos muistiin;
• yksinkertaistaa ilmaisua mahdollisimman paljon.

Esimerkki. Etsi 4½ ja 6 2/5 tulo.

Luvun kertominen murtoluvulla (murtoluvut luvulla)

Kahden murtoluvun ja sekalukujen tulon löytämisen lisäksi on tehtäviä, joissa sinun on kerrottava murtoluvulla.

Joten desimaaliluvun ja luonnollisen luvun tulon löytämiseksi tarvitset:

• kirjoita luku murtoluvun alle niin, että oikeanpuoleiset numerot ovat toistensa yläpuolella;
• etsi tuote pilusta huolimatta;
• erota saadussa tuloksessa kokonaislukuosa murto-osasta pilkulla laskemalla oikealta murto-osan desimaalipilkun jälkeen olevien numeroiden lukumäärä.

Jos haluat kertoa yhteisen murtoluvun luvulla, sinun on löydettävä osoittajan ja luonnollisen tekijän tulo. Jos vastaus tuottaa murto-osan, joka voidaan pienentää, se tulee muuntaa.

Esimerkki. Laske 5/8 ja 12 tulo.

Ratkaisu. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Vastaus: 7 1 / 2.

Kuten edellisestä esimerkistä näet, oli tarpeen pienentää saatua tulosta ja muuntaa virheellinen murtolauseke sekaluvuksi.

Murtolukujen kertominen koskee myös sekamuodossa olevan luvun ja luonnollisen tekijän tulon löytämistä. Jos haluat kertoa nämä kaksi lukua, sinun tulee kertoa sekatekijän koko osa luvulla, kertoa osoittaja samalla arvolla ja jättää nimittäjä ennalleen. Tarvittaessa sinun on yksinkertaistettava tuloksena olevaa tulosta mahdollisimman paljon.

Esimerkki. Etsi 9 5/6 ja 9 tulo.

Ratkaisu. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Vastaus: 88 1 / 2.

kertominen kertoimilla 10, 100, 1000 tai 0,1; 0,01; 0,001

Seuraava sääntö seuraa edellisestä kappaleesta. Jos haluat kertoa desimaaliluvun luvulla 10, 100, 1000, 10 000 jne., sinun on siirrettävä desimaalipilkkua oikealle niin monella numerolla kuin ykkösen jälkeisessä kertoimessa on nollia.

Esimerkki 1. Etsi 0,065:n ja 1000:n tulo.

Ratkaisu. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Vastaus: 65.

Esimerkki 2. Etsi lukujen 3,9 ja 1000 tulo.

Ratkaisu. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Vastaus: 3900.

Jos sinun on kerrottava luonnollinen luku ja 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001 jne., sinun tulee siirtää tuloksena olevan tuotteen pilkkua vasemmalle niin monta merkkiä kuin on nollia ennen yhtä. Tarvittaessa luonnollisen luvun eteen kirjoitetaan riittävä määrä nollia.

Esimerkki 1. Etsi arvon 56 ja 0,01 tulo.

Ratkaisu. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Vastaus: 0,56.

Esimerkki 2. Etsi 4:n ja 0,001:n tulo.

Ratkaisu. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Vastaus: 0,004.

Joten eri jakeiden tulon löytämisen ei pitäisi aiheuttaa vaikeuksia, paitsi ehkä tuloksen laskeminen; tässä tapauksessa et yksinkertaisesti voi tehdä ilman laskinta.

§ 87. Murtolukujen lisääminen.

Murtolukujen lisäämisessä on monia yhtäläisyyksiä kokonaislukujen lisäämiseen. Murtolukujen yhteenlasku on toimenpide, joka koostuu siitä, että useita annettuja lukuja (termejä) yhdistetään yhdeksi luvuksi (summaksi), joka sisältää kaikki termien yksiköiden yksiköt ja murto-osat.

Käsittelemme kolmea tapausta peräkkäin:

1. Murtolukujen yhteenlasku samanlaisilla nimittäjillä.
2. Eri nimittäjien murtolukujen yhteenlasku.
3. Sekalukujen lisääminen.

1. Murtolukujen yhteenlasku samanlaisilla nimittäjillä.

Harkitse esimerkkiä: 1/5 + 2/5.

Otetaan segmentti AB (kuva 17), otetaan se yhdeksi ja jaetaan 5 yhtä suureen osaan, jolloin tämän segmentin osa AC on yhtä suuri kuin 1/5 segmentistä AB ja osa samasta segmentistä CD on yhtä suuri kuin 2/5 AB.

Piirustuksesta on selvää, että jos otamme segmentin AD, se on yhtä suuri kuin 3/5 AB; mutta segmentti AD on juuri segmenttien AC ja CD summa. Joten voimme kirjoittaa:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Nämä termit ja tuloksena oleva summa huomioon ottaen näemme, että summan osoittaja saatiin lisäämällä termien osoittajat ja nimittäjä pysyi ennallaan.

Tästä saamme seuraavan säännön: Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä sama nimittäjä.

Katsotaanpa esimerkkiä:

2. Eri nimittäjien murtolukujen yhteenlasku.

Lisätään murtoluvut: 3 / 4 + 3 / 8 Ensin ne on vähennettävä pienimpään yhteiseen nimittäjään:

Välilinkkiä 6/8 + 3/8 ei voitu kirjoittaa; olemme kirjoittaneet sen tähän selvyyden vuoksi.

Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on eri nimittäjä, sinun on ensin vähennettävä ne pienimpään yhteiseen nimittäjään, lisättävä niiden osoittajat ja merkitään yhteinen nimittäjä.

Tarkastellaan esimerkkiä (kirjoitamme lisätekijät vastaavien murtolukujen yläpuolelle):

3. Sekalukujen lisääminen.

Lasketaan luvut yhteen: 2 3/8 + 3 5/6.

Tuodaan ensin lukujemme murto-osat yhteiseen nimittäjään ja kirjoitetaan ne uudelleen:

Nyt lisäämme kokonaisluvun ja murto-osat peräkkäin:

§ 88. Murtolukujen vähentäminen.

Murtolukujen vähentäminen määritellään samalla tavalla kuin kokonaislukujen vähentäminen. Tämä on toiminto, jonka avulla kahden termin ja yhden niistä summasta löydetään toinen termi. Tarkastellaan kolmea tapausta peräkkäin:

1. Murtolukujen vähentäminen samanlaisilla nimittäjillä.
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.
3. Sekalukujen vähentäminen.

1. Murtolukujen vähentäminen samanlaisilla nimittäjillä.

Katsotaanpa esimerkkiä:

13 / 15 - 4 / 15

Otetaan segmentti AB (kuva 18), otetaan se yksikkönä ja jaetaan 15 yhtä suureen osaan; silloin tämän segmentin osa AC edustaa 1/15:tä AB:sta ja saman segmentin osa AD vastaa 13/15 AB:tä. Laitetaan sivuun toinen segmentti ED, joka on yhtä suuri kuin 4/15 AB.

Meidän on vähennettävä murto-osa 4/15 luvusta 13/15. Piirustuksessa tämä tarkoittaa, että segmentti ED on vähennettävä segmentistä AD. Tämän seurauksena segmentti AE säilyy, mikä on 9/15 segmentistä AB. Joten voimme kirjoittaa:

Tekemässämme esimerkissä näkyy, että eron osoittaja saatiin vähentämällä osoittajat, mutta nimittäjä pysyi samana.

Siksi, jos haluat vähentää murto-osia, joilla on samanlaiset nimittäjät, sinun on vähennettävä alaosan osoittaja minuutin osoittajasta ja jätettävä sama nimittäjä.

2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.

Esimerkki. 3/4 - 5/8

Aluksi vähennetään nämä murtoluvut pienimpään yhteiseen nimittäjään:

Väli 6 / 8 - 5 / 8 on kirjoitettu tähän selvyyden vuoksi, mutta se voidaan ohittaa myöhemmin.

Näin ollen murto-osan vähentämiseksi murtoluvusta sinun on ensin vähennettävä ne alimpaan yhteiseen nimittäjään, vähennettävä sitten minuutin osoittaja minuutin osoittajasta ja allekirjoitettava yhteinen nimittäjä niiden eron alle.

Katsotaanpa esimerkkiä:

3. Sekalukujen vähentäminen.

Esimerkki. 10 3/4 - 7 2/3.

Vähennetään minuutin ja väkiluvun murto-osat alimpaan yhteiseen nimittäjään:

Vähensimme kokonaisuuden kokonaisuudesta ja murto-osan murto-osasta. Mutta on tapauksia, joissa aliosan murto-osa on suurempi kuin minuutin murto-osa. Tällaisissa tapauksissa sinun on otettava yksi yksikkö minuutin koko osasta, jaettava se niihin osiin, joissa murto-osa ilmaistaan, ja lisätään se minuendin murto-osaan. Ja sitten vähennys suoritetaan samalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä:

§ 89. Murtolukujen kertolasku.

Kun tutkitaan murtolukukertoa, harkitsemme seuraavia kysymyksiä:

1. Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla.
2. Tietyn luvun murto-osan löytäminen.
3. Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla.
4. Murtoluvun kertominen murtoluvulla.
5. Sekalukujen kertolasku.
6. Kiinnostuksen käsite.
7. Tietyn luvun prosenttiosuuden löytäminen. Tarkastellaan niitä peräkkäin.

1. Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla.

Murtoluvun kertomisella kokonaisluvulla on sama merkitys kuin kokonaisluvun kertomisella kokonaisluvulla. Murtoluvun (kerroin) kertominen kokonaisluvulla (kertoimella) tarkoittaa identtisten termien summan luomista, jossa jokainen termi on yhtä suuri kuin kertoja ja termien määrä on yhtä suuri kuin kertoja.

Tämä tarkoittaa, että jos sinun on kerrottava 1/9 luvulla 7, se voidaan tehdä seuraavasti:

Saimme tuloksen helposti, koska toiminta rajoittui samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen lisäämiseen. Siten,

Tämän toimenpiteen tarkastelu osoittaa, että murtoluvun kertominen kokonaisluvulla vastaa tämän murtoluvun kasvattamista niin monta kertaa kuin kokonaisluvussa on yksiköitä. Ja koska murto-osan kasvattaminen saavutetaan joko kasvattamalla sen osoittajaa

tai vähentämällä sen nimittäjää , niin voimme joko kertoa osoittajan kokonaisluvulla tai jakaa nimittäjän sillä, jos tällainen jako on mahdollista.

Täältä saamme säännön:

Jos haluat kertoa murto-osan kokonaisluvulla, kerro osoittaja tällä kokonaisluvulla ja jätä nimittäjä ennalleen tai, jos mahdollista, jaa nimittäjä tällä luvulla, jolloin osoittaja ei muutu.

Kerrottaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

2. Tietyn luvun murto-osan löytäminen. On monia ongelmia, joissa sinun on löydettävä tai laskettava osa tietystä luvusta. Ero näiden ongelmien ja muiden välillä on se, että ne antavat joidenkin esineiden tai mittayksiköiden lukumäärän ja sinun on löydettävä osa tästä numerosta, joka on myös osoitettu tässä tietyllä murtoluvulla. Ymmärtämisen helpottamiseksi annamme ensin esimerkkejä tällaisista ongelmista ja esittelemme sitten menetelmän niiden ratkaisemiseksi.

Tehtävä 1. Minulla oli 60 ruplaa; Käytin 1/3 näistä rahoista kirjojen ostamiseen. Paljonko kirjat maksoivat?

Tehtävä 2. Junan tulee kulkea kaupunkien A ja B välillä 300 kilometriä. Hän on ajanut jo 2/3 tästä matkasta. Kuinka monta kilometriä tämä on?

Tehtävä 3. Kylässä on 400 taloa, joista 3/4 on tiilitaloa, loput puuta. Kuinka monta tiilitaloa on yhteensä?

Nämä ovat joitain monista ongelmista, joita kohtaamme löytääksemme osan tietystä numerosta. Niitä kutsutaan yleensä tehtäviksi tietyn luvun murto-osan löytämiseksi.

Ratkaisu ongelmaan 1. Alkaen 60 ruplaa. Vietin 1/3 kirjoihin; Tämä tarkoittaa, että kirjojen hinnan selvittämiseksi sinun on jaettava luku 60 kolmella:

Ongelman ratkaiseminen 2. Ongelman ydin on, että sinun on löydettävä 2/3 300 km: stä. Lasketaan ensin 1/3 300:sta; tämä saavutetaan jakamalla 300 km kolmella:

300: 3 = 100 (se on 1/3 300:sta).

Löytääksesi kaksi kolmasosaa luvusta 300, sinun on kaksinkertaistettava saatu osamäärä, eli kerrottava kahdella:

100 x 2 = 200 (se on 2/3 300:sta).

Ongelman ratkaiseminen 3. Tässä sinun on määritettävä niiden tiilitalojen lukumäärä, jotka muodostavat 3/4 400:sta. Etsitään ensin 1/4 400:sta,

400: 4 = 100 (se on 1/4 400:sta).

Kolmen neljäsosan laskemiseksi 400:sta saatu osamäärä on kolminkertaistettava eli kerrottava kolmella:

100 x 3 = 300 (se on 3/4 400:sta).

Näiden ongelmien ratkaisun perusteella voimme johtaa seuraavan säännön:

Jos haluat löytää murto-osan arvon tietystä luvusta, sinun on jaettava tämä luku murto-osan nimittäjällä ja kerrottava tuloksena oleva osamäärä sen osoittajalla.

3. Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla.

Aiemmin (§ 26) on todettu, että kokonaislukujen kertolasku on ymmärrettävä identtisten termien yhteenlaskuksi (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Tässä kappaleessa (kohta 1) todettiin, että murtoluvun kertominen kokonaisluvulla tarkoittaa identtisten termien summan löytämistä, joka on yhtä suuri kuin tämä murtoluku.

Molemmissa tapauksissa kertolasku koostui identtisten termien summan löytämisestä.

Nyt siirrymme kertomaan kokonaisluku murtoluvulla. Täällä kohtaamme esimerkiksi kertolasku: 9 2 / 3. On selvää, että edellinen kertolaskun määritelmä ei päde tässä tapauksessa. Tämä käy ilmi siitä, että emme voi korvata tällaista kertolaskua lisäämällä yhtä suuria lukuja.

Tästä johtuen joudumme antamaan kertomiselle uuden määritelmän, eli toisin sanoen vastaamaan kysymykseen, mitä murtoluvulla kertomisella pitäisi ymmärtää, miten tämä toiminta pitäisi ymmärtää.

Kokonaisluvun kertomisen merkitys murtoluvulla käy selväksi seuraavasta määritelmästä: kokonaisluvun (kerroin) kertominen murtoluvulla (kertoluku) tarkoittaa kertojan tämän murto-osan löytämistä.

Nimittäin 9:n kertominen 2/3:lla tarkoittaa 2/3:n löytämistä yhdeksästä yksiköstä. Edellisessä kappaleessa tällaiset ongelmat ratkaistiin; joten on helppo päätellä, että saamme lopulta 6.

Mutta nyt herää mielenkiintoinen ja tärkeä kysymys: miksi tällaisia ​​näennäisesti erilaisia ​​operaatioita, kuten yhtäläisten lukujen summan löytäminen ja luvun murto-osan löytäminen, kutsutaan aritmeettisesti samalla sanalla "kertominen"?

Tämä tapahtuu, koska edellinen toiminto (luvun toistaminen termeillä useita kertoja) ja uusi toiminta (luvun murto-osan löytäminen) antavat vastauksia homogeenisiin kysymyksiin. Tämä tarkoittaa, että tässä lähdetään siitä ajatuksesta, että homogeeniset kysymykset tai tehtävät ratkaistaan ​​samalla toiminnalla.

Tämän ymmärtämiseksi harkitse seuraavaa ongelmaa: "1 m kangasta maksaa 50 ruplaa. Kuinka paljon 4 metriä tällaista kangasta maksaa?

Tämä ongelma ratkaistaan ​​kertomalla ruplamäärä (50) metrien määrällä (4), eli 50 x 4 = 200 (ruplaa).

Otetaan sama ongelma, mutta siinä kankaan määrä ilmaistaan ​​murto-osana: "1 m kangasta maksaa 50 ruplaa. Kuinka paljon 3/4 metriä tällaista kangasta maksaa?"

Tämä ongelma on myös ratkaistava kertomalla ruplamäärä (50) metrien määrällä (3/4).

Voit muuttaa siinä olevia numeroita vielä useita kertoja muuttamatta ongelman merkitystä, esimerkiksi ota 9/10 m tai 2 3/10 m jne.

Koska nämä ongelmat ovat sisällöltään samanlaisia ​​ja eroavat toisistaan ​​vain numeroiden suhteen, kutsumme niiden ratkaisemiseen käytettyjä toimia samalla sanalla - kertolasku.

Kuinka kerrot kokonaisluvun murtoluvulla?

Otetaan viimeisessä tehtävässä havaitut numerot:

Määritelmän mukaan meidän on löydettävä 3/4 50:stä. Etsitään ensin 1/4 50:stä ja sitten 3/4.

1/4 50:stä on 50/4;

3/4 luvusta 50 on .

Siten.

Tarkastellaanpa toista esimerkkiä: 12 5 / 8 =?

1/8 luvusta 12 on 12/8,

5/8 luvusta 12 on .

Siten,

Täältä saamme säännön:

Jos haluat kertoa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava kokonaisluku murto-osan osoittajalla ja tehtävä tästä tuotteesta osoittaja ja allekirjoitettava tämän murtoluvun nimittäjä nimittäjäksi.

Kirjoitetaan tämä sääntö kirjaimilla:

Jotta tämä sääntö olisi täysin selvä, on muistettava, että murtolukua voidaan pitää osamääränä. Tästä syystä löydettyä sääntöä on hyödyllistä verrata luvun 38 §:ssä esitettyyn luvun kertolasku sääntöön.

On tärkeää muistaa, että ennen kertolaskua sinun tulee tehdä (jos mahdollista) vähennyksiä, Esimerkiksi:

4. Murtoluvun kertominen murtoluvulla. Murtoluvun kertomisella murtoluvulla on sama merkitys kuin kokonaisluvun kertomisella murtoluvulla, eli kun murtoluku kerrotaan murtoluvulla, sinun on löydettävä ensimmäisen murtoluvun kertoimessa oleva murto-osa (kertoluku).

Nimittäin 3/4:n kertominen 1/2:lla (puoli) tarkoittaa puolet 3/4:stä.

Kuinka kerrot murto-osan murtoluvulla?

Otetaan esimerkki: 3/4 kerrottuna 5/7. Tämä tarkoittaa, että sinun on löydettävä 5/7 3/4:stä. Etsitään ensin 1/7 3/4:stä ja sitten 5/7

1/7 luvusta 3/4 ilmaistaan ​​seuraavasti:

5/7 numerot 3/4 ilmaistaan ​​seuraavasti:

Täten,

Toinen esimerkki: 5/8 kerrottuna 4/9.

1/9/5/8 on ,

4/9 luvusta 5/8 on .

Täten,

Näistä esimerkeistä voidaan päätellä seuraava sääntö:

Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä ja tehtävä ensimmäisestä tulosta tuotteen osoittaja ja toisesta tulosta tuotteen nimittäjä.

Tämä sääntö voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa seuraavasti:

Kerrottaessa on tarpeen tehdä (jos mahdollista) vähennyksiä. Katsotaanpa esimerkkejä:

5. Sekalukujen kertolasku. Koska sekaluvut voidaan helposti korvata väärillä murtoluvuilla, tätä seikkaa käytetään yleensä sekalukujen kertomisessa. Tämä tarkoittaa, että tapauksissa, joissa kertoja tai kertoja tai molemmat tekijät ilmaistaan ​​sekalukuina, ne korvataan väärillä murtoluvuilla. Kerrotaan esimerkiksi sekaluvut: 2 1/2 ja 3 1/5. Muutetaan jokainen niistä vääräksi murtoluvuksi ja kerrotaan sitten saadut murtoluvut murto-osan kertomista koskevan säännön mukaisesti:

Sääntö. Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava ne sitten murto-osien kertomista koskevan säännön mukaisesti.

Huomautus. Jos yksi tekijöistä on kokonaisluku, kertolasku voidaan suorittaa jakautumislain perusteella seuraavasti:

6. Kiinnostuksen käsite. Tehtäessä ratkaisuja ja erilaisia ​​käytännön laskutoimituksia käytämme kaikenlaisia ​​murtolukuja. Mutta on pidettävä mielessä, että monet määrät sallivat niille ei minkä tahansa, vaan luonnollisen jaon. Voit esimerkiksi ottaa sadasosan (1/100) ruplasta, se on kopeikka, kaksi sadasosaa on 2 kopekkaa, kolme sadasosaa on 3 kopekkaa. Voit ottaa 1/10 ruplaa, se on "10 kopekkaa, tai kymmenen kopeikka. Voit ottaa neljäsosa ruplaa, eli 25 kopekkaa, puoli ruplaa eli 50 kopekkaa (viisikymmentä kopekkaa). Mutta he eivät käytännössä ota sitä esimerkiksi 2/7 ruplaa, koska ruplaa ei jaeta seitsemäsosaan.

Painon yksikkö eli kilogramma sallii ensisijaisesti desimaalijaot, esimerkiksi 1/10 kg tai 100 g. Eivätkä kilon murto-osat kuten 1/6, 1/11, 1/13 ole yleisiä.

Yleensä (metriset) mittamme ovat desimaalilukuja ja sallivat desimaalijaon.

On kuitenkin huomattava, että on erittäin hyödyllistä ja kätevää useissa tapauksissa käyttää samaa (yhtenäistä) menetelmää määrien jakamiseen. Monen vuoden kokemus on osoittanut, että tällainen hyvin perusteltu jako on "sadas" jako. Tarkastellaanpa useita esimerkkejä, jotka liittyvät ihmisten harjoittamisen monimuotoisimpiin alueisiin.

1. Kirjojen hinta on laskenut 12/100 edellisestä hinnasta.

Esimerkki. Kirjan edellinen hinta oli 10 ruplaa. Se laski 1 ruplalla. 20 kopekkaa

2. Säästöpankit maksavat tallettajille 2/100 vuoden aikana talletetusta summasta.

Esimerkki. 500 ruplaa talletetaan kassakoneeseen, tulot tästä summasta vuodelle on 10 ruplaa.

3. Yhdestä koulusta valmistuneiden määrä oli 5/100 opiskelijoiden kokonaismäärästä.

ESIMERKKI Koulussa oli vain 1 200 oppilasta, joista 60 valmistui.

Luvun sadasosaa kutsutaan prosentiksi.

Sana "prosentti" on lainattu latinan kielestä ja sen juuri "sentti" tarkoittaa sataa. Yhdessä prepositiolla (pro centum) tämä sana tarkoittaa "sadalle". Tämän ilmaisun merkitys johtuu siitä, että alun perin antiikin Roomassa korkoa annettiin rahalle, jonka velallinen maksoi lainanantajalle "jokaista sataa kohden". Sana "sentti" kuullaan niin tutuilla sanoilla: sentteri (sata kiloa), senttimetri (sanotaan senttimetri).

Esimerkiksi sen sijaan, että väittäisimme, että viimeisen kuukauden aikana tehdas tuotti 1/100 kaikista sen valmistamista tuotteista oli viallisia, sanomme näin: viimeisen kuukauden aikana tehdas tuotti yhden prosentin vioista. Sen sijaan, että sanoisi: tehdas tuotti 4/100 tuotetta enemmän kuin suunniteltu suunnitelma, sanomme: tehdas ylitti suunnitelman 4 prosentilla.

Yllä olevat esimerkit voidaan ilmaista eri tavalla:

1. Kirjojen hinta on laskenut 12 prosenttia edellisestä hinnasta.

2. Säästöpankit maksavat tallettajille 2 prosenttia vuodessa säästöihin talletetusta summasta.

3. Yhdestä koulusta valmistuneiden määrä oli 5 prosenttia koulun kaikista oppilaista.

Kirjaimen lyhentämiseksi on tapana kirjoittaa %-symboli sanan ”prosentti” sijaan.

Kannattaa kuitenkin muistaa, että laskelmissa %-merkkiä ei yleensä kirjoiteta, vaan se voidaan kirjoittaa tehtävään ja lopputulokseen. Kun suoritat laskelmia, sinun on kirjoitettava tällä symbolilla murto-osa, jonka nimittäjä on 100 kokonaisluvun sijaan.

Sinun on voitava korvata kokonaisluku ilmoitetulla kuvakkeella murtoluvulla, jonka nimittäjä on 100:

Päinvastoin, sinun on totuttava kirjoittamaan kokonaisluku ilmoitetulla symbolilla sen sijaan, että murto-osa, jonka nimittäjä on 100:

7. Tietyn luvun prosenttiosuuden löytäminen.

Tehtävä 1. Koulu sai 200 kuutiota. m polttopuuta, josta koivupolttopuun osuus 30 %. Paljonko siellä oli polttopuita?

Tämän ongelman tarkoitus on, että koivupolttopuut muodostivat vain osan koululle toimitetusta polttopuusta, ja tämä osa ilmaistaan ​​murto-osassa 30/100. Tämä tarkoittaa, että meillä on tehtävä löytää luvun murto-osa. Sen ratkaisemiseksi meidän on kerrottava 200 luvulla 30/100 (luvun murto-osan löytämisongelmat ratkaistaan ​​kertomalla luku murtoluvulla.).

Tämä tarkoittaa, että 30 % 200:sta on 60.

Tässä ongelmassa havaittu murto-osa 30/100 voidaan pienentää 10:llä. Tämä vähennys olisi mahdollista tehdä alusta alkaen; ongelman ratkaisu ei olisi muuttunut.

Tehtävä 2. Leirillä oli 300 eri-ikäistä lasta. 11-vuotiaita lapsia oli 21 %, 12-vuotiaita 61 % ja lopuksi 13-vuotiaita 18 %. Kuinka monta lasta kutakin ikäluokkaa oli leirillä?

Tässä tehtävässä sinun on suoritettava kolme laskutoimitusta, eli peräkkäin löydettävä 11-vuotiaiden, sitten 12-vuotiaiden ja lopuksi 13-vuotiaiden lasten lukumäärä.

Tämä tarkoittaa, että tässä sinun on löydettävä luvun murto-osa kolme kertaa. Tehdään se:

1) Kuinka monta 11-vuotiasta lasta siellä oli?

2) Kuinka monta 12-vuotiasta lasta siellä oli?

3) Kuinka monta 13-vuotiasta lasta siellä oli?

Kun ongelma on ratkaistu, on hyödyllistä lisätä löydetyt numerot; niiden summan pitäisi olla 300:

63 + 183 + 54 = 300

On myös huomioitava, että ongelmalausekkeessa annettujen prosenttiosuuksien summa on 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Tämä viittaa siihen, että leirillä olevien lasten kokonaismääräksi otettiin 100 %.

3 ja d a h a 3. Työntekijä sai 1200 ruplaa kuukaudessa. Tästä hän käytti ruokaan 65 %, asuntoihin ja lämmitykseen 6 %, kaasuun, sähköön ja radioon 4 %, kulttuuritarpeisiin 10 % ja säästöihin 15 %. Kuinka paljon rahaa käytettiin ongelmassa ilmoitettuihin tarpeisiin?

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on löydettävä 1 200:n murto-osa 5 kertaa. Tehdään näin.

1) Kuinka paljon rahaa käytettiin ruokaan? Ongelma kertoo, että tämä kulu on 65 % kokonaisansioista, eli 65/100 luvusta 1 200. Tehdään laskelma:

2) Kuinka paljon maksoit lämmitetystä asunnosta? Päätellen samalla tavalla kuin edellinen, päädymme seuraavaan laskelmaan:

3) Kuinka paljon maksoit kaasusta, sähköstä ja radiosta?

4) Kuinka paljon rahaa käytettiin kulttuuritarpeisiin?

5) Kuinka paljon työntekijä säästi?

Tarkistamiseksi on hyödyllistä laskea yhteen näistä viidestä kysymyksestä löytyneet numerot. Summan tulee olla 1 200 ruplaa. Kaikki tulot lasketaan 100 %:ksi, mikä on helppo tarkistaa laskemalla yhteen ongelmalausekkeessa annetut prosenttiluvut.

Ratkaisimme kolme ongelmaa. Huolimatta siitä, että nämä ongelmat koskivat eri asioita (polttopuiden toimitus koululle, eri-ikäisten lasten määrä, työntekijän kulut), ne ratkesivat samalla tavalla. Tämä tapahtui, koska kaikissa tehtävissä piti löytää useita prosentteja annetuista luvuista.

§ 90. Murtolukujako.

Kun tutkimme murtolukujakoa, pohdimme seuraavia kysymyksiä:

1. Jaa kokonaisluku kokonaisluvulla.
2. Murtoluvun jakaminen kokonaisluvulla
3. Kokonaisluvun jakaminen murtoluvulla.
4. Murtoluvun jakaminen murtoluvulla.
5. Sekalukujen jako.
6. Luvun löytäminen annetusta murtoluvusta.
7. Luvun löytäminen sen prosentteina.

Tarkastellaan niitä peräkkäin.

1. Jaa kokonaisluku kokonaisluvulla.

Kuten kokonaislukujen osastossa todettiin, jako on toimenpide, joka koostuu siitä, että kun otetaan huomioon kahden tekijän (osinko) ja yhden näistä tekijöistä (jakaja) tulo, löydetään toinen tekijä.

Tarkastelimme kokonaisluvun jakamista kokonaisluvulla kokonaislukuja käsittelevässä osiossa. Tapasimme siellä kaksi jakotapausta: jako ilman jäännöstä tai "kokonaan" (150: 10 = 15) ja jako jäännösjäännöksellä (100: 9 = 11 ja 1 jäännös). Voidaan siis sanoa, että kokonaislukujen alalla tarkka jako ei ole aina mahdollista, koska osinko ei aina ole jakajan tulo kokonaisluvulla. Murtoluvulla kertomisen käyttöönoton jälkeen voimme pitää minkä tahansa kokonaislukujen jakamistapauksen mahdollisena (ainoastaan ​​nollalla jako on poissuljettu).

Esimerkiksi luvun 7 jakaminen 12:lla tarkoittaa sellaisen luvun löytämistä, jonka tulo 12:lla olisi yhtä suuri kuin 7. Tällainen luku on murtoluku 7 / 12, koska 7 / 12 12 = 7. Toinen esimerkki: 14: 25 = 14 / 25, koska 14 / 25 25 = 14.

Näin ollen, jotta voit jakaa kokonaisluvun kokonaisluvulla, sinun on luotava murto-osa, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin osinko ja nimittäjä on yhtä suuri kuin jakaja.

2. Murtoluvun jakaminen kokonaisluvulla.

Jaa murto-osa 6/7 3:lla. Yllä annetun jakomääritelmän mukaan tässä on tulo (6/7) ja yksi tekijöistä (3); on löydettävä toinen tekijä, joka kerrottuna 3:lla antaisi annetulle tuotteelle 6/7. Ilmeisesti sen pitäisi olla kolme kertaa pienempi kuin tämä tuote. Tämä tarkoittaa, että meille asetettu tehtävä oli pienentää murto-osaa 6/7 3 kertaa.

Tiedämme jo, että murtolukua voidaan pienentää joko pienentämällä sen osoittajaa tai lisäämällä sen nimittäjää. Siksi voit kirjoittaa:

Tässä tapauksessa osoittaja 6 on jaollinen kolmella, joten osoittajaa tulisi pienentää 3 kertaa.

Otetaan toinen esimerkki: 5 / 8 jaettuna 2:lla. Tässä osoittaja 5 ei ole jaollinen kahdella, mikä tarkoittaa, että nimittäjä on kerrottava tällä numerolla:

Tämän perusteella voidaan tehdä sääntö: Jos haluat jakaa murtoluvun kokonaisluvulla, sinun on jaettava murtoluvun osoittaja tällä kokonaisluvulla.(jos mahdollista), jättämällä sama nimittäjä tai kertomalla murtoluvun nimittäjä tällä luvulla, jättäen saman osoittajan.

3. Kokonaisluvun jakaminen murtoluvulla.

Olkoon tarpeen jakaa 5 1/2:lla, eli löytää luku, joka kertomalla 1/2:lla saa tulon 5. On selvää, että tämän luvun on oltava suurempi kuin 5, koska 1/2 on oikea murto-osa , ja kun lukua kerrotaan, oikean murtoluvun tulon on oltava pienempi kuin kerrottava tulo. Tämän selventämiseksi kirjoitetaan toimintamme seuraavasti: 5: 1 / 2 = X , mikä tarkoittaa x 1/2 = 5.

Meidän on löydettävä tällainen luku X , joka kerrottuna 1/2:lla antaisi 5. Koska tietyn luvun kertominen 1/2:lla tarkoittaa 1/2:n löytämistä tästä luvusta, niin 1/2 tuntemattomasta luvusta X on yhtä suuri kuin 5 ja kokonaisluku X kaksi kertaa niin paljon, eli 5 2 = 10.

Joten 5: 1/2 = 5 2 = 10

Tarkistetaan:

Katsotaanpa toista esimerkkiä. Oletetaan, että haluat jakaa 6:lla 2/3. Yritetään ensin löytää haluttu tulos piirustuksen avulla (kuva 19).

Kuva 19

Piirretään jana AB, joka on yhtä suuri kuin 6 yksikköä, ja jaetaan jokainen yksikkö kolmeen yhtä suureen osaan. Jokaisessa yksikössä kolme kolmasosaa (3/3) koko segmentistä AB on 6 kertaa suurempi, ts. e. 18/3. Pienillä suluilla yhdistämme 18 tuloksena olevaa segmenttiä 2; Segmenttejä tulee olemaan vain 9. Tämä tarkoittaa, että murto-osa 2/3 sisältyy 6 yksikköön 9 kertaa, eli toisin sanoen murto-osa 2/3 on 9 kertaa pienempi kuin 6 kokonaista yksikköä. Siten,

Kuinka saada tämä tulos ilman piirustusta pelkän laskelman avulla? Päätelkäämme näin: meidän on jaettava 6 luvulla 2/3, eli meidän on vastattava kysymykseen, kuinka monta kertaa 2/3 sisältyy 6:een. Selvitetään ensin: kuinka monta kertaa 1/3 sisältyy 6:een? Kokonaisessa yksikössä on 3 kolmasosaa ja 6 yksikössä 6 kertaa enemmän, eli 18 kolmasosaa; tämän luvun löytämiseksi meidän on kerrottava 6 kolmella. Tämä tarkoittaa, että 1/3 sisältyy b-yksikköön 18 kertaa ja 2/3 sisältyy b-yksikköön ei 18 kertaa, vaan puolet niin monta kertaa, eli 18: 2 = 9 Siksi jakaessamme luvun 6 2/3:lla teimme seuraavaa:

Tästä saamme säännön kokonaisluvun jakamisesta murtoluvulla. Jos haluat jakaa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava tämä kokonaisluku tietyn murtoluvun nimittäjällä ja jaettava tämä tulo osoittajaksi ja jaettava se annetun murtoluvun osoittajalla.

Kirjoitetaan sääntö kirjaimilla:

Jotta tämä sääntö olisi täysin selvä, on muistettava, että murtolukua voidaan pitää osamääränä. Siksi löydettyä sääntöä on hyödyllistä verrata luvun 38 §:ssä olevaan luvun osamäärällä jakamista koskevaan sääntöön. Huomaa, että siellä saatiin sama kaava.

Jaettaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

4. Murtoluvun jakaminen murtoluvulla.

Oletetaan, että meidän on jaettava 3/4 luvulla 3/8. Mitä jaosta saatu luku tarkoittaa? Se vastaa kysymykseen, kuinka monta kertaa murto-osa 3/8 sisältyy murto-osaan 3/4. Ymmärtääksesi tämän ongelman, tehdään piirustus (kuva 20).

Otetaan jana AB, otetaan se yhdeksi, jaetaan se 4 yhtä suureen osaan ja merkitään 3 tällaista osaa. Segmentti AC on yhtä suuri kuin 3/4 segmentistä AB. Jaetaan nyt jokainen neljästä alkuperäisestä segmentistä puoliksi, sitten jana AB jaetaan 8 yhtä suureen osaan ja jokainen tällainen osa on yhtä suuri kuin 1/8 jaosta AB. Yhdistäkäämme 3 tällaista segmenttiä kaarilla, jolloin kukin segmenteistä AD ja DC on yhtä suuri kuin 3/8 segmentistä AB. Piirustus osoittaa, että segmentti, joka on 3/8, sisältyy segmenttiin, joka on yhtä suuri kuin 3/4, täsmälleen 2 kertaa; Tämä tarkoittaa, että jaon tulos voidaan kirjoittaa seuraavasti:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Katsotaanpa toista esimerkkiä. Oletetaan, että meidän on jaettava 15/16 luvulla 3/32:

Voimme ajatella näin: meidän on löydettävä luku, joka kerrottuaan 3/32:lla antaa tulon, joka on yhtä suuri kuin 15/16. Kirjoitetaan laskelmat näin:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 tuntematon numero X ovat 15/16

1/32 tuntemattomasta numerosta X On ,

32/32 numeroa X meikki .

Siten,

Näin ollen, jotta voit jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerrottava ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla ja tehtävä ensimmäinen tulo osoittajaksi, ja toinen nimittäjä.

Kirjoitetaan sääntö kirjaimilla:

Jaettaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

5. Sekalukujen jako.

Sekalukuja jaettaessa ne on ensin muutettava virheellisiksi murtoluvuiksi ja sitten saadut murtoluvut jaettava murto-osien jakosääntöjen mukaisesti. Katsotaanpa esimerkkiä:

Muunnetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi:

Jaetaan nyt:

Siksi sekalukujen jakamiseksi sinun on muunnettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja jaettava sitten murtolukujakosäännön avulla.

6. Luvun löytäminen annetusta murtoluvusta.

Eri murto-ongelmien joukossa on joskus sellaisia, joissa tuntemattoman luvun jonkin murto-osan arvo on annettu ja sinun on löydettävä tämä luku. Tämän tyyppinen ongelma on käänteinen tietyn luvun murto-osan löytämisongelmalle; siellä annettiin luku ja sen piti löytää jokin murto-osa tästä luvusta, täällä annettiin luvun murto-osa ja vaadittiin itse tämän luvun löytäminen. Tämä ajatus tulee entistä selvemmäksi, jos käännymme tämäntyyppisten ongelmien ratkaisemiseen.

Tehtävä 1. Ensimmäisenä päivänä lasittajat lasittivat 50 ikkunaa, mikä on 1/3 rakennetun talon ikkunoista. Kuinka monta ikkunaa tässä talossa on?

Ratkaisu. Ongelma kertoo, että 50 lasitettua ikkunaa on 1/3 talon kaikista ikkunoista, eli ikkunoita on yhteensä 3 kertaa enemmän, ts.

Talossa oli 150 ikkunaa.

Tehtävä 2. Jauhoja myytiin 1 500 kg, mikä on 3/8 myymälän koko jauhovarastosta. Mikä oli kaupan ensimmäinen jauhotarjonta?

Ratkaisu. Ongelman ehdoista käy selväksi, että 1500 kg myytyjä jauhoja muodostaa 3/8 kokonaisvarastosta; Tämä tarkoittaa, että 1/8 tästä varauksesta on 3 kertaa pienempi, eli sen laskemiseksi sinun on vähennettävä 1500 3 kertaa:

1 500: 3 = 500 (tämä on 1/8 varauksesta).

Ilmeisesti koko tarjonta on 8 kertaa suurempi. Siten,

500 8 = 4 000 (kg).

Alkuperäinen jauhovarasto myymälässä oli 4000 kg.

Tämän ongelman tarkastelun perusteella voidaan johtaa seuraava sääntö.

Luvun löytämiseksi sen murtoluvun annetusta arvosta riittää, että jakaa tämä arvo murtoluvun osoittajalla ja kerrotaan tulos murtoluvun nimittäjällä.

Ratkaisimme kaksi tehtävää löytääksemme luvun sen murto-osan perusteella. Tällaiset ongelmat, kuten viimeisestä erityisen selvästi näkyy, ratkaistaan ​​kahdella toimenpiteellä: jakamalla (kun yksi osa löytyy) ja kertomalla (kun kokonaisluku löytyy).

Kuitenkin, kun olemme oppineet murto-osien jaon, yllä olevat ongelmat voidaan ratkaista yhdellä toimenpiteellä, nimittäin: jakamalla murtoluvulla.

Esimerkiksi viimeinen tehtävä voidaan ratkaista yhdellä toiminnolla seuraavasti:

Tulevaisuudessa ratkaisemme ongelmia luvun löytämisessä sen murto-osasta yhdellä toiminnolla - jaolla.

7. Luvun löytäminen sen prosentteina.

Näissä tehtävissä sinun on löydettävä luku, joka tietää muutaman prosentin tästä numerosta.

Tehtävä 1. Tämän vuoden alussa sain säästöpankista 60 ruplaa. tuloa summasta, jonka laitoin säästöihin vuosi sitten. Kuinka paljon rahaa olen laittanut säästöpankkiin? (Kassat antavat tallettajille 2 %:n tuoton vuodessa.)

Ongelman ydin on, että laitoin tietyn summan rahaa säästöpankkiin ja jäin sinne vuoden. Vuoden kuluttua sain häneltä 60 ruplaa. tulot, jotka ovat 2/100 tallettamistani rahoista. Kuinka paljon rahaa laitoin?

Näin ollen, kun tiedämme osan tästä rahasta ilmaistuna kahdella tavalla (ruplina ja murto-osina), meidän on löydettävä koko, vielä tuntematon summa. Tämä on tavallinen ongelma luvun löytämisessä sen murto-osan perusteella. Seuraavat ongelmat ratkaistaan ​​jakamalla:

Tämä tarkoittaa, että säästöpankkiin talletettiin 3 000 ruplaa.

Tehtävä 2. Kalastajat täyttivät kuukausisuunnitelman 64 % kahdessa viikossa ja saivat 512 tonnia kalaa. Mikä heidän suunnitelmansa oli?

Ongelman ehdoista tiedetään, että kalastajat saivat osan suunnitelmasta valmiiksi. Tämä osa on 512 tonnia, mikä on 64% suunnitelmasta. Emme tiedä kuinka monta tonnia kalaa pitää valmistaa suunnitelman mukaan. Tämän numeron löytäminen on ratkaisu ongelmaan.

Tällaiset ongelmat ratkaistaan ​​jakamalla:

Tämä tarkoittaa, että suunnitelman mukaan kalaa on valmistettava 800 tonnia.

Tehtävä 3. Juna meni Riiasta Moskovaan. Kun hän ohitti 276. kilometrin, yksi matkustajista kysyi ohikulkivalta konduktööriltä, ​​kuinka suuren osan matkasta he olivat jo suorittaneet. Tähän konduktööri vastasi: "Olemme jo kulkeneet 30% koko matkasta." Mikä on etäisyys Riika ja Moskova välillä?

Ongelmatilanteista selviää, että 30 % reitistä Riiasta Moskovaan on 276 km. Meidän on löydettävä koko etäisyys näiden kaupunkien välillä, eli tälle osalle on löydettävä kokonaisuus:

§ 91. Vastavuoroiset numerot. Jakolaskun korvaaminen kertolaskulla.

Otetaan murto-osa 2/3 ja korvataan osoittaja nimittäjän tilalle, saadaan 3/2. Saimme tämän murtoluvun käänteisen.

Saadaksesi murto-osan, joka on käänteinen tietylle murtoluvulle, sinun on asetettava sen osoittaja nimittäjän tilalle ja nimittäjä osoittajan tilalle. Tällä tavalla voimme saada minkä tahansa murtoluvun käänteisluvun. Esimerkiksi:

3/4, käänteinen 4/3; 5/6, käänteinen 6/5

Kaksi murtolukua, joilla on ominaisuus, että ensimmäisen osoittaja on toisen ja ensimmäisen osoittaja on toisen osoittaja, kutsutaan keskenään käänteisesti.

Mietitään nyt mikä murtoluku on 1/2 käänteisluku. Ilmeisesti se on 2 / 1 tai vain 2. Etsimällä käänteistä murtolukua, saimme kokonaisluvun. Ja tämä tapaus ei ole yksittäinen; päinvastoin, kaikkien murtolukujen, joiden osoittaja on 1 (yksi), käänteisluvut ovat kokonaislukuja, esimerkiksi:

1/3, käänteinen 3; 1/5, käänteinen 5

Koska käänteismurtolukuja etsittäessä kohtasimme myös kokonaislukuja, ei seuraavassa puhuta käänteismurtoluvuista, vaan käänteisluvuista.

Selvitetään kuinka kirjoitetaan kokonaisluvun käänteisluku. Murtolukujen osalta tämä voidaan ratkaista yksinkertaisesti: sinun on asetettava nimittäjä osoittajan tilalle. Samalla tavalla voit saada kokonaisluvun käänteisarvon, koska minkä tahansa kokonaisluvun nimittäjä voi olla 1. Tämä tarkoittaa, että luvun 7 käänteisarvo on 1/7, koska 7 = 7/1; luvulle 10 käänteisarvo on 1/10, koska 10 = 10/1

Tämä ajatus voidaan ilmaista eri tavalla: tietyn luvun käänteisluku saadaan jakamalla yksi annetulla luvulla. Tämä väite ei päde vain kokonaislukujen, vaan myös murtolukujen osalta. Itse asiassa, jos meidän on kirjoitettava murto-osan 5/9 käänteisluku, voimme ottaa 1 ja jakaa sen 5/9: llä, ts.

Huomautetaan nyt yksi asia omaisuutta vastavuoroiset numerot, joista on meille hyötyä: käänteislukujen tulo on yhtä suuri kuin yksi. Todellakin:

Käyttämällä tätä ominaisuutta voimme löytää käänteisluvut seuraavalla tavalla. Oletetaan, että meidän on löydettävä 8:n käänteisarvo.

Merkitään se kirjaimella X , sitten 8 X = 1, siis X = 1/8. Etsitään toinen luku, joka on 7/12:n käänteisarvo, ja merkitään se kirjaimella X , sitten 12.7 X = 1, siis X = 1:7/12 tai X = 12 / 7 .

Esittelimme tässä käänteislukujen käsitteen täydentääksemme hieman murtolukujen jakamista koskevia tietoja.

Kun jaamme luvun 6 3/5:llä, teemme seuraavaa:

Kiinnitä erityistä huomiota lausekkeeseen ja vertaa sitä annettuun lauseeseen: .

Jos otamme lausekkeen erikseen, ilman yhteyttä edelliseen, on mahdotonta ratkaista kysymystä, mistä se tuli: jakamalla 6 luvulla 3/5 tai kertomalla 6 5/3:lla. Molemmissa tapauksissa tapahtuu sama asia. Siksi voimme sanoa että yhden luvun jakaminen toisella voidaan korvata kertomalla osinko jakajan käänteisluvulla.

Alla antamamme esimerkit vahvistavat täysin tämän päätelmän.

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, kun Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus juoksee sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... He kaikki pitivät Zenonin aporiaa tavalla tai toisella. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tähän päivään asti, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan..."[Wikipedia, "Zenon Aporia". Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mistä petos koostuu.

Matemaattisesta näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen määrästä . Tämä siirtymä edellyttää soveltamista pysyvien sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden käyttöön ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavanomaisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Ajattelun hitaudesta johtuen käytämme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta tämä näyttää ajan hidastumiselta, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme tavallisen logiikkamme, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen seuraava osa hänen polkunsa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos sovellamme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa: "Achilles tavoittaa kilpikonnan äärettömän nopeasti."

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisyksikköihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan ensimmäisen aikavälin aikana Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden vastustamattomuudesta on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on jokaisella ajanhetkellä levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on syytä huomioida toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Jotta voit määrittää, onko auto liikkeessä, tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta et voi määrittää etäisyyttä niistä. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu eri pisteistä avaruudessa samaan aikaan, mutta niistä et voi määrittää liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua ). Haluan kiinnittää erityistä huomiota siihen, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimukselle.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot joukon ja multisetin välillä kuvataan erittäin hyvin Wikipediassa. Katsotaan.

Kuten näette, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisetiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdia logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, joilla ei ole älykkyyttä sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Olipa kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat veneessä sillan alla testatessaan siltaa. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja jaamme palkkoja. Joten matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja laitamme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkajoukon". Selitätään matemaatikolle, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä alkioita ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä alkioita. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "Tätä voidaan soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Sitten he alkavat vakuuttaa meille, että saman arvon seteleillä on eri setelinumerot, mikä tarkoittaa, että niitä ei voida pitää samoilla elementeillä. Okei, lasketaan palkat kolikoihin - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko alkaa kiihkeästi muistaa fysiikkaa: eri kolikoissa on eri määrä likaa, kiderakenne ja atomien järjestely on jokaisella kolikolla ainutlaatuinen...

Ja nyt minulla on mielenkiintoisin kysymys: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole lähelläkään valehdella täällä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-alat ovat samat - mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos katsomme näiden samojen stadionien nimiä, saamme monia, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on sekä joukko että monijoukko. Kumpi on oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-terävä vetää valttiäsän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta siksi he ovat shamaaneja, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää sivu "Luvun numeroiden summa". Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voitaisiin löytää minkä tahansa luvun numeroiden summa. Loppujen lopuksi luvut ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa lukua edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen helposti.

Selvitetään, mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, olkoon numero 12345. Mitä on tehtävä, jotta tämän luvun numeroiden summa saadaan selville? Harkitse kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron graafiseksi numerosymboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden kuvan useiksi kuviksi, jotka sisältävät yksittäisiä numeroita. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset symbolit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Lisää tuloksena saadut luvut. Tämä on nyt matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat shamaanien opettamia "leikkaus- ja ompelukursseja", joita matemaatikot käyttävät. Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matemaattisesti katsottuna ei ole väliä kumpaan numerojärjestelmään kirjoitamme luvun. Joten eri numerojärjestelmissä saman luvun numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa lukujärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. Suurella numerolla 12345 en halua huijata päätäni, katsotaanpa artikkelin numeroa 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme katso jokaista askelta mikroskoopin alla; olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Se on sama kuin jos määrittäisit suorakulmion alueen metreinä ja senttimetreinä, saat täysin erilaiset tulokset.

Nolla näyttää samalta kaikissa numerojärjestelmissä, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta. Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa määrätään jotain, joka ei ole luku? Mitä, matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Voin sallia tämän shamaaneille, mutta en tiedemiehille. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toiminnot saman suuren eri mittayksiköillä johtavat eri tuloksiin niiden vertailun jälkeen, niin tällä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen operaation tulos ei riipu luvun koosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Vai niin! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio sielujen indefiilisen pyhyyden tutkimiseksi heidän taivaaseennousemisensa aikana! Halo päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas ovat urospuolisia.

Jos tällainen taideteos välähtää silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse pyrin näkemään kakkaavassa ihmisessä miinus neljä astetta (yksi kuva) (usean kuvan yhdistelmä: miinusmerkki, numero neljä, asteiden merkintä). Ja en usko, että tämä tyttö on hölmö, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain vahva stereotypia graafisten kuvien havaitsemisesta. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalimuodossa. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.