Kuinka ratkaista luonnonlogaritmiyhtälöitä. Joitakin menetelmiä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen

Logaritminen yhtälö kutsutaan yhtälöä, jossa tuntematon (x) ja sen kanssa olevat lausekkeet ovat logaritmisen funktion merkin alla. Logaritmisen yhtälöiden ratkaiseminen olettaa, että olet jo perehtynyt ja .
Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt?

Yksinkertaisin yhtälö on log a x = b, jossa a ja b ovat joitain lukuja, x on tuntematon.
Logaritmisen yhtälön ratkaiseminen on x = a b edellyttäen: a > 0, a 1.

On huomattava, että jos x on jossain logaritmin ulkopuolella, esimerkiksi log 2 x \u003d x-2, niin tällaista yhtälöä kutsutaan jo sekoitetuksi ja sen ratkaisemiseen tarvitaan erityinen lähestymistapa.

Ihanteellinen tapaus on, kun törmäät yhtälöön, jossa vain luvut ovat logaritmin merkin alla, esimerkiksi x + 2 \u003d log 2 2. Tässä riittää logaritmien ominaisuuksien tunteminen sen ratkaisemiseksi. Mutta tällaista onnea ei tapahdu usein, joten valmistaudu vaikeampiin asioihin.

Mutta ensin, loppujen lopuksi, aloitetaan yksinkertaisilla yhtälöillä. Niiden ratkaisemiseksi on toivottavaa saada yleisin käsitys logaritmista.

Yksinkertaisten logaritmien yhtälöiden ratkaiseminen

Näitä ovat yhtälöt kuten log 2 x \u003d log 2 16. Paljaalla silmällä voidaan nähdä, että jättämällä pois logaritmin etumerkki saadaan x \u003d 16.

Monimutkaisemman logaritmisen yhtälön ratkaisemiseksi se johdetaan yleensä tavallisen algebrallisen yhtälön ratkaisuun tai yksinkertaisimman logaritmisen yhtälön log a x = b ratkaisuun. Yksinkertaisimmissa yhtälöissä tämä tapahtuu yhdessä liikkeessä, minkä vuoksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Yllä oleva logaritmien pudotusmenetelmä on yksi tärkeimmistä tavoista ratkaista logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt. Matematiikassa tätä operaatiota kutsutaan potentioimiseksi. Tällaisille toiminnoille on tiettyjä sääntöjä tai rajoituksia:

• logaritmeilla on samat numerokannat
• logaritmit yhtälön molemmissa osissa ovat vapaita, ts. ilman kertoimia ja muita erilaisia ​​lausekkeita.

Oletetaan, että yhtälössä log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), potentiaatiota ei voida soveltaa - oikealla oleva kerroin 2 ei salli. Seuraavassa esimerkissä log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) yksi rajoituksista ei myöskään täyty - vasemmalla on kaksi logaritmia. Se olisi yksi - täysin eri asia!

Yleensä voit poistaa logaritmit vain, jos yhtälön muoto on:

log a(...) = log a(...)

Täysin kaikki lausekkeet voivat olla suluissa, tämä ei millään tavalla vaikuta potentioimiseen. Ja logaritmien poistamisen jälkeen jää yksinkertaisempi yhtälö - lineaarinen, neliöllinen, eksponentiaalinen jne., jonka tiedät jo toivottavasti ratkaista.

Otetaan toinen esimerkki:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Potentioinnilla saamme:

log 3 (2x-1) = 2

Perustuu logaritmin määritelmään, nimittäin siihen, että logaritmi on luku, johon kanta on nostettava, jotta saadaan lauseke, joka on logaritmin merkin alla, ts. (4x-1), saamme:

Saimme jälleen hyvän vastauksen. Tässä tehtiin ilman logaritmien eliminoimista, mutta potentioiminen pätee myös tässä, koska logaritmi voidaan tehdä mistä tahansa luvusta ja juuri siitä, mitä tarvitsemme. Tämä menetelmä on erittäin hyödyllinen logaritmien yhtälöiden ja erityisesti epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Ratkaistaan ​​logaritminen yhtälömme log 3 (2x-1) = 2 potentioinnilla:

Esitetään luku 2 logaritmina, esimerkiksi log 3 9, koska 3 2 =9.

Sitten log 3 (2x-1) = log 3 9 ja taas saadaan sama yhtälö 2x-1 = 9. Toivottavasti kaikki on selvää.

Joten tarkastelimme kuinka ratkaista yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt, jotka ovat itse asiassa erittäin tärkeitä, koska logaritmisen yhtälön ratkaisu, jopa kaikkein kauheimmat ja kieroutuneimmat, loppujen lopuksi aina yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaiseminen.

Kaikessa, mitä olemme tehneet edellä, olemme jättäneet huomioimatta yhden erittäin tärkeän seikan, joka tulee olemaan ratkaiseva tulevaisuudessa. Tosiasia on, että minkä tahansa logaritmisen yhtälön ratkaisu, jopa alkeellisimman, koostuu kahdesta ekvivalentista osasta. Ensimmäinen on itse yhtälön ratkaisu, toinen on työskentely sallittujen arvojen alueella (ODV). Tämä on vasta ensimmäinen osa, jonka olemme hallinneet. Yllä olevissa esimerkeissä ODD ei vaikuta vastaukseen millään tavalla, joten emme huomioineet sitä.

Otetaan toinen esimerkki:

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

Ulkoisesti tämä yhtälö ei eroa alkeisyhtälöstä, joka on erittäin onnistuneesti ratkaistu. Mutta näin ei ole. Ei, tietysti ratkaisemme sen, mutta todennäköisesti se on väärin, koska siinä on pieni väijytys, johon sekä C-opiskelijat että erinomaiset opiskelijat joutuvat välittömästi. Katsotaanpa sitä tarkemmin.

Oletetaan, että sinun on löydettävä yhtälön juuri tai juurien summa, jos niitä on useita:

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

Käytämme tehostusta, tässä se on sallittua. Tuloksena saamme tavallisen toisen asteen yhtälön.

Löydämme yhtälön juuret:

On kaksi juuria.

Vastaus: 3 ja -1

Ensi silmäyksellä kaikki on oikein. Mutta tarkistetaan tulos ja korvataan se alkuperäiseen yhtälöön.

Aloitetaan x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Tarkistus onnistui, nyt jono x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Kyllä, lopeta! Ulkoisesti kaikki on täydellistä. Hetki - negatiivisista luvuista ei ole logaritmeja! Ja tämä tarkoittaa, että juuri x \u003d -1 ei sovellu yhtälömme ratkaisemiseen. Ja siksi oikea vastaus on 3, ei 2, kuten kirjoitimme.

Täällä ODZ pelasi kohtalokkaan roolinsa, jonka unohdimme.

Muistutan teitä siitä, että sallittujen arvojen alueella hyväksytään sellaiset x:n arvot, jotka ovat sallittuja tai järkeviä alkuperäisessä esimerkissä.

Ilman ODZ:tä mikä tahansa yhtälön ratkaisu, jopa ehdottoman oikea, muuttuu arpajaiseksi - 50/50.

Kuinka voisimme jäädä kiinni, kun ratkaisemme alkeellisen esimerkin? Ja tässä se on voimistumisen hetkellä. Logaritmit ovat poissa, ja niiden mukana kaikki rajoitukset.

Mitä tehdä tällaisessa tapauksessa? Kieltäydytkö poistamasta logaritmeja? Ja hylätäänkö tämän yhtälön ratkaisu kokonaan?

Ei, me vain, kuten todelliset sankarit yhdestä kuuluisasta kappaleesta, kiertämme!

Ennen kuin jatkamme logaritmisen yhtälön ratkaisemista, kirjoitamme muistiin ODZ. Mutta sen jälkeen voit tehdä yhtälöllämme mitä sydämesi haluaa. Saatuamme vastauksen yksinkertaisesti heitämme pois ne juuret, jotka eivät sisälly ODZ:hen, ja kirjoitamme lopullisen version.

Nyt päätetään kuinka kirjoittaa ODZ. Tätä varten tutkimme huolellisesti alkuperäistä yhtälöä ja etsimme siitä epäilyttäviä paikkoja, kuten jako x:llä, parillisen asteen juuri jne. Ennen kuin olemme ratkaisseet yhtälön, emme tiedä mitä x on yhtä suuri, mutta tiedämme varmasti, että sellaiset x, jotka korvatessaan jaettavat nollalla tai erottelevat negatiivisen luvun neliöjuuren, eivät selvästikään sovellu. vastauksesta. Siksi sellaiset x:t eivät ole hyväksyttäviä, kun taas loput muodostavat ODZ:n.

Käytetään samaa yhtälöä uudelleen:

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

Kuten näette, ei ole jakoa nollalla, ei myöskään neliöjuuria, mutta logaritmin rungossa on lausekkeita, joissa on x. Muistutamme heti, että logaritmin sisällä olevan lausekkeen on aina oltava > 0. Tämä ehto on kirjoitettu muodossa ODZ:

Nuo. emme ole vielä ratkaisseet mitään, mutta olemme jo kirjoittaneet pakollisen ehdon koko sulogaritmiselle lausekkeelle. Kihara aaltosulke tarkoittaa, että nämä ehdot on täytettävä samanaikaisesti.

ODZ on kirjoitettu, mutta on myös tarpeen ratkaista tuloksena oleva epätasa-arvojärjestelmä, jonka teemme. Saamme vastauksen x > v3. Nyt tiedämme varmasti, mikä x ei sovi meille. Ja sitten alamme ratkaista itse logaritminen yhtälö, jonka teimme yllä.

Saatuamme vastaukset x 1 \u003d 3 ja x 2 \u003d -1, on helppo nähdä, että vain x1 \u003d 3 sopii meille, ja kirjoitamme sen lopulliseksi vastaukseksi.

Tulevaisuuden kannalta on erittäin tärkeää muistaa seuraava: ratkaisemme minkä tahansa logaritmisen yhtälön kahdessa vaiheessa. Ensimmäinen - ratkaisemme itse yhtälön, toinen - ratkaisemme ODZ: n ehdon. Molemmat vaiheet suoritetaan toisistaan ​​riippumatta ja niitä verrataan vasta vastausta kirjoitettaessa, ts. hylkäämme kaikki tarpeettomat ja kirjoitamme oikean vastauksen.

Materiaalin vahvistamiseksi suosittelemme katsomaan videon:

Videolla muita esimerkkejä lokin ratkaisemisesta. yhtälöt ja intervallimenetelmän laatiminen käytännössä.

Tähän aiheeseen liittyen, kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt kunnes kaikki. Jos jotain lokin päätöksen mukaan. yhtälöt jäivät epäselviksi tai käsittämättömiksi, kirjoita kysymyksesi kommentteihin.

Huomautus: Sosiaalikasvatusakatemia (KSUE) on valmis ottamaan vastaan ​​uusia opiskelijoita.

Matematiikan viimeiseen kokeeseen valmistautuminen sisältää tärkeän osan - "Logaritmit". Tämän aiheen tehtävät sisältyvät välttämättä kokeeseen. Menneiden vuosien kokemus osoittaa, että logaritmiset yhtälöt aiheuttivat vaikeuksia monille koululaisille. Siksi eri koulutustason opiskelijoiden tulisi ymmärtää, kuinka löytää oikea vastaus ja selviytyä niistä nopeasti.

Läpäise sertifiointitesti onnistuneesti koulutusportaalin "Shkolkovo" avulla!

Yhdistetyn valtionkokeeseen valmistautuessaan ylioppilas tarvitsee luotettavan lähteen, joka tarjoaa täydellisimmän ja tarkimman tiedon koetehtävien onnistuneeseen ratkaisuun. Oppikirja ei kuitenkaan ole aina käsillä, ja tarvittavien sääntöjen ja kaavojen etsiminen Internetistä vie usein aikaa.

Koulutusportaali "Shkolkovo" antaa sinun valmistautua kokeeseen missä tahansa milloin tahansa. Sivustomme tarjoaa kätevimmän tavan toistaa ja hallita suuria määriä tietoa logaritmeista sekä yhdestä ja useista tuntemattomista. Aloita helpoista yhtälöistä. Jos selvisit niistä ilman vaikeuksia, siirry vaikeampiin. Jos sinulla on ongelmia tietyn epätasa-arvon ratkaisemisessa, voit lisätä sen suosikkeihisi, jotta voit palata siihen myöhemmin.

Löydät tehtävän suorittamiseen tarvittavat kaavat, toistat erikoistapauksia ja menetelmiä vakiologaritmisen yhtälön juuren laskemiseksi katsomalla "Teoreettinen viite" -osaa. "Shkolkovon" opettajat keräsivät, systematisoivat ja esittelivät kaikki onnistuneeseen toimitukseen tarvittavat materiaalit yksinkertaisimmassa ja ymmärrettävässä muodossa.

Selviytyäksesi helposti minkä tahansa monimutkaisista tehtävistä portaalissamme voit tutustua joidenkin tyypillisten logaritmisen yhtälöiden ratkaisuun. Voit tehdä tämän siirtymällä "Katalogit" -osioon. Olemme esittäneet suuren määrän esimerkkejä, mukaan lukien matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon profiilitason yhtälöitä.

Opiskelijat kouluista kaikkialta Venäjältä voivat käyttää portaaliamme. Aloita rekisteröitymällä järjestelmään ja aloittamalla yhtälöiden ratkaiseminen. Tulosten vahvistamiseksi suosittelemme palaamaan Shkolkovon verkkosivuille päivittäin.

Tällä videolla aloitan pitkän sarjan oppitunteja logaritmisista yhtälöistä. Nyt sinulla on kolme esimerkkiä kerralla, joiden perusteella opimme ratkaisemaan yksinkertaisimmat tehtävät, joita kutsutaan niin - alkueläimet.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Haluan muistuttaa, että yksinkertaisin logaritminen yhtälö on seuraava:

log a f(x) = b

On tärkeää, että muuttuja x on vain argumentin sisällä, eli vain funktiossa f(x). Ja luvut a ja b ovat vain numeroita, eivätkä missään tapauksessa ole funktioita, jotka sisältävät muuttujan x.

Perusratkaisumenetelmät

On monia tapoja ratkaista tällaisia ​​rakenteita. Esimerkiksi useimmat koulun opettajat ehdottavat tätä tapaa: Ilmaise välittömästi funktio f ( x ) kaavalla f( x) = a b. Eli kun kohtaat yksinkertaisimman rakenteen, voit siirtyä välittömästi ratkaisuun ilman lisätoimia ja rakenteita.

Kyllä, päätös osoittautuu tietysti oikeaksi. Tämän kaavan ongelmana on kuitenkin se, että useimmat opiskelijat ei ymmärrä, mistä se tulee ja miksi tarkalleen nostamme a-kirjaimen kirjaimeksi b.

Tämän seurauksena huomaan usein erittäin loukkaavia virheitä, kun esimerkiksi näitä kirjaimia vaihdetaan. Tämä kaava on joko ymmärrettävä tai opetettava ulkoa, ja toinen menetelmä johtaa virheisiin sopimattomimmilla ja tärkeimmillä hetkillä: kokeissa, testeissä jne.

Siksi ehdotan kaikille opiskelijoilleni, että he luopuvat tavallisesta koulukaavasta ja käyttävät toista lähestymistapaa logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen, jota, kuten luultavasti nimestä arvasit, on ns. kanoninen muoto.

Kanonisen muodon idea on yksinkertainen. Katsotaanpa tehtäväämme uudelleen: vasemmalla on log a , kun taas kirjain a tarkoittaa täsmälleen numeroa, eikä missään tapauksessa funktiota, joka sisältää muuttujan x. Tästä syystä tämä kirjain on kaikkien logaritmin perusteella asetettujen rajoitusten alainen. nimittäin:

1 ≠ a > 0

Toisaalta samasta yhtälöstä näemme, että logaritmin on oltava yhtä suuri kuin luku b, eikä tälle kirjaimelle aseteta rajoituksia, koska se voi ottaa minkä tahansa arvon - sekä positiivisen että negatiivisen. Kaikki riippuu siitä, mitä arvoja funktio f(x) ottaa.

Ja tässä muistamme ihmeellisen sääntömme, jonka mukaan mikä tahansa luku b voidaan esittää logaritmina kannassa a a:sta b:n potenssiin:

b = log a a b

Kuinka muistaa tämä kaava? Kyllä, hyvin yksinkertaista. Kirjoitetaan seuraava konstruktio:

b = b 1 = b log a a

Tietenkin tässä tapauksessa kaikki rajoitukset, jotka kirjoitimme alussa, syntyvät. Ja nyt käytetään logaritmin perusominaisuutta ja syötetään tekijä b a:n potenssiksi. Saamme:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Tämän seurauksena alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavassa muodossa:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Siinä kaikki. Uusi funktio ei enää sisällä logaritmia ja se ratkaistaan ​​tavallisilla algebrallisilla tekniikoilla.

Tietysti joku nyt vastustaa: miksi ylipäänsä piti keksiä jonkinlainen kanoninen kaava, miksi suorittaa kaksi ylimääräistä tarpeetonta vaihetta, jos oli mahdollista siirtyä heti alkuperäisestä rakenteesta lopulliseen kaavaan? Kyllä, jos vain siksi, että useimmat opiskelijat eivät ymmärrä, mistä tämä kaava tulee, ja sen seurauksena tekevät säännöllisesti virheitä soveltaessaan sitä.

Mutta tällainen kolmesta vaiheesta koostuva toimintosarja antaa sinun ratkaista alkuperäisen logaritmisen yhtälön, vaikka et ymmärtäisi, mistä tämä lopullinen kaava tulee. Muuten, tätä merkintää kutsutaan kanoniseksi kaavaksi:

log a f(x) = log a a b

Kanonisen muodon mukavuus piilee myös siinä, että sillä voidaan ratkaista hyvin laaja luokka logaritmisia yhtälöitä, ei vain yksinkertaisimpia, joita tarkastelemme tänään.

Ratkaisuesimerkkejä

Katsotaanpa nyt oikeita esimerkkejä. Joten päätetään:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Kirjoitetaan se uudelleen näin:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Monilla opiskelijoilla on kiire ja he yrittävät välittömästi nostaa lukua 0,5 siihen tehoon, joka tuli meille alkuperäisestä ongelmasta. Ja todellakin, kun olet jo hyvin koulutettu tällaisten ongelmien ratkaisemiseen, voit suorittaa tämän vaiheen välittömästi.

Jos kuitenkin olet vasta alkamassa tutkia tätä aihetta, on parempi olla kiirehtimättä minnekään, jotta et tekisi loukkaavia virheitä. Meillä on siis kanoninen muoto. Meillä on:

3x - 1 = 0,5 -3

Tämä ei ole enää logaritminen yhtälö, vaan lineaarinen yhtälö suhteessa muuttujaan x. Sen ratkaisemiseksi käsitellään ensin luku 0,5 potenssilla −3. Huomaa, että 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Muunna kaikki desimaalit murtoluvuiksi, kun ratkaiset logaritmisen yhtälön.

Kirjoitamme uudelleen ja saamme:

3x − 1 = 8
3x = 9
x=3

Kaikki saimme vastauksen. Ensimmäinen tehtävä on ratkaistu.

Toinen tehtävä

Siirrytään toiseen tehtävään:

Kuten näet, tämä yhtälö ei ole enää yksinkertaisin. Jos vain siksi, että ero on vasemmalla, eikä yhtään logaritmia yhdessä kannassa.

Siksi sinun on jotenkin päästävä eroon tästä erosta. Tässä tapauksessa kaikki on hyvin yksinkertaista. Katsotaanpa perusteita tarkemmin: vasemmalla on juuren alla oleva numero:

Yleinen suositus: kaikissa logaritmisissa yhtälöissä yritä päästä eroon radikaaleista eli juurimerkinnöistä ja siirtyä potenssifunktioihin, yksinkertaisesti siksi, että näiden potenssien eksponentit poistetaan helposti logaritmin etumerkistä ja viime kädessä merkintä yksinkertaistaa ja nopeuttaa laskelmia huomattavasti. Kirjoitetaan se näin:

Nyt muistamme logaritmin merkittävän ominaisuuden: argumentista, samoin kuin perustasta, voit ottaa asteet. Pohjien tapauksessa tapahtuu seuraavaa:

log a k b = 1/k loga b

Toisin sanoen kannan asteessa oleva luku tuodaan eteenpäin ja samalla käännetään ympäri, eli siitä tulee luvun käänteisluku. Meidän tapauksessamme oli perusaste, jonka indikaattori oli 1/2. Siksi voimme ottaa sen pois 2/1. Saamme:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Huomaa: et missään tapauksessa saa päästä eroon logaritmeista tässä vaiheessa. Ajattele luokan 4-5 matematiikkaa ja toimintojen järjestystä: ensin tehdään kertolasku ja vasta sitten yhteen- ja vähennyslasku. Tässä tapauksessa vähennämme yhden samoista elementeistä 10 elementistä:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nyt yhtälömme näyttää siltä kuin sen pitäisi. Tämä on yksinkertaisin rakenne, ja ratkaisemme sen käyttämällä kanonista muotoa:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Siinä kaikki. Toinen ongelma on ratkaistu.

Kolmas esimerkki

Siirrytään kolmanteen tehtävään:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Muista seuraava kaava:

log b = log 10 b

Jos olet jostain syystä hämmentynyt kirjoittamalla lg b , voit tehdä kaikki laskutoimitukset yksinkertaisesti kirjoittaa log 10 b . Voit työskennellä desimaalilogaritmien kanssa samalla tavalla kuin muiden kanssa: ota potenssit, lisää ja esitä mikä tahansa luku lg 10:nä.

Juuri näitä ominaisuuksia käytämme nyt ongelman ratkaisemiseen, koska se ei ole yksinkertaisin, jonka kirjoitimme oppitunnin alussa.

Aluksi huomioi, että kerroin 2 ennen lg 5:tä voidaan lisätä ja siitä tulee kantaluvun 5 potenssi. Lisäksi vapaa termi 3 voidaan esittää myös logaritmina - tämä on erittäin helppo havaita merkinnöstämme.

Arvioi itse: mikä tahansa luku voidaan esittää lokina 10:een:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Kirjoitetaan alkuperäinen ongelma uudelleen ottaen huomioon saadut muutokset:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg

Edessämme on taas kanoninen muoto, ja saimme sen ohittamalla muunnosvaiheen, eli yksinkertaisin logaritminen yhtälö ei tullut meille missään.

Siitä puhuin aivan oppitunnin alussa. Kanoninen muoto mahdollistaa laajemman ongelmaluokan ratkaisemisen kuin tavallinen koulukaava, jonka useimmat opettajat antavat.

Siinä kaikki, pääsemme eroon desimaalilogaritmin merkistä ja saamme yksinkertaisen lineaarisen rakenteen:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Kaikki! Ongelma ratkaistu.

Huomautus laajuudesta

Tässä haluaisin tehdä tärkeän huomautuksen määritelmäalueesta. Varmasti nyt on opiskelijoita ja opettajia, jotka sanovat: "Kun ratkaisemme lausekkeita logaritmeilla, on välttämätöntä muistaa, että argumentin f (x) on oltava suurempi kuin nolla!" Tältä osin herää looginen kysymys: miksi emme vaatineet yhdessäkään käsitellyistä ongelmista tämän epätasa-arvon täyttymistä?

Älä huoli. Näissä tapauksissa ei näy ylimääräisiä juuria. Ja tämä on toinen hieno temppu, jonka avulla voit nopeuttaa ratkaisua. Tiedä vain, että jos ongelmassa muuttuja x esiintyy vain yhdessä paikassa (tarkemmin sanottuna yhden ja ainoan logaritmin yhdessä ja ainoassa argumentissa), eikä missään muualla tapauksessamme muuttuja x, niin kirjoita verkkoalue ei tarvetta koska se toimii automaattisesti.

Päättele itse: ensimmäisessä yhtälössä saimme, että 3x - 1, eli argumentin tulee olla yhtä suuri kuin 8. Tämä tarkoittaa automaattisesti, että 3x - 1 on suurempi kuin nolla.

Samalla menestyksellä voimme kirjoittaa, että toisessa tapauksessa x:n on oltava yhtä suuri kuin 5 2, eli se on varmasti suurempi kuin nolla. Ja kolmannessa tapauksessa, jossa x + 3 = 25 000, eli jälleen, selvästi suurempi kuin nolla. Toisin sanoen laajuus on automaattinen, mutta vain jos x esiintyy vain yhden logaritmin argumentissa.

Tämä on kaikki mitä sinun tarvitsee tietää yksinkertaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Pelkästään tämä sääntö yhdessä muunnossääntöjen kanssa antaa sinun ratkaista hyvin laajan luokan ongelmia.

Mutta olkaamme rehellisiä: tämän tekniikan vihdoin ymmärtämiseksi ja logaritmisen yhtälön kanonisen muodon soveltamisen oppimiseksi ei riitä, että katsot vain yhden videotunnin. Siksi lataa juuri nyt itsenäisen ratkaisun vaihtoehdot, jotka on liitetty tähän video-opetusohjelmaan, ja aloita ainakin yhden näistä kahdesta itsenäisestä työstä ratkaiseminen.

Se vie vain muutaman minuutin. Mutta tällaisen koulutuksen vaikutus on paljon suurempi kuin jos katsoit juuri tämän video-opetusohjelman.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua ymmärtämään logaritmisia yhtälöitä. Käytä kanonista muotoa, yksinkertaista lausekkeita logaritmien kanssa työskentelyn sääntöjen avulla - etkä pelkää tehtäviä. Ja siinä kaikki, mitä minulla on tälle päivälle.

Laajuusharkinta

Puhutaan nyt logaritmisen funktion alueesta sekä siitä, kuinka tämä vaikuttaa logaritmisen yhtälöiden ratkaisuun. Harkitse lomakkeen rakennetta

log a f(x) = b

Tällaista lauseketta kutsutaan yksinkertaisimmiksi - sillä on vain yksi funktio, ja luvut a ja b ovat vain numeroita, eivätkä missään tapauksessa ole muuttujasta x riippuvaisia ​​funktioita. Se ratkaistaan ​​hyvin yksinkertaisesti. Sinun tarvitsee vain käyttää kaavaa:

b = log a a b

Tämä kaava on yksi logaritmin tärkeimmistä ominaisuuksista, ja kun se korvataan alkuperäisellä lausekkeellamme, saamme seuraavan:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Tämä on jo tuttu kaava koulun oppikirjoista. Monilla opiskelijoilla on todennäköisesti kysymys: koska funktio f ( x ) alkuperäisessä lausekkeessa on log-merkin alla, sille on asetettu seuraavat rajoitukset:

f(x) > 0

Tämä rajoitus on voimassa, koska negatiivisten lukujen logaritmia ei ole olemassa. Joten ehkä tämän rajoituksen vuoksi sinun pitäisi ottaa käyttöön vastausten tarkistus? Ehkä ne pitää korvata lähteessä?

Ei, yksinkertaisimmissa logaritmisissa yhtälöissä lisätarkistus on tarpeeton. Ja siksi. Katso lopullinen kaavamme:

f(x) = a b

Tosiasia on, että luku a on joka tapauksessa suurempi kuin 0 - tämän vaatimuksen asettaa myös logaritmi. Numero a on kanta. Tässä tapauksessa numeroa b ei rajoiteta. Mutta tällä ei ole väliä, koska riippumatta siitä, missä asteessa nostamme positiivista lukua, saamme silti positiivisen luvun lähdössä. Näin ollen vaatimus f (x) > 0 täyttyy automaattisesti.

Se, mikä todella kannattaa tarkistaa, on lokimerkin alla olevan toiminnon laajuus. Suunnitelmia voi olla melko monimutkaisia, ja niiden ratkaisemisen aikana sinun on ehdottomasti noudatettava niitä. Katsotaan.

Ensimmäinen tehtävä:

Ensimmäinen vaihe: muunna oikealla oleva murto. Saamme:

Pääsemme eroon logaritmin merkistä ja saamme tavallisen irrationaalisen yhtälön:

Saaduista juurista vain ensimmäinen sopii meille, koska toinen juuri on pienempi kuin nolla. Ainoa vastaus on numero 9. Siinä se, ongelma on ratkaistu. Mitään lisätarkastuksia, että logaritmimerkin alla oleva lauseke on suurempi kuin 0, ei vaadita, koska se ei ole vain suurempi kuin 0, vaan yhtälön ehdon mukaan se on yhtä suuri kuin 2. Siksi vaatimus "suurempi kuin nolla" on automaattisesti täyttynyt.

Siirrytään toiseen tehtävään:

Kaikki on sama täällä. Kirjoitamme rakenteen uudelleen korvaamalla kolminkertaisen:

Pääsemme eroon logaritmin merkeistä ja saamme irrationaalisen yhtälön:

Neliöimme molemmat osat ottaen huomioon rajoitukset ja saamme:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön diskriminantin avulla:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Mutta x = −6 ei sovi meille, koska jos korvaamme tämän luvun epäyhtälössämme, saamme:

−6 + 4 = −2 < 0

Meidän tapauksessamme sen on oltava suurempi kuin 0 tai ääritapauksissa yhtä suuri. Mutta x = −1 sopii meille:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainoa vastaus meidän tapauksessamme on x = −1. Siinä kaikki ratkaisu. Palataanpa laskelmiemme alkuun.

Tämän oppitunnin tärkein johtopäätös on, että funktion rajoja ei tarvitse tarkistaa yksinkertaisimmissa logaritmisissa yhtälöissä. Koska ratkaisuprosessissa kaikki rajoitukset suoritetaan automaattisesti.

Tämä ei kuitenkaan suinkaan tarkoita, että voit unohtaa vahvistuksen kokonaan. Työskennellessään logaritmisen yhtälön parissa se voi hyvinkin muuttua irrationaaliseksi, jolla on omat rajoituksensa ja vaatimukset oikealle puolelle, jotka olemme nähneet tänään kahdessa eri esimerkissä.

Voit vapaasti ratkaista tällaiset ongelmat ja olla erityisen varovainen, jos väitteessä on juuret.

Logaritmiset yhtälöt eri kantajilla

Jatkamme logaritmien yhtälöiden tutkimista ja analysoimme vielä kahta melko mielenkiintoista temppua, joilla on muodikasta ratkaista monimutkaisempia rakenteita. Mutta ensin muistetaan, kuinka yksinkertaisimmat tehtävät ratkaistaan:

log a f(x) = b

Tässä merkinnässä a ja b ovat vain numeroita, ja funktiossa f (x) muuttujan x on oltava läsnä, ja vain siellä, eli x:n tulee olla vain argumentissa. Muunnamme tällaiset logaritmiset yhtälöt käyttämällä kanonista muotoa. Tätä varten huomioimme sen

b = log a a b

Ja a b on vain argumentti. Kirjoitetaan tämä lauseke uudelleen seuraavasti:

log a f(x) = log a a b

Juuri tätä yritämme saavuttaa siten, että sekä vasemmalla että oikealla on logaritmi kantaan a. Tässä tapauksessa voimme kuvainnollisesti yliviivata lokin merkit, ja matematiikan näkökulmasta voidaan sanoa, että yksinkertaisesti rinnastamme argumentit:

f(x) = a b

Tuloksena saamme uuden lausekkeen, joka ratkaistaan ​​paljon helpommin. Sovelletaan tätä sääntöä tehtäviimme tänään.

Ensimmäinen malli siis:

Ensinnäkin huomautan, että oikealla on murto-osa, jonka nimittäjä on log. Kun näet tällaisen lausekkeen, kannattaa muistaa logaritmien ihmeellinen ominaisuus:

Käännettynä venäjäksi tämä tarkoittaa, että mikä tahansa logaritmi voidaan esittää kahden logaritmin osamääränä millä tahansa kantaluvulla c. Tietysti 0< с ≠ 1.

Joten: tässä kaavassa on yksi upea erikoistapaus, kun muuttuja c on yhtä suuri kuin muuttuja b. Tässä tapauksessa saamme lomakkeen konstruktion:

Juuri tätä rakennetta havaitsemme yhtälössämme oikealla olevasta merkistä. Korvataan tämä konstruktio log a b:llä, saadaan:

Toisin sanoen olemme vaihtaneet argumentin ja logaritmin kantaa alkuperäiseen tehtävään verrattuna. Sen sijaan meidän piti kääntää murto-osa.

Muistutamme, että mikä tahansa tutkinto voidaan ottaa pois perustasta seuraavan säännön mukaisesti:

Toisin sanoen kerroin k, joka on kanta-aste, otetaan pois käänteisenä murtolukuna. Otetaan se käänteisenä murtolukuna:

Murtolukua ei voi jättää eteen, koska tässä tapauksessa emme pysty esittämään tätä merkintää kanonisena muotona (kanonisessa muodossa ei loppujen lopuksi ole lisätekijää toisen logaritmin edessä). Laitetaan siis murto 1/4 argumenttiin potenssiksi:

Yhdistämme nyt argumentit, joiden perusteet ovat samat (ja meillä on todella samat perusteet), ja kirjoitamme:

x + 5 = 1

x = −4

Siinä kaikki. Saimme vastauksen ensimmäiseen logaritmiseen yhtälöön. Huomio: alkuperäisessä tehtävässä muuttuja x esiintyy vain yhdessä lokissa, ja se on sen argumentissa. Siksi verkkotunnusta ei tarvitse tarkistaa, ja lukumme x = −4 on todellakin vastaus.

Siirrytään nyt toiseen lausekkeeseen:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Tässä on tavallisten logaritmien lisäksi työskenneltävä lg f (x) kanssa. Kuinka ratkaista tällainen yhtälö? Valmistautumattomasta opiskelijasta saattaa tuntua, että tämä on jonkinlainen tina, mutta itse asiassa kaikki on ratkaistu alkeellisesti.

Katso tarkkaan termiä lg 2 log 2 7. Mitä voimme sanoa siitä? Log:n ja lg:n perusteet ja argumentit ovat samat, ja tämän pitäisi antaa joitakin vihjeitä. Muistetaan vielä kerran, kuinka asteet otetaan pois logaritmin merkin alta:

log a b n = nlog a b

Toisin sanoen, mikä oli luvun b teho argumentissa, tulee tekijäksi itse login edessä. Sovelletaan tätä kaavaa lausekkeeseen lg 2 log 2 7. Älä pelkää lg 2 -lauseketta - tämä on yleisin lauseke. Voit kirjoittaa sen uudelleen näin:

Hänelle kaikki säännöt, jotka koskevat mitä tahansa muuta logaritmia, ovat voimassa. Erityisesti edessä oleva tekijä voidaan lisätä argumentin voimaan. Kirjoitetaan:

Hyvin usein opiskelijat eivät näe tätä toimintoa, koska ei ole hyvä syöttää lokia toisen merkin alle. Itse asiassa tässä ei ole mitään rikollista. Lisäksi saamme kaavan, joka on helppo laskea, jos muistat tärkeän säännön:

Tätä kaavaa voidaan pitää sekä määritelmänä että yhtenä sen ominaisuutena. Joka tapauksessa, jos muunnat logaritmisen yhtälön, sinun pitäisi tietää tämä kaava samalla tavalla kuin minkä tahansa luvun esitys log-muodossa.

Palaamme tehtäväämme. Kirjoitamme sen uudelleen ottaen huomioon, että ensimmäinen termi yhtäläisyysmerkin oikealla puolella on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin lg 7. Meillä on:

lg 56 = lg 7 – 3 lg (x + 4)

Siirretään lg 7 vasemmalle, saamme:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Vähennämme vasemmalla olevat lausekkeet, koska niillä on sama kanta:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Katsotaanpa nyt lähemmin yhtälöä, joka meillä on. Se on käytännössä kanoninen muoto, mutta oikealla on tekijä −3. Laitetaan se oikeaan lg-argumenttiin:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Edessämme on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten ylitämme lg:n merkit ja rinnastamme argumentit:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Siinä kaikki! Olemme ratkaisseet toisen logaritmisen yhtälön. Tässä tapauksessa lisätarkistuksia ei tarvita, koska alkuperäisessä tehtävässä x esiintyi vain yhdessä argumentissa.

Kerrataan tämän oppitunnin keskeiset kohdat.

Pääkaava, jota tutkitaan kaikilla tämän sivun logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen omistetuilla tunneilla, on kanoninen muoto. Äläkä lannistaudu siitä, että useimmat koulun oppikirjat opettavat sinua ratkaisemaan tällaiset ongelmat eri tavalla. Tämä työkalu toimii erittäin tehokkaasti ja antaa sinun ratkaista paljon laajemman luokan ongelmia kuin yksinkertaisimmat, joita opimme oppitunnin alussa.

Lisäksi logaritmisen yhtälön ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää perusominaisuudet. Nimittäin:

1. Yhteen tukikohtaan siirtymisen kaava ja erikoistapaus, kun käännämme lokia (tämä oli erittäin hyödyllinen meille ensimmäisessä tehtävässä);
2. Kaava tehojen tuomiseksi ja poistamiseksi logaritmin merkin alta. Täällä monet opiskelijat jäävät jumiin eivätkä näe tyhjänä, että otettu ja tuotu teho voi itsessään sisältää log f (x). Ei siinä mitään vikaa. Voimme esitellä yhden tukin toisen etumerkin mukaan ja samalla yksinkertaistaa merkittävästi ongelman ratkaisua, mitä havaitsemme toisessa tapauksessa.

Lopuksi haluan lisätä, että laajuutta ei ole tarpeen tarkistaa kaikissa näissä tapauksissa, koska muuttuja x on kaikkialla vain yhdessä login merkissä ja on samalla sen argumentissa. Tämän seurauksena kaikki verkkotunnuksen vaatimukset täyttyvät automaattisesti.

Ongelmia muuttuvan pohjan kanssa

Tänään tarkastelemme logaritmisia yhtälöitä, jotka monille opiskelijoille näyttävät epästandardilta, elleivät täysin ratkaisemattomilta. Puhumme lausekkeista, jotka eivät perustu lukuihin, vaan muuttujiin ja jopa funktioihin. Ratkaisemme tällaiset rakenteet standarditekniikallamme, nimittäin kanonisen muodon kautta.

Aluksi muistetaan, kuinka yksinkertaisimmat ongelmat ratkaistaan, jotka perustuvat tavallisiin numeroihin. Joten yksinkertaisinta rakennetta kutsutaan

log a f(x) = b

Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi voimme käyttää seuraavaa kaavaa:

b = log a a b

Kirjoitamme alkuperäisen lausekkeen uudelleen ja saamme:

log a f(x) = log a a b

Sitten rinnastamme argumentit, eli kirjoitamme:

f(x) = a b

Näin pääsemme eroon lokimerkistä ja ratkaisemme tavallisen ongelman. Tässä tapauksessa ratkaisussa saadut juuret ovat alkuperäisen logaritmisen yhtälön juuria. Lisäksi tietuetta, jossa sekä vasen että oikea ovat samalla logaritmilla ja samalla kantalla, kutsutaan kanoniseksi muodoksi. Tämän tietueen mukaan yritämme vähentää tämän päivän rakentamista. Mennään siis.

Ensimmäinen tehtävä:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Korvaa 1 logilla x − 2 (x − 2) 1 . Argumentissa havaitsemamme aste on itse asiassa luku b , joka oli yhtäläisyysmerkin oikealla puolella. Joten kirjoitetaan ilmaisumme uudelleen. Saamme:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Mitä me näemme? Edessämme on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten voimme turvallisesti rinnastaa argumentit. Saamme:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Mutta ratkaisu ei lopu tähän, koska tämä yhtälö ei vastaa alkuperäistä yhtälöä. Loppujen lopuksi tuloksena oleva konstruktio koostuu funktioista, jotka on määritelty koko lukuviivalla, eikä alkuperäisiä logaritmejamme ole määritelty kaikkialla eikä aina.

Siksi meidän on kirjoitettava määritelmäalue erikseen. Älä ole viisaampi ja kirjoita ensin kaikki vaatimukset:

Ensinnäkin jokaisen logaritmin argumentin on oltava suurempi kuin 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Toiseksi perusarvon ei saa olla vain suurempi kuin 0, vaan myös eri kuin 1:

x − 2 ≠ 1

Tuloksena saamme järjestelmän:

Mutta älä huolestu: logaritmisia yhtälöitä käsiteltäessä tällaista järjestelmää voidaan yksinkertaistaa huomattavasti.

Päättele itse: toisaalta vaaditaan, että toisen asteen funktio on suurempi kuin nolla, ja toisaalta tämä toisen asteen funktio rinnastetaan johonkin lineaariseen lausekkeeseen, joka myös edellyttää, että se on suurempi kuin nolla.

Tässä tapauksessa, jos edellytetään, että x − 2 > 0, niin vaatimus 2x 2 − 13x + 18 > 0 täyttyy automaattisesti, joten voidaan turvallisesti yliviivata neliöfunktion sisältävä epäyhtälö. Siten järjestelmämme sisältämien lausekkeiden määrä vähenee kolmeen.

Tietysti voisimme yhtä hyvin yliviivata lineaarisen epäyhtälön, eli yliviivata x - 2 > 0 ja vaatia, että 2x 2 - 13x + 18 > 0. Mutta täytyy myöntää, että yksinkertaisimman lineaarisen epäyhtälön ratkaiseminen on paljon nopeampaa ja helpompaa, kuin neliöllinen, vaikka koko tämän järjestelmän ratkaisemisen tuloksena saamme samat juuret.

Yleensä yritä optimoida laskelmat aina kun mahdollista. Ja logaritmisten yhtälöiden tapauksessa vaikeimmat epäyhtälöt on yliviivattu.

Kirjoitetaan järjestelmämme uudelleen:

Tässä on tällainen kolmen lausekkeen järjestelmä, joista kaksi olemme itse asiassa jo keksineet. Kirjoitetaan erikseen toisen asteen yhtälö ja ratkaistaan ​​se:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Edessämme on pelkistetty neliötrinomi, ja siksi voimme käyttää Vieta-kaavoja. Saamme:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Palataksemme nyt järjestelmäämme, huomaamme, että x = 2 ei sovi meille, koska meiltä vaaditaan x:n olevan ehdottomasti suurempi kuin 2.

Mutta x \u003d 5 sopii meille melko hyvin: luku 5 on suurempi kuin 2, ja samalla 5 ei ole yhtä suuri kuin 3. Siksi tämän järjestelmän ainoa ratkaisu on x \u003d 5.

Kaikki, tehtävä on ratkaistu, mukaan lukien ODZ: n huomioon ottaminen. Siirrytään toiseen yhtälöön. Täällä odotellaan mielenkiintoisempia ja mielekkäämpiä laskelmia:

Ensimmäinen askel: viime kerralla tuomme kaiken tämän liiketoiminnan kanoniseen muotoon. Tätä varten voimme kirjoittaa numeron 9 seuraavasti:

Perusta, jossa on juuri, ei voi koskettaa, mutta argumentti on parempi muuttaa. Siirrytään juuresta potenssiin rationaalisen eksponentin avulla. Kirjoitetaan:

En kirjoita uudelleen koko suurta logaritmista yhtälöämme, vaan yhdyn välittömästi argumentit:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Ennen meitä on jälleen pelkistetty neliötrinomi, käytämme Vieta-kaavoja ja kirjoitamme:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Joten, saimme juuret, mutta kukaan ei takaanut meille, että ne sopivat alkuperäiseen logaritmiseen yhtälöön. Loppujen lopuksi hirsikyltit asettavat lisärajoituksia (tässä meidän pitäisi kirjoittaa järjestelmä muistiin, mutta koko rakenteen vaivalloisuuden vuoksi päätin laskea määritelmäalueen erikseen).

Ensinnäkin, muista, että argumenttien on oltava suurempia kuin 0, nimittäin:

Nämä ovat määritelmäalueen asettamia vaatimuksia.

Huomaamme heti, että koska rinnastamme järjestelmän kaksi ensimmäistä lauseketta toisiinsa, voimme ylittää minkä tahansa niistä. Yliviivataan ensimmäinen, koska se näyttää uhkaavammalta kuin toinen.

Huomaa lisäksi, että toisen ja kolmannen epäyhtälön ratkaisut ovat samoja joukkoja (jonkin luvun kuutio on suurempi kuin nolla, jos tämä luku itse on suurempi kuin nolla; samoin kolmannen asteen juuren kanssa - nämä epäyhtälöt ovat täysin samankaltaisia, joten voimme ylittää yhden niistä).

Mutta kolmannella epätasa-arvolla tämä ei toimi. Päästään eroon vasemmalla olevasta radikaalin merkistä, jota varten nostamme molemmat osat kuutioksi. Saamme:

Joten saamme seuraavat vaatimukset:

−2 ≠ x > −3

Mikä juuristamme: x 1 = -3 vai x 2 = -1 täyttää nämä vaatimukset? Ilmeisesti vain x = −1, koska x = −3 ei täytä ensimmäistä epäyhtälöä (koska epäyhtälömme on tiukka). Kaiken kaikkiaan palataksemme ongelmaamme, saadaan yksi juuri: x = −1. Siinä se, ongelma ratkaistu.

Jälleen kerran tämän tehtävän pääkohdat:

1. Voit vapaasti soveltaa ja ratkaista logaritmisia yhtälöitä käyttämällä kanonista muotoa. Opiskelijat, jotka tekevät tällaisen tietueen, eivätkä siirry suoraan alkuperäisestä ongelmasta rakenteeseen, kuten log a f ( x ) = b , tekevät paljon vähemmän virheitä kuin ne, joilla on kiire jonnekin ohittaen laskennan välivaiheet;
2. Heti kun muuttujakanta ilmestyy logaritmiin, ongelma lakkaa olemasta yksinkertaisin. Siksi sitä ratkaistaessa on otettava huomioon määritelmäalue: argumenttien on oltava suurempia kuin nolla, ja kannat eivät saa olla vain suurempia kuin 0, vaan ne eivät myöskään saa olla yhtä suuria kuin 1.

Voit asettaa viimeiset vaatimukset lopullisille vastauksille eri tavoin. On esimerkiksi mahdollista ratkaista koko järjestelmä, joka sisältää kaikki verkkotunnuksen vaatimukset. Toisaalta voit ensin ratkaista itse ongelman ja sitten muistaa määritelmäalueen, työstää sen erikseen järjestelmän muodossa ja soveltaa sitä saatuihin juuriin.

Mikä tapa valita tietyn logaritmisen yhtälön ratkaisemiseksi, on sinun. Joka tapauksessa vastaus on sama.

Tarkastellaanpa eräitä logaritmisyhtälöiden tyyppejä, joita ei niin usein oteta huomioon koulun matematiikan tunneilla, mutta joita käytetään laajalti kilpailutehtävien valmistelussa, mukaan lukien KÄYTTÖ.

1. Yhtälöt ratkaistu logaritmimenetelmällä

Ratkaistaessa yhtälöitä, jotka sisältävät muuttujan sekä kanta- että eksponenttiosassa, käytetään logaritmimenetelmää. Jos eksponentti sisältää lisäksi logaritmin, yhtälön molemmat puolet on logaritmisoitava tämän logaritmin kantaan.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö: x log 2 x + 2 = 8.

Ratkaisu.

Otetaan yhtälön vasemman ja oikean puolen logaritmi kannassa 2. Saamme

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Olkoon log 2 x = t.

Sitten (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t - 3 = 0.

D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.

Joten log 2 x \u003d 1 ja x 1 \u003d 2 tai log 2 x \u003d -3 ja x 2 \u003d 1/8

Vastaus: 1/8; 2.

2. Homogeeniset logaritmiset yhtälöt.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

Ratkaisu.

Yhtälöalue

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 x = -4. Tarkistamalla päätämme, että annettu x:n arvo ei ole on alkuperäisen yhtälön juuri. Siksi voimme jakaa yhtälön molemmat puolet log 2 3:lla (x + 5).

Saamme log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Olkoon log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Silloin t 2 - 3 t + 2 = 0. Tämän yhtälön juuret ovat 1; 2. Palaten alkuperäiseen muuttujaan, saamme kahden yhtälön joukon

Mutta ottaen huomioon logaritmin olemassaolon, vain arvot (0; 9] tulee ottaa huomioon. Tämä tarkoittaa, että vasemmalla oleva lauseke saa suurimman arvon 2 kohdassa x \u003d 1. Harkitse nyt funktio y \u003d 2 x-1 + 2 1-x. Jos otamme t \u003d 2 x -1, niin se saa muotoa y = t + 1/t, missä t > 0. Näissä olosuhteissa se sillä on yksi kriittinen piste t = 1. Tämä on minimipiste. Y vin = 2. Ja se saavutetaan kohdassa x = 1.

Nyt on ilmeistä, että tarkasteltujen funktioiden kuvaajat voivat leikata vain kerran pisteessä (1; 2). Osoittautuu, että x \u003d 1 on ratkaistavan yhtälön ainoa juuri.

Vastaus: x = 1.

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

Ratkaisu.

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö log 2 x:lle. Olkoon log 2 x = t. Sitten t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.

D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.

Saamme yhtälön log 2 x \u003d -2 tai log 2 x \u003d 3 - x.

Ensimmäisen yhtälön juuri on x 1 = 1/4.

Yhtälön juuri log 2 x \u003d 3 - x löytyy valinnalla. Tämä luku on 2. Tämä juuri on ainutlaatuinen, koska funktio y \u003d log 2 x kasvaa koko määritelmäalueen yli ja funktio y \u003d 3 - x pienenee.

Tarkistamalla on helppo varmistaa, että molemmat luvut ovat yhtälön juuria

Vastaus: 1/4; 2.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Kuten tiedät, kun lausekkeita kerrotaan potenssien kanssa, niiden eksponentit laskevat aina yhteen (a b * a c = a b + c). Tämän matemaattisen lain johti Arkhimedes, ja myöhemmin, 800-luvulla, matemaatikko Virasen loi taulukon kokonaislukuindikaattoreista. Juuri he palvelivat logaritmien edelleen löytämistä. Esimerkkejä tämän funktion käytöstä löytyy melkein kaikkialta, missä vaaditaan yksinkertaista monimutkainen kertolasku yksinkertaiseen yhteenlaskuun. Jos käytät 10 minuuttia tämän artikkelin lukemiseen, selitämme sinulle, mitä logaritmit ovat ja miten niitä käytetään. Yksinkertainen ja helppokäyttöinen kieli.

Määritelmä matematiikassa

Logaritmi on seuraavan muodon lauseke: log a b=c, eli minkä tahansa ei-negatiivisen luvun (eli minkä tahansa positiivisen) logaritmi "b" kantansa "a" mukaan katsotaan "c":n potenssiksi. ", johon on tarpeen nostaa kantaa "a", jotta lopulta saadaan arvo "b". Analysoidaan logaritmia esimerkein, oletetaan, että on lauseke log 2 8. Miten löytää vastaus? Se on hyvin yksinkertaista, sinun täytyy löytää sellainen tutkinto, että 2:sta vaadittuun tutkintoon saat 8. Kun olet tehnyt joitain laskelmia mielessäsi, saamme luvun 3! Ja aivan oikein, koska 2 potenssilla 3 antaa vastauksessa luvun 8.

Logaritmien lajikkeet

Monille oppilaille ja opiskelijoille tämä aihe näyttää monimutkaiselta ja käsittämättömältä, mutta itse asiassa logaritmit eivät ole niin pelottavia, tärkeintä on ymmärtää niiden yleinen merkitys ja muistaa niiden ominaisuudet ja jotkut säännöt. On olemassa kolmenlaisia ​​logaritmisia lausekkeita:

1. Luonnollinen logaritmi ln a, jossa kanta on Eulerin luku (e = 2,7).
2. Desimaali a, jossa kantaluku on 10.
3. Minkä tahansa luvun b logaritmi kantaan a>1.

Jokainen niistä ratkaistaan ​​tavallisella tavalla, mukaan lukien yksinkertaistaminen, pelkistys ja myöhempi pelkistys yhdeksi logaritmiksi logaritmisilla teoreemoilla. Oikeiden logaritmien arvojen saamiseksi tulee muistaa niiden ominaisuudet ja toimintojen järjestys päätöksissä.

Säännöt ja joitain rajoituksia

Matematiikassa on useita sääntöjä-rajoituksia, jotka hyväksytään aksioomina, eli niistä ei keskustella ja ne ovat totta. Esimerkiksi lukuja on mahdotonta jakaa nollalla, ja on myös mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria negatiivisista luvuista. Logaritmeilla on myös omat sääntönsä, joita noudattamalla opit helposti toimimaan myös pitkien ja tilavien logaritmien lausekkeiden kanssa:

• kanta "a" on aina suurempi kuin nolla, eikä samalla oltava yhtä suuri kuin 1, muuten lauseke menettää merkityksensä, koska "1" ja "0" missä tahansa määrin ovat aina yhtä suuria kuin niiden arvot;
• jos a > 0, niin a b > 0, käy ilmi, että "c":n on oltava suurempi kuin nolla.

Kuinka ratkaista logaritmit?

Esimerkiksi tehtävänä annettiin löytää vastaus yhtälöön 10 x \u003d 100. Se on erittäin helppoa, sinun on valittava tällainen teho, nostamalla numeroa kymmenen, johon saamme 100. Tämä on tietysti 10 2 \u003d 100.

Esitetään nyt tämä lauseke logaritmisena. Saamme log 10 100 = 2. Logaritmeja ratkottaessa kaikki toiminnot käytännöllisesti katsoen konvergoivat sen selvittämiseen, missä määrin logaritmin kanta on syötettävä tietyn luvun saamiseksi.

Jotta voit määrittää tuntemattoman asteen arvon tarkasti, sinun on opittava työskentelemään astetaulukon kanssa. Se näyttää tältä:

Kuten näet, jotkin eksponentit voidaan arvata intuitiivisesti, jos sinulla on tekninen ajattelutapa ja tietoa kertotaulukosta. Suuremmat arvot vaativat kuitenkin tehotaulukon. Sitä voivat käyttää myös ne, jotka eivät ymmärrä yhtään mitään monimutkaisista matemaattisista aiheista. Vasemmassa sarakkeessa on numeroita (kanta a), ylimmällä numerorivillä on potenssin c arvo, johon luku a korotetaan. Solujen leikkauskohdassa määritetään numeroiden arvot, jotka ovat vastaus (a c =b). Otetaan esimerkiksi aivan ensimmäinen solu numerolla 10 ja neliötetään se, saamme arvon 100, joka on merkitty kahden solumme leikkauspisteeseen. Kaikki on niin yksinkertaista ja helppoa, että jopa todellisin humanisti ymmärtää!

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Osoittautuu, että tietyissä olosuhteissa eksponentti on logaritmi. Siksi mitkä tahansa matemaattiset numeeriset lausekkeet voidaan kirjoittaa logaritmisiksi yhtälöiksi. Esimerkiksi 3 4 =81 voidaan kirjoittaa logaritmina 81 kantaan 3, joka on neljä (log 3 81 = 4). Negatiivisten potenssien osalta säännöt ovat samat: 2 -5 = 1/32 kirjoitetaan logaritmina, saadaan log 2 (1/32) = -5. Yksi kiehtovimmista matematiikan osista on "logaritmien" aihe. Käsittelemme yhtälöiden esimerkkejä ja ratkaisuja hieman alempana heti niiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen. Katsotaanpa nyt, miltä epäyhtälöt näyttävät ja miten ne voidaan erottaa yhtälöistä.

Esitetään seuraavan muotoinen lauseke: log 2 (x-1) > 3 - se on logaritminen epäyhtälö, koska tuntematon arvo "x" on logaritmin merkin alla. Ja myös lausekkeessa verrataan kahta suuruutta: halutun luvun logaritmi kakkoskahdessa on suurempi kuin luku kolme.

Tärkein ero logaritmien yhtälöiden ja epäyhtälöiden välillä on se, että yhtälöt, joissa on logaritmi (esim. logaritmi 2 x = √9) sisältävät yhden tai useamman tietyn numeerisen arvon vastauksessa, kun taas epäyhtälöä ratkaistaessa molemmat hyväksyttävät arvot ja pisteet, jotka rikkovat tämän toiminnon. Tämän seurauksena vastaus ei ole yksinkertainen joukko yksittäisiä lukuja, kuten yhtälön vastauksessa, vaan jatkuva numerosarja tai joukko.

Peruslauseita logaritmeista

Ratkaistaessa primitiivisiä tehtäviä logaritmin arvojen löytämiseksi, sen ominaisuuksia ei ehkä tunneta. Logaritmisista yhtälöistä tai epäyhtälöistä tulee kuitenkin ensinnäkin ymmärtää ja soveltaa käytännössä kaikki logaritmien perusominaisuudet. Tutustumme yhtälöesimerkkeihin myöhemmin, analysoidaan ensin jokaista ominaisuutta yksityiskohtaisemmin.

1. Perusidentiteetti näyttää tältä: a logaB =B. Sitä sovelletaan vain, jos a on suurempi kuin 0, ei yhtä kuin yksi ja B on suurempi kuin nolla.
2. Tuloksen logaritmi voidaan esittää seuraavalla kaavalla: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Tässä tapauksessa edellytyksenä on: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Voit todistaa tämän logaritmien kaavan esimerkeillä ja ratkaisulla. Olkoon log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, sitten a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saadaan, että s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (asteominaisuudet ), ja edelleen määritelmän mukaan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mikä oli todistettava.
3. Osamäärän logaritmi näyttää tältä: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Kaavan muodossa oleva lause saa seuraavan muodon: log a q b n = n/q log a b.

Tätä kaavaa kutsutaan "logaritmin asteen ominaisuudeksi". Se muistuttaa tavallisten asteiden ominaisuuksia, eikä se ole yllättävää, koska kaikki matematiikka perustuu säännöllisiin postulaatteihin. Katsotaanpa todistetta.

Kirjataan a b \u003d t, niin käy ilmi a t \u003d b. Jos nostat molemmat osat potenssiin m: a tn = b n ;

mutta koska a tn = (a q) nt/q = b n , joten log a q b n = (n*t)/t, niin log a q b n = n/q log a b. Lause on todistettu.

Esimerkkejä ongelmista ja eriarvoisuudesta

Yleisimmät logaritmiongelmien tyypit ovat esimerkkejä yhtälöistä ja epäyhtälöistä. Ne löytyvät lähes kaikista ongelmakirjoista, ja ne sisältyvät myös matematiikan kokeiden pakolliseen osaan. Jos haluat päästä yliopistoon tai läpäistä matematiikan pääsykokeita, sinun on tiedettävä, kuinka ratkaista tällaiset tehtävät oikein.

Valitettavasti logaritmin tuntemattoman arvon ratkaisemiseksi ja määrittämiseksi ei ole olemassa yhtä suunnitelmaa tai suunnitelmaa, mutta jokaiseen matemaattiseen epäyhtälöön tai logaritmiseen yhtälöön voidaan soveltaa tiettyjä sääntöjä. Ensinnäkin sinun tulee selvittää, voidaanko lauseke yksinkertaistaa tai pelkistää yleiseen muotoon. Voit yksinkertaistaa pitkiä logaritmisia lausekkeita, jos käytät niiden ominaisuuksia oikein. Tutustutaan heihin pian.

Logaritmisia yhtälöitä ratkaistaessa on määritettävä, millainen logaritmi meillä on edessämme: lausekkeen esimerkki voi sisältää luonnollisen logaritmin tai desimaaliluvun.

Tässä on esimerkkejä ln100, ln1026. Heidän ratkaisunsa tiivistyy siihen tosiasiaan, että sinun on määritettävä, missä määrin kanta 10 on yhtä suuri kuin 100 ja 1026. Luonnollisten logaritmien ratkaisuissa on käytettävä logaritmisia identiteettejä tai niiden ominaisuuksia. Katsotaanpa esimerkkejä erityyppisten logaritmien ongelmien ratkaisemisesta.

Logaritmikaavojen käyttäminen: Esimerkkejä ja ratkaisuja

Katsotaanpa siis esimerkkejä logaritmien päälauseiden käytöstä.

1. Tuloksen logaritmin ominaisuutta voidaan käyttää tehtävissä, joissa on tarpeen jakaa suuri luvun b arvo yksinkertaisemmiksi tekijöiksi. Esimerkiksi log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastaus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kuten näette, logaritmin asteen neljättä ominaisuutta käyttämällä onnistuimme ratkaisemaan ensi silmäyksellä monimutkaisen ja ratkaisemattoman lausekkeen. On tarpeen vain kertoa kanta ja ottaa sitten eksponenttiarvot pois logaritmin etumerkistä.

Tehtävät kokeesta

Logaritmeja löytyy usein pääsykokeista, erityisesti paljon logaritmisongelmia Unified State Examissa (valtiokoe kaikille valmistuneille). Yleensä nämä tehtävät eivät ole vain osassa A (kokeen helpoin testiosa), vaan myös osassa C (vaikeimmat ja laajimmat tehtävät). Tentti edellyttää tarkkaa ja täydellistä tietoa aiheesta "Luonnolliset logaritmit".

Esimerkit ja ongelmanratkaisut on otettu kokeen virallisista versioista. Katsotaan kuinka tällaiset tehtävät ratkaistaan.

Annettu log 2 (2x-1) = 4. Ratkaisu:
kirjoitetaan lauseke uudelleen yksinkertaistaen sitä hieman log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmin määritelmällä saadaan, että 2x-1 = 2 4 , siis 2x = 17; x = 8,5.

• Kaikki logaritmit on parasta pelkistää samaan kantaan, jotta ratkaisu ei ole hankala ja hämmentävä.
• Kaikki logaritmin etumerkin alla olevat lausekkeet on merkitty positiivisiksi, joten kun otetaan pois lausekkeen eksponentti, joka on logaritmin merkin alla ja sen kantana, logaritmin alle jäävän lausekkeen tulee olla positiivinen.