Laitteet:

• tietokone,
• multimediaprojektori,
• näyttö,
• Liite 1(PowerPoint-diaesitys) "Menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi"
• Liite 2(Yhtälön, kuten "Kolme erilaista voiman kantaa" ratkaiseminen Wordissa)
• Liite 3(Word-monisteet käytännön työhön).
• Liite 4(Word-moniste läksyjä varten).

Tuntien aikana

• oppitunnin aiheen viesti (kirjoitettu taululle),
• yleisen oppitunnin tarve luokilla 10-11:

Opiskelijoiden aktiiviseen oppimiseen valmistautumisvaihe

Kertaus

Määritelmä.

Eksponenttiyhtälö on yhtälö, joka sisältää muuttujan eksponentin kanssa (opiskelija vastaa).

Opettajan huomautus. Eksponentiaaliyhtälöt kuuluvat transsendenttisten yhtälöiden luokkaan. Tämä lausumaton nimi viittaa siihen, että tällaisia ​​yhtälöitä ei yleisesti ottaen voida ratkaista kaavojen muodossa.

Ne voidaan ratkaista vain suunnilleen numeerisilla menetelmillä tietokoneissa. Mutta entä koetehtävät? Temppu on, että tutkija kehystää ongelman siten, että se mahdollistaa analyyttisen ratkaisun. Toisin sanoen voit (ja pitäisi!) suorittaa identtisiä muunnoksia, jotka vähentävät tämän eksponentiaaliyhtälön yksinkertaisimmaksi eksponentiaaliseksi yhtälöksi. Tätä yksinkertaisinta yhtälöä kutsutaan: yksinkertaisin eksponentiaalinen yhtälö. Se on ratkaistu logaritmin mukaan.

Tilanne eksponentiaaliyhtälön ratkaisemisessa muistuttaa matkaa labyrintin läpi, jonka ongelman tekijä on erityisesti keksinyt. Näistä hyvin yleisistä väitteistä seuraa hyvin erityisiä suosituksia.

1. Sen lisäksi, että tiedät aktiivisesti kaikki eksponentiaaliset identiteetit, vaan myös etsit muuttujaarvojoukot, joille nämä identiteetit on määritelty, jotta et saa tarpeettomia juuria käyttäessäsi näitä identiteettejä ja varsinkin et menetä ratkaisuja yhtälöön.

2. Tunne aktiivisesti kaikki eksponentiaaliset identiteetit.

3. Selvästi, yksityiskohtaisesti ja ilman virheitä, suorita yhtälöiden matemaattiset muunnokset (siirrä termit yhtälön yhdestä osasta toiseen, unohtamatta muuttaa etumerkkiä, tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään jne.). Tätä kutsutaan matemaattiseksi kulttuuriksi. Samanaikaisesti itse laskelmat tulisi tehdä automaattisesti käsin ja pään tulisi ajatella ratkaisun yleistä ohjauslankaa. Muutokset tulee tehdä mahdollisimman huolellisesti ja yksityiskohtaisesti. Vain tämä takaa oikean ja virheettömän päätöksen. Ja muista: pieni aritmeettinen virhe voi yksinkertaisesti luoda transsendenttisen yhtälön, jota ei periaatteessa voida ratkaista analyyttisesti. Osoittautuu, että olet eksynyt tiesi ja osunut labyrintin seinään.

4. Tunne menetelmät ongelmien ratkaisemiseksi (eli tiedä kaikki polut ratkaisusokkelon läpi). Jotta voit navigoida oikein kussakin vaiheessa, sinun on (tietoisesti tai intuitiivisesti!):

• määritellä yhtälön tyyppi;
• muista vastaava tyyppi ratkaisumenetelmä tehtäviä.

Tutkittavan materiaalin yleistämisen ja systematisoinnin vaihe.

Opettaja tekee yhdessä opiskelijoiden kanssa tietokoneen avulla katsauksen kaikentyyppisistä eksponentiaaliyhtälöistä ja niiden ratkaisumenetelmistä sekä laatii yleiskaavion. (Käytetään L.Ya. Borevskyn opetustietokoneohjelmaa "Mathematics Course – 2000", PowerPoint-esityksen kirjoittaja on T.N. Kuptsova.)

Riisi. 1. Kuvassa on yleinen kaavio kaikentyyppisistä eksponenttiyhtälöistä.

Kuten tästä kaaviosta voidaan nähdä, strategia eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on pelkistää annettu eksponentiaaliyhtälö yhtälöön, ensinnäkin, samoilla asteen perusteilla , ja sitten – ja samoilla asteindikaattoreilla.

Saatuaan yhtälön, jossa on samat kanta- ja eksponentit, korvaat tämän eksponentin uudella muuttujalla ja saat yksinkertaisen algebrallisen yhtälön (yleensä murto-rationaalisen tai toisen muuttujan) suhteessa tähän uuteen muuttujaan.

Kun olet ratkaissut tämän yhtälön ja tehnyt käänteisen substituution, saat joukon yksinkertaisia ​​eksponentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista yleisessä muodossa logaritmeilla.

Yhtälöt, joissa vain (osittais)potenssien tulot löytyvät, erottuvat. Eksponentiaalisten identiteettien avulla on mahdollista pelkistää nämä yhtälöt välittömästi yhteen kantaan, erityisesti yksinkertaisimpaan eksponentiaaliyhtälöön.

Katsotaanpa kuinka ratkaista eksponentiaalinen yhtälö kolmella eri kantalla.

(Jos opettajalla on L. Ya. Borevskyn opetustietokoneohjelma "Matematiikan kurssi - 2000", niin luonnollisesti työskentelemme levyn kanssa, jos ei, voit tulostaa tämän tyyppisen yhtälön jokaiselle työpöydälle, esitetään alla.)

Riisi. 2. Suunnitelma yhtälön ratkaisemiseksi.

Riisi. 3. Aloita yhtälön ratkaiseminen

Riisi. 4. Viimeistele yhtälön ratkaiseminen.

Tekee käytännön töitä

Määritä yhtälön tyyppi ja ratkaise se.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Yhteenveto oppitunnista

Arvosana oppitunnille.

Oppitunnin loppu

Opettajan puolesta

Harjoittele vastauskaaviota.

Harjoittele: Valitse yhtälöluettelosta määritetyn tyyppiset yhtälöt (kirjoita vastauksen numero taulukkoon):

1. Kolme eri tutkintopohjaa
2. Kaksi erilaista kantaa - eri eksponentit
3. Tehtyjen perusteet - yhden luvun potenssit
4. Samat perusteet – eri eksponentit
5. Samat asteiden perusteet - samat asteen indikaattorit
6. Voimien tuote
7. Kaksi eri tutkinnon perustetta - samat indikaattorit
8. Yksinkertaisimmat eksponentiaaliyhtälöt

1. (voimien tuote)

2. (samat kantakohdat - eri eksponentit)

Luento: "Menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi."

1 . Eksponentiaaliyhtälöt.

Yhtälöitä, jotka sisältävät tuntemattomia eksponenteissa, kutsutaan eksponenttiyhtälöiksi. Yksinkertaisin niistä on yhtälö ax = b, jossa a > 0, a ≠ 1.

1) kohdassa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Kun b > 0, yhtälöllä on ainutlaatuinen juuri, kun käytetään funktion monotonisuutta ja juurilausetta. Sen löytämiseksi b on esitettävä muodossa b = aс, аx = bс ó x = c tai x = logab.

Algebrallisten muunnosten eksponentiaaliyhtälöt johtavat standardiyhtälöihin, jotka ratkaistaan ​​seuraavilla menetelmillä:

1) pelkistysmenetelmä yhteen emäkseen;

2) arviointimenetelmä;

3) graafinen menetelmä;

4) uusien muuttujien käyttöönoton menetelmä;

5) faktorointimenetelmä;

6) eksponentiaalinen – tehoyhtälöt;

7) demonstratiivinen parametrin kanssa.

2 . Yhden emäksen vähentämismenetelmä.

Menetelmä perustuu seuraavaan asteiden ominaisuuteen: jos kaksi astetta ovat yhtä suuret ja niiden kantakannat ovat yhtä suuret, niin niiden eksponentit ovat yhtä suuret, eli yhtälö on yritettävä pelkistää muotoon

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälö:

1 . 3x = 81;

Esitetään yhtälön oikea puoli muodossa 81 = 34 ja kirjoitetaan yhtälö, joka vastaa alkuperäistä 3 x = 34; x = 4. Vastaus: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">ja siirrytään yhtälöön eksponenteille 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Vastaus: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Huomaa, että luvut 0,2, 0,04, √5 ja 25 edustavat luvun 5 potenssia. Hyödynnetään tämä ja muunnetaan alkuperäinen yhtälö seuraavasti:

, josta 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, josta saadaan ratkaisu x = -1. Vastaus: -1.

5. 3x = 5. Logaritmin määritelmän mukaan x = log35. Vastaus: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, eli.png" width="181" height="49 src="> Tästä syystä x – 4 =0, x = 4. Vastaus: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Tehtyjen ominaisuuksien avulla kirjoitetaan yhtälö muotoon 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 sitten 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, eli x+1 = 2, x =1. Vastaus: 1.

Ongelmapankki nro 1.

Ratkaise yhtälö:

Testi nro 1.

Testi nro 2

3 Arviointimenetelmä.

Juuren lause: jos funktio f(x) kasvaa (pienenee) välissä I, luku a on mikä tahansa f:n tällä välillä saama arvo, niin yhtälöllä f(x) = a on yksi juuri välissä I.

Kun yhtälöitä ratkaistaan ​​estimointimenetelmällä, käytetään tätä lausetta ja funktion monotonisuusominaisuuksia.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöt: 1. 4x = 5 - x.

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon 4x +x = 5.

1. jos x = 1, niin 41+1 = 5, 5 = 5 on tosi, mikä tarkoittaa, että 1 on yhtälön juuri.

Funktio f(x) = 4x – kasvaa R:llä ja g(x) = x – kasvaa R:llä => h(x)= f(x)+g(x) kasvaa R:llä, kasvavien funktioiden summana, silloin x = 1 on yhtälön 4x = 5 – x ainoa juuri. Vastaus: 1.

2.

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon .

1. jos x = -1, niin , 3 = 3 on tosi, mikä tarkoittaa, että x = -1 on yhtälön juuri.

2. todistaa, että hän on ainoa.

3. Funktio f(x) = - pienenee R:llä ja g(x) = - x – pienenee R:llä=> h(x) = f(x)+g(x) – pienenee R:llä, kun funktion summa funktiot vähenevät. Tämä tarkoittaa juurilauseen mukaan, että x = -1 on yhtälön ainoa juuri. Vastaus: -1.

Ongelmapankki nro 2. Ratkaise yhtälö

a) 4x + 1 =6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Menetelmä uusien muuttujien käyttöön ottamiseksi.

Menetelmä kuvataan kohdassa 2.1. Uuden muuttujan käyttöönotto (substituutio) suoritetaan yleensä yhtälön ehtojen muunnosten (yksinkertaistamisen) jälkeen. Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkkejä. R Ratkaise yhtälö: 1. .

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen eri tavalla: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö eri tavalla:

Nimetään https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ei sovellu.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationaalinen yhtälö. Huomaa, että

Yhtälön ratkaisu on x = 2,5 ≤ 4, mikä tarkoittaa, että 2,5 on yhtälön juuri. Vastaus: 2.5.

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon ja jaetaan molemmat puolet luvulla 56x+6 ≠ 0. Saamme yhtälön

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Neliöyhtälön juuret ovat t1 = 1 ja t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Ratkaisu . Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon

ja huomaa, että se on toisen asteen homogeeninen yhtälö.

Jaa yhtälö 42x, saamme

Korvataan https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Vastaus: 0; 0.5.

Ongelmapankki nro 3. Ratkaise yhtälö

b)

G)

Testi nro 3 vastausvaihtoehdoilla. Minimitaso.

Testi nro 4 vastausvaihtoehdoilla. Yleinen taso.

5. Faktorisointimenetelmä.

1. Ratkaise yhtälö: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , mistä

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Ratkaisu. Laitetaan 6x suluista yhtälön vasemmalle puolelle ja 2x oikealle puolelle. Saamme yhtälön 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Koska 2x >0 kaikille x:lle, voimme jakaa tämän yhtälön molemmat puolet 2x:llä ilman pelkoa ratkaisujen menettämisestä. Saamme 3x = 1ó x = 0.

3.

Ratkaisu. Ratkaistaan ​​yhtälö faktorointimenetelmällä.

Valitaan binomiaalin neliö

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 on yhtälön juuri.

Yhtälö x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x = 1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x = 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Testi nro 6 Yleinen taso.

6. Eksponentiaalinen – tehoyhtälöt.

Eksponentiaaliyhtälöiden vieressä ovat ns. eksponentiaali-tehoyhtälöt, eli yhtälöt muotoa (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jos tiedetään, että f(x)>0 ja f(x) ≠ 1, niin yhtälö, kuten eksponentiaalinenkin, ratkaistaan ​​laskemalla eksponentit g(x) = f(x).

Jos ehto ei sulje pois mahdollisuutta f(x)=0 ja f(x)=1, niin nämä tapaukset on otettava huomioon eksponentiaaliyhtälön ratkaisemisessa.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Ratkaisu. x2 +2x-8 – on järkevä mille tahansa x:lle, koska se on polynomi, mikä tarkoittaa, että yhtälö vastaa kokonaisuutta

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponentiaaliyhtälöt ja parametrit.

1. Mille parametrin p arvoille yhtälöllä 4 (5 – 3) 2 +4p2-3p = 0 (1) on ainutlaatuinen ratkaisu?

Ratkaisu. Esitetään korvaus 2x = t, t > 0, jolloin yhtälö (1) saa muotoa t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Yhtälön (2) erottaja D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Yhtälöllä (1) on ainutlaatuinen ratkaisu, jos yhtälöllä (2) on yksi positiivinen juuri. Tämä on mahdollista seuraavissa tapauksissa.

1. Jos D = 0, eli p = 1, yhtälö (2) saa muotoa t2 – 2t + 1 = 0, joten t = 1, joten yhtälöllä (1) on ainutlaatuinen ratkaisu x = 0.

2. Jos p1, niin 9(p – 1)2 > 0, niin yhtälöllä (2) on kaksi eri juuria t1 = p, t2 = 4p – 3. Tehtävän ehdot täyttyvät järjestelmäjoukolla

Korvaamalla t1 ja t2 järjestelmiin, meillä on

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Ratkaisu. Antaa silloin yhtälö (3) saa muotoa t2 – 6t – a = 0. (4)

Etsitään ne parametrin a arvot, joille vähintään yksi yhtälön (4) juuri täyttää ehdon t > 0.

Esitetään funktio f(t) = t2 – 6t – a. Seuraavat tapaukset ovat mahdollisia.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Tapaus 2. Yhtälöllä (4) on ainutlaatuinen positiivinen ratkaisu jos

D = 0, jos a = – 9, yhtälö (4) saa muotoa (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Tapaus 3. Yhtälöllä (4) on kaksi juuria, mutta toinen niistä ei täytä epäyhtälöä t > 0. Tämä on mahdollista, jos

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Siten a 0:lla yhtälöllä (4) on yksi positiivinen juuri . Sitten yhtälöllä (3) on ainutlaatuinen ratkaisu

Kun< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jos< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jos a = – 9, niin x = – 1;

jos a  0, niin

Verrataan yhtälöiden (1) ja (3) ratkaisumenetelmiä. Huomaa, että yhtälöä (1) ratkaistaessa pelkistettiin toisen asteen yhtälöksi, jonka diskriminantti on täydellinen neliö; Näin ollen yhtälön (2) juuret laskettiin välittömästi toisen asteen yhtälön juurten kaavalla ja sitten tehtiin johtopäätökset näistä juurista. Yhtälö (3) on pelkistetty toisen asteen yhtälöksi (4), jonka diskriminantti ei ole täydellinen neliö, joten yhtälöä (3) ratkaistaessa on suositeltavaa käyttää lauseita toisen asteen trinomin juurien sijainnista ja graafinen malli. Huomaa, että yhtälö (4) voidaan ratkaista Vietan lauseella.

Ratkaistaan ​​monimutkaisempia yhtälöitä.

Tehtävä 3: Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. ODZ: x1, x2.

Otetaan käyttöön korvaava. Olkoon 2x = t, t > 0, niin yhtälö tulee muunnosten seurauksena muotoon t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Etsitään a:n arvot, joille on vähintään yksi juuri yhtälö (*) täyttää ehdon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Vastaus: jos a > – 13, a  11, a  5, niin jos a – 13,

a = 11, a = 5, silloin ei ole juuria.

Bibliografia.

1. Guzeev koulutusteknologian perusteet.

2. Guzeev-tekniikka: vastaanotosta filosofiaan.

M. "Koulujohtaja" nro 4, 1996

3. Guzeev ja koulutuksen organisatoriset muodot.

4. Guzeev ja integraalisen koulutusteknologian käytäntö.

M. "Julkinen koulutus", 2001

5. Guzeev oppitunnin muodoista - seminaari.

Matematiikka koulussa nro 2, 1987 s. 9-11.

6. Seleuko koulutusteknologiat.

M. "Julkinen koulutus", 1998

7. Epishevan koululaiset opiskelemaan matematiikkaa.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanova valmistaa oppitunteja - työpajoja.

Matematiikka koulussa nro 6, 1990 s. 37-40.

9. Smirnovin matematiikan opetusmalli.

Matematiikka koulussa nro 1, 1997 s. 32-36.

10. Tarasenko käytännön työn organisointitavat.

Matematiikka koulussa nro 1, 1993 s. 27-28.

11. Tietoja yhdestä yksittäisen työn tyypeistä.

Matematiikka koulussa nro 2, 1994, s. 63-64.

12. Koululaisten Khazankinin luovat kyvyt.

Matematiikka koulussa nro 2, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Kustantaja, 1997

14. ja muut Algebra ja analyysin alku. Didaktiset materiaalit

15. Krivonogovin tehtävät matematiikassa.

M. "Syyskuun ensimmäinen", 2002

16. Tšerkasov. Käsikirja lukiolaisille ja

yliopistoihin tuloa. "AS T - lehdistökoulu", 2002

17. Zhevnyak yliopistoihin tuleville.

Minsk ja Venäjän federaatio "katsaus", 1996

18. Kirjallinen D. Valmistaudumme matematiikan tenttiin. M. Rolf, 1999

19. jne. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisen oppiminen.

M. "Äly - keskus", 2003

20. jne. Koulutus- ja koulutusmateriaalit EGE:hen valmistautumiseen.

M. "Intelligence - Center", 2003 ja 2004.

21 ja muut CMM-vaihtoehdot. Venäjän federaation puolustusministeriön testauskeskus, 2002, 2003.

22. Goldbergin yhtälöt. "Kvantti" nro 3, 1971

23. Volovich M. Kuinka menestyksekkäästi opettaa matematiikkaa.

Matematiikka, 1997 nro 3.

24 Okunev oppitunnille, lapset! M. Education, 1988

25. Yakimanskaya - suuntautunut oppiminen koulussa.

26. Liimets työskentelee luokassa. M. Knowledge, 1975

Mene verkkosivustomme youtube-kanavalle pysyäksesi ajan tasalla kaikista uusista videotunneista.

Ensin muistellaan valtuuksien peruskaavat ja niiden ominaisuudet.

Numeron tulo a esiintyy itsestään n kertaa, voimme kirjoittaa tämän lausekkeen muodossa a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Teho- tai eksponentiaaliyhtälöt– nämä ovat yhtälöitä, joissa muuttujat ovat potenssiina (tai eksponenteina) ja kanta on luku.

Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

Tässä esimerkissä luku 6 on kanta; se on aina alareunassa ja muuttuja x aste tai indikaattori.

Annetaan lisää esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Katsotaanpa nyt kuinka eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan?

Otetaan yksinkertainen yhtälö:

2 x = 2 3

Tämä esimerkki voidaan ratkaista jopa päässäsi. Voidaan nähdä, että x=3. Loppujen lopuksi, jotta vasen ja oikea puoli olisivat yhtä suuret, sinun on asetettava numero 3 x:n sijaan.
Katsotaan nyt, kuinka tämä päätös virallistetaan:

2 x = 2 3
x = 3

Sellaisen yhtälön ratkaisemiseksi poistimme identtiset perusteet(eli kaksikko) ja kirjoitit muistiin, mitä oli jäljellä, nämä ovat asteita. Saimme vastauksen, jota etsimme.

Tehdään nyt yhteenveto päätöksestämme.

Algoritmi eksponentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi:
1. Tarkasta sama onko yhtälöllä kanta oikealla ja vasemmalla. Jos syyt eivät ole samat, etsimme vaihtoehtoja tämän esimerkin ratkaisemiseksi.
2. Kun pohjat ovat muuttuneet samanlaisiksi, rinnastaa astetta ja ratkaise tuloksena oleva uusi yhtälö.

Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä:

Aloitetaan jostain yksinkertaisesta.

Vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat yhtä suuria kuin luku 2, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä kannan ja rinnastaa niiden asteet.

x+2=4 Saadaan yksinkertaisin yhtälö.
x = 4-2
x=2
Vastaus: x = 2

Seuraavassa esimerkissä voit nähdä, että kantat ovat erilaisia: 3 ja 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Siirrä ensin yhdeksän oikealle puolelle, saamme:

Nyt sinun on tehtävä samat pohjat. Tiedämme, että 9 = 3 2. Käytetään tehokaavaa (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Saamme 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nyt on selvää, että vasemmalla ja oikealla puolella kantat ovat samat ja yhtä suuret kuin kolme, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä ne ja rinnastaa asteet.

3x=2x+16 saadaan yksinkertaisin yhtälö
3x - 2x = 16
x = 16
Vastaus: x = 16.

Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Ensinnäkin tarkastelemme pohjaa, perustaa kaksi ja neljä. Ja meidän on oltava samat. Muunnamme ne neljä kaavalla (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ja käytämme myös yhtä kaavaa a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Lisää yhtälöön:

2 2 x 2 4 - 10 2 2 x = 24

Annoimme esimerkin samoista syistä. Mutta muut numerot 10 ja 24 häiritsevät meitä. Mitä niille tehdään? Jos katsot tarkasti, näet, että vasemmalla puolella meillä on 2 2x toistettu, tässä on vastaus - voimme laittaa 2 2x suluista:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lasketaan suluissa oleva lauseke:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Jaamme koko yhtälön kuudella:

Kuvitellaan 4=2 2:

2 2x = 2 2 kantaa ovat samat, hylkäämme ne ja vertaamme asteet.
2x = 2 on yksinkertaisin yhtälö. Jaa se kahdella ja saa
x = 1
Vastaus: x = 1.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

9 x – 12*3 x +27= 0

Muunnetaan:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Saamme yhtälön:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Kantamme ovat samat, yhtä kuin kolme. Tässä esimerkissä voit nähdä, että kolmella ensimmäisellä on aste kaksi kertaa (2x) kuin toisella (vain x). Tässä tapauksessa voit ratkaista korvausmenetelmä. Korvaamme numeron pienimmällä asteella:

Sitten 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Korvaamme kaikki yhtälön x potenssit t:llä:

t 2 - 12t+27 = 0
Saamme toisen asteen yhtälön. Ratkaisemalla diskriminantin kautta saamme:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t2 = 3

Palataan muuttujaan x.

Ota t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Tuo on,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista t 2:sta:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastaus: x 1 = 2; x 2 = 1.

Verkkosivustolla voit kysyä mitä tahansa kysymyksiä APUA PÄÄTÖS -osiossa, me vastaamme sinulle varmasti.

Liity ryhmään

Eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mitä on tapahtunut eksponentiaalinen yhtälö? Tämä on yhtälö, jossa tuntemattomat (x:t) ja niitä sisältävät lausekkeet ovat sisällä indikaattoreita joitain asteita. Ja vain siellä! On tärkeää.

Siellähän sinä olet esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

3 x 2 x = 8 x+3

Huomautus! Asteiden perusteissa (alla) - vain numeroita. SISÄÄN indikaattoreita asteet (yllä) - laaja valikoima X:llä varustettuja lausekkeita. Jos yhtäkkiä yhtäkkiä X ilmestyy muualle kuin indikaattoriin, esimerkiksi:

tämä on jo sekatyyppinen yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä sääntöjä niiden ratkaisemiseksi. Emme ota niitä toistaiseksi huomioon. Tässä käsitellään ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä puhtaimmassa muodossaan.

Itse asiassa edes puhtaita eksponentiaaliyhtälöitä ei aina ratkaista selvästi. Mutta on olemassa tietyntyyppisiä eksponentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Nämä ovat tyyppejä, joita harkitsemme.

Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen.

Ensin ratkaistaan ​​jotain hyvin yksinkertaista. Esimerkiksi:

Jopa ilman teorioita, yksinkertaisella valinnalla on selvää, että x = 2. Ei muuta, eikö!? Mikään muu X:n arvo ei toimi. Katsotaan nyt tämän hankalan eksponentiaaliyhtälön ratkaisua:

Mitä me olemme tehneet? Itse asiassa me yksinkertaisesti heitimme pois samat pohjat (kolminkertaiset). Täysin ulos heitetty. Ja hyvä uutinen on, että osuimme naulan päähän!

Todellakin, jos eksponentiaalisessa yhtälössä on vasen ja oikea sama numerot millä tahansa potenssilla, nämä luvut voidaan poistaa ja eksponentit voidaan tasoittaa. Matematiikka sallii. On vielä ratkaistava paljon yksinkertaisempi yhtälö. Hienoa, eikö?)

Muistakaamme kuitenkin lujasti: Voit poistaa tukiasemat vain, kun vasemmalla ja oikealla olevat kantanumerot ovat loistavasti erillään! Ilman naapureita ja kertoimia. Sanotaan yhtälöissä:

2 x +2 x+1 = 2 3 tai

kaksikkoa ei voi poistaa!

No, olemme hallitseneet tärkeimmän. Kuinka siirtyä pahoista eksponentiaalisista lausekkeista yksinkertaisempiin yhtälöihin.

"Näitä aikoja on!" - sinä sanot. "Kuka antaisi niin primitiivisen oppitunnin kokeista ja kokeista!?"

Minun täytyy olla samaa mieltä. Kukaan ei. Mutta nyt tiedät mihin tähdätä, kun ratkaiset hankalia esimerkkejä. Se on tuotava muotoon, jossa sama perusnumero on vasemmalla ja oikealla. Sitten kaikki on helpompaa. Itse asiassa tämä on matematiikan klassikko. Otamme alkuperäisen esimerkin ja muunnamme sen halutuksi meille mieleen. Matematiikan sääntöjen mukaan tietysti.

Katsotaanpa esimerkkejä, jotka vaativat lisäponnistuksia niiden pelkistämiseksi yksinkertaisimpiin. Soitetaan heille yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt.

Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkkejä.

Eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa pääsäännöt ovat toiminnot asteilla. Ilman tietoa näistä toimista mikään ei toimi.

Tutkintotoimiin on lisättävä henkilökohtainen havainto ja kekseliäisyys. Tarvitsemmeko samoja peruslukuja? Joten etsimme niitä esimerkistä eksplisiittisessä tai salatussa muodossa.

Katsotaan kuinka tämä käytännössä tehdään?

Otetaanpa esimerkki:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ensimmäinen tarkka silmäys on perusteita. He... He ovat erilaisia! Kaksi ja kahdeksan. Mutta on liian aikaista lannistua. On aika muistaa se

Kaksi ja kahdeksan ovat asteittain sukulaisia.) On täysin mahdollista kirjoittaa:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jos muistamme kaavan operaatioista asteilla:

(a n) m = a nm,

tämä toimii loistavasti:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Alkuperäinen esimerkki alkoi näyttää tältä:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Siirrämme 2 3 (x+1) oikealle (kukaan ei ole peruuttanut matematiikan perusoperaatioita!), saamme:

2 2x = 2 3 (x+1)

Siinä on käytännössä kaikki. Pohjien poistaminen:

Ratkaisemme tämän hirviön ja saamme

Tämä on oikea vastaus.

Tässä esimerkissä kahden voiman tunteminen auttoi meitä. Me tunnistettu kahdeksassa on salattu kaksi. Tämä tekniikka (yhteisten emästen koodaus eri numeroilla) on erittäin suosittu tekniikka eksponentiaalisissa yhtälöissä! Kyllä, ja myös logaritmeissa. Sinun on kyettävä tunnistamaan muiden lukujen potenssit numeroista. Tämä on erittäin tärkeää eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Tosiasia on, että minkä tahansa luvun nostaminen mihin tahansa tehoon ei ole ongelma. Kerro, vaikka paperilla, ja siinä se. Esimerkiksi kuka tahansa voi nostaa 3 viidenteen potenssiin. 243 selviää, jos tiedät kertotaulukon.) Mutta eksponentiaaliyhtälöissä paljon useammin ei tarvitse nostaa potenssiin, vaan päinvastoin... Ota selvää mikä numero missä määrin on piilotettu numeron 243 tai vaikkapa 343 taakse... Mikään laskin ei auta sinua tässä.

Sinun täytyy tietää joidenkin lukujen tehot silmästä, eikö niin... Harjoitellaanko?

Selvitä, mitkä potenssit ja mitkä numerot luvut ovat:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastaukset (tietysti sotkussa!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jos katsot tarkasti, voit nähdä kummallisen tosiasian. Vastauksia on huomattavasti enemmän kuin tehtäviä! No, se tapahtuu... Esimerkiksi 2 6, 4 3, 8 2 - siinä kaikki 64.

Oletetaan, että olet huomioinut lukujen tuntemusta koskevat tiedot.) Muistutan myös, että käytämme eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen kaikki matemaattinen tietokanta. Mukaan lukien juniori- ja keskiluokkien. Et mennyt suoraan lukioon, vai mitä?)

Esimerkiksi eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa yhteisen tekijän jättäminen pois sulkeista auttaa usein (hei 7. luokalle!). Katsotaanpa esimerkkiä:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ja jälleen, ensisilmäyksellä on perustukset! Tutkintojen perusteet ovat erilaiset... Kolme ja yhdeksän. Mutta haluamme niiden olevan samat. No, tässä tapauksessa toive täyttyy täysin!) Koska:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Käytä samoja sääntöjä tutkintojen käsittelyyn:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Se on hienoa, voit kirjoittaa sen ylös:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Annoimme esimerkin samoista syistä. Eli mitä seuraavaksi!? Et voi heittää kolmea ulos... Umpikuja?

Ei lainkaan. Muista yleisin ja tehokkain päätöksentekosääntö kaikille matemaattiset tehtävät:

Jos et tiedä mitä tarvitset, tee mitä voit!

Katso, kaikki järjestyy).

Mitä tässä eksponentiaalisessa yhtälössä on Voi tehdä? Kyllä, vasemmalla puolella se vain pyytää, että se otetaan pois suluista! Kokonaiskerroin 3 2x viittaa selvästi tähän. Kokeillaan ja sitten nähdään:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Esimerkki paranee koko ajan!

Muistamme, että perusteiden poistamiseen tarvitsemme puhtaan asteen, ilman kertoimia. Numero 70 häiritsee meitä. Joten jaamme yhtälön molemmat puolet luvulla 70, saamme:

Oho! Kaikki parani!

Tämä on lopullinen vastaus.

Tapahtuu kuitenkin, että rullaus samoilla perusteilla saavutetaan, mutta niiden poistaminen ei ole mahdollista. Tämä tapahtuu muun tyyppisissä eksponentiaalisissa yhtälöissä. Otetaan tämä tyyppi hallintaan.

Muuttujan korvaaminen eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkkejä.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Ensin - kuten tavallista. Siirrytään yhteen tukikohtaan. Kakkoseksi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saamme yhtälön:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja tässä vietämme aikaa. Aiemmat tekniikat eivät toimi, katsotpa sitä miten tahansa. Meidän on otettava arsenaalistamme esiin toinen tehokas ja universaali menetelmä. Sitä kutsutaan muuttuva vaihto.

Menetelmän ydin on yllättävän yksinkertainen. Yhden monimutkaisen kuvakkeen (tapauksessamme - 2 x) sijasta kirjoitamme toisen, yksinkertaisemman (esimerkiksi - t). Tällainen näennäisesti merkityksetön korvaaminen johtaa uskomattomiin tuloksiin!) Kaikki vain tulee selväksi ja ymmärrettäväksi!

Joten anna

Sitten 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

Korvaamme yhtälössämme kaikki potenssit x:illä t:llä:

No, valkeneeko se sinulle?) Oletko jo unohtanut toisen asteen yhtälöt? Ratkaisemalla diskriminantin kautta saamme:

Tärkeintä tässä ei ole lopettaa, kuten tapahtuu... Tämä ei ole vielä vastaus, tarvitsemme x:n, ei t:n. Palataan X:ihin, ts. teemme käänteisen vaihdon. Ensin t1:lle:

Tuo on,

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista t 2:sta:

Hm... 2 x vasemmalla, 1 oikealla... Ongelma? Ei lainkaan! Riittää, kun muistaa (operaatioista valtuuksilla, kyllä...), että yksikkö on minkä tahansa numero nolla potenssiin. Minkä tahansa. Mitä tahansa tarvitaan, asennamme sen. Tarvitsemme kaksi. Keinot:

Siinä se nyt. Meillä on 2 juurta:

Tämä on vastaus.

klo ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä lopussa joskus päädyt johonkin kiusaan ilmeeseen. Tyyppi:

Seitsemää ei voida muuntaa kahdeksi yksinkertaisella potenssilla. He eivät ole sukulaisia... Kuinka voimme olla? Joku saattaa olla hämmentynyt... Mutta henkilö, joka luki tällä sivustolla aiheen "Mikä on logaritmi?" , hymyilee vain säästeliäästi ja kirjoittaa lujalla kädellä täysin oikean vastauksen:

Tällaista vastausta ei voi olla yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävissä "B". Siellä vaaditaan tietty numero. Mutta tehtävissä "C" se on helppoa.

Tämä oppitunti tarjoaa esimerkkejä yleisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Korostetaan pääkohdat.

Käytännön vinkkejä:

1. Ensinnäkin tarkastelemme perusteita astetta. Ihmettelemme, onko mahdollista tehdä niitä identtinen. Yritetään tehdä tämä aktiivisesti käyttämällä toiminnot asteilla.Älä unohda, että myös luvut ilman x:iä voidaan muuntaa potenssiksi!

2. Yritämme tuoda eksponentiaaliyhtälön muotoon, kun vasemmalla ja oikealla on sama numerot millä tahansa potenssilla. Käytämme toiminnot asteilla Ja faktorointi. Se, mikä voidaan laskea numeroina, lasketaan.

3. Jos toinen kärki ei toimi, yritä käyttää muuttujakorvaa. Tuloksena voi olla yhtälö, joka voidaan helposti ratkaista. Useimmiten - neliö. Tai murto-osa, joka myös pienenee neliöiksi.

4. Jotta voisit ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä onnistuneesti, sinun on tiedettävä joidenkin lukujen tehot silmämääräisesti.

Kuten tavallista, oppitunnin lopussa sinua pyydetään päättämään vähän.) Itse. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.

Ratkaise eksponentiaaliyhtälöt:

Vaikeampaa:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Etsi juurten tulo:

2 3:a + 2 x = 9

Tapahtui?

No, sitten hyvin monimutkainen esimerkki (vaikka se voidaan ratkaista mielessä...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mikä on mielenkiintoisempaa? Sitten tässä on sinulle huono esimerkki. Melko houkutteleva lisääntyneeseen vaikeuteen. Haluan vihjata, että tässä esimerkissä sinua pelastaa kekseliäisyys ja yleisin sääntö kaikkien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Yksinkertaisempi esimerkki rentoutumiseen):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja jälkiruoaksi. Etsi yhtälön juurien summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Kyllä kyllä! Tämä on sekatyyppinen yhtälö! Mitä emme huomioineet tällä oppitunnilla. Miksi harkita niitä, ne on ratkaistava!) Tämä oppitunti riittää ratkaisemaan yhtälön. No, tarvitset kekseliäisyyttä... Ja voiko seitsemäs luokka auttaa sinua (tämä on vihje!).

Vastaukset (sekaisin, puolipisteillä erotettuna):

1; 2; 3; 4; ei ole ratkaisuja; 2; -2; -5; 4; 0.

Onko kaikki onnistunut? Loistava.

On ongelma? Ei ongelmaa! Special Section 555 ratkaisee kaikki nämä eksponentiaaliset yhtälöt yksityiskohtaisilla selityksillä. Mitä, miksi ja miksi. Ja tietysti on lisäarvokasta tietoa kaikenlaisten eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa työskentelystä. Ei vain nämä.)

Viimeinen hauska kysymys pohdittavaksi. Tällä oppitunnilla työskentelimme eksponentiaaliyhtälöiden kanssa. Miksi en puhunut täällä sanaakaan ODZ:stä? Yhtälöissä tämä on muuten erittäin tärkeä asia...

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Viimeisen kokeen valmisteluvaiheessa lukiolaisten on parannettava tietojaan aiheesta "Eksponentiaaliyhtälöt". Viime vuosien kokemus osoittaa, että tällaiset tehtävät aiheuttavat koululaisille tiettyjä vaikeuksia. Siksi lukiolaisten on heidän valmistautumistasostaan ​​riippumatta opittava perusteellisesti teoria, muistettava kaavat ja ymmärrettävä tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen periaate. Oppineet selviytymään tämäntyyppisistä ongelmista, valmistuneet voivat luottaa korkeisiin pisteisiin läpäiseessään matematiikan yhtenäisen valtionkokeen.

Valmistaudu kokeisiin Shkolkovon kanssa!

Kun tarkastellaan käsittelemäänsä materiaalia, monet opiskelijat kohtaavat ongelman löytää yhtälöiden ratkaisemiseen tarvittavat kaavat. Kouluoppikirja ei ole aina käsillä, ja tarvittavan tiedon valitseminen aiheesta Internetistä kestää kauan.

Shkolkovon koulutusportaali kutsuu opiskelijoita käyttämään tietopohjaamme. Otamme käyttöön täysin uudenlaisen menetelmän valmistautua viimeiseen kokeeseen. Verkkosivuillamme opiskelemalla voit tunnistaa tiedon puutteita ja kiinnittää huomiota tehtäviin, jotka aiheuttavat eniten vaikeuksia.

Shkolkovon opettajat keräsivät, systematisoivat ja esittelivät kaiken tarvittavan materiaalin yhtenäisen valtionkokeen läpäisemiseen yksinkertaisimmassa ja helposti saavutettavissa olevassa muodossa.

Perusmääritelmät ja kaavat on esitetty osiossa "Teoreettinen tausta".

Materiaalin ymmärtämiseksi paremmin suosittelemme harjoittelemaan tehtävien suorittamista. Tutustu huolellisesti tällä sivulla esitettyihin eksponentiaaliyhtälöihin ja ratkaisuihin, jotta ymmärrät laskenta-algoritmin. Jatka sen jälkeen tehtävien suorittamista "Hakemistot" -osiossa. Voit aloittaa helpoimmista tehtävistä tai siirtyä suoraan ratkaisemaan monimutkaisia ​​eksponentiaaliyhtälöitä, joissa on useita tuntemattomia tai . Verkkosivuillamme olevaa harjoitustietokantaa täydennetään ja päivitetään jatkuvasti.

Ne esimerkit indikaattoreineen, jotka aiheuttivat sinulle vaikeuksia, voidaan lisätä "Suosikkeihin". Näin löydät ne nopeasti ja voit keskustella ratkaisusta opettajasi kanssa.

Läpäiseksesi yhtenäisen valtionkokeen onnistuneesti opiskele Shkolkovo-portaalissa joka päivä!