भिन्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने और घटाने के नियम। उभयनिष्ठ भिन्नों को जोड़ना और घटाना

टिप्पणी!अपना अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को छोटा कर सकते हैं।

समान हर वाली भिन्नों को घटाने पर, उदाहरण:

,

,

एक से उचित भिन्न घटाना।

यदि किसी उचित इकाई में से भिन्न को घटाना आवश्यक हो तो इकाई को अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित कर दिया जाता है, इसका हर घटाए गए भिन्न के हर के बराबर होता है।

एक से उचित भिन्न घटाने का एक उदाहरण:

घटाए जाने वाले भिन्न का हर = 7 , अर्थात्, हम एक को अनुचित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार इसे घटाते हैं।

किसी पूर्ण संख्या में से उचित भिन्न घटाना।

भिन्न घटाने के नियम -पूर्ण संख्या से सही करें (प्राकृतिक संख्या):

• हम दी गई भिन्नों को, जिनमें पूर्णांक भाग होता है, अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करते हैं। हमें सामान्य पद प्राप्त होते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिनकी गणना हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार करते हैं;
• इसके बाद, हम प्राप्त भिन्नों के बीच अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें उत्तर लगभग मिल ही जाएगा;
• हम विपरीत परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित भिन्न से छुटकारा पाते हैं - हम भिन्न में पूरे भाग का चयन करते हैं।

किसी पूर्ण संख्या में से एक उचित भिन्न घटाएँ: प्राकृतिक संख्या को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें। वे। हम एक प्राकृतिक संख्या में एक इकाई लेते हैं और इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित करते हैं, जिसका हर घटाए गए भिन्न के समान होता है।

भिन्नों को घटाने का उदाहरण:

उदाहरण में, हमने एक को अनुचित भिन्न 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिखी और भिन्नात्मक भाग से एक भिन्न घटा दिया।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना।

या, इसे दूसरे तरीके से कहें तो, विभिन्न भिन्नों को घटाना.

विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने का नियम।विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, सबसे पहले, इन भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर (एलसीडी) तक कम करना आवश्यक है, और इसके बाद ही, समान हर वाली भिन्नों की तरह ही घटाव करें।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (न्यूनतम सामान्य गुणक)प्राकृत संख्याएँ जो इन भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंतिम भिन्न में अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड हों, तो भिन्न को कम किया जाना चाहिए। एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सबसे अच्छा दर्शाया जाता है। जहां संभव हो, अंश को कम किए बिना घटाव परिणाम छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

• सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
• सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड डालें;
• सभी अंशों को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें;
• हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी भिन्नों के अंतर्गत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करते हैं;
• अंतर के अंतर्गत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करके, भिन्नों के अंशों को घटाएँ।

इसी प्रकार, अंश में अक्षर होने पर भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों को घटाना, उदाहरण:

मिश्रित भिन्नों को घटाना.

पर मिश्रित भिन्नों (संख्याओं) को घटानाअलग से, पूर्णांक भाग को पूर्णांक भाग से घटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटा दिया जाता है।

मिश्रित भिन्नों को घटाने का पहला विकल्प।

यदि भिन्नात्मक भाग जो उसीलघुअंत के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (हम इसे इसमें से घटाते हैं) ≥ उपअंत के भिन्नात्मक भाग के अंश (हम इसे घटाते हैं)।

उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों को घटाने का दूसरा विकल्प।

जब भिन्नात्मक भाग अलगहर आरंभ करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाते हैं, और उसके बाद हम पूर्ण भाग को पूर्ण भाग से घटाते हैं, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों को घटाने का तीसरा विकल्प।

मीनूएंड का भिन्नात्मक भाग सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग से कम होता है।

उदाहरण:

क्योंकि भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है कि, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले साधारण भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं।

मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग का अंश, सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. इसका मतलब है कि हम पूरे भाग से एक इकाई लेते हैं और इस इकाई को समान हर और अंश के साथ एक अनुचित भिन्न के रूप में घटा देते हैं। = 18.

दायीं ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम दायीं ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, यानी हम सभी चीजों को गुणा करते हैं और समान देते हैं। हम हर में कोष्ठक नहीं खोलते। उत्पाद को हर में छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं:

विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ने के नियम बहुत सरल हैं।

आइए विभिन्न हर वाली भिन्नों को चरण दर चरण जोड़ने के नियमों पर नजर डालें:

1. हरों का LCM (न्यूनतम समापवर्तक) ज्ञात कीजिए। परिणामी एलसीएम भिन्नों का सामान्य हर होगा;

2. भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ;

3. एक सामान्य हर में घटाई गई भिन्नों को जोड़ें।

एक सरल उदाहरण का उपयोग करके, हम सीखेंगे कि विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के नियमों को कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ने का एक उदाहरण।

विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ें:

हम चरण दर चरण निर्णय लेंगे.

1. हरों का LCM (न्यूनतम समापवर्तक) ज्ञात कीजिए।

संख्या 12, 6 से विभाज्य है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 12 संख्या 6 और 12 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर: संख्या 6 और 12 की संख्या 12 है:

एलसीएम(6, 12) = 12

परिणामी एलसीएम दो भिन्नों 1/6 और 5/12 का सामान्य हर होगा।

2. भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ।

हमारे उदाहरण में, केवल पहले भिन्न को 12 के सामान्य हर में घटाने की आवश्यकता है, क्योंकि दूसरे भिन्न में पहले से ही 12 का हर है।

12 के उभयनिष्ठ हर को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें:

2 में एक अतिरिक्त गुणक है.

पहले भिन्न (1/6) के अंश और हर को 2 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

साधारण भिन्नात्मक संख्याएँ सबसे पहले स्कूली बच्चों को 5वीं कक्षा में मिलती हैं और जीवन भर उनका साथ देती हैं, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर किसी वस्तु पर समग्र रूप से नहीं, बल्कि अलग-अलग टुकड़ों में विचार करना या उपयोग करना आवश्यक होता है। इस विषय का अध्ययन शुरू करें - शेयर। शेयर बराबर हिस्से हैं, जिसमें यह या वह वस्तु विभाजित है। आखिरकार, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की लंबाई या कीमत को पूर्ण संख्या के रूप में व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है; कुछ माप के भागों या अंशों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। क्रिया "विभाजित करना" से निर्मित - भागों में विभाजित करना, और अरबी मूल होने के कारण, "अंश" शब्द स्वयं 8 वीं शताब्दी में रूसी भाषा में उत्पन्न हुआ था।

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को लंबे समय से गणित की सबसे कठिन शाखा माना जाता है। 17वीं शताब्दी में, जब गणित पर पहली पाठ्यपुस्तकें सामने आईं, तो उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा गया, जिसे समझना लोगों के लिए बहुत मुश्किल था।

सरल भिन्नात्मक शेषफलों का आधुनिक रूप, जिसके भाग एक क्षैतिज रेखा से अलग होते हैं, सबसे पहले फाइबोनैचि - पीसा के लियोनार्डो द्वारा प्रचारित किया गया था। उनकी रचनाएँ 1202 की हैं। लेकिन इस लेख का उद्देश्य पाठक को सरल और स्पष्ट रूप से यह समझाना है कि विभिन्न हर वाले मिश्रित भिन्नों को कैसे गुणा किया जाता है।

विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा करना

प्रारंभ में यह निर्धारित करने लायक है भिन्नों के प्रकार:

• सही;
• ग़लत;
• मिश्रित।

इसके बाद, आपको यह याद रखना होगा कि समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है। इस प्रक्रिया के नियम को स्वतंत्र रूप से तैयार करना मुश्किल नहीं है: सरल भिन्नों को समान हरों से गुणा करने का परिणाम एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर इन भिन्नों के हरों का गुणनफल है। . अर्थात्, वास्तव में, नया हर प्रारंभ में मौजूद किसी एक का वर्ग है।

गुणा करते समय विभिन्न हरों वाली सरल भिन्नेंदो या दो से अधिक कारकों के लिए नियम नहीं बदलता:

ए/बी * सी/डी = एसी / b*d.

अंतर केवल इतना है कि भिन्नात्मक रेखा के नीचे बनी संख्या विभिन्न संख्याओं का गुणनफल होगी और स्वाभाविक रूप से, इसे एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का वर्ग नहीं कहा जा सकता है।

उदाहरणों का उपयोग करके विभिन्न हरों के साथ भिन्नों के गुणन पर विचार करना उचित है:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

उदाहरण भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को कम करने के तरीकों का उपयोग करते हैं। आप केवल अंश संख्याओं को हर संख्याओं के साथ कम कर सकते हैं; भिन्न रेखा के ऊपर या नीचे आसन्न कारकों को कम नहीं किया जा सकता है।

साधारण भिन्नों के साथ-साथ मिश्रित भिन्नों की भी अवधारणा है। एक मिश्रित संख्या में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, अर्थात यह इन संख्याओं का योग है:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

गुणा कैसे काम करता है?

विचारार्थ अनेक उदाहरण दिये गये हैं।

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

उदाहरण किसी संख्या के गुणन का उपयोग करता है साधारण भिन्नात्मक भाग, इस क्रिया के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ए* बी/सी = ए*बी /सी।

वास्तव में, ऐसा उत्पाद समान भिन्नात्मक शेषफलों का योग है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या को इंगित करती है। विशेष मामला:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

किसी संख्या को भिन्नात्मक शेषफल से गुणा करने का एक और उपाय है। आपको बस हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा:

डी* इ/एफ = इ/एफ: डी.

इस तकनीक का उपयोग तब उपयोगी होता है जब हर को बिना किसी शेषफल वाली प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, एक पूर्ण संख्या से विभाजित किया जाता है।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और पहले वर्णित तरीके से उत्पाद प्राप्त करें:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

इस उदाहरण में मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने का एक तरीका शामिल है, और इसे एक सामान्य सूत्र के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

ए बीसी = ए*बी+सी/सी, जहां नए अंश का हर पूरे भाग को हर से गुणा करके और मूल भिन्नात्मक शेषफल के अंश के साथ जोड़कर बनाया जाता है, और हर वही रहता है।

यह प्रक्रिया विपरीत दिशा में भी काम करती है. संपूर्ण भाग और भिन्नात्मक शेषफल को अलग करने के लिए, आपको "कोने" का उपयोग करके एक अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा।

अनुचित भिन्नों का गुणा करनाआम तौर पर स्वीकृत तरीके से उत्पादित। एकल भिन्न रेखा के नीचे लिखते समय, आपको इस पद्धति का उपयोग करके संख्याओं को कम करने और परिणाम की गणना करना आसान बनाने के लिए आवश्यकतानुसार भिन्नों को कम करने की आवश्यकता है।

विभिन्न प्रकार के कार्यक्रमों में जटिल गणितीय समस्याओं को भी हल करने के लिए इंटरनेट पर कई सहायक मौजूद हैं। पर्याप्त संख्या में ऐसी सेवाएँ हर में भिन्न संख्याओं के साथ भिन्नों के गुणन की गणना करने में अपनी सहायता प्रदान करती हैं - भिन्नों की गणना के लिए तथाकथित ऑनलाइन कैलकुलेटर। वे न केवल गुणा करने में सक्षम हैं, बल्कि साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के साथ अन्य सभी सरल अंकगणितीय ऑपरेशन भी करने में सक्षम हैं। इसके साथ काम करना मुश्किल नहीं है; आप वेबसाइट पेज पर उपयुक्त फ़ील्ड भरें, गणितीय ऑपरेशन के चिह्न का चयन करें, और "गणना करें" पर क्लिक करें। प्रोग्राम स्वचालित रूप से गणना करता है.

भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं का विषय मिडिल और हाई स्कूल के छात्रों की शिक्षा के दौरान प्रासंगिक है। हाई स्कूल में, वे अब सबसे सरल प्रजाति पर विचार नहीं करते हैं, लेकिन पूर्णांक भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ, लेकिन पहले प्राप्त परिवर्तन और गणना के नियमों का ज्ञान अपने मूल रूप में लागू किया जाता है। अच्छी तरह से महारत हासिल बुनियादी ज्ञान सबसे जटिल समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में पूर्ण आत्मविश्वास देता है।

अंत में, लेव निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के शब्दों को उद्धृत करना समझ में आता है, जिन्होंने लिखा था: “मनुष्य एक अंश है। अपने अंश - अपने गुणों - को बढ़ाना किसी व्यक्ति के वश में नहीं है, लेकिन कोई भी व्यक्ति अपने हर - अपने बारे में अपनी राय को कम कर सकता है, और इस कमी के साथ अपनी पूर्णता के करीब आ सकता है।

इस पाठ में विभिन्न हर वाले बीजीय भिन्नों को जोड़ना और घटाना शामिल होगा। हम पहले से ही जानते हैं कि विभिन्न हरों के साथ सामान्य भिन्नों को कैसे जोड़ा और घटाया जाता है। ऐसा करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए। यह पता चला है कि बीजगणितीय भिन्न समान नियमों का पालन करते हैं। साथ ही, हम पहले से ही जानते हैं कि बीजीय भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए। विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना 8वीं कक्षा के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण और कठिन विषयों में से एक है। इसके अलावा, यह विषय बीजगणित पाठ्यक्रम के कई विषयों में दिखाई देगा जिनका आप भविष्य में अध्ययन करेंगे। पाठ के भाग के रूप में, हम विभिन्न हर के साथ बीजीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का अध्ययन करेंगे, और कई विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण भी करेंगे।

आइए साधारण भिन्नों के लिए सबसे सरल उदाहरण देखें।

उदाहरण 1।भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

आइए भिन्नों को जोड़ने का नियम याद रखें। आरंभ करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए। साधारण भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है न्यूनतम समापवर्तक(एलसीएम) मूल हर का।

परिभाषा

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या जो दोनों संख्याओं से विभाज्य है।

एलसीएम खोजने के लिए, आपको हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा, और फिर उन सभी अभाज्य गुणनखंडों का चयन करना होगा जो दोनों हर के विस्तार में शामिल हैं।

; . फिर संख्याओं के एलसीएम में दो दो और दो तीन शामिल होने चाहिए:।

उभयनिष्ठ हर खोजने के बाद, आपको प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढना होगा (वास्तव में, उभयनिष्ठ हर को संबंधित भिन्न के हर से विभाजित करें)।

फिर प्रत्येक अंश को परिणामी अतिरिक्त कारक से गुणा किया जाता है। हमें समान हर वाली भिन्नें मिलती हैं, जिन्हें हमने पिछले पाठों में जोड़ना और घटाना सीखा था।

हम पाते हैं: .

उत्तर:.

आइए अब विभिन्न हर वाले बीजगणितीय भिन्नों के योग पर विचार करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को देखें जिनके हर संख्याएँ हैं।

उदाहरण 2.भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल पिछले उदाहरण के समान है। इन भिन्नों का सामान्य हर ज्ञात करना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए अतिरिक्त गुणनखंड।

.

उत्तर:.

तो, आइए तैयार करें विभिन्न हर वाले बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने के लिए एल्गोरिथ्म:

1. भिन्नों का न्यूनतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

2. प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड खोजें (सामान्य हर को दिए गए भिन्न के हर से विभाजित करके)।

3. अंशों को संगत अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें।

4. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ें या घटाएँ।

आइए अब भिन्नों के एक उदाहरण पर विचार करें जिनके हर में अक्षर भाव हैं।

उदाहरण 3.भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

चूँकि दोनों हर में अक्षर के भाव समान हैं, इसलिए आपको संख्याओं के लिए एक सामान्य हर ढूंढना चाहिए। अंतिम सामान्य भाजक इस प्रकार दिखेगा:। इस प्रकार, इस उदाहरण का समाधान इस प्रकार दिखता है:.

उत्तर:.

उदाहरण 4.भिन्न घटाएं: .

समाधान:

यदि आप एक सामान्य हर को चुनते समय "धोखा" नहीं दे सकते हैं (आप इसका गुणनखंड नहीं कर सकते हैं या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग नहीं कर सकते हैं), तो आपको दोनों भिन्नों के हर के उत्पाद को सामान्य हर के रूप में लेना होगा।

उत्तर:.

सामान्य तौर पर, ऐसे उदाहरणों को हल करते समय, सबसे कठिन कार्य एक सामान्य हर ढूंढना होता है।

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5.सरल करें: .

समाधान:

एक सामान्य हर ढूँढ़ते समय, आपको पहले मूल भिन्नों के हरों का गुणनखंड करने का प्रयास करना चाहिए (सामान्य हर को सरल बनाने के लिए)।

इस विशेष मामले में:

फिर सामान्य भाजक निर्धारित करना आसान है: .

हम अतिरिक्त कारक निर्धारित करते हैं और इस उदाहरण को हल करते हैं:

उत्तर:.

आइए अब विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियम स्थापित करें।

उदाहरण 6.सरल करें: .

समाधान:

उत्तर:.

उदाहरण 7.सरल करें: .

समाधान:

.

उत्तर:.

आइए अब एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें दो नहीं, बल्कि तीन भिन्न जोड़े जाते हैं (आखिरकार, बड़ी संख्या में भिन्नों के लिए जोड़ और घटाने के नियम समान रहते हैं)।

उदाहरण 8.सरल करें: .

आप भिन्नों के साथ विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ना। भिन्नों के योग को कई प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। भिन्नों के प्रत्येक प्रकार के जोड़ के अपने नियम और क्रियाओं का एल्गोरिदम होता है। आइए प्रत्येक प्रकार के जोड़ को विस्तार से देखें।

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना।

आइए एक उदाहरण देखें कि एक सामान्य हर के साथ भिन्नों को कैसे जोड़ा जाए।

पर्यटक बिंदु A से बिंदु E तक पदयात्रा पर गए। पहले दिन वे बिंदु A से B तक या पूरे रास्ते \(\frac(1)(5)\) तक पैदल चले। दूसरे दिन वे बिंदु B से D या \(\frac(2)(5)\) तक पूरे रास्ते चले। यात्रा की शुरुआत से बिंदु D तक उन्होंने कितनी दूरी तय की?

बिंदु A से बिंदु D तक की दूरी ज्ञात करने के लिए, आपको भिन्नों \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\) को जोड़ना होगा।

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का मतलब है कि आपको इन भिन्नों के अंशों को जोड़ना होगा, लेकिन हर वही रहेगा।

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

शाब्दिक रूप में, समान हर वाले भिन्नों का योग इस प्रकार दिखेगा:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

उत्तर: पर्यटक पूरे रास्ते \(\frac(3)(5)\) तक चले।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना।

आइए एक उदाहरण देखें:

आपको दो भिन्नों \(\frac(3)(4)\) और \(\frac(2)(7)\) को जोड़ना होगा।

विभिन्न हरों वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले खोजना होगा, और फिर समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए नियम का उपयोग करें।

हर 4 और 7 के लिए, उभयनिष्ठ हर संख्या 28 होगी। पहली भिन्न \(\frac(3)(4)\) को 7 से गुणा किया जाना चाहिए। दूसरी भिन्न \(\frac(2)(7)\ ) को 4 से गुणा करना होगा.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ गुना \रंग(लाल) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

शाब्दिक रूप में हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

मिश्रित संख्याओं या मिश्रित भिन्नों को जोड़ना।

जोड़ जोड़ के नियम के अनुसार होता है।

मिश्रित भिन्नों के लिए, हम पूर्ण भागों को पूर्ण भागों के साथ और भिन्न भागों को भिन्नों के साथ जोड़ते हैं।

यदि मिश्रित संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में हर समान हों, तो हम अंश जोड़ते हैं, लेकिन हर वही रहता है।

आइए मिश्रित संख्याओं \(3\frac(6)(11)\) और \(1\frac(3)(11)\) को जोड़ें।

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\रंग(लाल) (3) + \रंग(नीला) (\frac(6)(11))) + ( \रंग(लाल) (1) + \रंग(नीला) (\frac(3)(11))) = (\रंग(लाल) (3) + \रंग(लाल) (1)) + (\रंग( नीला) (\frac(6)(11)) + \रंग(नीला) (\frac(3)(11))) = \रंग(लाल)(4) + (\रंग(नीला) (\frac(6) + 3)(11))) = \रंग(लाल)(4) + \रंग(नीला) (\frac(9)(11)) = \रंग(लाल)(4) \रंग(नीला) (\frac (9)(11))\)

यदि मिश्रित संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर हों, तो हम उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं।

आइए मिश्रित संख्याओं \(7\frac(1)(8)\) और \(2\frac(1)(6)\) का योग करें।

हर अलग है, इसलिए हमें उभयनिष्ठ हर खोजने की जरूरत है, यह 24 के बराबर है। पहले भिन्न \(7\frac(1)(8)\) को 3 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें, और दूसरे भिन्न \( 2\frac(1)(6)\) बटा 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\times \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24) ) = 9\frac(7)(24)\)

संबंधित सवाल:
भिन्नों को कैसे जोड़ें?
उत्तर: सबसे पहले आपको यह तय करना होगा कि यह किस प्रकार का अभिव्यक्ति है: भिन्नों के हर समान होते हैं, अलग-अलग हर होते हैं या मिश्रित भिन्न होते हैं। अभिव्यक्ति के प्रकार के आधार पर, हम समाधान एल्गोरिदम पर आगे बढ़ते हैं।

विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: आपको उभयनिष्ठ हर ढूंढना होगा, और फिर समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के नियम का पालन करना होगा।

मिश्रित भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: हम पूर्णांक भागों को पूर्णांकों के साथ और भिन्नात्मक भागों को भिन्नों के साथ जोड़ते हैं।

उदाहरण 1:
क्या दो का योग उचित भिन्न में परिणित हो सकता है? अनुचित अंश? उदाहरण दो।

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

भिन्न \(\frac(5)(7)\) एक उचित भिन्न है, यह दो उचित भिन्नों \(\frac(2)(7)\) और \(\frac(3) के योग का परिणाम है (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

भिन्न \(\frac(58)(45)\) एक अनुचित भिन्न है, यह उचित भिन्न \(\frac(2)(5)\) और \(\frac(8) के योग का परिणाम है (9)\).

उत्तर: दोनों प्रश्नों का उत्तर हाँ है।

उदाहरण #2:
भिन्नों को जोड़ें: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

बी) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

उदाहरण #3:
मिश्रित भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या और उचित भिन्न के योग के रूप में लिखें: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

बी) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

उदाहरण #4:
योग की गणना करें: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) सी) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

बी) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13)\)

सी) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

कार्य 1:
दोपहर के भोजन में हमने केक से \(\frac(8)(11)\) खाया, और शाम को रात के खाने में हमने केक से \(\frac(3)(11)\) खाया। क्या आपको लगता है केक पूरा खाया गया या नहीं?

समाधान:
भिन्न का हर 11 है, यह दर्शाता है कि केक को कितने भागों में विभाजित किया गया था। दोपहर के भोजन में हमने 11 में से केक के 8 टुकड़े खाये। रात के खाने में हमने 11 में से केक के 3 टुकड़े खाये। आइए 8 + 3 = 11 जोड़ें, हमने 11 में से केक के टुकड़े खाये, यानी पूरा केक।

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

उत्तर: पूरा केक खाया गया.