लघुगणकीय कार्यों के लिए सूत्र. लघुगणकीय अभिव्यक्तियाँ

मुख्य गुण.

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

समान आधार

लॉग6 4 + लॉग6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x >

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

एक नई नींव में परिवर्तन

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यह सभी देखें:

लघुगणक के मूल गुण

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प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सटीक मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1।
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.

3.

4. कहाँ .

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

उदाहरण 3. मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं।

लघुगणक सूत्र. लघुगणक उदाहरण समाधान.

हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह सभी देखें:

आधार a से b का लघुगणक अभिव्यक्ति को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है एक घात x() ज्ञात करना जिस पर समानता संतुष्ट होती है

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानना आवश्यक है, क्योंकि लघुगणक से संबंधित लगभग सभी समस्याओं एवं उदाहरणों का समाधान इन्हीं के आधार पर किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय हेरफेर के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं

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लघुगणक (3.4) के योग और अंतर के सूत्र की गणना करते समय आपका सामना अक्सर होता है। बाकी कुछ हद तक जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना करने के लिए वे अपरिहार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सामान्य लघुगणक वे हैं जिनका आधार सम दस, घातांकीय या दो है।
आधार दस के लघुगणक को आमतौर पर दशमलव लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) द्वारा दर्शाया जाता है।

रिकॉर्डिंग से साफ़ है कि रिकॉर्डिंग में मूल बातें नहीं लिखी गई हैं. उदाहरण के लिए

एक प्राकृतिक लघुगणक एक लघुगणक है जिसका आधार एक घातांक है (ln(x) द्वारा दर्शाया गया है)।

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सटीक मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

और आधार दो को एक और महत्वपूर्ण लघुगणक द्वारा दर्शाया गया है

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है

अभिन्न या प्रतिअवकलन लघुगणक संबंध द्वारा निर्धारित होता है

दी गई सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को समझने में आपकी मदद करने के लिए, मैं स्कूली पाठ्यक्रम और विश्वविद्यालयों से केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा।

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1।
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.
हमारे पास लघुगणक के अंतर के गुण के आधार पर

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गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ .

एक प्रतीत होने वाली जटिल अभिव्यक्ति को कई नियमों का उपयोग करके सरल बनाया जाता है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

समाधान। गणना के लिए, हम अंतिम पद 5 और 13 गुणों पर लागू होते हैं

हम इसे रिकॉर्ड पर रखते हैं और शोक मनाते हैं

चूँकि आधार बराबर हैं, हम व्यंजकों को बराबर करते हैं

लघुगणक. प्रथम स्तर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

समाधान: आइए चर के पदों के योग के माध्यम से लघुगणक लिखने के लिए चर का एक लघुगणक लें

यह लघुगणक और उनके गुणों से हमारे परिचय की शुरुआत मात्र है। गणनाओं का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम आपके ज्ञान को एक और समान रूप से महत्वपूर्ण विषय - लघुगणकीय असमानताओं तक विस्तारित करेंगे...

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एक के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी भी a>0, a≠1 के लिए। प्रमाण कठिन नहीं है: चूँकि a 0 =1 किसी भी a के लिए उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो साबित करने के लिए समानता लॉग a 1=0 लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।

आइए हम विचारित संपत्ति के अनुप्रयोग के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0, लॉग1=0 और।

आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, वह है, लॉग ए ए=1 a>0, a≠1 के लिए। वास्तव में, चूँकि किसी भी a के लिए a 1 =a है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार log a a=1 है।

लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण समानताएं लॉग 5 5 = 1, लॉग 5.6 5.6 और एलएनई = 1 हैं।

उदाहरण के लिए, लॉग 2 2 7 =7, लॉग10 -4 =-4 और .

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर है: लॉग ए (x y)=लॉग ए x+लॉग ए वाई, a>0 , a≠1 . आइए हम किसी उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x·a log a y, और चूँकि मुख्य लघुगणकीय पहचान के अनुसार एक लॉग a x =x और एक लॉग a y =y है, तो एक लॉग a x ·a लॉग a y =x·y है। इस प्रकार, एक लॉग a x+log a y =x·y, जिसमें से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, समानता सिद्ध की जा रही है।

आइए किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2 + लॉग 5 3 और .

किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति को सकारात्मक संख्याओं x 1, x 2, …, x n की एक परिमित संख्या n के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (x 1 ·x 2 ·…·x n)= लॉग ए एक्स 1 +लॉग ए एक्स 2 +...+लॉग ए एक्स एन . यह समानता बिना किसी समस्या के सिद्ध की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणक के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है। भागफल के लघुगणक की संपत्ति फॉर्म के एक सूत्र से मेल खाती है, जहां a>0, a≠1, x और y कुछ सकारात्मक संख्याएं हैं। इस सूत्र की वैधता किसी उत्पाद के लघुगणक के सूत्र के साथ-साथ सिद्ध होती है: चूँकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार।

यहां लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: .

चलिए आगे बढ़ते हैं घात के लघुगणक की संपत्ति. किसी डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। आइए किसी घात के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखें: लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी|, जहां a>0, a≠1, b और p ऐसी संख्याएं हैं कि डिग्री b p समझ में आती है और b p >0।

पहले हम इस गुण को सकारात्मक बी के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी अभिव्यक्ति, शक्ति के गुण के कारण, a p·log a b के बराबर होती है। तो हम समानता b p = a p·log a b पर आते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p·log a b।

इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना बाकी है। यहां हम ध्यान देते हैं कि नकारात्मक बी के लिए अभिव्यक्ति लॉग ए बी पी केवल सम घातांक पी के लिए समझ में आता है (चूंकि डिग्री बी पी का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई मतलब नहीं होगा), और इस मामले में बी पी =|बी| पी। तब बी पी =|बी| पी =(ए लॉग ए |बी|) पी =ए पी·लॉग ए |बी|, जहां से लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी| .

उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

यह पिछली संपत्ति से अनुसरण करता है मूल से लघुगणक का गुण: nवें मूल का लघुगणक मूल अभिव्यक्ति के लघुगणक द्वारा अंश 1/n के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, , जहां a>0, a≠1, n एक प्राकृतिक संख्या है जो एक से बड़ी है, b>0।

प्रमाण समानता (देखें) पर आधारित है, जो किसी भी सकारात्मक बी और शक्ति के लघुगणक की संपत्ति के लिए मान्य है: .

इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

अब आइए साबित करें नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्रदयालु . ऐसा करने के लिए, समानता लॉग सी बी=लॉग ए बी·लॉग सी ए की वैधता साबित करना पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग सी ए लॉग ए बी = लॉग ए बी लॉग सी ए. इससे समानता log c b=log a b·log c a सिद्ध होती है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध हो गया है।

आइए लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के कुछ उदाहरण दिखाएं: और .

नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर जाने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्र, कुछ मामलों में, किसी दिए गए लघुगणक का मान ज्ञात करने की भी अनुमति देता है, जब अन्य आधारों वाले कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

प्रपत्र के c=b के लिए नए लघुगणक आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का एक विशेष मामला अक्सर उपयोग किया जाता है . इससे पता चलता है कि लॉग ए बी और लॉग बी ए -। जैसे, .

सूत्र का प्रयोग भी प्रायः किया जाता है , जो लघुगणक मान ज्ञात करने के लिए सुविधाजनक है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि इसका उपयोग फॉर्म के लघुगणक के मूल्य की गणना करने के लिए कैसे किया जा सकता है। हमारे पास है . सूत्र को सिद्ध करने के लिए लघुगणक a के नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: .

यह लघुगणक की तुलना के गुणों को सिद्ध करना बाकी है।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी सकारात्मक संख्या b 1 और b 2, b 1 के लिए लॉग ए बी 2, और ए>1 के लिए - असमानता लॉग ए बी 1

अंत में, लघुगणक के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को सिद्ध करना बाकी है। आइए हम खुद को इसके पहले भाग के प्रमाण तक सीमित रखें, यानी हम साबित करेंगे कि यदि a 1 >1, a 2 >1 और a 1 1 सत्य है लॉग ए 1 बी>लॉग ए 2 बी। लघुगणक के इस गुण के शेष कथन इसी सिद्धांत के अनुसार सिद्ध किये जाते हैं।

आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि 1 >1, 2 >1 और 1 के लिए 1 सत्य है लॉग ए 1 बी≤लॉग ए 2 बी। लघुगणक के गुणों के आधार पर, इन असमानताओं को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रमशः लॉग बी ए 1 ≤लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 ≥लॉग बी ए 2। फिर, समान आधारों वाली घातों के गुणों के अनुसार, समानताएँ b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 कायम रहनी चाहिए, अर्थात a 1 ≥a 2। अत: हम शर्त 1 के विरोधाभास पर पहुँचे

ग्रंथ सूची.

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शिक्षा संस्थानों के ग्रेड 10 - 11 के लिए पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल)।

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉग ए एक्सऔर लॉग करें ए य. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लकड़ी का लट्ठा ए एक्स+ लॉग ए य=लॉग ए (एक्स · य);
2. लकड़ी का लट्ठा ए एक्स− लॉग ए य=लॉग ए (एक्स : य).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही उसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लघुगणक 2 7. चूँकि लघुगणक 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - हर में 2/4 रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी≠ 1, समानता सत्य है:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

विशेष रूप से, यदि हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क में स्थिति की डिग्री का सूचक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह सिर्फ एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहा जाता है: बुनियादी लघुगणकीय पहचान।

दरअसल, नंबर से क्या होगा बीइतनी घात तक बढ़ाएँ कि संख्या बीइस शक्ति को संख्या देता है ए? यह सही है: आपको यही नंबर मिलेगा ए. इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लकड़ी का लट्ठा ए ए= 1 एक लघुगणकीय इकाई है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार पर लघुगणक एइसी से आधार एक के बराबर है।
2. लकड़ी का लट्ठा ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है. आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

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लघुगणक और उनके साथ संचालन के नियम काफी व्यापक और सरल हैं। इसलिए आपके लिए इस विषय को समझना मुश्किल नहीं होगा. प्राकृतिक लघुगणक के सभी नियम सीखने के बाद, किसी भी समस्या को स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता है। इस विषय से पहला परिचय उबाऊ और निरर्थक लग सकता है, लेकिन लघुगणक की सहायता से ही 16वीं शताब्दी के गणितज्ञों की कई समस्याओं का समाधान किया गया था। "यह किस बारे में है?" - तुमने सोचा। लेख को अंत तक पढ़ें और जानें कि "विज्ञान की रानी" का यह खंड न केवल सटीक विज्ञान के गणितज्ञों और वैज्ञानिकों के लिए, बल्कि सामान्य माध्यमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी रुचिकर हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा

आइए लघुगणक की परिभाषा से शुरू करें। जैसा कि कई पाठ्यपुस्तकें कहती हैं: किसी संख्या b से आधार a (logab) का लघुगणक एक निश्चित संख्या c है जिसके लिए निम्नलिखित समानता है: b=ac। यानी, सरल शब्दों में, लघुगणक एक निश्चित शक्ति है जिसके आधार पर हम किसी दी गई संख्या को प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि लॉगैब फॉर्म का लघुगणक तभी समझ में आता है जब: a>0; ए - 1 के अलावा अन्य संख्या; b>0, इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए पाया जा सकता है।

आधार के आधार पर लघुगणक का वर्गीकरण

लघुगणक के आधार पर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है। लेकिन ये भी दो प्रकार के होते हैं: प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक।

• प्राकृतिक लघुगणक - आधार ई के साथ लघुगणक (ई यूलर की संख्या है, संख्यात्मक रूप से लगभग 2.7 के बराबर, अपरिमेय संख्या जो घातीय फ़ंक्शन y = ex के लिए पेश की गई थी), जिसे ln a = logea के रूप में दर्शाया गया है;
• दशमलव लघुगणक 10 के आधार वाला एक लघुगणक है, अर्थात, log10a = log a।

लघुगणक के बुनियादी नियम

सबसे पहले आपको मूल लघुगणकीय पहचान से परिचित होना होगा: alogab=b, उसके बाद दो बुनियादी नियम:

• loga1 = 0 - चूँकि शून्य घात तक की कोई भी संख्या 1 के बराबर होती है;
• लॉगा = 1.

लघुगणक की खोज के लिए धन्यवाद, हमारे लिए किसी भी घातीय समीकरण को हल करना मुश्किल नहीं होगा, जिसका उत्तर किसी प्राकृतिक संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, बल्कि केवल एक अपरिमेय संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: 5x = 9, x = log59 (चूंकि इस समीकरण के लिए कोई प्राकृतिक x नहीं है)।

लघुगणक के साथ संचालन

• loga(x · y) = logax+ logay - उत्पाद का लघुगणक ज्ञात करने के लिए, आपको कारकों के लघुगणक जोड़ने होंगे। कृपया ध्यान दें कि लघुगणक के आधार समान हैं। यदि हम इसे उल्टे क्रम में लिखते हैं, तो हमें लघुगणक जोड़ने का नियम मिलता है।
• loga xy = logax - logay - किसी भागफल का लघुगणक ज्ञात करने के लिए, आपको लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच अंतर ज्ञात करना होगा। कृपया ध्यान दें: लघुगणक का आधार समान होता है। जब इसे उल्टे क्रम में लिखा जाता है, तो हमें लघुगणक घटाने का नियम प्राप्त होता है।

• logakxp = (p/k)*logax - इस प्रकार, यदि तर्क और लघुगणक के आधार में शक्तियाँ हैं, तो उन्हें लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।
• logax = logac xc - पिछले नियम का एक विशेष मामला, जब घातांक बराबर होते हैं, तो उन्हें कम किया जा सकता है।
• logax = (logbx)(logba) - तथाकथित संक्रमण मॉड्यूल, लघुगणक को दूसरे आधार पर कम करने की प्रक्रिया।
• लॉगएक्स = 1/लॉगएक्सए - संक्रमण का एक विशेष मामला, आधार के स्थान और दिए गए नंबर को बदलना। संपूर्ण अभिव्यक्ति, आलंकारिक रूप से बोलती है, उलट जाती है, और एक नए आधार के साथ लघुगणक हर में दिखाई देता है।

लघुगणक का इतिहास

16वीं शताब्दी में, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए कई अनुमानित गणनाएँ करने की आवश्यकता उत्पन्न हुई, मुख्यतः खगोल विज्ञान में (उदाहरण के लिए, सूर्य या तारों से जहाज की स्थिति का निर्धारण करना)।

यह आवश्यकता तेजी से बढ़ी और बहु-अंकीय संख्याओं के गुणन और विभाजन ने महत्वपूर्ण कठिनाई पैदा कर दी। और गणितज्ञ नेपियर ने, त्रिकोणमितीय गणना करते समय, इसके लिए कुछ प्रगति की तुलना करते हुए, श्रम-गहन गुणन को सामान्य जोड़ से बदलने का निर्णय लिया। फिर विभाजन को, इसी तरह, एक सरल और अधिक विश्वसनीय प्रक्रिया - घटाव द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और nवें मूल को निकालने के लिए, आपको मूल अभिव्यक्ति के लघुगणक को n से विभाजित करना होगा। गणित में इतनी कठिन समस्या को हल करना विज्ञान में नेपियर के लक्ष्यों को स्पष्ट रूप से प्रतिबिंबित करता है। यहां बताया गया है कि उन्होंने अपनी पुस्तक "रब्डोलॉजी" की शुरुआत में इसके बारे में कैसे लिखा है:

जहां तक ​​मेरी ताकत और क्षमताएं संभव हैं, मैंने हमेशा लोगों को गणनाओं की कठिनाई और नीरसता से मुक्त करने की कोशिश की है, जिसकी थकावट आमतौर पर कई लोगों को गणित का अध्ययन करने से हतोत्साहित करती है।

लघुगणक का नाम स्वयं नेपियर द्वारा सुझाया गया था; इसे ग्रीक शब्दों को मिलाकर प्राप्त किया गया था, जिनका संयुक्त होने पर अर्थ होता था "अनुपातों की संख्या।"

लघुगणक का आधार स्पीडेल द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यूलर ने इसे शक्तियों के सिद्धांत से उधार लिया और इसे लघुगणक के सिद्धांत में स्थानांतरित कर दिया। लघुगणक की अवधारणा 19वीं सदी में कोप्पे की बदौलत प्रसिद्ध हुई। और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक का उपयोग, साथ ही उनके अंकन, कॉची के लिए धन्यवाद प्रकट हुए।

1614 में, जॉन नेपियर ने लैटिन में एक निबंध प्रकाशित किया, "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण।" इसमें लघुगणक, नियम और उनके गुणों का संक्षिप्त विवरण था। इस प्रकार "लघुगणक" शब्द सटीक विज्ञान में स्थापित हो गया।

लॉगरिदम ऑपरेशन और इसका पहला उल्लेख वालिस और जोहान बर्नौली के कारण सामने आया और अंततः इसे 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा स्थापित किया गया।

फॉर्म y = logax के लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को जटिल डोमेन तक विस्तारित करना यूलर की योग्यता है। 18वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में उनकी पुस्तक "इंट्रोडक्शन टू द एनालिसिस ऑफ इनफिनिट्स" प्रकाशित हुई, जिसमें घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों की आधुनिक परिभाषाएँ शामिल थीं।

लघुगणकीय कार्य

फॉर्म y = logax का एक फ़ंक्शन (केवल तभी समझ में आता है: a > 0, a ≠ 1)।

• लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को सभी सकारात्मक संख्याओं के सेट द्वारा परिभाषित किया गया है, क्योंकि प्रविष्टि लॉगैक्स केवल शर्त के तहत मौजूद है - x > 0;।
• यह फ़ंक्शन सेट R (वास्तविक संख्या) से बिल्कुल सभी मान ले सकता है। चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या b का एक धनात्मक x होता है, इसलिए समानता logax = b संतुष्ट होती है, अर्थात, इस समीकरण का एक मूल है - x = ab (इस तथ्य से पता चलता है कि logaab = b)।
• फ़ंक्शन अंतराल a>0 पर बढ़ता है, और अंतराल 0 पर घटता है। यदि a>0 है, तो फ़ंक्शन x>1 के लिए सकारात्मक मान लेता है।

यह याद रखना चाहिए कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन y = logax के किसी भी ग्राफ़ में एक स्थिर बिंदु (1; 0) होता है, क्योंकि loga 1 = 0 होता है। यह नीचे दिए गए ग्राफ़ के चित्रण में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

जैसा कि हम छवियों में देखते हैं, फ़ंक्शन में कोई समानता या विषमता नहीं है, इसमें अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं हैं, और यह ऊपर या नीचे तक सीमित नहीं है।

लघुगणक फलन y = logаx और घातांकीय फलन y = aх, जहां (а>0, а≠1), परस्पर व्युत्क्रम हैं। इसे उनके ग्राफ़ की छवि में देखा जा सकता है।

लघुगणक के साथ समस्याओं का समाधान

आमतौर पर, लघुगणक वाली समस्या का समाधान उन्हें एक मानक रूप में परिवर्तित करने पर आधारित होता है या इसका उद्देश्य लघुगणक चिह्न के तहत अभिव्यक्तियों को सरल बनाना होता है। या क्या सामान्य प्राकृतिक संख्याओं को आवश्यक आधार के साथ लघुगणक में परिवर्तित करना और अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए आगे की कार्रवाई करना उचित है।

कुछ बारीकियाँ हैं जिन्हें नहीं भूलना चाहिए:

• असमानताओं को हल करते समय जब दोनों पक्ष एक ही आधार वाले नियम के अनुसार लघुगणक के अंतर्गत हों, तो लघुगणक के चिह्न को "फेंकने" में जल्दबाजी न करें। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के एकरसता अंतराल से अवगत रहें। चूंकि, यदि आधार 1 से बड़ा है (वह स्थिति जब फ़ंक्शन बढ़ रहा है), असमानता चिह्न अपरिवर्तित रहेगा, लेकिन जब आधार 0 से अधिक है और 1 से कम है (वह स्थिति जब फ़ंक्शन घट रहा है), तो असमानता का संकेत अपरिवर्तित रहेगा संकेत विपरीत में बदल जाएगा;
• लघुगणक की परिभाषाओं को न भूलें: logax = b, a>0, a≠1 और x>0, ताकि स्वीकार्य मानों की बेहिसाब सीमा के कारण जड़ें न खोएं। लगभग सभी जटिल कार्यों के लिए अनुमेय मूल्य सीमा (वीए) मौजूद है।

ये छोटी-मोटी, लेकिन बड़े पैमाने पर होने वाली गलतियाँ हैं जिनका किसी कार्य के लिए सही उत्तर खोजने के रास्ते में कई लोगों ने सामना किया है। लघुगणक को हल करने के लिए इतने सारे नियम नहीं हैं, इसलिए यह विषय दूसरों और बाद के विषयों की तुलना में सरल है, लेकिन यह अच्छी तरह समझने लायक है।

निष्कर्ष

पहली नज़र में यह विषय जटिल और बोझिल लग सकता है, लेकिन जैसे-जैसे आप इसका गहराई से अध्ययन करते हैं, आपको यह समझ में आने लगता है कि विषय बस ख़त्म हो गया है, और किसी भी चीज़ से कोई कठिनाई नहीं हुई है। हमने लघुगणक के विषय से संबंधित सभी गुणों, नियमों और यहां तक ​​कि त्रुटियों को भी कवर किया है। आपकी पढ़ाई में शुभकामनाएँ!