वीडियो ट्यूटोरियल 2: पिरामिड के लिए समस्या। पिरामिड मात्रा

वीडियो ट्यूटोरियल 3: पिरामिड के लिए समस्या। सही पिरामिड

भाषण: पिरामिड, इसका आधार, पार्श्व पसलियां, ऊंचाई, पार्श्व सतह; त्रिकोणीय पिरामिड; सही पिरामिड

पिरामिडएक ठोस पिंड है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है, और इसके सभी फलक त्रिभुजों से बने होते हैं।

पिरामिड का एक विशेष मामला एक शंकु है जिसके आधार पर एक वृत्त है।

आइए पिरामिड के मुख्य तत्वों पर विचार करें:

एपोथेमएक रेखा खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को पार्श्व चेहरे के निचले किनारे के मध्य से जोड़ता है। दूसरे शब्दों में, यह पिरामिड पहलू की ऊंचाई है।

यह आंकड़ा त्रिकोण एडीएस, एबीएस, बीसीएस, सीडीएस दिखाता है। यदि आप नामों को करीब से देखें, तो आप देख सकते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज के नाम में एक समान अक्षर होता है - S। अर्थात, इसका अर्थ है कि सभी भुजाएँ (त्रिकोण) एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। .

खंड ОS, जो शीर्ष को आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ता है (त्रिभुजों के मामले में, ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु पर) कहलाता है पिरामिड ऊंचाई.

एक विकर्ण खंड एक विमान है जो पिरामिड के शीर्ष के साथ-साथ आधार के विकर्णों में से एक के माध्यम से गुजरता है।

चूंकि पिरामिड की पार्श्व सतह में त्रिभुज होते हैं, इसलिए पार्श्व सतह का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक चेहरे के क्षेत्रों को ढूंढना और उन्हें जोड़ना आवश्यक है। फलकों की संख्या और आकार आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाओं के आकार और आकार पर निर्भर करता है।

पिरामिड का एकमात्र तल जिसका उसका शीर्ष नहीं है, कहलाता है आधारपिरामिड।

आकृति में, हम देखते हैं कि आधार पर एक समांतर चतुर्भुज है, हालांकि, कोई भी मनमाना बहुभुज हो सकता है।

गुण:

पिरामिड के पहले मामले पर विचार करें जिसमें इसकी समान लंबाई के किनारे हों:

• ऐसे पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यदि आप ऐसे पिरामिड के शीर्ष को प्रक्षेपित करते हैं, तो इसका प्रक्षेपण वृत्त के केंद्र में होगा।
• पिरामिड के आधार पर कोण प्रत्येक फलक के लिए समान होते हैं।
• इस मामले में, इस तथ्य के लिए पर्याप्त शर्त है कि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक सर्कल का वर्णन किया जा सकता है, साथ ही यह मानने के लिए कि सभी किनारों की अलग-अलग लंबाई है, हम आधार और प्रत्येक किनारे के बीच समान कोणों पर विचार कर सकते हैं। चेहरे।

यदि आप एक ऐसे पिरामिड के सामने आते हैं, जिसकी भुजाओं के फलक और आधार के बीच के कोण बराबर हैं, तो निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

• आप पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने में सक्षम होंगे, जिसका शीर्ष बिल्कुल केंद्र की ओर प्रक्षेपित होता है।
• यदि आप ऊंचाई के प्रत्येक किनारे को आधार की ओर खींचते हैं, तो वे समान लंबाई के होंगे।
• इस तरह के पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आधार की परिधि को खोजने और इसे ऊंचाई की आधी लंबाई से गुणा करने के लिए पर्याप्त है।
• एस बीपी = 0.5 पी ओसी एच।
• पिरामिड के प्रकार।
• पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है, इसके आधार पर वे त्रिकोणीय, चतुर्भुज आदि हो सकते हैं। यदि एक नियमित बहुभुज (बराबर भुजाओं वाला) पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो ऐसे पिरामिड को नियमित कहा जाएगा।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

यह वीडियो ट्यूटोरियल उपयोगकर्ताओं को पिरामिड थीम का अंदाजा लगाने में मदद करेगा। सही पिरामिड। इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे, हम इसकी परिभाषा देंगे। आइए विचार करें कि एक नियमित पिरामिड क्या है और इसमें क्या गुण हैं। फिर हम एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह पर प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे, हम इसकी परिभाषा देंगे।

बहुभुज पर विचार करें ए 1 ए 2...एक, जो विमान α में स्थित है, और बिंदु पी, जो समतल α में नहीं है (चित्र 1)। आइए बिंदु को जोड़ते हैं पीचोटियों के साथ ए 1, ए 2, ए 3, … एक... हम पाते हैं एनत्रिभुज: ए 1 ए 2 आर, ए 2 ए 3 आरआदि।

परिभाषा... बहुतल आरए 1 ए 2 ... ए एनकी रचना एन-गोनल ए 1 ए 2...एकतथा एनत्रिभुज आरए 1 ए 2, आरए 2 ए 3 …पीए एन एन-1 कहा जाता है एन-गोनल पिरामिड। चावल। एक।

चावल। एक

एक चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(रेखा चित्र नम्बर 2)।

आर- पिरामिड का शीर्ष।

ए बी सी डी- पिरामिड का आधार।

आरए- पार्श्व पसली।

अब- आधार का किनारा।

बिंदु से आरलंबवत छोड़ें शारीरिक रूप से विकलांगआधार के तल पर ए बी सी डी... खींचा गया लंबवत पिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 2

पिरामिड की पूरी सतह में पार्श्व सतह होती है, यानी सभी पार्श्व चेहरों का क्षेत्रफल और आधार क्षेत्र:

एस पूर्ण = एस पक्ष + एस मुख्य

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि:

• इसका आधार एक नियमित बहुभुज है;
• पिरामिड के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला रेखा खंड इसकी ऊंचाई है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण पर स्पष्टीकरण

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(अंजीर। 3)।

आर- पिरामिड का शीर्ष। पिरामिड का आधार ए बी सी डी- एक नियमित चतुर्भुज, यानी एक वर्ग। दूरसंचार विभाग हे, विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, वर्ग का केंद्र है। माध्यम, आरओपिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 3

व्याख्या: सही में एन-गॉन, उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र और परिवृत्त का केंद्र मेल खाता है। इस केंद्र को बहुभुज का केंद्र कहा जाता है। कभी-कभी यह कहा जाता है कि शीर्ष को केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमऔर निरूपित एच ए.

1. एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे बराबर होते हैं;

2. पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

इन गुणों का प्रमाण एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण द्वारा दिया गया है।

दिया गया: पीएवीएसडी- नियमित चतुर्भुज पिरामिड,

ए बी सी डी- वर्ग,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई।

साबित करना:

1. पीए = पीबी = पीसी = पीडी

2.= ∆ВСР = DP = DAP चित्र देखें। 4.

चावल। 4

सबूत.

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई। यानी सीधा आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष एओ, वीओ, एसओतथा करनाउसमें पड़ा हुआ है। तो त्रिभुज आरओए, आरओवी, आरओएस, पॉड- आयताकार।

एक वर्ग पर विचार करें ए बी सी डी... यह वर्ग के गुणों से इस प्रकार है कि एओ = बीओ = सीओ = करना।

तब समकोण त्रिभुज होते हैं आरओए, आरओवी, आरओएस, पॉडटांग आरओ- सामान्य और पैर एओ, वीओ, एसओतथा करनाबराबर हैं, जिसका अर्थ है कि ये त्रिभुज दो पैरों में बराबर हैं। त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य खंडों की समानता से है, पीए = पीबी = पीसी = पीडी।आइटम 1 साबित होता है।

सेगमेंट अबतथा रविसमान हैं, क्योंकि वे एक ही वर्ग की भुजाएँ हैं, आरए = पीबी = आरएस... तो त्रिभुज एबीपीतथा मानव संसाधन V -समद्विबाहु और तीन तरफ बराबर।

इसी प्रकार, हम पाते हैं कि त्रिभुज एटीएस, बीसीपी, सीडीपी, डीएपीसमद्विबाहु और बराबर हैं, जैसा कि पैराग्राफ 2 में साबित करने के लिए आवश्यक है।

एक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र आधार परिधि के आधे उत्पाद के बराबर है जो एपोथेम का है:

प्रमाण के लिए हम एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड चुनेंगे।

दिया गया: रावस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड।

एबी = बीसी = एसी।

आरओ- कद।

साबित करना: ... अंजीर देखें। 5.

चावल। 5

सबूत।

रावस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड। अर्थात् अब= एसी = बीसी... होने देना हे- त्रिभुज का केंद्र एबीसी, फिर आरओपिरामिड की ऊंचाई है। एक समबाहु त्रिभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है एबीसी... नोटिस जो .

त्रिभुज आरएवी, आरवीएस, आरएसए- समान समद्विबाहु त्रिभुज (गुण के अनुसार)। त्रिभुजाकार पिरामिड के तीन पार्श्व फलक होते हैं: आरएवी, आरवीएस, आरएसए... इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर है:

एस पक्ष = 3एस आरएवी

प्रमेय सिद्ध होता है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है, पिरामिड की ऊंचाई 4 मीटर है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दिया गया: नियमित चतुर्भुज पिरामिड ए बी सी डी,

ए बी सी डी- वर्ग,

आर= 3 मीटर,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई,

आरओ= 4 मी.

पाना: एस पक्ष। अंजीर देखें। 6.

चावल। 6

समाधान.

सिद्ध प्रमेय द्वारा,.

आइए पहले आधार की भुजा ज्ञात करें अब... हम जानते हैं कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर अंकित एक वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है।

फिर, एम.

वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए ए बी सी डी 6 मीटर के किनारे के साथ:

एक त्रिभुज पर विचार करें बीसीडी... होने देना एम- पक्ष के बीच डीसी... चूंकि हे- मध्यम बीडी, फिर (एम)।

त्रिकोण डीपीसी- समद्विबाहु। एम- मध्यम डीसी... अर्थात्, आर एम- माध्यिका, और इसलिए त्रिभुज में ऊँचाई डीपीसी... फिर आर एम- पिरामिड का एपोथेम।

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई। फिर, सीधे आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए सीधी रेखा ओएमउसमें पड़ा हुआ है। एपोथेम खोजें आर एमएक समकोण त्रिभुज से रोम.

अब हम पिरामिड की पार्श्व सतह का पता लगा सकते हैं:

उत्तर: 60 मीटर 2.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के परितः परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या मी है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 18 मी 2 है। एपोथेम की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दिया गया: एबीसीपी- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड,

एबी = बीसी = सीए,

आर= एम,

एस पक्ष = 18 मीटर 2।

पाना:. अंजीर देखें। 7.

चावल। 7

समाधान.

एक नियमित त्रिभुज में एबीसीपरिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है। आइए एक पक्ष खोजें अबसाइन प्रमेय का उपयोग करते हुए यह त्रिभुज।

एक नियमित त्रिभुज (m) की भुजा जानने के बाद, हम इसका परिमाप ज्ञात करते हैं।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा, जहां एच ए- पिरामिड का एपोथेम। फिर:

उत्तर: 4 मी.

इसलिए, हमने जांच की कि एक पिरामिड क्या है, एक नियमित पिरामिड क्या है, और एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह पर प्रमेय को सिद्ध किया। अगले पाठ में, हमें काटे गए पिरामिड से परिचित कराया जाएगा।

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होम वर्क

1. क्या एक नियमित बहुभुज एक अनियमित पिरामिड का आधार हो सकता है?
2. सिद्ध कीजिए कि एक नियमित पिरामिड के असम्बद्ध किनारे लंबवत होते हैं।
3. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के आधार के किनारे पर डायहेड्रल कोण का मान ज्ञात करें यदि पिरामिड का एपोथेम इसके आधार की भुजा के बराबर है।
4. रावस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड। पिरामिड के आधार पर द्विफलक के रैखिक कोण की रचना कीजिए।

परिभाषा। साइड एजएक त्रिभुज है, जिसका एक कोना पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। पिरामिड में उतने ही किनारे हैं जितने कि बहुभुज के कोने हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाई- यह एक लंबवत है, जो ऊपर से पिरामिड के आधार तक कम है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।

परिभाषा। विकर्ण खंडपिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक गिरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार के तल की ओर झुके हुए हैं।

पार्श्व किनारे समान होते हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी पार्श्व पसलियां समान हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार के समान कोण पर ढलान करती हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के एपोथेम समान होते हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों का एक समान द्विफलक (सपाट) कोण होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिचालित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. पिरामिड में एक गोला खुदा जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

एक पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब एक पॉलीहेड्रॉन पिरामिड के आधार पर स्थित होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन हमेशा किया जा सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

एक शंकु के साथ एक पिरामिड का कनेक्शन

एक शंकु को पिरामिड में उत्कीर्ण कहा जाता है यदि उनके शीर्ष मेल खाते हैं और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में खुदा हुआ है।

एक शंकु को एक पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उनके शीर्ष मेल खाते हैं, और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर घिरा हुआ है।

पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार पर खुदा होता है।

एक पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक चक्र का वर्णन किया जा सकता है।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिकोणीय कोना.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं माध्य चतुष्फलक(जीएम)।

बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड है जो संपर्क में नहीं हैं (KL)।

चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएं एक बिंदु (S) पर मिलती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और औसत 3: 1 के अनुपात में, ऊपर से शुरू होते हैं।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसमें चारों फलक समबाहु त्रिभुज होते हैं। यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकशीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण के साथ एक चतुष्फलक कहा जाता है (किनारे लंबवत हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोनाऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी पहलू का एपोथेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। इक्वेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनचतुष्फलक कहलाती है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक सभी ऊँचाइयाँ (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा होता है।

पिरामिड। काटे गए पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (अंजीर। 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र की ओर प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड पार्श्व फलक का वह भाग है जो आधार से संबंधित नहीं है कद पिरामिड को उसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी कहा जाता है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व किनारे समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। ऊपर से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेम . विकर्ण खंड पिरामिड के खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला एक तल कहा जाता है जो एक चेहरे से संबंधित नहीं होता है।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है।

प्रमेयों

1. यदि एक पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के चारों ओर घेरे हुए वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

2. यदि पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के चारों ओर घेरे हुए वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- आयतन;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एच- पिरामिड की ऊंचाई।

सही पिरामिड के लिए, सूत्र सही हैं:

कहाँ पे पी- आधार परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- कद;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वी- सही पिरामिड का आयतन।

काटे गए पिरामिडपिरामिड का वह भाग कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर छेदक तल के बीच घिरा होता है (चित्र 17)। नियमित रूप से काटे गए पिरामिड इसे एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर छेदक तल के बीच घिरा होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - समलम्बाकार। कद एक छोटा पिरामिड इसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक काटे गए पिरामिड को इसके शीर्षों को जोड़ने वाला खंड कहा जाता है जो एक ही फलक पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

एक काटे गए पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले ठिकानों के क्षेत्र;

एस पूर्ण- कुल सतह क्षेत्रफल;

एस साइड- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- कद;

वी- काटे गए पिरामिड का आयतन।

एक सही काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

एच ए- नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1।एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 18)।

पिरामिड नियमित है, इसलिए आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है और सभी भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण है एदो लंबवत के बीच: और यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिवृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार के तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी... स्पर्शरेखा खोजने के लिए, आपको पैरों को जानना होगा इसलिएतथा ओबी... माना खंड की लंबाई बीडी 3 . के बराबर है ए... दूरसंचार विभाग हेअनुभाग बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2।एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं, और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। तो आधारों के क्षेत्र और सूत्र में सभी डेटा को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिकोणीय काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व भाग एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। एक समलंब के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊंचाई जानने की जरूरत है। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। हम इसे कहाँ से पाएंगे ए 1 इबिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- लंबवत से ए 1 पर जैसा. ए 1 इ= 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। ढूँढ़ने के लिए डेआइए एक अतिरिक्त चित्र बनाते हैं, जो एक शीर्ष दृश्य (अंजीर। 20) को दर्शाएगा। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (अंजीर देखें। 20) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएम- खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एतथा बी (ए> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार तल के साथ एक कोण बनाता है जो के बराबर होता है जे... पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर ए बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल पर। एक समतल आकृति के एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने के लिए कार्य को कम कर दिया गया ए बी सी डी... एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ए बी सी डीअलग से (अंजीर। 22)। दूरसंचार विभाग हे- समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, या तो से, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास है

• एपोथेम- नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो नियमित बहुभुज के मध्य से इसके 1 तरफ कम हो जाती है);
• साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिभुज जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
• पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सी , डी एस ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
• पिरामिड के ऊपर (टी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
• कद ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) - एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी पार्श्व पसलियां समान आकार की हों, तब:

• पिरामिड के आधार के निकट एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अलावा, विलोम भी सत्य है, अर्थात। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है, तो पिरामिड के सभी किनारों पर समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान परिमाण के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:

• पिरामिड के आधार के निकट एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
• पार्श्व सतह क्षेत्र पार्श्व चेहरे की ऊंचाई से आधार परिधि के उत्पाद का आधा है।

3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि एक बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

सबसे सरल पिरामिड।

कोणों की संख्या से, पिरामिड का आधार त्रिभुजाकार, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित होता है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।