"समकोण" त्रिभुज के नाम से ही यह स्पष्ट हो जाता है कि इसका एक कोण 90 डिग्री का होता है। शेष कोणों को त्रिभुजों के सरल प्रमेयों और गुणों को याद करके खोजा जा सकता है।

आपको चाहिये होगा

• ज्या और कोज्या की तालिका, ब्रैडिस तालिका

निर्देश

1. आइए हम त्रिभुज के कोणों को अक्षर A, B और C से निरूपित करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। कोण BAC 90º के बराबर है, अन्य दो कोणों को α और β अक्षरों द्वारा दर्शाया गया है। हम त्रिभुज के पैरों को अक्षर a और b से और कर्ण को अक्षर c से निरूपित करते हैं।

2. फिर synα = b/c, और cosα = a/c। इसी प्रकार त्रिभुज के दूसरे तीव्र कोण के लिए: synβ = a/c, और cosβ = b/c। हम कौन सी भुजाओं को जानते हैं इसके आधार पर, हम ज्या या कोज्या की गणना करते हैं कोणों के और हम α और β के मानों के लिए ब्रैडिस तालिका को देखते हैं।

3. किसी एक कोण की खोज करने के बाद, आप याद रख सकते हैं कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180º होता है। इसका मतलब है कि α और β का योग 180º - 90º = 90º के बराबर है। फिर, तालिकाओं से α के मान की गणना करने के बाद, हम β खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: β = 90º - α

4. यदि त्रिभुज की एक भुजा अपरिचित है, तो हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: a²+b²=c²। आइए हम इससे अन्य दो के माध्यम से अपरिचित पक्ष के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करें और इसे किसी एक कोण की ज्या या कोज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

टिप 2: समकोण त्रिभुज में कर्ण कैसे खोजें

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित होती है। किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है। समकोण त्रिभुज की शेष भुजाओं को पैर कहा जाता है।

आपको चाहिये होगा

• ज्यामिति का बुनियादी ज्ञान.

निर्देश

1. कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। यानी कर्ण की लंबाई का वर्ग ज्ञात करने के लिए आपको पैरों की लंबाई का वर्ग करके जोड़ना होगा।

2. कर्ण की लंबाई उसकी लंबाई के वर्ग के वर्गमूल के बराबर होती है। इसकी लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम किसी संख्या का वर्गमूल पैरों के वर्गों के योग के बराबर लेते हैं। परिणामी संख्या कर्ण की लंबाई होगी।

विषय पर वीडियो

टिप्पणी!
कर्ण की लंबाई सही है, इसलिए मूल निकालते समय मूलांक शून्य से अधिक होना चाहिए।

मददगार सलाह
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई की गणना पैर को 2 के मूल से गुणा करके की जा सकती है।

टिप 3: समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का पता कैसे लगाएं

सीधे कोयला कात्रिकोण शायद ऐतिहासिक दृष्टि से सबसे प्रसिद्ध ज्यामितीय आकृतियों में से एक है। पायथागॉरियन "पैंट" केवल "यूरेका!" से प्रतिस्पर्धा कर सकता है! आर्किमिडीज़.

आपको चाहिये होगा

• - एक त्रिकोण का चित्रण;
• - शासक;
• - चांदा

निर्देश

1. हमेशा की तरह, त्रिभुज के कोनों के शीर्षों को बड़े लैटिन अक्षरों (ए, बी, सी) द्वारा और विपरीत भुजाओं को छोटे लैटिन अक्षरों (ए, बी, सी) या त्रिभुज के शीर्षों के नाम से निर्दिष्ट किया जाता है। इस पक्ष का निर्माण (AC, BC, AB)।

2. एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है। एक आयताकार में त्रिकोणएक कोण (सीधा) हमेशा 90 डिग्री का होगा, और बाकी न्यूनकोण, यानी। पूरे रास्ते 90 डिग्री से कम। यह निर्धारित करने के लिए कि आयताकार में कौन सा कोण है त्रिकोणसीधा है, त्रिभुज की भुजाओं को मापने और सबसे बड़े को निर्धारित करने के लिए एक रूलर का उपयोग करें। इसे कर्ण (AB) कहा जाता है और यह समकोण (C) के विपरीत स्थित होता है। शेष दो भुजाएँ समकोण बनाती हैं और टाँगें (AC, BC) कहलाती हैं।

3. एक बार जब आप यह निर्धारित कर लें कि कौन सा कोण न्यून कोण है, तो आप या तो चांदे का उपयोग करके कोण को माप सकते हैं या गणितीय सूत्रों का उपयोग करके इसकी गणना कर सकते हैं।

4. प्रोट्रैक्टर के समर्थन से कोण का आकार निर्धारित करने के लिए, प्रोट्रैक्टर के केंद्र में रूलर पर एक विशेष चिह्न के साथ इसके शीर्ष को संरेखित करें (आइए इसे अक्षर ए से निरूपित करें); पैर एसी को इसके ऊपरी भाग के साथ मेल खाना चाहिए किनारा। चाँदे के अर्धवृत्ताकार भाग पर वह बिंदु अंकित करें जिससे कर्ण AB गुजरता है। इस बिंदु पर मान डिग्री में कोण से मेल खाता है। यदि चाँदे पर 2 मान दर्शाए गए हैं, तो एक न्यून कोण के लिए आपको छोटा वाला, अधिक कोण के लिए बड़ा वाला चुनना होगा।

6. ब्रैडिस संदर्भ तालिकाओं में परिणामी मान ढूंढें और निर्धारित करें कि परिणामी संख्यात्मक मान किस कोण से मेल खाता है। हमारी दादी-नानी इस पद्धति का प्रयोग करती थीं।

7. आजकल, त्रिकोणमितीय सूत्रों की गणना के लिए एक फ़ंक्शन वाला कैलकुलेटर लेना ही पर्याप्त है। आइए मान लें कि अंतर्निहित विंडोज़ कैलकुलेटर। "कैलकुलेटर" एप्लिकेशन लॉन्च करें, "देखें" मेनू आइटम में, "इंजीनियरिंग" आइटम का चयन करें। वांछित कोण की ज्या की गणना करें, मान लें कि पाप(ए) = बीसी/एबी = 2/4 = 0.5

8. कैलकुलेटर डिस्प्ले पर INV बटन पर क्लिक करके कैलकुलेटर को व्युत्क्रम फ़ंक्शन मोड में स्विच करें, फिर आर्कसाइन फ़ंक्शन की गणना के लिए बटन पर क्लिक करें (डिस्प्ले पर माइनस फर्स्ट पावर के पाप के रूप में दर्शाया गया है)। गणना विंडो में एक और शिलालेख दिखाई देगा: आसींद (0.5) = 30। वांछित कोण 30 डिग्री है.

टिप 4: त्रिभुज में अज्ञात भुजा का पता कैसे लगाएं

किसी त्रिभुज की अज्ञात भुजा की गणना करने की विधि न केवल कार्य की स्थितियों पर निर्भर करती है, बल्कि इस बात पर भी निर्भर करती है कि यह क्यों किया जा रहा है। इसी तरह की समस्या का सामना न केवल स्कूली बच्चों को ज्यामिति पाठों में करना पड़ता है, बल्कि विभिन्न उद्योगों में काम करने वाले इंजीनियरों, इंटीरियर डिजाइनरों, कटर और कई अन्य व्यवसायों के प्रतिनिधियों को भी करना पड़ता है। अलग-अलग उद्देश्यों के लिए गणना की सटीकता अलग-अलग हो सकती है, लेकिन उनका नियम स्कूल की समस्या पुस्तिका के समान ही रहता है।

आपको चाहिये होगा

• - दिए गए मापदंडों के साथ त्रिकोण;
• - कैलकुलेटर;
• - कलम;
• - पेंसिल;
• - चांदा;
• - कागज़;
• - ऑटोकैड प्रोग्राम वाला कंप्यूटर;
• – साइन और कोसाइन के प्रमेय।

निर्देश

1. एक त्रिभुज बनाएं जो कार्य की शर्तों से मेल खाता हो। एक त्रिभुज का निर्माण तीन भुजाओं, दो भुजाओं और उनके बीच के कोण, या एक भुजा और दो आसन्न कोणों के साथ किया जा सकता है। ऑटोकैड प्रोग्राम में एक नोटबुक और कंप्यूटर पर काम की थीसिस इस संबंध में समान हैं। इसलिए असाइनमेंट में एक या दो भुजाओं और एक या दो कोनों के आयामों को सख्ती से दर्शाया जाना चाहिए।

2. दो किनारों और एक कोने के साथ निर्माण करते समय, शीट पर अग्रणी पक्ष के बराबर एक खंड बनाएं। चांदे की सहायता से इस कोण को अलग रखें और दूसरा कोण बनाएं ओर, शर्त में दिए गए आकार को अलग रखें। यदि आपको एक भुजा और दो आसन्न कोण दिए गए हैं, तो पहले कोण बनाएं ओर, फिर परिणामी खंड के 2 सिरों से, कोनों को अलग रखें और अन्य दो पक्षों को खींचें। त्रिभुज ABC को लेबल करें।

3. ऑटोकैड प्रोग्राम में, हर कोई "सेगमेंट" टूल की मदद से एक अनियमित त्रिकोण का निर्माण करने में अधिक सहज होता है। आप इसे ड्राइंग विंडो को प्राथमिकता देते हुए मुख्य टैब के माध्यम से खोजेंगे। उस पक्ष के निर्देशांक निर्दिष्ट करें जिसे आप जानते हैं, फिर दूसरे दिए गए खंड का अंतिम बिंदु।

4. त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करें. यदि यह आयताकार है, तो अपरिचित पक्ष की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है। कर्ण पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है, अर्थात c=?a2+b2। तदनुसार, उनका प्रत्येक पैर कर्ण और प्रसिद्ध पैर के वर्गों के बीच अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा: a=?c2-b2।

5. किसी त्रिभुज की अज्ञात भुजा की गणना करने के लिए जिसमें एक भुजा और दो आसन्न कोण हों, ज्या के नियम का उपयोग करें। साइड ए पाप है?, साइड बी पाप है? ? और? इस मामले में - विपरीत कोण. वह कोण जो समस्या की स्थितियों द्वारा निर्दिष्ट नहीं है, उसे यह याद रखकर खोजा जा सकता है कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इसमें से उन दो कोणों का योग घटाएं जिन्हें आप जानते हैं। खोज करना अज्ञातआपको ओरबी, सामान्य विधि का उपयोग करके अनुपात को हल करना, यानी, प्रसिद्ध को गुणा करना ओरऔर पाप पर? और इस उत्पाद को पाप से विभाजित करना? आपको सूत्र b=a*sin?/sin? मिलता है।

6. यदि आप भुजाएँ a और b और कोण जानते हैं? उनके बीच, कोज्या के नियम का प्रयोग करें। अपरिचित पक्ष c अन्य 2 भुजाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होगा, समान भुजाओं के गुणनफल का दोगुना घटाकर, उनके बीच के कोण की कोज्या से गुणा किया जाएगा। अर्थात्, c=?a2+b2-2ab*cos?

विषय पर वीडियो

टिप 5: समकोण त्रिभुज में कोण की गणना कैसे करें

सीधे कोयला काएक त्रिभुज दो न्यून कोणों से बना होता है, जिसका परिमाण भुजाओं की लंबाई पर निर्भर करता है, साथ ही एक कोण का मान हमेशा 90° होता है। आप यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक त्रिकोण के शीर्ष पर कोणों के योग पर त्रिकोणमितीय कार्यों या प्रमेय का उपयोग करके डिग्री में न्यून कोण के आकार की गणना कर सकते हैं।

निर्देश

1. यदि समस्या स्थितियाँ केवल त्रिभुज की भुजाओं के आयाम बताती हैं तो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस का उपयोग करें। मान लीजिए, 2 पैरों की लंबाई (एक समकोण से सटी छोटी भुजाएं) से, आप 2 न्यून कोणों में से प्रत्येक की गणना कर सकते हैं। उस कोण (?) की स्पर्श रेखा, जो पैर A से सटी हुई है, विपरीत भुजा (पैर B) की लंबाई को भुजा A की लंबाई से विभाजित करके पाई जा सकती है: tan(?) = B/A। और स्पर्शरेखा को जानकर, आप संबंधित कोण की डिग्री में गणना कर सकते हैं। इस प्रयोजन के लिए, आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन प्रदान किया गया है: ? = आर्कटीजी(टीजी(?)) = आर्कटीजी(बी/ए).

2. उसी सूत्र का उपयोग करके, आप पैर ए के विपरीत स्थित एक और तीव्र कोण का मान पा सकते हैं। बस पक्षों के पदनाम बदलें। लेकिन आप त्रिकोणमितीय कार्यों की एक और जोड़ी - कोटैंजेंट और आर्क कोटैंजेंट की मदद से इसे दूसरे तरीके से कर सकते हैं। कोण b का कोटैंजेंट आसन्न पैर A की लंबाई को विपरीत पैर B की लंबाई से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: tan(?) = A/B। और चाप कोटैंजेंट आपको प्राप्त मूल्य से डिग्री में कोण मान निकालने में मदद करेगा: ? = आर्कक्टग(сtg(?)) = आर्कक्टग(А/В).

3. यदि प्रारंभिक स्थितियों में पैरों में से एक (ए) और कर्ण (सी) की लंबाई दी गई है, तो कोणों की गणना करने के लिए साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करें - आर्कसाइन और आर्ककोसाइन। न्यून कोण की ज्या? विपरीत पैर बी की लंबाई और कर्ण सी की लंबाई के अनुपात के बराबर है: पाप(?) = बी/सी। इसका मतलब यह है कि इस कोण के मान को डिग्री में गणना करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें: ? = आर्क्सिन(V/C).

4. कोण की कोज्या के बारे में क्या? त्रिभुज के इस शीर्ष से सटे पैर ए की लंबाई और कर्ण सी की लंबाई के अनुपात से निर्धारित होता है। इसका मतलब है कि डिग्री में कोण की गणना करने के लिए, पिछले सूत्र के अनुरूप, आपको निम्नलिखित समानता का उपयोग करने की आवश्यकता है : ? = आर्ककोस(ए/सी).

5. यदि समस्या की स्थितियाँ तीव्र कोणों में से किसी एक का मान देती हैं तो त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करना अनावश्यक बना देता है। इस मामले में, अज्ञात कोण (?) की गणना करने के लिए, 180° से 2 ज्ञात कोणों - समकोण (90°) और न्यून कोण (?) के मान को आसानी से घटाएं: ? = 180° – 90° – ? = 90° – ?.

टिप्पणी!
ऊँचाई h त्रिभुज ABC को उसके समान दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। यहां तीन कोणों पर त्रिभुजों की समरूपता का संकेत ट्रिगर होता है।

त्रिभुज एक आदिम बहुभुज है जो एक समतल पर तीन बिंदुओं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंडों से घिरा होता है। त्रिभुज में कोण न्यून, अधिक और समकोण होते हैं। त्रिभुज में कोणों का योग सतत और 180 डिग्री के बराबर होता है।

आपको चाहिये होगा

• ज्यामिति और त्रिकोणमिति का बुनियादी ज्ञान।

निर्देश

1. आइए हम त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को a=2, b=3, c=4 के रूप में और इसके कोणों को u, v, w के रूप में निरूपित करें, जिनमें से प्रत्येक एक भुजा के विपरीत स्थित है। कोज्या प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई का वर्ग अन्य 2 भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें इन भुजाओं के गुणनफल का दोगुना और उनके बीच के कोण की कोज्या को घटाया जाता है। अर्थात्, a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u)। आइए इस अभिव्यक्ति में भुजाओं की लंबाई को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें: 4 = 9 + 16 - 24cos(u)।

2. आइए परिणामी समानता से cos(u) को व्यक्त करें। हमें निम्नलिखित मिलता है: cos(u) = 7/8. आगे हम वास्तविक कोण u ज्ञात करेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए आर्ककोस(7/8) की गणना करें। अर्थात्, कोण u = आर्ककोस(7/8)।

3. इसी प्रकार, अन्य भुजाओं को अन्य के पदों में व्यक्त करते हुए, हम शेष कोण ज्ञात करते हैं।

टिप्पणी!
एक कोण का मान 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता। चिह्न arccos() में 1 से बड़ी और -1 से छोटी संख्या नहीं हो सकती।

मददगार सलाह
तीनों कोणों का पता लगाने के लिए, तीनों पक्षों को व्यक्त करना आवश्यक नहीं है, केवल 2 कोणों का पता लगाने की अनुमति है, और शेष 2 के मान को 180 डिग्री से घटाकर तीसरा प्राप्त किया जाता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग निरंतर और 180 डिग्री के बराबर होता है।

ऑनलाइन कैलकुलेटर.
त्रिकोणों को हल करना.

किसी त्रिभुज को हल करने का अर्थ त्रिभुज को परिभाषित करने वाले किन्हीं तीन तत्वों से उसके सभी छह तत्वों (अर्थात, तीन भुजाएँ और तीन कोण) को खोजना है।

यह गणितीय प्रोग्राम उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट पक्ष \(a\) से भुजाएं \(b, c\), और कोण \(\alpha \) और दो आसन्न कोण \(\beta \) और \(\गामा \) ढूंढता है।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान खोजने की प्रक्रिया भी प्रदर्शित करता है।

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर माध्यमिक विद्यालयों में हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी करते समय, एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, और माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप संख्याएँ दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

संख्याएं दर्ज करने के नियम

संख्याओं को न केवल पूर्ण संख्याओं के रूप में, बल्कि भिन्नों के रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है।
दशमलव भिन्नों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अवधि या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दशमलव भिन्न जैसे 2.5 या 2.5 जैसे दर्ज कर सकते हैं

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
हो सकता है कि आपके पास AdBlock सक्षम हो.
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

क्योंकि समस्या का समाधान करने के इच्छुक बहुत से लोग हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध हो गया है।
कुछ ही सेकंड में समाधान नीचे दिखाई देगा.
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर आप समाधान में एक त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं बताएं कि कौन सा कार्य हैआप तय करें क्या फ़ील्ड में प्रवेश करें.

हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

ज्या का प्रमेय

प्रमेय

त्रिभुज की भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

कोसाइन प्रमेय

प्रमेय
माना त्रिभुज ABC में AB = c, BC = a, CA = b है। तब
किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें उन भुजाओं के गुणनफल का दोगुना और उनके बीच के कोण की कोज्या से गुणा किया जाता है।
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

त्रिकोणों को हल करना

किसी त्रिभुज को हल करने का अर्थ है त्रिभुज को परिभाषित करने वाले किन्हीं तीन तत्वों से उसके सभी छह तत्वों (अर्थात, तीन भुजाएँ और तीन कोण) को खोजना।

आइए त्रिभुज को हल करने से जुड़ी तीन समस्याओं पर नजर डालें। इस मामले में, हम त्रिभुज ABC की भुजाओं के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे: AB = c, BC = a, CA = b।

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक त्रिभुज को हल करना

दिया गया है: \(a, b, \कोण C\). \(c, \कोण A, \कोण B\) खोजें

समाधान
1. कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके हम पाते हैं \(c\):

3. \(\कोण B = 180^\circ -\कोण A -\कोण C\)

किसी त्रिभुज को भुजाओं और आसन्न कोणों द्वारा हल करना

दिया गया है: \(a, \कोण B, \कोण C\). \(\कोण ए, बी, सी\) खोजें

समाधान
1. \(\कोण A = 180^\circ -\कोण B -\कोण C\)

तीन भुजाओं का उपयोग करके एक त्रिभुज को हल करना

दिया गया है: \(a, b, c\). \(\कोण A, \कोण B, \कोण C\) खोजें

समाधान
1. कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. इसी प्रकार, हम कोण B ज्ञात करते हैं।
3. \(\कोण C = 180^\circ -\कोण A -\कोण B\)

दो भुजाओं और एक ज्ञात भुजा के विपरीत कोण का उपयोग करके एक त्रिभुज को हल करना

दिया गया है: \(a, b, \कोण A\). \(c, \कोण B, \कोण C\) खोजें

समाधान
1. ज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं \(\sin B\) हमें मिलता है:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \राइटएरो \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

आइए संकेतन का परिचय दें: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). संख्या D के आधार पर निम्नलिखित स्थितियाँ संभव हैं:
यदि D > 1, तो ऐसा त्रिभुज अस्तित्व में नहीं है, क्योंकि \(\sin B\) 1 से अधिक नहीं हो सकता
यदि D = 1, तो एक अद्वितीय \(\कोण B: \quad \sin B = 1 \दायां तीर \कोण B = 90^\circ \) है
यदि D यदि D 2. \(\कोण C = 180^\circ -\कोण A -\कोण B\)

3. साइन प्रमेय का उपयोग करके, हम पक्ष c की गणना करते हैं:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

भुजाओं की लंबाई (ए, बी, सी) ज्ञात है, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करें। इसमें कहा गया है कि किसी भी भुजा की लंबाई का वर्ग अन्य दो की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है, जिससे उनके बीच के कोण की कोज्या द्वारा समान दो भुजाओं की लंबाई का गुणनफल दोगुना हो जाता है। घटाया जाता है. आप इस प्रमेय का उपयोग किसी भी शीर्ष पर कोण की गणना करने के लिए कर सकते हैं; केवल भुजाओं के सापेक्ष उसका स्थान जानना महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, पक्षों b और c के बीच स्थित कोण α को खोजने के लिए, प्रमेय को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)।

वांछित कोण की कोज्या को सूत्र से व्यक्त करें: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c)। समानता के दोनों पक्षों पर, कोसाइन - आर्क कोसाइन का व्युत्क्रम फलन लागू करें। यह आपको कोसाइन मान का उपयोग करके डिग्री में कोण को पुनर्स्थापित करने की अनुमति देता है: आर्ककोस(कॉस(α)) = आर्ककोस((b²+c²-a²)/(2*b*c))। बाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है और पक्षों b और c के बीच के कोण की गणना अंतिम रूप लेगी: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c)।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का मान ज्ञात करते समय सभी भुजाओं की लंबाई जानना आवश्यक नहीं है; उनमें से दो ही पर्याप्त हैं। यदि ये दो भुजाएँ पैर (ए और बी) हैं, तो वांछित कोण (α) के विपरीत एक की लंबाई को दूसरे की लंबाई से विभाजित करें। इस तरह आपको वांछित कोण tg(α) = a/b का स्पर्शरेखा मान प्राप्त होगा, और व्युत्क्रम फलन - आर्कटैंजेंट - को समानता के दोनों पक्षों पर लागू करके और बाईं ओर को सरल बनाकर, पिछले चरण की तरह, प्राप्त करें अंतिम सूत्र: α = आर्कटान(ए/बी)।

यदि ज्ञात भुजाएँ पाद (ए) और कर्ण (सी) हैं, तो इन भुजाओं से बने कोण (β) की गणना करने के लिए, कोसाइन फ़ंक्शन और इसके व्युत्क्रम - आर्क कोसाइन का उपयोग करें। कोज्या पैर की लंबाई और कर्ण के अनुपात से निर्धारित होती है, और इसके अंतिम रूप में सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: β = आर्ककोस(ए/सी)। ज्ञात पैर के विपरीत स्थित समान प्रारंभिक तीव्र कोण (α) से गणना करने के लिए, उसी संबंध का उपयोग करें, आर्ककोसाइन को आर्कसाइन से बदलें: α = आर्क्सिन (ए/सी)।

स्रोत:

• 2 भुजाओं वाला त्रिभुज सूत्र

टिप 2: किसी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से उसके कोण कैसे ज्ञात करें

यदि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों की लंबाई ज्ञात हो तो उसके सभी कोणों का मान ज्ञात करने के लिए कई विकल्प हैं दलों. एक तरीका क्षेत्रफल की गणना के लिए दो अलग-अलग सूत्रों का उपयोग करना है त्रिकोण. गणनाओं को सरल बनाने के लिए, आप साइन प्रमेय और कोणों के योग प्रमेय को भी लागू कर सकते हैं त्रिकोण.

निर्देश

उदाहरण के लिए, क्षेत्रफल की गणना के लिए दो सूत्रों का उपयोग करें त्रिकोण, जिनमें से एक में उसके केवल तीन ज्ञात लोग शामिल हैं दलों s (बगुला), और दूसरे में - दो दलों s और उनके बीच के कोण की ज्या। दूसरे सूत्र में विभिन्न युग्मों का उपयोग करना दलों, आप प्रत्येक कोण का परिमाण निर्धारित कर सकते हैं त्रिकोण.

समस्या को सामान्य रूप में हल करें। हेरॉन का सूत्र क्षेत्रफल निर्धारित करता है त्रिकोण, अर्ध-परिधि के गुणनफल के वर्गमूल के रूप में (सभी का आधा)। दलों) अर्ध-परिधि और प्रत्येक के बीच के अंतर पर दलों. यदि हम योग से प्रतिस्थापित करते हैं दलों, तो सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C अन्य दलोंका क्षेत्र त्रिकोणइसे इसके दो के आधे उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है दलोंउनके बीच के कोण की ज्या द्वारा. उदाहरण के लिए, के लिए दलों a और b जिनके बीच कोण γ है, इस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: S=a∗b∗sin(γ)। समानता के बाईं ओर को हेरॉन के सूत्र से बदलें: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ)। इस समानता से सूत्र प्राप्त करें

वास्तविकता में लगभग हर कोने पर एक समकोण त्रिभुज पाया जाता है। किसी दी गई आकृति के गुणों का ज्ञान, साथ ही उसके क्षेत्रफल की गणना करने की क्षमता, निस्संदेह न केवल ज्यामिति समस्याओं को हल करने के लिए, बल्कि जीवन स्थितियों में भी आपके लिए उपयोगी होगी।

त्रिभुज ज्यामिति

प्रारंभिक ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन जुड़े हुए खंड होते हैं जो तीन कोण (दो तीव्र और एक सीधा) बनाते हैं। समकोण त्रिभुज एक मूल आकृति है जो कई महत्वपूर्ण गुणों से युक्त है जो त्रिकोणमिति की नींव बनाती है। एक नियमित त्रिभुज के विपरीत, एक आयताकार आकृति की भुजाओं के अपने नाम होते हैं:

• कर्ण किसी त्रिभुज की समकोण के विपरीत सबसे लंबी भुजा है।
• पैर ऐसे खंड हैं जो समकोण बनाते हैं। विचाराधीन कोण के आधार पर, पैर इसके समीप हो सकता है (कर्ण के साथ इस कोण को बनाते हुए) या विपरीत (कोण के विपरीत स्थित)। गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए कोई पाद नहीं होते हैं।

यह पैरों और कर्ण का अनुपात है जो त्रिकोणमिति का आधार बनता है: साइन, स्पर्शरेखा और छेदक को एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

वास्तविकता में समकोण त्रिभुज

हकीकत में यह आंकड़ा व्यापक हो गया है. त्रिभुजों का उपयोग डिज़ाइन और प्रौद्योगिकी में किया जाता है, इसलिए किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना इंजीनियरों, वास्तुकारों और डिजाइनरों को करनी होती है। टेट्राहेड्रोन या प्रिज्म के आधार - त्रि-आयामी आकृतियाँ जो रोजमर्रा की जिंदगी में आसानी से मिल जाती हैं - एक त्रिकोण के आकार की होती हैं। इसके अतिरिक्त, एक वर्ग वास्तविकता में एक "सपाट" समकोण त्रिभुज का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है। वर्ग एक धातुकर्म, ड्राइंग, निर्माण और बढ़ईगीरी उपकरण है जिसका उपयोग स्कूली बच्चों और इंजीनियरों दोनों द्वारा कोण बनाने के लिए किया जाता है।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल एक मात्रात्मक अनुमान है कि विमान का कितना भाग त्रिभुज की भुजाओं से घिरा है। एक साधारण त्रिभुज का क्षेत्रफल पांच तरीकों से पाया जा सकता है, हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके या खुदे हुए या परिबद्ध वृत्त के आधार, भुजा, कोण और त्रिज्या जैसे चर का उपयोग करके। क्षेत्रफल के लिए सबसे सरल सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, h उसकी ऊँचाई है।

समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र और भी सरल है:

जहाँ a और b पैर हैं।

हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ काम करते हुए, आप तीन जोड़े मापदंडों का उपयोग करके एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

• दो पैर;
• पैर और आसन्न कोण;
• पैर और विपरीत कोण.

समस्याओं या रोजमर्रा की स्थितियों में आपको चर के विभिन्न संयोजन दिए जाएंगे, इसलिए कैलकुलेटर का यह रूप आपको कई तरीकों से त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है। आइए कुछ उदाहरण देखें.

वास्तविक जीवन के उदाहरण

सिरेमिक टाइल

मान लीजिए कि आप रसोई की दीवारों को सिरेमिक टाइलों से ढंकना चाहते हैं, जिनका आकार समकोण त्रिभुज जैसा है। टाइल्स की खपत निर्धारित करने के लिए, आपको एक क्लैडिंग तत्व का क्षेत्रफल और उपचारित सतह के कुल क्षेत्रफल का पता लगाना होगा। मान लीजिए कि आपको 7 वर्ग मीटर संसाधित करने की आवश्यकता है। एक तत्व के पैरों की लंबाई 19 सेमी है, तो टाइल का क्षेत्रफल बराबर होगा:

इसका मतलब है कि एक तत्व का क्षेत्रफल 24.5 वर्ग सेंटीमीटर या 0.01805 वर्ग मीटर है। इन मापदंडों को जानकर, आप गणना कर सकते हैं कि 7 वर्ग मीटर की दीवार को खत्म करने के लिए आपको 7/0.01805 = 387 फेसिंग टाइल्स की आवश्यकता होगी।

स्कूल का कार्य

मान लीजिए कि एक स्कूल ज्यामिति समस्या में आपको एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, केवल यह जानते हुए कि एक पैर की भुजा 5 सेमी है, और विपरीत कोण 30 डिग्री है। हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को दर्शाने वाले एक चित्र के साथ आता है। यदि भुजा a = 5 सेमी है, तो इसका सम्मुख कोण 30 डिग्री के बराबर कोण अल्फा है। इस डेटा को कैलकुलेटर फॉर्म में दर्ज करें और परिणाम प्राप्त करें:

इस प्रकार, कैलकुलेटर न केवल किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है, बल्कि आसन्न पैर और कर्ण की लंबाई, साथ ही दूसरे कोण का मान भी निर्धारित करता है।

निष्कर्ष

समकोण त्रिभुज हमारे जीवन में वस्तुतः हर कोने पर पाए जाते हैं। ऐसे आंकड़ों का क्षेत्रफल निर्धारित करना आपके लिए न केवल ज्यामिति में स्कूल असाइनमेंट को हल करते समय, बल्कि रोजमर्रा और व्यावसायिक गतिविधियों में भी उपयोगी होगा।