एक संख्या का पूर्ण मूल्य ए। - यह निर्देशांक की शुरुआत से बिंदु तक दूरी है लेकिन अ(ए।).

इस परिभाषा को समझने के लिए, हम एक चर के बजाय स्थानापन्न करते हैं ए। उदाहरण 3 के लिए कोई भी संख्या और इसे फिर से पढ़ने की कोशिश करें:

एक संख्या का पूर्ण मूल्य 3 - यह निर्देशांक की शुरुआत से बिंदु तक दूरी है लेकिन अ(3 ).

यह स्पष्ट हो जाता है कि मॉड्यूल सामान्य दूरी से अधिक कुछ नहीं है। आइए निर्देशांक की शुरुआत से बिंदु ए तक दूरी देखने की कोशिश करें ( 3 )

बिंदु को इंगित करने की शुरुआत से दूरी ( 3 ) समान रूप से 3 (तीन इकाइयों या तीन चरणों)।

संख्या का मॉड्यूल दो लंबवत रेखाओं को इंगित करता है, उदाहरण के लिए:

संख्या 3 मॉड्यूल निम्नानुसार इंगित किया गया है: | 3 |

संख्या 4 का मॉड्यूल निम्नानुसार इंगित किया गया है: | 4 |

संख्या 5 मॉड्यूल निम्नानुसार है: | 5 |

हम एक संख्या 3 मॉड्यूल की तलाश में थे और यह पता चला कि यह 3. के बराबर है और इसे लिखें:

जैसे पढ़ता है: "तीन बार मॉड्यूल तीन है"

अब आइए नंबर -3 मॉड्यूल खोजने का प्रयास करें। फिर, हम परिभाषा पर वापस आते हैं और इसमें संख्या -3 को प्रतिस्थापित करते हैं। केवल एक बिंदु के बजाय ए। हम एक नए बिंदु का उपयोग करते हैं बी। बिंदु ए। हमने पहले से ही पहले उदाहरण में उपयोग किया है।

मॉड्यूल नंबर - 3 बिंदु पर निर्देशांक की शुरुआत से दूरी पर कॉल करें बी(—3 ).

एक बिंदु से दूसरी ओर की दूरी नकारात्मक नहीं हो सकती है। इसलिए, किसी भी ऋणात्मक संख्या का मॉड्यूल, दूरी होने से नकारात्मक नहीं होगा। संख्या -3 मॉड्यूल नंबर 3 होगा 3. मूल से बिंदु बी (-3) की दूरी भी तीन इकाइयां है:

जैसे पढ़ता है: "माइनस तीन की संख्या का मॉड्यूल तीन है"

संख्या 0 का मॉड्यूल 0 है, एक समन्वय 0 के साथ बिंदु के रूप में निर्देशांक की शुरुआत के साथ मेल खाता है, यानी बिंदु पर निर्देशांक की शुरुआत से दूरी ओ (0) समान रूप से शून्य:

"शून्य मॉड्यूल शून्य है"

हम निष्कर्ष निकालते हैं:

• संख्या मॉड्यूल नकारात्मक नहीं हो सकता है;
• सकारात्मक संख्या और शून्य के लिए, मॉड्यूल संख्या के बराबर है, और नकारात्मक के लिए - विपरीत संख्या;
• विपरीत संख्याओं के बराबर मॉड्यूल होते हैं।

विपरीत संख्या

संख्या केवल संकेतों द्वारा अलग-अलग संख्या सामने। उदाहरण के लिए, संख्या -2 और 2 विपरीत हैं। वे केवल संकेतों पर भिन्न होते हैं। -2 की संख्या में शून्य का संकेत, और 2 एक प्लस साइन है, लेकिन हम इसे नहीं देखते हैं, क्योंकि प्लस, जैसा कि हमने पहले कहा था, परंपरा के अनुसार न लिखें।

विपरीत संख्याओं के अधिक उदाहरण:

विपरीत संख्याओं के बराबर मॉड्यूल होते हैं। उदाहरण के लिए, -2 और 2 के लिए मॉड्यूल खोजें

चित्र दिखाता है कि निर्देशांक की शुरुआत से डॉट्स के लिए दूरी एक (-2) तथा B (2) समान रूप से दो चरणों के बराबर।

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हम गणित का चयन नहीं करते हैंउसका पेशा, और वह हमें चुनता है।

रूसी गणितज्ञ यू.आई.आई. मनिन

मॉड्यूल के साथ समीकरण

स्कूल गणित के सबसे कठिन हल किए गए कार्यों में मॉड्यूल के संकेत के तहत चर युक्त समीकरण हैं। इस तरह के समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, मॉड्यूल की परिभाषा और मूल गुणों को जानना आवश्यक है। स्वाभाविक रूप से, छात्रों को इस प्रकार के समीकरणों को हल करने का कौशल होना चाहिए।

मूल अवधारणाएं और गुण

एक वैध संख्या का मॉड्यूल (निरपेक्ष मूल्य) अर्थ है और निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

निम्नलिखित अनुपात में मॉड्यूल के सरल गुण शामिल हैं:

ध्यान दें पिछले दो गुण किसी भी डिग्री के लिए मान्य हैं।

इसके अलावा, अगर, फिर, फिर

मॉड्यूल के अधिक जटिल गुण, मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करते समय प्रभावी रूप से उपयोग किया जा सकता है, निम्नलिखित प्रमेय का पालन करके तैयार:

प्रमेय 1। किसी भी विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए तथा काफी असमानता

प्रमेय 2। समानता असमानता के बराबर है।

प्रमेय 3। समानता असमानता के बराबर.

"समीकरण" विषयों पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें, मॉड्यूल के संकेत के तहत चर युक्त। "

एक मॉड्यूल के साथ समीकरणों का समाधान

मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करके स्कूल गणित में सबसे आम विधि है, मॉड्यूल के प्रकटीकरण के आधार पर। यह विधि सार्वभौमिक है, हालांकि, सामान्य रूप से, इसका उपयोग बहुत बोझिल गणना का कारण बन सकता है। इस संबंध में, छात्रों को दूसरों को जानना चाहिए, ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए अधिक कुशल तरीके और तकनीकें। विशेष रूप से, प्रमेय के उपयोग के कौशल के लिए आवश्यक है, इस लेख में दिया गया।

उदाहरण 1।समीकरण हल करें। (एक)

फेसला। समीकरण (1) मॉड्यूल का खुलासा करने की विधि के "क्लासिक" विधि को हल करेगा। ऐसा करने के लिए, हम संख्यात्मक धुरी को तोड़ते हैं अंक I. अंतराल पर और तीन मामलों पर विचार करें।

1. यदि, तो, समीकरण (1) फॉर्म लेता है। यहां से यह इस प्रकार है। हालांकि, यहां, इसलिए पाया गया मूल्य समीकरण (1) की जड़ नहीं है।

2. यदि, फिर समीकरण (1) से हमें मिलता है या।

तब से रूट समीकरण (1)।

3. अगर, वह समीकरण (1) लेता है या। ध्यान दें कि।

उत्तर :,।

मॉड्यूल के साथ बाद के समीकरणों को हल करने में, हम ऐसे समीकरणों को हल करने की दक्षता बढ़ाने के लिए सक्रिय रूप से मॉड्यूल के गुणों का उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2। समीकरण हल करें.

फेसला। भी फिर समीकरण से। इस सम्बन्ध में, ,, और समीकरण लेता है। यहाँ से हमें मिलता है। परंतु , इसलिए, प्रारंभिक रूट समीकरण में कोई जड़ नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3। समीकरण हल करें.

फेसला। तब से। तो अगर और समीकरण लेता है.

यहां से हमें मिलता है।

उदाहरण 4। समीकरण हल करें.

फेसला।समतुल्य रूप में समीकरण को फिर से लिखना. (2)

परिणामी समीकरण प्रकार के समीकरणों को संदर्भित करता है।

Theorem 2 को ध्यान में रखते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि समीकरण (2) असमानता के बराबर है। यहां से हमें मिलता है।

उत्तर :.

उदाहरण 5। समीकरण हल करें।

फेसला। इस समीकरण में फॉर्म है। इसलिए, प्रमेय 3 के अनुसार।, यहां हमारे पास असमानता है या।

उदाहरण 6। समीकरण हल करें.

फेसला। हमने उसे रखा। जैसा , फिर निर्दिष्ट समीकरण स्क्वायर समीकरण का दृश्य लेता है, (3)

कहा पे । चूंकि समीकरण (3) में एक सकारात्मक जड़ है और कि । यहां से हमें मूल समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: तथा।

उदाहरण 7। समीकरण हल करें. (4)

फेसला। चूंकि समीकरण दो समीकरणों की कुलता के बराबर: तथा यह, समीकरण को हल करते समय (4), दो मामलों पर विचार करना आवश्यक है।

1. यदि, तो या।

यहां से हमें मिलता है, और।

2. यदि, तो या।

तब से।

उत्तर :,,,

उदाहरण 8। समीकरण हल करें . (5)

फेसला। तो, तो। यहां से और समीकरण (5) से यह इस प्रकार है, यानी यहां समीकरणों की एक प्रणाली है

हालांकि, समीकरणों की यह प्रणाली अपूर्ण है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 9। समीकरण हल करें. (6)

फेसला।यदि आप नामित करते हैं, तो और समीकरण (6) से मिलता है

या। (7)

चूंकि समीकरण (7) का रूप है, यह समीकरण असमानता के बराबर है। यहां से हमें मिलता है। तब से, फिर या।

उत्तर :.

उदाहरण 10। समीकरण हल करें. (8)

फेसला। प्रमेय 1 के अनुसार आप रिकॉर्ड कर सकते हैं

(9)

समीकरण (8) को ध्यान में रखते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि दोनों असमानताओं (9) समानता में संबोधित किए गए हैं, यानी समीकरणों की एक प्रणाली है

हालांकि, प्रमेय 3 के अनुसार, उपरोक्त प्रणाली को असमानता प्रणाली द्वारा बराबर किया जाता है

(10)

असमानताओं की प्रणाली को हल करना (10) हमें मिलता है। चूंकि असमानता प्रणाली (10) समीकरण (8) के बराबर है, प्रारंभिक समीकरण में एक रूट है।

उत्तर :.

उदाहरण 11। समीकरण हल करें. (11)

फेसला। यद्यपि, फिर समानता समीकरण से बहती है (11)।

यहां से यह इस प्रकार है। इस प्रकार, यहां एक असमानता प्रणाली है

असमानताओं की इस प्रणाली का समाधान है तथा।

उत्तर :,।

उदाहरण 12। समीकरण हल करें. (12)

फेसला। समीकरण (12) मॉड्यूल के लगातार प्रकटीकरण की विधि को हल करेगा। ऐसा करने के लिए, कई मामलों पर विचार करें।

1. यदि, तो।

1.1। तो अगर।

1.2। तो अगर। परंतु , इसलिए, इस मामले में, समीकरण (12) में जड़ें नहीं हैं।

2. यदि, तो।

2.1। तो अगर।

2.2। तो अगर।

उत्तर :,,,,,

उदाहरण 13। समीकरण हल करें. (13)

फेसला। चूंकि समीकरण (13) का बायां हिस्सा nonnegative है, तो। इस संबंध में, समीकरण (13)

एक दृश्य लेता है या।

यह ज्ञात है कि समीकरण दो समीकरणों की कुलता के बराबर तथा हल करना जो हमें मिलता है। जैसा , उस समीकरण (13) में एक जड़ है.

उत्तर :.

उदाहरण 14। समीकरणों की प्रणाली को हल करें (14)

फेसला। तब से दोनों के बाद से। नतीजतन, समीकरणों की प्रणाली से (14) हम समीकरणों की चार प्रणालियों को प्राप्त करते हैं:

समीकरणों की उपरोक्त प्रणालियों की जड़ें समीकरणों की प्रणाली की जड़ें हैं (14)।

उत्तर :,,,,,,,,

उदाहरण 15। समीकरणों की प्रणाली को हल करें (15)

फेसला। तब से। इस संबंध में, समीकरणों की प्रणाली (15) से हम समीकरणों की दो प्रणालियों को प्राप्त करते हैं

समीकरणों की पहली प्रणाली की जड़ें और और समीकरणों की दूसरी प्रणाली से हम प्राप्त करते हैं और।

उत्तर :,,,

उदाहरण 16। समीकरणों की प्रणाली को हल करें (16)

फेसला। सिस्टम के पहले समीकरण (16) से यह इस प्रकार है।

तब से । सिस्टम के दूसरे समीकरण पर विचार करें। जहां तक \u200b\u200bकितब फिर और समीकरण लेता है, या।

यदि आप मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं पहले सिस्टम समीकरण में (16), फिर, या।

उत्तर :,।

समस्या निवारण विधियों के गहरे अध्ययन के लिए, समीकरणों को हल करने के साथ जुड़ा हुआ है, मॉड्यूल के संकेत के तहत चर युक्त, आप अनुशंसित साहित्य की सूची से पाठ्यपुस्तकों को सलाह दे सकते हैं।

1. मिट्टी / ईडी में आने वाले के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह। एम.आई. Schanavi। - एम।: शांति और शिक्षा2013. - 608 पी।

2. Suprun V.P. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: बढ़ी जटिलता के कार्य। - एम।: सीडी "लिब्रोक" / यूआरएसएस, 2017. - 200 पी।

3. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: समस्याओं को हल करने के लिए गैर मानक तरीके। - एम।: सीडी "लिब्रोक" / यूआरएसएस2017. - 2 9 6 पी।

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छात्रों के लिए सबसे कठिन विषयों में से एक मॉड्यूल चिह्न के तहत एक चर युक्त समीकरणों का समाधान है। चलो क्या जुड़ा हुआ है के साथ शुरू करने के लिए इसे समझते हैं? क्यों, उदाहरण के लिए, वर्ग समीकरण अधिकांश बच्चे पागल की तरह क्लिक करते हैं, और एक मॉड्यूल के रूप में सबसे जटिल अवधारणा से दूर के साथ इतनी सारी समस्याएं हैं?

मेरी राय में, इन सभी कठिनाइयों को मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट रूप से तैयार नियमों की कमी से जुड़ा हुआ है। इस प्रकार, निर्णायक वर्ग समीकरण, छात्र को पता है कि उसे पहले भेदभाव के सूत्र को लागू करना चाहिए, और फिर वर्ग समीकरण की जड़ों का सूत्र लागू करना चाहिए। और क्या होगा यदि मॉड्यूल समीकरण में मिले? जब हम मॉड्यूल साइन के तहत अज्ञात होते हैं तो हम कार्रवाई की आवश्यक योजना का स्पष्ट रूप से वर्णन करने का प्रयास करेंगे। प्रत्येक मामले में हम कुछ उदाहरण देते हैं।

लेकिन पहले याद रखें मॉड्यूल की परिभाषा। तो, मॉड्यूल संख्या ए। खुद को यह नंबर कहा जाता है ए। Nonnegative मैं -ए।यदि संख्या ए। कम शून्य। आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

| ए | \u003d ए अगर ≥ 0 और | ए | \u003d -एक यदि ए< 0

मॉड्यूल की ज्यामितीय भावना के बारे में बोलते हुए, यह याद किया जाना चाहिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्यात्मक धुरी पर एक निश्चित बिंदु से मेल खाती है - यह पीपेन इसलिए, संख्या का मॉड्यूल या पूर्ण मूल्य संख्यात्मक धुरी के उलटी गिनती की शुरुआत से पहले इस बिंदु से दूरी है। दूरी हमेशा सकारात्मक संख्या द्वारा दी जाती है। इस प्रकार, किसी भी ऋणात्मक संख्या का मॉड्यूल संख्या सकारात्मक है। वैसे, इस चरण में भी, कई छात्र भ्रमित होने लगते हैं। मॉड्यूल एक अपूर्ण संख्या हो सकता है, लेकिन मॉड्यूल के आवेदन का परिणाम हमेशा एक सकारात्मक होता है।

अब हम समीकरणों को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ते हैं।

1. प्रकार के समीकरण पर विचार करें एक्स | \u003d सी, जहां सी एक वैध संख्या है। मॉड्यूल को परिभाषित करके इस समीकरण को हल किया जा सकता है।

सभी वास्तविक संख्याएं तीन समूहों में टूट जाएंगी: वे अधिक शून्य, जो शून्य से कम हैं, और तीसरा समूह संख्या 0 है। हम एक योजना के रूप में एक समाधान लिखते हैं:

(± सी, अगर\u003e 0 के साथ

अगर | एक्स | \u003d C, x \u003d (0, यदि c \u003d 0

(कोई जड़ नहीं, अगर साथ< 0

1) | एक्स | \u003d 5, क्योंकि 5\u003e 0, फिर x \u003d ± 5;

2) | एक्स | \u003d -5, क्योंकि -पांच< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | एक्स | \u003d 0, फिर x \u003d 0।

2. समीकरण देखें | एफ (एक्स) | \u003d बी, जहां बी\u003e 0. इस समीकरण को हल करने के लिए, मॉड्यूल से छुटकारा पाने के लिए आवश्यक है। हम यह करते हैं: एफ (एक्स) \u003d बी या एफ (एक्स) \u003d-बी। अब प्राप्त किए गए समीकरणों को हल करना आवश्यक है। यदि प्रारंभिक समीकरण बी में< 0, решений не будет.

1) | एक्स + 2 | \u003d 4, क्योंकि 4\u003e 0, फिर

x + 2 \u003d 4 या x + 2 \u003d -4

2) | एक्स 2 - 5 | \u003d 11, क्योंकि 11\u003e 0, फिर

x 2 - 5 \u003d 11 या x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 कोई जड़ नहीं

3) | एक्स 2 - 5 एक्स | \u003d -8, क्योंकि -Eight< 0, то уравнение не имеет корней.

3. समीकरण देखें | एफ (एक्स) | \u003d जी (एक्स)। मॉड्यूल के अर्थ में, ऐसे समीकरण में समाधान होंगे यदि इसका दायां पक्ष शून्य से अधिक या बराबर है, यानी G (x) ≥ 0. तब हमारे पास होगा:

f (x) \u003d g (x)या f (x) \u003d -g (x).

1) | 2 एक्स - 1 | \u003d 5 एक्स - 10. इस समीकरण में जड़ होगी, अगर 5x 10 ≥ 0. है तो यह इस तरह से है कि इस तरह के समीकरण भीख माँगते हैं।

1. ओडी 5x - 10 ≥ 0

2. समाधान:

2x - 1 \u003d 5x - 10 या 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. ओडी को मिलाएं। और निर्णय, हमें मिलता है:

रूट x \u003d 11/7 ओडी पर उपयुक्त नहीं है, यह 2 से कम है, और x \u003d 3 इस स्थिति को संतुष्ट करता है।

उत्तर: x \u003d 3

2) | एक्स - 1 | \u003d 1 - x 2।

1. ओडी 1 - x 2 ≥ 0. यह असमानता अंतराल की विधि द्वारा हल की जाती है:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. समाधान:

x - 1 \u003d 1 - x 2 या x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 या x \u003d 1 x \u003d 0 या x \u003d 1

3. हम निर्णय और ओडी को जोड़ते हैं:

केवल जड़ों x \u003d 1 और x \u003d 0 उपयुक्त हैं।

उत्तर: x \u003d 0, x \u003d 1।

4. समीकरण देखें | एफ (एक्स) | \u003d | जी (एक्स) |। ऐसा समीकरण दो अगले समीकरणों (x) \u003d g (x) या f (x) \u003d -g (x) के बराबर है।

1) | एक्स 2 - 5 एक्स + 7 | \u003d | 2x - 5 |। यह समीकरण निम्नलिखित दो के बराबर है:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 या x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 या x \u003d 4 x \u003d 2 या x \u003d 1

उत्तर: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4।

5. प्रतिस्थापन (परिवर्तनीय प्रतिस्थापन) द्वारा हल किए गए समीकरण। यह समाधान विधि एक विशिष्ट उदाहरण पर व्याख्या करना सबसे आसान है। तो, मॉड्यूल के साथ वर्ग समीकरण दें:

x 2 - 6 | एक्स | + 5 \u003d 0. मॉड्यूल x 2 \u003d | एक्स के गुणों द्वारा | 2, इसलिए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

| एक्स | 2 - 6 | एक्स | + 5 \u003d 0. हम प्रतिस्थापित करेंगे | एक्स | \u003d टी ≥ 0, तो हमारे पास होगा:

टी 2 - 6 टी + 5 \u003d 0. इस समीकरण को हल करना, हम टी \u003d 1 या टी \u003d 5 प्राप्त करते हैं 5 प्रतिस्थापन पर वापस आते हैं:

| एक्स | \u003d 1 या | एक्स | \u003d 5।

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

उत्तर: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5।

एक और उदाहरण पर विचार करें:

एक्स 2 + | एक्स | - 2 \u003d 0. मॉड्यूल x 2 \u003d | एक्स के गुणों द्वारा | 2, इसलिए

| एक्स | 2 + | एक्स | - 2 \u003d 0. हम प्रतिस्थापित करेंगे | एक्स | \u003d टी ≥ 0, फिर:

टी 2 + टी - 2 \u003d 0. इस समीकरण को हल करना, हम प्राप्त करते हैं, टी \u003d -2 या टी \u003d 1. आइए हम प्रतिस्थापन पर लौटें:

| एक्स | \u003d -2 या | एक्स | \u003d 1।

कोई जड़ x \u003d ± 1 नहीं

उत्तर: x \u003d -1, x \u003d 1।

6. एक और प्रकार का समीकरण - "जटिल" मॉड्यूल के साथ समीकरण। ऐसे समीकरणों में समीकरण शामिल हैं जिनमें "मॉड्यूल में मॉड्यूल" हैं। इस प्रजाति के समीकरणों को मॉड्यूल के गुणों को लागू करके हल किया जा सकता है।

1) | 3 - | एक्स || \u003d 4. हम दूसरे प्रकार के समीकरणों में भी कार्य करेंगे। चूंकि 4\u003e 0, फिर हमें दो समीकरण मिलते हैं:

3 - | एक्स | \u003d 4 या 3 - | एक्स | \u003d -4।

अब प्रत्येक समीकरण मॉड्यूल एक्स में एक्सप्रेस, फिर | एक्स | \u003d -1 या | एक्स | \u003d 7।

हम प्रत्येक प्राप्त समीकरणों को हल करते हैं। पहले समीकरण में कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि -एक< 0, а во втором x = ±7.

जवाब x \u003d -7, x \u003d 7 है।

2) | 3 + | एक्स + 1 || \u003d 5. हम इस समीकरण को उसी तरह हल करते हैं:

3 + | एक्स + 1 | \u003d 5 या 3 + | एक्स + 1 | \u003d -5

| एक्स + 1 | \u003d 2 | एक्स + 1 | \u003d -8।

एक्स + 1 \u003d 2 या एक्स + 1 \u003d -2। कोई जड़ नहीं।

उत्तर: x \u003d -3, x \u003d 1।

मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने का एक सार्वभौमिक समाधान भी है। यह अंतराल विधि है। लेकिन हम इसे भविष्य में मानेंगे।

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यह गणितीय कैलकुलेटर आपकी मदद करेगा मॉड्यूल के साथ समीकरण या असमानता को हल करें। के लिए कार्यक्रम मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं के समाधान सिर्फ जवाब कार्य नहीं देता है, यह लीड करता है स्पष्टीकरण के साथ विस्तृत निर्णय। परिणाम प्रक्रिया प्रदर्शित करता है।

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मॉड्यूल के साथ समीकरण या असमानता दर्ज करें

यह पाया जाता है कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं हुई हैं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
आपके पास एडब्लॉक शामिल हो सकता है।
इस मामले में, इसे डिस्कनेक्ट करें और पृष्ठ को अपडेट करें।

चूंकि कार्य को हल करने की इच्छा बहुत अधिक है, आपका अनुरोध लाइन में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें एसईसी ...

अगर तुम हल करने में गलती कीआप इसके बारे में प्रतिक्रिया फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो निर्दिष्ट करें कि क्या कार्य है आप तय करते हैं और क्या क्षेत्र में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेली, अनुकरणकर्ता:

सिद्धांत का एक सा।

मॉड्यूल के साथ समीकरण और असमानताएं

मुख्य विद्यालय के बीजगणित का एक कोर्स मॉड्यूल के साथ सबसे सरल समीकरणों और असमानताओं को पूरा कर सकता है। उन्हें हल करने के लिए, इस तथ्य के आधार पर एक ज्यामितीय विधि को लागू करना संभव है कि \\ (| xa | \\) अंक x और a: \\ (| xa | \u003d \\ rho (x; \\ \\) के बीच संख्यात्मक प्रत्यक्ष पर दूरी है ; ए) \\)। उदाहरण के लिए, समीकरण \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) को हल करने के लिए, एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष बिंदु पर ढूंढना आवश्यक है, जो दूरी 3 के लिए बिंदु 3 से हटा दिया गया है। दो ऐसे अंक हैं: \\ (x_1 \u003d 1 \\) और \\ (x_2 \u003d 5 \\)।

असमानता को हल करना (| 2x + 7 |

लेकिन मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका तथाकथित "परिभाषा द्वारा मॉड्यूल प्रकटीकरण" से जुड़ा हुआ है:
यदि \\ (a \\ geq 0 \\), तो \\ (| A | \u003d a \\);
यदि \\ (ए, एक नियम के रूप में, मॉड्यूल के साथ समीकरण (असमानता) समीकरणों की कुलता (असमानताओं) में कम हो जाता है जिसमें मॉड्यूल संकेत नहीं होता है।

निर्दिष्ट परिभाषा के अतिरिक्त, निम्नलिखित कथनों का उपयोग किया जाता है:
1) यदि \\ (c\u003e 0 \\), तो समीकरण \\ (| f (x) | \u003d c \\) समीकरणों की कुलता के बराबर है: \\ (\\ Left [\\ BEGIN) (l) f (x) ) \u003d C \\\\ f (x) \u003d - c \\ end (सरणी) \\ अधिकार। \\)
2) यदि \\ (c\u003e 0 \\), तो असमानता \\ (| f (x) | 3) यदि \\ (c \\ geq 0 \\), तो असमानता \\ (| f (x) |\u003e c \\) के बराबर है असमानताओं की कुलता: \\ (\\ Left [\\ _ प्रारंभ (arre) (l) f (x) c \\ end (सरणी) \\ अधिकार। \\)
4) यदि असमानता के दोनों हिस्से \\ (f (x) उदाहरण 1. समीकरण हल करें \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\)।

यदि \\ (x-1 \\ geq 0 \\), तो \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) और निर्दिष्ट समीकरण फॉर्म लेता है
\\ (x ^ 2 +2 (x - 1) -6 \u003d 0 \\ राइटारो x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\)।
यदि \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x - 1) -6 \u003d 0 \\ राइटारो x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\)।
इस प्रकार, निर्दिष्ट समीकरण को दो मामलों में से प्रत्येक में अलग माना जाना चाहिए।
1) चलो \\ (x - 1 \\ gq 0 \\), यानी। \\ (X \\ geq 1 \\)। समीकरण \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) से हम पाते हैं \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\)। हालत \\ (x \\ geq 1 \\) केवल मूल्य \\ (x_1 \u003d 2 \\) को संतुष्ट करता है।
2) चलो \\ (x-1 उत्तर: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

उदाहरण 2. समीकरण को हल करने के लिए \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\)।

पहली विधि (परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल प्रकटीकरण)।
बहस, उदाहरण 1 में, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि निर्दिष्ट समीकरण को दो स्थितियों पर प्रदर्शन करते समय अलग से माना जाना चाहिए: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ gq 0 \\) या \\ (x ^ 2-6x + 7)

1) यदि \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), तो \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) और निर्दिष्ट समीकरण फॉर्म \\ (x) लेता है ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ राइटारो 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\)। इस वर्ग समीकरण का निर्णय लेना, हम प्राप्त करते हैं: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\)।
हम यह पता लगाते हैं कि मूल्य \\ (x_1 \u003d 6 \\) स्थिति को संतुष्ट करता है \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ gq 0 \\)। ऐसा करने के लिए, हम निर्दिष्ट मूल्य को वर्ग असमानता में प्रतिस्थापित करेंगे। हम प्राप्त करते हैं: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ gq 0 \\), यानी। \\ (7 \\ gq 0 \\) - वफादार असमानता। तो, \\ (x_1 \u003d 6 \\) किसी दिए गए समीकरण की जड़ है।
हम यह पता लगाते हैं कि मान \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) स्थिति को संतुष्ट करता है \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ gq 0 \\)। ऐसा करने के लिए, हम निर्दिष्ट मूल्य को वर्ग असमानता में प्रतिस्थापित करेंगे। हमें मिलता है: \\ (\\ बाएं (\\ frac (5) (3) \\ दाएं) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), यानी \\ (\\ Frac (25) (9) -3 \\ gq 0 \\) - गलत असमानता। तो, \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) (3) \\) किसी दिए गए समीकरण की जड़ नहीं है।

2) यदि \\ (x ^ 2-6x + 7, मान \\ (x_3 \u003d 3 \\) स्थिति को संतुष्ट करता है \\ (x ^ 2-6x + 7, मान \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\ ) स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है \\ (x ^ 2-6x + 7, निर्दिष्ट समीकरण में दो जड़ें हैं: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\)।

दूसरा तरीका। यदि समीकरण दिया जाता है \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\), फिर \\ (h (x) \\ (\\ Left [\\ BEGIN (ARARE) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ Frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (सरणी) \\ अधिकार। \\)
इन दोनों समीकरणों को ऊपर हल किया जाता है (किसी दिए गए समीकरण को हल करने की पहली विधि के साथ), उनकी जड़ें निम्नानुसार हैं: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\)। हालत \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) इन चार मूल्यों से केवल दो: 6 और 3. को संतुष्ट करते हैं, इसलिए, निर्दिष्ट समीकरण में दो जड़ें हैं: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\)।

तीसरा रास्ता (ग्राफिक)।
1) हम एक फ़ंक्शन शेड्यूल \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) का निर्माण करते हैं। सबसे पहले, हम parabola \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) का निर्माण करते हैं। हमारे पास \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) है। फ़ंक्शन \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) का ग्राफ़ फ़ंक्शन के फ़ंक्शन से प्राप्त किया जा सकता है \\ (y \u003d x ^ 2 \\) इसे दाईं ओर स्केल की 3 इकाइयों में स्थानांतरित कर सकता है ( एक्स अक्ष के साथ) और 2 इकाइयां नीचे (वाई अक्ष पर)। डायरेक्ट एक्स \u003d 3 - पैराबोलास की धुरी जिसमें आप रुचि रखते हैं। एक बिंदु (3; -2) लेना सुविधाजनक है - वर्टेक्स पैराबोला, बिंदु (0; 7) और एक पैराबोला (6; 7) के साथ सममित।
फ़ंक्शन \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) का शेड्यूल बनाने के लिए, पोलराबोल के हिस्से को बदलने के बिना छोड़ना आवश्यक है, जो एक्स अक्ष के नीचे नहीं हैं, और पैराबोला का हिस्सा हैं एक्स अक्ष के बारे में दर्पण प्रदर्शित करने के लिए, एक्स अक्ष के नीचे स्थित है।
2) हम एक रैखिक फ़ंक्शन \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\) का एक ग्राफ बनाते हैं। परीक्षण बिंदुओं के रूप में, अंक (0; -3) और (3; 2) लेना सुविधाजनक है।

यह महत्वपूर्ण है कि बिंदु x \u003d 1.8 ABSCISSA की धुरी के साथ सीधे के चौराहे को सही ढंग से स्थित है, जो एब्सिसा की धुरी के साथ पैराबोला के क्रॉसिंग का बाएं बिंदु बिंदु \\ (x \u003d 3- \\ sqrt ( 2) \\) (क्योंकि \\ (3- \\ sqrt (2) 3) ड्राइंग द्वारा निर्णय लेते हुए, ग्राफ दो बिंदुओं पर छेड़छाड़ करते हैं - ए (3; 2) और (6; 7) में। इन बिंदुओं के फरारों को बदलना एक्स \u003d 3 और x \u003d 6 किसी दिए गए समीकरण में, हमें आश्वस्त किया जाता है कि जब भी एक और अर्थ सही संख्यात्मक समानता है। तो हमारी परिकल्पना की पुष्टि हुई - समीकरण में दो जड़ें हैं: x \u003d 3 और x \u003d 6. उत्तर: 3; 6 ।

टिप्पणी। इसकी सभी अनुग्रह के साथ ग्राफिक विधि बहुत विश्वसनीय नहीं है। जांच किए गए उदाहरण में, यह केवल इसलिए काम करता है क्योंकि समीकरण की जड़ें पूर्णांक हैं।

उदाहरण 3. समीकरण हल करें \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

पहली विधि
अभिव्यक्ति 2x-4 बिंदु x \u003d 2 पर 0 को संदर्भित करता है, और अभिव्यक्ति x + 3 बिंदु x \u003d -3 पर है। ये दो बिंदु एक संख्यात्मक को सीधे तीन अंतराल पर तोड़ते हैं: \\ (x)

पहले अंतराल पर विचार करें: \\ ((- \\ unfty; \\; -3) \\)।
यदि x दूसरे गैप पर विचार करें: \\ (- 3; \\; 2) \\)।
यदि \\ (- 3 \\ leq x तीसरे अंतर पर विचार करें: \\ ()