अनुचित भिन्नों को कैसे जोड़ें। भिन्न के साथ क्रिया

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यह पाठ विभिन्न हरों के साथ बीजीय भिन्नों के जोड़ और घटाव को कवर करेगा। हम पहले से ही जानते हैं कि विभिन्न हरों के साथ सामान्य अंशों को कैसे जोड़ना और घटाना है। ऐसा करने के लिए, अंशों को एक सामान्य हर में कम किया जाना चाहिए। यह पता चला है कि बीजीय अंश समान नियमों का पालन करते हैं। इसके अलावा, हम पहले से ही जानते हैं कि बीजीय अंशों को एक सामान्य हर में कैसे लाया जाता है। भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना 8वीं कक्षा के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण और कठिन विषयों में से एक है। इसके अलावा, यह विषय बीजगणित पाठ्यक्रम के कई विषयों में मिलेगा, जिनका आप भविष्य में अध्ययन करेंगे। पाठ के भाग के रूप में, हम विभिन्न हरों के साथ बीजीय भिन्नों के जोड़ और घटाव के नियमों का अध्ययन करेंगे, साथ ही कई विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

आइए साधारण भिन्नों के लिए सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1।अंश जोड़ें:।

समाधान:

आइए भिन्नों को जोड़ने का नियम याद रखें। आरंभ करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाया जाना चाहिए। साधारण भिन्नों के लिए सामान्य भाजक है न्यूनतम समापवर्तक(एलसीएम) प्रारंभिक भाजक।

परिभाषा

वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या जो एक ही समय में और संख्याओं से विभाज्य हो।

LCM को खोजने के लिए, हर को अभाज्य गुणनखंडों में विस्तारित करना आवश्यक है, और फिर सभी अभाज्य गुणनखंडों का चयन करें जो दोनों हर के विस्तार में शामिल हैं।

; ... फिर संख्याओं के LCM में दो दो और दो त्रिक शामिल होने चाहिए:।

उभयनिष्ठ हर को खोजने के बाद, प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजना आवश्यक है (वास्तव में, समान भाजक को संगत भिन्न के हर से विभाजित करें)।

फिर प्रत्येक अंश को परिणामी अतिरिक्त कारक से गुणा किया जाता है। समान हर वाले भिन्न प्राप्त होते हैं, जिन्हें हमने पिछले पाठों में जोड़ना और घटाना सीखा था।

हम पाते हैं: .

उत्तर:.

अब विभिन्न हरों वाली बीजीय भिन्नों को जोड़ने पर विचार करें। सबसे पहले, उन भिन्नों पर विचार करें जिनके हर संख्याएं हैं।

उदाहरण 2।अंश जोड़ें:।

समाधान:

समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल पिछले उदाहरण के समान है। इन भिन्नों के लिए एक सामान्य भाजक खोजना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए अतिरिक्त कारक।

उत्तर:.

तो, चलिए बनाते हैं विभिन्न हरों के साथ बीजीय अंशों के जोड़ और घटाव के लिए एल्गोरिदम:

1. भिन्नों का न्यूनतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

2. प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड खोजें (दिए गए भिन्न के हर द्वारा सामान्य हर को विभाजित करके)।

3. अंशों को संगत अतिरिक्त कारकों से गुणा करें।

4. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ें या घटाएं।

अब एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें हर में शाब्दिक अभिव्यक्तियों वाले अंश हों।

उदाहरण 3.अंश जोड़ें:।

समाधान:

चूँकि दोनों हर में शाब्दिक व्यंजक समान हैं, इसलिए आपको संख्याओं के लिए एक उभयनिष्ठ भाजक ढूँढ़ना चाहिए। अंतिम आम भाजक होगा:। इस प्रकार, इस उदाहरण का समाधान इस तरह दिखता है:

उत्तर:.

उदाहरण 4.अंश घटाएं:।

समाधान:

यदि आप एक सामान्य हर का चयन करते समय "धोखा" नहीं दे सकते हैं (आप इसे कारक नहीं बना सकते हैं या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग नहीं कर सकते हैं), तो आपको दोनों अंशों के हर के उत्पाद को सामान्य भाजक के रूप में लेना होगा।

उत्तर:.

सामान्य तौर पर, ऐसे उदाहरणों को हल करते समय, सबसे कठिन कार्य एक सामान्य भाजक को खोजना होता है।

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5.सरल करें:।

समाधान:

एक सामान्य भाजक को खोजते समय, आपको पहले मूल भिन्नों के हरों को निकालने का प्रयास करना चाहिए (सामान्य भाजक को सरल बनाने के लिए)।

इस विशेष मामले में:

फिर सामान्य भाजक को निर्धारित करना आसान है: .

हम अतिरिक्त कारक निर्धारित करते हैं और इस उदाहरण को हल करते हैं:

उत्तर:.

आइए अब भिन्न हर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के नियमों को ठीक करते हैं।

उदाहरण 6.सरल करें:।

समाधान:

उत्तर:.

उदाहरण 7.सरल करें:।

समाधान:

उत्तर:.

अब एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें दो नहीं, बल्कि तीन भिन्न जोड़े जाते हैं (आखिरकार, अधिक भिन्नों के लिए जोड़ और घटाव के नियम समान रहते हैं)।

उदाहरण 8.सरल करें:।

आइए साधारण भिन्नों के लिए सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1।अंश जोड़ें:।

समाधान:

परिभाषा

वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या जो एक ही समय में और संख्याओं से विभाज्य हो।

; ... फिर संख्याओं के LCM में दो दो और दो त्रिक शामिल होने चाहिए:।

हम पाते हैं: .

उत्तर:.

उदाहरण 2।अंश जोड़ें:।

समाधान:

उत्तर:.

1. भिन्नों का न्यूनतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

3. अंशों को संगत अतिरिक्त कारकों से गुणा करें।

उदाहरण 3.अंश जोड़ें:।

समाधान:

उत्तर:.

उदाहरण 4.अंश घटाएं:।

समाधान:

उत्तर:.

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5.सरल करें:।

समाधान:

इस विशेष मामले में:

फिर सामान्य भाजक को निर्धारित करना आसान है: .

हम अतिरिक्त कारक निर्धारित करते हैं और इस उदाहरण को हल करते हैं:

उत्तर:.

आइए अब भिन्न हर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के नियमों को ठीक करते हैं।

उदाहरण 6.सरल करें:।

समाधान:

उत्तर:.

उदाहरण 7.सरल करें:।

समाधान:

उत्तर:.

उदाहरण 8.सरल करें:।

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को समझना एक बच्चे के लिए कठिन होता है। अधिकांश से जुड़ी कठिनाइयाँ हैं। "पूर्णांकों के साथ भिन्नों को जोड़ना" विषय का अध्ययन करते समय, बच्चा स्तब्ध हो जाता है, जिससे कार्य को हल करना मुश्किल हो जाता है। कई उदाहरणों में, कोई क्रिया करने से पहले कई गणनाएँ की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, भिन्नों को परिवर्तित करें या किसी अनुचित भिन्न को सही में बदलें।

आइए बच्चे को नेत्रहीन समझाएं। आइए तीन सेब लें, जिनमें से दो पूरे होंगे, और तीसरे को 4 भागों में काटा जाएगा। हम कटे हुए सेब से एक टुकड़ा अलग करते हैं, और बाकी तीन को दो पूरे फलों के बगल में रख देते हैं। हमें एक तरफ सेब और दूसरी तरफ 2 मिलते हैं। अगर हम उन्हें मिला दें, तो हमें तीन पूरे सेब मिलते हैं। आइए 2 सेब को ¼ से कम करने का प्रयास करें, यानी, एक और टुकड़ा हटा दें, हमें 2 2/4 सेब मिलते हैं।

आइए पूर्णांकों वाली भिन्नों वाली क्रियाओं पर करीब से नज़र डालें:

आरंभ करने के लिए, आइए एक सामान्य हर के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के लिए गणना नियम को याद करें:

पहली नज़र में, सब कुछ आसान और सरल है। लेकिन यह केवल उन अभिव्यक्तियों पर लागू होता है जिन्हें रूपांतरण की आवश्यकता नहीं होती है।

एक व्यंजक का अर्थ कैसे ज्ञात करें जहाँ हर भिन्न हो

कुछ कार्यों में एक ऐसे व्यंजक का अर्थ खोजना आवश्यक होता है जहाँ हर अलग-अलग हो। आइए एक विशिष्ट मामले पर विचार करें:
3 2/7+6 1/3

हम इस व्यंजक का मान ज्ञात करेंगे, इसके लिए हमें दो भिन्नों का एक उभयनिष्ठ हर मिलेगा।

संख्या 7 और 3 के लिए - यह 21 है। हम पूरे भागों को समान छोड़ देते हैं, और भिन्नात्मक भागों - हम 21 लाते हैं, इसके लिए हम पहले अंश को 3 से गुणा करते हैं, दूसरे - 7 से, हमें मिलता है:
6/21 + 7/21, यह न भूलें कि पूरे भागों को परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। नतीजतन, हम एक भाजक के साथ दो अंश प्राप्त करते हैं और उनके योग की गणना करते हैं:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
क्या होगा यदि जोड़ का परिणाम गलत अंश में होता है जिसमें पहले से ही एक पूर्णांक भाग होता है:
2 1/3+3 2/3
इस मामले में, हम पूरे भागों और भिन्नात्मक भागों को जोड़ते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
5 3/3, जैसा कि आप जानते हैं, 3/3 एक इकाई है, इसलिए 2 1/3 + 3 2/3 = 5 3/3 = 5 + 1 = 6

योग खोजने के साथ, सब कुछ स्पष्ट है, आइए घटाव का विश्लेषण करें:

जो कुछ कहा गया है, उससे मिश्रित संख्याओं के साथ क्रियाओं का नियम इस प्रकार है, जो इस तरह लगता है:

यदि किसी पूर्णांक को भिन्नात्मक व्यंजक से घटाना आवश्यक है, तो आपको दूसरी संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल पूर्णांक भागों पर क्रिया करने के लिए पर्याप्त है।

आइए स्वयं भावों के मूल्य की गणना करने का प्रयास करें:

आइए "एम" अक्षर के तहत उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

4 5 / 11-2 8/11, पहली भिन्न का अंश दूसरे से छोटा है। ऐसा करने के लिए, हम पहले भिन्न से एक पूर्णांक लेते हैं, हमें प्राप्त होता है,
3 5/11 + 11/11 = 3 पूर्ण 16/11, पहली भिन्न से दूसरी घटाएँ:
3 16 / 11-2 8/11 = 1 पूर्णांक 8/11

कार्य पूरा करते समय सावधान रहें, अनियमित अंशों को मिश्रित अंशों में परिवर्तित करना न भूलें, पूरे भाग को हाइलाइट करें। ऐसा करने के लिए, अंश के मूल्य को हर के मूल्य से विभाजित किया जाना चाहिए, फिर जो हुआ वह पूरे भाग की जगह लेता है, शेष अंश होगा, उदाहरण के लिए:

19/4 = 4 , चेक करें: 4 * 4 + 3 = 19, हर में 4 अपरिवर्तित रहता है।

संक्षेप:

भिन्नों से संबंधित कार्य के साथ आगे बढ़ने से पहले, यह विश्लेषण करना आवश्यक है कि यह किस प्रकार की अभिव्यक्ति है, समाधान के सही होने के लिए अंश पर कौन से परिवर्तन करने की आवश्यकता है। अधिक तर्कसंगत समाधान की तलाश करें। कठिन रास्ते न अपनाएं। सभी कार्यों की योजना बनाएं, पहले मसौदे में निर्णय लें, फिर स्कूल नोटबुक में स्थानांतरित करें।

भिन्नात्मक व्यंजकों को हल करते समय भ्रम से बचने के लिए, आपको अनुक्रम नियम का पालन करना चाहिए। बिना जल्दबाजी के सब कुछ सावधानी से तय करें।

सबसे महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक, जिसका अनुप्रयोग रसायन विज्ञान, भौतिकी और यहाँ तक कि जीव विज्ञान जैसे विषयों में देखा जा सकता है, वह है गणित। इस विज्ञान का अध्ययन आपको कुछ मानसिक गुणों को विकसित करने, सुधार करने और ध्यान केंद्रित करने की क्षमता प्रदान करता है। "गणित" पाठ्यक्रम में विशेष ध्यान देने योग्य विषयों में से एक है भिन्नों का जोड़ और घटाव। कई छात्रों के लिए इसे सीखना मुश्किल होता है। शायद हमारा लेख आपको इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाएं

भिन्न वही संख्याएँ हैं जिनके साथ आप विभिन्न क्रियाएँ कर सकते हैं। वे हर की उपस्थिति में पूर्णांकों से भिन्न होते हैं। इसीलिए, भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको उनकी कुछ विशेषताओं और नियमों का अध्ययन करने की आवश्यकता होती है। सबसे सरल मामला साधारण अंशों का घटाव है, जिनमें से हर को एक ही संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। यदि आप एक सरल नियम जानते हैं तो यह क्रिया कठिन नहीं होगी:

एक भिन्न में से दूसरी को घटाने के लिए घटाई गई भिन्न के अंश में से घटाई गई भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक है। हम इस संख्या को अंतर के अंश में लिखते हैं, और हर को वही छोड़ते हैं: k / m - b / m = (k-b) / m।

भिन्नों को घटाने के उदाहरण जिनके हर समान हैं

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

हम घटाए गए अंश "3" के अंश को घटाए गए अंश "7" के अंश से घटाते हैं, हमें "4" मिलता है। हम इस संख्या को उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वही संख्या डालते हैं जो पहले और दूसरे अंश के हर में थी - "19"।

नीचे दी गई तस्वीर कुछ और समान उदाहरण दिखाती है।

एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें, जहां समान हर वाले भिन्नों को घटाया जाता है:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

घटे हुए अंश "29" के अंश से, बाद के सभी अंशों के अंशों को घटाकर - "3", "8", "2", "7"। नतीजतन, हमें परिणाम "9" मिलता है, जिसे हम उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वह संख्या लिखते हैं जो इन सभी अंशों के हर में है - "47"।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी सिद्धांत के अनुसार किया जाता है।

भिन्नों को जोड़ने के लिए, जिनके हर समान हैं, आपको अंशों को जोड़ना होगा। परिणामी संख्या योग का अंश है, और हर वही रहता है: k / m + b / m = (k + b) / m।

आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसा दिखता है:

1/4 + 2/4 = 3/4.

भिन्न के पहले पद के अंश में - "1" - भिन्न के दूसरे पद का अंश - "2" जोड़ें। परिणाम - "3" - योग के अंश में लिखा जाता है, और भाजक भिन्नों के समान होता है - "4"।

भिन्न हर के साथ भिन्न और उनका घटाव

हम पहले ही भिन्नों वाली क्रिया पर विचार कर चुके हैं जिनका हर समान है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सरल नियमों को जानकर, ऐसे उदाहरणों को हल करना काफी आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको भिन्नों के साथ एक क्रिया करने की ज़रूरत है जिसमें अलग-अलग हर हैं? हाई स्कूल के कई छात्र इन उदाहरणों से भ्रमित हैं। लेकिन यहां भी, यदि आप समाधान के सिद्धांत को जानते हैं, तो उदाहरण अब आपके लिए कोई कठिनाई पेश नहीं करेंगे। यहां एक नियम भी है, जिसके बिना ऐसे अंशों का समाधान असंभव है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, आपको उन्हें एक ही निम्नतम हर में लाना होगा।

यह कैसे करना है, इसके बारे में हम अधिक विस्तार से बात करेंगे।

भिन्न गुण

एक ही हर में कई भिन्न लाने के लिए, आपको समाधान में भिन्न की मुख्य संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है: अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा करने के बाद, आपको दिए गए के बराबर भिन्न मिलता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न 2/3 में "6", "9", "12", आदि जैसे हर हो सकते हैं, अर्थात यह किसी भी संख्या का रूप हो सकता है जो "3" का गुणज हो। जब हम अंश और हर को "2" से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्न 4/6 प्राप्त होता है। जब हम मूल भिन्न के अंश और हर को "3" से गुणा करते हैं, तो हमें 6/9 मिलता है, और यदि हम "4" संख्या के साथ समान क्रिया करते हैं, तो हमें 8/12 मिलता है। एक समानता के साथ इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

एकाधिक भिन्नों को एक ही हर में कैसे बदलें

आइए विचार करें कि एक ही हर में कई भिन्नों को कैसे लाया जाए। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए भिन्नों को लें। सबसे पहले, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्या उन सभी के लिए हर बन सकती है। इसे आसान बनाने के लिए, हम उपलब्ध हरों का गुणनखंड करते हैं।

1/2 और 2/3 के हर को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है। हर 7/9 के दो गुणनखंड हैं 7/9 = 7 / (3 x 3), भिन्न का हर 5/6 = 5 / (2 x 3)। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि इन चारों भिन्नों के लिए कौन से गुणनखंड सबसे छोटे होंगे। चूंकि हर में पहले अंश में "2" संख्या होती है, जिसका अर्थ है कि यह सभी हर में मौजूद होना चाहिए, 7/9 अंश में दो त्रिगुण हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों को भी हर में मौजूद होना चाहिए। उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए, हम निर्धारित करते हैं कि हर में तीन कारक होते हैं: 3, 2, 3 और 3 x 2 x 3 = 18 के बराबर होता है।

पहले भिन्न पर विचार करें - 1/2। इसके हर में "2" है, लेकिन एक भी अंक "3" नहीं है, लेकिन दो होने चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम हर को दो त्रिगुणों से गुणा करते हैं, लेकिन, अंश की संपत्ति के अनुसार, हमें अंश को दो त्रिगुणों से गुणा करना होगा:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18।

इसी तरह, हम शेष भिन्नों के साथ क्रिया करते हैं।

2/3 - हर में एक तीन और एक दो गायब है:
2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18।
7/9 या 7 / (3 x 3) - हर में दो गायब हैं:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18।
5/6 या 5 / (2 x 3) - हर में एक ट्रिपल गायब है:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18।

एक साथ, यह इस तरह दिखता है:

भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाना और जोड़ना है

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें एक ही हर में घटाया जाना चाहिए, और फिर उसी हर के साथ अंशों को घटाने के लिए नियमों का उपयोग करना चाहिए, जिसका पहले ही वर्णन किया जा चुका है।

आइए एक उदाहरण देखें: 4/18 - 3/15।

18 और 15 का गुणज ज्ञात कीजिए:

संख्या 18 3 x 2 x 3 से बनी है।
संख्या 15 5 x 3 से मिलकर बनी है।
सार्व गुणज 5 x 3 x 3 x 2 = 90 होगा।

हर के मिलने के बाद, गुणक की गणना करना आवश्यक है जो प्रत्येक भिन्न के लिए भिन्न होगा, अर्थात वह संख्या जिससे न केवल हर, बल्कि अंश को भी गुणा करना होगा। ऐसा करने के लिए, हमने जो संख्या (सामान्य गुणक) पाई है, उसे भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है जिसके लिए अतिरिक्त कारकों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।

90 को 15 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "6" 3/15 का गुणनखंड होगी।
90 को 18 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "5" 4/18 के लिए गुणक होगी।

हमारे समाधान में अगला कदम प्रत्येक भिन्न को हर "90" में लाना है।

हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि यह कैसे किया जाता है। आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसे लिखा जाता है:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45।

यदि भिन्न छोटी संख्याओं के साथ हैं, तो सामान्य हर का निर्धारण किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

इसी तरह, इसका उत्पादन होता है और विभिन्न भाजक होते हैं।

घटाव और पूरे भाग होना

हम पहले ही भिन्नों के घटाव और उनके योग के बारे में विस्तार से पढ़ चुके हैं। लेकिन अगर अंश में एक पूर्णांक भाग है तो आप कैसे घटाते हैं? फिर से, आइए कुछ नियमों का उपयोग करें:

पूर्णांक भाग वाले सभी अंशों को गलत में परिवर्तित किया जाना चाहिए। सरल शब्दों में, पूरे भाग को हटा दें। ऐसा करने के लिए, अंश के हर द्वारा पूर्णांक भाग की संख्या को गुणा करें, परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ें। इन क्रियाओं के बाद प्राप्त होने वाली संख्या अनुचित भिन्न का अंश होती है। भाजक अपरिवर्तित रहता है।
यदि भिन्नों के हर भिन्न हैं, तो आपको उन्हें उसी में लाना चाहिए।
समान हर से जोड़ें या घटाएँ।
यदि आपको गलत भिन्न मिलता है, तो पूरे भाग का चयन करें।

एक और तरीका है जिसके द्वारा आप भिन्नों को पूरे भागों में जोड़ और घटा सकते हैं। इसके लिए, क्रियाओं को पूरे भागों के साथ अलग-अलग किया जाता है, और अलग-अलग क्रियाओं को अंशों के साथ किया जाता है, और परिणाम एक साथ दर्ज किए जाते हैं।

उपरोक्त उदाहरण में भिन्न हैं जिनका हर समान है। मामले में जब भाजक भिन्न होते हैं, तो उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए, और फिर क्रियाओं को करना चाहिए, जैसा कि उदाहरण में दिखाया गया है।

एक पूर्णांक से भिन्नों को घटाना

भिन्नों के साथ क्रियाओं का एक अन्य प्रकार वह मामला है जब अंश से घटाया जाना चाहिए पहली नज़र में, इस उदाहरण को हल करना मुश्किल लगता है। हालाँकि, यहाँ सब कुछ बहुत सरल है। इसे हल करने के लिए, एक पूर्णांक को भिन्न में बदलना आवश्यक है, और उसी हर के साथ, जो घटाए जाने वाले भिन्न में है। अगला, हम एक घटाव बनाते हैं, समान हर के साथ घटाव के समान। उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9।

इस लेख में दिए गए भिन्नों (ग्रेड 6) का घटाव अधिक जटिल उदाहरणों को हल करने का आधार है, जिन पर बाद की कक्षाओं में विचार किया गया है। इस विषय के ज्ञान का उपयोग बाद में कार्यों, डेरिवेटिव आदि को हल करने के लिए किया जाता है। इसलिए, ऊपर चर्चा की गई भिन्नों के साथ क्रियाओं को समझना और समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

87. भिन्नों का योग।

भिन्नों के योग में पूर्ण संख्या के योग से बहुत सी समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक क्रिया है जिसमें इस तथ्य को शामिल किया जाता है कि कई दी गई संख्याओं (पदों) को एक संख्या (योग) में संयोजित किया जाता है, जिसमें पदों की इकाइयों की सभी इकाइयाँ और अंश शामिल होते हैं।

हम क्रम में तीन मामलों पर विचार करेंगे:

1. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना।
2. भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना।
3. मिश्रित संख्याओं का योग।

1. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5।

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग होगा 2/5 एबी के बराबर होगा।

चित्र से पता चलता है कि यदि आप खंड AD लेते हैं, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD केवल AC और CD खंडों का योग है। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन शर्तों और परिणामी योग को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों के योग से प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

यहाँ से हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होते हैं: एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और एक ही हर छोड़ दें।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

2. भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना।

हम भिन्न जोड़ते हैं: 3/4 + 3/8 सबसे पहले, उन्हें सबसे कम आम भाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सकता था; हमने इसे यहाँ स्पष्टता के लिए लिखा है।

इस प्रकार, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें (हम संगत भिन्नों पर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग।

संख्याएँ जोड़ें: 2 3/8 + 3 5/6।

सबसे पहले, हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाते हैं और उन्हें फिर से लिखते हैं:

अब क्रमिक रूप से संपूर्ण और भिन्नात्मक भागों को जोड़ते हैं:

88. भिन्नों का घटाव।

अंशों को घटाना उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं को घटाना। यह एक क्रिया है जिसके द्वारा दिए गए दो पदों और उनमें से एक के योग के लिए दूसरा पद पाया जाता है। आइए तीन मामलों पर क्रम से विचार करें:

1. एक ही हर के साथ भिन्नों का घटाव।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. एक ही हर के साथ भिन्नों का घटाव।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड के एसी का एक हिस्सा एबी का 1/15 होगा, और उसी खंड के एडी का एक हिस्सा 13/15 एबी के अनुरूप होगा। आइए खंड ईडी को 4/15 एबी के बराबर रखें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि आपको खंड ईडी को खंड एडी से घटाना होगा। परिणामस्वरूप, खंड AE रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमारे उदाहरण से पता चलता है कि अंतर का अंश अंशों को घटाकर प्राप्त किया जाता है, लेकिन हर एक ही रहता है।

इसलिए, एक ही हर के साथ अंशों को घटाने के लिए, आपको घटाए गए अंश के अंश को घटाए गए अंश से घटाना होगा और उसी हर को छोड़ना होगा।

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, हम इन भिन्नों को निम्नतम उभयनिष्ठ हर में लाते हैं:

इंटरमीडिएट 6/8 - 5/8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन इसके बाद छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, एक भिन्न से एक भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाना होगा, फिर घटाए गए अंश के अंश से घटाए गए अंश को घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3/4 - 7 2/3।

आइए हम घटाए गए और घटाए गए अंशों को सबसे कम सामान्य हर में लाते हैं:

हम पूर्ण में से पूर्ण और भिन्न में से भिन्न घटाते हैं। लेकिन ऐसे समय होते हैं जब घटाए गए अंश का अंश घटाए गए भाग से बड़ा होता है। ऐसे मामलों में, आपको छोटे हिस्से के पूरे हिस्से से एक इकाई लेने की जरूरत है, इसे उन हिस्सों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और इसे छोटे हिस्से के भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव उसी तरह किया जाएगा जैसे पिछले उदाहरण में:

89. भिन्नों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्णांक का भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न से भिन्न का गुणन।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. ब्याज की अवधारणा।
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।

किसी भिन्न को किसी पूर्णांक से गुणा करने का वही अर्थ होता है, जो किसी पूर्णांक को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर होता है। एक भिन्न (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर हो, और पदों की संख्या गुणक के बराबर हो।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करना है, तो इसे इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें आसानी से परिणाम मिल गया, क्योंकि क्रिया को एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए कम कर दिया गया था। अत,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना इस भिन्न को जितनी बार पूर्ण संख्या में इकाइयाँ हैं, बढ़ाने के बराबर है। और चूँकि भिन्न में वृद्धि या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त की जाती है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को एक पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या इसके द्वारा भाजक को विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहां से हमें नियम मिलता है:

किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने के लिए, अंश को उस पूर्णांक से गुणा करें और हर को वही छोड़ दें, या, यदि संभव हो, तो अंश को उस संख्या से विभाजित करें, अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

गुणा करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।समाधान में बहुत सी ऐसी समस्याएँ हैं जिनके हल में आपको दी गई संख्या का एक भाग ढूँढ़ना या परिकलित करना होता है। दूसरों से इन कार्यों के बीच का अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और इस संख्या का एक हिस्सा खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने में आसान बनाने के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं के उदाहरण देंगे, और फिर हम आपको उन्हें हल करने के तरीके से परिचित कराएंगे।

उद्देश्य 1.मेरे पास 60 रूबल थे; मैंने इस पैसे का 1/3 हिस्सा किताबों की खरीद पर खर्च कर दिया। किताबों की कीमत कितनी थी?

उद्देश्य 2.ट्रेन को शहरों ए और बी के बीच की दूरी 300 किमी के बराबर यात्रा करनी चाहिए। वह इस दूरी का 2/3 भाग पहले ही तय कर चुका है। कितने किलोमीटर है?

उद्देश्य 3.गांव में 400 घर हैं, जिनमें 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कितने ईंट के घर हैं?

किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने में हमें जिन अनेक समस्याओं का सामना करना पड़ता है उनमें से कुछ यहां दी गई हैं। उन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या के भिन्न को खोजने की समस्या कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर खर्च किया 1/3; अतः पुस्तकों का मूल्य ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या का समाधान 2.समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी का 2/3 भाग खोजने की आवश्यकता है। आइए पहले 300 में से 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (यह 300 का 1/3 है)।

300 का दो-तिहाई निकालने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (यह 300 का 2/3 है)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो कि 400 के 3/4 हैं। आइए 400 का पहला 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (यह 400 का 1/4 है)।

400 के तीन तिमाहियों की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना, यानी 3 से गुणा किया जाना चाहिए:

100 x 3 = 300 (यह 400 का 3/4 है)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या के भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्णांक का भिन्न से गुणा करना।

पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20) के योग के रूप में समझा जाना चाहिए। इस अनुच्छेद (आइटम 1) में, यह स्थापित किया गया था कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों ही मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम भिन्न से पूर्णांक गुणन की ओर मुड़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणा: 9 2/3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले में फिट नहीं बैठती है। यह इस तथ्य से देखा जा सकता है कि हम इस तरह के गुणन को एक दूसरे के बराबर संख्याओं को जोड़कर प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं।

इसके कारण हमें गुणन की एक नई परिभाषा देनी होगी, यानी दूसरे शब्दों में इस प्रश्न का उत्तर देना होगा कि भिन्न से गुणा करके क्या समझा जाए, इस क्रिया को कैसे समझा जाए।

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट होता है: एक पूर्णांक (गुणक) को एक भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ गुणक के इस भिन्न को ज्ञात करना है।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों में से 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसे कार्यों को हल किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 के साथ समाप्त करेंगे।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण प्रश्न उठता है: समान संख्याओं का योग ज्ञात करना और किसी संख्या का अंश ज्ञात करना जैसी प्रतीत होने वाली भिन्न क्रियाओं को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" से क्यों कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या द्वारा संख्या की कई बार पुनरावृत्ति) और नई क्रिया (किसी संख्या का अंश ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों का उत्तर देती है। इसका मतलब है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या समस्याएं एक ही क्रिया द्वारा हल की जाती हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे कपड़े की 4 मीटर कीमत कितनी होगी?"

मीटर (4), यानी 50 x 4 = 200 (रूबल) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके इस समस्या को हल किया जाता है।

चलो एक ही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। इस तरह के कपड़े की 3/4 मी की कीमत कितनी होगी?"

मीटर (3/4) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके भी इस समस्या को हल करने की आवश्यकता है।

यह संभव है और कई बार, समस्या के अर्थ को बदले बिना, इसमें संख्याओं को बदलने के लिए, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर, आदि लें।

चूंकि इन कार्यों में समान सामग्री होती है और केवल संख्याओं में भिन्नता होती है, इसलिए हम उन्हें एक ही शब्द - गुणा द्वारा हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली क्रियाओं को कहते हैं।

एक पूर्णांक को भिन्न से गुणा कैसे किया जाता है?

आइए पिछली समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3/4 निकालना है। पहले हम 50 का 1/4 और फिर 3/4 पाते हैं।

संख्या 50 का 1/4 50/4 है;

संख्या 50 का 3/4 है।

अत।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5/8 =?

12 का 1/8, 12/8 है,

12 की संख्या का 5/8 है।

अत,

यहां से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और इस भिन्न के हर को हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

आइए इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखें:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के लिए नियम के साथ मिले नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में प्रस्तुत किया गया था।

यह याद रखना चाहिए कि गुणन करने से पहले आपको करना चाहिए (यदि संभव हो तो) कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न से भिन्न का गुणन।किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर होता है, अर्थात किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने पर आपको पहले भिन्न (गुणा) से गुणनखंड में भिन्न ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

भिन्न से भिन्न का गुणन कैसे किया जाता है?

आइए एक उदाहरण लेते हैं: 3/4 गुना 5/7. इसका मतलब है कि आपको 3/4 का 5/7 ढूंढना होगा। पहले 3/4 का 1/7 और फिर 5/7 . खोजें

3/4 का 1/7 इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

3/4 का 5/7 इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

दूसरा उदाहरण: 5/8 गुना 4/9.

5/8 का 1/9 है,

संख्या 5/8 का 4/9 है।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों को देखते हुए, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से, और हर को हर से गुणा करना होगा, और पहले उत्पाद को अंश और दूसरा, उत्पाद का हर बनाना होगा।

सामान्य शब्दों में, इस नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय, (यदि संभव हो) कटौती करना आवश्यक है। आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित अंशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि ऐसे मामलों में जहां गुणक, या कारक, या दोनों कारक मिश्रित संख्याओं द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, तो उन्हें गलत अंशों से बदल दिया जाता है। आइए गुणा करें, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याएं: 2 1/2 और 3 1/5। आइए उनमें से प्रत्येक को एक अनियमित भिन्न में परिवर्तित करें और फिर हम परिणामी भिन्नों को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर उन्हें भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

ध्यान दें।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणा निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. ब्याज की अवधारणा।समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणना करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कई मात्राएँ उनके लिए कोई नहीं, बल्कि प्राकृतिक उपखंडों की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां (1/100) ले सकते हैं, यह एक कोपेक होगा, दो सौवां - 2 कोप्पेक, तीन सौवां - 3 कोप्पेक। आप एक रूबल का 1/10 ले सकते हैं, यह "10 कोप्पेक, या एक पैसा होगा। आप एक चौथाई रूबल, यानी 25 कोप्पेक, आधा रूबल, यानी 50 कोप्पेक (पचास कोप्पेक) ले सकते हैं। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से नहीं लेते हैं, उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन की माप की इकाई, यानी किलोग्राम, सबसे पहले दशमलव विभाजन की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम। और एक किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/13 असामान्य हैं।

सामान्य तौर पर, हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव विभाजन की अनुमति देते हैं।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में उप-विभाजित मात्राओं की समान (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि ऐसा प्रमाणित विभाजन "सौवां" विभाजन है। मानव अभ्यास के विविध क्षेत्रों से कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत से 12/100 की गिरावट आई है।

उदाहरण। पुस्तक की पिछली कीमत 10 रूबल है। इसमें 1 रूबल की गिरावट आई। 20 कोप्पेक

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को वर्ष के दौरान बचत के लिए आवंटित राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। कैशियर के पास 500 रूबल हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या छात्रों की कुल संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र पढ़ते थे, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या के सौवें भाग को प्रतिशत कहते हैं।.

शब्द "प्रतिशत" लैटिन भाषा से लिया गया है और इसकी जड़ "प्रतिशत" का अर्थ एक सौ है। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ से अधिक।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से मिलता है कि मूल रूप से प्राचीन रोम में, ब्याज को पैसा कहा जाता था जिसे देनदार ने "हर सौ के लिए" ऋणदाता को भुगतान किया था। शब्द "सेंट" ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (कहा गया सेंटीमीटर)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि पिछले महीने संयंत्र ने अपने सभी उत्पादों का 1/100 स्क्रैप दिया, हम यह कहेंगे: पिछले महीने के संयंत्र ने एक प्रतिशत स्क्रैप दिया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना से 4/100 अधिक उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र ने योजना से 4 प्रतिशत अधिक उत्पादन किया।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग तरह से कहा जा सकता है:

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12 फीसदी कम हो गई है।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत के लिए आवंटित राशि का 2 प्रतिशत प्रति वर्ष भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल से स्नातकों की संख्या स्कूल के सभी छात्रों का 5 प्रतिशत थी।

अक्षर को छोटा करने के लिए "प्रतिशत" शब्द के बजाय% लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि गणना में% चिह्न आमतौर पर नहीं लिखा जाता है; इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस चिह्न के साथ एक पूर्णांक के बजाय 100 के हर के साथ एक अंश लिखना होगा।

आपको संकेतित चिह्न के साथ एक पूर्णांक को 100 के हर वाले अंश से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले अंश के बजाय संकेतित चिह्न के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

उद्देश्य 1.स्कूल को 200 क्यूबिक मीटर मिले। जलाऊ लकड़ी का मी, सन्टी जलाऊ लकड़ी के साथ 30% के लिए लेखांकन। कितने सन्टी जलाऊ लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि सन्टी जलाऊ लकड़ी स्कूल में वितरित की जाने वाली जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा था, और इस भाग को 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि हमें एक संख्या के अंश को खोजने के कार्य का सामना करना पड़ रहा है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या के भिन्न को खोजने की समस्याओं को एक भिन्न से गुणा करके हल किया जाता है।)

इसका मतलब है कि 200 का 30% 60 के बराबर है।

इस समस्या में आने वाले अंश 30/100 को 10 से कम किया जा सकता है। इस कमी को शुरू से ही किया जा सकता था; समस्या का समाधान नहीं बदला होगा।

उद्देश्य 2.कैंप में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 साल के बच्चों में 21 फीसदी, 12 साल के बच्चों में 61 फीसदी और अंत में 13 साल के बच्चों की संख्या 18 फीसदी रही। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात्, क्रमिक रूप से 11 वर्ष के बच्चों की, फिर 12 वर्ष की आयु के और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात कीजिए।

इसका मतलब है कि यहां आपको संख्या का अंश तीन बार खोजना होगा। हो जाए:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 साल के कितने बच्चे थे?

3) 13 साल के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस बात पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए ब्याज का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कि शिविर में बच्चों की कुल संख्या को 100% के रूप में लिया गया था।

3 केस 3.कार्यकर्ता को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इनमें से 65% भोजन पर, 6% - एक अपार्टमेंट और हीटिंग पर, 4% - गैस, बिजली और रेडियो पर, 10% - सांस्कृतिक जरूरतों के लिए और 15% - बचाया। कार्य में बताई गई जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1 की भिन्न को 200 5 बार खोजना होगा। चलिए करते हैं।

1) भोजन पर कितना पैसा खर्च किया गया? समस्या कहती है कि यह खर्च कुल कमाई का 65% है, यानी 1200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करते हैं:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा दिया गया था? पिछले एक की तरह तर्क, हम निम्नलिखित गणना पर पहुंचते हैं:

3) आपने गैस, बिजली और रेडियो के लिए कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

5) कार्यकर्ता ने कितना पैसा बचाया?

परीक्षण के लिए इन 5 प्रश्नों में मिली संख्याओं को जोड़ना सहायक होता है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% के रूप में लिया जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया है। इस तथ्य के बावजूद कि ये समस्याएं अलग-अलग चीजों (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, अलग-अलग उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता के खर्च) से निपटती थीं, उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी समस्याओं में दी गई संख्याओं का कुछ प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित मुद्दों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक का एक पूर्णांक से विभाजन।
2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन
3. एक पूर्णांक का भिन्न में विभाजन।
4. भिन्न का भिन्न में विभाजन।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।
6. दी गई भिन्न के लिए एक संख्या ज्ञात करना।
7. संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक पूर्णांक का एक पूर्णांक से विभाजन।

जैसा कि पूर्णांकों के खंड में इंगित किया गया था, विभाजन एक क्रिया है जिसमें दो कारकों (विभाज्य) और इन कारकों में से एक (भाजक) के दिए गए उत्पाद के लिए एक अन्य कारक पाया जाता है।

हमने पूर्णांकों के विभाग में एक पूर्णांक के एक पूर्णांक के विभाजन को देखा। हमने वहां विभाजन के दो मामलों का सामना किया: शेष के बिना विभाजन, या "पूरी तरह से" (150: 10 = 15), और शेष के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए, हम कह सकते हैं कि पूर्ण संख्याओं के क्षेत्र में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा एक पूर्णांक से भाजक का गुणनफल नहीं होता है। भिन्न से गुणन की शुरुआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से भाग देने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 होगा। वह संख्या 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7 है। एक और उदाहरण: 14:25 = 14/25, क्योंकि 14/25 25 = 14.

इस प्रकार, एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न की रचना करनी होगी, जिसका अंश भाज्य है और भाजक भाजक है।

2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन।

भिन्न 6/7 को 3 से विभाजित करें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां उत्पाद (6/7) और कारकों में से एक (3) है; ऐसा दूसरा गुणनखंड ज्ञात करना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर दिए गए गुणनफल को 6/7 प्राप्त हो। जाहिर है, यह इस टुकड़े से तीन गुना कम होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने जो कार्य निर्धारित किया गया था, वह भिन्न को 6/7 से 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भिन्न को घटाना या तो उसके अंश को घटाकर या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, कोई लिख सकता है:

इस मामले में, 6 का अंश 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं: 5/8 को 2 से विभाजित करें। यहां 5 का अंश 2 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, इसलिए आपको हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम एक नियम बना सकते हैं: एक भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को इस पूर्णांक से विभाजित करना होगा(अगर संभव हो तो), एक ही हर को छोड़कर, या एक ही अंश को छोड़कर, इस संख्या से भिन्न के हर को गुणा करें।

3. एक पूर्णांक का भिन्न में विभाजन।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात, एक संख्या ज्ञात करें, जो 1/2 से गुणा करने के बाद, उत्पाद 5 देगा। जाहिर है, यह संख्या 5 से अधिक होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक नियमित है भिन्न, और नियमित भिन्न के लिए संख्या को गुणा करते समय, गुणनफल गुणन से कम होना चाहिए। इसे और स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1/2 = एन एस , तो x 1/2 = 5।

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी है एन एस , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होता है। चूँकि किसी संख्या को 1/2 से गुणा करने पर - इसका अर्थ है कि इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एन एस 5 के बराबर है, और पूर्ण संख्या एन एस दुगना, अर्थात 5 2 = 10।

तो 5: 1/2 = 5 2 = 10

चलो जांचते हैं:

आइए एक और उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए आप 6 को 2/3 से भाग देना चाहते हैं। आइए पहले ड्राइंग का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें (चित्र 19)।

अंजीर। 19

आइए कुछ 6 इकाइयों के बराबर एक खंड AB बनाएं और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड AB में तीन-तिहाई (3/3) 6 गुना अधिक है, अर्थात। ई. 18/3। हम छोटे ब्रैकेट की मदद से जुड़ते हैं 18 प्राप्त 2 खंड; केवल 9 खंड होंगे। इसका मतलब है कि भिन्न 2/3 6 इकाइयों में 9 बार समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, भिन्न 2/3 6 पूर्ण इकाइयों से 9 गुना कम है। अत,

आप केवल गणनाओं का उपयोग करके ब्लूप्रिंट के बिना यह परिणाम कैसे प्राप्त कर सकते हैं? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि 6 में 2/3 कितनी बार समाहित है। आइए पहले पता करें: 1/3 कितनी बार है 6 में निहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसका मतलब है कि 1/3 6 इकाइयों में 18 बार समाहित है, और 2/3 6 में 18 बार नहीं, बल्कि आधी बार, यानी 18:2 है। = 9. इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय, हमने निम्नलिखित किया:

इससे हमें किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने का नियम प्राप्त होता है। किसी पूर्णांक को भिन्न में विभाजित करने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और, इस गुणनफल को अंश बनाकर, दिए गए भिन्न के अंश से विभाजित करना होगा।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में प्रस्तुत किया गया था। ध्यान दें कि वही सूत्र वहां प्राप्त किया गया था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न का भिन्न में विभाजन।

मान लीजिए आप 3/4 को 3/8 से भाग देना चाहते हैं। वह कौन सी संख्या होगी जो विभाजन का परिणाम होगी? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 में 3/4 कितनी बार समाहित है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 20)।

खंड AB लें, इसे एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। एसी खंड एबी खंड के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चार प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधा में विभाजित करें, फिर AB खंड को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग AB खंड के 1/8 के बराबर होगा। आइए हम ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ते हैं, तो प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। आरेखण से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर 2 बार के खंड में समाहित है; इसलिए, विभाजन का परिणाम निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण लेते हैं। आइए 15/16 को 3/32 से भाग दें:

हम इस तरह से तर्क कर सकते हैं: आपको एक संख्या खोजने की जरूरत है, जो 3/32 से गुणा करने के बाद 15/16 के बराबर उत्पाद देगा। आइए गणना इस तरह लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एन एस

3 / 32 एन एस = 15 / 16

3/32 अनजान नंबर एन एस 15/16 . हैं

अज्ञात संख्या का 1/32 एन एस है,

32/32 नंबर एन एस शृंगार।

अत,

इस प्रकार, एक भिन्न को भिन्न में विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा, और पहले उत्पाद को अंश बनाना होगा, और दूसरा, भाजक।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित अंशों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी अंशों को भिन्नात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित करना चाहिए। आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

आइए अब विभाजित करें:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों के विभाजन के नियम से विभाजित करना होगा।

6. दी गई भिन्न के लिए एक संख्या ज्ञात करना।

भिन्नों पर विभिन्न समस्याओं के बीच, कभी-कभी ऐसे भी होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के कुछ अंश का मान दिया जाता है और इस संख्या को खोजने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार की समस्या दी गई संख्या की भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहाँ एक संख्या दी गई थी और इस संख्या का एक निश्चित अंश ज्ञात करना आवश्यक था, यहाँ एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या को स्वयं खोजने की आवश्यकता है। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

उद्देश्य 1.पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमकाया, जो कि निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या यह कहती है कि घर में सभी खिड़कियों का 1/3 हिस्सा 50 ग्लेज्ड खिड़कियों से बनता है, जिसका मतलब है कि कुल मिलाकर 3 गुना अधिक खिड़कियां हैं, यानी।

घर में 150 खिड़कियां थीं।

उद्देश्य 2.स्टोर ने 1,500 किलो आटा बेचा, जो स्टोर की कुल आटे की आपूर्ति का 3/8 है। स्टोर की मूल आटे की आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या कथन से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलो आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा। अत,

500 8 = 4000 (किलो)।

दुकान में आटे का मूल भंडार 4,000 किलो था।

इस समस्या के विचार से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है।

किसी भिन्न के दिए गए मान के लिए एक संख्या ज्ञात करने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने दी हुई भिन्न से एक संख्या ज्ञात करने की दो समस्याओं को हल किया है। इस तरह की समस्याएं, जैसा कि बाद में विशेष रूप से स्पष्ट रूप से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करने के बाद, उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न द्वारा विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस तरह एक चरण में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में एक संख्या को उसके अंश से खोजने की समस्या को हल करेंगे।

7. संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानने के लिए एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

उद्देश्य 1.इस साल की शुरुआत में, मुझे एक बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक साल पहले बचत पर लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा लगाया? (नकद डेस्क योगदानकर्ताओं को प्रति वर्ष 2% आय देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मेरे द्वारा एक निश्चित राशि एक बचत बैंक में जमा की गई और एक वर्ष तक वहीं रही। एक साल बाद, मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा निवेशित धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा लगाया?

इसलिए, इस पैसे के एक हिस्से को दो तरह से (रूबल और अंश में) व्यक्त करते हुए, हमें पूरी, अब तक अज्ञात, राशि का पता लगाना होगा। किसी संख्या को उसकी भिन्न दी हुई संख्या ज्ञात करना एक सामान्य कार्य है। निम्नलिखित कार्यों को विभाजन द्वारा हल किया जाता है:

इसका मतलब है कि 3000 रूबल बचत बैंक में डाल दिए गए थे।

उद्देश्य 2.मछुआरों ने मासिक योजना को दो सप्ताह में 64% तक पूरा किया, जिसमें 512 टन मछली काटी गई थी। उनकी योजना क्या थी?

समस्या कथन से ज्ञात होता है कि मछुआरों ने योजना का एक भाग पूरा कर लिया है। यह हिस्सा 512 टन के बराबर है, जो कि योजना का 64 फीसदी है। हमें नहीं पता कि योजना के अनुसार कितने टन मछली तैयार करने की जरूरत है। इस नंबर को ढूंढ़ने से समस्या का समाधान हो जाएगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

इसका मतलब है कि योजना के अनुसार 800 टन मछली तैयार करने की जरूरत है।

उद्देश्य 3.ट्रेन रीगा से मास्को चली गई। जब उन्होंने 276वां किलोमीटर पार किया, तो यात्रियों में से एक ने गुजरने वाले कंडक्टर से पूछा कि वे किस रास्ते से गुजर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने उत्तर दिया: "हमने पहले ही पूरे मार्ग का 30% कवर कर लिया है।" रीगा से मास्को की दूरी क्या है?

समस्या कथन से यह देखा जा सकता है कि रीगा से मास्को तक का 30% मार्ग 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की पूरी दूरी को खोजने की जरूरत है, अर्थात किसी दिए गए भाग के लिए, संपूर्ण ज्ञात करें:

91. पारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्या। भाग को गुणा से बदलना।

भिन्न 2/3 लें और अंश को हर में ले जाएँ, ताकि आपको 3/2 प्राप्त हो। हमें इस भिन्न का व्युत्क्रम मिला है।

दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको इसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार, हम किसी भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

3/4, रिवर्स 4/3; 5/6, उल्टा 6/5

दो भिन्नों के गुणधर्म के साथ, जिनमें पहले का अंश दूसरे का हर और पहले का हर दूसरे का अंश होता है, कहलाते हैं परस्पर उलटा।

आइए अब विचार करें कि 1/2 का विलोम कौन-सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। दिए गए भिन्न के प्रतिलोम को खोजने पर हमें एक पूर्णांक प्राप्त होता है। और यह मामला अकेला नहीं है; इसके विपरीत, अंश 1 (एक) वाले सभी अंशों के लिए, पूर्णांक व्युत्क्रम होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, रिवर्स 3; 1/5, रिवर्स 5

चूँकि व्युत्क्रम भिन्नों की तलाश करते समय, हम पूर्णांकों से भी मिले थे, इसलिए हम पारस्परिक भिन्नों के बारे में नहीं, बल्कि पारस्परिक संख्याओं के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि किसी पूर्णांक का व्युत्क्रम कैसे लिखा जाता है। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जा सकता है: आपको अंश के स्थान पर हर को रखना होगा। इसी तरह, आप एक पूर्णांक के लिए प्रतिलोम संख्या प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में एक हर हो सकता है। इसलिए, 7 के विपरीत संख्या 1/7 होगी, क्योंकि 7 = 7/1; संख्या 10 के लिए, प्रतिलोम 1/10 होगा, क्योंकि 10 = 10/1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक को दी गई संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है... यह कथन न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, अगर हम भिन्न 5/9 का व्युत्क्रम लिखना चाहते हैं, तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, यानी।

अब एक की ओर इशारा करते हैं संपत्तिपारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर पारस्परिक संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस गुण का उपयोग करके, हम निम्नलिखित तरीके से व्युत्क्रम ज्ञात कर सकते हैं। मान लीजिए आपको 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करना है।

आइए हम इसे पत्र द्वारा निरूपित करें एन एस , फिर 8 एन एस = 1, इसलिए एन एस = 1/8. आइए एक और संख्या ज्ञात करें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर द्वारा निरूपित करें एन एस , फिर 7/12 एन एस = 1, इसलिए एन एस = 1: 7/12 या एन एस = 12 / 7 .

हमने यहाँ भिन्नों के विभाजन की जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए पारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा को पेश किया है।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से विभाजित करते हैं, तो हम निम्न कार्य करते हैं:

व्यंजक पर पूरा ध्यान दें और उसकी तुलना दिए गए व्यंजक से करें।

यदि हम पिछले एक के साथ संबंध के बिना, अलग से अभिव्यक्ति लेते हैं, तो यह सवाल हल करना असंभव है कि यह कहां से आया है: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में, परिणाम समान है। तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से भाग देने पर भाज्य को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष का पूर्ण समर्थन करते हैं।

आइए पूर्णांकों वाली भिन्नों वाली क्रियाओं पर करीब से नज़र डालें:

एक व्यंजक का अर्थ कैसे ज्ञात करें जहाँ हर भिन्न हो

समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाएं

भिन्नों को घटाने के उदाहरण जिनके हर समान हैं

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

भिन्न हर के साथ भिन्न और उनका घटाव

भिन्न गुण

एकाधिक भिन्नों को एक ही हर में कैसे बदलें

भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाना और जोड़ना है

घटाव और पूरे भाग होना

एक पूर्णांक से भिन्नों को घटाना

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