गुणा करते समय भिन्नों को कम करने के नियम। अंश

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन कार्यों का सबसे कठिन हिस्सा भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये संक्रियाएँ जोड़ और घटाव से भी अधिक सरल हैं। सबसे पहले, आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक अलग पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे भिन्न से गुणा करना होगा।

पद का नाम:

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन हो जाता है। किसी भिन्न को "फ़्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - निस्संदेह, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि सभी कटौती के बाद अंश गलत हो जाता है, तो पूरे भाग को हाइलाइट किया जाना चाहिए। लेकिन गुणन के साथ जो निश्चित रूप से नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधियां नहीं, सबसे बड़ा कारक और सबसे छोटा सामान्य गुणक।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

भिन्नों को पूर्ण भागों और ऋणात्मक भिन्नों से गुणा करना

यदि भिन्नों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन से निकाला जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस माइनस से माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी कार्य के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जलाने" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. हम नकारात्मकताओं को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जातीं। चरम मामलों में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई साथी नहीं था;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ा नहीं था, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर ले जाते हैं। परिणाम एक ऋणात्मक अंश है.

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं, और फिर गुणन से ऋण निकाल देते हैं। जो बचता है उसे हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्ण भाग के साथ भिन्न के सामने दिखाई देने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूरे भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

ऋणात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

तुरंत अंशों को कम करना

गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और समस्या को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड होते हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम कर दी गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। उनके स्थान पर ऐसी इकाइयाँ बनी रहती हैं, जिन्हें सामान्यतः लिखने की आवश्यकता नहीं होती। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा फिर भी कम हो गई।

हालाँकि, भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय कभी भी इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि जोड़ते समय, अंश का अंश योग उत्पन्न करता है, संख्याओं का गुणनफल नहीं। नतीजतन, भिन्न के मूल गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस प्रकार दिखता है:

सही समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.

हम कई संभावित विकल्पों में साधारण भिन्नों के गुणन पर विचार करेंगे।

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से गुणा करना

यह सबसे सरल मामला है जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है भिन्नों को गुणा करने के नियम.

को भिन्न को भिन्न से गुणा करें, ज़रूरी:

• पहले अंश के अंश को दूसरे अंश के अंश से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए अंश के अंश में लिखें;
• पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए भिन्न के हर में लिखें;

अंशों और हरों को गुणा करने से पहले, यह देख लें कि क्या भिन्नों को कम किया जा सकता है। गणनाओं में भिन्नों को कम करने से आपकी गणनाएँ बहुत आसान हो जाएँगी।



किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

भिन्न बनाना किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करेंआपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

यदि गुणन का परिणाम एक अनुचित भिन्न है, तो उसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूरे भाग को उजागर करें।



मिश्रित संख्याओं को गुणा करना

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।



किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी गणना करते समय किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को वही छोड़ना होगा।



जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, नियम का यह संस्करण उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का हर किसी शेषफल के बिना एक प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है।

भिन्नों के साथ संचालन

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना

भिन्नों का योग दो प्रकार का होता है:

• समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना
• भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना

सबसे पहले, आइए समान हर वाली भिन्नों का योग सीखें। यहां सब कुछ सरल है. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और। अंशों को जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:



अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.भिन्न और जोड़ें.

फिर से, हम अंशों को जोड़ते हैं और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:



उत्तर अनुचित भिन्न निकला। जब कार्य का अंत आता है, तो अनुचित भिन्नों से छुटकारा पाने की प्रथा है। किसी अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसके पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूरे भाग को आसानी से अलग किया जा सकता है - दो को दो से विभाजित करने पर एक बराबर होता है:



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक पिज्जा के बारे में याद करें जो दो भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न और जोड़ें।



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 4.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप एक पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 पूरा पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को वही छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना

आइए अब सीखें कि विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते.

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक को देखेंगे, क्योंकि अन्य विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस विधि का सार यह है कि सबसे पहले हम दोनों भिन्नों के हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को देखते हैं। पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करने के लिए एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं - एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है।

फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्न में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1. आइए भिन्नों को जोड़ें और

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक 6 है

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब आइए भिन्नों पर वापस आएं। सबसे पहले, एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त गुणक है। हम इसे पहले अंश तक लिखते हैं। ऐसा करने के लिए भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाएं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त गुणक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। पुनः, हम दूसरे भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखते हैं:

अब हमारे पास जोड़ने के लिए सब कुछ तैयार है। भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:



ध्यान से देखो कि हम क्या करने आये हैं। हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:



यह उदाहरण पूरा करता है. यह जोड़ने के लिए निकलता है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर करने पर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन दो अंशों को पिज़्ज़ा के समान टुकड़ों द्वारा दर्शाया जाएगा। अंतर केवल इतना होगा कि इस बार उन्हें समान शेयरों (समान भाजक तक कम) में विभाजित किया जाएगा।



पहला चित्र एक अंश (छह में से चार टुकड़े) को दर्शाता है, और दूसरा चित्र एक अंश (छह में से तीन टुकड़े) को दर्शाता है। इन टुकड़ों को जोड़ने पर हमें (छह में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह अंश अनुचित है, इसलिए हमने इसके पूरे भाग पर प्रकाश डाला है। परिणामस्वरूप, हमें (एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा छठा पिज़्ज़ा) मिला।

कृपया ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण का बहुत अधिक विस्तार से वर्णन किया है। शिक्षण संस्थानों में इतना विस्तार से लिखने का रिवाज नहीं है। आपको हर और उनके अतिरिक्त कारकों दोनों का एलसीएम तुरंत ढूंढने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही पाए गए अतिरिक्त कारकों को अपने अंश और हर से तेजी से गुणा करना होगा। यदि हम स्कूल में होते तो हमें यह उदाहरण इस प्रकार लिखना होता:



लेकिन सिक्के का दूसरा पहलू भी है. यदि आप गणित के अध्ययन के पहले चरण में विस्तृत नोट्स नहीं लेते हैं, तो इस प्रकार के प्रश्न सामने आने लगते हैं। “वह संख्या कहां से आती है?”, “अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्न में क्यों बदल जाते हैं? «.

विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्नलिखित चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

3. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें;
4. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक प्राप्त करें;
5. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
6. उन भिन्नों को जोड़ें जिनके हर समान हों;
7. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला तो उसके पूर्ण भाग का चयन करें;

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए आरेख का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों के लिए एलसीएम ज्ञात करें

दोनों भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्याएँ 2, 3 और 4 हैं। आपको इन संख्याओं के लिए LCM ज्ञात करना होगा:

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं:

चरण 4. समान हर वाली भिन्नें जोड़ें

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। जो कुछ बचा है वह इन भिन्नों को जोड़ना है। इसे जोड़े:



जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष अभिव्यक्ति को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है. जब कोई अभिव्यक्ति एक पंक्ति में फिट नहीं बैठती है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस अभिव्यक्ति की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर थी।

चरण 5. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो उसके पूरे भाग को हाइलाइट करें

हमारा उत्तर अनुचित भिन्न निकला। हमें इसके एक पूरे हिस्से को उजागर करना होगा. हम हाइलाइट करते हैं:



हमें जवाब मिला

समान हर वाली भिन्नों को घटाना

भिन्नों का घटाव दो प्रकार का होता है:

8. समान हर वाली भिन्नों को घटाना
9. भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

सबसे पहले, आइए सीखें कि समान हर वाली भिन्नों को कैसे घटाया जाए। यहां सब कुछ सरल है. एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, लेकिन हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा। आओ इसे करें:

अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

पुनः, पहले भिन्न के अंश से, दूसरे भिन्न के अंश को घटाएँ, और हर को वही छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से आपको शेष भिन्न के अंश को घटाना होगा:

उत्तर अनुचित भिन्न था. यदि उदाहरण पूरा हो गया है, तो अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने की प्रथा है। आइए उत्तर में अनुचित भिन्न से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, आइए इसके संपूर्ण भाग का चयन करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

उदाहरण के लिए, आप किसी भिन्न में से भिन्न को घटा सकते हैं क्योंकि भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन आप भिन्न में से भिन्न नहीं घटा सकते, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सामान्य हर उसी सिद्धांत का उपयोग करके पाया जाता है जिसका उपयोग हमने विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले, दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी प्रकार, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और एक दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, जिन भिन्नों के हर अलग-अलग होते थे, वे उन भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है।

उदाहरण 1।अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

सबसे पहले हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 12 है

एलसीएम (3 और 4) = 12

आइए अब भिन्नों पर लौटते हैं और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। पहली भिन्न के ऊपर चार लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। दूसरे भिन्न के ऊपर तीन लिखें:

अब हम घटाने के लिए तैयार हैं. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:

हमें जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है. यदि हम स्कूल में होते तो हमें इस उदाहरण को संक्षेप में हल करना होता। ऐसा समाधान इस प्रकार दिखेगा:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाकर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन अंशों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भागों में विभाजित किया जाएगा (समान हर तक कम):

पहली तस्वीर एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) दिखाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े काटने पर हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पाँच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए सबसे पहले आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

आइए इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 30 है।

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। एलसीएम संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 30 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाने के लिए तैयार है. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर समान चिह्न (=) के बारे में न भूलें:

उत्तर सामान्य अंश निकला, और सब कुछ हमारे अनुरूप प्रतीत होता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। इसे सरल और सौंदर्य की दृष्टि से अधिक सुखदायक बनाना आवश्यक होगा। क्या किया जा सकता है? आप इस भिन्न को छोटा कर सकते हैं. याद रखें कि भिन्न को कम करना अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा अंश और हर का विभाजन है।

किसी भिन्न को सही ढंग से कम करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को संख्या 20 और 30 के सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) से विभाजित करना होगा।

जीसीडी को एनओसी के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। कई शुरुआती लोगों की सबसे आम गलती। जीसीडी सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। हम इसे एक अंश को कम करने वाला पाते हैं।

और LCM सबसे छोटा समापवर्त्य है। हम इसे भिन्नों को समान (सामान्य) हर में लाने के लिए पाते हैं।

अब हम संख्या 20 और 30 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) ढूंढेंगे।

तो, हम संख्या 20 और 30 के लिए जीसीडी पाते हैं:

जीसीडी (20 और 30) = 10

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और भिन्न के अंश और हर को 10 से विभाजित करते हैं:

हमें एक सुंदर उत्तर मिला

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश को उस संख्या से गुणा करना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

उदाहरण 1. किसी भिन्न को संख्या 1 से गुणा करें.

भिन्न के अंश को संख्या 1 से गुणा करें

रिकॉर्डिंग को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणनखंड की अदला-बदली कर दी जाए, तो उत्पाद नहीं बदलेगा। यदि अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जाता है, तो उत्पाद अभी भी के बराबर होगा। पुनः, पूर्ण संख्या और भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस अंकन को एक का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 से गुणा करें

अभिव्यक्ति को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज़्ज़ा मिलेंगे

और यदि हम गुणक और गुणक की अदला-बदली करते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूर्ण पिज़्ज़ा में से दो पिज़्ज़ा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्नों को गुणा करना

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा। यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

हमें जवाब मिला. इस अंश को कम करने की सलाह दी जाती है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। तब अंतिम समाधान निम्नलिखित रूप लेगा:

इस अभिव्यक्ति को आधे पिज़्ज़ा से एक पिज़्ज़ा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बाँटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:

हम पिज़्ज़ा बनाएंगे. याद रखें कि तीन भागों में विभाजित होने पर पिज़्ज़ा कैसा दिखता है:

इस पिज़्ज़ा के एक टुकड़े और हमारे द्वारा लिए गए दो टुकड़ों के आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में कहें तो हम एक ही साइज के पिज्जा की बात कर रहे हैं. अतः अभिव्यक्ति का मान है

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर अनुचित भिन्न था. आइए इसके पूरे भाग पर प्रकाश डालें:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

उत्तर एक नियमित अंश निकला, लेकिन इसे छोटा कर दिया जाए तो अच्छा रहेगा। इस भिन्न को कम करने के लिए इसे अंश और हर की gcd से विभाजित करना होगा। तो, आइए संख्या 105 और 450 की जीसीडी खोजें:

(105 और 150) के लिए जीसीडी 15 है

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को gcd से विभाजित करते हैं:

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। इससे पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पाँच को एक से विभाजित करना," और जैसा कि हम जानते हैं, यह पाँच के बराबर है:

पारस्परिक संख्याएँ

अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीत ए एक संख्या है जिसे, जब गुणा किया जाता है ए एक देता है.

आइए इस परिभाषा में वेरिएबल के स्थान पर स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 एक संख्या है जिसे, जब गुणा किया जाता है 5 एक देता है.

क्या ऐसी संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला कि यह संभव है. आइए पाँच को भिन्न के रूप में कल्पना करें:

फिर इस भिन्न को स्वयं से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, किसी भिन्न को स्वयं से गुणा करें, केवल उल्टा करके:

इसके परिणामस्वरूप क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब यह है कि संख्या 5 का व्युत्क्रम वह संख्या है, क्योंकि जब आप 5 को गुणा करते हैं तो आपको एक प्राप्त होता है।

किसी संख्या का व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

• 3 का व्युत्क्रम एक भिन्न है
• 4 का व्युत्क्रम एक भिन्न है

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस इसे पलट दें।

मिडिल और हाई स्कूल पाठ्यक्रमों में, छात्रों ने "अंश" विषय को कवर किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई अवधारणा से कहीं अधिक व्यापक है। आज, भिन्न की अवधारणा का अक्सर सामना किया जाता है, और हर कोई किसी भी अभिव्यक्ति की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, भिन्न को गुणा करना।

भिन्न क्या है?

ऐतिहासिक रूप से, भिन्नात्मक संख्याएँ मापने की आवश्यकता से उत्पन्न हुईं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अक्सर एक खंड की लंबाई और एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के उदाहरण होते हैं।

प्रारंभ में, छात्रों को शेयर की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक व्यक्ति को तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहा जाता है।

किसी भी मूल्य के ½ के बराबर शेयर को आधा कहा जाता है; ⅓ - तीसरा; ¼ - एक चौथाई. 5/8, 4/5, 2/4 रूप के अभिलेख साधारण भिन्न कहलाते हैं। एक सामान्य भिन्न को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्न पट्टी, या भिन्न पट्टी है। भिन्नात्मक रेखा क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींची जा सकती है। इस मामले में, यह विभाजन चिह्न को दर्शाता है।

हर यह दर्शाता है कि मात्रा या वस्तु को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है; और अंश यह है कि कितने समान शेयर लिए गए हैं। अंश को भिन्न रेखा के ऊपर लिखा जाता है, हर को उसके नीचे लिखा जाता है।

निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक है। यदि एक एकल खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित किया जाए, प्रत्येक भाग को एक लैटिन अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाए, तो परिणाम एक उत्कृष्ट दृश्य सहायता हो सकता है। तो, बिंदु A संपूर्ण इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B किसी दिए गए खंड के 2/8 को दर्शाता है।

भिन्नों के प्रकार

भिन्न साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।

उचित भिन्न वह संख्या होती है जिसका अंश उसके हर से कम होता है। तदनुसार, अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश उसके हर से बड़ा होता है। दूसरा प्रकार आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस अभिव्यक्ति में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग शामिल है। उदाहरण के लिए, 1½. 1 एक पूर्णांक भाग है, ½ एक भिन्नात्मक भाग है। हालाँकि, यदि आपको अभिव्यक्ति के साथ कुछ हेरफेर करने की आवश्यकता है (अंशों को विभाजित करना या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।

एक सही भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा एक से कम होती है, और एक गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा 1 से बड़ी या उसके बराबर होती है।

जहां तक ​​इस अभिव्यक्ति का संबंध है, हमारा मतलब एक रिकॉर्ड है जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न उचित है, तो दशमलव अंकन में पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होगा।

दशमलव अंश लिखने के लिए, आपको पहले पूरा भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम का उपयोग करके अंश से अलग करना होगा, और फिर अंश अभिव्यक्ति लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि दशमलव बिंदु के बाद अंश में डिजिटल वर्णों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी हर में शून्य होती है।

उदाहरण. अंश 7 21/1000 को दशमलव संकेतन में व्यक्त करें।

अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने और इसके विपरीत के लिए एल्गोरिदम

किसी समस्या के उत्तर में अनुचित भिन्न लिखना ग़लत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक है:

• अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
• एक विशिष्ट उदाहरण में, एक अपूर्ण भागफल पूर्ण होता है;
• और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, जिसमें हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47 / 5.

समाधान. 47: 5. आंशिक भागफल 9 है, शेषफल = 2. तो, 47 / 5 = 9 2 / 5.

कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने की आवश्यकता होती है। फिर आपको निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

• पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर से गुणा किया जाता है;
• परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है;
• परिणाम अंश में लिखा जाता है, हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. मिश्रित रूप में संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 9 8/10।

समाधान. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 अंश है।

उत्तर: 98 / 10.

भिन्नों को गुणा करना

साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित की जा सकती हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा करना, समान हरों से भिन्नों को गुणा करने से भिन्न नहीं है।

ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद आपको भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है। परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना अनिवार्य है। निस्संदेह, कोई यह नहीं कह सकता कि किसी उत्तर में अनुचित भिन्न एक त्रुटि है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी कठिन है।

उदाहरण. दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, उत्पाद ढूंढने के बाद, एक कम करने योग्य भिन्नात्मक अंकन प्राप्त होता है। इस मामले में अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित किया जाता है, और परिणाम उत्तर 5/9 होता है।

दशमलव भिन्नों को गुणा करना

दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों को गुणा करना इस प्रकार है:

• दो दशमलव भिन्नों को एक के नीचे एक लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक के नीचे एक हों;
• आपको अल्पविरामों के बावजूद, यानी प्राकृतिक संख्याओं के रूप में लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
• प्रत्येक संख्या में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनें;
• गुणन के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों के योग में निहित उतने ही डिजिटल प्रतीकों को दाईं ओर से गिनना होगा, और एक अलग चिह्न लगाना होगा;
• यदि उत्पाद में कम संख्याएँ हैं, तो आपको इस संख्या को कवर करने के लिए उनके सामने उतने ही शून्य लिखने होंगे, अल्पविराम लगाना होगा और पूरे भाग को शून्य के बराबर जोड़ना होगा।

उदाहरण. दो दशमलव भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: 2.25 और 3.6।

समाधान.

मिश्रित भिन्नों को गुणा करना

दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के नियम का उपयोग करना होगा:

• मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• अंशों का गुणनफल ज्ञात करें;
• हर का गुणनफल ज्ञात करें;
• परिणाम लिखो;
• अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं.

उदाहरण. 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (अंश को किसी संख्या से गुणा करना)

दो भिन्नों और मिश्रित संख्याओं का गुणनफल खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जिनमें आपको भिन्न से गुणा करना होता है।

तो, दशमलव भिन्न और प्राकृत संख्या का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

• भिन्न के नीचे संख्या लिखें ताकि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
• अल्पविराम के बावजूद उत्पाद ढूंढें;
• परिणामी परिणाम में, पूर्णांक भाग को अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग करें, अंश में दशमलव बिंदु के बाद स्थित अंकों की संख्या को दाईं ओर से गिनें।

किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनखंड का गुणनफल ज्ञात करना होगा। यदि उत्तर से कोई अंश निकलता है जिसे कम किया जा सकता है, तो उसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

उदाहरण. 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

उत्तर: 7 1 / 2.

जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।

भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या का गुणनफल और एक प्राकृतिक गुणनखंड खोजने से भी संबंधित है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित कारक के पूरे भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणामी परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण. 9 5/6 और 9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2।

उत्तर: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 या 0.1 के गुणनखंडों से गुणा; 0.01; 0.001

निम्नलिखित नियम पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। किसी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, 10000 आदि से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने अंकों के बाद गुणनखंड में शून्य हों।

उदाहरण 1. 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

उत्तर: 65.

उदाहरण 2. 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

उत्तर: 3900.

यदि आपको किसी प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बायीं ओर उतने अंकों वाले वर्णों द्वारा ले जाना चाहिए जितने एक से पहले शून्य हों। यदि आवश्यक हो तो प्राकृत संख्या से पहले पर्याप्त संख्या में शून्य लिखे जाते हैं।

उदाहरण 1. 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

उत्तर: 0,56.

उदाहरण 2. 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

उत्तर: 0,004.

इसलिए, भिन्न-भिन्न भिन्नों का गुणनफल खोजने में परिणाम की गणना करने के अलावा कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए; इस मामले में, आप कैलकुलेटर के बिना बस काम नहीं कर सकते।

साधारण भिन्नात्मक संख्याएँ सबसे पहले स्कूली बच्चों को 5वीं कक्षा में मिलती हैं और जीवन भर उनका साथ देती हैं, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर किसी वस्तु पर समग्र रूप से नहीं, बल्कि अलग-अलग टुकड़ों में विचार करना या उपयोग करना आवश्यक होता है। इस विषय का अध्ययन शुरू करें - शेयर। शेयर बराबर हिस्से हैं, जिसमें यह या वह वस्तु विभाजित है। आखिरकार, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की लंबाई या कीमत को पूर्ण संख्या के रूप में व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है; कुछ माप के भागों या अंशों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। क्रिया "विभाजित करना" से निर्मित - भागों में विभाजित करना, और अरबी मूल होने के कारण, "अंश" शब्द स्वयं 8 वीं शताब्दी में रूसी भाषा में उत्पन्न हुआ था।

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को लंबे समय से गणित की सबसे कठिन शाखा माना जाता है। 17वीं शताब्दी में, जब गणित पर पहली पाठ्यपुस्तकें सामने आईं, तो उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा गया, जिसे समझना लोगों के लिए बहुत मुश्किल था।

सरल भिन्नात्मक शेषफलों का आधुनिक रूप, जिसके भाग एक क्षैतिज रेखा से अलग होते हैं, सबसे पहले फाइबोनैचि - पीसा के लियोनार्डो द्वारा प्रचारित किया गया था। उनकी रचनाएँ 1202 की हैं। लेकिन इस लेख का उद्देश्य पाठक को सरल और स्पष्ट रूप से यह समझाना है कि विभिन्न हर वाले मिश्रित भिन्नों को कैसे गुणा किया जाता है।

विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा करना

प्रारंभ में यह निर्धारित करने लायक है भिन्नों के प्रकार:

• सही;
• ग़लत;
• मिश्रित।

इसके बाद, आपको यह याद रखना होगा कि समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है। इस प्रक्रिया के नियम को स्वतंत्र रूप से तैयार करना मुश्किल नहीं है: सरल भिन्नों को समान हरों से गुणा करने का परिणाम एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर इन भिन्नों के हरों का गुणनफल है। . अर्थात्, वास्तव में, नया हर प्रारंभ में मौजूद किसी एक का वर्ग है।

गुणा करते समय विभिन्न हरों वाली सरल भिन्नेंदो या दो से अधिक कारकों के लिए नियम नहीं बदलता:

ए/बी * सी/डी = एसी / b*d.

अंतर केवल इतना है कि भिन्नात्मक रेखा के नीचे बनी संख्या विभिन्न संख्याओं का गुणनफल होगी और स्वाभाविक रूप से, इसे एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का वर्ग नहीं कहा जा सकता है।

उदाहरणों का उपयोग करके विभिन्न हरों के साथ भिन्नों के गुणन पर विचार करना उचित है:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

उदाहरण भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को कम करने के तरीकों का उपयोग करते हैं। आप केवल अंश संख्याओं को हर संख्याओं के साथ कम कर सकते हैं; भिन्न रेखा के ऊपर या नीचे आसन्न कारकों को कम नहीं किया जा सकता है।

साधारण भिन्नों के साथ-साथ मिश्रित भिन्नों की भी अवधारणा है। एक मिश्रित संख्या में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, अर्थात यह इन संख्याओं का योग है:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

गुणा कैसे काम करता है?

विचारार्थ अनेक उदाहरण दिये गये हैं।

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

उदाहरण किसी संख्या के गुणन का उपयोग करता है साधारण भिन्नात्मक भाग, इस क्रिया के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ए* बी/सी = ए*बी /सी।

वास्तव में, ऐसा उत्पाद समान भिन्नात्मक शेषफलों का योग है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या को इंगित करती है। विशेष मामला:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

किसी संख्या को भिन्नात्मक शेषफल से गुणा करने का एक और उपाय है। आपको बस हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा:

डी* इ/एफ = इ/एफ: डी.

इस तकनीक का उपयोग तब उपयोगी होता है जब हर को बिना किसी शेषफल वाली प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, एक पूर्ण संख्या से विभाजित किया जाता है।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और पहले वर्णित तरीके से उत्पाद प्राप्त करें:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

इस उदाहरण में मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने का एक तरीका शामिल है, और इसे एक सामान्य सूत्र के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

ए बीसी = ए*बी+सी/सी, जहां नए अंश का हर पूरे भाग को हर से गुणा करके और मूल भिन्नात्मक शेषफल के अंश के साथ जोड़कर बनाया जाता है, और हर वही रहता है।

यह प्रक्रिया विपरीत दिशा में भी काम करती है. संपूर्ण भाग और भिन्नात्मक शेषफल को अलग करने के लिए, आपको "कोने" का उपयोग करके एक अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा।

अनुचित भिन्नों का गुणा करनाआम तौर पर स्वीकृत तरीके से उत्पादित। एकल भिन्न रेखा के नीचे लिखते समय, आपको इस पद्धति का उपयोग करके संख्याओं को कम करने और परिणाम की गणना करना आसान बनाने के लिए आवश्यकतानुसार भिन्नों को कम करने की आवश्यकता है।

विभिन्न प्रकार के कार्यक्रमों में जटिल गणितीय समस्याओं को भी हल करने के लिए इंटरनेट पर कई सहायक मौजूद हैं। पर्याप्त संख्या में ऐसी सेवाएँ हर में भिन्न संख्याओं के साथ भिन्नों के गुणन की गणना करने में अपनी सहायता प्रदान करती हैं - भिन्नों की गणना के लिए तथाकथित ऑनलाइन कैलकुलेटर। वे न केवल गुणा करने में सक्षम हैं, बल्कि साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के साथ अन्य सभी सरल अंकगणितीय ऑपरेशन भी करने में सक्षम हैं। इसके साथ काम करना मुश्किल नहीं है; आप वेबसाइट पेज पर उपयुक्त फ़ील्ड भरें, गणितीय ऑपरेशन के चिह्न का चयन करें, और "गणना करें" पर क्लिक करें। प्रोग्राम स्वचालित रूप से गणना करता है.

भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं का विषय मिडिल और हाई स्कूल के छात्रों की शिक्षा के दौरान प्रासंगिक है। हाई स्कूल में, वे अब सबसे सरल प्रजाति पर विचार नहीं करते हैं, लेकिन पूर्णांक भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ, लेकिन पहले प्राप्त परिवर्तन और गणना के नियमों का ज्ञान अपने मूल रूप में लागू किया जाता है। अच्छी तरह से महारत हासिल बुनियादी ज्ञान सबसे जटिल समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में पूर्ण आत्मविश्वास देता है।

अंत में, लेव निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के शब्दों को उद्धृत करना समझ में आता है, जिन्होंने लिखा था: “मनुष्य एक अंश है। अपने अंश - अपने गुणों - को बढ़ाना किसी व्यक्ति के वश में नहीं है, लेकिन कोई भी व्यक्ति अपने हर - अपने बारे में अपनी राय को कम कर सकता है, और इस कमी के साथ अपनी पूर्णता के करीब आ सकता है।