क्या अंतरिक्ष यादृच्छिक है? ऑनलाइन पासा कैसे कम या ज्यादा यादृच्छिक पासा रोल बनाने के लिए।

यादृच्छिकता के तीन नियम क्या हैं और क्यों अप्रत्याशितता हमें सबसे विश्वसनीय भविष्यवाणियां करने की क्षमता देती है।

हमारा दिमाग यादृच्छिकता के विचार का पूरी ताकत से विरोध करता है। एक जैविक प्रजाति के रूप में हमारे विकास के क्रम में, हमने हर चीज में कारण और प्रभाव संबंधों को देखने की क्षमता विकसित की है। विज्ञान के आगमन से बहुत पहले, हम पहले से ही जानते थे कि एक क्रिमसन सूर्यास्त एक खतरनाक तूफान का पूर्वाभास देता है, और एक बच्चे के चेहरे पर बुखार की लाली का मतलब है कि उसकी माँ की रात मुश्किल होगी। हमारा दिमाग स्वचालित रूप से प्राप्त डेटा को इस तरह से संरचित करने का प्रयास करता है कि यह हमें अपने अवलोकनों से निष्कर्ष निकालने में मदद करता है और घटनाओं को समझने और भविष्यवाणी करने के लिए उन निष्कर्षों का उपयोग करता है।

यादृच्छिकता के विचार को स्वीकार करना इतना कठिन है क्योंकि यह उस मूल प्रवृत्ति के विरुद्ध जाता है जो हमें अपने आस-पास की दुनिया में तर्कसंगत पैटर्न की तलाश करती है। और दुर्घटनाएं सिर्फ हमें दिखाती हैं कि ऐसे पैटर्न मौजूद नहीं हैं। इसका मतलब यह है कि यादृच्छिकता मौलिक रूप से हमारे अंतर्ज्ञान को सीमित करती है, क्योंकि यह साबित करती है कि ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिनके पाठ्यक्रम का हम पूरी तरह से अनुमान नहीं लगा सकते हैं। इस अवधारणा को स्वीकार करना आसान नहीं है, भले ही यह ब्रह्मांड के तंत्र का एक अनिवार्य हिस्सा है। यह समझ में नहीं आता कि यादृच्छिकता क्या है, हम खुद को पूरी तरह से अनुमानित दुनिया के एक मृत अंत में पाते हैं जो कि हमारी कल्पना के बाहर मौजूद नहीं है।

मैं कहूंगा कि केवल जब हम तीन सूत्र - संयोग के तीन नियम - सीखते हैं, तो क्या हम अपने आप को पूर्वानुमेयता की अपनी आदिम इच्छा से मुक्त कर सकते हैं और ब्रह्मांड को वैसा ही स्वीकार कर सकते हैं जैसा हम चाहते हैं, न कि जैसा हम चाहते हैं।

यादृच्छिकता मौजूद है

हम यादृच्छिकता का सामना करने से बचने के लिए किसी भी मानसिक तंत्र का उपयोग करते हैं। हम कर्म के बारे में बात करते हैं, इस ब्रह्मांडीय तुल्यकारक के बारे में जो स्पष्ट रूप से असंबंधित चीजों को जोड़ता है। हम अच्छे और बुरे संकेतों में विश्वास करते हैं, कि "भगवान एक त्रिमूर्ति से प्यार करते हैं", हम दावा करते हैं कि हम सितारों की स्थिति, चंद्रमा के चरणों और ग्रहों की गति से प्रभावित होते हैं। यदि हमें कैंसर का पता चलता है, तो हम स्वतः ही इसके लिए किसी चीज़ (या किसी को) को दोष देने का प्रयास करते हैं।

लेकिन कई घटनाओं की पूरी भविष्यवाणी या व्याख्या नहीं की जा सकती है। आपदाएं अप्रत्याशित रूप से होती हैं, और अच्छे और बुरे दोनों लोग पीड़ित होते हैं, जिनमें वे भी शामिल हैं जो "एक भाग्यशाली सितारे के नीचे" या "एक शुभ संकेत के तहत" पैदा हुए थे। कभी-कभी हम कुछ भविष्यवाणी करने का प्रबंधन करते हैं, लेकिन मौका सबसे विश्वसनीय पूर्वानुमानों का भी आसानी से खंडन कर सकता है। यदि आपका पड़ोसी, एक मोटा, चेन-धूम्रपान, लापरवाह बाइकर, आपसे अधिक समय तक जीवित रहता है, तो आश्चर्यचकित न हों।

इसके अलावा, यादृच्छिक घटनाएं गैर-यादृच्छिक होने का दिखावा कर सकती हैं। यहां तक ​​​​कि सबसे चतुर वैज्ञानिक को वास्तविक प्रभाव और यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के बीच अंतर करने में कठिनाई हो सकती है। यादृच्छिकता एक प्लेसबो को एक जादू की दवा में बदल सकती है, या एक हानिरहित यौगिक एक घातक जहर में बदल सकती है; और कुछ भी नहीं से उप-परमाणु कण भी बना सकते हैं।

कुछ घटनाएं अप्रत्याशित होती हैं

यदि आप लास वेगास में एक कैसीनो में जाते हैं और गेमिंग टेबल पर खिलाड़ियों की भीड़ देखते हैं, तो आप शायद किसी ऐसे व्यक्ति को देखेंगे जो सोचता है कि वह आज भाग्यशाली है। वह लगातार कई बार जीत चुका है, और उसका दिमाग उसे विश्वास दिलाता है कि वह जीतना जारी रखेगा, इसलिए खिलाड़ी दांव लगाना जारी रखता है। आप किसी ऐसे व्यक्ति को भी देखेंगे जो अभी-अभी खोया है। हारने वाले का दिमाग, विजेता के दिमाग की तरह, उसे भी खेल जारी रखने की सलाह देता है: चूंकि आप लगातार कई बार हार चुके हैं, इसका मतलब है कि अब आप शायद भाग्यशाली होने लगेंगे। अभी जाना और इस मौके को गंवाना मूर्खता है।

लेकिन कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारा दिमाग हमें क्या बताता है, कोई रहस्यमय शक्ति हमें "भाग्य की लकीर" प्रदान करने में सक्षम नहीं है, न ही सार्वभौमिक न्याय जो यह सुनिश्चित करेगा कि हारने वाला अंततः जीतना शुरू कर दे। आप जीतते हैं या हारते हैं, ब्रह्मांड को परवाह नहीं है; उसके लिए, सभी पासा रोल समान हैं।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पासा रोल को फिर से देखने में कितना प्रयास करते हैं, और आप उन खिलाड़ियों को कितनी ही बारीकी से देखते हैं जो सोचते हैं कि उन्हें उनकी किस्मत मिल गई है, आपको अगले रोल के बारे में बिल्कुल भी जानकारी नहीं मिलेगी। प्रत्येक रोल का परिणाम पिछले रोल के इतिहास से पूरी तरह से स्वतंत्र है। इसलिए, कोई भी गणना जो खेल को देखकर लाभ प्राप्त कर सकती है, वह विफलता के लिए अभिशप्त है। ऐसी घटनाएँ - किसी भी चीज़ से स्वतंत्र और पूरी तरह से यादृच्छिक - पैटर्न खोजने के किसी भी प्रयास को धता बताती हैं, क्योंकि ये पैटर्न बस मौजूद नहीं हैं।

यादृच्छिकता मानव सरलता के रास्ते में बाधा डालती है, क्योंकि यह दर्शाती है कि हमारे सभी तर्क, हमारे सभी विज्ञान और तर्क क्षमता ब्रह्मांड के व्यवहार का पूरी तरह से अनुमान नहीं लगा सकते हैं। आप जो भी तरीके अपनाते हैं, जो भी सिद्धांत आप खोजते हैं, जो भी तर्क आप पासा के एक रोल के परिणाम की भविष्यवाणी करने के लिए लागू करते हैं, छह में से पांच बार आप हार जाएंगे। हमेशा से रहा है।

यादृच्छिक घटनाओं का एक सेट अनुमानित है, भले ही व्यक्तिगत घटनाएं न हों।

यादृच्छिकता भयावह है, यह सबसे परिष्कृत सिद्धांतों की विश्वसनीयता को भी सीमित करती है और प्रकृति के कुछ तत्वों को हमसे छुपाती है, चाहे हम उनके सार में घुसने की कितनी भी कोशिश कर लें। फिर भी, यह तर्क नहीं दिया जा सकता है कि यादृच्छिक अज्ञेय का पर्याय है। यह बिल्कुल भी सच नहीं है।

यादृच्छिकता अपने स्वयं के नियमों का पालन करती है, और ये नियम यादृच्छिक प्रक्रिया को समझने योग्य और पूर्वानुमेय बनाते हैं।

बड़ी संख्या का नियम कहता है कि यद्यपि एकल यादृच्छिक घटनाएं पूरी तरह से अप्रत्याशित हैं, इन घटनाओं का पर्याप्त रूप से बड़ा नमूना काफी अनुमानित हो सकता है - और नमूना जितना बड़ा होगा, भविष्यवाणी उतनी ही सटीक होगी। एक अन्य शक्तिशाली गणितीय उपकरण, केंद्रीय सीमा प्रमेय, यह भी दर्शाता है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर का योग सामान्य के करीब वितरण होगा। इन उपकरणों के साथ, हम लंबी अवधि में घटनाओं की सटीक भविष्यवाणी कर सकते हैं, भले ही वे अल्पावधि में कितने अराजक, अजीब और यादृच्छिक हों।

संयोग के नियम इतने शक्तिशाली हैं कि वे भौतिकी के सबसे अडिग और अपरिवर्तनीय नियमों का आधार बनते हैं। हालांकि गैस के एक कंटेनर में परमाणु बेतरतीब ढंग से चलते हैं, उनके सामान्य व्यवहार को समीकरणों के एक सरल सेट द्वारा वर्णित किया जाता है। यहां तक ​​कि उष्मागतिकी के नियम भी बड़ी संख्या में यादृच्छिक घटनाओं की पूर्वानुमेयता से आते हैं; ये नियम अडिग हैं, क्योंकि संयोग इतना निरपेक्ष है।

विरोधाभासी रूप से, यह यादृच्छिक घटनाओं की अप्रत्याशितता है जो हमें अपनी सबसे विश्वसनीय भविष्यवाणियां करने में सक्षम बनाती है।

"गामासूत्र" पर डिजाइनर टायलर सिगमैन द्वारा लिखित। मैं इसे प्यार से "एक orc के नथुने में बाल" लेख के रूप में संदर्भित करता हूं, लेकिन यह खेलों में संभावनाओं की मूल बातें बहुत अच्छी तरह से कवर करता है।

इस सप्ताह की थीम

आज तक, हमने लगभग हर चीज के बारे में बात की है जो नियतात्मक रही है, और पिछले हफ्ते हमने सकर्मक यांत्रिकी पर करीब से नज़र डाली और इसे उतना ही विस्तार से तोड़ दिया जितना मैं इसे समझा सकता हूं। लेकिन अब तक हमने कई खेलों के एक बड़े पहलू पर ध्यान नहीं दिया है, अर्थात् गैर-नियतात्मक पहलू, दूसरे शब्दों में - यादृच्छिकता। गेम डिजाइनरों के लिए यादृच्छिकता की प्रकृति को समझना बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि हम ऐसे सिस्टम बनाते हैं जो किसी दिए गए गेम में खिलाड़ी के अनुभव को प्रभावित करते हैं, इसलिए हमें यह जानने की जरूरत है कि ये सिस्टम कैसे काम करते हैं। यदि सिस्टम में यादृच्छिकता है, तो आपको समझने की जरूरत है प्रकृतियह यादृच्छिकता और हम जो परिणाम चाहते हैं उसे प्राप्त करने के लिए इसे कैसे बदलना है।

पासा

आइए कुछ सरल से शुरू करें: पासा पलटना। जब ज्यादातर लोग पासे के बारे में सोचते हैं, तो वे छह-तरफा मरने के बारे में सोचते हैं जिसे डी 6 कहा जाता है। लेकिन अधिकांश गेमर्स ने कई अन्य पासे देखे हैं: चार-तरफा (डी 4), आठ-तरफा (डी 8), बारह-तरफा (डी 12), बीस-तरफा (डी 20) ... और यदि आप असलीगीक, आपके पास कहीं न कहीं 30-पक्षीय या 100-पक्षीय पासा हो सकता है। यदि आप इस शब्दावली से परिचित नहीं हैं, तो "d" का अर्थ है पासा, और इसके बाद की संख्या यह है कि इसके कितने फलक हैं। अगर सामने"डी" एक संख्या के लिए खड़ा है, इसका मतलब है संख्यापासा फेंके जाने पर। उदाहरण के लिए, एकाधिकार में, आप 2d6 रोल करते हैं।

तो, इस मामले में, "पासा" वाक्यांश एक पारंपरिक पदनाम है। बड़ी संख्या में अन्य यादृच्छिक संख्या जनरेटर हैं जिनके पास प्लास्टिक ब्लॉक का आकार नहीं है, लेकिन 1 से n तक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने का समान कार्य करता है। एक साधारण सिक्के को डायहेड्रल d2 डाई के रूप में भी माना जा सकता है। मैंने सात-पक्षीय पासे के दो डिज़ाइन देखे: उनमें से एक पासे जैसा दिखता था, और दूसरा सात-पक्षीय लकड़ी की पेंसिल जैसा दिखता था। टेट्राहेड्रल ड्रिडेल (जिसे टिटोटम भी कहा जाता है) टेट्राहेड्रल हड्डी का एक एनालॉग है। खेल "च्यूट्स एंड लैडर्स" में एक कताई तीर वाला गेम बोर्ड, जहां परिणाम 1 से 6 तक हो सकता है, छह-तरफा मरने से मेल खाता है। कंप्यूटर में यादृच्छिक संख्या जनरेटर 1 से 19 तक कोई भी संख्या बना सकता है यदि डिजाइनर ऐसा आदेश देता है, हालांकि कंप्यूटर में 19-पक्षीय पासा नहीं है (सामान्य तौर पर, मैं संख्याओं के गिरने की संभावना के बारे में अधिक बात करूंगा) कंप्यूटर पर अगलासप्ताह)। हालांकि ये सभी आइटम अलग-अलग दिखते हैं, वे वास्तव में समान हैं: आपके पास कई परिणामों में से एक प्राप्त करने की समान संभावना है।

पासे में कुछ रोचक गुण होते हैं जिनके बारे में हमें जानना आवश्यक है। सबसे पहले, किसी भी चेहरे के आने की संभावना समान है (मैं मान रहा हूं कि आप सही पासा घुमा रहे हैं, गलत ज्यामिति नहीं)। तो अगर आप जानना चाहते हैं अर्थरोल ("गणितीय अपेक्षा" के रूप में संभाव्यताओं के बीच भी जाना जाता है), सभी किनारों के मूल्यों को जोड़ दें और इस योग को विभाजित करें संख्याचेहरे के। एक मानक छह-पक्षीय पासे के लिए एक रोल का औसत मूल्य 1+2+3+4+5+6 = 21 है, जिसे चेहरों की संख्या (6) से विभाजित किया जाता है और हमें 21/6 = 3.5 का औसत मूल्य मिलता है। यह एक विशेष मामला है क्योंकि हम मानते हैं कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

क्या होगा यदि आपके पास विशेष पासा है? उदाहरण के लिए, मैंने चेहरे पर विशेष स्टिकर के साथ छह-तरफा पासा खेल देखा: 1, 1, 1, 2, 2, 3, इसलिए यह एक अजीब तीन-तरफा पासा की तरह व्यवहार करता है, जो कि नंबर 1 को रोल करने की अधिक संभावना है। 2 से और 2 से 3। इस पासे के लिए औसत रोल वैल्यू क्या है? तो 1+1+1+2+2+3 = 10 को 6 से विभाजित करने पर 5/3 या लगभग 1.66 के बराबर होता है। इसलिए यदि आपके पास यह विशेष पासा है और खिलाड़ी तीन पासा फेंकते हैं और फिर परिणाम जोड़ते हैं, तो आप जानते हैं कि उनके रोल का अनुमानित योग लगभग 5 होगा, और आप उस धारणा के आधार पर खेल को संतुलित कर सकते हैं।

पासा और स्वतंत्रता

जैसा कि मैंने पहले ही कहा, हम इस धारणा से आगे बढ़ते हैं कि प्रत्येक चेहरे का ड्रॉपआउट समान रूप से संभावित है। यह इस बात पर निर्भर नहीं करता कि आप कितने पासे फेंकते हैं। पासे का हर रोल ध्यान दिए बगैर, जिसका अर्थ है कि पिछले रोल बाद के रोल के परिणामों को प्रभावित नहीं करते हैं। पर्याप्त संख्या में परीक्षणों के साथ, आप निश्चित रूप से करेंगे सूचनासंख्याओं की "श्रृंखला", जैसे अधिकतर उच्च या निम्न मान, या अन्य विशेषताओं को रोल करना, और हम इसके बारे में बाद में बात करेंगे, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि पासा "गर्म" या "ठंडा" है। यदि आप एक मानक छह-पक्षीय पासे को रोल करते हैं और संख्या 6 लगातार दो बार आती है, तो संभावना है कि अगले रोल के परिणामस्वरूप 6 भी 1/6 है। संभावना इस तथ्य से नहीं बढ़ी है कि घन "गर्म" है। संभावना कम नहीं होती है, क्योंकि संख्या 6 पहले ही लगातार दो बार गिर चुकी है, जिसका अर्थ है कि अब एक और चेहरा गिर जाएगा। (बेशक, यदि आप एक पासे को बीस बार घुमाते हैं और हर बार संख्या 6 आती है, तो इक्कीसवीं बार संख्या 6 आने की संभावना बहुत अधिक है ... क्योंकि इसका मतलब यह हो सकता है कि आपके पास गलत पासा है !) लेकिन अगर आपके पास सही पास है, तो प्रत्येक चेहरे से गिरने की संभावना समान है, अन्य रोल के परिणामों की परवाह किए बिना। आप यह भी कल्पना कर सकते हैं कि हर बार हम पासे को बदलते हैं, इसलिए यदि संख्या 6 लगातार दो बार आती है, तो खेल से "हॉट" पासे को हटा दें और इसे एक नए छह-पक्षीय पासे से बदल दें। यदि आप में से किसी को इसके बारे में पहले से पता था तो मैं क्षमा चाहता हूं, लेकिन आगे बढ़ने से पहले मुझे इसे स्पष्ट करना होगा।

पासा रोल को कम या ज्यादा यादृच्छिक कैसे बनाएं

आइए बात करते हैं कि अलग-अलग पासों पर अलग-अलग परिणाम कैसे प्राप्त करें। यदि आप पासे को केवल एक या कई बार घुमाते हैं, तो यदि पासे में अधिक किनारे हैं तो खेल अधिक यादृच्छिक लगेगा। जितनी बार आप पासे को घुमाते हैं, या जितना अधिक पासा घुमाते हैं, उतना ही अधिक परिणाम औसत के करीब पहुंच जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप 1d6+4 को रोल करते हैं (अर्थात एक मानक छह-पक्षीय पास एक बार और परिणाम में 4 जोड़ते हैं), तो औसत 5 और 10 के बीच की संख्या होगी। यदि आप 5d2 रोल करते हैं, तो औसत भी बीच की एक संख्या होगी 5 और 10. लेकिन छह भुजाओं वाले पासे को फेंकने पर 5, 8 या 10 के अंक आने की प्रायिकता समान होती है। 5d2 रोल का परिणाम अधिकतर संख्या 7 और 8 होगा, कम अक्सर अन्य मान। वही श्रृंखला, समान औसत (दोनों मामलों में 7.5), लेकिन यादृच्छिकता की प्रकृति अलग है।

एक मिनट रुकिए। क्या मैंने यह नहीं कहा कि पासा गर्म या ठंडा नहीं होता है? और अब मैं कह रहा हूं कि यदि आप बहुत सारे पासे फेंकते हैं, तो रोल के परिणाम औसत के करीब हैं? क्यों?

मुझे समझाने दो। अगर आप फेंक रहे हैं एकपासा, प्रत्येक फलक से गिरने की प्रायिकता समान है। इसका अर्थ यह है कि यदि आप समय के साथ बहुत सारे पासे घुमाते हैं, तो प्रत्येक फलक लगभग उतनी ही बार ऊपर आ जाएगा। आप जितना अधिक पासा घुमाएंगे, उतना ही अधिक कुल परिणाम औसत के करीब पहुंचेगा। ऐसा इसलिए नहीं है क्योंकि लुढ़का हुआ नंबर एक और नंबर रोल करने के लिए "कारण" करता है जो अभी तक नहीं आया है। क्योंकि 6s (या 20s, या जो कुछ भी) की एक छोटी सी लकीर एक बड़ी बात नहीं है यदि आप पासा को दस हजार बार और घुमाते हैं और यह ज्यादातर औसत है जो ऊपर आता है ... शायद अब आपके पास कुछ होगा एक उच्च मूल्य के साथ संख्या, लेकिन शायद बाद में कम मूल्य के साथ कुछ संख्याएं और समय के साथ वे औसत मूल्य तक पहुंच जाएंगे। इसलिए नहीं कि पिछले रोल पासा को प्रभावित करते हैं (गंभीरता से, पासा से बना है) प्लास्टिक, उसके पास सोचने के लिए दिमाग नहीं है "ओह, एक 2 को आए काफी समय हो गया"), लेकिन क्योंकि आमतौर पर बहुत सारे पासा रोल के साथ ऐसा होता है। बड़ी संख्या में परिणामों में दोहराने वाली संख्याओं की एक छोटी श्रृंखला लगभग अदृश्य होगी।

इस प्रकार, एक पासे के एक यादृच्छिक रोल के लिए गणना करना काफी आसान है, कम से कम रोल के औसत मूल्य की गणना के रूप में। कुछ "कितना यादृच्छिक" की गणना करने के तरीके भी हैं, यह कहने का एक तरीका है कि 1d6 + 4 रोल के परिणाम 5d2 की तुलना में "अधिक यादृच्छिक" होंगे, 5d2 के लिए रोल किए गए परिणामों का वितरण अधिक समान होगा, आमतौर पर आप इसके लिए मानक विचलन की गणना करते हैं, और जितना अधिक मूल्य होगा, परिणाम उतने ही अधिक यादृच्छिक होंगे, लेकिन इसके लिए मुझे आज की तुलना में अधिक गणना की आवश्यकता है (मैं इस विषय को बाद में समझाऊंगा)। केवल एक चीज जो मैं आपसे जानना चाहता हूं वह यह है कि एक सामान्य नियम के रूप में, जितना कम पासा लुढ़कता है, उतना ही अधिक यादृच्छिक होता है। और इस विषय पर एक और अतिरिक्त: मरने के जितने अधिक पक्ष होंगे, उतनी ही अधिक यादृच्छिकता होगी, क्योंकि आपके पास अधिक विकल्प हैं।

काउंटिंग का उपयोग करके प्रायिकता की गणना कैसे करें

आपके पास एक प्रश्न हो सकता है: हम किसी विशेष परिणाम के आने की सटीक संभावना की गणना कैसे कर सकते हैं? यह वास्तव में कई खेलों के लिए काफी महत्वपूर्ण है, क्योंकि यदि आप एक पासा रोल करते हैं, तो शुरुआत में कुछ इष्टतम परिणाम होने की संभावना है। उत्तर है: हमें दो मानों की गणना करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, एक पासे को फेंकते समय परिणामों की अधिकतम संख्या की गणना करें (इस पर ध्यान दिए बिना कि परिणाम क्या होगा)। फिर अनुकूल परिणामों की संख्या गिनें। दूसरे मान को पहले से विभाजित करने पर आपको वांछित प्रायिकता प्राप्त होती है। प्रतिशत प्राप्त करने के लिए, परिणाम को 100 से गुणा करें।

उदाहरण:

यहाँ एक बहुत ही सरल उदाहरण है। आप 4 या उच्चतर रोल करना चाहते हैं और एक बार छह-पक्षीय पासा रोल करना चाहते हैं। परिणामों की अधिकतम संख्या 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) है। इनमें से 3 परिणाम (4, 5, 6) अनुकूल हैं। इसलिए, प्रायिकता की गणना करने के लिए, हम 3 को 6 से विभाजित करते हैं और 0.5 या 50% प्राप्त करते हैं।

यहां एक उदाहरण दिया गया है जो थोड़ा अधिक जटिल है। आप 2d6 रोल पर एक सम संख्या चाहते हैं। परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है (प्रत्येक पासे के लिए 6, और चूंकि एक पासा दूसरे को प्रभावित नहीं करता है, हम 6 परिणामों को 6 से गुणा करते हैं और 36 प्राप्त करते हैं)। इस प्रकार के प्रश्न में कठिनाई यह है कि इसे दो बार गिनना आसान है। उदाहरण के लिए, वास्तव में 2d6 रोल पर 3 के दो संभावित परिणाम हैं: 1+2 और 2+1। वे एक जैसे दिखते हैं, लेकिन अंतर यह है कि पहले पासे पर कौन सी संख्या प्रदर्शित होती है और दूसरे पर क्या होती है। आप यह भी कल्पना कर सकते हैं कि पासे अलग-अलग रंगों के हैं, उदाहरण के लिए इस मामले में एक पासा लाल है और दूसरा नीला है। फिर सम संख्या प्राप्त करने के लिए विकल्पों की संख्या गिनें: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+) 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6)। यह पता चला है कि 36 में से अनुकूल परिणाम के लिए 18 विकल्प हैं, जैसा कि पिछले मामले में, संभावना 0.5 या 50% होगी। शायद अप्रत्याशित, लेकिन काफी सटीक।

मोंटे कार्लो सिमुलेशन

क्या होगा यदि आपके पास इस गणना के लिए बहुत अधिक पासे हैं? उदाहरण के लिए, आप जानना चाहते हैं कि 8d6 के रोल पर कुल 15 या अधिक रोल करने की क्या संभावना है। आठ पासों के लिए कई अलग-अलग व्यक्तिगत स्कोर हैं और उन्हें हाथ से गणना करने में बहुत लंबा समय लगेगा। यहां तक ​​कि अगर हम पासा रोल की विभिन्न श्रृंखलाओं को समूहित करने के लिए कुछ अच्छा समाधान ढूंढते हैं, तब भी इसे गिनने में बहुत लंबा समय लगेगा। इस मामले में, संभाव्यता की गणना करने का सबसे आसान तरीका मैन्युअल रूप से गणना करना नहीं है, बल्कि कंप्यूटर का उपयोग करना है। कंप्यूटर पर प्रायिकता की गणना करने के दो तरीके हैं।

पहला तरीका सटीक उत्तर प्राप्त कर सकता है, लेकिन इसमें थोड़ी प्रोग्रामिंग या स्क्रिप्टिंग शामिल है। संक्षेप में, कंप्यूटर प्रत्येक संभावना के माध्यम से जाएगा, पुनरावृत्तियों की कुल संख्या और वांछित परिणाम के अनुरूप पुनरावृत्तियों की संख्या का मूल्यांकन और गणना करेगा, और फिर उत्तर प्रदान करेगा। आपका कोड कुछ इस तरह दिख सकता है:

इंट विनकाउंट = 0, टोटलकाउंट = 0;

के लिए (int i=1; i<=6; i++) {

के लिए (int j=1; j<=6; j++) {

के लिए (int k=1; k<=6; k++) {

… // यहां और लूप डालें

अगर (i+j+k+… >= 15) (

फ्लोट प्रायिकता = जीत की संख्या/कुल गणना;

यदि आप प्रोग्रामिंग के बारे में ज्यादा नहीं जानते हैं और केवल एक गलत लेकिन अनुमानित उत्तर चाहते हैं, तो आप एक्सेल में इस स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं, जहां आप 8d6 को कुछ हजार बार रोल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं। एक्सेल में 1d6 रोल करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

मंजिल (रैंड () * 6) +1

उस स्थिति का एक नाम है जब आप उत्तर नहीं जानते हैं और बस कई बार प्रयास करें - मोंटे कार्लो सिमुलेशन, और जब आप किसी प्रायिकता की गणना करने का प्रयास कर रहे हों और यह बहुत जटिल हो, तो उस पर वापस लौटना एक अच्छा समाधान है। बड़ी बात यह है कि इस मामले में, हमें यह समझने की आवश्यकता नहीं है कि गणित कैसे काम करता है, और हम जानते हैं कि उत्तर "बहुत अच्छा" होगा क्योंकि, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, जितना अधिक रोल होगा, उतना ही अधिक परिणाम सामने आएगा। औसत मूल्य।

स्वतंत्र परीक्षणों को कैसे संयोजित करें

यदि आप एकाधिक बार-बार किए गए लेकिन स्वतंत्र परीक्षणों के बारे में पूछते हैं, तो एक रोल का परिणाम अन्य रोल के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस स्थिति के लिए एक और सरल व्याख्या है।

किसी आश्रित और स्वतंत्र वस्तु के बीच अंतर कैसे करें? सिद्धांत रूप में, यदि आप एक पासे के प्रत्येक रोल (या रोल की श्रृंखला) को एक अलग घटना के रूप में अलग कर सकते हैं, तो यह स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, यदि हम 8d6 को रोल करके कुल 15 रोल करना चाहते हैं, तो इस केस को पासा के कई स्वतंत्र रोल में विभाजित नहीं किया जा सकता है। चूँकि आप परिणाम के लिए सभी पासों के मूल्यों के योग की गणना कर रहे हैं, एक पासे पर लुढ़कने का परिणाम उन परिणामों को प्रभावित करता है जिन्हें दूसरे पासे पर लुढ़काया जाना चाहिए, क्योंकि केवल सभी मूल्यों को जोड़कर आप प्राप्त करेंगे वांछित परिणाम।

यहां स्वतंत्र रोल का एक उदाहरण दिया गया है: आप पासा का खेल खेल रहे हैं, और आप कई बार छह-तरफा पासा रोल करते हैं। गेम में बने रहने के लिए, आपको अपने पहले रोल पर 2 या उससे अधिक का रोल करना होगा। दूसरे रोल के लिए, 3 या उच्चतर। तीसरे को 4 या अधिक की आवश्यकता है, चौथे को 5 या अधिक की आवश्यकता है, पांचवें को 6 की आवश्यकता है। यदि सभी पांच रोल सफल होते हैं, तो आप जीत जाते हैं। इस मामले में, सभी फेंक स्वतंत्र हैं। हाँ, यदि एक रोल विफल हो जाता है, तो यह पूरे खेल के परिणाम को प्रभावित करेगा, लेकिन एक रोल दूसरे रोल को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, यदि आपका पासा का दूसरा रोल बहुत सफल है, तो यह इस संभावना को प्रभावित नहीं करता है कि अगले रोल समान रूप से सफल होंगे। इसलिए, हम अलग-अलग पासे के प्रत्येक रोल की संभावना पर विचार कर सकते हैं।

यदि आपके पास अलग, स्वतंत्र संभावनाएं हैं और जानना चाहते हैं कि क्या संभावना है कि सबघटनाएँ आएंगी, आप प्रत्येक व्यक्तिगत संभावना को निर्धारित करते हैं और उन्हें गुणा करते हैं।दूसरा तरीका: यदि आप कई स्थितियों का वर्णन करने के लिए संयोजन "और" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, कुछ यादृच्छिक घटना होने की संभावना क्या है तथाकुछ अन्य स्वतंत्र यादृच्छिक घटना?), व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उन्हें गुणा करें।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप क्या सोचते हैं कभी नहीँस्वतंत्र संभावनाओं का योग न करें। यह एक सामान्य गलती है। यह समझने के लिए कि यह गलत क्यों है, ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां आप 50/50 का सिक्का उछालते हैं, आप जानना चाहते हैं कि लगातार दो बार शीर्ष आने की क्या संभावना है। प्रत्येक पक्ष के पास आने की 50% संभावना है, इसलिए यदि आप दो संभावनाओं को जोड़ते हैं, तो आपको शीर्ष आने का 100% मौका मिलता है, लेकिन हम जानते हैं कि यह सच नहीं है क्योंकि लगातार दो पूंछ आ सकती हैं। यदि इसके बजाय आप इन दो संभावनाओं को गुणा करते हैं, तो आपको 50% * 50% = 25% मिलता है, जो एक पंक्ति में दो बार शीर्ष प्राप्त करने की संभावना की गणना के लिए सही उत्तर है।

उदाहरण

आइए छह-तरफा पासा खेल पर वापस जाएं, जहां आपको पहले 2 से बड़ी संख्या को रोल करना होगा, फिर 3 से अधिक, और इसी तरह। 6. तक की क्या प्रायिकता है कि दी गई 5 थ्रो की श्रंखला में सभी परिणाम अनुकूल होंगे?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, ये स्वतंत्र परीक्षण हैं, इसलिए हम प्रत्येक व्यक्तिगत रोल के लिए संभावना की गणना करते हैं और फिर उन्हें गुणा करते हैं। पहले टॉस का परिणाम अनुकूल होने की प्रायिकता 5/6 है। दूसरा - 4/6। तीसरा - 3/6। चौथा - 2/6, पाँचवाँ - 1/6। इन सभी परिणामों को गुणा करने पर, हमें लगभग 1.5% मिलता है… इसलिए, इस गेम को जीतना काफी दुर्लभ है, इसलिए यदि आप इस तत्व को अपने गेम में जोड़ते हैं, तो आपको एक बहुत बड़े जैकपॉट की आवश्यकता होगी।

नकार

यहां एक और उपयोगी संकेत दिया गया है: कभी-कभी किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना करना मुश्किल होता है, लेकिन यह निर्धारित करना आसान होता है कि कोई घटना घटित होने की कितनी संभावना है। नही आउंगा.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास एक और गेम है और आप 6d6 रोल करते हैं, और if कम से कम एक बाररोल 6, आप जीत गए। जीतने की संभावना क्या है?

इस मामले में, विचार करने के लिए कई विकल्प हैं। शायद एक नंबर 6 गिर जाएगा, यानी। एक पासा 6 रोल करेगा और दूसरा 1 से 5 रोल करेगा, और 6 विकल्प हैं जिसके लिए पासा में से 6 रोल करेगा। फिर आप दो पासों पर 6 रोल कर सकते हैं, या तीन, या इससे भी अधिक, और हर बार हमें एक अलग गणना करने की आवश्यकता होती है, इसलिए भ्रमित होना आसान है।

लेकिन इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, आइए इसे दूसरी तरफ से देखें। आप खोनाअगर कोई नहींसंख्या 6 पासे से नहीं गिरेगी। इस मामले में, हमारे पास छह स्वतंत्र परीक्षण हैं, उनमें से प्रत्येक की संभावना 5/6 है (6 के अलावा कोई भी संख्या पासे पर गिर सकती है)। उन्हें गुणा करें और आपको लगभग 33% मिलता है। इस प्रकार, खोने की संभावना 1 से 3 है।

इसलिए, जीतने की संभावना 67% (या 2 से 3) है।

इस उदाहरण से स्पष्ट है कि यदि आप इस संभावना की गणना कर रहे हैं कि कोई घटना नहीं होगी, तो परिणाम को 100% से घटाएं।यदि जीतने की प्रायिकता 67% है, तो प्रायिकता खोना — 100% ऋण 67%, या 33%। और इसके विपरीत। यदि एक संभावना की गणना करना मुश्किल है, लेकिन विपरीत की गणना करना आसान है, तो विपरीत की गणना करें और फिर 100% से घटाएं।

एक स्वतंत्र परीक्षण के लिए कनेक्टिंग शर्तें

मैंने कुछ समय पहले कहा था कि आपको कभी भी स्वतंत्र परीक्षणों में संभावनाओं का योग नहीं करना चाहिए। क्या ऐसे कोई मामले हैं जहां कर सकते हैंसंभावनाओं का योग? हाँ, एक विशेष स्थिति में।

यदि आप एक ही परीक्षण पर कई, असंबंधित, अनुकूल परिणामों की संभावना की गणना करना चाहते हैं, तो प्रत्येक अनुकूल परिणाम की संभावनाओं का योग करें। उदाहरण के लिए, 1d6 पर 4, 5, या 6 को रोल करने की प्रायिकता है योग 4 को रोल करने की प्रायिकता, 5 को रोल करने की प्रायिकता, और 6 को रोल करने की प्रायिकता। आप इस स्थिति के बारे में इस प्रकार भी सोच सकते हैं: यदि आप संभाव्यता के बारे में एक प्रश्न में संयोजन "या" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, क्या की संभावना है याएक यादृच्छिक घटना के विभिन्न परिणाम?), व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उनका योग करें।

ध्यान दें कि जब आप योग करते हैं सभी संभावित परिणामखेल, सभी संभावनाओं का योग 100% के बराबर होना चाहिए। यदि योग 100% के बराबर नहीं है, तो आपकी गणना गलत तरीके से की गई थी। अपनी गणनाओं को दोबारा जांचने का यह एक अच्छा तरीका है। उदाहरण के लिए, आपने पोकर में सभी संयोजनों को प्राप्त करने की संभावना का विश्लेषण किया है, यदि आप सभी परिणामों को जोड़ते हैं, तो आपको बिल्कुल 100% (या कम से कम 100% के करीब एक मान प्राप्त करना चाहिए, यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो आपके पास एक हो सकता है छोटी गोलाई त्रुटि , लेकिन यदि आप सटीक संख्याओं को हाथ से जोड़ते हैं, तो सब कुछ जोड़ना चाहिए)। यदि योग अभिसरण नहीं करता है, तो सबसे अधिक संभावना है कि आपने कुछ संयोजनों को ध्यान में नहीं रखा है, या आपने कुछ संयोजनों की संभावनाओं की गलत गणना की है, और फिर आपको अपनी गणनाओं को दोबारा जांचने की आवश्यकता है।

असमान संभावनाएं

अब तक, हमने माना है कि पासे का प्रत्येक फलक एक ही आवृत्ति पर गिरता है, क्योंकि इस तरह से पासा काम करता है। लेकिन कभी-कभी आपको ऐसी स्थिति का सामना करना पड़ता है जहां विभिन्न परिणाम संभव होते हैं और वे विभिन्नमौका छोड़ो। उदाहरण के लिए, कार्ड गेम "परमाणु युद्ध" के विस्तार में से एक में एक तीर के साथ एक खेल का मैदान होता है जो मिसाइल प्रक्षेपण के परिणाम को निर्धारित करता है: यह मूल रूप से सामान्य क्षति, कम या ज्यादा नुकसान का सौदा करता है, लेकिन कभी-कभी नुकसान दोगुना हो जाता है या तीन गुना, या रॉकेट लॉन्च पैड पर फट जाता है और आपको नुकसान पहुंचाता है, या कोई अन्य घटना होती है। "च्यूट्स एंड लैडर्स" या "ए गेम ऑफ लाइफ" में तीर बोर्ड के विपरीत, "परमाणु युद्ध" में बोर्ड के परिणाम असमान हैं। खेल के मैदान के कुछ हिस्से बड़े होते हैं और तीर उन पर अधिक बार रुकता है, जबकि अन्य खंड बहुत छोटे होते हैं और तीर शायद ही कभी उन पर रुकता है।

तो, पहली नज़र में, हड्डी कुछ इस तरह दिखती है: 1, 1, 1, 2, 2, 3; हम पहले ही इसके बारे में बात कर चुके हैं, यह एक भारित 1d3 जैसा कुछ है, इसलिए, हमें इन सभी वर्गों को समान भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है, माप की सबसे छोटी इकाई खोजें, जो कि इसका एक गुणक है, और फिर इस रूप में स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं d522 (या कुछ अन्य), जहां पासों का सेट समान स्थिति प्रदर्शित करेगा, लेकिन बड़ी संख्या में परिणामों के साथ। और यह समस्या को हल करने का एक तरीका है, और यह तकनीकी रूप से व्यवहार्य है, लेकिन एक आसान तरीका है।

आइए अपने मानक छह-पक्षीय पासे पर वापस जाएं। हमने कहा कि एक सामान्य पासे के लिए एक फेंक के औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको सभी चेहरों पर मूल्यों को जोड़ना होगा और उन्हें चेहरों की संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन कैसे बिल्कुलगणना चल रही है? आप इसे अलग तरह से व्यक्त कर सकते हैं। छह भुजाओं वाले पासों के लिए, प्रत्येक फलक के ऊपर आने की प्रायिकता ठीक 1/6 है। अब हम गुणा करते हैं एक्सोदेसप्रत्येक किनारे पर संभावनायह परिणाम (इस मामले में, प्रत्येक चेहरे के लिए 1/6), फिर परिणामी मूल्यों का योग करें। तो संक्षेप (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), हमें वही परिणाम (3.5) मिलता है जैसा कि ऊपर की गणना में है। वास्तव में, हम हर बार इसकी गणना करते हैं: हम प्रत्येक परिणाम को उस परिणाम की संभावना से गुणा करते हैं।

क्या हम "परमाणु युद्ध" खेल में खेल के मैदान पर तीर के लिए समान गणना कर सकते हैं? बिलकुल हम कर सकते हैं। और अगर हम सभी पाए गए परिणामों को जोड़ते हैं, तो हमें औसत मूल्य मिलता है। हमें बस इतना करना है कि खेल मैदान पर तीर के लिए प्रत्येक परिणाम की संभावना की गणना करें और परिणाम से गुणा करें।

एक और उदाहरण

औसत की गणना करने की यह विधि, प्रत्येक परिणाम को उसकी व्यक्तिगत संभावना से गुणा करके, भी उपयुक्त है यदि परिणाम समान रूप से संभावित हैं, लेकिन अलग-अलग फायदे हैं, जैसे कि यदि आप एक पासा रोल करते हैं और दूसरों की तुलना में कुछ पक्षों पर अधिक जीतते हैं। उदाहरण के लिए, आइए एक कैसीनो में होने वाले गेम को लें: आप 2d6 पर दांव लगाते हैं और रोल करते हैं। यदि तीन कम मूल्य संख्याएं (2, 3, 4) या चार उच्च मूल्य संख्याएं (9, 10, 11, 12) आती हैं, तो आप अपनी शर्त के बराबर राशि जीतेंगे। सबसे कम और उच्चतम मूल्य वाले नंबर विशेष हैं: यदि 2 या 12 रोल करते हैं, तो आप जीतते हैं दुगने जितनाआपकी बोली से। यदि कोई अन्य संख्या (5, 6, 7, 8) आती है, तो आप अपनी शर्त हार जाएंगे। यह काफी सरल खेल है। लेकिन जीतने की संभावना क्या है?

आइए गिनती करके शुरू करें कि आप कितनी बार जीत सकते हैं:

• 2d6 रोल पर परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है। अनुकूल परिणामों की संख्या क्या है?
• 1 विकल्प है कि दो बाहर हो जाएंगे और 1 विकल्प बारह बाहर गिर जाएगा।
• तीन और ग्यारह को रोल करने के लिए 2 विकल्प हैं।
• चार को रोल करने के लिए 3 विकल्प हैं और दस को रोल करने के लिए 3 विकल्प हैं।
• नौ आने के लिए 4 विकल्प हैं।
• सभी विकल्पों को मिलाकर, हमें 36 में से 16 अनुकूल परिणामों की संख्या प्राप्त होती है।

इस प्रकार, सामान्य परिस्थितियों में, आप संभावित 36 में से 16 बार जीतेंगे... जीतने की संभावना 50% से थोड़ी कम है।

लेकिन उन 16 में से दो मामलों में आप दोगुना जीतेंगे, यानी। यह दो बार जीतने जैसा है! यदि आप इस गेम को 36 बार खेलते हैं, प्रत्येक बार $1 की सट्टेबाजी करते हैं, और सभी संभावित परिणामों में से प्रत्येक एक बार आता है, तो आप कुल $18 जीतेंगे (आप वास्तव में 16 बार जीतते हैं, लेकिन उनमें से दो बार दो जीत के रूप में गिना जाएगा)। यदि आप 36 बार खेलते हैं और $18 जीतते हैं, तो क्या इसका मतलब यह नहीं है कि यह एक समान मौका है?

जल्दी मत करो। यदि आप गिनते हैं कि आप कितनी बार हार सकते हैं, तो आपको 20 मिलता है, 18 नहीं। यदि आप 36 बार खेलते हैं, हर बार $1 की सट्टेबाजी करते हैं, तो आप सभी ऑड्स के साथ कुल $18 जीतेंगे... लेकिन आप हारेंगे सभी 20 खराब परिणामों के लिए कुल $20 की राशि! परिणामस्वरूप, आप थोड़े पीछे रह जाएंगे: आप खेले गए प्रत्येक 36 खेलों के लिए औसतन $2 का नेट खो देते हैं (आप यह भी कह सकते हैं कि आप एक दिन में औसतन $1/18 खो देते हैं)। अब आप देखें कि इस मामले में गलती करना और प्रायिकता की गलत गणना करना कितना आसान है!

परिवर्तन

अब तक, हमने यह माना है कि पासा पलटते समय संख्याओं को फेंकने का क्रम मायने नहीं रखता। एक 2+4 रोल 4+2 रोल के समान है। ज्यादातर मामलों में, हम मैन्युअल रूप से अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करते हैं, लेकिन कभी-कभी यह विधि अव्यवहारिक होती है और गणितीय सूत्र का उपयोग करना बेहतर होता है।

इस स्थिति का एक उदाहरण पासा खेल "फार्कल" से है। प्रत्येक नए दौर के लिए, आप 6d6 रोल करते हैं। यदि आप भाग्यशाली हैं और 1-2-3-4-5-6 (सीधे) के सभी संभावित परिणाम सामने आते हैं, तो आपको एक बड़ा बोनस मिलेगा। क्या संभावना है कि ऐसा होगा? इस मामले में, इस संयोजन के नुकसान के लिए कई विकल्प हैं!

समाधान इस प्रकार है: पासे में से एक (और केवल एक) को नंबर 1 को रोल करना होगा! एक पासे पर नंबर 1 प्राप्त करने के कितने तरीके हैं? छह, चूंकि 6 पासे हैं, और उनमें से कोई भी नंबर 1 पर उतर सकता है। तदनुसार, एक पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। अब अंक 2 बचे हुए पाँसे में से किसी एक पर पड़ना चाहिए।इसके लिए पाँच विकल्प हैं। एक और पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। फिर यह इस प्रकार है कि शेष चार पासे 3 रोल कर सकते हैं, शेष तीन पासे 4 रोल कर सकते हैं, शेष दो पासे 5 रोल कर सकते हैं, और आप एक पासे के साथ समाप्त होते हैं जो 6 रोल करना चाहिए (बाद में मामले में, केवल एक पासा है और कोई विकल्प नहीं है)। एक सीधे संयोजन के आने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करने के लिए, हम सभी अलग, स्वतंत्र विकल्पों को गुणा करते हैं: 6x5x4x3x2x1 = 720 - ऐसा लगता है कि इस संयोजन के आने के लिए बहुत सारे विकल्प हैं।

एक सीधा संयोजन प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए, हमें 6d6 रोलिंग के लिए सभी संभावित परिणामों की संख्या से 720 को विभाजित करने की आवश्यकता है। सभी संभावित परिणामों की संख्या क्या है? प्रत्येक पासे में 6 फलक आ सकते हैं, इसलिए हम 6x6x6x6x6x6 = 46656 (बहुत अधिक संख्या!) को गुणा करते हैं। हम 720/46656 को विभाजित करते हैं और हमें लगभग 1.5% के बराबर एक प्रायिकता प्राप्त होती है। यदि आप इस गेम को डिजाइन कर रहे थे, तो आपके लिए यह जानना उपयोगी होगा ताकि आप एक उपयुक्त स्कोरिंग सिस्टम बना सकें। अब हम समझते हैं कि गेम "फ़ार्कल" में आपको इतना बड़ा बोनस क्यों मिलता है यदि आपको "स्ट्रेट" का संयोजन मिलता है, क्योंकि यह स्थिति काफी दुर्लभ है!

नतीजा एक और वजह से भी दिलचस्प है। उदाहरण से पता चलता है कि प्रायिकता के अनुरूप परिणाम वास्तव में एक छोटी अवधि में कितना कम निकलता है। बेशक, अगर हम कई हजार पासे घुमाते हैं, तो पासे के अलग-अलग पक्ष अक्सर सामने आएंगे। लेकिन जब हम केवल छह पासे फेंकते हैं, लगभग कभी नहीँऐसा नहीं होता कि हर एक चेहरा गिर जाए! इससे आगे बढ़ते हुए, यह स्पष्ट हो जाता है कि यह उम्मीद करना मूर्खता है कि अब एक और चेहरा गिर जाएगा, जो अभी तक नहीं गिरा है "क्योंकि हमने 6 नंबर को लंबे समय से नहीं गिराया है, जिसका अर्थ है कि यह अब गिर जाएगा। "

देखिए, आपका रैंडम नंबर जेनरेटर टूट गया है...

यह हमें संभाव्यता के बारे में एक आम गलत धारणा में लाता है: यह धारणा कि सभी परिणाम समान आवृत्ति के साथ आते हैं। थोड़े समय में, जो वास्तव में ऐसा नहीं है। यदि हम पासों को कई बार घुमाते हैं, तो प्रत्येक फलकों की बारंबारता समान नहीं होगी।

यदि आपने पहले कभी किसी प्रकार के यादृच्छिक संख्या जनरेटर के साथ ऑनलाइन गेम पर काम किया है, तो आपको सबसे अधिक संभावना है कि एक ऐसी स्थिति का सामना करना पड़े जहां एक खिलाड़ी तकनीकी सहायता को यह कहने के लिए लिखता है कि आपका यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है और यादृच्छिक संख्या नहीं दिखाता है, और वह इस निष्कर्ष पर आया क्योंकि उसने लगातार 4 राक्षसों को मार डाला और 4 बिल्कुल समान पुरस्कार प्राप्त किए, और इन पुरस्कारों में केवल 10% की गिरावट होनी चाहिए, इसलिए यह लगभग नहींनहीं करना चाहिए जगह लें, जिसका अर्थ है यह स्पष्टतःकि आपका यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है।

तुम गणित कर रहे हो। 1/10*1/10*1/10*1/10 10,000 में 1 के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि यह बहुत दुर्लभ है। और यही खिलाड़ी आपको बताने की कोशिश कर रहा है। क्या इस मामले में कोई समस्या है?

सब कुछ परिस्थितियों पर निर्भर करता है। अब आपके सर्वर पर कितने खिलाड़ी हैं? मान लीजिए कि आपके पास एक काफी लोकप्रिय खेल है और हर दिन 100,000 लोग इसे खेलते हैं। कितने खिलाड़ी लगातार चार राक्षसों को मारेंगे? हो सकता है सब कुछ, दिन में कई बार, लेकिन मान लें कि उनमें से आधे सिर्फ नीलामी में अलग-अलग वस्तुओं का व्यापार कर रहे हैं या आरपी सर्वर पर चैट कर रहे हैं, या अन्य गेम गतिविधियां कर रहे हैं, इसलिए उनमें से केवल आधे वास्तव में राक्षसों का शिकार कर रहे हैं। क्या संभावना है कि कोई आक्या वही इनाम छूट जाएगा? इस स्थिति में, आप उम्मीद कर सकते हैं कि एक ही इनाम दिन में कई बार गिर सकता है, कम से कम!

वैसे, इसलिए ऐसा लगता है कि हर कुछ हफ्तों में कम से कम कोई आलॉटरी जीतता है, भले ही वह कोई हो कभी नहीँआप या आपके दोस्त नहीं आते हैं। अगर हर हफ्ते पर्याप्त लोग खेलते हैं, तो कम से कम होने की संभावना है एकलकी... लेकिन अगर आपआप लॉटरी खेलते हैं, तो आपके इन्फिनिटी वार्ड में नौकरी जीतने की संभावना कम है।

मानचित्र और लत

हमने स्वतंत्र घटनाओं पर चर्चा की है, जैसे कि एक पासा फेंकना, और अब हम कई खेलों में यादृच्छिकता का विश्लेषण करने के लिए कई शक्तिशाली उपकरण जानते हैं। जब डेक से कार्ड बनाने की बात आती है तो संभाव्यता गणना थोड़ी अधिक जटिल होती है, क्योंकि हमारे द्वारा खींचा गया प्रत्येक कार्ड डेक में शेष कार्डों को प्रभावित करता है। यदि आपके पास 52 कार्डों का एक मानक डेक है और आप 10 दिलों को खींचते हैं, उदाहरण के लिए, और आप इस संभावना को जानना चाहते हैं कि अगला कार्ड उसी सूट का होगा, तो संभावना बदल गई है क्योंकि आपने पहले ही एक हार्ट कार्ड को हटा दिया है। जहाज़ का ऊपरी भाग। आपके द्वारा निकाला गया प्रत्येक कार्ड डेक में अगले कार्ड की संभावना को बदल देता है। चूंकि इस मामले में पिछली घटना अगले को प्रभावित करती है, हम इस संभावना को कहते हैं आश्रित.

कृपया ध्यान दें कि जब मैं "कार्ड" कहता हूं तो मेरा मतलब होता है कोईखेल यांत्रिकी जिसमें वस्तुओं का एक सेट होता है और आप इसे बदले बिना किसी एक वस्तु को हटा देते हैं, इस मामले में "कार्ड का डेक" चिप्स के एक बैग के समान होता है, जिसमें से आप एक चिप निकालते हैं और इसे प्रतिस्थापित नहीं करते हैं, या एक कलश जिसमें से आप रंगीन कंचों को हटाते हैं (वास्तव में मैंने ऐसा खेल कभी नहीं देखा जहाँ रंगीन कंचों के साथ कलश निकाला गया हो, लेकिन ऐसा लगता है कि संभाव्यता सिद्धांत शिक्षक किसी कारण से इस उदाहरण को पसंद करते हैं)।

निर्भरता गुण

मैं स्पष्ट करना चाहता हूं कि जब कार्ड की बात आती है, तो मैं मान रहा हूं कि आप कार्ड बनाते हैं, उन्हें देखते हैं, और उन्हें डेक से हटा देते हैं। इनमें से प्रत्येक क्रिया एक महत्वपूर्ण संपत्ति है।

अगर मेरे पास 1 से 6 तक के छह कार्डों का एक डेक था, और मैंने उन्हें फेरबदल किया और एक कार्ड खींचा और फिर सभी छह कार्डों को फिर से फेरबदल किया, तो यह छह-तरफा मरने के समान होगा; एक परिणाम दूसरे को प्रभावित नहीं करता है। केवल अगर मैं कार्ड खींचता हूं और उन्हें प्रतिस्थापित नहीं करता हूं, तो क्या नंबर 1 के साथ कार्ड खींचने का परिणाम इस संभावना को बढ़ाएगा कि अगली बार जब मैं नंबर 6 के साथ एक कार्ड बनाऊंगा (संभावना तब तक बढ़ेगी जब तक कि मैं अंततः इस कार्ड को नहीं खींचता या जब तक मैं कार्ड फेरबदल करता हूं)।

तथ्य यह है कि हम हम देखोकार्ड पर भी महत्वपूर्ण है। अगर मैं डेक से एक कार्ड निकालता हूं और उसे नहीं देखता, तो मेरे पास कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं होती है और संभावना वास्तव में नहीं बदलती है। यह अतार्किक लग सकता है। किसी कार्ड को आसानी से फ़्लिप करने से ऑड्स कैसे बदल सकते हैं? लेकिन यह संभव है, क्योंकि आप अज्ञात वस्तुओं की संभावना की गणना केवल इस तथ्य से कर सकते हैं कि आप आपको पता है. उदाहरण के लिए, यदि आप कार्ड के एक मानक डेक को फेरबदल करते हैं, तो 51 कार्ड प्रकट करते हैं और उनमें से कोई भी क्लबों की रानी नहीं है, आप 100% निश्चितता के साथ जानेंगे कि शेष कार्ड क्लबों की रानी है। यदि आप ताश के पत्तों के मानक डेक में फेरबदल करते हैं और 51 पत्ते बनाते हैं, इसके बावजूदउन पर, तो शेष कार्ड क्लबों की रानी होने की संभावना अभी भी 1/52 होगी। जैसे ही आप प्रत्येक कार्ड खोलते हैं, आपको अधिक जानकारी प्राप्त होती है।

आश्रित घटनाओं के लिए संभाव्यता की गणना स्वतंत्र घटनाओं के समान सिद्धांतों का पालन करती है, सिवाय इसके कि यह थोड़ा अधिक जटिल है, क्योंकि जब आप कार्ड प्रकट करते हैं तो संभावनाएं बदल जाती हैं। इस प्रकार, आपको एक ही मान को गुणा करने के बजाय, कई अलग-अलग मानों को गुणा करने की आवश्यकता है। वास्तव में, इसका मतलब है कि हमें उन सभी गणनाओं को संयोजित करने की आवश्यकता है जो हमने एक संयोजन में की थीं।

उदाहरण

आप 52 कार्डों के एक मानक डेक को फेरबदल करते हैं और दो कार्ड बनाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि आप एक जोड़ा निकालेंगे? इस प्रायिकता की गणना करने के कई तरीके हैं, लेकिन शायद सबसे सरल है: क्या संभावना है कि यदि आप एक कार्ड बनाते हैं, तो आप एक जोड़ी नहीं बना पाएंगे? यह संभावना शून्य है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा पहला कार्ड बनाते हैं, जब तक कि यह दूसरे से मेल खाता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पहले कौन सा कार्ड बनाते हैं, हमारे पास अभी भी एक जोड़ी बनाने का मौका है, इसलिए संभावना है कि हम पहला कार्ड खींचने के बाद एक जोड़ी बना सकते हैं 100% है।

क्या संभावना है कि दूसरा कार्ड पहले से मेल खाएगा? डेक में 51 पत्ते बचे हैं और उनमें से 3 पहले कार्ड से मेल खाते हैं (वास्तव में यह 52 में से 4 होंगे, लेकिन जब आप पहला कार्ड बनाते हैं तो आप पहले से ही मेल खाने वाले कार्डों में से एक को हटा देते हैं!), इसलिए संभावना है 1/ 17. (तो अगली बार जब टेबल पर टेक्सस होल्डम खेलते हुए लड़का कहता है, "कूल, एक और जोड़ी? मैं आज भाग्यशाली हूं," आपको पता चल जाएगा कि उसके झांसा देने की बहुत अधिक संभावना है।)

क्या होगा यदि हम दो जोकर जोड़ते हैं और अब हमारे पास डेक में 54 कार्ड हैं और हम जानना चाहते हैं कि एक जोड़ी खींचने की संभावना क्या है? पहला कार्ड जोकर हो सकता है, और उसके बाद डेक में केवल शामिल होगा एककार्ड, तीन नहीं, जो मेल खाएगा। इस मामले में संभावना कैसे खोजें? हम संभावनाओं को विभाजित करते हैं और प्रत्येक संभावना को गुणा करते हैं।

हमारा पहला कार्ड जोकर या कोई अन्य कार्ड हो सकता है। एक जोकर निकालने की प्रायिकता 2/54 है, किसी अन्य कार्ड को निकालने की प्रायिकता 52/54 है।

यदि पहला कार्ड जोकर (2/54) है, तो दूसरा कार्ड पहले से मेल खाने की संभावना 1/53 है। मानों को गुणा करना (हम उन्हें गुणा कर सकते हैं क्योंकि वे अलग-अलग घटनाएँ हैं और हम चाहते हैं दोनोंघटनाएं हुईं) और हमें 1/1431 - प्रतिशत के दसवें हिस्से से भी कम मिलता है।

यदि आप पहले कोई अन्य कार्ड (52/54) बनाते हैं, तो दूसरे कार्ड के मिलान की प्रायिकता 3/53 है। हम मानों को गुणा करते हैं और 78/1431 (5.5% से थोड़ा अधिक) प्राप्त करते हैं।

हम इन दो परिणामों के साथ क्या करते हैं? वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और हम प्रायिकता जानना चाहते हैं सब लोगउनमें से, इसलिए हम मूल्यों को जोड़ते हैं! हमें अंतिम परिणाम 79/1431 (अभी भी लगभग 5.5%) मिलता है।

यदि हम उत्तर की सटीकता के बारे में सुनिश्चित होना चाहते हैं, तो हम अन्य सभी संभावित परिणामों की संभावना की गणना कर सकते हैं: एक जोकर खींचना और दूसरे कार्ड का मिलान नहीं करना, या किसी अन्य कार्ड को खींचना और दूसरे कार्ड से मेल नहीं खाना, और उन सभी को जोड़ना जीतने की संभावना के साथ, हमें ठीक 100% प्राप्त होगा। मैं यहां गणित नहीं दूंगा, लेकिन आप गणित को दोबारा जांचने की कोशिश कर सकते हैं।

मोंटी हॉल विरोधाभास

यह हमें एक प्रसिद्ध विरोधाभास में लाता है जो अक्सर कई लोगों को भ्रमित करता है, मोंटी हॉल विरोधाभास। विरोधाभास का नाम टीवी शो लेट्स मेक ए डील के होस्ट मोंटी हॉल के नाम पर रखा गया है। अगर आपने इस शो को कभी नहीं देखा है, तो यह टीवी शो "द प्राइस इज़ राइट" के विपरीत था। "द प्राइस इज़ राइट" पर, होस्ट (पूर्व में बॉब बार्कर, अब इट्स… ड्रयू केरी? वैसे भी…) आपका मित्र है। वह चाहता हेआपके लिए पैसा या अच्छा पुरस्कार जीतने के लिए। यह आपको जीतने का हर मौका देने की कोशिश करता है, जब तक आप अनुमान लगा सकते हैं कि प्रायोजित आइटम वास्तव में कितने लायक हैं।

मोंटी हॉल ने अलग तरह से व्यवहार किया। वह बॉब बार्कर के दुष्ट जुड़वां की तरह था। उनका लक्ष्य आपको राष्ट्रीय टेलीविजन पर एक बेवकूफ की तरह दिखाना था। यदि आप शो में थे, तो वह आपका विरोधी था, आप उसके खिलाफ खेले और ऑड्स उसके पक्ष में था। हो सकता है कि मैं कठोर हो रहा हूं, लेकिन जब एक प्रतिद्वंद्वी के रूप में चुने जाने का मौका सीधे आनुपातिक लगता है कि आपने हास्यास्पद पोशाक पहनी है या नहीं, तो मैं इसी तरह के निष्कर्ष पर आता हूं।

लेकिन शो के सबसे प्रसिद्ध मीम्स में से एक यह था: आपके सामने तीन दरवाजे थे, और उन्हें दरवाजा नंबर 1, दरवाजा नंबर 2 और दरवाजा नंबर 3 कहा जाता था। आप कोई भी एक दरवाजा चुन सकते थे ... मुफ्त में! इनमें से एक दरवाजे के पीछे एक शानदार पुरस्कार था, उदाहरण के लिए, एक नई कार। अन्य दरवाजों के पीछे कोई ईनाम नहीं था, इन दोनों दरवाजों का कोई मूल्य नहीं था। उनका लक्ष्य आपको अपमानित करना था और इसलिए ऐसा नहीं है कि उनके पीछे कुछ भी नहीं था, उनके पीछे कुछ ऐसा था जो बेवकूफ लग रहा था, जैसे उनके पीछे एक बकरी या टूथपेस्ट की एक बड़ी ट्यूब, या कुछ ... कुछ, वास्तव में क्या था नहींनई कार।

आपने एक दरवाजे को चुना और मोंटी उसे खोलने ही वाला था कि आपको पता चल जाए कि आप जीते हैं या नहीं... लेकिन रुकिए, इससे पहले कि हम जानते हैंआइए इनमें से एक को देखें वेदरवाजा तुम चुना नहीं गया. चूंकि मोंटी जानता है कि पुरस्कार किस दरवाजे के पीछे है, और केवल एक ही पुरस्कार है और दोदरवाजे जो आपने नहीं चुने हैं, चाहे कुछ भी हो, वह हमेशा एक ऐसा दरवाजा खोल सकता है जिसके पीछे कोई पुरस्कार न हो। "क्या आप दरवाजा नंबर 3 चुनते हैं? तो चलिए दरवाजा 1 खोलते हैं यह दिखाने के लिए कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं था।" और अब, उदारता से, वह आपको आपके चुने हुए द्वार #3 को द्वार #2 के पीछे व्यापार करने का मौका दे रहा है। यही वह जगह है जहां संभावना का सवाल आता है: क्या एक अलग दरवाजा चुनने में सक्षम होने से आपके अवसर में वृद्धि या कमी आती है जीतना, या यह वही रहता है? तुम क्या सोचते हो?

सही उत्तर: दूसरा दरवाजा चुनने की क्षमता बढ़ती है 1/3 से 2/3 तक जीतने की संभावना। यह अतार्किक है। यदि आपने पहले इस विरोधाभास का सामना नहीं किया है, तो संभावना है कि आप सोच रहे हैं: रुको, एक दरवाजा खोलकर, हमने जादुई रूप से संभावना को बदल दिया है? लेकिन जैसा कि हमने ऊपर मानचित्र उदाहरण में देखा, यह है बिल्कुलक्या होता है जब हमें अधिक जानकारी मिलती है। यह स्पष्ट है कि पहली बार जीतने की संभावना 1/3 है, और मुझे लगता है कि हर कोई उस पर सहमत होगा। जब एक दरवाजा खुलता है, तो यह पहली पसंद के लिए जीतने की संभावना को बिल्कुल भी नहीं बदलता है, संभावना अभी भी 1/3 है, लेकिन इसका मतलब है कि संभावना है कि एक औरदरवाजा सही अब 2/3 है।

आइए इस उदाहरण को दूसरी तरफ से देखें। आप एक दरवाजा चुनें। जीतने की संभावना 1/3 है। मेरा सुझाव है कि आप बदलें दोअन्य दरवाजे, जो कि मोंटी हॉल वास्तव में करने का प्रस्ताव करता है। बेशक, वह यह दिखाने के लिए एक दरवाजा खोलता है कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है, लेकिन वह हमेशाऐसा कर सकता है, इसलिए यह वास्तव में कुछ भी नहीं बदलता है। बेशक, आप एक अलग दरवाजा चुनना चाहेंगे!

यदि आप इस मुद्दे को पूरी तरह से नहीं समझते हैं और अधिक ठोस स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, तो इस लिंक पर क्लिक करके एक महान छोटे फ्लैश एप्लिकेशन पर जाएं जो आपको इस विरोधाभास का अधिक विस्तार से पता लगाने की अनुमति देगा। आप लगभग 10 दरवाजों से शुरू कर सकते हैं और फिर धीरे-धीरे तीन दरवाजों वाले खेल की ओर बढ़ सकते हैं; एक सिम्युलेटर भी है जहां आप 3 से 50 में से किसी भी संख्या में दरवाजे चुन सकते हैं और कई हजार सिमुलेशन खेल सकते हैं या चला सकते हैं और देख सकते हैं कि यदि आप खेलते हैं तो आप कितनी बार जीतेंगे।

उच्च गणित के शिक्षक और खेल संतुलन के विशेषज्ञ मैक्सिम सोलातोव की एक टिप्पणी, जो निश्चित रूप से, श्रेइबर के पास नहीं थी, लेकिन जिसके बिना इस जादुई परिवर्तन को समझना मुश्किल है:

एक दरवाजा चुनें, तीन में से एक, "जीतने" की संभावना 1/3। अब आपके पास 2 रणनीतियां हैं: गलत दरवाजा खोलने के बाद चुनाव बदलें या नहीं। यदि आप अपनी पसंद नहीं बदलते हैं, तो संभावना 1/3 बनी रहेगी, क्योंकि चुनाव केवल पहले चरण में है, और आपको तुरंत अनुमान लगाना चाहिए, लेकिन यदि आप बदलते हैं, तो आप जीत सकते हैं यदि आप पहले गलत दरवाजा चुनते हैं ( फिर वे एक और गलत खोलते हैं, सच रहेगा, आप निर्णय बदल लें बस ले लो)
शुरुआत में गलत दरवाजे को चुनने की संभावना 2/3 है, इसलिए यह पता चलता है कि आप अपना निर्णय बदलकर 2 गुना अधिक जीतने की संभावना बनाते हैं।

मोंटी हॉल विरोधाभास का पुनरीक्षण

शो के लिए ही, मोंटी हॉल को यह पता था, क्योंकि भले ही उनके विरोधी गणित में अच्छे नहीं थे, वहउसे अच्छी तरह समझता है। यहाँ उसने खेल को थोड़ा बदलने के लिए क्या किया। यदि आपने उस दरवाजे को चुना जिसके पीछे पुरस्कार था, जिसकी प्रायिकता 1/3 है, तो हमेशाआपको दूसरा दरवाजा चुनने का विकल्प प्रदान किया। क्योंकि आपने एक कार चुनी और फिर आप उसे एक बकरी में बदल देते हैं और आप बहुत बेवकूफ दिखते हैं, जिसकी उसे बिल्कुल जरूरत है, क्योंकि वह एक तरह का दुष्ट आदमी है। लेकिन अगर आप उस दरवाजे को चुनते हैं जिसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं होगा, केवल आधाऐसे मामलों में वह आपको दूसरा दरवाजा चुनने के लिए प्रेरित करेगा, और अन्य मामलों में वह आपको बस आपकी नई बकरी दिखाएगा और आप दृश्य छोड़ देंगे। आइए इस नए गेम का विश्लेषण करें जहां मोंटी हॉल कर सकते हैं चुनते हैंआपको दूसरा दरवाजा चुनने का मौका देता है या नहीं।

मान लीजिए कि वह इस एल्गोरिथम का अनुसरण करता है: यदि आप एक पुरस्कार के साथ एक दरवाजा चुनते हैं, तो वह हमेशा आपको दूसरा दरवाजा चुनने का अवसर प्रदान करता है, अन्यथा संभावना है कि वह आपको एक अलग दरवाजा देगा या आपको एक बकरी देगा 50/50 है। आपके जीतने की संभावना क्या है?

तीन विकल्पों में से एक में, आप तुरंत उस दरवाजे को चुनते हैं जिसके पीछे पुरस्कार स्थित है, और मेजबान आपको दूसरा दरवाजा चुनने के लिए आमंत्रित करता है।

तीन में से शेष दो विकल्पों में से (आप शुरू में बिना किसी पुरस्कार के एक दरवाजा चुनते हैं), आधा समय मेजबान आपसे एक अलग दरवाजा चुनने के लिए कहेगा, और दूसरे आधे समय में ऐसा नहीं होगा। 2/3 का आधा 1/3 है, अर्थात। तीन में से एक मामले में आपको एक बकरी मिलेगी, तीन में से एक मामले में आप गलत दरवाजे का चयन करेंगे और मेजबान आपसे दूसरे को चुनने के लिए कहेगा और तीन में से एक मामले में आप चुनेंगे दाहिना दरवाजाऔर वह तुम्हें दूसरा द्वार चुनने को कहेगा।

यदि मेजबान एक अलग दरवाजा चुनने का सुझाव देता है, तो हम पहले से ही जानते हैं कि तीन मामलों में से एक जब वह हमें एक बकरी देता है और हम छोड़ देते हैं तो ऐसा नहीं हुआ। यह उपयोगी जानकारी है क्योंकि इसका मतलब है कि हमारे जीतने की संभावना बदल गई है। तीन में से दो बार हमारे पास एक विकल्प होता है, एक मामले में इसका मतलब है कि हमने सही अनुमान लगाया है, और दूसरे मामले में इसका मतलब है कि हमने गलत अनुमान लगाया है, इसलिए अगर हमें एक विकल्प की पेशकश की गई, तो इसका मतलब है कि हमारे जीतने की संभावना 50 है / 50, और कोई नहीं है गणितीयलाभ, अपनी पसंद के साथ रहें या दूसरा दरवाजा चुनें।

पोकर की तरह, यह अब एक मनोवैज्ञानिक खेल है, गणितीय नहीं। मोंटी ने आपको एक विकल्प की पेशकश की क्योंकि वह सोचता है कि आप एक साधारण व्यक्ति हैं जो नहीं जानता कि एक अलग दरवाजा चुनना "सही" निर्णय है, और यह कि आप अपनी पसंद पर हठपूर्वक पकड़ लेंगे, क्योंकि मनोवैज्ञानिक रूप से, स्थिति जब आप एक चुनते हैं कार, ​​और फिर इसे खो दिया, कठिन? या क्या वह सोचता है कि आप होशियार हैं और दूसरा दरवाजा चुनते हैं, और वह आपको वह मौका देता है क्योंकि वह जानता है कि आपने पहली बार सही अनुमान लगाया है और आप फंस जाएंगे और फंस जाएंगे? या हो सकता है कि वह खुद के प्रति अनैच्छिक रूप से दयालु हो और आपको अपने निजी हित में कुछ करने के लिए प्रेरित करता हो क्योंकि उसने लंबे समय से एक कार दान नहीं की है और उसके निर्माता उसे बताते हैं कि दर्शक ऊब रहे हैं और बेहतर होगा कि वह एक दे बड़ा पुरस्कार जल्द ही। ताकि रेटिंग न गिरे?

इस प्रकार, मोंटी एक विकल्प (कभी-कभी) की पेशकश करने का प्रबंधन करता है और जीतने की समग्र संभावना 1/3 रहती है। याद रखें कि आपके तुरंत हारने की संभावना 1/3 है। एक 1/3 मौका है कि आप तुरंत अनुमान लगा लेंगे, और उस समय का 50% आप जीतेंगे (1/3 x 1/2 = 1/6)। संभावना है कि आप पहले गलत अनुमान लगाते हैं, लेकिन फिर एक और दरवाजा चुनने का मौका 1/3 है, और इनमें से 50% मामलों में आप जीतेंगे (1/6 भी)। दो स्वतंत्र जीतने की संभावनाओं को जोड़ें और आपको 1/3 की संभावना मिलती है, इसलिए चाहे आप अपनी पसंद पर बने रहें या दूसरा दरवाजा चुनें, पूरे खेल में आपके जीतने की कुल संभावना 1/3 है ... संभावना अधिक नहीं होती है उस स्थिति में जहां आपने दरवाजे का अनुमान लगाया होगा और मेजबान ने आपको दिखाया होगा कि इस दरवाजे के पीछे क्या है, दूसरे दरवाजे को चुनने की क्षमता के बिना! तो एक अलग दरवाजा चुनने के विकल्प की पेशकश करने की बात संभावना को बदलने के लिए नहीं है, बल्कि निर्णय लेने की प्रक्रिया को टीवी पर देखने के लिए और अधिक मजेदार बनाने के लिए है।

वैसे, यह एक बहुत ही कारण है कि पोकर इतना दिलचस्प क्यों हो सकता है: राउंड के बीच अधिकांश प्रारूपों में, जब दांव लगाए जाते हैं (उदाहरण के लिए, टेक्सास होल्डम में फ्लॉप, टर्न और रिवर), कार्ड धीरे-धीरे प्रकट होते हैं , और यदि खेल की शुरुआत में आपके पास जीतने की एक संभावना है, तो सट्टेबाजी के प्रत्येक दौर के बाद, जब अधिक कार्ड खुले होते हैं, तो यह संभावना बदल जाती है।

लड़का और लड़की विरोधाभास

यह हमें एक और प्रसिद्ध विरोधाभास की ओर ले जाता है जो हर किसी के लिए पहेली बन जाता है, लड़का-लड़की का विरोधाभास। केवल एक चीज जो मैं आज लिख रहा हूं वह सीधे तौर पर खेलों से संबंधित नहीं है (हालांकि मैं अनुमान लगा रहा हूं कि इसका मतलब है कि मुझे आपको उपयुक्त गेम मैकेनिक्स बनाने के लिए प्रेरित करना चाहिए)। यह एक पहेली से अधिक है, लेकिन एक दिलचस्प है, और इसे हल करने के लिए, आपको सशर्त संभावना को समझने की आवश्यकता है जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी।

टास्क: मेरे दो बच्चों के साथ एक दोस्त है, कम से कम एकबच्चा एक लड़की है। क्या संभावना है कि दूसरा बच्चा बहुतलड़की? आइए मान लें कि किसी भी परिवार में लड़की या लड़का होने की संभावना 50/50 है और यह हर बच्चे के लिए सच है (वास्तव में, कुछ पुरुषों के शुक्राणु में एक्स गुणसूत्र या वाई गुणसूत्र के साथ अधिक शुक्राणु होते हैं, इसलिए संभावना है थोड़ा बदल जाता है यदि आप जानते हैं कि एक बच्चा एक लड़की है, लड़की होने की संभावना थोड़ी अधिक है, इसके अलावा अन्य स्थितियां भी हैं, उदाहरण के लिए, उभयलिंगी, लेकिन इस समस्या को हल करने के लिए, हम इसे ध्यान में नहीं रखेंगे और मान लेंगे कि बच्चे का जन्म एक स्वतंत्र घटना है और लड़का या लड़की होने की संभावना समान है)।

चूंकि हम 1/2 मौके के बारे में बात कर रहे हैं, हम सहज रूप से उत्तर की अपेक्षा करते हैं शायद 1/2 या 1/4, या कोई अन्य गोल संख्या जो 2 का गुणक हो। लेकिन जवाब है: 1/3 . रुको क्यों?

इस मामले में कठिनाई यह है कि हमारे पास जो जानकारी है वह संभावनाओं की संख्या को कम कर देती है। मान लीजिए कि माता-पिता सेसम स्ट्रीट के प्रशंसक हैं और इस बात की परवाह किए बिना कि बच्चे का जन्म लड़का हुआ या लड़की, अपने बच्चों का नाम ए और बी रखा। सामान्य परिस्थितियों में, समान रूप से चार संभावनाएं हैं: ए और बी दो लड़के हैं, ए और बी दो लड़कियाँ हैं, A एक लड़का है और B एक लड़की है, A एक लड़की है और B एक लड़का है। चूंकि हम जानते हैं कि कम से कम एकबच्चा एक लड़की है, हम इस संभावना से इंकार कर सकते हैं कि ए और बी दो लड़के हैं, जिससे हमें तीन (अभी भी समान रूप से) संभावनाएं मिलती हैं। यदि सभी संभावनाएं समान रूप से संभावित हैं और उनमें से तीन हैं, तो हम जानते हैं कि उनमें से प्रत्येक की संभावना 1/3 है। इन तीन विकल्पों में से केवल एक में दोनों बच्चे दो लड़कियां हैं, इसलिए उत्तर 1/3 है।

और फिर एक लड़के और एक लड़की के विरोधाभास के बारे में

समस्या का समाधान और भी अतार्किक हो जाता है। कल्पना कीजिए कि मैं आपको बताता हूं कि मेरे दोस्त के दो बच्चे और एक बच्चा है - मंगलवार को पैदा हुई लड़की. मान लीजिए कि सामान्य परिस्थितियों में सप्ताह के सात दिनों में से किसी एक दिन बच्चा होने की संभावना समान होती है। क्या संभावना है कि दूसरा बच्चा भी एक लड़की है? आप सोच सकते हैं कि उत्तर अभी भी 1/3 होगा; मंगलवार का क्या महत्व है? लेकिन इस मामले में, अंतर्ज्ञान हमें विफल कर देता है। उत्तर: 13/27 जो न केवल सहज ज्ञान युक्त है, यह बहुत ही अजीब है। क्या बात है इस मामले में?

वास्तव में, मंगलवार संभावना बदल देता है क्योंकि हम नहीं जानते कौनबच्चे का जन्म मंगलवार को या संभवत: हुआ था दो बच्चेमंगलवार को पैदा हुए थे। इस मामले में, हम ऊपर के समान तर्क का उपयोग करते हैं, हम सभी संभावित संयोजनों की गणना करते हैं जब कम से कम एक बच्चा एक लड़की है जो मंगलवार को पैदा हुई थी। जैसा कि पिछले उदाहरण में, मान लीजिए कि बच्चों का नाम A और B है, संयोजन इस प्रकार हैं:

• ए एक लड़की है जो मंगलवार को पैदा हुई थी, बी एक लड़का है (इस स्थिति में 7 संभावनाएं हैं, सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए एक जब लड़का पैदा हो सकता है)।
• बी एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, ए एक लड़का है (7 संभावनाएं भी)।
• A एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, B एक लड़की है जिसका जन्म हुआ था एक औरसप्ताह का दिन (6 संभावनाएं)।
• B एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, A एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को नहीं हुआ था (6 संभावनाएं भी)।
• ए और बी दो लड़कियां हैं जिनका जन्म मंगलवार को हुआ था (1 संभावना है, आपको इस पर ध्यान देने की आवश्यकता है ताकि दो बार गिनती न हो)।

हम योग करते हैं और बच्चों के जन्म और दिनों के 27 अलग-अलग समान रूप से संभव संयोजन प्राप्त करते हैं, जिसमें कम से कम एक लड़की के मंगलवार को पैदा होने की संभावना होती है। इनमें से 13 संभावनाएं तब होती हैं जब दो लड़कियों का जन्म होता है। यह पूरी तरह से अतार्किक भी लगता है, और ऐसा लगता है कि यह कार्य केवल सिरदर्द पैदा करने के लिए बनाया गया था। यदि आप अभी भी इस उदाहरण से हैरान हैं, तो गेम थिओरिस्ट जेस्पर जुहल ने अपनी वेबसाइट पर इस मामले की अच्छी व्याख्या की है।

अगर आप अभी किसी गेम पर काम कर रहे हैं...

यदि आप जिस गेम को डिजाइन कर रहे हैं उसमें यादृच्छिकता है, तो इसका विश्लेषण करने का यह एक शानदार अवसर है। किसी भी तत्व का चयन करें जिसका आप विश्लेषण करना चाहते हैं। पहले अपने आप से पूछें कि आपकी अपेक्षाओं के अनुसार इस तत्व के लिए क्या संभावना है, आपकी राय में, खेल के संदर्भ में यह क्या होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि आप एक आरपीजी बना रहे हैं और आप इस बारे में सोच रहे हैं कि एक खिलाड़ी के लिए युद्ध में एक राक्षस को हराने में सक्षम होने की कितनी संभावना है, तो अपने आप से पूछें कि आपको कौन सा जीत प्रतिशत सही लगता है। आम तौर पर कंसोल आरपीजी खेलते समय, खिलाड़ी हारने पर बहुत निराश हो जाते हैं, इसलिए यह बेहतर है कि वे अक्सर हारें नहीं ... शायद 10% या उससे कम? यदि आप एक आरपीजी डिजाइनर हैं, तो आप शायद मुझसे बेहतर जानते हैं, लेकिन आपको इस बात का मूल विचार होना चाहिए कि संभावना क्या होनी चाहिए।

फिर अपने आप से पूछें कि क्या यह कुछ है आश्रित(कार्ड की तरह) या स्वतंत्र(पासा की तरह)। सभी संभावित परिणामों और उनकी संभावनाओं पर चर्चा करें। सुनिश्चित करें कि सभी संभावनाओं का योग 100% है। अंत में, निश्चित रूप से, अपने परिणामों की तुलना अपनी अपेक्षाओं से करें। क्या पासा लुढ़काया गया है या कार्ड आपके इच्छित तरीके से खींचे गए हैं या आप देखते हैं कि आपको मूल्यों को समायोजित करने की आवश्यकता है। और निश्चित रूप से यदि आप पानाक्या समायोजित करने की आवश्यकता है, आप उसी गणना का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि किसी चीज़ को कितना समायोजित करना है!

होम वर्क

इस सप्ताह आपका "होमवर्क" आपके संभाव्यता कौशल को सुधारने में आपकी मदद करेगा। यहां दो पासा खेल और एक कार्ड गेम है जिसे आप संभाव्यता का उपयोग करके विश्लेषण करेंगे, साथ ही एक अजीब गेम मैकेनिक जिसे मैंने एक बार विकसित किया था कि आप मोंटे कार्लो पद्धति का परीक्षण करेंगे।

गेम #1 - ड्रैगन बोन्स

यह एक पासा खेल है जिसे मैं और मेरे सहयोगी एक बार लेकर आए थे (जेब हेवन्स और जेसी किंग के लिए धन्यवाद!), और जो जानबूझकर लोगों के दिमाग को अपनी संभावनाओं से उड़ा देता है। यह एक साधारण कैसीनो गेम है जिसे "ड्रैगन बोन्स" कहा जाता है और यह खिलाड़ी और प्रतिष्ठान के बीच एक जुआ पासा प्रतियोगिता है। आपको नियमित 1d6 डाई दी जाती है। खेल का लक्ष्य घर की तुलना में अधिक संख्या में रोल करना है। टॉम को एक गैर-मानक 1d6 दिया जाता है - आपके जैसा ही, लेकिन एक तरफ एक के बजाय - एक ड्रैगन की छवि (इस प्रकार कैसीनो में ड्रैगन-2-3-4-5-6 मर जाता है)। यदि संस्था को ड्रैगन मिलता है, तो यह स्वतः ही जीत जाता है, और आप हार जाते हैं। यदि आप दोनों को एक ही नंबर मिलता है, तो यह एक टाई है और आप पासे को फिर से रोल करते हैं। जो सबसे अधिक संख्या में रोल करता है वह जीतता है।

बेशक, सब कुछ खिलाड़ी के पक्ष में नहीं निकलता है, क्योंकि कैसीनो को ड्रैगन चेहरे के रूप में एक फायदा है। लेकिन क्या सच में ऐसा है? आपको इसकी गणना करनी होगी। लेकिन इससे पहले, अपने अंतर्ज्ञान की जाँच करें। मान लीजिए कि जीत 2 से 1 है। इसलिए यदि आप जीतते हैं, तो आप अपना दांव लगाते हैं और दोगुनी राशि प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप $1 की शर्त लगाते हैं और जीतते हैं, तो आप उस डॉलर को रखते हैं और कुल $3 के लिए शीर्ष पर $2 और प्राप्त करते हैं। यदि आप हारते हैं, तो आप केवल अपनी शर्त हारते हैं। क्या आप खेलेंगे? तो, क्या आप सहज रूप से महसूस करते हैं कि संभावना 2 से 1 से अधिक है, या क्या आप अभी भी सोचते हैं कि यह कम है? दूसरे शब्दों में, औसतन 3 से अधिक गेम, क्या आप एक से अधिक, या कम, या एक बार जीतने की उम्मीद करते हैं?

एक बार जब आप अपने अंतर्ज्ञान से निपट लेते हैं, तो गणित लागू करें। दोनों पासों के लिए केवल 36 संभावित स्थान हैं, इसलिए आप उन सभी को आसानी से गिन सकते हैं। यदि आप इस 2-टू-1 ऑफ़र के बारे में अनिश्चित हैं, तो इस पर विचार करें: मान लें कि आपने 36 बार गेम खेला है (हर बार $1 का दांव लगाना)। प्रत्येक जीत के लिए आपको $2 मिलता है, प्रत्येक हार के लिए आप $1 खो देते हैं, और एक ड्रॉ कुछ भी नहीं बदलता है। अपने सभी संभावित जीत और नुकसान की गणना करें और तय करें कि क्या आप कुछ डॉलर खो देंगे या लाभ प्राप्त करेंगे। फिर अपने आप से पूछें कि आपका अंतर्ज्ञान कितना सही निकला। और फिर - महसूस करें कि मैं क्या खलनायक हूं।

और, हाँ, यदि आप पहले से ही इस प्रश्न के बारे में सोच चुके हैं - मैं जानबूझकर आपको पासा खेल के वास्तविक यांत्रिकी को विकृत करके भ्रमित करता हूं, लेकिन मुझे यकीन है कि आप इस बाधा को केवल एक अच्छे विचार से दूर कर सकते हैं। इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें। मैं अगले सप्ताह यहां सभी उत्तर पोस्ट करूंगा।

गेम #2 - भाग्य का रोल

यह एक पासा खेल है जिसे लकी रोल कहा जाता है (बर्डकेज भी क्योंकि कभी-कभी पासा लुढ़का नहीं जाता है, लेकिन एक बड़े तार पिंजरे में रखा जाता है, जो बिंगो पिंजरे की याद दिलाता है)। यह एक साधारण खेल है जो कुछ इस तरह से होता है: 1 और 6 के बीच की संख्या पर $1 की शर्त लगाएं। फिर आप 3d6 रोल करते हैं। आपके नंबर से टकराने वाले प्रत्येक पास के लिए, आपको $1 मिलता है (और अपनी मूल शर्त रखें)। यदि आपका नंबर किसी भी पासे पर नहीं आता है, तो कैसीनो को आपका डॉलर मिल जाता है और आपको कुछ भी नहीं मिलता है। इसलिए यदि आप 1 पर दांव लगाते हैं और आपको तीन बार चेहरे पर 1 मिलता है, तो आपको $3 मिलता है।

सहज रूप से, ऐसा लगता है कि इस खेल में संभावनाएँ भी हैं। प्रत्येक पासे के जीतने की संभावना 6 में से 1 व्यक्ति है, इसलिए तीनों का योग 6 में 3 है। हालांकि, निश्चित रूप से, याद रखें कि आप तीन अलग-अलग पासा जोड़ रहे हैं और आपको केवल तभी जोड़ने की अनुमति है जब हम बात कर रहे हैं एक ही पासे के अलग विजेता संयोजन। कुछ ऐसा जो आपको गुणा करना होगा।

एक बार जब आप सभी संभावित परिणामों की गणना कर लेते हैं (हाथ से एक्सेल में ऐसा करना शायद आसान है, तो उनमें से 216 हैं), पहली नज़र में गेम अभी भी अजीब दिखता है। लेकिन वास्तव में, कैसीनो के अभी भी जीतने की अधिक संभावना है - कितना अधिक? विशेष रूप से, आप प्रति गेम राउंड में औसतन कितने पैसे खोने की उम्मीद करते हैं? आपको बस सभी 216 परिणामों की जीत और हार को जोड़ना है और फिर 216 से विभाजित करना है, जो कि बहुत आसान होना चाहिए ... : अगर आपको लगता है कि इस गेम में जीतने का एक भी मौका है, तो आपको यह सब गलत लगता है।

गेम #3 - 5 कार्ड स्टड

यदि आप पहले से ही पिछले खेलों पर वार्म अप कर चुके हैं, तो आइए देखें कि हम इस कार्ड गेम का एक उदाहरण के रूप में सशर्त संभाव्यता के बारे में क्या जानते हैं। विशेष रूप से, आइए 52 कार्डों के डेक के साथ पोकर की कल्पना करें। आइए 5 कार्ड स्टड की भी कल्पना करें जहां प्रत्येक खिलाड़ी को केवल 5 कार्ड मिलते हैं। आप एक कार्ड नहीं छोड़ सकते, आप एक नया नहीं बना सकते, कोई सामान्य डेक नहीं - आपको केवल 5 कार्ड मिलते हैं।

रॉयल फ्लश एक संयोजन में कुल चार के लिए 10-J-Q-K-A है, इसलिए रॉयल फ्लश प्राप्त करने के चार संभावित तरीके हैं। संभावना की गणना करें कि आपको इनमें से एक संयोजन मिलेगा।

मेरे पास आपको चेतावनी देने के लिए एक बात है: याद रखें कि आप इन पांच कार्डों को किसी भी क्रम में बना सकते हैं। यही है, सबसे पहले आप एक इक्का या दस खींच सकते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। तो इसकी गणना करते समय, ध्यान रखें कि रॉयल फ्लश प्राप्त करने के वास्तव में चार से अधिक तरीके हैं, यह मानते हुए कि कार्ड क्रम में निपटाए गए थे!

गेम #4 - आईएमएफ लॉटरी

चौथा कार्य उन विधियों का उपयोग करके हल करना इतना आसान नहीं होगा जिनके बारे में हमने आज बात की, लेकिन आप प्रोग्रामिंग या एक्सेल का उपयोग करके आसानी से स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं। इस समस्या के उदाहरण पर आप मोंटे कार्लो पद्धति पर काम कर सकते हैं।

मैंने पहले खेल "क्रोन एक्स" का उल्लेख किया था, जिस पर मैंने एक बार काम किया था, और एक बहुत ही दिलचस्प कार्ड था - आईएमएफ लॉटरी। यहां बताया गया है कि यह कैसे काम करता है: आपने इसे एक गेम में इस्तेमाल किया। राउंड समाप्त होने के बाद, कार्डों का पुनर्वितरण किया गया और 10% संभावना थी कि कार्ड चलन से बाहर हो जाएगा और एक यादृच्छिक खिलाड़ी को प्रत्येक प्रकार के संसाधन के 5 प्राप्त होंगे जिनके पास उस कार्ड पर एक टोकन था। एक कार्ड एक टोकन के बिना खेल में डाल दिया गया था, लेकिन हर बार जब यह अगले दौर की शुरुआत में खेल में रहा, तो उसे एक टोकन प्राप्त हुआ। तो 10% संभावना थी कि आप इसे खेलेंगे, राउंड समाप्त होगा, कार्ड खेलना छोड़ देगा, और किसी को कुछ भी नहीं मिलेगा। यदि ऐसा नहीं होता है (90% संभावना के साथ), तो 10% संभावना है (वास्तव में 9%, क्योंकि यह 90% का 10% है) कि वह अगले दौर में खेल छोड़ देगी और किसी को 5 संसाधन मिलेंगे। यदि कार्ड एक राउंड के बाद खेल छोड़ देता है (उपलब्ध 81% में से 10%, तो 8.1% मौका), किसी को 10 इकाइयाँ मिलेंगी, दूसरा राउंड - 15, दूसरा 20, और इसी तरह। प्रश्न: इस कार्ड के अंत में खेल छोड़ने पर आपको प्राप्त होने वाले संसाधनों की संख्या का अपेक्षित मूल्य क्या है?

साधारणतया हम प्रत्येक परिणाम की संभावना का पता लगाकर और सभी परिणामों की संख्या से गुणा करके इस समस्या को हल करने का प्रयास करेंगे। तो 10% संभावना है कि आपको 0 (0.1*0 = 0) मिलेगा। 9% कि आपको 5 संसाधन मिलेंगे (9%*5 = 0.45 संसाधन)। आपको जो मिलता है उसका 8.1% 10 (8.1%*10 = 0.81 कुल संसाधन, अपेक्षित मूल्य) है। आदि। और फिर हम इसे पूरा करेंगे।

और अब समस्या आपके लिए स्पष्ट है: हमेशा एक मौका होता है कि कार्ड नहींखेल छोड़ देता है ताकि वह खेल में बनी रह सके उम्र भर, अनंत संख्या में राउंड के लिए, ताकि गणना करने की संभावनाएं कोई संभावनामौजूद नहीं होना। आज हमने जो तरीके सीखे हैं, वे हमें अनंत रिकर्सन की गणना करने की अनुमति नहीं देते हैं, इसलिए हमें इसे कृत्रिम रूप से बनाना होगा।

यदि आप प्रोग्रामिंग में काफी अच्छे हैं, तो एक प्रोग्राम लिखें जो इस कार्ड का अनुकरण करेगा। आपके पास एक समय लूप होना चाहिए जो चर को शून्य की प्रारंभिक स्थिति में लाता है, एक यादृच्छिक संख्या दिखाता है, और 10% संभावना के साथ चर लूप से बाहर निकलता है। अन्यथा, यह चर में 5 जोड़ता है और लूप दोहराता है। जब यह अंत में लूप से बाहर निकलता है, तो टेस्ट रन की कुल संख्या 1 और संसाधनों की कुल संख्या में वृद्धि करें (कितना इस पर निर्भर करता है कि वेरिएबल कहाँ रुका है)। फिर वेरिएबल को रीसेट करें और फिर से शुरू करें। प्रोग्राम को कई हजार बार चलाएं। अंत में, कुल संसाधनों को रनों की कुल संख्या से विभाजित करें, और यह आपका अपेक्षित मोंटे कार्लो मान है। यह सुनिश्चित करने के लिए प्रोग्राम को कई बार चलाएं कि आपको मिलने वाले नंबर मोटे तौर पर समान हैं; यदि स्प्रेड अभी भी बड़ा है, तो बाहरी लूप में दोहराव की संख्या तब तक बढ़ाएं जब तक आपको मैच मिलना शुरू न हो जाए। आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि आपके पास जो भी संख्याएँ होंगी, वे लगभग सही होंगी।

यदि आप प्रोग्रामिंग में नए हैं (या यदि आप भी हैं), तो अपने एक्सेल कौशल को गर्म करने के लिए यहां एक छोटा सा अभ्यास है। यदि आप एक गेम डिज़ाइनर हैं, तो एक्सेल कौशल कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होते हैं।

अब IF और RAND फ़ंक्शन आपके लिए बहुत उपयोगी होंगे। रैंड को मानों की आवश्यकता नहीं है, यह केवल 0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक दशमलव संख्या उत्पन्न करता है। हम आमतौर पर इसे फ़्लोर और प्लसस और माइनस के साथ जोड़कर पासे के एक रोल का अनुकरण करते हैं, जिसका मैंने पहले उल्लेख किया था। हालांकि, इस मामले में, हम केवल 10% मौका छोड़ रहे हैं कि कार्ड खेल छोड़ देगा, इसलिए हम केवल जांच सकते हैं कि क्या रैंड मान 0.1 से कम है और अब इसके बारे में चिंता न करें।

IF के तीन अर्थ हैं। क्रम में, वह स्थिति जो या तो सत्य है या नहीं, तो वह मान जो स्थिति के सत्य होने पर लौटाया जाता है, और यदि स्थिति गलत है तो वह मान जो लौटाया जाता है। तो निम्नलिखित फ़ंक्शन 5% समय और 0 अन्य 90% समय लौटाएगा:
= अगर (रैंड ()<0.1,5,0)

इस कमांड को सेट करने के कई तरीके हैं, लेकिन मैं इस फॉर्मूले का उपयोग उस सेल के लिए करूंगा जो पहले राउंड का प्रतिनिधित्व करता है, मान लीजिए कि यह सेल A1 है:

अगर (रैंड ()<0.1,0,-1)

यहां मैं एक नकारात्मक चर का उपयोग कर रहा हूं जिसका अर्थ है "इस कार्ड ने खेल नहीं छोड़ा है और अभी तक कोई संसाधन नहीं दिया है"। इसलिए यदि पहला राउंड समाप्त हो गया है और कार्ड चलन से बाहर है, तो A1 0 है; अन्यथा यह -1 है।

दूसरे दौर का प्रतिनिधित्व करने वाली अगली सेल के लिए:

आईएफ (ए 1> -1, ए 1, आईएफ (रैंड ())<0.1,5,-1))

इसलिए यदि पहला राउंड समाप्त हो गया और कार्ड ने तुरंत खेल छोड़ दिया, तो A1 0 (संसाधनों की संख्या) है और यह सेल बस उस मान को कॉपी कर लेगा। अन्यथा, A1 -1 है (कार्ड ने अभी तक खेल नहीं छोड़ा है), और यह सेल यादृच्छिक गति जारी रखता है: 10% समय यह संसाधनों की 5 इकाइयों को लौटाएगा, बाकी समय इसका मूल्य अभी भी -1 होगा . यदि हम इस फॉर्मूले को अतिरिक्त सेल पर लागू करते हैं, तो हमें अतिरिक्त राउंड मिलेंगे, और आप जिस भी सेल के साथ समाप्त करेंगे, आपको अंतिम परिणाम मिलेगा (या -1 यदि कार्ड ने आपके द्वारा खेले गए सभी राउंड के बाद गेम नहीं छोड़ा है)।

सेल की इस पंक्ति को लें, जो इस कार्ड के साथ एकमात्र राउंड है, और कुछ सौ (या हजारों) पंक्तियों को कॉपी और पेस्ट करें। हम शायद नहीं कर पाएंगे अनंतएक्सेल के लिए परीक्षण (तालिका में सीमित संख्या में सेल हैं), लेकिन कम से कम हम ज्यादातर मामलों को कवर कर सकते हैं। फिर एक सेल चुनें जहां आप सभी राउंड के परिणामों का औसत डालेंगे (एक्सेल कृपया इसके लिए AVERAGE() फ़ंक्शन प्रदान करता है)।

विंडोज़ पर, कम से कम आप सभी यादृच्छिक संख्याओं की पुनर्गणना करने के लिए F9 दबा सकते हैं। पहले की तरह, इसे कुछ बार करें और देखें कि क्या आपको मिलने वाले मान समान हैं। यदि स्प्रेड बहुत बड़ा है, तो रनों की संख्या को दोगुना करें और पुनः प्रयास करें।

अनसुलझी समस्याएं

यदि आपके पास प्रायिकता में डिग्री है और उपरोक्त समस्याएं आपके लिए बहुत आसान लगती हैं, तो यहां दो समस्याएं हैं जिन्हें मैं वर्षों से अपना सिर खुजला रहा हूं, लेकिन, अफसोस, मैं उन्हें हल करने के लिए गणित में अच्छा नहीं हूं। यदि आप अचानक समाधान जानते हैं, तो कृपया इसे यहां टिप्पणियों में पोस्ट करें, मैं इसे मजे से पढ़ूंगा।

अनसुलझी समस्या # 1: लॉटरीअंतर्राष्ट्रीय मुद्रा कोष

पहली अनसुलझी समस्या पिछला होमवर्क असाइनमेंट है। मैं आसानी से मोंटे कार्लो विधि (सी ++ या एक्सेल का उपयोग करके) का उपयोग कर सकता हूं और इस सवाल का जवाब सुनिश्चित कर सकता हूं कि "खिलाड़ी को कितने संसाधन प्राप्त होंगे", लेकिन मुझे नहीं पता कि गणितीय रूप से सटीक सिद्ध उत्तर कैसे प्रदान किया जाए (यह एक अनंत श्रृंखला है)। यदि आप उत्तर जानते हैं, तो इसे यहां पोस्ट करें... मोंटे कार्लो के बाद इसे जांचें, बिल्कुल।

अनसुलझी समस्या # 2: आकार अनुक्रम

यह कार्य (और फिर से यह इस ब्लॉग में हल किए गए कार्यों से बहुत आगे निकल जाता है) मुझे एक परिचित गेमर द्वारा 10 साल से अधिक समय पहले फेंक दिया गया था। वेगास में लाठी खेलते समय उन्होंने एक दिलचस्प विशेषता देखी: जब उन्होंने 8-डेक जूते से कार्ड निकाले, तो उन्होंने देखा दसएक पंक्ति में आंकड़े (एक आंकड़ा, या आंकड़ा कार्ड - 10, जोकर, राजा या रानी, ​​इसलिए 52 कार्ड के मानक डेक में उनमें से 16 हैं, इसलिए 416 कार्ड के जूते में उनमें से 128 हैं)। क्या प्रायिकता है कि इस जूते में कम से कमदस का एक क्रम या अधिकआंकड़े? आइए मान लें कि उन्हें यादृच्छिक क्रम में ईमानदारी से फेरबदल किया गया था। (या, यदि आप चाहें, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि कहीं नहीं मिलादस या अधिक अंकों का एक क्रम?)

हम कार्य को सरल बना सकते हैं। यहाँ 416 भागों का एक क्रम है। प्रत्येक भाग 0 या 1 है। पूरे क्रम में 128 वाले और 288 शून्य बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए हैं। 128 1s को 288 0s के साथ यादृच्छिक रूप से इंटरलीव करने के कितने तरीके हैं, और इन तरीकों से दस या अधिक 1s का कम से कम एक समूह कितनी बार होगा?

हर बार जब मैंने यह कार्य किया, तो यह मुझे आसान और स्पष्ट लग रहा था, लेकिन जैसे ही मैंने विवरण में प्रवेश किया, यह अचानक अलग हो गया और मुझे बस असंभव लग रहा था। तो उत्तर को अस्पष्ट करने के लिए जल्दी मत करो: बैठो, ध्यान से सोचो, समस्या की स्थितियों का अध्ययन करें, वास्तविक संख्या में प्लगिंग करने का प्रयास करें, क्योंकि मैंने इस समस्या के बारे में सभी लोगों से बात की (इस क्षेत्र में काम करने वाले कई स्नातक छात्रों सहित) लगभग उसी तरह से प्रतिक्रिया व्यक्त की: "यह बिल्कुल स्पष्ट है ... अरे नहीं, रुको, बिल्कुल स्पष्ट नहीं है।" यह वही मामला है जिसके लिए मेरे पास सभी विकल्पों की गणना करने की कोई विधि नहीं है। मैं निश्चित रूप से कंप्यूटर एल्गोरिदम के माध्यम से समस्या को बलपूर्वक बल दे सकता था, लेकिन इस समस्या को हल करने के गणितीय तरीके को जानना अधिक दिलचस्प होगा।

अनुवाद - वाई। तकाचेंको, आई। मिखेवा

आइंस्टीन के इस कथन कि ईश्वर ब्रह्मांड के साथ पासा नहीं खेलता है, की गलत व्याख्या की गई है

आइंस्टीन के कुछ वाक्यांशों को उनकी टिप्पणी के रूप में व्यापक रूप से उद्धृत किया गया है कि भगवान ब्रह्मांड के साथ पासा नहीं खेलते हैं। लोग स्वाभाविक रूप से उनकी इस मजाकिया टिप्पणी को प्रमाण के रूप में लेते हैं कि वे क्वांटम यांत्रिकी के हठधर्मिता के विरोधी थे, जो यादृच्छिकता को भौतिक दुनिया की एक विशेषता मानता है। जब एक रेडियोधर्मी तत्व का नाभिक क्षय होता है, तो यह अनायास होता है, ऐसा कोई नियम नहीं है जो आपको यह बताए कि यह कब और क्यों होगा। जब प्रकाश का कोई कण पारभासी दर्पण पर पड़ता है, तो वह या तो उससे परावर्तित हो जाता है या उससे होकर गुजरता है। परिणाम उस क्षण तक कुछ भी हो सकता है जब यह घटना घटी। और इस तरह की प्रक्रिया को देखने के लिए आपको प्रयोगशाला में जाने की आवश्यकता नहीं है: कई इंटरनेट साइटें गीजर काउंटरों या क्वांटम ऑप्टिक्स उपकरणों द्वारा उत्पन्न यादृच्छिक संख्याओं की धाराएं दिखाती हैं। सैद्धांतिक रूप से भी अप्रत्याशित होने के कारण, ऐसे नंबर क्रिप्टोग्राफी, सांख्यिकी और ऑनलाइन पोकर टूर्नामेंट के लिए आदर्श होते हैं।

आइंस्टीन, जैसा कि मानक किंवदंती है। इस तथ्य को स्वीकार करने से इंकार कर दिया कि कुछ घटनाएं उनके स्वभाव के कारण अनिश्चित होती हैं। - वे बस हो जाते हैं और इसका पता लगाने के लिए कुछ नहीं किया जा सकता है। लगभग शानदार अलगाव में रहते हुए, बराबरी से घिरे हुए, वह दोनों हाथों से शास्त्रीय भौतिकी के यांत्रिक ब्रह्मांड से चिपके रहे, यांत्रिक रूप से मापने वाले सेकंड, जिसमें प्रत्येक क्षण पूर्व निर्धारित करता है कि अगले में क्या होगा। पासा रेखा उनके जीवन के दूसरे पक्ष का संकेत बन गई: एक क्रांतिकारी प्रतिक्रियावादी की त्रासदी जिसने अपने सापेक्षता के सिद्धांत के साथ भौतिकी में क्रांति ला दी, लेकिन - जैसा कि नील्स बोहर ने कूटनीतिक रूप से कहा - क्वांटम सिद्धांत का सामना करना पड़ा, "रात के खाने के लिए छोड़ दिया।"

हालांकि, वर्षों से, कई इतिहासकारों, दार्शनिकों और भौतिकविदों ने कहानी की इस व्याख्या पर सवाल उठाया है। आइंस्टीन ने वास्तव में जो कुछ भी कहा था, उसके समुद्र में डुबकी लगाते हुए, उन्होंने पाया कि अप्रत्याशितता के बारे में उनके निर्णय आमतौर पर चित्रित किए जाने की तुलना में अधिक कट्टरपंथी और अधिक बारीक थे। नॉट्रे डेम विश्वविद्यालय के इतिहासकार डॉन हॉवर्ड (डॉन ए हावर्ड) कहते हैं, "सच्ची कहानी को खोदने की कोशिश करना एक मिशनरी बन जाता है।" "यह आश्चर्यजनक है जब आप अभिलेखागार में जाते हैं और आम तौर पर एक विसंगति देखते हैं स्वीकृत विचार।" जैसा कि उन्होंने और विज्ञान के अन्य इतिहासकारों ने दिखाया है, आइंस्टीन ने क्वांटम यांत्रिकी की गैर-नियतात्मक प्रकृति को पहचाना - जो आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि यह वह था जिसने इसकी अनिश्चितता की खोज की थी। उन्होंने जो कभी स्वीकार नहीं किया वह यह है कि अनिश्चितता प्रकृति में मौलिक है। यह सब इंगित करता है कि समस्या वास्तविकता के गहरे स्तर पर उत्पन्न होती है, जिसे सिद्धांत प्रतिबिंबित नहीं करता था। उनकी आलोचना रहस्यमय नहीं थी, बल्कि विशिष्ट वैज्ञानिक समस्याओं पर केंद्रित थी जो आज तक अनसुलझी हैं।

यह सवाल कि क्या ब्रह्मांड एक घड़ी की कल की घड़ी है या एक पासा तालिका है, जो हमें लगता है कि भौतिकी की नींव को कमजोर करती है: सरल नियमों की खोज जो प्रकृति की आश्चर्यजनक विविधता को रेखांकित करती है। यदि बिना किसी कारण के कुछ होता है, तो यह तर्कसंगत पूछताछ को समाप्त कर देता है। मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के एक ब्रह्मांड विज्ञानी एंड्रयू एस फ्राइडमैन ने कहा, "मौलिक अनिश्चितता का मतलब विज्ञान का अंत होगा।" फिर भी पूरे इतिहास में दार्शनिकों ने माना है कि मानव स्वतंत्र इच्छा के लिए अनिश्चितता एक आवश्यक शर्त है। या तो हम सभी घड़ी की कल के गियर हैं, और इसलिए हम जो कुछ भी करते हैं वह पूर्व निर्धारित है, या हम अपने स्वयं के भाग्य के एजेंट हैं, इस मामले में ब्रह्मांड अभी भी नियतात्मक नहीं होना चाहिए।

जिस तरह से समाज लोगों को उनके कार्यों के लिए जवाबदेह ठहराता है, इस द्विभाजन के बहुत वास्तविक परिणाम हुए हैं। हमारी कानूनी प्रणाली स्वतंत्र इच्छा की धारणा पर आधारित है; प्रतिवादी को दोषी पाए जाने के लिए, उसने इरादे से काम किया होगा। अदालतें लगातार इस सवाल पर पहेली बनाती हैं: क्या होगा अगर कोई व्यक्ति पागलपन, युवा आवेग या सड़े हुए सामाजिक वातावरण के कारण निर्दोष है?

हालांकि, जब भी लोग द्विभाजन के बारे में बात करते हैं, तो वे इसे एक गलत धारणा के रूप में उजागर करने की कोशिश करते हैं। वास्तव में, कई दार्शनिकों का मानना ​​है कि इस बारे में बात करना व्यर्थ है कि ब्रह्मांड नियतात्मक है या गैर-नियतात्मक। यह दोनों हो सकता है, इस पर निर्भर करता है कि अध्ययन का विषय कितना बड़ा या जटिल है: कण, परमाणु, अणु, कोशिकाएं, जीव, मानस, समुदाय। लंदन स्कूल ऑफ इकोनॉमिक्स एंड पॉलिटिकल साइंस के एक दार्शनिक क्रिश्चियन लिस्ट कहते हैं, "नियतत्ववाद और अनिश्चितता के बीच का अंतर समस्या के अध्ययन के स्तर के आधार पर एक अंतर है," भले ही आप किसी विशेष स्तर पर नियतत्ववाद का निरीक्षण करें, यह है उच्च और निम्न दोनों स्तरों पर अनिश्चितता के साथ काफी संगत है।" हमारे मस्तिष्क में परमाणु पूरी तरह से नियतात्मक तरीके से व्यवहार कर सकते हैं, जबकि हमें अभी भी परमाणुओं और अंगों के रूप में कार्य करने के लिए विभिन्न स्तरों पर कार्य करने के लिए स्वतंत्र छोड़ देते हैं।

इसी तरह, आइंस्टीन एक नियतात्मक सबक्वांटम स्तर की तलाश में थे, जबकि साथ ही इस बात से इनकार नहीं कर रहे थे कि क्वांटम स्तर संभाव्य है।

आइंस्टीन ने किस पर आपत्ति की थी?

आइंस्टीन ने एंटी-क्वांटम थ्योरी का लेबल कैसे अर्जित किया यह लगभग एक रहस्य है जो लगभग क्वांटम यांत्रिकी जितना ही बड़ा है। क्वांटम की अवधारणा - ऊर्जा की एक असतत इकाई - 1905 में उनके प्रतिबिंबों का फल थी, और डेढ़ दशक तक उन्होंने लगभग अकेले ही इसका बचाव किया। आइंस्टीन ने सुझाव दिया था। जिसे भौतिक विज्ञानी आज क्वांटम भौतिकी की मुख्य विशेषताएं मानते हैं, जैसे कि प्रकाश की एक कण और एक तरंग के रूप में कार्य करने की अजीब क्षमता, और यह तरंग भौतिकी पर उनके प्रतिबिंबों से था कि इरविन श्रोडिंगर ने क्वांटम का सबसे व्यापक रूप से स्वीकृत सूत्रीकरण विकसित किया। 1920 के दशक में सिद्धांत। आइंस्टीन संयोग के विरोधी भी नहीं थे। 1916 में, उन्होंने दिखाया कि जब परमाणु फोटॉन उत्सर्जित करते हैं, तो उत्सर्जन का समय और दिशा यादृच्छिक चर होते हैं।

"यह संभाव्य दृष्टिकोण के विपरीत आइंस्टीन के लोकप्रिय चित्रण के खिलाफ जाता है," हेलसिंकी विश्वविद्यालय के जन वॉन प्लेटो का तर्क है। लेकिन आइंस्टीन और उनके समकालीनों को एक गंभीर समस्या का सामना करना पड़ा। क्वांटम घटनाएं यादृच्छिक हैं, लेकिन क्वांटम सिद्धांत स्वयं नहीं है। श्रोडिंगर समीकरण 100% नियतात्मक है। यह तथाकथित तरंग फ़ंक्शन का उपयोग करके एक कण या कणों की एक प्रणाली का वर्णन करता है, जो कणों की तरंग प्रकृति का उपयोग करता है और तरंग-समान पैटर्न की व्याख्या करता है जो कणों का एक संग्रह बनाता है। समीकरण भविष्यवाणी करता है कि किसी भी समय पूरी निश्चितता के साथ तरंग फ़ंक्शन का क्या होगा। कई मायनों में, यह समीकरण न्यूटन के गति के नियमों की तुलना में अधिक नियतात्मक है: यह विलक्षणता (जहां मात्रा अनंत हो जाती है और इसलिए अवर्णनीय हो जाती है) या अराजकता (जहां गति अप्रत्याशित हो जाती है) जैसे भ्रम पैदा नहीं करती है।

पकड़ यह है कि श्रोडिंगर समीकरण का नियतत्ववाद तरंग फ़ंक्शन का नियतत्ववाद है, और कणों के स्थान और वेग के विपरीत, तरंग फ़ंक्शन को सीधे नहीं देखा जा सकता है। इसके बजाय, तरंग फ़ंक्शन उन परिमाणों को निर्धारित करता है जिन्हें देखा जा सकता है और प्रत्येक संभावित परिणामों की संभावना। सिद्धांत इस सवाल को खुला छोड़ देता है कि तरंग स्वयं क्या कार्य करती है और क्या इसे सचमुच हमारी भौतिक दुनिया में एक वास्तविक लहर के रूप में लिया जाना चाहिए। तदनुसार, निम्नलिखित प्रश्न खुला रहता है: क्या देखी गई यादृच्छिकता प्रकृति की एक अंतर्निहित आंतरिक संपत्ति है या सिर्फ इसका मुखौटा है? "यह दावा किया जाता है कि क्वांटम यांत्रिकी गैर-नियतात्मक है, लेकिन यह बहुत जल्दबाजी में निष्कर्ष है," स्विट्जरलैंड में जिनेवा विश्वविद्यालय के दार्शनिक क्रिश्चियन वुथ्रिच कहते हैं।

क्वांटम सिद्धांत की नींव रखने वाले अग्रदूतों में से एक वर्नर हाइजेनबर्ग ने संभावित अस्तित्व की धुंध के रूप में तरंग कार्य की कल्पना की। यदि यह स्पष्ट रूप से और स्पष्ट रूप से इंगित करना संभव नहीं है कि कण कहाँ है, तो ऐसा इसलिए है क्योंकि कण वास्तव में किसी विशेष स्थान पर कहीं भी स्थित नहीं है। केवल जब आप किसी कण को ​​देखते हैं तो वह अंतरिक्ष में कहीं भौतिक होता है। तरंग फ़ंक्शन को अंतरिक्ष के एक विशाल क्षेत्र में फैलाया जा सकता है, लेकिन जैसे ही एक अवलोकन किया जाता है, यह तुरंत ढह जाता है, एक विशिष्ट स्थान में स्थित एक संकीर्ण बिंदु में सिकुड़ जाता है, और अचानक एक कण वहां दिखाई देता है। लेकिन जब आप कण को ​​​​देखते हैं, तब भी धमाका होता है! - यह अचानक निश्चित रूप से व्यवहार करना बंद कर देता है और अंतिम स्थिति में कूद जाता है, जैसे कोई बच्चा "म्यूजिकल चेयर" के खेल में कुर्सी पकड़ता है। (खेल में यह तथ्य शामिल है कि बच्चे कुर्सियों के चारों ओर संगीत के लिए एक गोल नृत्य में चलते हैं, जिसकी संख्या खिलाड़ियों की संख्या से एक कम है, और जैसे ही संगीत बंद हो जाता है, एक खाली सीट पर बैठने की कोशिश करें)।

इस पतन को नियंत्रित करने वाला कोई कानून नहीं है। इसके लिए कोई समीकरण नहीं है। ऐसा ही होता है - बस इतना ही! पतन कोपेनहेगन व्याख्या का एक प्रमुख तत्व बन गया: शहर के नाम पर क्वांटम यांत्रिकी का एक दृश्य जहां बोहर और उनके संस्थान ने हाइजेनबर्ग के साथ, अधिकांश मौलिक कार्य किया। (विडंबना यह है कि बोह्र ने स्वयं तरंग समारोह के पतन को कभी नहीं पहचाना।) कोपेनहेगन स्कूल क्वांटम भौतिकी की देखी गई यादृच्छिकता को इसकी नाममात्र की विशेषता मानता है, आगे की व्याख्या के लिए उत्तरदायी नहीं है। अधिकांश भौतिक विज्ञानी इससे सहमत हैं, इसका एक कारण मनोविज्ञान से ज्ञात तथाकथित एंकर प्रभाव है, या एंकरिंग प्रभाव: यह पूरी तरह से संतोषजनक व्याख्या है, और यह पहले दिखाई दिया। हालांकि आइंस्टीन क्वांटम यांत्रिकी के विरोधी नहीं थे, लेकिन वे निश्चित रूप से इसकी कोपेनहेगन व्याख्या के विरोधी थे। उन्होंने इस विचार से शुरुआत की कि माप के कार्य से भौतिक प्रणाली के निरंतर विकास में बाधा उत्पन्न होती है, और इसी संदर्भ में उन्होंने दैवीय पासा-ढलाई के विरोध को व्यक्त करना शुरू किया। हॉवर्ड का तर्क है, "यह ठीक इसी बिंदु पर है कि आइंस्टीन ने 1926 में अफसोस जताया था, न कि नियतत्ववाद के संपूर्ण आध्यात्मिक दावे पर एक बिल्कुल आवश्यक शर्त के रूप में।"

वास्तविकता की बहुलता।और फिर भी, दुनिया नियतात्मक है या नहीं? इस प्रश्न का उत्तर न केवल गति के मूल नियमों पर निर्भर करता है, बल्कि उस स्तर पर भी निर्भर करता है जिस पर हम प्रणाली का वर्णन करते हैं। एक गैस में पाँच परमाणुओं पर विचार करें जो नियतात्मक रूप से गतिमान हैं (ऊपरी आरेख)। वे लगभग एक ही स्थान से शुरू होते हैं और धीरे-धीरे अलग हो जाते हैं। हालांकि, मैक्रोस्कोपिक स्तर (निचले आरेख) पर, यह व्यक्तिगत परमाणु नहीं हैं जो दिखाई दे रहे हैं, बल्कि गैस में एक अनाकार प्रवाह है। कुछ समय बाद, गैस को कई धाराओं में बेतरतीब ढंग से वितरित किया जाएगा। मैक्रो स्तर पर यह यादृच्छिकता सूक्ष्म स्तर के नियमों के पर्यवेक्षक की अज्ञानता का उप-उत्पाद है, यह प्रकृति का एक उद्देश्य गुण है जो परमाणुओं के एक साथ आने के तरीके को दर्शाता है। इसी तरह, आइंस्टीन ने माना कि ब्रह्मांड की नियतात्मक आंतरिक संरचना क्वांटम दायरे की संभाव्य प्रकृति की ओर ले जाती है।

पतन एक वास्तविक प्रक्रिया होने की संभावना नहीं है, आइंस्टीन ने तर्क दिया। इसके लिए कुछ दूरी पर तात्कालिक कार्रवाई की आवश्यकता होगी, एक रहस्यमय तंत्र जिससे, कहते हैं, तरंग कार्य के बाएँ और दाएँ दोनों पक्ष एक ही छोटे बिंदु में ढह जाते हैं, तब भी जब कोई बल उनके व्यवहार का समन्वय नहीं कर रहा हो। केवल आइंस्टीन ही नहीं, बल्कि अपने समय में हर भौतिक विज्ञानी का मानना ​​था कि ऐसी प्रक्रिया असंभव थी, इसे प्रकाश की गति से भी तेज होना होगा, जो कि सापेक्षता के सिद्धांत के साथ स्पष्ट विरोधाभास है। वास्तव में, क्वांटम यांत्रिकी आपको केवल पासा नहीं देता है, यह आपको पासा के जोड़े देता है जो हमेशा एक ही चेहरे के साथ आते हैं, भले ही आप एक वेगास में और दूसरे को वेगा में रोल करते हैं। आइंस्टीन के लिए, यह स्पष्ट लग रहा था कि पासा लोड किया जाना चाहिए, जिससे आप रोल के परिणाम को पहले से छिपे हुए तरीके से प्रभावित कर सकें। लेकिन कोपेनहेगन स्कूल ऐसी किसी भी संभावना से इनकार करता है, यह सुझाव देते हुए कि पोर वास्तव में अंतरिक्ष के विशाल विस्तार में एक दूसरे को तुरंत प्रभावित करते हैं। इसके अलावा, आइंस्टीन उस शक्ति के बारे में चिंतित थे जिसे कोपेनहेगनर्स ने माप के कार्य के लिए जिम्मेदार ठहराया था। वैसे भी माप क्या है? हो सकता है कि यह ऐसा कुछ है जो केवल संवेदनशील प्राणी ही कर सकते हैं, या यहां तक ​​​​कि कार्यरत प्रोफेसर भी कर सकते हैं? हाइजेनबर्ग और कोपेनहेगन स्कूल के अन्य प्रतिनिधियों ने इस अवधारणा को कभी निर्दिष्ट नहीं किया। कुछ लोगों ने सुझाव दिया है कि हम इसे देखने के कार्य में अपने दिमाग में आसपास की वास्तविकता का निर्माण करते हैं, एक ऐसा विचार जो काव्यात्मक लगता है, शायद बहुत काव्यात्मक भी। आइंस्टीन ने यह भी सोचा कि यह कोपेनहेगन अहंकार की ऊंचाई थी कि क्वांटम यांत्रिकी पूर्ण है, यह अंतिम सिद्धांत है जिसे कभी भी दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जाएगा। उन्होंने अपने स्वयं के सहित सभी सिद्धांतों को कुछ और भी बड़ा पुल माना।

वास्तव में। हॉवर्ड का तर्क है कि आइंस्टीन को अनिश्चितता को स्वीकार करने में खुशी होगी यदि उन्हें अपनी सभी समस्याओं के उत्तर मिल सकते हैं जिन्हें हल करने की आवश्यकता है - उदाहरण के लिए, कोई स्पष्ट रूप से बता सकता है कि माप क्या है और कण लंबी दूरी की कार्रवाई के बिना कैसे सिंक्रनाइज़ रह सकते हैं। एक संकेत है कि आइंस्टीन ने अनिश्चितता को एक माध्यमिक समस्या के रूप में माना है कि उन्होंने कोपेनहेगन स्कूल के नियतात्मक विकल्पों पर वही मांग की और उन्हें खारिज कर दिया। एक अन्य इतिहासकार, वाशिंगटन विश्वविद्यालय के आर्थर फाइन। विश्वास करता है। हॉवर्ड ने आइंस्टीन की अनिश्चितता की संवेदनशीलता को बढ़ा-चढ़ाकर पेश किया, लेकिन इस बात से सहमत हैं कि उनके निर्णय पासा के खेल के बारे में उनके बयानों के स्क्रैप के आधार पर भौतिकविदों की कई पीढ़ियों की तुलना में एक मजबूत नींव पर आधारित हैं।

एकाएक विचार

यदि आप कोपेनहेगन स्कूल के पक्ष में रस्साकशी लेते हैं, तो आइंस्टीन का मानना ​​​​था, आप पाएंगे कि क्वांटम विकार भौतिकी में अन्य सभी प्रकार के विकार की तरह है: यह गहरी अंतर्दृष्टि का उत्पाद है। आइंस्टीन का मानना ​​​​था कि प्रकाश की किरण में छोटे धूल कणों का नृत्य अणुओं की जटिल गति को धोखा देता है, और फोटॉन का उत्सर्जन या नाभिक का रेडियोधर्मी क्षय एक समान प्रक्रिया है। उनकी राय में, क्वांटम यांत्रिकी एक मूल्यांकन सिद्धांत है जो प्रकृति के निर्माण खंडों के सामान्य व्यवहार को व्यक्त करता है, लेकिन व्यक्तिगत विवरणों को पकड़ने के लिए पर्याप्त संकल्प नहीं है।

एक गहरा, अधिक संपूर्ण सिद्धांत पूरी तरह से आंदोलन की व्याख्या करेगा - बिना किसी रहस्यमय छलांग के। इस दृष्टिकोण से, वेव फंक्शन एक सामूहिक विवरण है, एक बयान के रूप में कि एक नियमित पासा, यदि इसे कई बार उछाला जाता है, तो इसके प्रत्येक पक्ष पर समान संख्या में बार गिरेगा। तरंग कार्य का पतन एक भौतिक प्रक्रिया नहीं है, बल्कि ज्ञान का अधिग्रहण है। यदि आप एक छह-पक्षीय पासे को रोल करते हैं और यह ऊपर आता है, तो कहें, एक चार, विकल्पों की श्रेणी एक से छह सिकुड़ती है, या आप कह सकते हैं, "चार" के वास्तविक मूल्य तक गिर जाता है। एक ईश्वर जैसा दानव जो एक पासे के परिणाम को प्रभावित करने वाली परमाणु संरचना के विवरण को ट्रैक कर सकता है (यानी यह मापें कि आपका हाथ टेबल से टकराने से पहले डाई को कैसे धक्का देता है और स्पिन करता है) कभी भी पतन के बारे में बात नहीं करेगा।

आइंस्टीन के अंतर्ज्ञान को आणविक गति के सामूहिक प्रभाव पर उनके प्रारंभिक कार्य द्वारा प्रबलित किया गया था, जिसे सांख्यिकीय यांत्रिकी नामक भौतिकी के एक क्षेत्र में अध्ययन किया गया था, जिसमें उन्होंने दिखाया कि भौतिकी संभाव्य हो सकती है, भले ही घटनाएं नियतात्मक वास्तविकता पर आधारित हों। 1935 में, आइंस्टीन ने दार्शनिक कार्ल पॉपर को लिखा: "मुझे नहीं लगता कि आप अपने इस दावे में सही हैं कि नियतात्मक सिद्धांत के आधार पर सांख्यिकीय निष्कर्ष निकालना असंभव है। उदाहरण के लिए, शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी (गैसों का सिद्धांत या ब्राउनियन गति का सिद्धांत)।" आइंस्टीन की समझ में संभावनाएं उतनी ही वास्तविक थीं जितनी कोपेनहेगन स्कूल की व्याख्या में। गति के मौलिक नियमों में प्रकट, वे आसपास की दुनिया के अन्य गुणों को दर्शाते हैं, वे केवल मानवीय अज्ञानता की कलाकृतियाँ नहीं हैं। आइंस्टाइन ने पॉपर को एक उदाहरण के रूप में एक कण पर विचार करने का सुझाव दिया जो एक स्थिर गति से एक सर्कल में चलता है; एक वृत्ताकार चाप के किसी दिए गए खंड में एक कण के मिलने की संभावना उसके प्रक्षेपवक्र की समरूपता को दर्शाती है। इसी तरह, किसी दिए गए चेहरे पर मरने की संभावना एक-छठा है क्योंकि इसके छह समान चेहरे हैं। हॉवर्ड कहते हैं, "उन्होंने उस समय सबसे बेहतर समझा कि महत्वपूर्ण भौतिकी सांख्यिकीय-यांत्रिक संभाव्यता के विवरण में निहित है।"

सांख्यिकीय यांत्रिकी का एक और सबक यह था कि हम जिन मात्राओं का निरीक्षण करते हैं, वे जरूरी नहीं कि गहरे स्तर पर मौजूद हों। उदाहरण के लिए, एक गैस का तापमान होता है, लेकिन एक गैस अणु के तापमान के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है। सादृश्य से, आइंस्टीन का मानना ​​​​था कि क्वांटम यांत्रिकी से एक कट्टरपंथी विराम को दर्शाने के लिए एक उप-सिद्धांत सिद्धांत की आवश्यकता थी। 1936 में उन्होंने लिखा: "इसमें कोई संदेह नहीं है कि क्वांटम यांत्रिकी ने सत्य के सुंदर तत्व को पकड़ लिया है<...>हालांकि, मुझे विश्वास नहीं है कि क्वांटम यांत्रिकी इस नींव की खोज में शुरुआती बिंदु होगा, न ही, इसके विपरीत, कोई थर्मोडायनामिक्स (क्रमशः सांख्यिकीय यांत्रिकी) से यांत्रिकी की नींव तक नहीं जा सकता है। "इस गहरे स्तर को भरने के लिए, आइंस्टीन एक एकीकृत सिद्धांत की दिशा में खोज का नेतृत्व किया एक ऐसा क्षेत्र जिसमें कण संरचनाओं के व्युत्पन्न हैं जो कणों की तरह बिल्कुल नहीं हैं। संक्षेप में, आइंस्टीन ने क्वांटम भौतिकी की संभाव्य प्रकृति को स्वीकार करने से इनकार कर दिया पारंपरिक ज्ञान गलत है। उन्होंने कोशिश की यादृच्छिकता की व्याख्या करें, यह प्रकट न करें कि यह बिल्कुल भी मौजूद नहीं है।

अपने स्तर को सर्वश्रेष्ठ बनाएं

हालांकि आइंस्टीन की एकीकृत सिद्धांत परियोजना विफल रही, यादृच्छिकता के लिए उनके सहज दृष्टिकोण के मूल सिद्धांत अभी भी सही हैं: नियतत्ववाद से अनिश्चितता उत्पन्न हो सकती है। क्वांटम और सबक्वांटम स्तर - या प्रकृति के पदानुक्रम में किसी भी अन्य जोड़ी के स्तर - विभिन्न प्रकार की संरचनाओं से बने होते हैं, इसलिए वे विभिन्न प्रकार के कानूनों का पालन करते हैं। एक स्तर को नियंत्रित करने वाला कानून स्वाभाविक रूप से अवसर के एक तत्व की अनुमति दे सकता है, भले ही निचले स्तर के कानून पूरी तरह से विनियमित हों। कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के दार्शनिक जेरेमी बटरफील्ड कहते हैं, "नियतात्मक सूक्ष्मभौतिकी नियतात्मक मैक्रोफिज़िक्स को जन्म नहीं देती है।"

परमाणु स्तर पर एक पासे की कल्पना करें। एक घन अकल्पनीय रूप से बड़ी संख्या में परमाणु विन्यास से बना हो सकता है जो एक दूसरे से नग्न आंखों से पूरी तरह से अप्रभेद्य हैं। यदि आप डाई घूमते समय इनमें से किसी भी विन्यास का पालन करते हैं, तो यह एक विशिष्ट परिणाम की ओर ले जाएगा - सख्ती से नियतात्मक। कुछ कॉन्फ़िगरेशन में, शीर्ष चेहरे पर एक बिंदु के साथ पासा रुक जाएगा, अन्य में यह दो के साथ रुक जाएगा। आदि। इसलिए, एक एकल मैक्रोस्कोपिक स्थिति (यदि आप क्यूब स्पिन बनाते हैं) से कई संभावित मैक्रोस्कोपिक परिणाम हो सकते हैं (छह चेहरों में से एक शीर्ष पर होगा)। "अगर हम मैक्रो स्तर पर एक मरने का वर्णन करते हैं, तो हम इसे एक स्टोकेस्टिक सिस्टम के रूप में सोच सकते हैं जो उद्देश्य यादृच्छिकता की अनुमति देता है, " लिज़्ट कहते हैं, जो फ्रांस में यूनिवर्सिटी ऑफ सेर्गी-पोंटोइज़ के गणितज्ञ मार्कस पिवाटो के साथ स्तर संयोग का अध्ययन करता है।

हालांकि उच्च स्तर निचले स्तर पर बनता है, यह स्वायत्त है। पासा का वर्णन करने के लिए, किसी को उस स्तर पर काम करना होगा जिस पर पासा मौजूद है, और जब आप ऐसा करते हैं, तो आप मदद नहीं कर सकते लेकिन परमाणुओं और उनकी गतिशीलता की उपेक्षा कर सकते हैं। यदि आप एक स्तर को दूसरे के साथ क्रॉस-ब्रीड करते हैं, तो आप एक श्रेणी प्रतिस्थापन चाल कर रहे हैं: यह सैल्मन सैंडविच की राजनीतिक संबद्धता के बारे में पूछने जैसा है (कोलंबिया विश्वविद्यालय के दार्शनिक डेविड अल्बर्ट के उदाहरण का उपयोग करने के लिए)। "जब हमारे पास एक घटना होती है जिसे विभिन्न स्तरों पर वर्णित किया जा सकता है, तो हमें वैचारिक रूप से बहुत सावधान रहना होगा कि स्तरों को न मिलाएं," सूची कहती है। इस कारण से, डाई रोल का परिणाम केवल यादृच्छिक नहीं दिखता है। यह वास्तव में यादृच्छिक है। एक ईश्वरीय दानव घमंड कर सकता है कि वह जानता है कि वास्तव में क्या होगा, लेकिन वह केवल यह जानता है कि परमाणुओं का क्या होगा। वह पासा क्या है, इस पर भी संदेह नहीं करता, क्योंकि यह एक उच्च स्तर की जानकारी है। दानव कभी जंगल नहीं देखता, सिर्फ पेड़ देखता है। वह अर्जेंटीना के लेखक जॉर्ज लुइस बोर्गेस की कहानी के नायक की तरह है "स्मृति को याद करता है" - एक ऐसा व्यक्ति जो सब कुछ याद रखता है, लेकिन कुछ भी समझ नहीं पाता है। "सोचने के लिए अंतर को भूलना, सामान्यीकरण करना, अमूर्त करना है," बोर्गेस लिखते हैं। दानव को यह जानने के लिए कि पासा किस तरफ गिरेगा, यह बताना आवश्यक है कि क्या देखना है। "एक दानव के लिए यह समझने का एकमात्र तरीका है कि शीर्ष स्तर पर क्या हो रहा है यदि आप इसे विस्तृत विवरण देते हैं कि हम स्तरों के बीच की सीमा को कैसे परिभाषित करते हैं," सूची कहती है। दरअसल, इसके बाद शायद दानव को ईर्ष्या हो जाएगी कि हम नश्वर हैं।

स्तरों का तर्क भी ठीक विपरीत दिशा में काम करता है। गैर-नियतात्मक सूक्ष्मभौतिकी नियतात्मक मैक्रोफिज़िक्स को जन्म दे सकती है। एक बेसबॉल कणों से बनाया जा सकता है जो अराजक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, लेकिन इसकी उड़ान पूरी तरह से अनुमानित है; क्वांटम यादृच्छिकता, औसत। गायब हो जाता है। इसी तरह, गैसें अणुओं से बनी होती हैं जो अत्यंत जटिल - और वास्तव में गैर-नियतात्मक - गतियों में चलती हैं, लेकिन उनका तापमान और अन्य गुण ऐसे नियमों का पालन करते हैं जो दो और दो के समान सरल हैं। अधिक अनुमान के अनुसार, स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी के रॉबर्ट लाफलिन जैसे कुछ भौतिकविदों का सुझाव है कि नीचे का स्तर बिल्कुल भी मायने नहीं रखता। निर्माण खंड कुछ भी हो सकते हैं और फिर भी उनका सामूहिक व्यवहार वही रहेगा। आखिरकार, पानी के अणुओं, आकाशगंगा में तारे और फ्रीवे पर कारों जैसे विविध सिस्टम द्रव प्रवाह के समान नियमों का पालन करते हैं।

आखिरकार मुक्त हुआ

जब आप स्तरों के संदर्भ में सोचते हैं, तो यह चिंता कि अनिश्चितता विज्ञान के अंत को चिह्नित कर सकती है, गायब हो जाती है। हमारे चारों ओर कोई ऊंची दीवार नहीं है, जो ब्रह्मांड के हमारे कानून-पालन करने वाले टुकड़े को अराजकता-प्रवण और इसके समझ से बाहर बाकी हिस्सों से बचाती है। वास्तव में, दुनिया नियतिवाद और अनिश्चितता का एक परतदार केक है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की जलवायु, न्यूटन के गति के नियतात्मक नियमों द्वारा शासित होती है, लेकिन मौसम का पूर्वानुमान संभाव्य है, जबकि मौसमी और दीर्घकालिक जलवायु रुझान एक बार फिर अनुमानित हैं। जीवविज्ञान भी नियतात्मक भौतिकी का अनुसरण करता है, लेकिन जीवों और पारिस्थितिक तंत्रों को विवरण के अन्य तरीकों की आवश्यकता होती है, जैसे कि डार्विनियन विकास। टफ्ट्स विश्वविद्यालय के दार्शनिक डैनियल डेनेट कहते हैं, "निर्धारणवाद पूरी तरह से सब कुछ नहीं समझाता है। जिराफ क्यों दिखाई दिए? क्योंकि किसने निर्धारित किया: ऐसा ही हो?"

इस लेयर केक के अंदर लोग आपस में जुड़े हुए हैं। हमारे पास स्वतंत्र इच्छा की एक शक्तिशाली भावना है। हम अक्सर अप्रत्याशित और अधिकतर महत्वपूर्ण निर्णय लेते हैं, हम समझते हैं कि हम अलग तरीके से कर सकते थे (और अक्सर खेद है कि हमने नहीं किया)। सहस्राब्दियों से, तथाकथित स्वतंत्रतावादी, स्वतंत्र इच्छा के दार्शनिक सिद्धांत के समर्थक (राजनीतिक आंदोलन के साथ भ्रमित नहीं होना!), ने तर्क दिया है कि व्यक्ति की स्वतंत्रता को कण की स्वतंत्रता की आवश्यकता होती है। कुछ को घटनाओं के नियतात्मक पाठ्यक्रम को नष्ट करना चाहिए, जैसे कि क्वांटम यादृच्छिकता या "विचलन", जैसा कि कुछ प्राचीन दार्शनिकों का मानना ​​​​था, परमाणु अपने आंदोलन के दौरान अनुभव कर सकते हैं (अपने मूल प्रक्षेपवक्र से एक परमाणु के यादृच्छिक अप्रत्याशित विचलन की अवधारणा को पेश किया गया था) एपिकुरस के परमाणु सिद्धांत की रक्षा के लिए ल्यूक्रेटियस द्वारा प्राचीन दर्शन)।

इस तर्क के साथ मुख्य समस्या यह है कि यह कणों को मुक्त करता है लेकिन हमें दास के रूप में छोड़ देता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपका निर्णय बिग बैंग के समय पूर्व निर्धारित था या एक छोटे से कण द्वारा, यह अभी भी आपका निर्णय नहीं है। मुक्त होने के लिए, हमें कण स्तर पर नहीं, बल्कि मानवीय स्तर पर अनिश्चितता की आवश्यकता है। और यह संभव है क्योंकि मानव स्तर और कण स्तर एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। यहां तक ​​​​कि अगर आप जो कुछ भी करते हैं वह पहले चरण में वापस खोजा जा सकता है, तो आप अपने कार्यों के स्वामी हैं, क्योंकि न तो आप और न ही आपके कार्य पदार्थ के स्तर पर मौजूद हैं, बल्कि केवल चेतना के स्थूल स्तर पर हैं। बटरफील्ड ने कहा, "सूक्ष्म निर्धारणवाद पर आधारित यह मैक्रोइंडेटर्मिनिज्म शायद स्वतंत्र इच्छा की गारंटी देता है।" मैक्रोनियतत्ववाद आपके निर्णयों का कारण नहीं है। यह आपका निर्णय है।

कुछ शायद आपत्ति करेंगे और आपको बताएंगे कि आप अभी भी कठपुतली हैं, और प्रकृति के नियम कठपुतली के रूप में कार्य करते हैं, और यह कि आपकी स्वतंत्रता एक भ्रम से ज्यादा कुछ नहीं है। लेकिन "भ्रम" शब्द ही रेगिस्तान में मृगतृष्णा और आधे में देखी गई महिलाओं को ध्यान में लाता है: यह सब वास्तव में मौजूद नहीं है। मैक्रोइंडेटर्मिनिज्म समान नहीं है। यह बिलकुल वास्तविक है, मौलिक नहीं। इसकी तुलना जीवन से की जा सकती है। व्यक्तिगत परमाणु बिल्कुल निर्जीव पदार्थ हैं, लेकिन उनका विशाल द्रव्यमान जीवित और सांस ले सकता है। "सब कुछ जो एजेंटों, उनके इरादे की स्थिति, उनके निर्णय और विकल्पों के साथ करना है - इनमें से किसी भी संस्था का मौलिक भौतिकी के वैचारिक टूलकिट से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि ये घटनाएं वास्तविक नहीं हैं," नोट्स सूची . का सीधा सा मतलब है कि वे सभी एक उच्च स्तर की घटनाएं हैं।"

अपने सिर में परमाणुओं की गति के यांत्रिकी के संदर्भ में मानवीय निर्णयों का वर्णन करना, यदि पूर्ण अज्ञान नहीं है, तो यह एक श्रेणी की गलती होगी। इसके बजाय, मनोविज्ञान की सभी अवधारणाओं का उपयोग करना आवश्यक है: इच्छा, संभावना, इरादे। मैंने पानी क्यों पीया और शराब क्यों नहीं? क्योंकि मैं चाहता था। मेरी इच्छाएं मेरे कार्यों की व्याख्या करती हैं। ज्यादातर मामलों में, जब हम सवाल पूछते हैं "क्यों?", हम व्यक्ति की प्रेरणा की तलाश कर रहे हैं, न कि उसकी शारीरिक पृष्ठभूमि। मनोवैज्ञानिक स्पष्टीकरण उस प्रकार के अनिश्चितता की अनुमति देते हैं जिसकी सूची बोलती है। उदाहरण के लिए, गेम थ्योरिस्ट कई विकल्पों को निर्धारित करके और यह समझाते हुए कि यदि आप तर्कसंगत रूप से कार्य कर रहे हैं, तो आप किसे चुनेंगे, मानव निर्णय लेने का मॉडल तैयार करते हैं। किसी विशेष विकल्प को चुनने की आपकी स्वतंत्रता आपकी पसंद को नियंत्रित करती है, भले ही आप उस विकल्प को कभी नहीं चुनते।

सुनिश्चित करने के लिए, सूची के तर्क पूरी तरह से स्वतंत्र इच्छा की व्याख्या नहीं करते हैं। स्तरों का पदानुक्रम स्वतंत्र इच्छा के लिए जगह खोलता है, मनोविज्ञान को भौतिकी से अलग करता है और हमें अप्रत्याशित चीजें करने की क्षमता देता है। लेकिन हमें इस मौके का फायदा उठाना चाहिए। अगर, उदाहरण के लिए, हमने एक सिक्का उछालकर सभी निर्णय लिए हैं, तो इसे अभी भी मैक्रोइनडेटर्मिनिज्म माना जाएगा, लेकिन यह किसी भी सार्थक अर्थ में स्वतंत्र इच्छा के रूप में शायद ही योग्य होगा। दूसरी ओर, कुछ लोगों द्वारा निर्णय लेना इतना थकाऊ हो सकता है कि यह नहीं कहा जा सकता कि वे स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं।

नियतत्ववाद की समस्या के लिए एक समान दृष्टिकोण क्वांटम सिद्धांत की व्याख्या को अर्थ देता है, जिसे 1955 में आइंस्टीन की मृत्यु के कुछ साल बाद प्रस्तावित किया गया था। इसे कई-विश्व व्याख्या, या एवरेट व्याख्या कहा जाता था। इसके समर्थकों का तर्क है कि क्वांटम यांत्रिकी समानांतर ब्रह्मांडों के संग्रह का वर्णन करता है - एक बहुविविध जो आम तौर पर नियतात्मक रूप से व्यवहार करता है, लेकिन हमारे लिए गैर-नियतात्मक प्रतीत होता है क्योंकि हम केवल एक ब्रह्मांड को देख सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक परमाणु एक फोटॉन को दाईं या बाईं ओर उत्सर्जित कर सकता है; क्वांटम सिद्धांत इस घटना के परिणाम को खुला छोड़ देता है। बहु-विश्व व्याख्या के अनुसार, ऐसी तस्वीर देखी जाती है क्योंकि अनगिनत समानांतर ब्रह्मांडों में ठीक वैसी ही स्थिति होती है: उनमें से कुछ में, फोटॉन नियत रूप से बाईं ओर, और बाकी में, दाईं ओर उड़ता है। यह बताए बिना कि हम किस ब्रह्मांड में हैं, हम भविष्यवाणी नहीं कर सकते कि क्या होगा, इसलिए यह स्थिति अंदर से समझ से बाहर लगती है। मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के ब्रह्मांड विज्ञानी मैक्स टेगमार्क बताते हैं, "अंतरिक्ष में कोई वास्तविक यादृच्छिकता नहीं है, लेकिन पर्यवेक्षक की आंखों के लिए घटनाएं यादृच्छिक दिखाई दे सकती हैं।" "यादृच्छिकता यह निर्धारित करने में आपकी अक्षमता को दर्शाती है कि कहां आप।"

यह कहने जैसा है कि परमाणुओं के असंख्य विन्यास से एक पासा या मस्तिष्क का निर्माण किया जा सकता है। यह विन्यास स्वयं नियतात्मक हो सकता है, लेकिन चूंकि हम यह नहीं जान सकते हैं कि हमारे पासा या हमारे मस्तिष्क से कौन सा मेल खाता है, हम यह मानने के लिए मजबूर हैं कि परिणाम गैर-नियतात्मक है। इस प्रकार, समानांतर ब्रह्मांड एक बीमार कल्पना में मँडराते हुए कुछ विदेशी विचार नहीं हैं। हमारा शरीर और हमारा मस्तिष्क छोटे-छोटे मल्टीवर्स हैं, यह संभावनाओं की विविधता है जो हमें स्वतंत्रता प्रदान करती है।

पासे का उपयोग मनुष्य हजारों वर्षों से करता आ रहा है।

21वीं सदी में, नई प्रौद्योगिकियां आपको किसी भी सुविधाजनक समय पर, और यदि आपके पास इंटरनेट का उपयोग है, तो सुविधाजनक स्थान पर मरने की अनुमति देती है। पासा हमेशा आपके साथ घर पर या सड़क पर होता है।

पासा जनरेटर आपको 1 से 4 पासा ऑनलाइन रोल करने की अनुमति देता है।

डाई को ऑनलाइन ईमानदारी से रोल करें

असली पासे का उपयोग करते समय, हाथ की सफ़ाई या विशेष रूप से बनाए गए पासों का उपयोग किया जा सकता है जो किसी एक पक्ष के लिए लाभप्रद हों। उदाहरण के लिए, आप क्यूब को किसी एक कुल्हाड़ी पर घुमा सकते हैं, और फिर प्रायिकता वितरण बदल जाएगा। हमारे वर्चुअल क्यूब्स की एक विशेषता एक सॉफ्टवेयर छद्म-यादृच्छिक संख्या जनरेटर का उपयोग है। यह आपको इस या उस परिणाम का वास्तव में यादृच्छिक रूप प्रदान करने की अनुमति देता है।

और अगर आप इस पेज को बुकमार्क कर लेते हैं, तो आपका ऑनलाइन पासा कहीं खो नहीं जाएगा और हमेशा सही समय पर हाथ में रहेगा!

कुछ लोगों ने भविष्यवाणी या पूर्वानुमान और कुंडली बनाने के लिए ऑनलाइन पासा का उपयोग करने के लिए अनुकूलित किया है।

हंसमुख मूड, शुभ दिन और शुभकामनाएँ!

सबसे आम रूप एक घन के रूप में है, जिसके प्रत्येक तरफ एक से छह तक की संख्याएं दर्शाई गई हैं। खिलाड़ी, इसे एक सपाट सतह पर फेंकता है, परिणाम शीर्ष चेहरे पर देखता है। हड्डियाँ संयोग, सौभाग्य या दुर्भाग्य का वास्तविक मुखपत्र हैं।

दुर्घटना।
क्यूब्स (हड्डियां) लंबे समय से मौजूद हैं, लेकिन छह-पक्षीय रूप जो पारंपरिक हो गया है, लगभग 2600 ईसा पूर्व हासिल किया गया था। इ। प्राचीन यूनानियों को पासा खेलना पसंद था, और उनकी किंवदंतियों में नायक पालामेड्स, ओडीसियस द्वारा विश्वासघात का अन्यायपूर्ण आरोप लगाया गया था, उनके आविष्कारक के रूप में उल्लेख किया गया है। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने ट्रॉय को घेरने वाले सैनिकों के मनोरंजन के लिए इस खेल का आविष्कार किया, एक विशाल लकड़ी के घोड़े की बदौलत कब्जा कर लिया। जूलियस सीजर के समय में रोमनों ने भी विभिन्न प्रकार के पासा खेलों के साथ अपना मनोरंजन किया। लैटिन में, क्यूब को डेटम कहा जाता था, जिसका अर्थ है "दिया गया"।

निषेध।
मध्य युग में, 12 वीं शताब्दी के आसपास, यूरोप में पासा बहुत लोकप्रिय हो गया: पासा, जिसे आप हर जगह अपने साथ ले जा सकते हैं, योद्धा और किसान दोनों को पसंद हैं। ऐसा कहा जाता है कि छह सौ से अधिक विभिन्न खेल थे! पासे का उत्पादन एक अलग पेशा बन जाता है। धर्मयुद्ध से लौटे राजा लुई IX (1214-1270) ने जुए को स्वीकार नहीं किया और पूरे राज्य में पासा के उत्पादन पर प्रतिबंध लगाने का आदेश दिया। खेल से अधिक, अधिकारी इससे जुड़ी अशांति से असंतुष्ट थे - फिर वे मुख्य रूप से सराय में खेलते थे और पार्टियां अक्सर झगड़े और छुरा घोंपकर समाप्त हो जाती थीं। लेकिन किसी भी प्रतिबंध ने पासा को जीवित रहने और आज तक जीवित रहने से नहीं रोका।

एक "चार्ज" के साथ हड्डियाँ!
एक डाई रोल का परिणाम हमेशा संयोग से निर्धारित होता है, लेकिन कुछ धोखेबाज इसे बदलने की कोशिश करते हैं। डाई में छेद करके और उसमें सीसा या पारा डालकर, यह सुनिश्चित करना संभव है कि रोल हर बार एक ही परिणाम देता है। ऐसे घन को "आवेशित" कहा जाता है। विभिन्न सामग्रियों से निर्मित, चाहे वह सोना, पत्थर, क्रिस्टल, हड्डी, पासा हो, विभिन्न आकार हो सकते हैं। पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन) के आकार में छोटे पासे मिस्र के फिरौन की कब्रों में पाए गए थे जिन्होंने बड़े पिरामिड बनाए थे! अलग-अलग समय में हड्डियों को 8, 10, 12, 20 और यहां तक ​​कि 100 भुजाओं से भी बनाया जाता था। आमतौर पर उन पर संख्याएं लागू की जाती हैं, लेकिन उनके स्थान पर अक्षर या चित्र भी दिखाई दे सकते हैं, जो कल्पना के लिए जगह देते हैं।

पासा कैसे रोल करें।
पासा न केवल विभिन्न आकृतियों में आता है, बल्कि खेलने के विभिन्न तरीकों से भी आता है। कुछ खेलों के नियमों में रोल को एक निश्चित तरीके से रोल करने की आवश्यकता होती है, आमतौर पर परिकलित रोल से बचने के लिए या डाई को झुकी हुई स्थिति में आराम करने से रोकने के लिए। कभी-कभी धोखा देने या गेमिंग टेबल से गिरने से बचने के लिए उनके साथ एक विशेष ग्लास लगा दिया जाता है। क्रेप के अंग्रेजी खेल में, तीनों पासों को खेल की मेज या दीवार से टकराना चाहिए, ताकि धोखेबाजों को केवल पासा घुमाकर नकली रोल न करने दें, लेकिन इसे मोड़ें नहीं।

यादृच्छिकता और संभावना।
पासा हमेशा एक यादृच्छिक परिणाम देता है जिसकी भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। एक पासे के साथ, खिलाड़ी के पास 1 रोल करने के उतने ही मौके होते हैं जितने उसके पास 6 होते हैं - सब कुछ संयोग से निर्धारित होता है। दूसरी ओर, दो पासों के साथ, यादृच्छिकता का स्तर कम हो जाता है, क्योंकि खिलाड़ी के पास परिणाम के बारे में अधिक जानकारी होती है: उदाहरण के लिए, दो पासों के साथ, संख्या 7 को कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है - 1 और 6, 5 को रोल करके और 2, या 4 और 3 ... लेकिन संख्या 2 प्राप्त करने की संभावना केवल एक है: 1 को दो बार फेंकना। इस प्रकार, 7 प्राप्त करने की संभावना 2 प्राप्त करने की तुलना में अधिक है! इसे प्रायिकता सिद्धांत कहते हैं। कई खेल इस सिद्धांत से जुड़े हैं, खासकर नकद खेल।

पासे के प्रयोग पर।
पासा अन्य तत्वों के बिना एक स्टैंडअलोन गेम हो सकता है। केवल एक चीज जो व्यावहारिक रूप से मौजूद नहीं है वह है एक घन के लिए खेल। नियमों के लिए कम से कम दो (जैसे क्रेप) की आवश्यकता होती है। पासा पोकर खेलने के लिए आपको पांच पासे, एक कलम और कागज चाहिए। लक्ष्य एक ही नाम के कार्ड गेम के संयोजन के समान संयोजनों को भरना है, उनके लिए एक विशेष तालिका में रिकॉर्डिंग अंक। इसके अलावा, क्यूब बोर्ड गेम के लिए एक बहुत लोकप्रिय हिस्सा है, जो आपको चिप्स को स्थानांतरित करने या गेम लड़ाइयों के नतीजे तय करने की अनुमति देता है।

डाई डाली जाती है।
49 ईसा पूर्व में। इ। युवा जूलियस सीजर ने गॉल को जीत लिया और पोम्पेई लौट आया। लेकिन सीनेटरों को उनकी शक्ति का डर था, जिन्होंने लौटने से पहले अपनी सेना को भंग करने का फैसला किया। भविष्य के सम्राट, गणतंत्र की सीमाओं पर पहुंचकर, सेना के साथ इसे पार करके आदेश का उल्लंघन करने का फैसला करते हैं। रूबिकॉन (नदी जो सीमा थी) को पार करने से पहले, उन्होंने अपने दिग्गजों से कहा "एलिया जैक्टा एस्ट" ("डाई कास्ट है")। यह कहावत एक मुहावरा बन गया है, जिसका अर्थ यह है कि खेल की तरह, कुछ निर्णय लेने के बाद, पीछे हटना संभव नहीं है।