अतिरिक्त संख्या का उपयोग करके भिन्नों की तुलना करने के नियम। भिन्नों की तुलना

रोजमर्रा की जिंदगी में हमें अक्सर आंशिक मात्राओं की तुलना करनी पड़ती है। प्रायः इससे कोई कठिनाई नहीं होती। दरअसल, हर कोई समझता है कि आधा सेब एक चौथाई से बड़ा होता है। लेकिन जब इसे गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में लिखने की बात आती है, तो यह भ्रमित हो सकता है। निम्नलिखित गणितीय नियमों को लागू करके आप इस समस्या को आसानी से हल कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें

ऐसे भिन्नों की तुलना करना सबसे सुविधाजनक होता है। इस स्थिति में, नियम का उपयोग करें:

समान हर लेकिन अलग-अलग अंश वाली दो भिन्नों में, बड़ी वह होती है जिसका अंश बड़ा होता है, और छोटी वह होती है जिसका अंश छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों 3/8 और 5/8 की तुलना करें। इस उदाहरण में हर बराबर हैं, इसलिए हम इस नियम को लागू करते हैं। 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

दरअसल, अगर आप दो पिज्जा को 8 स्लाइस में काटते हैं, तो एक स्लाइस का 3/8 हिस्सा हमेशा 5/8 से कम होता है।

भिन्नों की तुलना समान अंशों और असमान हरों से करना

इस मामले में, हर शेयर के आकार की तुलना की जाती है। लागू होने वाला नियम है:

यदि दो भिन्नों के अंश बराबर हों तो जिस भिन्न का हर छोटा होता है वह बड़ी होती है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों 3/4 और 3/8 की तुलना करें। इस उदाहरण में, अंश बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम दूसरे नियम का उपयोग करते हैं। भिन्न 3/4 का हर भिन्न 3/8 से छोटा है। इसलिए 3/4>3/8

दरअसल, यदि आप पिज्जा के 3 स्लाइस को 4 भागों में बांटकर खाते हैं, तो आपका पेट 8 भागों में बांटकर खाए गए पिज्जा के 3 स्लाइस की तुलना में अधिक भरा होगा।

विभिन्न अंशों और हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

आइए तीसरा नियम लागू करें:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने से समान हरों के साथ भिन्नों की तुलना होनी चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना होगा और पहले नियम का उपयोग करना होगा।

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। बड़े भिन्न को निर्धारित करने के लिए, हम इन दो भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं:

• अब आइए दूसरा अतिरिक्त कारक खोजें: 6:3=2. हम इसे दूसरे अंश के ऊपर लिखते हैं:

आइए भिन्नों का अध्ययन जारी रखें। आज हम इनकी तुलना के बारे में बात करेंगे. विषय रोचक एवं उपयोगी है. यह एक नौसिखिया को सफेद कोट में एक वैज्ञानिक की तरह महसूस करने की अनुमति देगा।

भिन्नों की तुलना करने का सार यह पता लगाना है कि दो भिन्नों में से कौन सा बड़ा या छोटा है।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि दो भिन्नों में से कौन बड़ा या छोटा है, अधिक (>) या कम (जैसे) का उपयोग करें।<).

गणितज्ञों ने पहले से ही तैयार नियमों का ध्यान रखा है जो उन्हें तुरंत इस सवाल का जवाब देने की अनुमति देते हैं कि कौन सा अंश बड़ा है और कौन सा छोटा है। इन नियमों को सुरक्षित रूप से लागू किया जा सकता है.

हम इन सभी नियमों को देखेंगे और यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि ऐसा क्यों होता है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

जिन भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है वे भिन्न हैं। सबसे अच्छा मामला तब होता है जब भिन्नों के हर समान होते हैं, लेकिन अंश अलग-अलग होते हैं। इस मामले में, निम्नलिखित नियम लागू होता है:

समान हर वाली दो भिन्नों में, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है। और तदनुसार, छोटे अंश वाला भिन्न छोटा होगा।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों की तुलना करें और उत्तर दें कि इनमें से कौन सा भिन्न बड़ा है। यहां हर तो एक ही है, लेकिन अंश अलग-अलग हैं। भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। इसका मतलब यह है कि अंश इससे बड़ा है। हम इसी तरह उत्तर देते हैं। आपको अधिक आइकन (>) का उपयोग करके उत्तर देना होगा

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज़्ज़ा के बारे में याद करें, जो चार भागों में विभाजित है। पिज़्ज़ा से ज़्यादा पिज़्ज़ा हैं:

हर कोई इस बात से सहमत होगा कि पहला पिज़्ज़ा दूसरे से बड़ा है।

समान अंश-गणकों से भिन्नों की तुलना करना

अगली स्थिति में हम तब पहुँच सकते हैं जब भिन्नों के अंश समान होते हैं, लेकिन हर भिन्न होते हैं। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

समान अंश वाली दो भिन्नों में से छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है। और तदनुसार, जिस भिन्न का हर बड़ा होता है वह छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों की तुलना करें और। इन भिन्नों के अंश समान होते हैं। भिन्न का हर भिन्न से छोटा होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्न, भिन्न से बड़ा है। तो हम उत्तर देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज़्ज़ा के बारे में याद करें, जो तीन और चार भागों में विभाजित है। पिज़्ज़ा से ज़्यादा पिज़्ज़ा हैं:

हर कोई इस बात से सहमत होगा कि पहला पिज़्ज़ा दूसरे से बड़ा है।

विभिन्न अंशों और विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

अक्सर ऐसा होता है कि आपको विभिन्न अंशों और विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करनी पड़ती है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों और की तुलना करें। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि इनमें से कौन सा भिन्न बड़ा या छोटा है, आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर में लाना होगा। फिर आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा भिन्न बड़ा या छोटा है।

आइए भिन्नों को समान (सामान्य) हर पर लाएँ। आइए दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें। भिन्नों के हरों का LCM और यह संख्या 6 है।

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। आइए एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 का अतिरिक्त गुणनखंड मिलता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

आइए अब दूसरा अतिरिक्त कारक खोजें। आइए एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 2 का अतिरिक्त गुणनखंड मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

आइए भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों की तुलना कैसे की जाती है। समान हर वाली दो भिन्नों में, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है:

नियम तो नियम है, और हम यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि यह इससे अधिक क्यों है। ऐसा करने के लिए, भिन्न में संपूर्ण भाग का चयन करें। भिन्न में कुछ भी उजागर करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि भिन्न पहले से ही उचित है।

भिन्न में पूर्णांक भाग को अलग करने के बाद, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

अब आप आसानी से समझ सकते हैं कि इससे ज्यादा क्यों। आइए इन अंशों को पिज़्ज़ा के रूप में बनाएं:

2 साबूत पिज़्ज़ा और पिज़्ज़ा, पिज़्ज़ा से भी ज़्यादा।

मिश्रित संख्याओं का घटाव. कठिन मामले.

मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, आप कभी-कभी पा सकते हैं कि चीजें उतनी आसानी से नहीं चल रही हैं जितनी आप चाहते हैं। अक्सर ऐसा होता है कि किसी उदाहरण को हल करते समय उत्तर वह नहीं होता जो होना चाहिए।

संख्याओं को घटाते समय, न्यूनतम को घटाव से अधिक होना चाहिए। केवल इस मामले में ही सामान्य उत्तर प्राप्त होगा।

उदाहरण के लिए, 10−8=2

10 - घटने योग्य

8 - सबट्रेंड

2 - अंतर

लघुअंत 10, उपअंक 8 से बड़ा है, इसलिए हमें सामान्य उत्तर 2 मिलता है।

अब देखते हैं कि यदि मीनूएंड सबट्रेंड से कम है तो क्या होता है। उदाहरण 5−7=−2

5—घटने योग्य

7 - सबट्रेंड

−2-अंतर

इस मामले में, हम उन संख्याओं की सीमाओं से परे चले जाते हैं जिनके हम आदी हैं और खुद को नकारात्मक संख्याओं की दुनिया में पाते हैं, जहां चलना हमारे लिए बहुत जल्दी है, और खतरनाक भी। ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करने के लिए, हमें उपयुक्त गणितीय प्रशिक्षण की आवश्यकता है, जो हमें अभी तक प्राप्त नहीं हुआ है।

यदि, घटाव के उदाहरणों को हल करते समय, आप पाते हैं कि न्यूनतम घटाव से कम है, तो आप ऐसे उदाहरण को अभी के लिए छोड़ सकते हैं। ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन करने के बाद ही उनके साथ काम करने की अनुमति है।

भिन्नों के साथ भी यही स्थिति है। मीनूएंड सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में ही सामान्य उत्तर प्राप्त करना संभव होगा। और यह समझने के लिए कि क्या घटाया जा रहा अंश, घटाए जा रहे अंश से बड़ा है, आपको इन अंशों की तुलना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए उदाहरण को हल करें।

यह घटाव का उदाहरण है. इसे हल करने के लिए, आपको यह जांचना होगा कि क्या घटाया जा रहा अंश, घटाए जा रहे अंश से बड़ा है। इससे अधिक

इसलिए हम सुरक्षित रूप से उदाहरण पर लौट सकते हैं और इसे हल कर सकते हैं:

आइए अब इस उदाहरण को हल करें

हम जाँचते हैं कि क्या घटाया जा रहा अंश, घटाये जा रहे अंश से बड़ा है। हमने पाया कि यह कम है:

इस मामले में, रुक जाना और आगे की गणना जारी न रखना ही समझदारी है। जब हम ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन करते हैं तो आइए इस उदाहरण पर वापस लौटते हैं।

घटाने से पहले मिश्रित संख्याओं की जांच करना भी उचित है। उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए जाँच करें कि क्या कम की जा रही मिश्रित संख्या, घटाई जाने वाली मिश्रित संख्या से अधिक है। ऐसा करने के लिए, हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करते हैं:

हमें अलग-अलग अंश और अलग-अलग हर वाली भिन्नें प्राप्त हुईं। ऐसे भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें समान (सामान्य) हर पर लाना होगा। हम यह विस्तार से नहीं बताएंगे कि यह कैसे करना है। यदि आपको कठिनाई हो तो दोहराना सुनिश्चित करें।

भिन्नों को समान हर तक घटाने के बाद, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

अब आपको भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। ये समान हर वाले भिन्न हैं। समान हर वाली दो भिन्नों में, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है।

भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्न, भिन्न से बड़ा है।

इसका मतलब यह है कि मीनूएंड सबट्रेंड से बड़ा है

इसका मतलब है कि हम अपने उदाहरण पर लौट सकते हैं और इसे सुरक्षित रूप से हल कर सकते हैं:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए जांचें कि क्या मीनूएंड सबट्रेंड से अधिक है।

आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

हमें अलग-अलग अंश और अलग-अलग हर वाली भिन्नें प्राप्त हुईं। आइए हम इन भिन्नों को समान (सामान्य) हर तक घटाएँ।

यह पता लगाने के लिए कि कौन सा भिन्न बड़ा है और कौन सा छोटा है, दो असमान भिन्नों की आगे तुलना की जाती है। दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, भिन्नों की तुलना करने का एक नियम है, जिसे हम नीचे बनाएंगे, और हम समान और असमान हर वाले भिन्नों की तुलना करते समय इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरण भी देखेंगे। अंत में, हम दिखाएंगे कि समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना उन्हें एक सामान्य हर में घटाए बिना कैसे की जाए, और हम यह भी देखेंगे कि एक सामान्य भिन्न की तुलना एक प्राकृतिक संख्या से कैसे की जाए।

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समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करनामूलतः समान शेयरों की संख्या की तुलना है। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 3/7 3 भाग 1/7 निर्धारित करता है, और भिन्न 8/7 8 भाग 1/7 से मेल खाता है, इसलिए समान हर 3/7 और 8/7 के साथ भिन्नों की तुलना करने से संख्याओं की तुलना होती है 3 और 8, अर्थात् अंशों की तुलना करना।

इन विचारों से यह निष्कर्ष निकलता है भिन्नों की समान हर से तुलना करने का नियम: समान हर वाली दो भिन्नों में, वह भिन्न बड़ी होती है जिसका अंश बड़ा होता है, और वह भिन्न छोटी होती है जिसका अंश कम होता है।

बताया गया नियम बताता है कि समान हर वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें। आइए भिन्नों की समान हर से तुलना करने के नियम को लागू करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

कौन सा भिन्न बड़ा है: 65/126 या 87/126?

समाधान।

तुलना की गई साधारण भिन्नों के हर बराबर हैं, और भिन्न 87/126 का अंश 87 भिन्न 65/126 के अंश 65 से बड़ा है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना देखें)। इसलिए, समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम के अनुसार, भिन्न 87/126, भिन्न 65/126 से बड़ा है।

उत्तर:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करनासमान हर वाले भिन्नों की तुलना करने तक इसे कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको बस तुलना किए गए साधारण भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा।

तो, विभिन्न हरों के साथ दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है

• भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ;
• परिणामी भिन्नों की तुलना समान हरों से करें।

आइए उदाहरण के समाधान पर नजर डालें।

उदाहरण।

भिन्न 5/12 की तुलना भिन्न 9/16 से करें।

समाधान।

सबसे पहले, आइए अलग-अलग हर वाले इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने का नियम और उदाहरण देखें)। एक सामान्य हर के रूप में, हम LCM(12, 16)=48 के बराबर सबसे कम सामान्य हर लेते हैं। तब भिन्न 5/12 का अतिरिक्त गुणनखंड संख्या 48:12=4 होगा, और भिन्न 9/16 का अतिरिक्त गुणनखंड संख्या 48:16=3 होगा। हम पाते हैं और .

परिणामी भिन्नों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है। इसलिए, भिन्न 5/12, भिन्न 9/16 से छोटा है। यह विभिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना को पूरा करता है।

उत्तर:

आइए विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक और तरीका जानें, जो आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाए बिना और इस प्रक्रिया से जुड़ी सभी कठिनाइयों के बिना तुलना करने की अनुमति देगा।

भिन्नों ए/बी और सी/डी की तुलना करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर बी·डी में घटाया जा सकता है, जो तुलना किए जा रहे भिन्नों के हर के उत्पाद के बराबर है। इस मामले में, भिन्नों a/b और c/d के अतिरिक्त गुणनखंड क्रमशः संख्या d और b हैं, और मूल भिन्नों को एक सामान्य हर b·d वाले भिन्नों में घटा दिया जाता है। समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम को याद करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल भिन्नों a/b और c/d की तुलना को उत्पाद a·d और c·b की तुलना में कम कर दिया गया है।

इसका तात्पर्य निम्नलिखित है विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: यदि a d>b c , तो , और यदि a d

आइए इस प्रकार विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना देखें।

उदाहरण।

सामान्य भिन्नों 5/18 और 23/86 की तुलना करें।

समाधान।

इस उदाहरण में, a=5 , b=18 , c=23 और d=86 । आइए उत्पादों विज्ञापन और बीसी की गणना करें। हमारे पास a·d=5·86=430 और b·c=18·23=414 है। चूँकि 430>414, तो भिन्न 5/18, भिन्न 23/86 से बड़ा है।

उत्तर:

समान अंश-गणकों से भिन्नों की तुलना करना

समान अंश और भिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना निश्चित रूप से पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके की जा सकती है। हालाँकि, ऐसे भिन्नों की तुलना का परिणाम इन भिन्नों के हरों की तुलना करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

ऐसी ही एक बात है समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: समान अंश वाली दो भिन्नों में, छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है, और बड़े हर वाली भिन्न छोटी होती है।

आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

भिन्नों 54/19 और 54/31 की तुलना करें।

समाधान।

चूँकि तुलना की जा रही भिन्नों के अंश बराबर हैं, और भिन्न 54/19 का हर 19, भिन्न 54/31 के हर 31 से कम है, तो 54/19, 54/31 से बड़ा है।

न केवल अभाज्य संख्याओं की तुलना की जा सकती है, बल्कि भिन्नों की भी तुलना की जा सकती है। आख़िरकार, भिन्न वही संख्या है, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएँ। आपको केवल उन नियमों को जानना होगा जिनके द्वारा भिन्नों की तुलना की जाती है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना।

यदि दो भिन्नों के हर समान हों तो ऐसे भिन्नों की तुलना करना आसान होता है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उनके अंशों की तुलना करने की आवश्यकता है। जिस भिन्न का अंश बड़ा होता है वह भिन्न बड़ा होता है।

आइए एक उदाहरण देखें:

भिन्नों \(\frac(7)(26)\) और \(\frac(13)(26)\) की तुलना करें।

दोनों भिन्नों के हर समान हैं और 26 के बराबर हैं, इसलिए हम अंशों की तुलना करते हैं। संख्या 13, 7 से बड़ी है। हमें प्राप्त होता है:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करना।

यदि किसी भिन्न के अंश समान हों, तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है।

इस नियम को जीवन से एक उदाहरण देकर समझा जा सकता है। हमारे पास केक है. 5 या 11 मेहमान हमसे मिलने आ सकते हैं। अगर 5 मेहमान आते हैं तो केक को 5 बराबर टुकड़ों में काट लेंगे और अगर 11 मेहमान आते हैं तो हम केक को 11 बराबर टुकड़ों में बांट लेंगे. अब सोचिए कि किस स्थिति में प्रति अतिथि केक का एक बड़ा टुकड़ा होगा? बेशक, जब 5 मेहमान आएंगे तो केक का टुकड़ा बड़ा होगा।

या कोई अन्य उदाहरण. हमारे पास 20 कैंडी हैं। हम कैंडी को 4 दोस्तों को बराबर-बराबर दे सकते हैं या कैंडी को 10 दोस्तों में बराबर-बराबर बाँट सकते हैं। किस स्थिति में प्रत्येक मित्र के पास अधिक मिठाइयाँ होंगी? बेशक, जब हम केवल 4 दोस्तों के बीच विभाजित होते हैं, तो प्रत्येक दोस्त के लिए कैंडी की संख्या अधिक होगी। आइए इस समस्या को गणितीय रूप से जांचें।

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

यदि हम पहले इन भिन्नों को हल करते हैं, तो हमें संख्याएँ \(\frac(20)(4) = 5\) और \(\frac(20)(10) = 2\) प्राप्त होती हैं। हमें वह 5 > 2 प्राप्त होता है

यह समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम है।

आइए एक और उदाहरण देखें.

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करें \(\frac(1)(17)\) और \(\frac(1)(15)\) .

चूँकि अंश समान होते हैं, छोटे हर वाला भिन्न बड़ा होता है।

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

विभिन्न हरों और अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करना।

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको भिन्नों को घटाकर से करना होगा, और फिर अंशों की तुलना करनी होगी।

भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(5)(7)\) की तुलना करें।

सबसे पहले, आइए भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें। यह संख्या 21 के बराबर होगी.

\(\begin(संरेखित)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \गुना 3)(7 \गुना 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(संरेखित)\)

फिर हम अंशों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने का नियम।

\(\begin(संरेखित)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

तुलना।

एक अनुचित भिन्न सदैव उचित भिन्न से बड़ा होता है।क्योंकि एक अनुचित भिन्न 1 से बड़ी होती है, और एक उचित भिन्न 1 से कम होती है।

उदाहरण:
भिन्नों \(\frac(11)(13)\) और \(\frac(8)(7)\) की तुलना करें।

भिन्न \(\frac(8)(7)\) अनुचित है और 1 से बड़ा है।

\(1 < \frac{8}{7}\)

भिन्न \(\frac(11)(13)\) सही है और यह 1 से कम है। आइए तुलना करें:

\(1 > \frac(11)(13)\)

हमें मिलता है, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

संबंधित सवाल:
विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना कैसे करें?
उत्तर: आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा और फिर उनके अंशों की तुलना करनी होगी।

भिन्नों की तुलना कैसे करें?
उत्तर: सबसे पहले आपको यह तय करना होगा कि भिन्न किस श्रेणी से संबंधित हैं: उनके पास एक सामान्य हर है, उनके पास एक सामान्य अंश है, उनके पास एक सामान्य हर और अंश नहीं है, या आपके पास एक उचित और अनुचित भिन्न है। भिन्नों को वर्गीकृत करने के बाद उचित तुलना नियम लागू करें।

समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करना क्या है?
उत्तर: यदि भिन्नों के अंश समान हों तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है।

उदाहरण 1:
भिन्नों \(\frac(11)(12)\) और \(\frac(13)(16)\) की तुलना करें।

समाधान:
चूंकि कोई समान अंश या हर नहीं हैं, इसलिए हम विभिन्न हर के साथ तुलना का नियम लागू करते हैं। हमें एक सामान्य विभाजक खोजने की जरूरत है। उभयनिष्ठ हर 96 होगा। आइए भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में घटाएँ। पहले भिन्न \(\frac(11)(12)\) को 8 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें, और दूसरे भिन्न \(\frac(13)(16)\) को 6 से गुणा करें।

\(\begin(ign)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \गुना 6)(16 \गुना 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(संरेखित)\)

हम भिन्नों की तुलना अंशों से करते हैं, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है।

\(\begin(ign)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\end(संरेखित करें)\)

उदाहरण #2:
एक उचित भिन्न की तुलना एक से करें?

समाधान:
कोई भी उचित भिन्न सदैव 1 से कम होता है।

कार्य 1:
बेटा और पिता फुटबॉल खेल रहे थे. बेटे ने 10 में से 5 बार गोल मारा। और पिताजी ने 5 दृष्टिकोणों में से 3 बार गोल मारा। किसका परिणाम बेहतर है?

समाधान:
बेटे ने 10 संभावित तरीकों में से 5 बार प्रहार किया। आइए इसे भिन्न \(\frac(5)(10)\) के रूप में लिखें।
पिताजी ने 5 संभावित दृष्टिकोणों में से 3 बार प्रहार किया। आइए इसे भिन्न \(\frac(3)(5)\) के रूप में लिखें।

आइए भिन्नों की तुलना करें. हमारे पास अलग-अलग अंश और हर हैं, आइए उन्हें घटाकर एक हर कर दें। उभयनिष्ठ हर 10 होगा.

\(\begin(ign)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

उत्तर: पिताजी का परिणाम बेहतर है।

पाठ मकसद:

1. शैक्षिक:विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार के सामान्य भिन्नों की तुलना करना सिखाएं;
2. शैक्षिक:मानसिक गतिविधि की बुनियादी तकनीकों का विकास, तुलना का सामान्यीकरण, मुख्य बात पर प्रकाश डालना; स्मृति, भाषण का विकास।
3. शैक्षिक:एक-दूसरे की बात सुनना सीखें, आपसी सहायता, संचार और व्यवहार की संस्कृति को बढ़ावा दें।

पाठ चरण:

1. संगठनात्मक.

आइए पाठ की शुरुआत फ्रांसीसी लेखक ए. फ़्रांस के शब्दों से करें: "सीखना मज़ेदार हो सकता है... ज्ञान को पचाने के लिए, आपको इसे भूख के साथ अवशोषित करने की आवश्यकता है।"

आइए इस सलाह का पालन करें, चौकस रहने का प्रयास करें, और बड़ी इच्छा से ज्ञान को आत्मसात करें, क्योंकि... वे भविष्य में हमारे लिए उपयोगी होंगे।

2. विद्यार्थियों के ज्ञान को अद्यतन करना।

1.) छात्रों का फ्रंटल मौखिक कार्य।

लक्ष्य: कवर की गई सामग्री को दोहराना, जो नई चीजें सीखते समय आवश्यक है:

ए) नियमित और अनुचित भिन्न;
बी) भिन्नों को एक नए हर में लाना;
सी) सबसे कम सामान्य विभाजक ढूँढना;

(हम फाइलों के साथ काम कर रहे हैं। छात्रों के पास वे प्रत्येक पाठ में उपलब्ध हैं। वे उनके उत्तर फेल्ट-टिप पेन से लिखते हैं, और फिर अनावश्यक जानकारी मिटा दी जाती है।)

मौखिक कार्य के लिए असाइनमेंट.

1. श्रृंखला में अतिरिक्त अंश का नाम बताएं:

ए) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
बी) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. भिन्नों को एक नए हर 30 में घटाएँ:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

भिन्नों का निम्नतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए:

1/5 और 2/7; 3/4 और 1/6; 2/9 और 1/2.

2.) खेल की स्थिति.

दोस्तों, हमारे मित्र जोकर (छात्र उससे स्कूल वर्ष की शुरुआत में मिले थे) ने मुझसे एक समस्या को हल करने में मदद करने के लिए कहा। लेकिन मुझे विश्वास है कि आप लोग मेरे बिना भी हमारे दोस्त की मदद कर सकते हैं। और कार्य अगला है.

"भिन्नों की तुलना करें:

ए) 1/2 और 1/6;
बी) 3/5 और 1/3;
ग) 5/6 और 1/6;
घ) 12/7 और 4/7;
ई) 3 1/7 और 3 1/5;
ई) 7 5/6 और 3 1/2;
छ) 1/10 और 1;
ज) 10/3 और 1;
i) 7/7 और 1.

दोस्तों, जोकर की मदद करने के लिए हमें क्या सीखना चाहिए?

पाठ का उद्देश्य, कार्य (छात्र स्वतंत्र रूप से तैयार करते हैं)।

शिक्षक प्रश्न पूछकर उनकी मदद करते हैं:

क) हम भिन्नों के किन युग्मों की तुलना पहले से ही कर सकते हैं?

ख) भिन्नों की तुलना करने के लिए हमें किस उपकरण की आवश्यकता है?

3. समूहों में लोग (स्थायी बहु-स्तरीय समूहों में)।

प्रत्येक समूह को एक कार्य और उसे पूरा करने के निर्देश दिए जाते हैं।

पहला समूह : मिश्रित भिन्नों की तुलना करें:

ए) 1 1/2 और 2 5/6;
बी) 3 1/2 और 3 4/5

और समान और विभिन्न पूर्णांक भागों के साथ मिश्रित भिन्नों को बराबर करने के लिए एक नियम प्राप्त करें।

निर्देश: मिश्रित भिन्नों की तुलना करना (संख्या बीम का उपयोग करके)

1. भिन्नों के पूर्ण भागों की तुलना करें और निष्कर्ष निकालें;
2. भिन्नात्मक भागों की तुलना करें (भिन्नात्मक भागों की तुलना के लिए नियम प्रदर्शित न करें);
3. एक नियम बनाएं - एक एल्गोरिदम:

दूसरा समूह: भिन्न हर और भिन्न अंश वाले भिन्नों की तुलना करें। (नंबर बीम का उपयोग करें)

ए) 6/7 और 9/14;
बी) 5/11 और 1/22

निर्देश

1. हरों की तुलना करें
2. विचार करें कि क्या भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना संभव है
3. नियम की शुरुआत इन शब्दों से करें: "विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको..."

तीसरा समूह: भिन्नों की एक से तुलना।

ए) 2/3 और 1;
बी) 8/7 और 1;
ग) 10/10 और 1 और एक नियम बनाएं।

निर्देश

सभी मामलों पर विचार करें: (संख्या बीम का उपयोग करें)

a) यदि भिन्न का अंश, हर के बराबर है, तो ………;
ख) यदि किसी भिन्न का अंश हर से कम है, तो………;
ग) यदि किसी भिन्न का अंश हर से बड़ा है, तो... .

एक नियम बनायें.

चौथा समूह: भिन्नों की तुलना करें:

ए) 5/8 और 3/8;
बी) 1/7 और 4/7 और समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने के लिए एक नियम बनाएं।

निर्देश

संख्या किरण का प्रयोग करें.

अंशों की तुलना करें और इन शब्दों से शुरू करते हुए निष्कर्ष निकालें: "समान हर वाले दो भिन्नों का..."।

पाँचवाँ समूह: भिन्नों की तुलना करें:

ए) 1/6 और 1/3;
बी) 4/9 और 4/3, संख्या बीम का उपयोग करते हुए:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

समान अंशों वाली भिन्नों की तुलना करने के लिए एक नियम बनाइए।

निर्देश

हरों की तुलना करें और शब्दों से शुरू करते हुए निष्कर्ष निकालें:

“समान अंश वाली दो भिन्नों का……….।”

छठा समूह: भिन्नों की तुलना करें:

ए) 4/3 और 5/6; बी) संख्या बीम का उपयोग करके 7/2 और 1/2

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

उचित एवं अनुचित भिन्नों की तुलना के लिए एक नियम बनाइये।

निर्देश।

इस पर विचार करें कि कौन सा भिन्न सदैव बड़ा, उचित या अनुचित होता है।

4. समूहों में किये गये निष्कर्षों की चर्चा।

प्रत्येक समूह के लिए एक शब्द. छात्रों के लिए नियमों का निर्माण और तदनुरूप नियमों के मानकों के साथ उनकी तुलना। इसके बाद, प्रत्येक छात्र को विभिन्न प्रकार के साधारण भिन्नों की तुलना करने के नियमों के प्रिंटआउट दिए जाते हैं।

5. आइए पाठ की शुरुआत में दिए गए कार्य पर वापस आएं। (हम जोकर समस्या को एक साथ हल करते हैं)।

6. नोटबुक में काम करें. भिन्नों की तुलना करने के नियमों का उपयोग करते हुए, छात्र, शिक्षक के मार्गदर्शन में, भिन्नों की तुलना करते हैं:

ए) 8/13 और 8/25;
बी)11/42 और 3/42;
ग)7/5 और 1/5;
घ) 18/21 और 7/3;
ई) 2 1/2 और 3 1/5;
ई) 5 1/2 और 5 4/3;

(छात्र को बोर्ड में आमंत्रित करना संभव है)।

7. छात्रों को दो विकल्पों के साथ भिन्नों की तुलना करते हुए एक परीक्षण पूरा करने के लिए कहा जाता है।

विकल्प 1।

1) भिन्नों की तुलना करें: 1/8 और 1/12

ए) 1/8 > 1/12;
बी) 1/8<1/12;
ग) 1/8=1/12

2) कौन सा बड़ा है: 5/13 या 7/13?

ए) 5/13;
बी) 7/13;
ग) बराबर

3) कौन सा छोटा है: 2\3 या 4/6?

ए) 2/3;
बी) 4/6;
ग) बराबर

4) कौन सा भिन्न 1:3/5 से कम है; 17/9; 7/7?

ए) 3/5;
बी) 17/9;
ग) 7/7

5) कौन सा भिन्न 1 से बड़ा है:?; 7/8; 4/3?

ए) 1/2;
बी) 7/8;
ग) 4/3

6) भिन्नों की तुलना करें: 2 1/5 और 1 7/9

ए) 2 1/5<1 7/9;
बी) 2 1/5 = 1 7/9;
ग) 2 1/5 >1 7/9

विकल्प 2।

1) भिन्नों की तुलना करें: 3/5 और 3/10

ए) 3/5 > 3/10;
बी) 3/5<3/10;
ग) 3/5=3/10

2) कौन सा बड़ा है: 10/12 या 1/12?

ए) बराबर;
बी) 10/12;
ग) 1/12

3) कौन सा कम है: 3/5 या 1/10?

ए) 3/5;
बी) 1/10;
ग) बराबर

4) कौन सा भिन्न 1:4/3;1/15;16/16 से कम है?

ए) 4/3;
बी) 1/15;
ग) 16/16

5) कौन सा भिन्न 1:2/5;9/8;11/12 से बड़ा है?

ए) 2/5;
बी) 9/8;
ग) 11/12

6) भिन्नों की तुलना करें: 3 1/4 और 3 2/3

ए) 3 1/4=3 2/3;
बी) 3 1/4 > 3 2/3;
ग) 3 1/4< 3 2/3

परीक्षण के उत्तर:

विकल्प 1: 1ए, 2बी, 3सी, 4ए, 5बी, 6ए

विकल्प 2: 2ए, 2बी, 3बी, 4बी, 5बी, 6सी

8. एक बार फिर हम पाठ के उद्देश्य पर लौटते हैं।

हम तुलना नियमों की जांच करते हैं और विभेदित होमवर्क देते हैं:

समूह 1,2,3 - प्रत्येक नियम के लिए दो तुलनात्मक उदाहरण लेकर आएं और उन्हें हल करें।

4,5,6 समूह - संख्या 83 ए, बी, सी, संख्या 84 ए, बी, सी (पाठ्यपुस्तक से)।