घातीय असमानताओं को हल करना। असमानताओं का समाधान

लेख में हम विचार करेंगे असमानताओं को हल करना. हम आपको इसके बारे में साफ-साफ बताएंगे असमानताओं का समाधान कैसे बनाया जाए, स्पष्ट उदाहरणों के साथ!

इससे पहले कि हम उदाहरणों का उपयोग करके असमानताओं को हल करें, आइए बुनियादी अवधारणाओं को समझें।

असमानताओं के बारे में सामान्य जानकारी

असमानतावह अभिव्यक्ति कहलाती है जिसमें फलन संबंध चिन्हों द्वारा जुड़े होते हैं >, . असमानताएँ संख्यात्मक और शाब्दिक दोनों हो सकती हैं।
अनुपात के दो संकेतों वाली असमानताओं को दोगुना कहा जाता है, तीन के साथ - तिगुना, आदि। उदाहरण के लिए:
ए(एक्स) > बी(एक्स),
ए(एक्स) ए(एक्स) बी(एक्स),
ए(एक्स) बी(एक्स).
a(x) > या या चिन्ह वाली असमानताएं सख्त नहीं हैं।
असमानता का समाधानचर का कोई मान है जिसके लिए यह असमानता सत्य है।
"असमानता का समाधान करें" इसका मतलब है कि हमें इसके सभी समाधानों का सेट ढूंढना होगा। अलग-अलग हैं असमानताओं को हल करने के तरीके. के लिए असमानता समाधानवे संख्या रेखा का उपयोग करते हैं, जो अनंत है। उदाहरण के लिए, असमानता का समाधान x > 3, 3 से + तक का अंतराल है, और संख्या 3 इस अंतराल में शामिल नहीं है, इसलिए रेखा पर बिंदु एक खाली वृत्त द्वारा दर्शाया गया है, क्योंकि असमानता सख्त है.
+
उत्तर होगा: x (3;+).
मान x=3 समाधान सेट में शामिल नहीं है, इसलिए कोष्ठक गोल है। अनंत चिन्ह को हमेशा कोष्ठक के साथ हाइलाइट किया जाता है। चिन्ह का अर्थ है "संबंधित।"
आइए देखें कि चिह्न के साथ एक अन्य उदाहरण का उपयोग करके असमानताओं को कैसे हल किया जाए:
एक्स 2
-+
मान x=2 समाधान के सेट में शामिल है, इसलिए ब्रैकेट वर्गाकार है और रेखा पर बिंदु एक भरे हुए वृत्त द्वारा दर्शाया गया है।
उत्तर होगा: x. समाधान सेट ग्राफ़ नीचे दिखाया गया है।

दोहरी असमानताएँ

जब दो असमानताएँ एक शब्द से जुड़ी हों और, या, तो यह बनता है दोहरी असमानता. दोहरी असमानता जैसी
-3 और 2x + 5 ≤ 7
बुलाया जुड़े हुए, क्योंकि यह उपयोग करता है और. प्रविष्टि-3 दोहरी असमानताओं को असमानताओं के जोड़ और गुणन के सिद्धांतों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

उदाहरण 2हल करें -3 समाधानहमारे पास है

समाधानों का सेट (x|x ≤ -1 याएक्स > 3). हम अंतराल संकेतन और प्रतीक का उपयोग करके भी समाधान लिख सकते हैं संघोंया दोनों सेटों सहित: (-∞ -1] (3, ∞)। समाधान सेट का ग्राफ़ नीचे दिखाया गया है।

जाँच करने के लिए, आइए y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, और y 3 = 1 आलेखित करें। ध्यान दें कि (x|x ≤ -1) के लिए याएक्स > 3), वाई 1 ≤ वाई 2 याआप 1 > आप 3 .

निरपेक्ष मान वाली असमानताएँ (मापांक)

असमानताओं में कभी-कभी मापांक होते हैं। इन्हें हल करने के लिए निम्नलिखित गुणों का उपयोग किया जाता है।
a > 0 और बीजीय व्यंजक x के लिए:
|x| |x| > a, x या x > a के बराबर है।
|x| के लिए समान कथन ≤ ए और |x| ≥ ए.

उदाहरण के लिए,
|x| |य| ≥ 1, y ≤ -1 के बराबर है याआप ≥ 1;
और |2x + 3| ≤ 4 -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4 के बराबर है।

उदाहरण 4निम्नलिखित असमानताओं में से प्रत्येक को हल करें। समाधानों के सेट का ग्राफ़ बनाएं.
ए) |3x + 2| बी) |5 - 2x| ≥ 1

समाधान
ए) |3x + 2|