ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ 1 ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಫಂಕ್ಷನ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.\(y = f(x) \) ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(x_0 \) ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಿಡದಂತೆ ವಾದಕ್ಕೆ \(\Delta x \) ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸೋಣ. \(\Delta y \) (ಬಿಂದು \(x_0 \) ಪಾಯಿಂಟ್ \(x_0 + \Delta x \) ಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ) ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು \(\frac(\Delta y) ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸಿ )(\ಡೆಲ್ಟಾ x) \). \(\Delta x \rightarrow 0 \) ನಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಬಂಧದ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ\(x_0 \) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ \(y=f(x) \) ಮತ್ತು \(f"(x_0) \) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು y ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, y" = f(x) ಒಂದು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ x ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ y = f(x) ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು abscissa x \u003d a ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದರೆ, f (a) ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ:
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \), ಸಮಾನತೆ \(f"(a) = tg(a) \) ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯವು \(y = f(x) \) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ಇದರರ್ಥ x ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ಅಂದರೆ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \ಡೆಲ್ಟ್ಯಾಕ್ಸ್\). ಪಡೆದ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ "ಬಹುತೇಕ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ \(y = x^2 \) ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \) ನಿಜ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

1. ಫಿಕ್ಸ್ ಮೌಲ್ಯ \(x \), \(f(x) \) ಹುಡುಕಿ
2. ಹೆಚ್ಚಳ \(x \) ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ \(\Delta x \), ಹೊಸ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸರಿಸಿ \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
3. ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸಿ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ಈ ಮಿತಿಯು x ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

y = f(x) ಕಾರ್ಯವು x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕಾರ್ಯಗಳು y = f(x).

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?

x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ M (x; f (x)) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು f "(x) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು "ಮುರಿಯಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಪಾಯಿಂಟ್ M, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಇದು "ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿತ್ತು. ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ವಾದವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ. x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot \Delta x \) ಶೂನ್ಯ, ನಂತರ \(\Delta y \) ) ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂವಾದ ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಕಾರ್ಯ y = |x| ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ x = 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಆದರೆ "ಜಂಟಿ ಬಿಂದು" (0; 0) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲ.

ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ. \(y=\sqrt(x) \) ಕಾರ್ಯವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು y-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವು x \u003d 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಇಳಿಜಾರು ಇಲ್ಲ, ಅಂದರೆ \ ( f "(0) \) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಯಿತು - ವಿಭಿನ್ನತೆ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಗೆ ಹೇಳಬಹುದು?

ಉತ್ತರವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದಾದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದು x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಭಾಗಗಳು, ಮೊತ್ತಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ "ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು", ಅಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು. C ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು f=f(x), g=g(x) ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು:

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಯಿತು. y=f(x)ಎಂಬ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ(ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f(x)ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಿಸಲಾಗಿದೆ

ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ f(x)ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ f"(x), ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಮತ್ತು ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: 1) ನಾವು ವಾದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ Xಹೆಚ್ಚಳ  Xಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ  y = f(x+ x)-f(x); 2) ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ

3) ಎಣಿಕೆ Xಶಾಶ್ವತ, ಮತ್ತು  X0, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ f"(x), ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾರ್ಯವು ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳುವಂತೆ X, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಿತಿಗೆ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y "=f" (x) ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯ y=f(x) x ನೀಡಲಾಗಿದೆವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಸೀಮಿತ. ಈ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ,
, ಅಥವಾ

ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ X, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯಾವಾಗ x=a, ಸಂಬಂಧ
ನಲ್ಲಿ  X0 ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ f(x)ನಲ್ಲಿ x=a(ಅಥವಾ ಹಂತದಲ್ಲಿ x=a) ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ x=a.

2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಬಿಂದು x 0 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು

f(x)

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - ಪಾಯಿಂಟ್ A (x 0, f (x 0)) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದು B (x; f (x)). ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು (AB) ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ∆ABC ಯಿಂದ: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

AC ರಿಂದ || ಎತ್ತು, ನಂತರ ALO = BAC = β (ಸಮಾನಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ). ಆದರೆ ALO ಎಂಬುದು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸೆಕೆಂಟ್ AB ಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, tgβ = k ಎಂಬುದು AB ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು.

ಈಗ ನಾವು ∆x ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ∆x→ 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ B ಗ್ರಾಫ್ ಪ್ರಕಾರ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ AB ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ∆x → 0 ನಲ್ಲಿ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ AB ಯ ಮಿತಿ ಸ್ಥಾನವು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (a), ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿ y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನತೆ tgβ =∆y/∆x ನಲ್ಲಿ ನಾವು ∆х → 0 ಎಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ದಾಟಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಥವಾ tg \u003d f "(x 0), ರಿಂದ
-ಎತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ
, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ. ಆದರೆ tg \u003d k ಎಂಬುದು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು, ಅಂದರೆ k \u003d tg \u003d f "(x 0).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ 0 abscissa x ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮ 0 .

3. ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಬಿಂದುವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸಲಿ x(t) ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಒಂದು ಅವಧಿಯ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ) ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ವಾವ್ = ∆x/∆t. ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ∆t → 0 ಎಂದು ಹಾದು ಹೋಗೋಣ.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತತ್ಕ್ಷಣದ ವೇಗ.

ಮತ್ತು lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ).

ಆದ್ದರಿಂದ, (t) = x"(t).

ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವೈ = ಎಫ್(X) ಹಂತದಲ್ಲಿX 0 ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆಎಫ್(x) ಹಂತದಲ್ಲಿX 0

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಯದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮಯದಿಂದ ವೇಗದ ತಿಳಿದಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವೇಗವರ್ಧನೆ.

 (t) \u003d x "(t) - ವೇಗ,

a(f) = "(t) - ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಅಥವಾ

ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ತಿರುಗುವ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ವೇಗ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ:

φ = φ(t) - ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ,

ω \u003d φ "(ಟಿ) - ಕೋನೀಯ ವೇಗ,

ε = φ"(t) - ಕೋನೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಅಥವಾ ε = φ"(t).

ಅಸಮರೂಪದ ರಾಡ್‌ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಂಜಸ ರಾಡ್‌ನ ರೇಖೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

m \u003d m (x) - ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ,

x , ಎಲ್ - ರಾಡ್ ಉದ್ದ,

p \u003d m "(x) - ರೇಖೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೌದು, ಹುಕ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ

F = -kx, x - ವೇರಿಯಬಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, k - ವಸಂತ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವದ ಗುಣಾಂಕ. ω 2 \u003d k / m ಅನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಲೋಲಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

ಇಲ್ಲಿ ω = √k/√m ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನ (l/c), k ಎಂಬುದು ವಸಂತ ದರ (H/m).

y "+ ω 2 y \u003d 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಯಾಂತ್ರಿಕ, ವಿದ್ಯುತ್, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ) ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

y = Asin(ωt + φ 0) ಅಥವಾ y = Acos(ωt + φ 0), ಅಲ್ಲಿ

A - ಆಂದೋಲನ ವೈಶಾಲ್ಯ, ω - ಚಕ್ರ ಆವರ್ತನ,

φ 0 - ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇಂದಿನ ಲೇಖನವನ್ನು ಈ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ವಿನಿಯೋಗಿಸಲು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು, ಅದರ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೇನು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು: ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು?

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ನಡೆಯಲಿ f(x) , ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಎ,ಬಿ) . x ಮತ್ತು x0 ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. x ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾದ ಬದಲಾವಣೆ - ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ x-x0 . ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಡೆಲ್ಟಾ x ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಳವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ.

ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಅಂತಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರಲ್ಲಿ ಏನು ಅರ್ಥ? ಆದರೆ ಯಾವುದು:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು OX ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ: ಮಾರ್ಗದ ಸಮಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಯ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಶಾಲಾ ದಿನಗಳಿಂದಲೂ, ವೇಗವು ಖಾಸಗಿ ಮಾರ್ಗ ಎಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. x=f(t) ಮತ್ತು ಸಮಯ ಟಿ . ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ:

ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು t0 ನೀವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:

ನಿಯಮ 1: ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಿಯಮದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ - ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ .

ಉದಾಹರಣೆ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ನಿಯಮ ಎರಡು: ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ನಿಯಮ ಮೂರು: ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ: ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದವು ಐದನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ 8x ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮ ನಾಲ್ಕು: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರ:

ನಾವು ಮೊದಲಿನಿಂದ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ವಿಷಯವು ಅಂದುಕೊಂಡಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಚ್ಚರಿಕೆ: ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮೋಸಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ.

ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಸೇವೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಪಾವಧಿಯಲ್ಲಿಯೇ, ನೀವು ಮೊದಲು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ಮತ್ತು ಅಹಿತಕರ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, "ಎಲೆಕೋಸಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜನನದ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಸಮಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಗಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ, ನಾನು ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಬಲವಾಗಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅದೇ ಪಾಠವು ಉಚ್ಚಾರಣಾ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮೇಲಾಗಿ,

ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಮಯ / ಬಯಕೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ). "ಸಾಮಾನ್ಯ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ (ಆದರೆ ಮತ್ತೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) - ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ:ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಆದರೆ ಏನೋ ಇಲ್ಲದೆ, ಈಗ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳು. ಮಿತಿ ಏನೆಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮಧ್ಯಂತರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪದನಾಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಅವರು ಕರೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ;

- ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ;

- ಇವು ಏಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ("ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "ಎಕ್ಸ್" ಅಥವಾ "ವೈ" ನಿಂದ "ಹರಿಯಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ).

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದು "ಡೈನಾಮಿಕ್" ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ - ಸಂಖ್ಯೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ - "ಪ್ಲಸ್" ಅಥವಾ "ಮೈನಸ್" ಅನಂತ).

ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿ, ನೀವು ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಡೊಮೇನ್‌ಗಳುವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯ.

ಗಮನಿಸಿ: "ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ" ಎಂಬ ಷರತ್ತು - ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹ.! ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್, ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದರೂ, ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ

ಅಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರ

ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ

ಮತ್ತು ಮೀಸಲಾತಿಯಿಲ್ಲದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪದವು ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ "ಬ್ರೇಕ್‌ಗಳು" ಹೊಂದಿರುವ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್‌ಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಗತಿಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಟೀಪಾಟ್ ಅನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಕಪಟ ಸನ್ನಿವೇಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ: ಈ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, "x", ಸ್ವತಃ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್" ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಏರಿಕೆಯಿಂದ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿತಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಎರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಹುಡುಕಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

- ಹುಡುಕಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಈ ಆವೃತ್ತಿ, ನನ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅನಂತ), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ

ಕಾರ್ಯ . ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ಹೇಗೆ ?

ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಎಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದೆಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು ? ಒಂದೇ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ

ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ

ವಾಸ್ತವ - ಕೈ ಚಳಕ ಮತ್ತು ವಂಚನೆ ಇಲ್ಲ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾನು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ಅರಿವಿನ ಅಭ್ಯಾಸದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: .

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ, ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: ಏಣಿಯು ಹಲಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೇರಿದ ಕೆಲವು (ಕಾಂಕ್ರೀಟ್) ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳುವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ (ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೀರಿ ಅಲ್ಲ o / o - z) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ 0:0 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಶತಮಾನದ BC ಯಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಿಸಿ

ಪ್ರತಿ ಪಕ್ಕದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ :

ಅಂತಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ.

ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೀಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು

ನಂತರ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆನಂದಿಸೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ, ಆದರೆ ವಿನ್ಯಾಸದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಆಲೋಚನೆ ಇದೆ

ಚಂದಾದಾರಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರದ ಬದಲಿಗೆ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸೇರಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳುಕಾರ್ಯ (ಮಧ್ಯಂತರ), ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಮೀಸಲಾತಿ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ:

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ವಿನ್ಯಾಸದ ಸರಳತೆಯು ಗೊಂದಲದಿಂದ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ, ಅದು ಮಾಡಬಹುದು

ಆರಂಭಿಕರಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ). ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, "X" ಅಕ್ಷರವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ! ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ: - ಪುರಾತನ ಪ್ರತಿಮೆ, ಮತ್ತು - ಜೀವಂತ ಸಂದರ್ಶಕ, ವಸ್ತುಸಂಗ್ರಹಾಲಯದ ಕಾರಿಡಾರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚುರುಕಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದರೆ, "x" ಎಂಬುದು "ಸ್ಥಿರವಾಗಿ".

ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ನಿವಾರಣೆಯ ಕುರಿತು ನಾನು ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ:

(1) ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

(2) ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಛೇದದಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ.

(3) ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೃತಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು "x" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ

ಅದ್ಭುತವಾದ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ , ಹಾಗೆಯೇ ಅಪರಿಮಿತನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:

ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ:

ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯೋಜನೆಯ ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ (ಮೊದಲ ವಿಧಾನ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಹಲವಾರು ಇತರ ಕೋಷ್ಟಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಅಥವಾ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಿಚ್ಟೆನ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ನ 1 ನೇ ಸಂಪುಟ. ಪುಸ್ತಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪುರಾವೆಗಳಿಂದ ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದರಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ - ಅವು ಸಹ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ

ಸೂತ್ರ .

ನಿಜ ಜೀವನದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ: ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ಶೈಲಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಸೇರಿರುವ ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ:

ಪ್ರಾಯಶಃ ಕೆಲವು ಓದುಗರು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾದ ತತ್ವವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು (ಸಂಖ್ಯೆ) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ: , ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ

ಬದಲಿಗೆ "x" ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಮತ್ತಷ್ಟು ಮಿತಿಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಟರ್ಕಿ ಕರುಳಿದೆ, ಹುರಿದ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಮಟ್ಟವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಉತ್ತರ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ.

ಪರಿಶೀಲನೆ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:

ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ "ತ್ವರಿತ" ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಇದು ನೀವೇ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿದೆ:

ಶೈಲಿ #2 ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ: ಉದಾಹರಣೆ 7

ಏನಾಗಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮ:

ನಿರ್ಧಾರ: ಸೇರಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಮಾಡಿ

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

(1) ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

(2) ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

(3) ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

(4) ಸೈನ್‌ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ

ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

(5) ನಾವು ಬಳಸಲು ಛೇದವನ್ನು ಕೃತಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಾಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆಯು ನಿಂತಿದೆ

ಮಿತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ + ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್‌ನ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ವಂತಿಕೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿನ್ಯಾಸದ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳು ಎದುರಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ, ನನ್ನ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಅನಿಸಿಕೆ ಪ್ರಕಾರ, "X ಶೂನ್ಯ" ದೊಂದಿಗೆ 1 ನೇ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಉತ್ಸಾಹದಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಪರೂಪದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ ಏನಾಗಿರಬೇಕು? ಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

ನಿರ್ಧಾರ: ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಿ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬಹಳ ಅಪರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹದಿನೇಳನೆಯ ಬಾರಿಗೆ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತೇವೆ

ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ:

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟವಲ್ಲ ಮತ್ತು "ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ" - ವಿನ್ಯಾಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಉಗುರುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸಾಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ 10 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ

ಇದು ನೀವೇ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮ ಬೋನಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ:

ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ?

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಅಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಮತ್ತು ತುಣುಕು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡಗೈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲಗೈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: .

3) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ:

, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿದೆ (ಪಾಠದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ).

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರೆ: (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು), ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡೂ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ

(ಅವರು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ), ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ (ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ 5 ನೋಡಿಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ) .

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು I, ಸೂತ್ರಗಳು 4, 2 ಮತ್ತು 1. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. ಒಂದೇ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು I, ಸೂತ್ರಗಳು 3, 5 ಮತ್ತು 6 ಮತ್ತು 1.

ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು IV, ಸೂತ್ರಗಳು 5 ಮತ್ತು 1 .

ಐದನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ Iಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು 1 ನೇ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆ 4 ), ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 2 ನೇಮತ್ತು 3 ನೇನಿಯಮಗಳು, ಮತ್ತು 1ಕ್ಕೆಪದ, ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದು 2 ನೇಮತ್ತು 3 ನೇಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಿಯಮಗಳು 4 . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಪ್ರಕಾರ 4 ಸೂತ್ರ, ನಾವು ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ. ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿದ್ದೀರಾ? ಸರಿ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಹೊಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು.

ಆರನೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.

ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ IVಮತ್ತು ಸೂತ್ರ 4 . ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿರುವಿರಿ:

ಹೊಸ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು!

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ y= ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ x2ವಾದದ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ 4 , ಮತ್ತು ಹೊಸದು 4,01 .

ಪರಿಹಾರ.

ಹೊಸ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯ x \u003d x 0 + Δx. ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: 4.01=4+Δx, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳ Δх=4.01-4=0.01. ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ y=x2, ನಂತರ Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

ಉತ್ತರ: ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ Δх=0.01; ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ Δy=0,0801.

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ y=f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0, ವೇಳೆ f "(x 0) \u003d 1.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಂಪರ್ಕದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ x 0ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಸ್ಪರ್ಶದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ). ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,ಏಕೆಂದರೆ tg45°=1.

ಉತ್ತರ: ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 45°.

3. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ y=xn.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನ ಪದವಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ: (x n)" = nx n-1.

ಸೂತ್ರಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉಚ್ಚರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. X ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

4. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಘಾತವು ಒಂದು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

5. ಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

6. x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಏಕತೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು x ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

7. ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

8. ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

9. ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ನ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

10. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಸೈನ್‌ನ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕಲಿಸುತ್ತೇವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು.

1. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪದಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. "ve" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ "y" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶದಲ್ಲಿ "y ಒಂದು ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು "ve" ಮೈನಸ್ "y, ಸ್ಟ್ರೋಕ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ" ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ - "ve ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ”.

4. ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ 3.

ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕಲಿಯೋಣ!

ಪುಟ 1 ರಲ್ಲಿ 1 1