ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್: ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಪರಿಹಾರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು:

ಯಾವಾಗಲೂ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

*ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಂಶಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

* * *

*ಒಂದು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಭಾಗ) ಅಂಶಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

* * *

*ಘಾತಾಂಕದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅದರ ತಳಹದಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

* * *

*ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

* * *

ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

* * *

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ:

ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಘಾತಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಈ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶ:

* * *

ಒಂದು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ, ಆಧಾರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

* * *

ನೀವು ನೋಡಿದಂತೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಿಮಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯಾಸ ಬೇಕು, ಅದು ನಿಮಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡಬಹುದು.

ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಹರಿಸಿ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಿಗೆ ತೆರಳಿ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, "ಭಯಾನಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ; ಅವರು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಡಿ!

ಅಷ್ಟೇ! ನಿಮಗೆ ಶುಭವಾಗಲಿ!

ವಿಧೇಯಪೂರ್ವಕವಾಗಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಕ್ರುಟಿಟ್ಸ್ಕಿಖ್

P.S: ನೀವು ಸಾಮಾಜಿಕ ಜಾಲತಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೈಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿದರೆ ನಾನು ಕೃತಜ್ಞನಾಗಿದ್ದೇನೆ.

ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗೌಪ್ಯತಾ ನೀತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾವು ಯಾವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ನೀವು ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರು, ಫೋನ್ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇಮೇಲ್ ವಿಳಾಸ ಇತ್ಯಾದಿ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು.

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

• ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಅನನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಪ್ರಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂಬರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
• ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ನಾವು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಮಗೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಆಡಿಟ್‌ಗಳು, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ನೀವು ಬಹುಮಾನ ಡ್ರಾ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿನಾಯಿತಿಗಳು:

• ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ - ಕಾನೂನು, ನ್ಯಾಯಾಂಗ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ಕಾನೂನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ವಿನಂತಿಗಳು ಅಥವಾ ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಪ್ರದೇಶದ ಸರ್ಕಾರಿ ಅಧಿಕಾರಿಗಳಿಂದ ವಿನಂತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ - ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು. ಭದ್ರತೆ, ಕಾನೂನು ಜಾರಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು.
• ಮರುಸಂಘಟನೆ, ವಿಲೀನ ಅಥವಾ ಮಾರಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಷ್ಟ, ಕಳ್ಳತನ ಮತ್ತು ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೇರಿದಂತೆ - ಅನಧಿಕೃತ ಪ್ರವೇಶ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ, ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಾಶ.

ಕಂಪನಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಿಗೆ ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಭದ್ರತಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ವೀಡಿಯೊ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಂಭೀರವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತಹವುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ C1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿ

ಆದಾಗ್ಯೂ, ವರ್ಷದಿಂದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ನನ್ನ ಬಳಿಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ, ನಾನೂ, ಕಠಿಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ: ಅವರು ಎಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬೇಕು? ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಲವಾದ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನೇಕರು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಭಯಪಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಥವಾ ತಮ್ಮನ್ನು ಮೂರ್ಖರೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೆನಪಿಡಿ: ನೀವು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮೂರ್ಖರು ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು:

ಲಾಗ್ 2 x = 4

ಮತ್ತು ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಈಗ ಈ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಓದುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಸರಳ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಪಂಚಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಿರತರಾಗಿದ್ದಿರಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಯಾರಾದರೂ ಈಗ ಆಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತಾರೆ: "ಈ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವು ನಮ್ಮ ಆರೋಗ್ಯಕರ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು?" ನಾನು ಉತ್ತರಿಸುತ್ತೇನೆ: ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ, ಅದು ಎಷ್ಟೇ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಈ ಸರಳ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸರಳವಾದವುಗಳಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕು ಆಯ್ಕೆ ಅಥವಾ ತಂಬೂರಿಯೊಂದಿಗೆ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟ, ದೀರ್ಘ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಅತ್ಯಂತ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು.

ಮತ್ತು ಇಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹೋಗು!

ಸಮಸ್ಯೆ C1 ರಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬಂದಾಗ, ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾತನಾಡಲು, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲ ನಿಯಮ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಪ್ರಮೇಯ. ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು, ಅದು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್, ಮತ್ತು ಅದು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬೇಕು:

log a f (x) = log a g (x)

ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

1. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ.
2. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ತಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ. ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸರಳವಾಗಿ 2 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಆಧಾರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೇವೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಬರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀವು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್

ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರಚನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಅದ್ಭುತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಘಟಕವನ್ನು ಬೇಸ್ 2 ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ (ನಿಖರವಾಗಿ 2, ಏಕೆಂದರೆ ಬೇಸ್ 2 ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ). ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು? ಅದ್ಭುತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೆನಪಿಸೋಣ:

a = ಲಾಗ್ ಬಿ ಬಿ ಎ

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ನಾವು "ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ ಬಿ" ಎಂದು ಹೇಳಿದಾಗ, b ಇನ್ನೂ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಖಚಿತ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲವು 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸರಳವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

0 < b ≠ 1

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ:

1 = ಲಾಗ್ 2 2 1 = ಲಾಗ್ 2 2

ಈಗ ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ. ಮತ್ತು ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಮತ್ತೊಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಾದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಶ್ರಮಿಸುವ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಹೆಚ್ಚು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಇದೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ: ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನಮ್ಮ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್, ವಿವಿಧ ಕಾರಣಗಳು. ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೇವಲ 2 ರ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ತಳದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವಾದಗಳ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಈ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ ಎನ್ = ಎನ್ ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ

ಮಾನವ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ: ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲದಿಂದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗುಣಕವಾಗಿ ಮುಂದೆ ಇಡಬಹುದು. n ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಹೊರಕ್ಕೆ "ವಲಸೆಯಾಯಿತು" ಮತ್ತು ಮುಂದೆ ಗುಣಾಂಕವಾಯಿತು.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ತಳದಿಂದ ನಾವು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಪದವಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಈ ಪದವಿಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೊದಲು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆ 1/k.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಷ್ಟೆ ಅಲ್ಲ! ನಾವು ಈ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬರಬಹುದು:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಪವರ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಾಗ, ನಾವು ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎರಡರಿಂದಲೂ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಾದದಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಗುಣಾಂಕ n) ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ತಳದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪದವಿ ಇತ್ತು, a k, ಛೇದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಾವು ಈಗ ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಸುಂದರವಾದ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ತಳದಲ್ಲಿ ಎರಡರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ 2 ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬಹುದು? ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ತದನಂತರ ನಾವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಎರಡರಿಂದಲೂ 1/2 ರ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎದುರಿಸುತ್ತಿರುವ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹೊಸ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಲಾಗ್ 2 2(9x 2 + 5) = ಲಾಗ್ 2 (8x 4 + 14)

ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡೂ ನಾವು ಒಂದೇ ಬೇಸ್ 2 ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಯಾವುದೇ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ, ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದಗಳಿಲ್ಲ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಸಹಜವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು: ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಗಣನೆಗಳು

ಸರಿಯಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಅಂಶಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬರೆಯೋಣ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಬರೆಯೋಣ:

ಈಗ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ: 1/2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ನೀವು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡನ್ನು 2/1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು - ಮತ್ತು ಇದು ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೆಯ ಗುಣಾಂಕವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಅಂಗೀಕೃತ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೇರವಾಗಿ ಚಲಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು

ಈಗ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ:

8x 4 + 14 - 18x 2 - 10 = 0

ಇದೇ ತರಹವನ್ನು ತರೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

8x 4 - 18x 2 + 4 = 0

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4x 4 - 9x 2 + 2 = 0

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣ, ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

D = 81 - 4 4 2 = 81 - 32 = 49

ಗ್ರೇಟ್, ತಾರತಮ್ಯವು "ಸುಂದರವಾಗಿದೆ", ಅದರ ಮೂಲವು 7. ಅಷ್ಟೇ, X ಅನ್ನು ನಾವೇ ಎಣಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳು x ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ x 2, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಗಳು:

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಉತ್ತರಗಳಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ... ಚೌಕ - ಸಹ ಕಾರ್ಯ. ಮತ್ತು ನಾವು ಎರಡರ ಮೂಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆದರೆ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೆನಪಿಡಿ:

ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ!

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ: ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಒಳಗಿನ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು 9x 2 + 5 (ಈ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಅಥವಾ 8x 4 + 14 - ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಾವು ಯಾವ ಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆದರೂ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲಗಳು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.

ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, ಈಗ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆ

ನಮ್ಮ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲಗಳಿಂದ ನಾವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-1; 8/9]. ನಾವು ನಮ್ಮ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅವರ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ಎರಡೂ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮಬ್ಬಾಗಿಸಲಾಗುವುದು. ಆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಮಬ್ಬಾದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರುಗಳು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. 8/9 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

ಎರಡರ ಮೂಲವು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಇದು −1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಭಾಗದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳು

ಎರಡು ಬೇರುಗಳು ಉಳಿದಿವೆ: x = 1/2 ಮತ್ತು x = -1/2. ವಿಭಾಗದ ಎಡ ತುದಿ (−1) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಲ ತುದಿ (8/9) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ತುದಿಗಳ ನಡುವೆ ಎಲ್ಲೋ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಇರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ x = -1/2 -1 ಮತ್ತು 0 ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. x = 1/2 ರೂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೂಲವು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

8/9 1/2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಕಳೆಯೋಣ:

ನಾವು 7/18 > 0 ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದರ ಅರ್ಥ 8/9 > 1/2.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ:

ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವು ಎರಡು ಮೂಲಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ: 1/2 ಮತ್ತು -1/2.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೋಲಿಕೆ: ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮರಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಅವರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ನೋಡೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಅಂತಹ ಟಿಕ್ ಇದೆ V - "ಹೆಚ್ಚು" ಅಥವಾ "ಕಡಿಮೆ" ಚಿಹ್ನೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಯಾವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಬರೆಯೋಣ:

ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಹೋಲಿಕೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು? ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ತುಂಬಾ ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗಿದ್ದೇವೆ: ವಿಭಜಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ? ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

1. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಎಲ್ಲೋ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಈ ಚೆಕ್‌ಮಾರ್ಕ್ V ಇದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ - Λ.
2. ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಚದರಆಮೂಲಾಗ್ರವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು "ಹೆಡ್-ಆನ್" ಮಾಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈಗ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಹೋಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂಬುದು 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

ಅಷ್ಟೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಅವು ನಿಜವಾಗಿ ಇರಬೇಕಾದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಯಾರೂ ತಪ್ಪನ್ನು ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೆನಪಿಡಿ: ನೀವು ತಕ್ಷಣ ವಿಭಜಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡದಿದ್ದರೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು 1), ನಂತರ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಹಿಂಜರಿಯಬೇಡಿ, ಗುಣಿಸಿ, ವರ್ಗ ಮಾಡಿ - ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಸುಂದರವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ನಾವು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ ಅಂಗೀಕೃತಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುವಲ್ಲಿ - ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಮುಂದೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ನಮಗೆ a ಅಥವಾ b ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಜೊತೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಬೇಸ್‌ಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ (ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು, ಇತ್ಯಾದಿ) ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಂದಿನಿಂದ, ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ನೀವು ಕಳೆದುಹೋಗಬಾರದು ಅಥವಾ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಾರದು. ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಈ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ:

1. ಎಲ್ಲಾ ಉಚಿತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ;
2. ನಂತರ ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ;
3. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಗ್ರೇಡ್ 8-9 ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನನ್ನ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ಗೆ ಹೋಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ನನ್ನಂತೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ನನಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ. ಮತ್ತು ನನಗೆ ಅಷ್ಟೆ. ಪಾವೆಲ್ ಬರ್ಡೋವ್ ನಿಮ್ಮೊಂದಿಗಿದ್ದರು. ಮತ್ತೆ ಭೇಟಿ ಆಗೋಣ!

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು?

ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು? ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಅನೇಕ ಪದವೀಧರರನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ, ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಭಯಾನಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ! ನನ್ನನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಫೈನ್. ಈಗ, ಕೇವಲ 10-20 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು:

1. ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು.

2. ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. ನೀವು ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಕೇಳದಿದ್ದರೂ ಸಹ.

3. ಸರಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ತಿಳಿಯಿರಿ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ...

ನಿಮಗೆ ಅನುಮಾನವಿದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ಅನಿಸುತ್ತದೆ... ಸರಿ, ಸರಿ, ಸಮಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ! ಹೋಗು!

ಮೊದಲು, ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ (a b *a c = a b+c). ಈ ಗಣಿತದ ನಿಯಮವನ್ನು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ 8ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ ವಿರಾಸೆನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿದನು. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದರು. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಸರಳವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ತೊಡಕಿನ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಲು ನೀವು 10 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿಮಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ: ಲಾಗ್ a b=c, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ (ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ) “b” ಅದರ ಮೂಲ “a” ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು “c” ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಬಿ" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು "a" ಮೂಲವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಲಾಗ್ 2 ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ 8. ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ನೀವು 2 ರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶಕ್ತಿಗೆ 8 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ! ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜ, ಏಕೆಂದರೆ 2 ರಿಂದ 3 ರ ಶಕ್ತಿಯು 8 ಎಂದು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಈ ವಿಷಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಗ್ರಾಹ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು ಅಷ್ಟು ಭಯಾನಕವಲ್ಲ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಧಗಳಿವೆ:

1. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ln a, ಇಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ (e = 2.7).
2. ದಶಮಾಂಶ a, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು 10 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ a>1 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸರಳೀಕರಣ, ಕಡಿತ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಕಡಿತ ಸೇರಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸರಿಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ನಿಯಮಗಳು-ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಚರ್ಚೆಗೆ ಒಳಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸತ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಹ ಅಸಾಧ್ಯ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ನೀವು ದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಲಿಯಬಹುದು:

• ಮೂಲ "a" ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ "1" ಮತ್ತು "0" ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• a > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, b >0 ಆಗಿದ್ದರೆ, "c" ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 x = 100 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಲಸವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ನಾವು 100 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಹತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ 10 2 = 100.

ಈಗ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ನಾವು ಲಾಗ್ 10 100 = 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲವನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ.

ಅಜ್ಞಾತ ಪದವಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಟೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿಯಬೇಕು. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನೀವು ತಾಂತ್ರಿಕ ಮನಸ್ಸು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಕೆಲವು ಘಾತಗಳನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನಿಮಗೆ ಪವರ್ ಟೇಬಲ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಗಣಿತದ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದವರೂ ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎಡ ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಬೇಸ್ a), ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಲು ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಪವರ್ ಸಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಛೇದಕದಲ್ಲಿ, ಕೋಶಗಳು ಉತ್ತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (a c =b). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಕೋಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ಮೌಲ್ಯ 100 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಎರಡು ಕೋಶಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿದ್ದು, ಅತ್ಯಂತ ನಿಜವಾದ ಮಾನವತಾವಾದಿ ಸಹ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ!

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಘಾತವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 4 =81 ಅನ್ನು 81 ರ ಆಧಾರ 3 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು (ಲಾಗ್ 3 81 = 4). ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ: 2 -5 = 1/32 ನಾವು ಅದನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಲಾಗ್ 2 (1/32) = -5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಆಕರ್ಷಕ ವಿಭಾಗವೆಂದರೆ "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯ. ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ತಕ್ಷಣ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಲಾಗ್ 2 (x-1) > 3 - ಇದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯ “x” ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಬೇಸ್ ಎರಡಕ್ಕೆ ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ 2 x = √9) ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎರಡೂ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಶ್ರೇಣಿ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ತರವು ಸಮೀಕರಣದ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಳ ಗುಂಪಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರಂತರ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಬಂದಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ; ಮೊದಲು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

1. ಮುಖ್ಯ ಗುರುತು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a logaB =B. ಇದು a 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು B ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಲಾಗ್ ಡಿ (ಗಳು 1 * ಸೆ 2) = ಲಾಗ್ ಡಿ ಎಸ್ 1 + ಲಾಗ್ ಡಿ ಎಸ್ 2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಡ್ಡಾಯ ಸ್ಥಿತಿಯೆಂದರೆ: ಡಿ, ಎಸ್ 1 ಮತ್ತು ಎಸ್ 2 > 0; a≠1. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಈ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ನೀವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. a s 1 = f 1 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು a s 2 = f 2 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ, ನಂತರ a f1 = s 1, a f2 = s 2. ನಾವು s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ), ಮತ್ತು ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ: ಲಾಗ್ a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.
3. ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ a q b n = n / q log a b.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪದವಿಯ ಆಸ್ತಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

a b = t ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ, ಅದು t =b ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ m ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ: a tn = b n ;

ಆದರೆ a tn = (a q) nt/q = b n, ಆದ್ದರಿಂದ a q b n = (n*t)/t ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡಿ, ನಂತರ a q b n = n/q ಲಾಗ್ a b ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಗತ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಅಥವಾ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂದೇ ಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಯೋಜನೆ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನೀವು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ ದೀರ್ಘ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀವು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಅವರನ್ನು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು: ಉದಾಹರಣೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಥವಾ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ln100, ln1026. ಬೇಸ್ 10 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 100 ಮತ್ತು 1026 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅವರ ಪರಿಹಾರವು ಕುದಿಯುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತುಗಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಫಾರ್ಮುಲಾಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು: ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 4 + ಲಾಗ್ 2 128 = ಲಾಗ್ 2 (4*128) = ಲಾಗ್ 2 512. ಉತ್ತರವು 9 ಆಗಿದೆ.
2. ಲಾಗ್ 4 8 = ಲಾಗ್ 2 2 2 3 = 3/2 ಲಾಗ್ 2 2 = 1.5 - ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪವರ್‌ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಘಾತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು (ಎಲ್ಲಾ ಶಾಲಾ ಪದವೀಧರರಿಗೆ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ). ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಭಾಗ A ಯಲ್ಲಿ (ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸುಲಭವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಭಾಗ) ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ C ಯಲ್ಲಿಯೂ (ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಇರುತ್ತವೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯದ ನಿಖರ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಧಿಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಲಾಗ್ 2 (2x-1) = 4. ಪರಿಹಾರ:
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ, ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಲಾಗ್ 2 (2x-1) = 2 2 ಅನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು 2x-1 = 2 4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 2x = 17; x = 8.5.

• ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ, ಇದರಿಂದ ಪರಿಹಾರವು ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
• ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿ ಇರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಗುಣಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು.