ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು. ಬಹುಪದಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳು

ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇಂದು ನಾವು "ಶಾಲಾ" ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ "ಶಾಲೆ" ಮಾತ್ರ ಅಲ್ಲ - ಆದರೆ ವಿವಿಧ vyshmat ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಂಡುಬರುವವುಗಳು. ಎಂದಿನಂತೆ, ಕಥೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ನಾನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನನ್ನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅನುಭವವನ್ನು ನಿಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ಮಾಹಿತಿಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದ ಓದುಗರು ತಮಗಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಹೊಸ ವಸ್ತು ಇರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ ... ಅನೇಕರು ಈ ಪದವನ್ನು ನಡುಕದಿಂದ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಮೌಲ್ಯದ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ "ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ" ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು ... ... ಅವುಗಳನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡಿ! ಏಕೆಂದರೆ ನಂತರ ನೀವು ಈ ಜಾತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ನಿರುಪದ್ರವ "ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು" ಭೇಟಿಯಾಗುತ್ತೀರಿ. ಅಥವಾ ಹತ್ತಾರು ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀರಸ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ನಿಜ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ನಾನು ಅವರನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇಷ್ಟಪಡಲಿಲ್ಲ ... ಭೀತಿಗೊಳಗಾಗಬೇಡಿ! - ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಡ್ಯಾಂಡೆಲಿಯನ್ಗಳು" 1-2 ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕಾಯುತ್ತಿವೆ. "ಬರ್ಡಾಕ್" ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ನೀವು ಇಲ್ಲಿ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು.

ವಿಚಿತ್ರವೆಂದರೆ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಪ್ರಾಚೀನ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯಸಮೀಕರಣಗಳು

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ "x" (ರೂಟ್) ನ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅದು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ "ಮೂರು" ಅನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯೋಣ:

ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ "ಎರಡು" ಬಿಡಿ (ಅಥವಾ, ಒಂದೇ ವಿಷಯ - ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ) :

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಗೆದ್ದ ಟ್ರೋಫಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಮೂಲವನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ:
ಮತ್ತು ಈ ಕೆಟ್ಟ ಶೈಲಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ! ನಾನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಕಾರಣವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೀಜಗಣಿತ.

ಮೂಲಕ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ಅರೇಬಿಕ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ" ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಈ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾನೂನುಬದ್ಧವಾಗಿದೆ! ಆದರೆ ನೀವು ಶಿಕ್ಷಕರಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ವಂತಿಕೆಯು ಇಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಾರ್ಹವಾಗಿದೆ =)

ಮತ್ತು ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಬಗ್ಗೆ

ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನ

ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿದೆ "ಎಕ್ಸ್" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ (x ಅಕ್ಷ):

ಉದಾಹರಣೆಯು ತುಂಬಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅದರಿಂದ "ಹಿಂಡಬಹುದು": ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಇದರಲ್ಲಿ, ದಯವಿಟ್ಟು ಎರಡು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ: ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ- ಇದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ! ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹಾಯ ಮಾತ್ರಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು, ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಇರಬಹುದು. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರದ ಉದಾಹರಣೆಯು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ "ಬಿಸಿ" ಶಾಲೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು. ಮತ್ತು ಇದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ! ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ತಿಳಿಯಬಹುದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ, ನಂತರ, ಒಬ್ಬರು ಹೇಳಬಹುದು, "ಅರ್ಧ ಉನ್ನತ ಗಣಿತವು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಮ್ಮ ಜೇಬಿನಲ್ಲಿದೆ" =) ಉತ್ಪ್ರೇಕ್ಷಿತ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಆದರೆ ಸತ್ಯದಿಂದ ದೂರವಿಲ್ಲ!

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೋಮಾರಿಯಾಗಿರಬಾರದು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮಾನ್ಯಬೇರು:

ಕಂಡುಬರುವ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

ನೀವು ಹಠಾತ್ತನೆ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮರೆತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೈಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳು / ಸಹಾಯ ಕೈಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ನಾವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ! ಮತ್ತು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಬಿಂದು ಬಿಂದು ನಿರ್ಮಿಸಲುಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ , ಆ ಮೂಲಕ ಅದು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಅದು ದಾಟಿದರೆ). ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಕುತಂತ್ರವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ: ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಿರಿ - ಮತ್ತು "X" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ!


ನೇರ ರೇಖೆಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ (ಬಹು) ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನೇರ ರೇಖೆಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗಿದರೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು, ಆದರೆ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಶಾಲಾಮಕ್ಕಳೂ ಸಹ ಈ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ - ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಕೇವಲ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದೆಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ!

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ: ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣ ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸರಳವಾದ "ಪುರಾವೆ" ಆಗಿ, ನಾನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ:
ಮತ್ತು ನಾನು ಅದನ್ನು ನೋವುರಹಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇನೆ (ನಾನು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು "ಮೈನಸ್ ಎರಡು" ಎಂದು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇನೆ):

ಆದರೆ!ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ! ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಗುಣಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ: .

ಅನೇಕ ಜನರು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅದನ್ನು "ಅಗೌರವ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವರು ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಕಥಾವಸ್ತು ಮಾಡುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ!

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ನೀವು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಅವು ನಿಮಗೆ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ (ಅಕಾ "ಎರಡು"). ನಿರ್ಗಮನವಿದೆ! - ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ:


ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಅವರ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ "X" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಶಾಂತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಸಾಂದ್ರೀಕೃತ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:
, ಎಲ್ಲಿ ( – ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್) .

ಮತ್ತು, "ದೂರ ಹೋಗದೆ", ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪದಗಳು. ತತ್ವ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ "x", ಏಕೆಂದರೆ ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಸೈನುಸಾಯಿಡ್ ತುಂಡುಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಇರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. (x-ಅಕ್ಷ):

ಅಥವಾ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ:

ಆದರೆ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಹಲವು ಪರಿಹಾರಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: ಖಾಲಿ, ಸೈನುಸಾಯಿಡ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದ ಏನಾದರೂ ಇದೆಯೇ? ಬಗ್ಗೆ ಪಾಠಗಳನ್ನು ತುರ್ತಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು!

ಬೆಚ್ಚಗಾಗೋಣ:

ವ್ಯಾಯಾಮ 1

ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಗಳು

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಿಖರವಾದ ವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಕ್ರ್ಯಾಮ್ ಮಾಡುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ! ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ದೋಷಪೂರಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಪಾಠದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಮಗೆ ಭರವಸೆ ನೀಡಿದಂತೆ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಹಳ ವಿರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟುವ ಬೇರುಗಳ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು . ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಚಿಂತಿಸಬೇಡಿ - ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೋಡಿ ಅಥವಾ ಇಂಟರ್ನೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ =)

ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಕಡಿಮೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ "ರಾಗ್‌ಟ್ಯಾಗ್" ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಕಾಣುತ್ತವೆ... ಯಾವುದನ್ನೂ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು , ನಿರ್ಮಿಸಿ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳುಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ನಂಬಲಾಗದಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಲೇಖನದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವಿದೆ ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಮುಂದಿನ ಟ್ಯಾಬ್‌ನಲ್ಲಿ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ).

ಅದೇ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಮೀಕರಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧಮತ್ತು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಈ ಮೂಲವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ. ಮೂಲಕ, ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಯೇ?. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು - ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳು.
ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ

ಮತ್ತು ಈಗ ನಿಮ್ಮ ನೋಟವನ್ನು ಮಧ್ಯಯುಗಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಾತಾವರಣವನ್ನು ಅನುಭವಿಸಲು ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇನೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಸ್ವಲ್ಪವಾದರೂ ಓದಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಅವರು ಅತ್ಯುತ್ತಮರು. ಬಹುಪದಗಳು.

ನಮ್ಮ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಸ್ತುವು ರೂಪದ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣಗುಣಾಂಕಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಪದದ ಪದವಿ, ಸಂಖ್ಯೆ - ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯ ಗುಣಾಂಕ (ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕ), ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ.

ನಾನು ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳುಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ

ನಾನು ಕಬ್ಬಿಣದ ತರ್ಕವನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತೇನೆ =)

ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಲೇಖನದ ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ:

1 ನೇ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ! ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುವುದು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಕ್ಷರಶಃ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಧ ಪರದೆ:

1) ಅನುಬಂಧದ ಪ್ರಕಾರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ, ಪದವಿ ಬಹುಪದವು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣಬೇರುಗಳು. ಕೆಲವು ಬೇರುಗಳು (ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ) ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇರಬಹುದು ಮಾನ್ಯ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ (ಬಹು) ಬೇರುಗಳು ಇರಬಹುದು (ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು, ಗರಿಷ್ಠ ತುಣುಕುಗಳು).

ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಯೋಗಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಹ ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ (ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ).

ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು 8 ರಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸಲಾಯಿತು (ಇಷ್ಟ)ವರ್ಗ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ "ಮುಗಿಸಿದೆವು" ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಬಹು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ.

2) ಇಂದ ಬೆಝೌಟ್ ಪ್ರಮೇಯಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದು:
, ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ನಮ್ಮ ಹಳೆಯ ಉದಾಹರಣೆ: ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ . ಅದರ ನಂತರ ಪ್ರಸಿದ್ಧ "ಶಾಲೆ" ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತಮ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 3 ನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಉಳಿದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. 4 ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆ:

ಪ್ರಶ್ನೆ ಒಂದು. ಈ ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅದರ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಬೇರುಗಳು, ಮತ್ತು ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಮುಂದೆ ನಾವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ...ಅವರು ತುಂಬಾ ಚೆನ್ನಾಗಿದ್ದಾರೆ, ತುಂಬಾ ತುಪ್ಪುಳಿನಂತಿದ್ದಾರೆ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ! =)

ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬರುವ ಮೊದಲ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಚ್ ಉಚಿತ ಪದದಲ್ಲಿದೆ - ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ “x” ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ “ಬೀಳುತ್ತವೆ”:

ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಉಚಿತ ಪದವು "ಮೂರು" ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "ಮೂಲ" ಎಂದು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಏಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರ್ಯಾಯವು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ:

ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ತಪ್ಪುಸಮಾನತೆ, ಹೀಗಾಗಿ, ಘಟಕವು "ಸರಿಹೊಂದಿಲ್ಲ." ಸರಿ, ಸರಿ, ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ:

ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ನಿಜಸಮಾನತೆ! ಅಂದರೆ, ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

3 ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವಿದೆ (ಕಾರ್ಡಾನೊ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ), ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

- ನಮ್ಮ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಹುಪದವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು ಎರಡನೇ ಪ್ರಶ್ನೆ: "ಕಿರಿಯ ಸಹೋದರ" ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಸರಳವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ವಿಭಜಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅದೇ ಶಾಲೆಯ ವಿಧಾನ - "ಕಾಲಮ್"! ಪಾಠದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾನು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಿತಿಗಳು, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ.

ಮೊದಲು ನಾವು "ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು" ಬಹುಪದವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಲ್ಲರೊಂದಿಗೆ , ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ:
, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಮೇಜಿನ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

"ಕೆಂಪು" ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯು ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಾಯ್ದಿರಿಸುತ್ತೇನೆ ಅಲ್ಲಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹೊರದಬ್ಬುವುದು ಬೇಡ.

ನಾವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಶಗಳನ್ನು ತುಂಬುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕಸೂತಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ "ಮೈನಸ್ ಒನ್" ಒಂದು ರೀತಿಯ "ಸೂಜಿ" ಆಗಿದ್ದು ಅದು ನಂತರದ ಹಂತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು "ಕ್ಯಾರಿಡ್ ಡೌನ್" ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಕೋಶದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಕೆಂಪು ಸೂಜಿ" ಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತೆ "ಸೂಜಿ" ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ "ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ":

ಕೊನೆಯ ಕೋಶದಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯವು ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ ಸುಳಿವು ಇಲ್ಲದೆ (ಅದು ಹೇಗಿರಬೇಕು), ವಿಸ್ತರಣಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೇಜಿನ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ "ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ":

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತೆರಳಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ).

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಕಥಾವಸ್ತು "ಮಿಂಚು" ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ದಾಟಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಿ () ಹಂತದಲ್ಲಿ. ಅಥವಾ ಅದೇ “ಕುತಂತ್ರ” ಟ್ರಿಕ್ - ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ , ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ “X” ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೂಲಕ, 3 ನೇ ಡಿಗ್ರಿಯ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ-ಬಹುಪದಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷಒಂದು ಮಾನ್ಯಬೇರು. ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಸತ್ಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಸಹ ವಾಸಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಇದು ಪರಿಭಾಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ: ಬಹುಪದೀಯಮತ್ತು ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯ – ಇದು ಒಂದೇ ಅಲ್ಲ! ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಬಹುಪದಿಯ ಗ್ರಾಫ್" ಬಗ್ಗೆ, ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿರ್ಲಕ್ಷ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನಾನು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಈ ಯೋಜನೆಯು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಅಲ್ಲಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸೇರ್ಪಡೆ (ಉಳಿದಿರುವುದು) ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ "ವಿಫಲ" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ರನ್" ಮಾಡೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ - ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಸ "ಸೂಜಿ" ಬರೆಯಿರಿ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸರಿಸಿ (ಎಡ ಹಸಿರು ಬಾಣ), ಮತ್ತು ನಾವು ಹೋಗುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:
, ಸರಿ.

ಶೇಷವು ("ಆರು") ನಿಖರವಾಗಿ ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ - ಅದು ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ:
, ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮವಾದದ್ದು - ಈ ರೀತಿ:

ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಂದ ಹಾರ್ನರ್ನ ಯೋಜನೆಯು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮೂಲದ "ನಾಗರಿಕ" ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೀವೇ ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ಕಾರ್ಯ 2

ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ನೀವು 1, –1, 2, –2, ... – ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು - ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಶೇಷವನ್ನು "ಡ್ರಾ" ಮಾಡುವವರೆಗೆ. ಈ ಸಾಲಿನ "ಸೂಜಿ" ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥ

ಒಂದೇ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಳ್ಳೆಯದು, ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಬಹುಪದದ ಮಟ್ಟವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬಹಳ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಥವಾ ಅದೇ ಪಟ್ಟಿ 1, –1, 2, –2 ನಿಂದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲವೇ? ಮತ್ತು, ಜೊತೆಗೆ, ಬೇರುಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಚುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳಿಗಾಗಿ "ಅಭ್ಯರ್ಥಿ" ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಎರಡು ಪ್ರಬಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 1ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ತಗ್ಗಿಸಲಾಗದಭಾಗ, ಎಲ್ಲಿ. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೂಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಟೇಸ್ಟಿ ವಿವರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಈ ಬೇರುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು "ಮೂರು" ಅನ್ನು 1, -1, 3 ಮತ್ತು -3 ಎಂದು ಮಾತ್ರ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಕೇವಲ 4 "ಮೂಲ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು, ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಮೇಯ 1, ಇತರ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತತ್ವದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿರಬಾರದು.

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು "ಸ್ಪರ್ಧಿಗಳು" ಇವೆ: ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು 1, -1, 2, - 2, 4 ಮತ್ತು -4 ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

1, -1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಬೇರುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯ "ನಿಯಮಿತ" ಎಂದು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ (ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಣಾಮ)ಮತ್ತು ಆದ್ಯತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ಸಮಸ್ಯೆ 3

ಪರಿಹಾರ: ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕಗಳಾಗಿರಬೇಕು. "ಮೈನಸ್ ನಲವತ್ತು" ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
- ಒಟ್ಟು 16 "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು".

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಲೋಭನಗೊಳಿಸುವ ಆಲೋಚನೆಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯ! ನಾನು ಎರಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

1) ವೇಳೆ ಎಲ್ಲಾಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇದು ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣವಲ್ಲ (ಈಗ, ನಮಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದ್ದರೆ - ಹೌದು, ಬಹುಪದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವಾಗ, ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೂ ಸಹ)ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

2) ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ (ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ ಸೇರಿದಂತೆ)ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಬಹುಪದವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಥವಾ "ಕನ್ನಡಿ": ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಇದು ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣ! ಸ್ವಲ್ಪ ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ "X" ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಎಡಭಾಗವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಶೋಧನೆಗೆ 8 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಳಿದಿವೆ:

ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ "ಚಾರ್ಜ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾನಸಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ:

"ಎರಡು" ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಅದೃಷ್ಟ ನಮಗೆ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ . ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ನಾನು ಅದೇ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೂಚಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೇನೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಉಚಿತ ಪದವು 20 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯ 1 8 ಮತ್ತು 40 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಬೇರುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಹೊರಗುಳಿಯುತ್ತವೆ, ಸಂಶೋಧನೆಗಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತವೆ (ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ).

ನಾವು ಹೊಸ ಕೋಷ್ಟಕದ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದೇ "ಎರಡು" ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆ? ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ದಯವಿಟ್ಟು: - ಈ ಸಮೀಕರಣವು 10 ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ವಿಚಲಿತರಾಗಬಾರದು:

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಬೇರುಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧವೆಂದು ತಿಳಿದು ನಾನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಳ್ಳು ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅವರು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಫಲ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ನಾನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ತಾರತಮ್ಯದಿಂದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಮಾಡಿ.

ಉತ್ತರ: ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳು: 2, 4, 5

ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅದೃಷ್ಟವಂತರು, ಏಕೆಂದರೆ: ಎ) ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಕ್ಷಣವೇ ಕುಸಿಯಿತು, ಮತ್ತು ಬಿ) ನಾವು ಬೇಗನೆ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು).

ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ತುಂಬಾ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ. "ದಿ ಲಾಸ್ಟ್ ಹೀರೋ" ಎಂಬ ಅತ್ಯಾಕರ್ಷಕ ಆಟವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ 4

ಸಮೀಕರಣದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಮೂಲಕ ಪ್ರಮೇಯ 1ಕಾಲ್ಪನಿಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು (ನಾವು ಓದುತ್ತೇವೆ "ಹನ್ನೆರಡು el ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ"), ಮತ್ತು ಛೇದಗಳು – ಸ್ಥಿತಿಗೆ . ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಎರಡು ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

"ಪಟ್ಟಿ ಎಲ್":
ಮತ್ತು "ಪಟ್ಟಿ ಉಮ್": (ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಹಜ).

ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಬೇರುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು "ಎಲ್ ಪಟ್ಟಿ" ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುವುದು ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ:

ಅನೇಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಈಗಾಗಲೇ "ಹೀರೋ ಪಟ್ಟಿ" ಯಲ್ಲಿವೆ. ನಾವು "ಹೊಸಬರನ್ನು" ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಅದೇ "ಪಟ್ಟಿ" ಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ

ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಆಟದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವವರ ತಂಡವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ:


ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು "ಧನಾತ್ಮಕ" ಅಥವಾ "ಋಣಾತ್ಮಕ" ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಹೇಗನಿಸುತ್ತಿದೆ? ಬನ್ನಿ, ನಿಮ್ಮ ತಲೆ ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ - ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ "ಕೊಲೆಗಾರ ಪ್ರಮೇಯ" ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ. ...“ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು”, ಸಹಜವಾಗಿ =)

ಆದರೆ ಮೊದಲು ನೀವು ಹಾರ್ನರ್‌ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸ್ಕ್ರಾಲ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲಾಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಎಂದಿನಂತೆ:

ನಾಲ್ಕು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅವಳು ನಮಗೆ ತುಂಬಾ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ: , ನಂತರ ಅದರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳು (ಅವರು ಇದ್ದರೆ)ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು (ಅದನ್ನು ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ). ಈ ನಾಲ್ವರು ಅನೇಕ "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳ" "ಕೊಲೆಗಾರ" ಆಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರದರ್ಶನವಾಗಿ, ನಾನು ಕೆಲವು ಚೆಕ್‌ಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ:

"ಅಭ್ಯರ್ಥಿ" ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೃತಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ, ಇದರಿಂದ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ . ಪರೀಕ್ಷಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: ನಾಲ್ಕನ್ನು "ಮೈನಸ್ ಎರಡು" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ: , ಅಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯ ಮೂಲವು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: . ಸಹಜವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ "ವಿಷಯ" ಸಹ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 ಮತ್ತು ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದ x - s ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಶೇಷ, ನಂತರ ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ (ವಿಧಾನ) ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದು ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು b n, b n - 1, b n - 2, . . . , b 1 ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಡಿವಿಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 ನಲ್ಲಿ x - s . ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ b 0 ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಈ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸ್ಥಿತಿ:ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದ x - 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ s ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು a 4 = 2, a 3 = - 3, a 2 = - 1, a 1 = 4, a 0 = 13.

ಉತ್ತರ:ನಾವು b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು b 0 = 15.

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿವರವಾದ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸ್ಥಿತಿ:ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದ x + 1 2 ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡೋಣ.

ಕೊನೆಯ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಶೇಷವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಉತ್ತರ:ಅಂಶವು ಬಹುಪದೀಯ 2 x 2 - 12 x + 18 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

b 0 = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬಹುಪದದ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 ದ್ವಿಪದದಿಂದ x - s, ಮತ್ತು ನಾವು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವನ್ನು s ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + .. + b 1)

ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನೀವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದಾಗ ಅಥವಾ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸರಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವಾಗ ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯು ಆ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಸ್ಥಿತಿ: x 3 - 7 x - 6 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ) ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6 ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಬಳಸಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಏಕತೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಟೇಬಲ್ ಡೇಟಾದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಟೇಬಲ್ಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಮೂಲವನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ.

ಆದರೆ - 1 ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಇದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - 1 ಬಹು (ಪುನರಾವರ್ತಿತ) ಮೂಲವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ. x = - 2 ಗಾಗಿ ಹಾರ್ನರ್ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪೂರಕಗೊಳಿಸೋಣ:

ಮೈನಸ್ ಎರಡು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಮೂಲವು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಗಿಸೋಣ:

ಹಾರ್ನರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತುಂಬಿದ ಕೊನೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವು ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: x = - 1 , x = - 2 , x = 3 , x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಹಿಂದೆ, ಬಹುಪದದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಏಕಪದಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಪದವಿಯ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಕೇತಬಹುಪದೀಯ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ

ಎಲ್ಲಿ X– ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು , ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎನ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ನಿಂದ X . ಪದವಿಬಹುಪದವು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದೀಯ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾಣಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪದವಿಯನ್ನು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪದವಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ,

ಐದನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳು ಸಮಾನಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಪದದ ಮೂಲ, ಬದಲಿಗೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವಾಗ Xಬಹುಪದವು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಬಹುಪದದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ (ಕಾರ್ಡಾನೊ ಮತ್ತು ಫೆರಾರಿ ಸೂತ್ರಗಳು) ಬಹುಪದಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ತೊಡಕಿನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಉನ್ನತ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನವಾದ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು.

ಹಿಂದಿನ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ, ಅಪವರ್ತನ ಬಹುಪದಗಳ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು; ಗುಂಪುಗಾರಿಕೆ; ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ.ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಮತ್ತು ಪದವಿಯು 0 ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದವಿಯು ಪದವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯಂತಹ ಬಹುಪದಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ

ಇದಲ್ಲದೆ, ಪದವಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ವಿಭಾಜಕ,ಬಹುಪದೀಯ ಅಪೂರ್ಣ ಖಾಸಗಿ, ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಉಳಿದ .

ವಿಭಜನೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಷೇರುಗಳುಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಕಣ ಅಥವಾ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ.

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಲಾಭಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ (0 ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕಾಣೆಯಾದವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ).

ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ "ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ" ಲಾಭಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಅಪೂರ್ಣ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು (ಮೊನೊಮಿಯಲ್) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಡಿವಿಡೆಂಡ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ಏಕಪದವನ್ನು ವಿಭಾಜಕದ ಪ್ರಮುಖ ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಜಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಲಾಭಾಂಶದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅದೇ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಲಾಭಾಂಶದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಶೇಷಕ್ಕೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಭಾಜಕದ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ.

ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು

ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ

ಭಾಜಕ ಪದವಿಗಿಂತ ಪದವಿ ಕಡಿಮೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ.ಭಾಜಕವು ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಭಜನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಎ=2. ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ನೀವು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದರೆ

ನಂತರ ಅದನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ನರ್‌ನ ಸ್ಕೀಮ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡದ್ದನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎ. ಉಳಿದಂತೆ ಉಳಿದಿದೆ.

ಬೆಝೌಟ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಬಹುಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X = ಎ, ಅಂದರೆ . ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದು X = ಎಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಬಹುಪದದ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ ಎ , ಪದವಿಗಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಗುಣಕವನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಬಳಸಿ ಅಥವಾ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಬಹುಪದದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಿಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಭಾಗವು ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಂಶ ಪಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕ, ಮತ್ತು ಛೇದ qಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ).

ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗ .

ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: , ಅಲ್ಲಿ ಅಂಶವು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎನ್, ಛೇದವು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಕೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಂತರ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ .

TO ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳುಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ.ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಭಾಗವಿದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ. ಬಹುಪದಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

"ಪ್ರೊಫೆಷನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಟ್ಯೂಟರ್" ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ಬೋಧನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೇಖನಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದೆ. ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನನ್ನ ಕೆಲಸದ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನಾನು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತೇನೆ. ನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ತರಗತಿಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ 8-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಈ ವಸ್ತುವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಗಣಿತ ಬೋಧಕ ಯಾವಾಗಲೂ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಅಂತಹ ವಿಷಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಆಗುತ್ತಿವೆ ಮತ್ತು ಕೈಪಿಡಿಗಳ ಲೇಖಕರನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ಮತ್ತು ಅರೆಕಾಲಿಕ ಬೋಧಕರಿಗೆ (ಶಿಕ್ಷಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಬೋಧಕರು) ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅನುಭವಿ ಶಿಕ್ಷಕರು, ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಅನುಭವ ಮತ್ತು ಅರ್ಹತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿನ ಒರಟು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ಸರಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರತಿಭೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳು (ಅಥವಾ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು) ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಎಲ್ಲರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಮಕ್ಕಳಿಂದ ಅದರ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಗ್ರಹಿಕೆಗಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಕ್ಕಳು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರು, ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಟಣೆಗಳ ಲೇಖಕರು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುವ ಸಮಯ ಕಳೆದಿದೆ. ಹಿಂದೆ, ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಗಂಭೀರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕಲಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿಸಲು ಶ್ರಮಿಸುವ ಹವ್ಯಾಸಿಗಳಿಗೆ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಲವಾದ ಗಣಿತ ತರಗತಿಗಳ ಮಾನದಂಡಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.

ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಓಟವು ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಜ್ಞಾನದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಯಾರೂ ಗಮನ ಹರಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಮಕ್ಕಳು ಈಗಾಗಲೇ 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದೋ. ಮಗುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಗ್ರಹಿಕೆಗಾಗಿ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳ ರೂಪಾಂತರವು ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಇದನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಯಸ್ಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ "ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ "ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು" ಅಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯವನ್ನು ಕಲಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಅಷ್ಟೊಂದು ಒತ್ತು ನೀಡಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಮುಖ್ಯ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ಭಾಗವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಈಗ ಟೆಲ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಂಪಾದಿಸಿದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಗೌರವಾನ್ವಿತ ಲೇಖಕರು, ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹಾಳು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಬೋಧಕರಿಗೆ ಅನಗತ್ಯ ಚಿಂತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗಣಿತದ ಸ್ಥಾನಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಶಾಲೆಗಳು ಮತ್ತು ತರಗತಿಗಳ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಲೇಖಕರ ನಾವೀನ್ಯತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿ, ತಮ್ಮ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ಯಾರಾಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಜಿಜ್ಞಾಸೆಯ ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಸುಂದರವಾದ ಪುಟಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೇಳುತ್ತಾರೆ. ಬೋಧಕ: "ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಈ ವಿಭಾಗ ಏನು? ನಾವು ಈ ಮೂಲಕ ಹೋಗಲಿದ್ದೇವೆಯೇ? ಮೂಲೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ಇನ್ನು ಇಂತಹ ನೇರ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಂದ ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೋಧಕನು ಮಗುವಿಗೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೇಳಬೇಕು.

ಆದರೆ ಹಾಗೆ? ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾನು ಬಹುಶಃ ವಿವರಿಸುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲವೂ ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ? ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಬರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ದೂರುತ್ತಾರೆಯೇ? ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿವೆಯೇ? ಗ್ರೇಟ್! ಕೆಲವು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಇತರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಏಕೆ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ? ನಾವು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಧ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ನಿಯಮ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ? ಇದು ಮೂಲ ಗಣಿತ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು "ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಶಿಕ್ಷಕರು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೇ? ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಕರ ಬಗ್ಗೆ ಏಕೆ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ? ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರೂ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೇ? ನಾವು ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಳವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಷಯದ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅದರ ತರ್ಕವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಲೇಖಕರ ಸೂಚನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. . ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಂಜು ಇರುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಲವಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಸಿಕೊಂಡರೆ (ಆದರೆ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ), ನಂತರ ನೀವು ವಿಷಯವನ್ನು ಕಮಾಂಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಾರದು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ? ಮಕ್ಕಳೇ, ನಾವು ಈ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು. ಕೋನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಬಹುಪದದಿಂದ ಏಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶೇಷದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು. ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಏಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು ಏಕೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಮರ್ಥ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವಿವರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ದಪ್ಪ ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಥಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನನ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾನು ಬೋಧಕರು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಗಮನಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಖ್ಯೆ a ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು x-a, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯಿಂದ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೋಧನಾ ವಿಧಾನ ಎಂದರೇನು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗಣಿತದ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಯಾವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯವು ಇದಕ್ಕೆ ಹೊರತಾಗಿಲ್ಲ. ಗಣಿತ ಬೋಧಕನು ಮಗುವನ್ನು ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೊದಲು. ಇದು ಅತೀ ಮುಖ್ಯವಾದುದು! ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ. ಆಯ್ದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು 7 ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಗಣಿತದ ಬೋಧಕರಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿವರಣೆಗಳು, ಒತ್ತು ಮತ್ತು ಸಲಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಧಿಕಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಿಷಯವನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸಲಹೆ- ಮೊದಲಿನಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಅದರ X ಬದಲಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x=1 ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಎರಡು ಪದಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಏಕಪದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ

ನಾವು ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಏಕಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮುಖ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ದುರ್ಬಲನಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವನು ಗಣಿತದ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮರ್ಥನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ: . ಅದನ್ನು ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತೆರೆದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬೋಧಕರನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕೇಳಬೇಕು. ಈ ವರ್ಚುವಲ್ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಾಣಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಸ್ವಲ್ಪ ಫೋಟೋ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ) ಸಹಿ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ಬಣ್ಣದಿಂದ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಲಿ. ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಶೇಷವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲು ನಾನು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:



ಈ ಸಮಾನತೆಗೆ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ (1 ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು. ಮೊದಲ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಹ ಶೂನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಲ್ಲದೆ ನಾವು "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ದ ಮೂಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಮಾಡಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಅದನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ, ಅದರಿಂದ ಅದೇ ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ಗಣಿತ ಬೋಧಕನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಮುಂದೆ ಎರಡು ಚೌಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ತುಂಬಲು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ.



ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಏಕಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮುಖ ಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಫ್ರೇಮ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ, ತಕ್ಷಣವೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮಡಿಸುವ ಒಂದರಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ



ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿ



ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ



ಈಗ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು "x ಮೈನಸ್ ಆಯ್ಕೆ ಮೂಲ".

ಕೊನೆಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಯೋಚಿಸದಿರಲು, ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಎಲ್ಲಾ ಹಸಿರು ಶೇಷಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು - ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 1 ರ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಶೇಷಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ನಂತರ ನಮಗೆ ಎಷ್ಟೇ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದರೂ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ನಾವು ರೂಟ್ 1 ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಕೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ.

ಅಂತಹ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತಾ ಕೆಲಸದ ನಂತರ, ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಒಂದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯದೆ. ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮೂಲೆಯ ಎಡಕ್ಕೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಯ್ದ ಕೆಂಪು ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈಗ ಅವರು ಏಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ), "ನೀಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು" ಪಡೆಯಲು, "ಕೆಂಪು "ಅವುಗಳನ್ನು x-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಂದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು (ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಸಾದೃಶ್ಯ ಇಲ್ಲಿದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ "ಹಸಿರು ಅವಶೇಷಗಳು" ಹೊಸ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ ಮತ್ತು "ಕೆಂಪು ಮಾನೋಮಿಯಲ್ಸ್" ಆಯ್ಕೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ನೀವು ಶೂನ್ಯ "ಹಸಿರು ಸಮತೋಲನ" ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ. ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಕೋನದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿರುವ ಲಿಖಿತ ಬಹುಪದಗಳ ಮುಂದಿನ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನ ಕೆಲಸದ ಮುಂದಿನ ಹಂತವೆಂದರೆ ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬೋಧಕರ ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಸಂಖ್ಯೆ a ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು , ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲದಿಂದ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. :

• ನೇರ ವಿಭಜನೆ (ಗುಂಪು ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸದೃಶವಾಗಿ)
• ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ)
• ಹಾರ್ನರ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಮೂಲಕ

ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹಾರ್ನರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರು (ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಸ್ವತಃ) ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅಷ್ಟು ಆಳವಾಗಿ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತ ವರ್ಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ, ದೀರ್ಘ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಲು ನಾನು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವನ್ನು ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿಕೊಳೆಯುವ ತಂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಹಾರ್ನರ್ನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಗುವಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು, ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಹಸಿರು ಅವಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನೋಟವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಸಾಕು. ಆರಂಭಿಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಮೊದಲ "ಕೆಂಪು ಏಕಪದ" ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಕೊಂಡೊಯ್ಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ"ಕೆಂಪು ಮೊನೊಮಿಯಲ್" ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಸೇರಿಸಿಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶ. ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಿಶ್ಚಿತಗಳ ಮೇಲೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಗಮನವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡದೆಯೇ ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಆದ್ಯತೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:



ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದವಿ ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಟೇಬಲ್‌ಗೆ ಬಲವಂತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಕೆಂಪು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು "ಕೊಕ್ಕೆ" ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:


ಮೂಲವನ್ನು ಕೊನೆಯ ಕೆಂಪು ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೊನೆಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಶೇಷದ ನಡುವೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಎರಡನೇ (ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ.



a ಮೂಲವು ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್‌ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವುದರಿಂದ, ಬಹುಪದದ ಮೂಲದ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಹಾರ್ನರ್‌ನ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಈ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಎಡದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದ ತಕ್ಷಣ, ಪರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ತುಂಬಾ ಆರಾಮದಾಯಕ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ತನ್ನ ಇತ್ಯರ್ಥಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಗಂಟೆಗಳಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. "ವಾರಕ್ಕೊಮ್ಮೆ" ಆಡಳಿತದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಬೋಧಕನು ಮೂಲೆಯ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಬಾರದು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ರಾಜ್ಯ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂತಹ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎದುರಿಸುವುದು ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ. ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಬೋಧಕನು ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಮಗುವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಕಲನಕಾರರಂತಲ್ಲದೆ, ಅರ್ಜಿದಾರರ ಜ್ಞಾನದ ಆಳವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ.

ಕೋಲ್ಪಕೋವ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್, ಗಣಿತ ಬೋಧಕ ಮಾಸ್ಕೋ, ಸ್ಟ್ರೋಗಿನೊ

ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ,ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ 1 ಬೇರುಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

ಮೊದಲು ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕಗಳು -10 ಇವೆ ±1, ±2, ±5, ±10.ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ ಸಂಖ್ಯೆ 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ ಸಂಖ್ಯೆ -1 ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ

ನಾವು ಬಹುಪದದ 1 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಬಹುಪದದ ಮೂಲವು -1, ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು x+1. ಬಹುಪದಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ನಾವು ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

	2	9	-10	-27	-10
-1

ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೂಲವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ -1. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಎರಡನೇ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ 2, ಸರಳವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಶದಿಂದ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಿಭಾಗದ ಉಳಿದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅದು 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

ಆದರೆ ಇದು ಅಂತ್ಯವಲ್ಲ. ನೀವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

ಮತ್ತೆ ನಾವು ಮುಕ್ತ ಪದದ ವಿಭಾಜಕಗಳ ನಡುವೆ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಜಕಗಳು -10 ಇವೆ ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಲ್ಲ

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ ಸಂಖ್ಯೆ -1 ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಲ್ಲ

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ

ಕಂಡುಬಂದ ಮೂಲವನ್ನು ನಮ್ಮ ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಕೋಶಗಳನ್ನು ತುಂಬಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಎರಡನೇ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ 2, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಶದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 2x 2 + 11x + 5ಸಹ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕಗಳ ನಡುವೆ ಮೂಲವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು 5. ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿನ ಎರಡನೇ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ 2, ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಶದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿದ್ದೇವೆ.