ಕೊಪಿಯೆವ್ಸ್ಕಯಾ ಗ್ರಾಮೀಣ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು 10 ಮಾರ್ಗಗಳು

ಮುಖ್ಯಸ್ಥ: ಗಲಿನಾ ಅನಾಟೊಲಿಯೆವ್ನಾ ಪತ್ರಿಕೇವ,

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ

ಕೊಪಿಯೆವೊ ಗ್ರಾಮ, 2007

1. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಇತಿಹಾಸ

1.1 ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.2 ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಡಿಯೋಫಾಂಟಸ್ ಹೇಗೆ ಸಂಕಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿದರು

1.3 ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.4 ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿಯಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.5 ಯುರೋಪ್ XIII - XVII ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.6 ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ

2. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ತೀರ್ಮಾನ

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಇತಿಹಾಸ

1.1 ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಮೊದಲನೆಯದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಮಿಲಿಟರಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಭೂ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಮಣ್ಣಿನ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಉಂಟಾಯಿತು, ಜೊತೆಗೆ ಖಗೋಳವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಸ್ವತಃ. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು 2000 BC ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಎನ್ಎಸ್ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು.

ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವರ ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮ, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಆಧುನಿಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಈ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಬಂದರು ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಕಂಡುಬಂದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳು ಪಾಕವಿಧಾನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ ಎಂಬ ಸೂಚನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ.

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳು negativeಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

1.2 ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಡಿಯೋಫಾಂಟಸ್ ಹೇಗೆ ಸಂಕಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿದರು

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್‌ನ "ಅಂಕಗಣಿತ" ದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಡಿಯೋಫಾಂಟಸ್ ಕೌಶಲ್ಯದಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ.

ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವನ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 11."ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 20 ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ 96 ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು"

ಡಿಯೋಫಾಂಟಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅದು ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 96 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 100. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ, ಅಂದರೆ ... 10 + x, ಇನ್ನೊಂದು ಕಡಿಮೆ, ಅಂದರೆ 10 - x... ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2x .

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

ಇಲ್ಲಿಂದ x = 2... ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ 12 , ಇತರೆ 8 ... ಪರಿಹಾರ x = -2ಏಕೆಂದರೆ ಡಿಯೋಫಾಂಟಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು.

ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಪರಿಚಿತವಾಗಿ ಆರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಧ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಪರಿಚಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಡಿಯೋಫಾಂಟಸ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ; ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವನು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ (1).

1.3 ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು

499 ರಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ್ಟರಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲ್ಪಟ್ಟ "ಆರ್ಯಭಟ್ಟಿಯಂ" ಖಗೋಳ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಎದುರಾಗಿವೆ. ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ವಿದ್ವಾಂಸ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (VII ಶತಮಾನ), ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಆಹ್ 2 + ಬಿ x = c, a> 0. (1)

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (1), ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ a, negativeಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಆಳ್ವಿಕೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಮ್ಮದೇ ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ, ಕಷ್ಟಕರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸ್ಪರ್ಧೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇಂತಹ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ: "ಸೂರ್ಯನು ತನ್ನ ಪ್ರಖರತೆಯಿಂದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳನ್ನು ಗ್ರಹಣ ಮಾಡಿದಂತೆ, ಕಲಿತ ಮನುಷ್ಯನು ಜನಪ್ರಿಯ ಸಭೆಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಬ್ಬರ ವೈಭವವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾನೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾನೆ." ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾವ್ಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

XII ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಭಾಸ್ಕರ.

ಸಮಸ್ಯೆ 13.

"ಕೋತಿಗಳ ಚುರುಕಾದ ಹಿಂಡು ಮತ್ತು ಬಳ್ಳಿಗಳ ಮೇಲೆ ಹನ್ನೆರಡು ...

ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತಿಂದ ನಂತರ, ಆನಂದಿಸಿ. ಅವರು ನೆಗೆಯಲು ಆರಂಭಿಸಿದರು ...

ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಅವು ಎಂಟನೇ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಎಷ್ಟು ಕೋತಿಗಳು ಇದ್ದವು,

ಕ್ಲಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾನು ಖುಷಿಪಡುತ್ತಿದ್ದೆ. ಈ ಪ್ಯಾಕ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಾ? "

ಭಾಸ್ಕರನ ಪರಿಹಾರವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯದ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3).

ಸಮಸ್ಯೆ 13 ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣ:

( X /8) 2 + 12 = X

ಭಾಸ್ಕರ ಈ ನೆಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:

x 2 - 64x = -768

ಮತ್ತು, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ 32 2 , ನಂತರ ಪಡೆಯುವುದು:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 ಅಲ್ -ಖೋರೆಜ್ಮಿಗಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಬೀಜಗಣಿತ ಗ್ರಂಥ ಅಲ್ -ಖೋರೆಜ್ಮಿ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರು 6 ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ:

1) "ಚೌಕಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮ", ಅಂದರೆ. ಕೊಡಲಿ 2 + ಸಿ = ಬಿ ಎನ್ಎಸ್

2) "ಚೌಕಗಳು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮ", ಅಂದರೆ. ಕೊಡಲಿ 2 = ಸಿ.

3) "ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮ", ಅಂದರೆ. ಆಹ್ = ಸಿ.

4) "ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 + ಸಿ = ಬಿ ಎನ್ಎಸ್

5) "ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮ", ಅಂದರೆ. ಆಹ್ 2 + bx = ಎಸ್.

6) "ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸಮ", ಅಂದರೆ. bx + ಸಿ = ಕೊಡಲಿ 2.

Negativeಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದ ಅಲ್ -ಖೋರೆಜ್ಮಿಗಾಗಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಾಗಿವೆ, ಕಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಲೇಖಕರು ಅಲ್ -ಜಬರ್ ಮತ್ತು ಅಲ್ -ಮುಕಾಬಲ್ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವರ ನಿರ್ಧಾರವು ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಲಂಕಾರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಅಲ್ -ಖೊರೆಜ್ಮಿ, 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಜ್ಞರಂತೆ, ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಬಹುಶಃ ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಲ್ -ಖೊರೆಜ್ಮಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 14."ಚೌಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 21 10 ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮ. ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ " (ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ x 2 + 21 = 10x).

ಲೇಖಕರ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ, ನೀವು 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ, 5 ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿ, ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ 21 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, 4 ಇರುತ್ತದೆ. 4 ರ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ, ನೀವು 2 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ , ನಿಮಗೆ 3 ಸಿಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಯಸಿದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ 2 ರಿಂದ 5 ಸೇರಿಸಿ, ಅದು 7 ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೂಡ ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಅಲ್ -ಖೊರೆಜ್ಮಿ ಗ್ರಂಥವು ನಮಗೆ ಬಂದ ಮೊದಲ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

1.5 ಯುರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು XIII - XVII ಸಿಸಿ

1202 ರಲ್ಲಿ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಬರೆದ "ಬುಕ್ ಆಫ್ ಅಬಾಕಸ್" ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ -ಖೊರೆಜ್ಮಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಇಸ್ಲಾಂ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಈ ಬೃಹತ್ ಕೆಲಸವು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಎರಡರಿಂದಲೂ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಲೇಖಕರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಬೀಜಗಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು negativeಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದ ಯುರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಅವರ ಪುಸ್ತಕ ಇಟಲಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಜರ್ಮನಿ, ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಯುರೋಪಿಯನ್ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಹರಡುವಿಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು. "ಅಬ್ಯಾಕಸ್ ಪುಸ್ತಕ" ದಿಂದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು 16 ರಿಂದ 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಯಿತು. ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ XVIII.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

x 2 + bx = ರು,

ಆಡ್ಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿ , ಜೊತೆ 1544 ರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಎಂ. ಸ್ಟೀಫೆಲ್‌ನಿಂದ ಯುರೋಪಿನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿಯೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಯೆಟ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ, ಕಾರ್ಡಾನೊ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು negativeಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕೇವಲ 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ. ಗಿರಾರ್ಡ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

1.6 ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಯೆಟಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಅವರು 1591 ರಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಿದರು: ಬಿ + ಡಿಗುಣಿಸಿದಾಗ ಎ - ಎ 2 , ಸಮ ಬಿಡಿ, ನಂತರ ಎಸಮ ವಿಮತ್ತು ಸಮಾನ ಡಿ ».

ವಿಯೆಟಾವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎ, ಯಾವುದೇ ಸ್ವರಗಳಂತೆ, ಅವನಿಗೆ ಅಪರಿಚಿತ (ನಮ್ಮ ಎನ್ಎಸ್), ಸ್ವರಗಳು ವಿ, ಡಿ- ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಯೆಟಾದ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಎಂದರೆ: if

(a + ಬಿ ) x - x 2 = ಅಬ್ ,

x 2 - (a + ಬಿ ) x + ಎ ಬಿ = 0,

x 1 = a, x 2 = ಬಿ .

ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು, ವಿಯೆಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಯೆಟಾದ ಸಂಕೇತವು ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪದಿಂದ ಇನ್ನೂ ದೂರವಿದೆ. ಅವನು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವನು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದನು.

2. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಭವ್ಯವಾದ ಕಟ್ಟಡವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ, ಘಾತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪದವಿಯವರೆಗೆ, ಶಾಲೆಯಿಂದ (ಗ್ರೇಡ್ 8) ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದು ನಮಗೆಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಆಧುನಿಕ ಸಮಾಜದಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮುದ್ರ ಮತ್ತು ನದಿ ಹಡಗುಗಳು, ವಿಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷಿಪಣಿಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಇದು ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಸ್ತುಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ದೇಹಗಳ ಚಲನೆಯ ಪಥಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಲ್ಲಿ, ಕಟ್ಟಡಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ದೈನಂದಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಪ್ರವಾಸಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರೀಡಾಕೂಟಗಳಲ್ಲಿ, ಶಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ ಅಂಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವರಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಘಟಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ

ಸಮೀಕರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹೊಂದಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪದವಿಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಅವು ಹೇಗೆ ಕಾಣಿಸಿದರೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎಡಭಾಗವು ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ಯಾವಾಗಲೂ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ: ಕೊಡಲಿ 2 (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಚೌಕ ವರ್ಗ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದೆಲ್ಲವೂ 0. ಸಮಾನವಾದ ಬಹುಪದವು ಅದರ ಘಟಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಕೊಡಲಿ 2 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳಿರುವಂತೆ ನೋಡಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೊಡಲಿ 2 ಮತ್ತು bx, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಹೊರಗೆ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: x (ax + b). ಮುಂದೆ, x = 0, ಅಥವಾ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಕೊಡಲಿ + b = 0. ಇದು ಗುಣಾಕಾರ ಗುಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನಿಯಮವೆಂದರೆ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಉದಾಹರಣೆ

x = 0 ಅಥವಾ 8x - 3 = 0

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 0 ಮತ್ತು 0.375.

ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೇಹಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮೂಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಿಂದ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ: y = v 0 t + gt 2/2. ಅಗತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ಬಲಭಾಗವನ್ನು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ, ದೇಹವು ಏರಿದ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಬೀಳುವ ಕ್ಷಣದವರೆಗೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಬಗ್ಗೆ ನಂತರ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂಶ

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ನಿಯಮವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

X 2 - 33x + 200 = 0

ಈ ಚೌಕದ ತ್ರಿಪದವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಾಂತರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ: (x-8) ಮತ್ತು (x-25) = 0. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಮಗೆ 8 ಮತ್ತು 25 ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 9 ರಲ್ಲಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ವಿಧಾನವು ಎರಡನೆಯ, ಆದರೆ ಮೂರನೆಯ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯ ಆದೇಶಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬಲ ಭಾಗವನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಇವೆ, ಅಂದರೆ (x + 1), (x -3) ಮತ್ತು (x + 3)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: -3; -1; 3

ವರ್ಗಮೂಲದ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ

ಅಪೂರ್ಣ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಅಕ್ಷರಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಲ ಭಾಗವನ್ನು ಕೊಡಲಿ 2 ಮತ್ತು ಸಿ ಘಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಕೇವಲ ಅಪವಾದವೆಂದರೆ c ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮಾನತೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಬಲಗೈ negativeಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬೇರುಗಳಿಂದ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು -4 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಭೂಮಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಈ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಗತ್ಯವು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ಆ ದೂರದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಅನೇಕ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಭೂ ಪ್ಲಾಟ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿತ್ತು.

ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲಿಸಿದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಭೂಮಿ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಅದರ ಉದ್ದವು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 16 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಸೈಟ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 612 ಮೀ 2 ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನೀವು ಸೈಟ್ನ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ವ್ಯವಹಾರಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುವುದು, ಮೊದಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ವಿಭಾಗದ ಅಗಲವನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ಅದರ ಉದ್ದವು (x + 16) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು x (x + 16) ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ 612 ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ x (x + 16) = 612.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ, ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೇವಲ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಏಕೆ? ಅದರ ಎಡಭಾಗವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ತಾರತಮ್ಯ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ನೋಟವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: x 2 + 16x - 612 = 0. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. = 1, ಬಿ = 16, ಸಿ = -612.

ಇದು ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: D = b 2 - 4ac. ಈ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಮಾಣವು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವುದಲ್ಲದೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿ> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ; D = 0 ಗೆ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ. ಡಿ ವೇಳೆ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸೂತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಾರತಮ್ಯವೆಂದರೆ: 256 - 4 (-612) = 2704. ಇದು ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದರರ್ಥ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ: x 1 = 18, x 2 = -34. ಈ ಸಂದಿಗ್ಧ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆಯು ಪರಿಹಾರವಾಗಲಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಭೂ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು negativeಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ x (ಅಂದರೆ, ಪ್ಲಾಟ್ನ ಅಗಲ) 18 ಮೀ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: 18 + 16 = 34, ಮತ್ತು ಪರಿಧಿ 2 (34+ 18) = 104 (ಮೀ 2).

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು

ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ಸಮಾನವಾದವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ: D = 49 - 48 = 1. ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 4/3, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು 1.

2) ಈಗ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇಲ್ಲಿ x 2 - 4x + 5 = 1 ರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿವೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ? ಸಮಗ್ರ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಚಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾರವು ಇದರಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿ = 16 - 20 = -4, ಅಂದರೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ

ವರ್ಗ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆ: ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಮತ್ತು ಅವರ ಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಭೆ ಮತ್ತು ನ್ಯಾಯಾಲಯದಲ್ಲಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಂದಾಗಿ ಅದ್ಭುತ ವೃತ್ತಿಜೀವನವನ್ನು ಮಾಡಿದ ಒಬ್ಬರ ಹೆಸರನ್ನು ಅವಳಿಗೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಅವರ ಭಾವಚಿತ್ರವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಮನಿಸಿದ ಮಾದರಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿತ್ತು. ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ -p = b / a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು q = c / a ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು.

ಈಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

3x 2 + 21x - 54 = 0

ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:

x 2 + 7x - 18 = 0

ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ -7, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ -18. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು -9 ಮತ್ತು 2. ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ

ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಇದರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮೊದಲೇ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ. ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಶಾಖೆಗಳು ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಒಂದು> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಎ<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ಕಾರ್ಯಗಳ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸೇರಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಮೌಲ್ಯವು ಗ್ರಾಫ್ ಲೈನ್ 0x ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಶೃಂಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ನೀಡಿರುವ ಸೂತ್ರ x 0 = -b / 2a ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮತ್ತು, ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನೀವು ವೈ 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗದ ಎರಡನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳ ಛೇದಕ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿಗಳೂ ಇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ವೈ 0 negativeಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಛೇದಕವು 0x ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ 0> ಅ 0 ಗೆ ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಒಂದು<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಡಿ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದುದು ಕೂಡ ನಿಜ. ಅಂದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ದೃಶ್ಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು 0x ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಇತಿಹಾಸದಿಂದ

ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಹಳೆಯ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಪುರಾತನರಿಗೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಭವ್ಯವಾದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಹಾಗೂ ಜ್ಯೋತಿಷ್ಯದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು.

ಆಧುನಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಊಹಿಸುವಂತೆ, ಬಾಬಿಲೋನ್ ನಿವಾಸಿಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಇದು ನಮ್ಮ ಯುಗಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಶತಮಾನಗಳ ಮೊದಲು ಸಂಭವಿಸಿತು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದವುಗಳಿಗಿಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಚೀನವಾದುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೆಸೊಪಟ್ಯಾಮಿಯಾದ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಕಾಲದ ಯಾವುದೇ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಇತರ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅವರಿಗೆ ಪರಿಚಯವಿರಲಿಲ್ಲ.

ಬಹುಶಃ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ, ಭಾರತದ ಬೌಧಾಯಾಮದ geಷಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಂಡರು. ಇದು ಕ್ರಿಸ್ತನ ಯುಗದ ಆಗಮನಕ್ಕೆ ಸುಮಾರು ಎಂಟು ಶತಮಾನಗಳ ಮೊದಲು ಸಂಭವಿಸಿತು. ನಿಜ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅವರು ನೀಡಿದ ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನಗಳು ಸರಳವಾದವು. ಅವನ ಜೊತೆಗೆ, ಚೀನೀ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಹ ಹಳೆಯ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 13 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಮಹಾನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ತಮ್ಮ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ - ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭ! * "KU" ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು.ಸ್ನೇಹಿತರೇ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಸುಲಭ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅವನೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕರಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನನಗೆ ಏನೋ ಹೇಳಿದೆ. ಯಾಂಡೆಕ್ಸ್ ತಿಂಗಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಅನಿಸಿಕೆಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ. ಏನಾಯಿತು ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ, ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ:

ಅದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ತಿಂಗಳಿಗೆ ಸುಮಾರು 70,000 ಜನರು ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವರ್ಷದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ - ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ವಿನಂತಿಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಇದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಪದವಿ ಪಡೆದ ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ನಡೆಸುತ್ತಿರುವ ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯರು ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದಾರೆ, ಮತ್ತು ಶಾಲಾಮಕ್ಕಳೂ ಸಹ ಅವರ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸುವ ಬಹಳಷ್ಟು ಸೈಟ್‌ಗಳಿವೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನಾನು ನನ್ನ ಕೈಯನ್ನೂ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ವಿನಂತಿಗಾಗಿ ಸಂದರ್ಶಕರು ನನ್ನ ಸೈಟ್‌ಗೆ ಬರಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ; ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಇತರ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ, "ಕೆಯು" ಭಾಷಣ ಬಂದಾಗ, ನಾನು ಈ ಲೇಖನಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ನೀಡುತ್ತೇನೆ; ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಇತರ ಸೈಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ನಾವೀಗ ಆರಂಭಿಸೋಣ!ಲೇಖನದ ವಿಷಯ:

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ:

ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು a,ಬಿಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ≠ 0 ನೊಂದಿಗೆ.

ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ - ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಮೂರು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

1. ಅವರಿಗೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ.

2. * ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ.

3. ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳು ಮಾನ್ಯವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ.

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ? ಕೇವಲ!

ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಈ "ಭಯಾನಕ" ಪದದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ಸೂತ್ರವಿದೆ:

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

* ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಬರೆದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ:

1. ಡಿ> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

2. ಡಿ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

3. ಡಿ ವೇಳೆ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂಬತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ...

ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸ್ವಲ್ಪ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ. ಹೌದು, ಹೌದು, ಆಶ್ಚರ್ಯಪಡಬೇಡಿ, ಇದು ಎರಡು ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿಖರತೆಗೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು:

x 1 = 3 x 2 = 3

ಆದರೆ ಇದು ಹೀಗಿದೆ - ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವಿಚಲನ. ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಈಗ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆ:

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.

ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ.

ಪರಿಹಾರವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ. ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ (ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚೌಕದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ).

ಇದು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ

a, b, c - ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ≠ 0 ನೊಂದಿಗೆ

ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ:

ಅಂದರೆ, "y" ನೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇರಬಹುದು (ತಾರತಮ್ಯವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ), ಒಂದು (ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯ) ಮತ್ತು ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ (ತಾರತಮ್ಯವು .ಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ). ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ನೀವು ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು Inna Feldman ಅವರ ಲೇಖನ.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಪರಿಹರಿಸಿ 2x 2 +8 X–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

ಡಿ = ಬಿ 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

ಉತ್ತರ: x 1 = 8 x 2 = –12

* ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿತ್ತು, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ನಿರ್ಧರಿಸಿ x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

ನಾವು x 1 = 11 ಮತ್ತು x 2 = 11 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, x = 11 ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅನುಮತಿ ಇದೆ.

ಉತ್ತರ: x = 11

ಉದಾಹರಣೆ 3: ನಿರ್ಧರಿಸಿ x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ

ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರವಿದೆ!

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಏನಾದರೂ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಅವರು ಏಕೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂದರು ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅವಶ್ಯಕತೆ ಏನು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾನು ಇಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ಎಂಬುದು ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆ

z = a + bi

ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಾನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತೇನೆ.

a + ದ್ವಿ ಒಂದು ಏಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸೇರ್ಪಡೆಯಲ್ಲ.

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವು ಮೈನಸ್ ಒಂದರ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ನಾವು ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ.

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈ ಗುಣಾಂಕ "ಬಿ" ಅಥವಾ "ಸಿ" ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಯಾವುದೇ ತಾರತಮ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಕರಣ 1. ಗುಣಾಂಕ b = 0.

ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

ಪ್ರಕರಣ 2. = 0 ರೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಂಕ.

ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

ನಾವು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂಶೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

* ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x - 5) = 0 => x = 0 ಅಥವಾ x - 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

ಪ್ರಕರಣ 3. ಗುಣಾಂಕಗಳು b = 0 ಮತ್ತು c = 0.

ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವಾಗಲೂ x = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮಾದರಿಗಳು.

ದೊಡ್ಡ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ.

aX 2 + bx+ ಸಿ=0 ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

a + ಬಿ+ ಸಿ = 0,ನಂತರ

- ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಇದ್ದರೆ aX 2 + bx+ ಸಿ=0 ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

a+ ಸಿ =ಬಿ, ನಂತರ

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

ವಿಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೊತ್ತ 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, ಆದ್ದರಿಂದ

ಉದಾಹರಣೆ 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ a+ ಸಿ =ಬಿ, ಅರ್ಥ

ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿಯಮಗಳು.

1. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 ಗುಣಾಂಕ "b" (a 2 +1), ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ "c" ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ "a" ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬೇರುಗಳು

ಕೊಡಲಿ 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

ಉದಾಹರಣೆ. 6x 2 + 37x + 6 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಿ 2 - bx + c = 0 ಗುಣಾಂಕ "b" (a 2 +1), ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ "a" ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬೇರುಗಳು

ಕೊಡಲಿ 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

ಉದಾಹರಣೆ. 15x 2 –226x +15 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆಕೊಡಲಿ 2 + bx - c = 0 ಗುಣಾಂಕ "b" ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (a 2 - 1), ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ "ಸಿ" ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ "a" ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮ, ನಂತರ ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

аx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

ಉದಾಹರಣೆ. 17x 2 + 288x - 17 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ 2 - bx - c = 0 ಗುಣಾಂಕ "b" (a 2 - 1) ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ c ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ "a" ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

ಉದಾಹರಣೆ. 10x 2 - 99x –10 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ವಿಯೆಟಾ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕೆಇಯ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ 14 ಕೇವಲ 5 ಮತ್ತು 9. ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇವು ಬೇರುಗಳು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೌಶಲ್ಯದಿಂದ, ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನೀವು ಅನೇಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ, ಮೇಲಾಗಿ. ಅನುಕೂಲಕರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ (ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ), ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.

ವರ್ಗಾವಣೆ ವಿಧಾನ

ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ, "ಎ" ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಉಚಿತ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, "ಎಸೆದ" ಹಾಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ "ವರ್ಗಾವಣೆ" ವಿಧಾನದಿಂದ.ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹುಡುಕಿದಾಗ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ತಾರತಮ್ಯವು ನಿಖರವಾದ ಚೌಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ a± ಬಿ + ಸಿ≠ 0, ನಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

2ಎನ್ಎಸ್ 2 – 11x + 5 = 0 (1) => ಎನ್ಎಸ್ 2 – 11x + 10 = 0 (2)

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ (2) x 1 = 10 x 2 = 1 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ

ಸಮೀಕರಣದ ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು (x 2 ರಿಂದ ಎರಡು "ಎಸೆದ" ಕಾರಣ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

ತಾರ್ಕಿಕತೆ ಏನು? ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ತಾರತಮ್ಯಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

ನೀವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಕೇವಲ ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿಖರವಾಗಿ x 2 ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ:

ಎರಡನೇ (ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ) ಬೇರುಗಳು 2 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

* ನಾವು ಮೂರನ್ನು ಮರು-ರೋಲ್ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ಚದರ ಉರ್-ಯೆ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆ.

ನಾನು ಅದರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ - ನೀವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಶಕ್ತರಾಗಿರಬೇಕು, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. USE ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಬಹಳಷ್ಟು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ).

ಗಮನಿಸಬೇಕಾದದ್ದು ಏನು!

1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವ ರೂಪವು "ಸೂಚ್ಯ" ಆಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ನಮೂದು ಸಾಧ್ಯ:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ಅಥವಾ 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 ಅಥವಾ 15 -5x + 10x 2 = 0.

ನೀವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕು (ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗದಂತೆ).

2. x ಎಂಬುದು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು - t, q, p, h ಮತ್ತು ಇತರೆ.

», ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಇದನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪ್ರಮುಖ!

ಸಮೀಕರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತವು ನಿಂತಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಪದವಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಜ್ಞಾತವು ನಿಂತಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯು "2" ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವಿದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

ಪ್ರಮುಖ! ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಒಂದು x 2 + b x + c = 0

• "ಎ" - ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಗುಣಾಂಕ;
• "ಬಿ" ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ;
• "ಸಿ" ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ.

"A", "b" ಮತ್ತು "c" ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ "ಆಕ್ಸ್ 2 + bx + c = 0" ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ.

• a = -1
• b = 1
• ಸಿ =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• ಸಿ = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸೂತ್ರ.

ನೆನಪಿಡಿ!

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ax 2 + bx + c = 0" ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ. ಅಂದರೆ, "0" ಮಾತ್ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಬೇಕು;
• ಬೇರುಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

X 2 - 3x - 4 = 0

"X 2 - 3x - 4 = 0" ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ "ax 2 + bx + c = 0" ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಕೇವಲ ಅರ್ಜಿ ಹಾಕಬೇಕು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

"X 1; 2 =" ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
"D" ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ "B 2 - 4ac" ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ತಾರತಮ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

x 2 + 9 + x = 7x

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ "ax 2 + bx + c = 0" ಗೆ ತರೋಣ.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

ಈಗ ನೀವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಎಕ್ಸ್ 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದ ಸಮಯಗಳಿವೆ. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ negativeಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಬಂದಾಗ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಲ್ಲದೆ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:
- ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು
- ವಿಯೆಟಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿ (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ).

ಇದಲ್ಲದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಗಳ ಹಿರಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ತಯಾರಿಗಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲು ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಪೋಷಕರಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಅಥವಾ ನೀವು ಬೋಧಕರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಥವಾ ಹೊಸ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ದುಬಾರಿಯಾಗಬಹುದೇ? ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಹೋಂವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಆದಷ್ಟು ಬೇಗ ಮುಗಿಸಲು ನೀವು ಬಯಸುತ್ತೀರಾ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಬೋಧನೆಯನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು ಮತ್ತು / ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಕಿರಿಯ ಸಹೋದರರು ಅಥವಾ ಸಹೋದರಿಯರಿಗೆ ಕಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಚೌಕಾಕಾರದ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಚೌಕದ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದೇ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿ ಬಳಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿಯೂ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು.
ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣದಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಈ ರೀತಿಯ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು: 2.5x - 3.5x ^ 2

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು.
ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಖ್ಯಾ, ಛೇದ ಮತ್ತು ಭಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು.

ಛೇದ negativeಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು.

ಸಂಖ್ಯಾ ಭಾಗವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ, ಸಂಖ್ಯಾಕಾರವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ವಿಭಜಕ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: /
ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಆಂಪರ್‌ಸ್ಯಾಂಡ್‌ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: &
ಇನ್ಪುಟ್: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
ಫಲಿತಾಂಶ: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವಾಗ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು... ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೆಲವು ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದೇ ಇರಬಹುದು.
ಬಹುಶಃ ನೀವು ಆಡ್‌ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿರಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಪುಟವನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿ.

ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುವ ಬಹಳಷ್ಟು ಜನರಿದ್ದಾರೆ, ನಿಮ್ಮ ವಿನಂತಿಯನ್ನು ಕ್ಯೂ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಕೆಲವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ, ಪರಿಹಾರವು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ.
ದಯವಿಟ್ಟು ಕಾಯಿರಿ ಸೆಕೆಂಡ್ ...

ನೀನೇನಾದರೂ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದೆ, ನಂತರ ನೀವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ನಮೂನೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಮರೆಯಬೇಡ ಯಾವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಏನು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಿ.

ನಮ್ಮ ಆಟಗಳು, ಒಗಟುಗಳು, ಎಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು:

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
\ (ಕೊಡಲಿ ^ 2 + bx + c = 0, \)
ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್, a, b ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a = -1, b = 6 ಮತ್ತು c = 1.4, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ a = 8, b = -7 ಮತ್ತು c = 0, ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ a = 1, b = 0 ಮತ್ತು c = 4/9. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಅಕ್ಷ 2 = bx + c = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್, a, b ಮತ್ತು c ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು \ (a \ nq 0 \).

ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕ, ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ - ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿ - ಉಚಿತ ಪದ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಅಕ್ಷ 2 + bx + c = 0, ಅಲ್ಲಿ \ (a \ neq 0 \), x ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಸರು: ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ.

ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಡಭಾಗವು ಎರಡನೇ ಪದಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 2 ರಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕ 1 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಡಿಮೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ... ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕಗಳು b ಅಥವಾ c ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ... ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳು -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ b = 0, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ c = 0, ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ b = 0 ಮತ್ತು c = 0.

ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮೂರು ವಿಧಗಳಾಗಿವೆ:
1) ಕೊಡಲಿ 2 + c = 0, ಅಲ್ಲಿ \ (c \ neq 0 \);
2) ಕೊಡಲಿ 2 + bx = 0, ಅಲ್ಲಿ \ (b \ neq 0 \);
3) ಕೊಡಲಿ 2 = 0.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

\ (C \ neq 0 \) ಗಾಗಿ ಕೊಡಲಿ 2 + c = 0 ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದರ ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)

\ (C \ neq 0 \) ರಿಂದ, ನಂತರ \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

\ (- \ frac (c) (a)> 0 \) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

\ (- \ frac (c) (a) ಅಪೂರ್ಣ 2-bx = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು \ (b \ neq 0 \) ಅದರ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅಂಶಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ
= (ಸರಣಿ) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ ಬಲ. \)

ಆದ್ದರಿಂದ, \ (b \ neq 0 \) ಗಾಗಿ ಕೊಡಲಿ 2 + bx = 0 ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಕೊಡಲಿ 2 = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು x 2 = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಮೂಲ 0 ಹೊಂದಿದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಇದರಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳು ನಾನ್ಜೆರೋ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 ಪರಿಹರಿಸಿ

ಅದರ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಕಡಿಮೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

ದ್ವಿಪದ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ ಎಡ (\ frac (b) (2a) \ ಬಲ) ^ 2- \ ಎಡ (\ frac (b) (2a) \ ಬಲ) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ ಬಲಬದಿ \)

ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 (ಲ್ಯಾಟಿನ್ "ತಾರತಮ್ಯ" ಒಂದು ತಾರತಮ್ಯ). ಇದನ್ನು ಡಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

ಈಗ, ತಾರತಮ್ಯದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), ಅಲ್ಲಿ \ (D = b ^ 2-4ac \)

ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:
1) ಡಿ> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
2) D = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ((x = - \ frac (b) (2a) \).
3) ಡಿ ಹೀಗೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (ಡಿ> 0 ಗಾಗಿ), ಒಂದು ಮೂಲ (ಡಿ = 0 ಗಾಗಿ) ಅಥವಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಡಿ ಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸೂತ್ರ, ಈ ರೀತಿ ಮುಂದುವರಿಯುವುದು ಸೂಕ್ತ:
1) ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ;
2) ತಾರತಮ್ಯವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ತಾರತಮ್ಯವು negativeಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ

ನೀಡಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಕೊಡಲಿ 2 -7x + 10 = 0 ಬೇರುಗಳು 2 ಮತ್ತು 5. ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ 7, ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ 10. ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎದುರು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಚಿಹ್ನೆ, ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ನೀಡಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಬೇರುಗಳು x 2 + px + q = 0 ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ:
\ (\ ಎಡಕ್ಕೆ \ (\ ಆರಂಭ (ಅರೇ) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ ಬಲ. \)