Теория абстрактных автоматов

Владимир 2006

Учебное пособие для студентов очной и заочной форм обучения специальностям
в области вычислительной техники, информатики и управления.

Часть 1. Теория абстрактных автоматов…………………………………………………..3

1.1. Общие сведения……………………………..………………………………………..3

1.2. Способы задания автоматов…………………………………………………………4

1.3. Примеры абстрактных автоматов, выполняющих полезные действия…………...6

1.4. Поведение изолированного синхронного автомата………………………………..8

1.5. Регулярные выражения и конечные автоматы…………………………………….10

1.6. Алгоритмы и машины Тьюринга….………………………………………………...11

1.7. Элементы теории формальных грамматик и языков………………………………15

1.8. Условия автоматности отображения………………………………………………..20

1.9. Построение графа автомата по входо-выходным последовательностям…………21

1.10. Преобразование автоматов………………………………………………………….22

Задачи и упражнения.……………………………………………………………………..24

Литература…………………………………………………………………………………25

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ АБСТРАКТНЫХ АВТОМАТОВ

Общие сведения

Абстрактный автомат (АА) – дискретный преобразователь информации; представляет собой множество, состоящее из шести элементов:

S = {X, Q, Y, δ, λ, q 1 }

S – абстрактный автомат;

X – множество входных символов (входной алфавит автомата):

X = {x 1 , ... , x m };

Q – множество состояний автомата:

Q = {q 1 , ... , q n };

Y – множество выходных символов (выходной алфавит автомата):

Y = {y 1 , ... , y p };

δ – функция переходов автомата из одного состояния в другое:

q j = δ(q i , x k) ,

где: q j – следующее (новое) состояние автомата; q i – текущее состояние автомата;
x k – текущий входной символ;

λ – функция выходов:

y l = λ (q i , x k);

q 1 – начальное состояние автомата (применяется также обозначение q 0 ).

Автомат называется конечным , если множества X, Q, Y – конечны.

Рис.1. Представление абстрактного автомата

На рис. 1 t – дискретное время: t = nT , где T – интервал (такт), разделяющий дискретные моменты времени; если T = 1, то t = n , т. е. дискретное время сопоставляется упорядоченному ряду натуральных чисел.

Абстрактный автомат (АА) можно рассматривать как "черный ящик" с одним входом и одним выходом, с которым можно экспериментировать, не зная, что находится внутри.

Выходной символ (y l Î Y ) зависит не только от входного символа (x Î X ), но и от
того, в каком состоянии (q i Î Q ) находится автомат. Автомат функционирует в дискретном времени; это означает, что элементы описания автомата заданы только в упомянутые выше дискретные моменты.

Представим, что с некоторого начального, например, нулевого момента времени на вход автомата подаются входные символы, образующие входное слово некоторой длины (длина любого i -го слова измеряется числом символов). На выходе получаем выходное слово той же длины (рис. 2).

Рис.2. Преобразование входных слов в выходные

Сказанное означает, что автомат может рассматриваться как преобразователь входных слов в выходные с сохранением длины слов. Символы алфавитов, присутствующие на входе и выходе автомата, будем также называть входными и выходными сигналами.

На практике широкое распространение получили две основные модели, описывающие функционирование АА:

1. Модель Мили;

2. Модель Мура.

Модель Мили.

Законы функционирования автомата Мили представлены следующим образом:

q(t+1) = δ(q(t), x(t))

y(t) = λ(q(t), x(t))

t – текущий момент времени;

t+1 – следующий момент времени;

q(t+1) – состояние автомата в следующий момент времени;

q(t), x(t), y(t) – элементы описания автомата в текущий момент времени.

Модель Мура.

Законы функционирования автомата Мура представлены следующим образом:

q(t+1) = δ(q(t), x(t))

y(t) = λ(q(t))

В модели Мура выходной сигнал явно зависит только от состояния, а косвенно –
и от входного сигнала.

Любой автомат можно спроектировать по той или иной модели.

Способы задания автоматов

Рассмотри два основных способов задания автоматов:

Табличный способ

Автомат Мили

Для автомата Мили табличный способ заключается в построении двух таблиц: таблицы переходов (ТП) и таблицы выходов (ТВ).

б) Таблица выходов

Рис. 4. Таблица переходов и выходов

Пример. Таблица переходов и выходов:

Графовый способ

Автомат представляется ориентированным связным графом (орграфом), вершины которого соответствуют состояниям автомата, а дуги – переходам из состояния
в состояние. Обозначения входных и выходных сигналов распределяются в автоматах Мили и Мура по-разному.

Построим графы для автоматов Мили и Мура по вышеприведенным таблицам:

Рис. 5. Представление автомата Мили в виде графа

Рис. 6. Представление автомата Мура в виде графа

Замечание : В автомате Мили выходной сигнал вырабатывается при переходе, а
в автомате Мура присутствует в течение всего периода дискретного времени, пока
автомат находится в данном состоянии.

Детерминированный автомат – автомат, в котором имеется полная определенность переходов из всех состояний в зависимости от входных сигналов (под действием одного и того же сигнала автомат не может переходить из любого рассматриваемого состояния в различные состояния). Фрагмент графа, изображенный на рисунке 7, не может относиться к детерминированному автомату.

Рис.7. Фрагмент графа, иллюстрирующий неопределенность переходов

Замечание : Недетерминированные (например, вероятностные) автоматы существуют, но их рассмотрение не предусмотрено в данном курсе.

Состояние автомата q i называется устойчивым , если для любого входного сигнала х к , такого, что δ(q s , x k) = q i , справедливо соотношение: δ(q i , x k) = q i . (здесь q s – состояние, предшествующее q i ). Это означает, что, автомат не изменяет своего состояния при повторении на следующем такте сигнала, приведшего его в состояние q i . Фрагмент графа, иллюстрирующий устойчивость состояния, приведен на рисунке 8.

Рис. 8. Устойчивое состояние автомата

Автомат называется асинхронным , если каждое его состояние q i Î Q (i = 1, … , n) устойчиво; в противном случае автомат называется синхронным . Синхронные автоматы важны для теории, а на практике чаще используются асинхронные; устойчивость состояний в асинхронных автоматах достигается введением специальных сигналов синхронизации.

Примеры абстрактных автоматов, выполняющих полезные действия

1. Автомат для задержки сигнала на один такт (для запоминания на один такт)

Поскольку автомат является двоичным, введем обозначения: x 0 = y 0 = 0; x 1 = y 1 = 1.

Рис. 9. Граф автомата для задержки сигнала на один такт

Простой анализ показывает, что выходной сигнал в текущем такте повторяет входной, который был на такт раньше.

2. Автомат для проверки двоичной последовательности на четность.

Опишем данный автомат таблицами и графом:

Таблица переходов и таблица выходов:

Рис. 10. Граф автомата для проверки двоичной последовательности на четность

Анализ показывает, что «0» на выходе автоматически вырабатывается при четном числе единиц на входе, а «1» на выходе вырабатывается при нечетном числе единиц на входе.

Оба рассмотренных автомата имеют "слабую" память, но слабую в разном смысле.
У первого автомата "короткая" память во времени (помнит только один сигнал).
У второго автомата память "длинная" (длина входной последовательности может быть любой), но он различает (распознает ) лишь два класса последовательностей.

3. Автомат для задержки сигнала на два такта.

Автомат имеет четыре состояния, закодированных двумя двоичными разрядами:
q 0 = 00; q 1 = 01; q 2 = 10; q 3 = 11.

Рис. 11. Граф автомата для задержки сигнала на два такта

Достоинства примененного кодирования:

· первая цифра кода состояния показывает, какой сигнал выдает автомат (он легко преобразуется в автомат Мура); вторая цифра кода показывает, под действием какого сигнала автомат приходит в данное состояние.

· легко проверить, что выходной сигнал повторяет входной через два такта.

4. Двоичный последовательный сумматор, реализованный для одного разряда входного кода.

Автомат имеет два состояния: q 0 – нет переноса (сложение цифр операндов не требует учета единицы переноса из предыдущего разряда кода);

q 1 – есть перенос (единица переноса должна быть учтена).

Рис. 12. Граф одноразрядного двоичного последовательного сумматора

В числителе "дроби", записанной при каждой из дуг графа, указаны цифры слагаемых; в знаменателе – результат суммирования в текущем разряде. Сумматор позволяет суммировать двоичные последовательности произвольной длины.

По способу формирования функции выходов выделяют три типа абстрактных автоматов: автомат Мили, автомат Мура, С-автомат. Автомат Мили характеризуется системой уравнений:

y (t) =(a (t), x (t));

a (t+1) = δ (a (t), x (t)). (1-1)

Автомат Мура - системой уравнений:

a (t+1) = δ (a (t), x (t)). (1-2)

С-автомат - системой уравнений:

y 1 (t) =(a (t),x (t));

У 2 (t) = 2 (a (t));

a (t+1) =δ (a (t),x (t)).

Произвольный абстрактный автомат Мили или Мура (рис.1.1.) имеет один входной и один выходной каналы. Произвольный абстрактный С-автомат имеет один входной и два выходны х канала (рис.1.2.).

Рисунок 1.1 - Абстрактный автомат

Рисунок.1.2 Абстрактный С-автомат

Если на вход абстрактного автомата Мили или Мура, установленного в начальное состояние а о, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита х (0), х (1),. - входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита у (0), у (1),. - выходное слово. Для случая С-автомата на его выходах будут появляться две последовательности: y 1 (0), y 1 (1),. и y 2 (0), y 2 (1),. В абстрактном С - автомате выходной сигнал y 2 (t) =(a (t)) выдается все время, пока автомат находится в состоянии a (t). Выходной сигнал y 1 (t) =λ 1 (a (t),x (t)) выдается во время действия входного сигнала x (t) при нахождении С-автомата в состоянии a (t).

Таким образом, на уровне абстрактной теории функционирование цифрового автомата понимается как преобразование входных слов в выходные слова.

Выделяют полностью определенные и частичные автоматы.

Полностью определенным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены для всех пар переходов (x i ,a j).

Частичным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены не для всех пар переходов (x i ,a j).

Абстрактный цифровой автомат называется инициальным, если на множестве его состояний А выделяется начальное состояние а о.

1.3 Способы задания абстрактных автоматов

Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все элементы множества: S={ X,A,Y,,,a o }. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используется табличный (матричный), графический, аналитический.

При табличном способе автомат задается двумя таблицами: таблицей переходов и таблицей выходов, или матрицей соединений. Таблица переходов произвольного полностью определенного автомата строится следующим образом: строки таблицы помечаютсябуквами входного алфавита автомата, а столбцы таблицы - буквами алфавита состояний автомата; В клетке таблицы переходов, находящейся на пересечении строки, отмеченной входным сигналом x i , и столбца отмеченного состоянием a j , ставится состояние а k , являющееся результатом перехода автомата из состояния a j под воздействием входного сигнала х i , что определяется выражением a k =(a j , х j).

Таблица 1.1 Таблица переходов автомата

Пример заполнения таблицы переходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата с входным алфавитом X={х 1 , х 2 } - и алфавитом состояний A={a 1 , a 2 , а 3 } представлен в табл.1.2.

Таблица 1.2

Если абстрактный автомат частичный, то в клетке таблицы его переходов, находящейся, на пересечении строки, отмеченной входным сигналом и столбца отмеченного соответствующим состоянием (при условии, что переход в это состояние под действием данного входного сигнала не определен) ставится прочерк, и любое входное слово, приводящее к указанному переходу является запрещенным.

Заполнение остальных клеток аналогично случаю полностью определенного автомата. Вид таблицы переходов не зависит от типа задаваемого автомата (автомат Мили, Мура, С-автомат). Таблицы выходов автоматов Мили, Мура, С-автомата имеют различия.

Таблица выходов полностью определенного автомата Мили строится следующим образом: идентификация столбцов и строк, а также формат таблицы соответствуют таблице переходов полностью определенного автомата. В клетке таблицы выходов, находящейся на пересечении строки, отмеченной входным сигналом X j , и столбца, отмеченного состоянием а к, ставится выходной сигнал У m , который автомат выдает, находясь в состоянии а k при наличии входного сигнала Xj, что определяется выражением Ym=(а k , х j).

Таблица 1.3 Таблица выходов абстрактного автомата Мили.

Пример заполнения таблицы выходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата с входным алфавитом X={x 1 , x 2 }, алфавитом состояний A={a 1 , а 2 , а 3 } и выходным алфавитом Y={y 1 , y 2 , y 3 }-представлен в табл.1.4.

Таблица 1.4

Очевидно, абстрактный полностью определенный С-автомат задается двумя таблицами выходов, первая из которых есть таблица выходов автомата Мили, а вторая - Мура. Если автомат частичный, то в некоторых клетках его таблицы может стоять прочерк, что означает отсутствие выходного сигнала.

На практике таблицы переходов и выходов часто совмещают в одну таблицу, называемую отмеченной таблицей переходов автомата. Примеры отмеченных таблиц переходов представлены в табл.1.6. - 1.8 (Общий вид отмеченной таблицы переходов - табл.1.6., отмеченная таблица переходов автомата Мили - табл.1.7., отмеченная таблица переходов автомата Мура - табл.1.8.).

Кроме рассмотренных выше таблиц переходов и выходов произвольный абстрактный автомат может быть задан матрицей соединений.

Матрица соединений является квадратной и содержит столько столбцов (строк), сколько различных состояний содержит алфавит состояний данного автомата. Каждый столбец (строка) матрицы соединений помечается буквой состояния автомата. В клетке, находящейся на пересечении столбца, помеченного буквой а j и строки, помеченной буквой a s автомата, ставится входной сигнал (или дизъюнкция входных сигналов), под воздействием которого осуществляется данный переход.

Для абстрактного автомата Мили в клетке рядом с состоянием проставляется также выходной сигнал, который автомат выдает в результате данного перехода (табл.1.9.) Для автомата Мура выходной сигнал проставляется в строке рядом с состоянием (эти состояния соответствуют исходным состояниям автомата).

Таблица 1.6

Таблица 1.7

Таблица 1.9.

При графическом способе задания абстрактные автоматы представляются ориентированными графами. Графом автомата называется ориентированный связный граф, вершины которого соответствуют состояниям автомата, а дуги между ними - переходам между состояниями. Две вершины a k и a s соединяются дугой в том случае, если в автомате имеется переход из состояния a k в состояние a s . Для автомата Мили входной и выходной сигналы проставляются на дуге, соответствующей данному переходу (рис 1.3.), для автомата Мура входной сигнал проставляется на дуге, а выходной - рядом с вершиной, соответствующей состоянию (рис 1.4.).

Здесь рассматриваются только детерминированные автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным сигналом.

Рисунок 1.3-Граф автомата Мили Рисунок 1.4-Граф автомата Мура

При аналитическом способе задания абстрактные автоматы задаются четверкой объектов:

S={ X,A,Y,F}, где F задает для каждого состояния а j автомата отображение (ХхА) - > (AxY). Другими словами, при аналитическом способе задания для каждого состояния автомата а j указывается отображение F ai , представляющее собой множество всех троек а р, x m , y k , и таких, что под воздействием входного сигнала x m автомат переходит из состояния а j в состояние а р, выдавая при этом выходной сигнал y k .

Применительно к общему определению абстрактного автомата, последнее равнозначно описанию функций δ и λ в соответствии с выражением: a p = δ (a i , x m), y к = λ (a i , x m).

Отображение F ai записывается следующим образом:

F ai {a p (X m /y k),a i (X f /y z) …}.

Для абстрактного автомата Мили (табл.1.7.) аналитическое задание имеет следующий вид:

S={ X,A,Y,F}, X={x 1 ,x 2 }, A={a 1 , а 2 , а 3 }, Y={y 1 , y 2 , у 3 },

F a1 ={a 2 (x 1 /y 2), a 1 (x 2 /у 3) },

F а 2 ={а 3 (x 1 /y 3), a 1 (x 2 /y 1) },

F a 3 ={a 1 (x 1 /y 3), а 2 (x 2 /y 2) }.

Следует отметить, что функция F ai всегда записывается для исходного состояния.

Определим синхронные и асинхронные автоматы. Состояние а s автомата S называется устойчивым cостоянием, если для любого входного сигнала х j Х, такого, что а s = δ (а i Х m) имеет место a s = δ (a s , x m).

Автомат S называется асинхронным, если каждое его состояние a s А устойчиво. Автомат S называется синхронным, если он не является асинхронным.

Необходимо заметить, что построенные на практике автоматы всегда асинхронные и устойчивость их состояний всегда обеспечивается тем или иным способом, например, введением сигналов синхронизации. Однако, на уровне абстрактной теории автоматов, когда автомат всего лишь математическая модель, которая не отражает многих конкретных особенностей его реализации, часто оказывается более удобным оперировать с синхронными автоматами.

Имеющего один вход, один выход и в каждый момент времени находящегося в одном состоянии из множества возможных. На вход этому устройству поступают символы одного алфавита , на выходе оно выдаёт символы (в общем случае) другого алфавита.

Формально абстрактный автомат определяется как пятерка

$\backslash boldsymbol\{A\; =\; (S,\; X,\; Y,\; \backslash delta,\; \backslash lambda)\}$

Ограничение числа параметров абстрактного автомата определило такое понятие как конечный автомат .

Функционирование автомата состоит в порождении двух последовательностей: последовательности очередных состояний автомата $\backslash boldsymbol\{s\_1s\_2s\_3...\}$ и последовательности выходных символов $\backslash boldsymbol\{y\_1y\_2y\_3...\}$, которые для последовательности символов $\backslash boldsymbol\{x\_1x\_2x\_3...\}$ разворачиваются в моменты дискретного времени t = 1, 2, 3, … Моменты дискретного времени получили название тактов.

Функционирование автомата в дискретные моменты времени t может быть описано системой рекуррентных соотношений: $\backslash boldsymbol\{s(t+1)=\backslash delta(s(t),x(t));\}$

$\backslash boldsymbol\{y(t)=\backslash lambda(s(t),x(t)).\}$

Для уточнения свойств абстрактных автоматов введена классификация .

Абстрактные автоматы образуют фундаментальный класс дискретных моделей как самостоятельная модель, и как основная компонента машин Тьюринга , автоматов с магазинной памятью , конечных автоматов и других преобразователей информации.

Напишите отзыв о статье "Абстрактный автомат"

Отрывок, характеризующий Абстрактный автомат

Кутузов, сопутствуемый своими адъютантами, поехал шагом за карабинерами.
Проехав с полверсты в хвосте колонны, он остановился у одинокого заброшенного дома (вероятно, бывшего трактира) подле разветвления двух дорог. Обе дороги спускались под гору, и по обеим шли войска.
Туман начинал расходиться, и неопределенно, верстах в двух расстояния, виднелись уже неприятельские войска на противоположных возвышенностях. Налево внизу стрельба становилась слышнее. Кутузов остановился, разговаривая с австрийским генералом. Князь Андрей, стоя несколько позади, вглядывался в них и, желая попросить зрительную трубу у адъютанта, обратился к нему.
– Посмотрите, посмотрите, – говорил этот адъютант, глядя не на дальнее войско, а вниз по горе перед собой. – Это французы!
Два генерала и адъютанты стали хвататься за трубу, вырывая ее один у другого. Все лица вдруг изменились, и на всех выразился ужас. Французов предполагали за две версты от нас, а они явились вдруг, неожиданно перед нами.
– Это неприятель?… Нет!… Да, смотрите, он… наверное… Что ж это? – послышались голоса.
Князь Андрей простым глазом увидал внизу направо поднимавшуюся навстречу апшеронцам густую колонну французов, не дальше пятисот шагов от того места, где стоял Кутузов.
«Вот она, наступила решительная минута! Дошло до меня дело», подумал князь Андрей, и ударив лошадь, подъехал к Кутузову. «Надо остановить апшеронцев, – закричал он, – ваше высокопревосходительство!» Но в тот же миг всё застлалось дымом, раздалась близкая стрельба, и наивно испуганный голос в двух шагах от князя Андрея закричал: «ну, братцы, шабаш!» И как будто голос этот был команда. По этому голосу всё бросилось бежать.
Смешанные, всё увеличивающиеся толпы бежали назад к тому месту, где пять минут тому назад войска проходили мимо императоров. Не только трудно было остановить эту толпу, но невозможно было самим не податься назад вместе с толпой.
Болконский только старался не отставать от нее и оглядывался, недоумевая и не в силах понять того, что делалось перед ним. Несвицкий с озлобленным видом, красный и на себя не похожий, кричал Кутузову, что ежели он не уедет сейчас, он будет взят в плен наверное. Кутузов стоял на том же месте и, не отвечая, доставал платок. Из щеки его текла кровь. Князь Андрей протеснился до него.
– Вы ранены? – спросил он, едва удерживая дрожание нижней челюсти.
– Раны не здесь, а вот где! – сказал Кутузов, прижимая платок к раненой щеке и указывая на бегущих. – Остановите их! – крикнул он и в то же время, вероятно убедясь, что невозможно было их остановить, ударил лошадь и поехал вправо.

Самостоятельное изучение схемотехники. Абстрактный автомат. Часть 2

• Электроника для начинающих

Статья написана, собрана и сверстана . Спасибо ему огромное.
В предыдущей статье я попытался изложить все основные определения и принципы, чтобы сделать эту статью максимально понятной. Все не уместилось, так что я настоятельно советую ознакомиться с этими файлами:
Базис , Базис2 , Минимизация . Далее в этой статье я оставил несколько разъясняющих пометок курсивом.

В этой статье я попробую объяснить доступным языком что такое абстрактный автомат, способы его представления. Так как теория автоматов полна математики и сложна, постараюсь писать человеческим языком, чтобы неподготовленный читатель смог понять о чём идёт речь.

Электронные цифровые схемы формально можно разделить на 2 класса:

• Комбинационные Схемы (КС) – не обладают памятью. Выходной сигнал формируется в зависимости от комбинации входных данных в фиксированный момент времени (учитывая задержку на преобразования сигналов).Комбинационные схемы, их типы и принципы построения могут быть темой для отдельной статьи, а в качестве примеров можно привести: Управляемые шины, мультиплексоры и демультиплексоры, дешифраторы и шифраторы, преобразователи кодов, комбинационные счетчики и сумматоры и т. д.
• Схемы с памятью – алгоритм их работы зависит от состояния входов и памяти (того, что было в предыдущие моменты времени). Эти схемы описываются с применением теории конечных автоматов. Речь о них и пойдёт далее.

Абстрактный автомат

Или, если перейти от иллюстрации к математическому описанию:
A =

Обозначения:

1. Множество {A} – представляет собой множество значений на физических входах автомата. На входе в нашем случае будет какая-то последовательность высоких и низких уровней напряжения, которые будут кодировать логические нули и единицы.
2. Множество {B} – представляет собой множество значений на физических выходах автомата.
3. Множество {C} – а множество, которое представляет внутреннее состояние автомата – память. На будущее C0 будем обозначать начальное состояние автомата.
4. δ = X × Z → Z – это функции переходов автомата, они однозначно определяют состояние ai в которое переходит автомат из состояния aj.
5. λ = X × Z → Y – функции выходов, они определяют что находится на выходе автомата в зависимости от входов и внутреннего состояния.

Такой автомат функционирует дискретно по времени, то есть значения входов, выходов и внутреннее состояние автомата изменяются в дискретные моменты времени.
Итак мы в общем виде описали что есть Абстрактный автомат. Примером такого автомата может быть триггер, регистр ЭВМ или сумматор.

Выделяют 2 типа автоматов:

1. Автоматы Мили. Описывается системой уравнений:
   c(t) = δ(a(t), c(t-1));
   b(t) = λ(a(t), c(t-1)).
2. Автоматы Мура. Описывается уравнениями:
   c(t) = δ(a(t), c(t-1));
   b(t) = λ(a(t), c(t)).

Т.е. автомат типа Мили вырабатывает выходной сигнал когда у него меняется входной, в зависимости от его предыдущего состояния. При этом длительность выходного сигнала не зависит от длительности входного, а только от его присутствия. В автоматах типа Мура выходной сигнал зависит от состояния автомата в текущий момент времени т.е. автомат будет вырабатывать определенный выходной сигнал пока не изменит свое состояние.

Способы задания автоматов

Есть два основных способа задания автомата:

1. При помощи графов.
2. При помощи таблиц переходов и выходов.

Графы

Для графа Мили на дугах указываются сходные и выходные буквы. Выходные буквы пишутся над дугами, символизируя то, что выходное состояние зависит от состояния автомата в предыдущий момент времени.

Для графа автомата Мура на дугах записываются только входные буквы, выходные же указываются около вершин.

Важный момент: Если из каждой вершины выходит столько дуг, сколько есть входных букв, то автомат называется полным . Другими словами – если из каждой вершины определены переходы для каждой входной буквы. В наших примерах автомат Мили является полным , а автомат Мура – частичным .
И ещё: Если из одной вершины выходит дуг больше, чем входных букв (то есть 2 и более дуг с одинаковыми входными буквами), то такой автомат называется недетерминированным . Такое может произойти при построении формализованного описания и тогда надо будет произвести переход к детерминированному автомату, но это не всегда можно выполнить. Описание этого процесса я тоже упускаю, сразу нарисовав детерминированный автомат.
На этом о графах всё.

Таблицы переходов и выходов.

ТПВ графа Мили

ТПВ графа Мура

Пример синтеза автомата

Кодируем входной и выходной алфавиты:
A = {a0, a1}, где a0 – логическая 1 на входе R, a1 – логическая единица на входе S.
B = {b0, b1}, где b0 – логический 0 на выходе Q, b1 – логическая единица на выходе Q.
Строим граф автомата Мили:


Вот такая забавная чебурашка получилась:-). Теперь можно построить таблицу переходов и выходов:

Если расписать эту таблицу преобразовав условные обозначения в фактические, то получим таблицу которая представляет из себя таблицу переходов триггера. Затем её можно упростить:

Нанесём полученную функцию на карту Вейча и минимизируем:

Выпишем, что получилось:

Строим по функции схему (Выполняли домашнее задание?).

Об этом можно судить по выступлениям на семинаре " Software 2000…" ученых и специалистов.

Дуг Росс: "…80 или даже 90 % информатики ( Computer Science ) будет в будущем основываться на теории конечных автоматов…"

Herver Gallaire: "Я знаю людей из "Боинга", занимающихся системами стабилизации самолетов с использованием чистой теории автоматов. Даже трудно себе представить, что им удалось с помощью этой теории. "

Brian Randell: "Большая часть теории автоматов была успешно использована в системных программах и текстовых фильтрах в ОС UNIX . Это позволяет множеству людей работать на высоком уровне и разрабатывать очень эффективные программы".

1.1. Основные понятия и определения.

Простейший преобразователь информации (рис.1.1,а) отображает некоторое множество элементов информации Х , поступающее на вход, в некоторое множество на выходе Y . Если множества Х и Y являются конечными и дискретными, то есть преобразование осуществляется в дискретные моменты времени, то такие преобразователи информации называются конечными преобразователями. Элементы множеств Х и Y в этом случае предварительно кодируют двоичными кодами и строят преобразование одного множества в другое.

Результат преобразования зачастую зависит не только от того, какая информация в данный момент появилась на входе, но и от того, что происходило раньше, то есть от предыстории преобразования. Например, один и тот же вход - извинение соседа после того, как он вам наступил на ногу в переполненном автобусе - вызовет у вас одну реакцию в первый раз и совсем другую - в пятый раз.

Таким образом, существуют более сложные преобразователи информации (ПИ), реакция которых зависит не только от входных сигналов в данный момент, но и от того, что было раньше, от входной истории. Такие ПИ называются автоматами (схемами с памятью). В этом случае говорят об автоматном преобразовании информации (рис.1.1,б). На один и тот же входной сигнал автомат может реагировать по-разному, в зависимости от состояния, в котором он находился. Автомат меняет свое состояние с каждым входным сигналом.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 1Карпов Ю.Г. Теория автоматов-СПб.:Питер, 2003 . Автомат , описывающий поведение "умного" отца.

Опишем поведение отца, сын которого учится в школе и приносит двойки и пятерки. Отец не хочет хвататься за ремень каждый раз, как только сын получит двойку, и выбирает более тонкую тактику воспитания. Зададим такой автомат графом , в котором вершины соответствуют состояниям, а дуга из состояния s в состояние q , помеченное x/y , проводится тогда, когда автомат из состояния s под воздействием входного сигнала х переходит в состояние q с выходной реакцией y . Граф автомата , моделирующего умное поведение родителя, представлен на рис.1.2. Этот автомат имеет четыре состояния , два входных сигнала - оценки и выходные сигналы , которые будем интерпретировать как действия родителя следующим образом:

Брать ремень;

Ругать сына;

Успокаивать сына;

Надеяться;

Радоваться;

Ликовать.

Сына, получившего одну и ту же оценку - двойку, ожидает дома совершенно различная реакция отца в зависимости от предыстории его учебы. Например, после третьей двойки в истории сына встретят ремнем, а в истории будут успокаивать и т.д.

Конечный автомат может быть реализован как программно, так и аппаратно. Программную реализацию можно выполнить на любом языке высокого уровня разными способами. На рис.1.3 представлена блок-схема программы, реализующей поведение автомата примера 1. Нетрудно увидеть, что топология блок-схемы программы повторяет топологию графа переходов автомата . С каждым состоянием связана операция NEXT , выполняющая функцию ожидания очередного события прихода нового входного сигнала и чтения его в некоторый стандартный буфер х , а также последующий анализ того, какой это сигнал. В зависимости от того, какой сигнал пришел на вход, выполняется та или иная функция и происходит переход к новому состоянию.

Аппаратную реализацию автомата рассмотрим во второй части этого раздела.

Пример 2. "Студент"

Автомат , модель которого представлена на рис.1.4 , описывает поведение студента и преподавателей.

Состояния;

- входные сигналы: "н", "2" и "5".

Выходные реакции:

Пример 3 1 . Электронные часы (рис.1.5).

Электронные часы разнообразных функциональных возможностей являются одним из наиболее широко применяемых в быту электронных приборов, управление которыми построено на основе конечноавтоматной модели. Они обычно показывают: время, дату; у них имеется функции такие как "установка времени и даты", "Секундомер", "Будильник"и т.п. Упрощенная структурная схема электронных часов показана нарис.1.5

Регистры отображают либо время, либо дату, либо секундомер в зависимости от "Управления". Устройство управления построено на основе модели конечного автомата . Конечный автомат реагирует на нажатия кнопки "а" на корпусе переходом в состояние "Установка минут", в котором событие нажатия кнопки "b" вызовет увеличение числа.