നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ

നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് ഓർഡർ ചെയ്യാൻ കഴിയും !!!

ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷന്റെ (`sin x, cos x, tan x` or` ctg x`) ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ അജ്ഞാതമായ ഒരു സമത്വത്തെ ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ അവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിഗണിക്കും.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളെ `sin x = a, cos x = a`, tg x = a, ctg x = a` എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ ` x` എന്നത് കണ്ടെത്തേണ്ട കോണാണ്, `a` എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്. അവയിൽ ഓരോന്നിന്റെയും റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ എഴുതാം.

1. സമവാക്യം `sin x = a`.

`| a |> 1` എന്നതിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എന്നതിന് `| a | \ leq 1` ന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

2. `cos x = a` എന്ന സമവാക്യം

`| a |> 1`-ന് - സൈനിന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഇതിന് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എന്നതിന് `| a | \ leq 1` ന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x = \ pm ആർക്കോസ് a + 2 \ pi n, n \ in Z`

ഗ്രാഫുകളിൽ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയ്ക്കുള്ള പ്രത്യേക കേസുകൾ.

3. `tg x = a` എന്ന സമവാക്യം

`a` യുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

4. സമവാക്യം `ctg x = a`

`a` യുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളും ഉണ്ട്.

റൂട്ട് ഫോർമുല: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

ഒരു പട്ടികയിലെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

സൈനിനായി:
കോസൈനിനായി:
ടാൻജെന്റിനും കോട്ടാൻജെന്റിനും:
വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ഏതൊരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിനും പരിഹാരം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

• ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഏറ്റവും ലളിതമാക്കി മാറ്റുക;
• മുകളിൽ എഴുതിയ റൂട്ട് ഫോർമുലകളും പട്ടികകളും ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ബീജഗണിത രീതി.

ഈ രീതിയിൽ, വേരിയബിൾ റീപ്ലേസ്‌മെന്റും സമത്വത്തിലേക്ക് പകരവുമാണ് ചെയ്യുന്നത്.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

ഞങ്ങൾ മാറ്റം വരുത്തുന്നു: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, തുടർന്ന്` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

ഞങ്ങൾ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, ഇവിടെ നിന്ന് രണ്ട് കേസുകൾ പിന്തുടരുന്നു:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm ആർക്കോസ് 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

ഉത്തരം: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `sin x + cos x = 1`.

പരിഹാരം. സമത്വത്തിന്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത്തേക്ക് നീക്കുക: `sin x + cos x-1 = 0`. ഇടത് വശം ഉപയോഗിക്കുക, രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുക, ഘടകം ചെയ്യുക:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

ഉത്തരം: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ

ആദ്യം, നിങ്ങൾ ഈ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം രണ്ട് തരങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്:

`a sin x + b cos x = 0` (ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം) അല്ലെങ്കിൽ` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം).

തുടർന്ന് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ആദ്യ കേസിന് `cos x \ ne 0` കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന് by` cos ^ 2 x \ ne 0` കൊണ്ടും ഹരിക്കുക. `tg x`:` a tg x + b = 0`, `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0` എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു, അവ അറിയപ്പെടുന്ന രീതികളിലൂടെ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

പരിഹാരം. വലതുഭാഗം `1 = sin^ 2 x + cos ^ 2 x` എന്ന് തിരുത്തിയെഴുതുക:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

ഇത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി സമവാക്യമാണ്, ഞങ്ങൾ അതിന്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളെ `cos ^ 2 x \ ne 0` കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നത് `tg x = t`, ഫലമായി,` t ^ 2 + t - 2 = 0`. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ `t_1 = -2`,` t_2 = 1` എന്നിവയാണ്. അപ്പോൾ:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ in Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

ഉത്തരം. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

പകുതി മൂലയിലേക്ക് പോകുക

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

പരിഹാരം. ഇരട്ട ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുക, ഫലമായി: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 കോസ് ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`

മുകളിലുള്ള ബീജഗണിത രീതി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
2. `tg x / 2 = 3 / 4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

ഉത്തരം. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

ഒരു ഓക്സിലറി ആംഗിൾ അവതരിപ്പിക്കുക

ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിൽ `a sin x + b cos x = c`, ഇവിടെ a, b, c ഗുണകങ്ങളും x ഒരു വേരിയബിളും ആണ്, നമ്മൾ ഇരുവശങ്ങളെയും ` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു `:

`\ frac a (sqrt (a^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a^ 2) + ബി ^ 2)) `.

ഇടതുവശത്തുള്ള ഗുണകങ്ങൾക്ക് സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അതായത്, അവയുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക 1 ന് തുല്യമാണ്, അവയുടെ കേവല മൂല്യങ്ങൾ 1-ൽ കൂടുതലല്ല. ഞങ്ങൾ അവയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a^ 2 + b ^ 2)) = C`, തുടർന്ന്:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം:

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

പരിഹാരം. തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളെയും `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)` കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x = 2 / 5`.

`3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi` സൂചിപ്പിക്കാം. `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0` ആയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ `\ varphi = arcsin 4 / 5` ഒരു സഹായ കോണായി എടുക്കുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ നമ്മുടെ സമത്വം രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

സൈനിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ സമത്വം എഴുതുന്നു:

`sin (x + \ varphi) = 2 / 5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z`,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

ഉത്തരം. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ

ന്യൂമറേറ്ററുകളിലും ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള തുല്യതകളാണിത്.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

പരിഹാരം. തുല്യതയുടെ വലതുഭാഗത്തെ `(1 + cos x)` കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഹരിക്കുക. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല എന്നത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ എന്നതിൽ Z` ലഭിക്കും.

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. തുടർന്ന് `sin x = 0` or` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

`x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, പരിഹാരങ്ങൾ ` x = 2 \ pi n, n \ in Z`, ` x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` എന്നിവയാണ്. , `n \ in Z`.

ഉത്തരം. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

ത്രികോണമിതിയും ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും ജ്യാമിതി, ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ് തുടങ്ങിയ മിക്കവാറും എല്ലാ മേഖലകളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. പഠനം 10-ാം ക്ലാസിൽ ആരംഭിക്കുന്നു, പരീക്ഷയ്ക്ക് തീർച്ചയായും ജോലികളുണ്ട്, അതിനാൽ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക - അവ തീർച്ചയായും ഉപയോഗപ്രദമാകും!

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ അവ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, പ്രധാന കാര്യം സാരാംശം മനസ്സിലാക്കുകയും അവ ഊഹിക്കാൻ കഴിയുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. അത് തോന്നുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. വീഡിയോ കണ്ട് സ്വയം കാണുക.

ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ് - സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയിലൂടെയുള്ള സ്പർശനത്തിന്റെ പ്രകടനവും മറ്റുള്ളവയും. അവരെ മറന്നതോ അറിയാത്തതോ ആയവർക്ക്, "" എന്ന ലേഖനം വായിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.
അതിനാൽ, അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്കറിയാം, അവ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കേണ്ട സമയമാണിത്. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുശരിയായ സമീപനത്തിലൂടെ, ഇത് വളരെ ആവേശകരമായ ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു റൂബിക്സ് ക്യൂബ് പരിഹരിക്കുന്നത് പോലെ.

പേരിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം ത്രികോണമിതി സമവാക്യം എന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിൽ അജ്ഞാതമായത് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്.
ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുണ്ട്. അവ കാണപ്പെടുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്: sinx = a, cos x = a, tg x = a. പരിഗണിക്കുക അത്തരം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാംവ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിചിതമായ ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിക്കും.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

കട്ടിൽ x = a

ഏതൊരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യവും രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്: ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും തുടർന്ന് അതിനെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യമായി പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന 7 പ്രധാന രീതികളുണ്ട്.

1. വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ആൻഡ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി

2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

ലാളിത്യത്തിനായി cos (x + / 6) പകരം y ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടുക:

2y 2 - 3y + 1 + 0

ആരുടെ വേരുകൾ y 1 = 1, y 2 = 1/2

ഇനി നമുക്ക് വിപരീത ക്രമത്തിൽ പോകാം

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ y മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കും:

2. ഘടകവൽക്കരണത്തിലൂടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

sin x + cos x = 1 എന്ന സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കുക, അങ്ങനെ 0 വലതുവശത്ത് നിലനിൽക്കും:

sin x + cos x - 1 = 0

സമവാക്യം ലളിതമാക്കാൻ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഐഡന്റിറ്റികൾ ഉപയോഗിക്കാം:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

ഞങ്ങൾ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ നടത്തുന്നു:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sin (x / 2) * = 0

നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും

3. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരേ കോണിന്റെ ഒരേ ശക്തിയാണെങ്കിൽ, ഒരു സമവാക്യം സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുമായി ഏകതാനമാണ്. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക:

a) അതിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളെയും ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുക;

b) പരാൻതീസിസിൽ നിന്ന് എല്ലാ പൊതു ഘടകങ്ങളും എടുക്കുക;

സി) എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ബ്രാക്കറ്റുകളും 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുക;

d) കുറഞ്ഞ അളവിലുള്ള ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ലഭിക്കും, അത് ഉയർന്ന ഡിഗ്രിയിൽ സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു;

e) tg യുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് sin 2 x + cos 2 x = 1 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും വലതുവശത്തുള്ള തുറന്ന രണ്ട് ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യാം:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x നെ y ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടുക:

y 2 + 4y +3 = 0, അതിന്റെ വേരുകൾ y 1 = 1, y 2 = 3

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

x 2 = ആർക്റ്റാൻ 3 + കെ

4. പകുതി കോണിലേക്ക് പോയി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

3sin x - 5cos x = 7 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

x / 2 ലേക്ക് നീങ്ങുന്നു:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കുക:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

cos കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. ഒരു ഓക്സിലറി ആംഗിൾ അവതരിപ്പിക്കുക

പരിഗണനയ്ക്കായി, ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം എടുക്കുക: a sin x + b cos x = c,

ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ ചില അനിയന്ത്രിതമായ ഗുണകങ്ങളാണ്, കൂടാതെ x അജ്ഞാതമാണ്.

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുക:



ഇപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾക്ക്, ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, sin, cos എന്നീ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അതായത്: അവയുടെ മോഡുലസ് 1-ൽ കൂടുതലല്ല, സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = 1. നമുക്ക് അവയെ യഥാക്രമം cos, sin എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം, എവിടെയാണ് ഓക്സിലറി ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ. അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:

cos * sin x + sin * cos x = С

അല്ലെങ്കിൽ പാപം (x +) = സി

ഈ ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്

x = (-1) k * arcsin С - + k, എവിടെ



കോസും പാപവും പരസ്പരം മാറിമാറി ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

sin 3x - cos 3x = 1 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഈ സമവാക്യത്തിൽ, ഗുണകങ്ങൾ ഇവയാണ്:

a =, b = -1, അതിനാൽ നമ്മൾ ഇരുവശങ്ങളെയും = 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

സങ്കീർണ്ണതയുടെ ഏത് തലത്തിലുമുള്ള ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ആത്യന്തികമായി ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു. ഇതിൽ, ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ വീണ്ടും മികച്ച സഹായിയായി മാറുന്നു.

കോസൈൻ, സൈൻ എന്നിവയുടെ നിർവചനങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം.

ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത കോണിന്റെ ഭ്രമണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ abscissa (അതായത്, അക്ഷത്തോടൊപ്പമുള്ള കോർഡിനേറ്റ്) ആണ്.

ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത കോണിന്റെ ഭ്രമണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ഓർഡിനേറ്റ് (അതായത്, അച്ചുതണ്ടിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ്) ആണ്.

ത്രികോണമിതി വൃത്തത്തിലെ ചലനത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശ എതിർ ഘടികാരദിശയിലുള്ള ചലനമാണ്. 0 ഡിഗ്രി (അല്ലെങ്കിൽ 0 റേഡിയൻ) ഭ്രമണം കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിനോട് യോജിക്കുന്നു (1; 0)

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഈ നിർവചനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

1. നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം

ഈ സമവാക്യം ഭ്രമണ കോണിന്റെ അത്തരം എല്ലാ മൂല്യങ്ങളാലും സംതൃപ്തമാണ്, അത് വൃത്തത്തിന്റെ പോയിന്റുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ ഓർഡിനേറ്റ് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ ഒരു ഓർഡിനേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം:

വൃത്തവുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ നമുക്ക് abscissa അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു തിരശ്ചീന രേഖ വരയ്ക്കാം. ഒരു സർക്കിളിൽ കിടന്ന് ഒരു ഓർഡിനേറ്റ് ഉള്ള രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ പോയിന്റുകൾ ഭ്രമണ കോണുകളോടും റേഡിയനുകളോടും യോജിക്കുന്നു:

റേഡിയൻ ഭ്രമണകോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിന്റ് ഉപേക്ഷിച്ച്, ഒരു പൂർണ്ണ വൃത്തത്തിന് ചുറ്റും പോകുകയാണെങ്കിൽ, റേഡിയൻ ഭ്രമണകോണുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ബിന്ദുവിൽ എത്തുകയും അതേ ഓർഡിനേറ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്യും. അതായത്, ഈ ഭ്രമണകോണും നമ്മുടെ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ളത്ര "നിഷ്‌ക്രിയ" വിപ്ലവങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും, അതേ പോയിന്റിലേക്ക് മടങ്ങുക, കൂടാതെ കോണുകളുടെ ഈ മൂല്യങ്ങളെല്ലാം നമ്മുടെ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും. "നിഷ്ക്രിയ" വിപ്ലവങ്ങളുടെ എണ്ണം അക്ഷരം (അല്ലെങ്കിൽ) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും. നമുക്ക് ഈ വിപ്ലവങ്ങൾ പോസിറ്റീവിലും നെഗറ്റീവ് ദിശയിലും ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമെന്നതിനാൽ, (അല്ലെങ്കിൽ) ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം.

അതായത്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ആദ്യ ശ്രേണിക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

,, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് (1)

അതുപോലെ, പരിഹാരങ്ങളുടെ രണ്ടാമത്തെ പരമ്പര ഇതാണ്:

, എവിടെ ,. (2)

നിങ്ങൾ ഊഹിച്ചതുപോലെ, ഈ പരിഹാരങ്ങളുടെ പരമ്പര ഭ്രമണകോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ പോയിന്റിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

ഈ രണ്ട് ശ്രേണി പരിഹാരങ്ങളും ഒരു എൻട്രിയിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കാം:

ഞങ്ങൾ ഈ റെക്കോർഡ് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ (അതായത്, പോലും), അപ്പോൾ നമുക്ക് പരിഹാരങ്ങളുടെ ആദ്യ പരമ്പര ലഭിക്കും.

ഞങ്ങൾ ഈ റെക്കോർഡ് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ (അതായത്, വിചിത്രം), അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ശ്രേണി പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും.

2. ഇനി നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം

ഒരു കോണിലൂടെ തിരിയുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ പോയിന്റിന്റെ അബ്സിസ്സ ആയതിനാൽ, അച്ചുതണ്ടിലെ അബ്സിസ്സ ഉപയോഗിച്ച് പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുക:

സർക്കിളുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു ലംബ രേഖ വരയ്ക്കുക. ഒരു സർക്കിളിൽ കിടക്കുന്നതും ഒരു അബ്സിസ്സ ഉള്ളതുമായ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ പോയിന്റുകൾ റേഡിയൻ, ഭ്രമണ കോണുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് റൊട്ടേഷൻ ആംഗിൾ ലഭിക്കുമെന്ന് ഓർക്കുക:

നമുക്ക് രണ്ട് ശ്രേണി പരിഹാരങ്ങൾ എഴുതാം:

,

,

(പ്രധാന പൂർണ്ണ വൃത്തത്തിൽ നിന്ന് കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള പോയിന്റിലെത്തുന്നു, അതായത്.

നമുക്ക് ഈ രണ്ട് സീരീസുകളും ഒരു എൻട്രിയിലേക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:

3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

OY അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (1,0) ഉള്ള പോയിന്റിലൂടെ ടാൻജെന്റ് ലൈൻ കടന്നുപോകുന്നു.

1 ന് തുല്യമായ ഓർഡിനേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അതിൽ ഒരു പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു (ഏത് കോണുകളുടെ ടാൻജെന്റ് 1 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ തിരയുന്നു):

നമുക്ക് ഈ പോയിന്റ് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവവുമായി ഒരു നേർരേഖ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കുകയും യൂണിറ്റ് സർക്കിളുമായി നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യാം. നേർരേഖയുടെയും വൃത്തത്തിന്റെയും വിഭജന പോയിന്റുകൾ ഭ്രമണ കോണുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:

നമ്മുടെ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഭ്രമണ കോണുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിന്റുകൾ പരസ്പരം റേഡിയനുകളുടെ അകലത്തിൽ കിടക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ഈ രീതിയിൽ പരിഹാരം എഴുതാം:

4. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിന്റിലൂടെ കോട്ടാൻജെന്റ് ലൈൻ കടന്നുപോകുന്നു.

കോട്ടാൻജെന്റുകളുടെ വരിയിൽ abscissa -1 ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം:

നമുക്ക് ഈ പോയിന്റ് ഒരു നേർരേഖയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധിപ്പിച്ച് സർക്കിളുമായുള്ള കവലയിലേക്ക് അത് തുടരാം. ഈ രേഖ ഭ്രമണ കോണുകൾക്കും റേഡിയനുകൾക്കും അനുയോജ്യമായ പോയിന്റുകളിൽ സർക്കിളിനെ വിഭജിക്കും:

ഈ പോയിന്റുകൾ പരസ്പരം തുല്യമായ അകലത്തിലായതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ചിത്രീകരിക്കുന്നതിന്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പട്ടിക മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു.

എന്നിരുന്നാലും, സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു പട്ടിക മൂല്യം ഇല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ ഞങ്ങൾ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ:

ഓർഡിനേറ്റ് 0 ന് തുല്യമായ പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് സർക്കിളിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം:

നമുക്ക് സർക്കിളിൽ ഒരൊറ്റ പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം, അതിന്റെ ഓർഡിനേറ്റ് 1 ന് തുല്യമാണ്:

നമുക്ക് സർക്കിളിൽ ഒരേയൊരു പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം, അതിന്റെ ഓർഡിനേറ്റ് -1 ന് തുല്യമാണ്:

പൂജ്യത്തോട് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പതിവായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:

സർക്കിളിൽ, abscissa 0 ന് തുല്യമായ പോയിന്റുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക:

5.
നമുക്ക് സർക്കിളിൽ ഒരേയൊരു പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം, അതിന്റെ അബ്സിസ്സ 1 ന് തുല്യമാണ്:

നമുക്ക് സർക്കിളിൽ ഒരേയൊരു പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം, അതിന്റെ അബ്സിസ്സ -1 ന് തുല്യമാണ്:

കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

1.

വാദമാണെങ്കിൽ സൈൻ ഒന്നാണ്

ഞങ്ങളുടെ സൈനിന്റെ വാദം തുല്യമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

ഉത്തരം:

2.

കോസൈന്റെ വാദം ആണെങ്കിൽ കോസൈൻ പൂജ്യമാണ്

ഞങ്ങളുടെ കോസൈന്റെ വാദം തുല്യമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം, ഇതിനായി നമ്മൾ ആദ്യം എതിർ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് വലത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു:

നമുക്ക് വലതുവശം ലളിതമാക്കാം:

രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും -2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

k ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നതിനാൽ, പദത്തിന് മുന്നിൽ ചിഹ്നം മാറില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉത്തരം:

അവസാനമായി, "ഒരു ത്രികോണമിതി വൃത്തം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിൽ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കൽ" എന്ന വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ കാണുക.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള സംഭാഷണം ഇത് അവസാനിപ്പിക്കുന്നു. അടുത്ത തവണ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആശയം.

• ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അതിനെ ഒന്നോ അതിലധികമോ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് ആത്യന്തികമായി നാല് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.