ഒരു ബഹുപദം ഫാക്റ്ററിംഗ്. ഭാഗം 1

ഫാക്‌ടറൈസേഷൻസങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ഒരു സാർവത്രിക സാങ്കേതികതയാണ്. വലത് വശം പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ആദ്യം മനസ്സിൽ വരേണ്ട ചിന്ത ഇടത് വശത്തെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുക എന്നതാണ്.

ഞങ്ങൾ പ്രധാനം പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാനുള്ള വഴികൾ:

• ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കുന്നു
• ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം
• ഒരു സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പ്രകാരം
• ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി
• ഒരു ബഹുപദത്തെ ഒരു ദ്വിപദത്താൽ ഹരിക്കുന്നു
• അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി

ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ മൂന്ന് രീതികളിൽ വിശദമായി വസിക്കും, ബാക്കിയുള്ളവ ഇനിപ്പറയുന്ന ലേഖനങ്ങളിൽ ചർച്ചചെയ്യും.

1. ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കൽ.

ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം അത് കണ്ടെത്തണം. സാധാരണ ഗുണിത ഗുണകംഎല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനത്തിന് തുല്യമാണ്.

കത്ത് ഭാഗംഏറ്റവും ചെറിയ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഓരോ പദവും ഉണ്ടാക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ് പൊതു ഘടകം.

ഒരു പൊതു ഘടകം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ശ്രദ്ധ!
ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം യഥാർത്ഥ എക്സ്പ്രഷനിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. പദങ്ങളിലൊന്ന് പൊതു ഘടകവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, അതിനെ പൊതുവായ ഘടകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒന്ന് ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം 1

ബഹുപദത്തെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുക:

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം അത് കണ്ടെത്തും.

1. പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുക, അതായത്. സംഖ്യകൾ 20, 35, 15. ഇത് 5 ന് തുല്യമാണ്.

2. വേരിയബിൾ എല്ലാ പദങ്ങളിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നും അതിന്റെ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയത് 2 ആണെന്നും ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു.

വേരിയബിൾ രണ്ടാമത്തെ പദത്തിൽ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, അതിനാൽ ഇത് പൊതു ഘടകത്തിന്റെ ഭാഗമല്ല.

അതിനാൽ പൊതുവായ ഘടകം

3. മുകളിലുള്ള സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഘടകം പുറത്തെടുക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 2സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം. നമുക്ക് ഘടകം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അതിനാൽ നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിച്ചു

ഓരോ ഘടകവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുക:

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു - ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട്.

വേരുകൾ:

ഉത്തരം: -1, 2, 4

2. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ.

നമ്മൾ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ പോകുന്ന പോളിനോമിയലിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം മൂന്നിൽ കുറവോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ, കുറച്ച ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു.

1. ബഹുപദമാണെങ്കിൽരണ്ട് പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അപേക്ഷിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം:

അഥവാ ക്യൂബ് വ്യത്യാസം ഫോർമുല:

അക്ഷരങ്ങൾ ഇതാ ഒരു സംഖ്യയെയോ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗത്തെയോ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

2. പോളിനോമിയൽ രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഒരുപക്ഷേ അത് ഉപയോഗിച്ച് ഫാക്ടർ ചെയ്യാം ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

3. പോളിനോമിയലിൽ മൂന്ന് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു സം സ്ക്വയർ ഫോർമുല:

അഥവാ വ്യത്യാസം ചതുര ഫോർമുല:

അല്ലെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുന്നു ഒരു സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:

ഇവിടെയും ഇവയുമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ

ഉദാഹരണം 3എക്സ്പ്രഷൻ ഫാക്റ്ററിംഗ്:

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ഓരോ പദത്തെയും ഏതെങ്കിലും പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഒരു ക്യൂബായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം, തുടർന്ന് ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക:

ഉദാഹരണം 4എക്സ്പ്രഷൻ ഫാക്റ്ററിംഗ്:

പരിഹാരം. രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമാണ് നമുക്ക് മുന്നിൽ. ആദ്യ പദപ്രയോഗം: , രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗം:

ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിനായി നമുക്ക് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം:

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ നൽകാം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ.
ദ്വിപദത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പും സമചതുര ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഘടകവൽക്കരണവും.

ആ. \(p, q \) കൂടാതെ \(n, m \) എന്നീ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നങ്ങൾ ചുരുങ്ങി.

പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം മാത്രമല്ല, പരിഹാര പ്രക്രിയയും പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

ഈ പ്രോഗ്രാം ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ടെസ്റ്റുകൾക്കും പരീക്ഷകൾക്കും തയ്യാറെടുക്കുമ്പോൾ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പുള്ള അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും ഉള്ള നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഗണിതമോ ബീജഗണിതമോ ഗൃഹപാഠം കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പരിശീലനവും കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരങ്ങളുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനവും നടത്താൻ കഴിയും, അതേസമയം പരിഹരിക്കേണ്ട ജോലികളുടെ മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, അവയുമായി നിങ്ങൾ സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ചതുര ബഹുപദം നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ

ഏത് ലാറ്റിൻ അക്ഷരത്തിനും ഒരു വേരിയബിളായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും.
ഉദാഹരണത്തിന്: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) തുടങ്ങിയവ.

സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായോ ഭിന്നസംഖ്യകളായോ നൽകാം.
മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു ദശാംശത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ മാത്രമല്ല, ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലും നൽകാം.

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം ഒരു ഡോട്ട് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇതുപോലുള്ള ദശാംശങ്ങൾ നൽകാം: 2.5x - 3.5x^2

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമേ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയൂ.

ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

ഒരു സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യ നൽകുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു ഡിവിഷൻ ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിക്കുന്നു: /
പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭാഗം ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ആമ്പർസാൻഡ് ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുന്നു: &
ഇൻപുട്ട്: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ഫലം: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവതരിപ്പിച്ച പദപ്രയോഗം ആദ്യം ലളിതമാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

വിശദമായ പരിഹാര ഉദാഹരണം

ബൈനോമിയലിന്റെ ചതുരത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \വലത്)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \വലത്)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\ഇടത് (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\ഇടത്(x+\frac(1)(2) \വലത്)^2-\frac(9)(2) $$ ഉത്തരം:$$2x^2+2x-4 = 2\ഇടത്(x+\frac(1)(2) \വലത്)^2-\frac(9)(2) $$ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\ഇടത്(x^2+x-2 \വലത്) = $$
$$ 2 \ഇടത്(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \ഇടത്(x \ഇടത്(x +2 \വലത്) -1 \ഇടത്(x +2 \വലത്) ) \വലത്) = $$ $$ 2 \ഇടത്(x -1 \വലത്) \ഇടത്(x +2 \വലത്) $$ ഉത്തരം:$$2x^2+2x-4 = 2 \ഇടത്(x -1 \വലത്) \ഇടത്(x +2 \വലത്) $$

ഈ ടാസ്ക്ക് പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ല.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കന്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

കുറച്ച് സിദ്ധാന്തം.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൽ നിന്ന് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ദ്വിപദത്തിന്റെ വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ

സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ ax 2 + bx + c ഒരു (x + p) 2 + q ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, p, q എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, അവർ പറയുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദം, ദ്വിപദത്തിന്റെ ചതുരം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു.

2x 2 +12x+14 എന്ന ട്രൈനോമിയലിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ദ്വിപദത്തിന്റെ വർഗ്ഗം വേർതിരിച്ചെടുക്കാം.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ 2 * 3 * x ന്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി 6x പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് 3 2 ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

അത്. ഞങ്ങൾ സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൽ നിന്ന് ദ്വിപദത്തിന്റെ വർഗ്ഗം തിരഞ്ഞെടുത്തു, അത് കാണിച്ചു:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ ax 2 +bx+c എന്നത് a(x+n)(x+m) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, n, m എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം നടത്തുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഘടകവൽക്കരണം.

ഈ പരിവർത്തനം എങ്ങനെയാണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കാണിക്കാൻ നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിക്കാം.

2x 2 +4x-6 എന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം.

നമുക്ക് കോഫിഫിഷ്യന്റ് എ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുക്കാം, അതായത്. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ 2x എന്നതിനെ 3x-1x എന്ന വ്യത്യാസമായും -3 -1*3 ആയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

അത്. ഞങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുക, അത് കാണിച്ചു:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ഈ ട്രൈനോമിയലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ ഉള്ളപ്പോൾ മാത്രമേ ഒരു ചതുര ത്രിപദത്തിന്റെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ സാധ്യമാകൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
ആ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, 2x 2 +4x-6 =0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ ട്രിനോമിയൽ 2x 2 +4x-6 ഫാക്ടറിംഗ് സാധ്യമാണ്. ഫാക്‌ടറിംഗ് പ്രക്രിയയിൽ, 2x 2 +4x-6 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് 1, -3 എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഈ മൂല്യങ്ങൾക്കൊപ്പം, 2(x-1)(x+3)=0 എന്ന സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമത്വമായി മാറുന്നു.

പോളിനോമിയലുകളുടെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ ഒരു സമാന പരിവർത്തനമാണ്, അതിന്റെ ഫലമായി ഒരു പോളിനോമിയൽ നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു - പോളിനോമിയലുകൾ അല്ലെങ്കിൽ മോണോമിയലുകൾ.

പോളിനോമിയലുകൾ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

രീതി 1. സാധാരണ ഘടകം ബ്രാക്കറ്റിംഗ്.

ഈ പരിവർത്തനം ഗുണനത്തിന്റെ വിതരണ നിയമത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: ac + bc = c(a + b). പരിവർത്തനത്തിന്റെ സാരാംശം പരിഗണനയിലുള്ള രണ്ട് ഘടകങ്ങളിൽ പൊതുവായ ഘടകം ഒറ്റപ്പെടുത്തുകയും ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് "പുറത്ത് വയ്ക്കുക" എന്നതാണ്.

നമുക്ക് പോളിനോമിയൽ 28x 3 - 35x 4 ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം.

പരിഹാരം.

1. 28x3, 35x4 എന്നീ മൂലകങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നു. 28 നും 35 നും ഇത് 7 ആയിരിക്കും. x 3, x 4 - x 3 എന്നിവയ്ക്ക്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങളുടെ പൊതു ഘടകം 7x3 ആണ്.

2. ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി ഞങ്ങൾ ഓരോ ഘടകങ്ങളെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അവയിലൊന്ന്
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. പൊതുവായ ഘടകം ബ്രാക്കറ്റിംഗ്
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

രീതി 2. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് എക്സ്പ്രഷനിൽ ശ്രദ്ധിക്കുന്നതാണ് ഈ രീതി മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള "പാണ്ഡിത്യം".

നമുക്ക് പോളിനോമിയൽ x 6 - 1 ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം.

പരിഹാരം.

1. ഈ എക്സ്പ്രഷനിൽ നമുക്ക് ചതുരങ്ങളുടെ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം പ്രയോഗിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ x 6-നെ (x 3) 2 ആയും 1-നെ 1 2 ആയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതായത്. 1. പദപ്രയോഗം ഫോം എടുക്കും:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക്, ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും വ്യത്യാസത്തിനുമുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് പ്രയോഗിക്കാം:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

അതിനാൽ,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

രീതി 3. ഗ്രൂപ്പിംഗ്. ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ ഘടകങ്ങൾ അവയിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ എളുപ്പമുള്ള വിധത്തിൽ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി (സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഒരു പൊതു ഘടകം എടുക്കൽ).

ഞങ്ങൾ പോളിനോമിയൽ x 3 - 3x 2 + 5x - 15 ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുന്നു.

പരിഹാരം.

1. ഘടകങ്ങളെ ഈ രീതിയിൽ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക: 1-ാമത്തേത് 2-ഉം 3-മത്തേത് 4-ഉം
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷനിൽ, ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ എടുക്കുന്നു: ആദ്യ കേസിൽ x 2 ഉം രണ്ടാമത്തേതിൽ 5 ഉം.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. ഞങ്ങൾ പൊതു ഘടകം x - 3 എടുത്ത് നേടുക:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

അതിനാൽ,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

നമുക്ക് മെറ്റീരിയൽ ശരിയാക്കാം.

a 2 - 7ab + 12b 2 എന്ന ബഹുപദത്തെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.

പരിഹാരം.

1. ഞങ്ങൾ മോണോമിയൽ 7ab നെ 3ab + 4ab ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. പദപ്രയോഗം ഫോം എടുക്കും:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് നേടാം:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. പോളിനോമിയലിന്റെ ഘടകങ്ങളെ ഈ രീതിയിൽ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക: 1-ാമത്തേത് 2-ഉം 3-ആമത്തേത് 4-ഉം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. നമുക്ക് പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ എടുക്കാം:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. നമുക്ക് പൊതുവായ ഘടകം (a - 3b) എടുക്കാം:
a (a – 3b) – 4b (a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

അതിനാൽ,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.site, മെറ്റീരിയലിന്റെ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തിയാൽ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

ബീജഗണിതത്തിലെ "പോളിനോമിയൽ", "ഫാക്ടറൈസേഷൻ ഓഫ് എ പോളിനോമിയൽ" എന്നീ ആശയങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമാണ്, കാരണം വലിയ മൾട്ടി-മൂല്യമുള്ള സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ നിങ്ങൾ അവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ലേഖനം നിരവധി വിഘടിപ്പിക്കൽ രീതികൾ വിവരിക്കും. അവയെല്ലാം ഉപയോഗിക്കാൻ വളരെ ലളിതമാണ്, ഓരോ സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾ ശരിയായ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു ബഹുപദം എന്ന ആശയം

ഒരു ബഹുപദം എന്നത് മോണോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അതായത്, ഗുണന പ്രവർത്തനം മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2 * x * y ഒരു മോണോമിയൽ ആണ്, എന്നാൽ 2 * x * y + 25 ഒരു ബഹുപദമാണ്, അതിൽ 2 മോണോമിയലുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: 2 * x * y, 25. അത്തരം ബഹുപദങ്ങളെ ബൈനോമിയലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിലപ്പോൾ, മൾട്ടിവാല്യൂഡ് മൂല്യങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൗകര്യത്തിനായി, എക്സ്പ്രഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തണം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കണം, അതായത്, ഗുണന പ്രവർത്തനം നടത്തുന്ന സംഖ്യകൾ അല്ലെങ്കിൽ പദപ്രയോഗങ്ങൾ. ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. പ്രൈമറി ക്ലാസുകളിൽ പോലും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഏറ്റവും പ്രാകൃതമായതിൽ നിന്ന് അവ പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.

ഗ്രൂപ്പിംഗ് (പൊതു പ്രവേശനം)

പൊതുവേ ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (പരസ്യം + bd)

മോണോമിയലുകൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അങ്ങനെ ഓരോ ഗ്രൂപ്പിലും ഒരു പൊതു ഘടകം ദൃശ്യമാകും. ആദ്യത്തെ പരാൻതീസിസിൽ, ഇത് ഘടകം c ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ - d. ഇത് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാനും അതുവഴി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാനും ഇത് ചെയ്യണം.

ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണത്തിൽ വിഘടിപ്പിക്കൽ അൽഗോരിതം

ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ബഹുപദത്തെ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റിൽ, നിങ്ങൾ ഫാക്ടർ a യുമായി നിബന്ധനകൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് സാധാരണമായിരിക്കും, രണ്ടാമത്തേതിൽ - ഘടകം b ഉപയോഗിച്ച്. പൂർത്തിയായ എക്‌സ്‌പ്രഷനിലെ + കൂടാതെ - ചിഹ്നങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. പ്രാരംഭ എക്സ്പ്രഷനിൽ ഉണ്ടായിരുന്ന അടയാളം ഞങ്ങൾ മോണോമിയലിന് മുന്നിൽ വെച്ചു. അതായത്, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കേണ്ടത് 25a എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലല്ല, മറിച്ച് -25 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലാണ്. മൈനസ് ചിഹ്നം, അതിന്റെ പിന്നിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൽ "ഒട്ടിപ്പിടിക്കുന്നു", അത് എല്ലായ്പ്പോഴും കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ, നിങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് സാധാരണമായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാണ് ഗ്രൂപ്പിംഗ്. ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ബ്രാക്കറ്റിലെ എല്ലാ നിബന്ധനകളിലും കൃത്യമായി ആവർത്തിക്കുന്ന എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ബ്രാക്കറ്റിന് മുമ്പ് (ഗുണന ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുന്നു) എഴുതുക എന്നാണ്. ബ്രാക്കറ്റിൽ 2 അല്ല, 3 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതൽ നിബന്ധനകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയിൽ ഓരോന്നിലും പൊതുവായ ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കണം, അല്ലാത്തപക്ഷം അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ബ്രാക്കറ്റിൽ 2 നിബന്ധനകൾ മാത്രം. മൊത്തത്തിലുള്ള ഗുണിതം ഉടനടി ദൃശ്യമാകും. ആദ്യത്തെ പരാൻതീസിസ് a ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് b ആണ്. ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഡിജിറ്റൽ ഗുണകങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റിൽ, രണ്ട് ഗുണകങ്ങളും (10 ഉം 25 ഉം) 5 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളാണ്. ഇതിനർത്ഥം a മാത്രമല്ല, 5a യും ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്യാമെന്നാണ്. ബ്രാക്കറ്റിന് മുമ്പ്, 5a എഴുതുക, തുടർന്ന് ബ്രാക്കറ്റിലെ ഓരോ പദങ്ങളും എടുത്ത പൊതുവായ ഘടകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, കൂടാതെ +, - ചിഹ്നങ്ങൾ മറക്കാതെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഘടകഭാഗം എഴുതുക. രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിലും ഇത് ചെയ്യുക. , 7 ന്റെ 14, 35 ഗുണിതങ്ങൾ മുതൽ 7b എടുക്കുക.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

ഇത് 2 നിബന്ധനകളായി മാറി: 5a (2c - 5), 7b (2c - 5). അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു പൊതു ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (ഇവിടെ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതായത് ഇത് ഒരു പൊതു ഘടകമാണ്): 2c - 5. ഇത് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, 5a, 7b എന്നീ പദങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിൽ തുടരുക:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

അതിനാൽ പൂർണ്ണമായ പദപ്രയോഗം ഇതാണ്:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

അങ്ങനെ, പോളിനോമിയൽ 10ac + 14bc - 25a - 35b 2 ഘടകങ്ങളായി വിഘടിക്കുന്നു: (2c - 5), (5a + 7b). എഴുതുമ്പോൾ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഗുണന ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കാം

ചിലപ്പോൾ ഈ തരത്തിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉണ്ട്: 5a 2 + 50a 3, ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് a അല്ലെങ്കിൽ 5a മാത്രമല്ല, 5a 2 പോലും ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്യാം. സാധ്യമായ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുവായ ഘടകം ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ നിങ്ങൾ എപ്പോഴും ശ്രമിക്കണം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓരോ പദത്തെയും ഒരു പൊതു ഘടകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(തുല്യമായ ബേസുകളുള്ള നിരവധി ശക്തികളുടെ ഘടകഭാഗം കണക്കാക്കുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാനം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുകയും ഘാതം കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു). അങ്ങനെ, ഒന്ന് ബ്രാക്കറ്റിൽ തന്നെ തുടരുന്നു (നിങ്ങൾ നിബന്ധനകളിലൊന്ന് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായി എടുത്താൽ ഒരെണ്ണം എഴുതാൻ മറക്കരുത്) കൂടാതെ വിഭജനത്തിന്റെ ഘടകഭാഗം: 10a. അത് മാറുന്നു:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

സ്ക്വയർ ഫോർമുലകൾ

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സൗകര്യാർത്ഥം, നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു. അവയെ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ ഫോർമുലകൾ പവർ അടങ്ങിയ ബഹുപദങ്ങളെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാനുള്ള മറ്റൊരു ശക്തമായ മാർഗമാണിത്. അതിനാൽ അവ ഇതാ:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -"തുകയുടെ ചതുരം" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യം, ഒരു ചതുരത്തിലേക്കുള്ള വികാസത്തിന്റെ ഫലമായി, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക എടുക്കുന്നു, അതായത്, ഈ തുകയുടെ മൂല്യം സ്വയം 2 മടങ്ങ് ഗുണിക്കുന്നു. അത് ഒരു ഗുണിതം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - വ്യത്യാസത്തിന്റെ ചതുരത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം, ഇത് മുമ്പത്തേതിന് സമാനമാണ്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ശക്തിയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വ്യത്യാസമാണ് ഫലം.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- ഇത് സമചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിനുള്ള ഫോർമുലയാണ്, കാരണം തുടക്കത്തിൽ പോളിനോമിയലിൽ 2 സ്ക്വയർ അക്കങ്ങളോ എക്സ്പ്രഷനുകളോ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവയ്ക്കിടയിൽ വ്യവകലനം നടത്തുന്നു. ഒരുപക്ഷേ ഇത് മൂന്നിൽ ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ്.

ചതുരങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

അവയിലെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ ലളിതമായി നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - "തുകയുടെ ചതുരം" എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക.
2. 25x 2 എന്നത് 5x ന്റെ ചതുരമാണ്. 20xy എന്നത് 2*(5x*2y)യുടെ ഇരട്ടിയാണ്, 4y 2 എന്നത് 2y യുടെ ചതുരമാണ്.
3. അതിനാൽ 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y).ഈ ബഹുപദം 2 ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഘടകങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ ഇത് ഒരു ചതുര ശക്തിയുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു).

വ്യത്യാസത്തിന്റെ ചതുരത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇവയ്ക്ക് സമാനമായി നടത്തുന്നു. സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്. ഈ ഫോർമുലയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാനും മറ്റ് എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കിടയിൽ കണ്ടെത്താനും വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 \u003d (5a) 2 മുതൽ 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 \u003d (6x) 2 മുതൽ 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). 169b മുതൽ 2 = (13b) 2

ഓരോ പദങ്ങളും ചില പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ വർഗ്ഗമാണെന്നത് പ്രധാനമാണ്. അപ്പോൾ ഈ ബഹുപദം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസത്താൽ കണക്കാക്കണം. ഇതിനായി, രണ്ടാമത്തെ ശക്തി സംഖ്യയ്ക്ക് മുകളിലായിരിക്കണമെന്നില്ല. വലിയ ശക്തികൾ അടങ്ങിയ പോളിനോമിയലുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അനുയോജ്യമാണ്.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു 8-നെ (a 4) 2 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അതായത് ഒരു പ്രത്യേക പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വർഗ്ഗം. 25 എന്നത് 5 2 ആണ്, 10a എന്നത് 4 ആണ് - ഇത് 2*a 4 *5 പദങ്ങളുടെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നമാണ്. അതായത്, ഈ പദപ്രയോഗം, വലിയ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ സാന്നിധ്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അവയുമായി പിന്നീട് പ്രവർത്തിക്കുന്നതിന് 2 ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം.

ക്യൂബ് ഫോർമുലകൾ

ക്യൂബുകൾ അടങ്ങിയ പോളിനോമിയലുകൾ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനും ഇതേ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട്. അവ ചതുരങ്ങളുള്ളതിനേക്കാൾ അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാണ്:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ഈ ഫോർമുലയെ ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിന്റെ പ്രാരംഭ രൂപത്തിൽ പോളിനോമിയൽ ഒരു ക്യൂബിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെയോ സംഖ്യകളുടെയോ ആകെത്തുകയാണ്.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) -മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായ ഒരു സൂത്രവാക്യം ക്യൂബുകളുടെ വ്യത്യാസമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - സം ക്യൂബ്, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, സംഖ്യകളുടെയോ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെയോ ആകെത്തുക ലഭിക്കുന്നു, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ അടച്ച് സ്വയം 3 തവണ ഗുണിക്കുന്നു, അതായത്, ക്യൂബിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ (പ്ലസ്, മൈനസ്) ചില അടയാളങ്ങളിൽ മാത്രം മാറ്റം വരുത്തിക്കൊണ്ട് മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായി സമാഹരിച്ച ഫോർമുലയെ "വ്യത്യാസ ക്യൂബ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അവസാനത്തെ രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനായി പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല, കാരണം അവ സങ്കീർണ്ണമാണ്, മാത്രമല്ല അത്തരം ഒരു ഘടനയുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്ന പോളിനോമിയലുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ അപൂർവമാണ്, അതിനാൽ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് അവ വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഇപ്പോഴും അവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം അവ വിപരീത ദിശയിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും - ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോൾ.

ക്യൂബ് ഫോർമുലകൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

ഞങ്ങൾ ഇവിടെ സാമാന്യം അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എടുത്തിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ 64a 3 (4a) 3 ആണെന്നും 8b 3 (2b) 3 ആണെന്നും നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി കാണാൻ കഴിയും. അങ്ങനെ, ഈ ബഹുപദം ക്യൂബുകളുടെ ഫോർമുല വ്യത്യാസത്താൽ 2 ഘടകങ്ങളായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഫോർമുലയിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സാമ്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്.

എല്ലാ പോളിനോമിയലുകളും ഒരു വഴിയിലെങ്കിലും വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. എന്നാൽ ഒരു ചതുരത്തെക്കാളും ഒരു ക്യൂബിനേക്കാളും വലിയ ശക്തികൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്, എന്നാൽ അവയെ ചുരുക്കിയ ഗുണന രൂപങ്ങളിലേക്കും വികസിപ്പിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 - x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ 12 ഡിഗ്രി വരെ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ക്യൂബ്സ് ഫോർമുലയുടെ ആകെത്തുക ഉപയോഗിച്ച് അതിനെയും ഫാക്ടർ ചെയ്യാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ x 12 നെ (x 4) 3 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, ചില പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഒരു ക്യൂബ് ആയി. ഇപ്പോൾ, a എന്നതിനുപകരം, നിങ്ങൾ അത് ഫോർമുലയിൽ പകരം വയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ശരി, 125y 3 എന്ന പദപ്രയോഗം 5y യുടെ ക്യൂബാണ്. അടുത്ത ഘട്ടം ഫോർമുല എഴുതുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്.

ആദ്യം, അല്ലെങ്കിൽ സംശയമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും വിപരീത ഗുണനത്തിലൂടെ പരിശോധിക്കാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷനിലെ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായ പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. മേൽപ്പറഞ്ഞ എല്ലാ റിഡക്ഷൻ രീതികൾക്കും ഈ രീതി ബാധകമാണ്: ഒരു പൊതു ഘടകവും ഗ്രൂപ്പിംഗും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാനും ക്യൂബുകളുടെയും സ്ക്വയർ പവറുകളുടെയും ഫോർമുലകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും.

ഈ പാഠത്തിൽ, ഒരു പോളിനോമിയൽ ഫാക്റ്ററിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള മുമ്പ് പഠിച്ച എല്ലാ രീതികളും ഞങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുകയും അവയുടെ ആപ്ലിക്കേഷന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും, കൂടാതെ, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ രീതി പഠിക്കും - പൂർണ്ണ ചതുര രീതി, വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ അത് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുക.

വിഷയം:ഫാക്‌ടറിംഗ് പോളിനോമിയലുകൾ

പാഠം:ബഹുപദങ്ങളുടെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ. പൂർണ്ണ ചതുര തിരഞ്ഞെടുക്കൽ രീതി. രീതികളുടെ സംയോജനം

മുമ്പ് പഠിച്ച ഒരു പോളിനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതികൾ ഓർക്കുക:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു പൊതു ഘടകം എടുക്കുന്ന രീതി, അതായത്, ബഹുപദത്തിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളിലും ഉള്ള ഒരു ഘടകം. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

ഒരു മോണോമിയൽ ശക്തികളുടെയും സംഖ്യകളുടെയും ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണെന്ന് ഓർക്കുക. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, രണ്ട് അംഗങ്ങൾക്കും പൊതുവായതും സമാനമായതുമായ ചില ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

;

റെൻഡർ ചെയ്ത ഗുണിതത്തെ ബ്രാക്കറ്റ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് റെൻഡറിംഗിന്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഓർക്കുക.

ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി. ഒരു പോളിനോമിയലിൽ ഒരു പൊതു ഘടകം പുറത്തെടുക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ അതിന്റെ അംഗങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അങ്ങനെ ഓരോ ഗ്രൂപ്പിലും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു ഘടകം എടുത്ത് അതിനെ തകർക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, അങ്ങനെ ഗ്രൂപ്പുകളിലെ ഘടകങ്ങൾ എടുത്തതിന് ശേഷം, ഒരു പൊതു ഘടകം ദൃശ്യമാകും. മുഴുവൻ ആവിഷ്കാരവും വിപുലീകരണവും തുടരാം. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

ആദ്യ പദം നാലാമത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത് അഞ്ചാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത് ആറാമത്തേത് എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക:

ഗ്രൂപ്പുകളിലെ പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ നോക്കാം:

പദപ്രയോഗത്തിന് ഒരു പൊതു ഘടകമുണ്ട്. നമുക്ക് അത് പുറത്തെടുക്കാം:

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പ്രയോഗം. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

;

എക്സ്പ്രഷൻ വിശദമായി എഴുതാം:

വ്യക്തമായും, വ്യത്യാസത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം നമ്മുടെ മുമ്പിലുണ്ട്, കാരണം രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുകയും അവയുടെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് ഫോർമുല പ്രകാരം ചുരുട്ടാം:

ഇന്ന് നമ്മൾ മറ്റൊരു വഴി പഠിക്കും - സമ്പൂർണ്ണ ചതുര തിരഞ്ഞെടുക്കൽ രീതി. ഇത് തുകയുടെ വർഗ്ഗത്തിന്റെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെയും സൂത്രവാക്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അവരെ ഓർക്കുക:

തുകയുടെ വർഗ്ഗത്തിന്റെ ഫോർമുല (വ്യത്യാസം);

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേകത, അവയിൽ രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ചതുരങ്ങളും അവയുടെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നതാണ്. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാം:

അതിനാൽ ആദ്യത്തെ പദപ്രയോഗം, രണ്ടാമത്തേത്.

തുകയുടെയോ വ്യത്യാസത്തിന്റെയോ വർഗ്ഗത്തിന് ഒരു ഫോർമുല ഉണ്ടാക്കാൻ, എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ഇരട്ടി ഗുണം മതിയാകില്ല. ഇത് കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

നമുക്ക് തുകയുടെ മുഴുവൻ ചതുരവും ചുരുക്കാം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം നമുക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:

സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു, രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ വ്യത്യാസം ഉൽപ്പന്നവും അവയുടെ വ്യത്യാസമനുസരിച്ച് തുകകളും ആണെന്ന് ഓർക്കുക:

അതിനാൽ, ഈ രീതി ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, ഒന്നാമതായി, സ്ക്വയർ ചെയ്തിരിക്കുന്ന a, b എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങൾ തിരിച്ചറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ ഏത് പദപ്രയോഗങ്ങളാണ് സ്ക്വയർ ചെയ്തതെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ. അതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ ഒരു ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സാന്നിധ്യം പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഇല്ലെങ്കിൽ, അത് ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക, ഇത് ഉദാഹരണത്തിന്റെ അർത്ഥത്തെ മാറ്റില്ല, എന്നാൽ സമചതുരത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ബഹുപദം കണക്കാക്കാം. സാധ്യമെങ്കിൽ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസവും വ്യത്യാസവും.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം 1 - ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുക:

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:

അവരുടെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം എന്തായിരിക്കണമെന്ന് നമുക്ക് എഴുതാം:

നമുക്ക് ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം:

നമുക്ക് തുകയുടെ മുഴുവൻ ചതുരവും ചുരുക്കി സമാനമായവ നൽകാം:

ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ എഴുതും:

ഉദാഹരണം 2 - സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

;

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു ട്രൈനോമിയൽ ഉണ്ട്. നിങ്ങൾ അത് ഫാക്ടർ ഔട്ട് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. വ്യത്യാസത്തിന്റെ ചതുരത്തിന്റെ ഫോർമുല ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ആദ്യത്തെ എക്‌സ്‌പ്രഷനിന്റെയും ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും സ്‌ക്വയർ നമുക്കുണ്ട്, രണ്ടാമത്തെ എക്‌സ്‌പ്രെഷനിന്റെ സ്‌ക്വയർ നഷ്‌ടമായി, നമുക്ക് അത് കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം:

നമുക്ക് സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം ചുരുക്കി സമാനമായ നിബന്ധനകൾ നൽകാം:

സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം പ്രയോഗിക്കാം:

അതിനാൽ നമുക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ട്

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

നമുക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

ഉത്തരം: അല്ലെങ്കിൽ

;

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് സമാനമായി ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു - വ്യത്യാസത്തിന്റെ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക.