ഒരു ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ സവിശേഷതകൾ. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

പിരമിഡ് തീമിനെക്കുറിച്ച് ഒരു ആശയം ലഭിക്കാൻ ഈ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ ഉപയോക്താക്കളെ സഹായിക്കും. ശരിയായ പിരമിഡ്. ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ ഒരു പിരമിഡ് എന്ന ആശയം പരിചയപ്പെടുകയും അതിന് ഒരു നിർവചനം നൽകുകയും ചെയ്യും. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡ് എന്താണെന്നും അതിന്റെ ഗുണങ്ങൾ എന്താണെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു.

ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ ഒരു പിരമിഡ് എന്ന ആശയം പരിചയപ്പെടുകയും അതിന് ഒരു നിർവചനം നൽകുകയും ചെയ്യും.

ഒരു ബഹുഭുജം പരിഗണിക്കുക എ 1 എ 2...എ എൻ, ഏത് α തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു, പോയിന്റ് പി, α വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ല (ചിത്രം 1). നമുക്ക് ഡോട്ടുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കാം പികൊടുമുടികളോടെ എ 1, എ 2, എ 3, … എ എൻ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എൻത്രികോണങ്ങൾ: എ 1 എ 2 ആർ, എ 2 എ 3 ആർഇത്യാദി.

നിർവ്വചനം. പോളിഹെഡ്രോൺ RA 1 A 2 ...A n, നിർമിച്ച എൻ-സമചതുരം Samachathuram എ 1 എ 2...എ എൻഒപ്പം എൻത്രികോണങ്ങൾ RA 1 A 2, RA 2 A 3 …ആർഎ എൻ എ എൻ-1 എന്ന് വിളിക്കുന്നു എൻ- കൽക്കരി പിരമിഡ്. അരി. 1.

അരി. 1

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡ് പരിഗണിക്കുക PABCD(ചിത്രം 2).

ആർ- പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം.

എ ബി സി ഡി- പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം.

ആർ.എ- സൈഡ് വാരിയെല്ല്.

എബി- അടിസ്ഥാന വാരിയെല്ല്.

പോയിന്റിൽ നിന്ന് ആർനമുക്ക് ലംബമായി ഇടാം ആർ.എൻഅടിസ്ഥാന വിമാനത്തിലേക്ക് എ ബി സി ഡി. പിരമിഡിന്റെ ഉയരമാണ് ലംബമായി വരച്ചിരിക്കുന്നത്.

അരി. 2

പിരമിഡിന്റെ മുഴുവൻ ഉപരിതലവും ലാറ്ററൽ ഉപരിതലം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതായത്, എല്ലാ ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണം, അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം:

എസ് ഫുൾ = എസ് സൈഡ് + എസ് മെയിൻ

ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ ഒരു പിരമിഡിനെ ശരി എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

• അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജമാണ്;
• പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗത്തെ അടിത്തറയുടെ മധ്യഭാഗവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഭാഗം അതിന്റെ ഉയരമാണ്.

ഒരു സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ചുള്ള വിശദീകരണം

ഒരു സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡ് പരിഗണിക്കുക PABCD(ചിത്രം 3).

ആർ- പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം. പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം എ ബി സി ഡി- ഒരു സാധാരണ ചതുർഭുജം, അതായത് ഒരു ചതുരം. ഡോട്ട് കുറിച്ച്, ഡയഗണലുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റ്, ചതുരത്തിന്റെ കേന്ദ്രമാണ്. അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ROപിരമിഡിന്റെ ഉയരമാണ്.

അരി. 3

വിശദീകരണം: ശരിയാണ് എൻഒരു ത്രികോണത്തിൽ, ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും വൃത്താകൃതിയുടെ മധ്യവും ഒത്തുചേരുന്നു. ഈ കേന്ദ്രത്തെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചിലപ്പോൾ അവർ പറയുന്നത് ശീർഷകം മധ്യഭാഗത്തേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്തിട്ടുണ്ടെന്ന്.

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച ലാറ്ററൽ മുഖത്തിന്റെ ഉയരത്തെ വിളിക്കുന്നു അപ്പോഥംനിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു h a.

1. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ എല്ലാ ലാറ്ററൽ അറ്റങ്ങളും തുല്യമാണ്;

2. പാർശ്വമുഖങ്ങൾ തുല്യ സമാന്തര ത്രികോണങ്ങളാണ്.

ഒരു സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ ഗുണങ്ങളുടെ ഒരു തെളിവ് നൽകും.

നൽകിയത്: PABCD- സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡ്,

എ ബി സി ഡി- സമചതുരം Samachathuram,

RO- പിരമിഡിന്റെ ഉയരം.

തെളിയിക്കുക:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ചിത്രം കാണുക. 4.

അരി. 4

തെളിവ്.

RO- പിരമിഡിന്റെ ഉയരം. അതായത്, നേരെ ROവിമാനത്തിന് ലംബമായി എബിസി, അതിനാൽ നേരിട്ട് JSC, VO, SOഒപ്പം DOഅതിൽ കിടക്കുന്നു. അതിനാൽ ത്രികോണങ്ങൾ ROA, ROV, ROS, ROD- ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള.

ഒരു ചതുരം പരിഗണിക്കുക എ ബി സി ഡി. ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു AO = VO = CO = DO.

തുടർന്ന് വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ROA, ROV, ROS, RODകാല് RO- ജനറൽ, കാലുകൾ JSC, VO, SOഒപ്പം DOതുല്യമാണ്, അതായത് ഈ ത്രികോണങ്ങൾ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ തുല്യമാണ്. ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയിൽ നിന്ന് സെഗ്മെന്റുകളുടെ തുല്യത പിന്തുടരുന്നു, RA = PB = RS = PD.പോയിന്റ് 1 തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സെഗ്‌മെന്റുകൾ എബിഒപ്പം സൂര്യൻഒരേ ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളായതിനാൽ തുല്യമാണ്, RA = PB = RS. അതിനാൽ ത്രികോണങ്ങൾ എ.വി.ആർഒപ്പം വിഎസ്ആർ -സമഭാഗവും മൂന്ന് വശങ്ങളും തുല്യവുമാണ്.

സമാനമായ രീതിയിൽ നമ്മൾ ത്രികോണങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു എബിപി, വിസിപി, സിഡിപി, ഡിഎപിഖണ്ഡിക 2-ൽ തെളിയിക്കേണ്ടത് സമാന്തരവും തുല്യവുമാണ്.

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെയും അപ്പോഥെമിന്റെയും ചുറ്റളവിന്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഇത് തെളിയിക്കാൻ, നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡ് തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

നൽകിയത്: RAVS- സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡ്.

AB = BC = AC.

RO- ഉയരം.

തെളിയിക്കുക: . ചിത്രം കാണുക. 5.

അരി. 5

തെളിവ്.

RAVS- സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡ്. അതാണ് എബി= എസി = ബിസി. അനുവദിക്കുക കുറിച്ച്- ത്രികോണത്തിന്റെ കേന്ദ്രം എബിസി, പിന്നെ ROപിരമിഡിന്റെ ഉയരമാണ്. പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്ത് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണമുണ്ട് എബിസി. ശ്രദ്ധിക്കുക, അത് .

ത്രികോണങ്ങൾ RAV, RVS, RSA- തുല്യ ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങൾ (സ്വത്ത് പ്രകാരം). ഒരു ത്രികോണ പിരമിഡിന് മൂന്ന് വശങ്ങളുണ്ട്: RAV, RVS, RSA. ഇതിനർത്ഥം പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഇതാണ്:

എസ് സൈഡ് = 3 എസ് റോ

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഒരു സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ അടിയിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 3 മീറ്റർ ആണ്, പിരമിഡിന്റെ ഉയരം 4 മീറ്റർ ആണ്. പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

നൽകിയത്: സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡ് എ ബി സി ഡി,

എ ബി സി ഡി- സമചതുരം Samachathuram,

ആർ= 3 മീറ്റർ,

RO- പിരമിഡിന്റെ ഉയരം,

RO= 4 മീ.

കണ്ടെത്തുക: എസ് വശം. ചിത്രം കാണുക. 6.

അരി. 6

പരിഹാരം.

തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, .

ആദ്യം നമുക്ക് അടിത്തറയുടെ വശം കണ്ടെത്താം എബി. ഒരു സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ അടിയിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 3 മീറ്ററാണെന്ന് നമുക്കറിയാം.

തുടർന്ന്, എം.

ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്തുക എ ബി സി ഡി 6 മീറ്റർ വശമുള്ള:

ഒരു ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക ബി.സി.ഡി. അനുവദിക്കുക എം- വശത്തിന്റെ മധ്യത്തിൽ ഡിസി. കാരണം കുറിച്ച്- മധ്യ BD, അത് (എം).

ത്രികോണം ഡി.പി.സി- ഐസോസിലിസ്. എം- മധ്യ ഡിസി. അതാണ്, ആർ.എം- മീഡിയൻ, അതിനാൽ ത്രികോണത്തിലെ ഉയരം ഡി.പി.സി. പിന്നെ ആർ.എം- പിരമിഡിന്റെ അപ്പോഥം.

RO- പിരമിഡിന്റെ ഉയരം. പിന്നെ, നേരെ ROവിമാനത്തിന് ലംബമായി എബിസി, അതിനാൽ നേരിട്ട് ഓം, അതിൽ കിടക്കുന്നു. നമുക്ക് അപ്പോഥം കണ്ടെത്താം ആർ.എംഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് ROM.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലം കണ്ടെത്താം:

ഉത്തരം: 60 m2.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ ചുറ്റളവിൽ ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ ആരം m ന് തുല്യമാണ്. ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം 18 m 2 ആണ്. അപ്പോഥെമിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുക.

നൽകിയത്: എ.ബി.സി.പി- സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡ്,

AB = BC = SA,

ആർ= m,

എസ് സൈഡ് = 18 മീ 2.

കണ്ടെത്തുക: . ചിത്രം കാണുക. 7.

അരി. 7

പരിഹാരം.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ എബിസിചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ ആരം നൽകിയിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഒരു വശം കണ്ടെത്താം എബിഈ ത്രികോണം സൈനുകളുടെ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ (m) വശം അറിയുമ്പോൾ, അതിന്റെ ചുറ്റളവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, എവിടെ h a- പിരമിഡിന്റെ അപ്പോഥം. അപ്പോൾ:

ഉത്തരം: 4 മീ.

അതിനാൽ, ഒരു പിരമിഡ് എന്താണെന്നും സാധാരണ പിരമിഡ് എന്താണെന്നും ഞങ്ങൾ നോക്കി, ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. അടുത്ത പാഠത്തിൽ, വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിനെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

ഗ്രന്ഥസൂചിക

1. ജ്യാമിതി. ഗ്രേഡുകൾ 10-11: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം (അടിസ്ഥാന, പ്രത്യേക തലങ്ങൾ) / I. M. സ്മിർനോവ, V. A. സ്മിർനോവ്. - അഞ്ചാം പതിപ്പ്., റവ. കൂടാതെ അധികവും - എം.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. ജ്യാമിതി. ഗ്രേഡുകൾ 10-11: പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ill.
3. ജ്യാമിതി. ഗ്രേഡ് 10: ഗണിതം /ഇയുടെ ആഴത്തിലുള്ളതും പ്രത്യേകവുമായ പഠനമുള്ള പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം. വി.പോട്ടോസ്കുവേവ്, എൽ.ഐ.സ്വാലിച്ച്. - ആറാം പതിപ്പ്, സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ്. - എം.: ബസ്റ്റാർഡ്, 008. - 233 പേ.: അസുഖം.

1. ഇന്റർനെറ്റ് പോർട്ടൽ "യാക്ലാസ്" ()
2. ഇന്റർനെറ്റ് പോർട്ടൽ "പെഡഗോഗിക്കൽ ആശയങ്ങളുടെ ഉത്സവം "സെപ്റ്റംബർ ആദ്യം" ()
3. ഇന്റർനെറ്റ് പോർട്ടൽ "Slideshare.net" ()

ഹോം വർക്ക്

1. ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന് ക്രമരഹിതമായ പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനമാകുമോ?
2. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ അരികുകൾ ലംബമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
3. പിരമിഡിന്റെ അപ്പോഥം അതിന്റെ അടിത്തറയുടെ വശത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഒരു സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയുടെ വശത്തുള്ള ഡൈഹെഡ്രൽ കോണിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
4. RAVS- സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡ്. പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്ത് ഡൈഹെഡ്രൽ കോണിന്റെ രേഖീയ കോൺ നിർമ്മിക്കുക.

ആമുഖം

ഞങ്ങൾ സ്റ്റീരിയോമെട്രിക് കണക്കുകൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങിയപ്പോൾ, "പിരമിഡ്" എന്ന വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങൾ സ്പർശിച്ചു. വാസ്തുവിദ്യയിൽ പിരമിഡ് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഈ വിഷയം ഇഷ്ടപ്പെട്ടു. ഞങ്ങളുടെ ഭാവി വാസ്തുവിദ്യാ തൊഴിൽ ഈ കണക്കിൽ നിന്ന് പ്രചോദനം ഉൾക്കൊണ്ടതിനാൽ, മികച്ച പ്രോജക്റ്റുകളിലേക്ക് ഞങ്ങളെ നയിക്കാൻ അവൾക്ക് കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു.

വാസ്തുവിദ്യാ ഘടനകളുടെ ശക്തിയാണ് അവയുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണം. ശക്തിയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത്, ഒന്നാമതായി, അവ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ട വസ്തുക്കളുമായി, രണ്ടാമതായി, ഡിസൈൻ സൊല്യൂഷനുകളുടെ സവിശേഷതകളുമായി, ഒരു ഘടനയുടെ ശക്തി അതിന്റെ അടിസ്ഥാനമായ ജ്യാമിതീയ രൂപവുമായി നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് അനുബന്ധ വാസ്തുവിദ്യാ രൂപത്തിന്റെ മാതൃകയായി കണക്കാക്കാവുന്ന ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തെക്കുറിച്ചാണ്. ജ്യാമിതീയ രൂപവും ഒരു വാസ്തുവിദ്യാ ഘടനയുടെ ശക്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

പുരാതന കാലം മുതൽ, ഈജിപ്ഷ്യൻ പിരമിഡുകൾ ഏറ്റവും മോടിയുള്ള വാസ്തുവിദ്യാ ഘടനകളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, അവയ്ക്ക് സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡുകളുടെ ആകൃതിയുണ്ട്.

ഈ ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ് വലിയ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ ഏറ്റവും വലിയ സ്ഥിരത നൽകുന്നത്. മറുവശത്ത്, പിരമിഡിന്റെ ആകൃതി നിലത്തിന് മുകളിലുള്ള ഉയരം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് പിണ്ഡം കുറയുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് ഗുണങ്ങളാണ് പിരമിഡിനെ സുസ്ഥിരമാക്കുന്നത്, അതിനാൽ ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ ശക്തമാണ്.

പദ്ധതിയുടെ ലക്ഷ്യം: പിരമിഡുകളെക്കുറിച്ച് പുതിയ എന്തെങ്കിലും പഠിക്കുക, നിങ്ങളുടെ അറിവ് ആഴത്തിലാക്കുക, പ്രായോഗിക പ്രയോഗം കണ്ടെത്തുക.

ഈ ലക്ഷ്യം നേടുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലികൾ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

· പിരമിഡിനെക്കുറിച്ച് ചരിത്രപരമായ വിവരങ്ങൾ അറിയുക

· പിരമിഡ് ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപമായി പരിഗണിക്കുക

· ജീവിതത്തിലും വാസ്തുവിദ്യയിലും ആപ്ലിക്കേഷൻ കണ്ടെത്തുക

· ലോകത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന പിരമിഡുകൾ തമ്മിലുള്ള സമാനതകളും വ്യത്യാസങ്ങളും കണ്ടെത്തുക

സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗം

ചരിത്രപരമായ വിവരങ്ങൾ

പിരമിഡ് ജ്യാമിതി പുരാതന ഈജിപ്തിലും ബാബിലോണിലും ആരംഭിച്ചു, എന്നാൽ പുരാതന ഗ്രീസിൽ സജീവമായി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. പിരമിഡിന്റെ അളവ് ആദ്യമായി സ്ഥാപിച്ചത് ഡെമോക്രിറ്റസ് ആയിരുന്നു, സിനിഡസിലെ യൂഡോക്സസ് അത് തെളിയിച്ചു. പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ യൂക്ലിഡ് തന്റെ "മൂലകങ്ങളുടെ" XII വാല്യത്തിൽ പിരമിഡിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ചിട്ടപ്പെടുത്തി, കൂടാതെ ഒരു പിരമിഡിന്റെ ആദ്യ നിർവചനം ഉരുത്തിരിഞ്ഞു: ഒരു തലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്ന വിമാനങ്ങളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ഒരു ഖരരൂപം.

ഈജിപ്ഷ്യൻ ഫറവോമാരുടെ ശവകുടീരങ്ങൾ. അവയിൽ ഏറ്റവും വലുത് - എൽ ഗിസയിലെ ചിയോപ്സ്, ഖഫ്രെ, മൈക്കറിൻ എന്നിവയുടെ പിരമിഡുകൾ - പുരാതന കാലത്ത് ലോകത്തിലെ ഏഴ് അത്ഭുതങ്ങളിൽ ഒന്നായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്നു. ഈജിപ്തിലെ മുഴുവൻ ജനങ്ങളെയും അർത്ഥശൂന്യമായ നിർമ്മാണത്തിലേക്ക് നയിച്ച രാജാക്കന്മാരുടെ അഭൂതപൂർവമായ അഭിമാനത്തിന്റെയും ക്രൂരതയുടെയും ഒരു സ്മാരകം ഗ്രീക്കുകാരും റോമാക്കാരും ഇതിനകം കണ്ട പിരമിഡിന്റെ നിർമ്മാണം ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആരാധനാ പ്രവർത്തനമായിരുന്നു, അത് പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടതായിരുന്നു, പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, രാജ്യത്തിന്റെയും അതിന്റെ ഭരണാധികാരിയുടെയും മിസ്റ്റിക് ഐഡന്റിറ്റി. കാർഷിക ജോലികളിൽ നിന്ന് മുക്തമായ ഒരു വർഷത്തിൽ രാജ്യത്തെ ജനസംഖ്യ ശവകുടീരത്തിന്റെ നിർമ്മാണത്തിൽ പ്രവർത്തിച്ചു. തങ്ങളുടെ ശവകുടീരത്തിന്റെ നിർമ്മാണത്തിലും അതിന്റെ നിർമ്മാതാക്കളിലും രാജാക്കന്മാർ തന്നെ (പിന്നീടെങ്കിലും) നൽകിയ ശ്രദ്ധയും കരുതലും നിരവധി ഗ്രന്ഥങ്ങൾ സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തുന്നു. പിരമിഡിന് തന്നെ നൽകിയിരുന്ന പ്രത്യേക ആരാധനാ ബഹുമതികളെക്കുറിച്ചും ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു.

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

പിരമിഡ്പോളിഹെഡ്രോൺ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു ബഹുഭുജമാണ്, ശേഷിക്കുന്ന മുഖങ്ങൾ ഒരു പൊതു ശീർഷമുള്ള ത്രികോണങ്ങളാണ്.

അപ്പോഥം- ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ ഉയരം, അതിന്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് വരച്ചതാണ്;

പാർശ്വമുഖങ്ങൾ- ത്രികോണങ്ങൾ ഒരു ശീർഷത്തിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു;

സൈഡ് വാരിയെല്ലുകൾ- സൈഡ് മുഖങ്ങളുടെ പൊതുവായ വശങ്ങൾ;

പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം- സൈഡ് വാരിയെല്ലുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പോയിന്റ്, അടിത്തറയുടെ തലത്തിൽ കിടക്കരുത്;

ഉയരം- പിരമിഡിന്റെ മുകളിലൂടെ അതിന്റെ അടിത്തറയുടെ തലത്തിലേക്ക് വരച്ച ഒരു ലംബമായ ഭാഗം (ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റങ്ങൾ പിരമിഡിന്റെ മുകൾ ഭാഗവും ലംബത്തിന്റെ അടിത്തറയുമാണ്);

ഒരു പിരമിഡിന്റെ ഡയഗണൽ വിഭാഗം- അടിത്തറയുടെ മുകൾ ഭാഗത്തും ഡയഗണലിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന പിരമിഡിന്റെ ഭാഗം;

അടിസ്ഥാനം- പിരമിഡിന്റെ ശിഖരത്തിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു ബഹുഭുജം.

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലാറ്ററൽ അറ്റങ്ങൾ, ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങൾ, അപ്പോഥെമുകൾ എന്നിവ യഥാക്രമം തുല്യമാണ്.

അടിത്തറയിലെ ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകൾ തുല്യമാണ്.

ലാറ്ററൽ അരികുകളിലെ ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകൾ തുല്യമാണ്.

ഓരോ ഉയരം പോയിന്റും അടിത്തറയുടെ എല്ലാ ലംബങ്ങളിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്.

ഓരോ ഉയരം പോയിന്റും എല്ലാ വശങ്ങളിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്.

അടിസ്ഥാന പിരമിഡ് ഫോർമുലകൾ

പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ, മൊത്തം ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.

ഒരു പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (പൂർണ്ണവും വെട്ടിമുറിച്ചതും) അതിന്റെ എല്ലാ ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്, മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ എല്ലാ മുഖങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്.

സിദ്ധാന്തം: ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പിരമിഡിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെയും പിരമിഡിന്റെ അപ്പോഥത്തിന്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

പി- അടിസ്ഥാന ചുറ്റളവ്;

എച്ച്- അപ്പോഥം.

വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ, പൂർണ്ണ പ്രതലങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം.

p 1, പി 2 - അടിസ്ഥാന ചുറ്റളവുകൾ;

എച്ച്- അപ്പോഥം.

ആർ- ഒരു സാധാരണ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം;

എസ് വശം- ഒരു സാധാരണ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം;

എസ് 1 + എസ് 2- അടിസ്ഥാന പ്രദേശം

പിരമിഡിന്റെ അളവ്

ഫോം വോളിയം ula ഏത് തരത്തിലുള്ള പിരമിഡുകൾക്കും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എച്ച്- പിരമിഡിന്റെ ഉയരം.

പിരമിഡ് കോണുകൾ

വശത്തെ മുഖവും പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയും ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുന്ന കോണുകളെ പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തുള്ള ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഡൈഹെഡ്രൽ ആംഗിൾ രണ്ട് ലംബങ്ങളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്നു.

ഈ ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും മൂന്ന് ലംബ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ലാറ്ററൽ എഡ്ജും അതിന്റെ പ്രൊജക്ഷനും അടിസ്ഥാന തലത്തിലേക്ക് രൂപപ്പെടുത്തിയ കോണുകളെ വിളിക്കുന്നു സൈഡ് എഡ്ജിനും അടിത്തറയുടെ തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണുകൾ.

രണ്ട് ലാറ്ററൽ അരികുകളാൽ രൂപംകൊണ്ട കോണിനെ വിളിക്കുന്നു പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ അറ്റത്തുള്ള ഡൈഹെഡ്രൽ കോൺ.

പിരമിഡിന്റെ ഒരു മുഖത്തിന്റെ രണ്ട് ലാറ്ററൽ അരികുകളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്ന കോണിനെ വിളിക്കുന്നു പിരമിഡിന്റെ മുകളിലെ കോൺ.

പിരമിഡ് വിഭാഗങ്ങൾ

ഒരു പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതലം ഒരു പോളിഹെഡ്രോണിന്റെ ഉപരിതലമാണ്. അതിന്റെ ഓരോ മുഖവും ഒരു തലമാണ്, അതിനാൽ ഒരു കട്ടിംഗ് തലം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന പിരമിഡിന്റെ ഭാഗം വ്യക്തിഗത നേർരേഖകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു തകർന്ന വരയാണ്.

ഡയഗണൽ വിഭാഗം

ഒരേ മുഖത്ത് കിടക്കാത്ത രണ്ട് ലാറ്ററൽ അറ്റങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പിരമിഡിന്റെ ഭാഗത്തെ വിളിക്കുന്നു ഡയഗണൽ വിഭാഗംപിരമിഡുകൾ.

സമാന്തര വിഭാഗങ്ങൾ

സിദ്ധാന്തം:

പിരമിഡിനെ അടിത്തറയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു തലം വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ അരികുകളും ഉയരങ്ങളും ഈ തലം ആനുപാതിക ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു;

ഈ വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗം അടിത്തറയ്ക്ക് സമാനമായ ഒരു ബഹുഭുജമാണ്;

വിഭാഗത്തിന്റെയും അടിത്തറയുടെയും മേഖലകൾ ശീർഷത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തിന്റെ ചതുരങ്ങളായി പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

പിരമിഡിന്റെ തരങ്ങൾ

ശരിയായ പിരമിഡ്- ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജമായ ഒരു പിരമിഡ്, പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം അടിത്തറയുടെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു.

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിനായി:

1. സൈഡ് വാരിയെല്ലുകൾ തുല്യമാണ്

2. വശങ്ങളിലെ മുഖങ്ങൾ തുല്യമാണ്

3. അപ്പോഥമുകൾ തുല്യമാണ്

4. അടിഭാഗത്തുള്ള ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകൾ തുല്യമാണ്

5. ലാറ്ററൽ അരികുകളിലെ ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകൾ തുല്യമാണ്

6. ഉയരത്തിന്റെ ഓരോ പോയിന്റും അടിത്തറയുടെ എല്ലാ ലംബങ്ങളിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്

7. ഓരോ ഉയരം പോയിന്റും എല്ലാ വശങ്ങളിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്

വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡ്- പിരമിഡിന്റെ ഒരു ഭാഗം അതിന്റെ അടിത്തറയ്ക്കും അടിത്തറയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു കട്ടിംഗ് വിമാനത്തിനും ഇടയിലാണ്.

വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയും അനുബന്ധ വിഭാഗവും വിളിക്കുന്നു വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറ.

ഒരു അടിത്തറയുടെ ഏതെങ്കിലും പോയിന്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിന്റെ തലത്തിലേക്ക് വരച്ച ലംബത്തെ വിളിക്കുന്നു വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ ഉയരം.

ചുമതലകൾ

നമ്പർ 1. ഒരു സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിൽ, പോയിന്റ് O ആണ് അടിത്തറയുടെ കേന്ദ്രം, SO=8 cm, BD=30 cm. സൈഡ് എഡ്ജ് SA കണ്ടെത്തുക.

പ്രശ്നപരിഹാരം

നമ്പർ 1. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിൽ, എല്ലാ മുഖങ്ങളും അരികുകളും തുല്യമാണ്.

OSB പരിഗണിക്കുക: OSB ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ദീർഘചതുരമാണ്, കാരണം.

SB 2 =SO 2 +OB 2

എസ്ബി 2 =64+225=289

വാസ്തുവിദ്യയിൽ പിരമിഡ്

പിരമിഡ് ഒരു സാധാരണ ജ്യാമിതീയ പിരമിഡിന്റെ രൂപത്തിലുള്ള ഒരു സ്മാരക ഘടനയാണ്, അതിൽ വശങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒത്തുചേരുന്നു. അവയുടെ പ്രവർത്തനപരമായ ഉദ്ദേശ്യമനുസരിച്ച്, പുരാതന കാലത്ത് പിരമിഡുകൾ ശ്മശാനമോ ആരാധനാലയങ്ങളോ ആയിരുന്നു. ഒരു പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം ത്രികോണാകൃതിയിലോ ചതുരാകൃതിയിലോ ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആകൃതിയിലോ അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളുള്ളതോ ആകാം, എന്നാൽ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പതിപ്പ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അടിത്തറയാണ്.

പുരാതന ലോകത്തിലെ വിവിധ സംസ്കാരങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച പിരമിഡുകളുടെ ഗണ്യമായ എണ്ണം ഉണ്ട്, പ്രധാനമായും ക്ഷേത്രങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ സ്മാരകങ്ങൾ. വലിയ പിരമിഡുകളിൽ ഈജിപ്ഷ്യൻ പിരമിഡുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഭൂമിയിലുടനീളം നിങ്ങൾക്ക് പിരമിഡുകളുടെ രൂപത്തിൽ വാസ്തുവിദ്യാ ഘടനകൾ കാണാൻ കഴിയും. പുരാതന കാലത്തെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്ന പിരമിഡ് കെട്ടിടങ്ങൾ വളരെ മനോഹരമാണ്.

ഈജിപ്ഷ്യൻ പിരമിഡുകൾ പുരാതന ഈജിപ്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ വാസ്തുവിദ്യാ സ്മാരകങ്ങളാണ്, അതിൽ "ലോകത്തിലെ ഏഴ് അത്ഭുതങ്ങളിൽ" ഒന്നായ ചിയോപ്സ് പിരമിഡ് ഉൾപ്പെടുന്നു. കാൽ മുതൽ മുകളിലേക്ക് അത് 137.3 മീറ്ററിലെത്തും, മുകൾഭാഗം നഷ്ടപ്പെടുന്നതിനുമുമ്പ് അതിന്റെ ഉയരം 146.7 മീറ്ററായിരുന്നു.

സ്ലൊവാക്യയുടെ തലസ്ഥാനത്തെ റേഡിയോ സ്റ്റേഷൻ കെട്ടിടം, ഒരു വിപരീത പിരമിഡിനോട് സാമ്യമുള്ളതാണ്, ഇത് 1983-ലാണ് നിർമ്മിച്ചത്. ഓഫീസുകൾക്കും സേവന പരിസരങ്ങൾക്കും പുറമേ, വോളിയത്തിനുള്ളിൽ സാമാന്യം വിശാലമായ ഒരു കച്ചേരി ഹാളും ഉണ്ട്, അതിൽ സ്ലൊവാക്യയിലെ ഏറ്റവും വലിയ അവയവങ്ങളിലൊന്നാണ്.

"ഒരു പിരമിഡ് പോലെ നിശബ്ദവും മാറ്റമില്ലാത്തതും ഗാംഭീര്യമുള്ളതുമായ" ലൂവ്രെ ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ മ്യൂസിയമായി മാറുന്നതിന് മുമ്പ് നൂറ്റാണ്ടുകളായി നിരവധി മാറ്റങ്ങൾക്ക് വിധേയമായിട്ടുണ്ട്. 1190-ൽ ഫിലിപ്പ് അഗസ്റ്റസ് സ്ഥാപിച്ച ഒരു കോട്ടയായാണ് ഇത് ജനിച്ചത്, അത് താമസിയാതെ ഒരു രാജകീയ വസതിയായി മാറി. 1793-ൽ കൊട്ടാരം ഒരു മ്യൂസിയമായി മാറി. വസ്‌തുക്കളിലൂടെയോ വാങ്ങലുകളിലൂടെയോ ശേഖരങ്ങൾ സമ്പന്നമാക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. സൈഡ് എഡ്ജ്- ഇത് ഒരു ത്രികോണമാണ്, അതിൽ ഒരു കോണിൽ പിരമിഡിന്റെ മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, എതിർവശം അടിത്തറയുടെ (ബഹുഭുജം) വശവുമായി യോജിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. സൈഡ് വാരിയെല്ലുകൾ- ഇവ സൈഡ് ഫേസിന്റെ പൊതുവായ വശങ്ങളാണ്. ഒരു പിരമിഡിന് ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ കോണുകളുടെ അത്രയും അരികുകൾ ഉണ്ട്.

നിർവ്വചനം. പിരമിഡിന്റെ ഉയരം- ഇത് പിരമിഡിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് അടിയിലേക്ക് ലംബമായി താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. അപ്പോഥം- ഇത് പിരമിഡിന്റെ വശത്തെ മുഖത്തിന് ലംബമാണ്, പിരമിഡിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് അടിത്തറയുടെ വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ഡയഗണൽ വിഭാഗം- ഇത് പിരമിഡിന്റെ മുകളിലൂടെയും അടിത്തറയുടെ ഡയഗണലിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പിരമിഡിന്റെ ഒരു ഭാഗമാണ്.

നിർവ്വചനം. ശരിയായ പിരമിഡ്ഒരു പിരമിഡാണ്, അതിൽ അടിസ്ഥാനം ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജമാണ്, ഉയരം അടിത്തറയുടെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് ഇറങ്ങുന്നു.

പിരമിഡിന്റെ വോളിയവും ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണവും

ഫോർമുല. പിരമിഡിന്റെ അളവ്അടിസ്ഥാന വിസ്തീർണ്ണവും ഉയരവും വഴി:

പിരമിഡിന്റെ സവിശേഷതകൾ

എല്ലാ വശത്തെ അരികുകളും തുല്യമാണെങ്കിൽ, പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയ്ക്ക് ചുറ്റും ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കാം, കൂടാതെ അടിത്തറയുടെ മധ്യഭാഗം വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി യോജിക്കുന്നു. കൂടാതെ, മുകളിൽ നിന്ന് ഒരു ലംബമായി താഴേക്ക് പതിക്കുന്നത് അടിത്തറയുടെ മധ്യത്തിലൂടെ (വൃത്തം) കടന്നുപോകുന്നു.

എല്ലാ വശത്തെ അരികുകളും തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവ ഒരേ കോണുകളിൽ അടിത്തറയുടെ തലത്തിലേക്ക് ചായുന്നു.

അടിത്തറയുടെ തലവുമായി തുല്യ കോണുകൾ രൂപപ്പെടുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയ്ക്ക് ചുറ്റും ഒരു വൃത്തം വിവരിക്കാൻ കഴിയുമ്പോൾ ലാറ്ററൽ അരികുകൾ തുല്യമാണ്.

വശത്തെ മുഖങ്ങൾ ഒരേ കോണിൽ അടിത്തറയുടെ തലത്തിലേക്ക് ചായുകയാണെങ്കിൽ, പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയിൽ ഒരു വൃത്തം ആലേഖനം ചെയ്യാം, കൂടാതെ പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം അതിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടും.

വശത്തെ മുഖങ്ങൾ ഒരേ കോണിൽ അടിത്തറയുടെ തലത്തിലേക്ക് ചായുകയാണെങ്കിൽ, വശങ്ങളിലെ മുഖങ്ങളുടെ അപ്പോഥെമുകൾ തുല്യമാണ്.

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ സവിശേഷതകൾ

1. പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം അടിത്തറയുടെ എല്ലാ കോണുകളിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്.

2. എല്ലാ സൈഡ് അറ്റങ്ങളും തുല്യമാണ്.

3. എല്ലാ സൈഡ് വാരിയെല്ലുകളും അടിത്തറയിലേക്ക് തുല്യ കോണുകളിൽ ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു.

4. എല്ലാ ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങളുടെയും അപ്പോഥെമുകൾ തുല്യമാണ്.

5. എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും മുഖങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

6. എല്ലാ മുഖങ്ങൾക്കും ഒരേ ഡൈഹെഡ്രൽ (ഫ്ലാറ്റ്) കോണുകൾ ഉണ്ട്.

7. പിരമിഡിന് ചുറ്റും ഒരു ഗോളം വിവരിക്കാം. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഗോളത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം അരികുകളുടെ മധ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ലംബങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിന്റായിരിക്കും.

8. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പിരമിഡിൽ ഒരു ഗോളം ഘടിപ്പിക്കാം. ആലേഖനം ചെയ്ത ഗോളത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം അരികിനും അടിത്തറയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള കോണിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന ദ്വിവിഭാഗങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിന്റായിരിക്കും.

9. ആലേഖനം ചെയ്ത ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രം വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി യോജിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ശീർഷത്തിലെ തലം കോണുകളുടെ ആകെത്തുക π ന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും, ഒരു കോൺ π/n ന് തുല്യമാണ്, ഇവിടെ n എന്നത് സംഖ്യയാണ്. പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തുള്ള കോണുകളുടെ.

പിരമിഡും ഗോളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

പിരമിഡിന്റെ ചുവട്ടിൽ ഒരു വൃത്തം വിവരിക്കാവുന്ന ഒരു പോളിഹെഡ്രോൺ ഉള്ളപ്പോൾ പിരമിഡിന് ചുറ്റും ഒരു ഗോളത്തെ വിവരിക്കാം (ആവശ്യവും മതിയായതുമായ അവസ്ഥ). പിരമിഡിന്റെ വശങ്ങളുടെ മധ്യഭാഗങ്ങളിലൂടെ ലംബമായി കടന്നുപോകുന്ന വിമാനങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിന്റായിരിക്കും ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രം.

ഏതെങ്കിലും ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണ പിരമിഡിന് ചുറ്റുമുള്ള ഒരു ഗോളത്തെ വിവരിക്കാൻ എപ്പോഴും സാധ്യമാണ്.

പിരമിഡിന്റെ ആന്തരിക ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകളുടെ ദ്വിമുഖ തലങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ആവശ്യവും മതിയായതുമായ അവസ്ഥ) പിരമിഡിൽ ഒരു ഗോളം ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ഈ പോയിന്റ് ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രമായിരിക്കും.

ഒരു കോൺ ഉള്ള ഒരു പിരമിഡിന്റെ കണക്ഷൻ

ഒരു പിരമിഡിൽ അവയുടെ ശിഖരങ്ങൾ യോജിക്കുകയും കോണിന്റെ അടിഭാഗം പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്ത് ആലേഖനം ചെയ്യുകയും ചെയ്താൽ പിരമിഡിൽ ആലേഖനം ചെയ്തതായി പറയപ്പെടുന്നു.

പിരമിഡിന്റെ അപ്പോഥെമുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണെങ്കിൽ പിരമിഡിൽ ഒരു കോൺ ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്.

ഒരു പിരമിഡിന്റെ ശിഖരങ്ങൾ ഒത്തുചേരുകയും കോണിന്റെ അടിഭാഗം പിരമിഡിന്റെ ചുവട്ടിൽ ചുറ്റുകയും ചെയ്താൽ ഒരു പിരമിഡിന് ചുറ്റും വലയം ചെയ്യപ്പെട്ടതായി പറയപ്പെടുന്നു.

പിരമിഡിന്റെ എല്ലാ ലാറ്ററൽ അറ്റങ്ങളും പരസ്പരം തുല്യമാണെങ്കിൽ പിരമിഡിന് ചുറ്റും ഒരു കോൺ വിവരിക്കാം.

ഒരു പിരമിഡും സിലിണ്ടറും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം സിലിണ്ടറിന്റെ ഒരു അടിത്തറയിലും പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗം സിലിണ്ടറിന്റെ മറ്റൊരു അടിത്തറയിലും ആലേഖനം ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു സിലിണ്ടറിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത പിരമിഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പിരമിഡിന്റെ ചുവട്ടിൽ ഒരു വൃത്തം വിവരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ഒരു പിരമിഡിന് ചുറ്റും ഒരു സിലിണ്ടറിനെ വിവരിക്കാം.

ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിന് നാല് മുഖങ്ങളും നാല് ലംബങ്ങളും ആറ് അരികുകളും ഉണ്ട്, അവിടെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അരികുകൾക്ക് പൊതുവായ ശീർഷങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിലും സ്പർശിക്കരുത്.

ഓരോ ശീർഷത്തിലും രൂപപ്പെടുന്ന മൂന്ന് മുഖങ്ങളും അരികുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ത്രികോണ കോൺ.

ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ ശീർഷകത്തെ എതിർ മുഖത്തിന്റെ മധ്യഭാഗവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഭാഗത്തെ വിളിക്കുന്നു ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ മധ്യഭാഗം(ജിഎം).

ബിമീഡിയൻസ്പർശിക്കാത്ത (KL) എതിർ അരികുകളുടെ മധ്യഭാഗങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്മെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ എല്ലാ ബിമീഡിയൻമാരും മീഡിയനുകളും ഒരു ബിന്ദുവിൽ (S) വിഭജിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബിമീഡിയനുകൾ പകുതിയായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ മീഡിയനുകൾ മുകളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന 3: 1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു.

നിർവ്വചനം. അക്യൂട്ട് കോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡ്- ഒരു പിരമിഡ്, അതിൽ അപ്പോഥം അടിത്തറയുടെ വശത്തിന്റെ പകുതിയിലധികം നീളമുള്ളതാണ്.

നിർവ്വചനം. മങ്ങിയ പിരമിഡ്- ഒരു പിരമിഡ്, അതിൽ അപ്പോഥം അടിത്തറയുടെ വശത്തിന്റെ പകുതി നീളത്തിൽ കുറവാണ്.

നിർവ്വചനം. റെഗുലർ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ- ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോൺ, അതിൽ നാല് മുഖങ്ങളും സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളാണ്. അഞ്ച് സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്. ഒരു സാധാരണ ടെട്രാഹെഡ്രോണിൽ, എല്ലാ ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകളും (മുഖങ്ങൾക്കിടയിൽ) ട്രൈഹെഡ്രൽ കോണുകളും (ശീർഷത്തിൽ) തുല്യമാണ്.

നിർവ്വചനം. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ടെട്രാഹെഡ്രോൺടെട്രാഹെഡ്രോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ അഗ്രത്തിൽ മൂന്ന് അരികുകൾക്കിടയിൽ ഒരു വലത് കോണുണ്ട് (അരികുകൾ ലംബമാണ്). മൂന്ന് മുഖങ്ങൾ രൂപം കൊള്ളുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള കോൺമുഖങ്ങൾ വലത് ത്രികോണങ്ങളാണ്, അടിസ്ഥാനം ഒരു ഏകപക്ഷീയ ത്രികോണമാണ്. ഏത് മുഖത്തിന്റെയും അപ്പോഥം, അപ്പോഥം വീഴുന്ന അടിത്തറയുടെ പകുതി വശത്തിന് തുല്യമാണ്.

നിർവ്വചനം. ഐസോഹെഡ്രൽ ടെട്രാഹെഡ്രോൺഇതിനെ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ വശങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്, അടിസ്ഥാനം ഒരു സാധാരണ ത്രികോണമാണ്. അത്തരമൊരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിന് ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങളായ മുഖങ്ങളുണ്ട്.

നിർവ്വചനം. ഓർത്തോസെൻട്രിക് ടെട്രാഹെഡ്രോൺടെട്രാഹെഡ്രോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ മുകളിൽ നിന്ന് എതിർ മുഖത്തേക്ക് താഴ്ന്നിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഉയരങ്ങളും (ലംബങ്ങൾ) ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. നക്ഷത്ര പിരമിഡ്ഒരു പോളിഹെഡ്രോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു നക്ഷത്രമാണ്.

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് പിരമിഡുകളെക്കുറിച്ചും അനുബന്ധ സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചും ആശയങ്ങളെക്കുറിച്ചും അടിസ്ഥാന വിവരങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിനായി അവരെല്ലാവരും ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകനോടൊപ്പം പഠിക്കുന്നു.

ഒരു വിമാനം, ഒരു ബഹുഭുജം പരിഗണിക്കുക , അതിൽ കിടക്കുന്നതും ഒരു പോയിന്റ് എസ്, അതിൽ കിടക്കുന്നതല്ല. ബഹുഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളിലേക്കും എസ് കണക്ട് ചെയ്യാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോളിഹെഡ്രോണിനെ പിരമിഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഭാഗങ്ങളെ സൈഡ് വാരിയെല്ലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ബഹുഭുജത്തെ അടിസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, പോയിന്റ് എസ് പിരമിഡിന്റെ മുകൾ ഭാഗമാണ്. n എന്ന സംഖ്യയെ ആശ്രയിച്ച്, പിരമിഡിനെ ത്രികോണാകൃതി (n=3), ചതുരാകൃതി (n=4), പഞ്ചഭുജം (n=5) എന്നിങ്ങനെ വിളിക്കുന്നു. ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ മറ്റൊരു പേര് ടെട്രാഹെഡ്രോൺ. ഒരു പിരമിഡിന്റെ ഉയരം അതിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് അടിത്തറയുടെ തലത്തിലേക്ക് ലംബമായി ഇറങ്ങുന്നതാണ്.

ഒരു പിരമിഡിനെ റെഗുലർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജം, പിരമിഡിന്റെ ഉയരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം (ലംബത്തിന്റെ അടിഭാഗം) അതിന്റെ കേന്ദ്രമാണ്.

അധ്യാപകന്റെ അഭിപ്രായം:
"റെഗുലർ പിരമിഡ്", "റെഗുലർ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ" എന്നീ ആശയങ്ങൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിൽ, സൈഡ് അറ്റങ്ങൾ അടിത്തറയുടെ അരികുകൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കണമെന്നില്ല, എന്നാൽ ഒരു സാധാരണ ടെട്രാഹെഡ്രോണിൽ, എല്ലാ 6 അരികുകളും തുല്യമാണ്. ഇതാണ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിർവചനം. ബഹുഭുജത്തിന്റെ P കേന്ദ്രം സമന്വയിക്കുന്നതായി സമത്വം സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് അടിസ്ഥാന ഉയരം ഉള്ളതിനാൽ, ഒരു സാധാരണ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ ഒരു സാധാരണ പിരമിഡാണ്.

എന്താണ് ഒരു അപ്പോഥം?
ഒരു പിരമിഡിന്റെ അപ്പോഥം അതിന്റെ വശത്തെ മുഖത്തിന്റെ ഉയരമാണ്. പിരമിഡ് ക്രമമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ എല്ലാ അപ്പോഥമുകളും തുല്യമാണ്. വിപരീതം ശരിയല്ല.

തന്റെ പദാവലിയെക്കുറിച്ച് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ: പിരമിഡുകളുമായുള്ള 80% ജോലിയും രണ്ട് തരം ത്രികോണങ്ങളിലൂടെയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്:
1) അപ്പോഥം SK, ഉയരം SP എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു
2) ലാറ്ററൽ എഡ്ജ് എസ്എയും അതിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ പിഎയും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു

ഈ ത്രികോണങ്ങളിലേക്കുള്ള റഫറൻസുകൾ ലളിതമാക്കാൻ, ഒരു ഗണിത അധ്യാപകന് അവയിൽ ആദ്യത്തേത് വിളിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. അപകീർത്തികരമായ, രണ്ടാമത്തേത് വിലയേറിയ. നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിലും നിങ്ങൾക്ക് ഈ പദാവലി കാണാനാകില്ല, അധ്യാപകൻ അത് ഏകപക്ഷീയമായി അവതരിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു പിരമിഡിന്റെ വോളിയത്തിനായുള്ള ഫോർമുല:
1) , പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം എവിടെയാണ്, പിരമിഡിന്റെ ഉയരം
2), ആലേഖനം ചെയ്ത ഗോളത്തിന്റെ ആരം എവിടെയാണ്, പിരമിഡിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.
3) , ഇവിടെ MN എന്നത് ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ക്രോസിംഗ് അരികുകൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരമാണ്, കൂടാതെ അവശേഷിക്കുന്ന നാല് അരികുകളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്ന സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്.

ഒരു പിരമിഡിന്റെ ഉയരത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ സ്വത്ത്:

പോയിന്റ് പി (ചിത്രം കാണുക) ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തുള്ള ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:
1) എല്ലാ അപ്പോഥമുകളും തുല്യമാണ്
2) എല്ലാ വശത്തെ മുഖങ്ങളും അടിത്തറയിലേക്ക് തുല്യമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു
3) എല്ലാ അപ്പോഥമുകളും പിരമിഡിന്റെ ഉയരത്തിലേക്ക് ഒരുപോലെ ചായുന്നു
4) പിരമിഡിന്റെ ഉയരം എല്ലാ വശങ്ങളിലേക്കും ഒരുപോലെ ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു

ഗണിത അധ്യാപകന്റെ അഭിപ്രായം: എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഒരു പൊതുസ്വത്താൽ ഏകീകരിക്കപ്പെടുന്നു എന്നത് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഒരു വഴി അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന്, ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങൾ എല്ലായിടത്തും ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (അപ്പോഥെമുകൾ അവയുടെ ഘടകങ്ങളാണ്). അതിനാൽ, ട്യൂട്ടർക്ക് കുറച്ച് കൃത്യതയുള്ളതും എന്നാൽ പഠനത്തിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദവുമായ, ഫോർമുലേഷൻ വാഗ്ദാനം ചെയ്യാൻ കഴിയും: പോയിന്റ് പി പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങളെക്കുറിച്ച് എന്തെങ്കിലും തുല്യമായ വിവരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗവുമായി യോജിക്കുന്നു. അത് തെളിയിക്കാൻ, എല്ലാ അപ്പോഥം ത്രികോണങ്ങളും തുല്യമാണെന്ന് കാണിച്ചാൽ മതി.

മൂന്ന് വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് ശരിയാണെങ്കിൽ, പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയ്ക്ക് സമീപം ചുറ്റപ്പെട്ട ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി പോയിന്റ് പി യോജിക്കുന്നു:
1) എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമാണ്
2) എല്ലാ വശത്തെ വാരിയെല്ലുകളും അടിത്തറയിലേക്ക് തുല്യമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു
3) എല്ലാ വശത്തെ വാരിയെല്ലുകളും ഉയരത്തിലേക്ക് തുല്യമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു