ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ, പ്രശ്ന സിദ്ധാന്തം. സുഹൃത്തുക്കൾ! ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ടാസ്ക്കുകളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും, അതിന്റെ പരിഹാരത്തിനായി ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ സവിശേഷതകൾ അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ഒരു കൂട്ടം ജോലികളാണ്, അവ പരീക്ഷയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അവയിൽ മിക്കതും വളരെ ലളിതമായി, ഒരു പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ അവ നിങ്ങൾക്ക് വലിയ ബുദ്ധിമുട്ട് നൽകില്ല, ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ സവിശേഷതകൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ക്രമേണ, ടാസ്ക്കുകളുടെ എല്ലാ പ്രോട്ടോടൈപ്പുകളും ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും, ഞാൻ നിങ്ങളെ ബ്ലോഗിലേക്ക് ക്ഷണിക്കുന്നു!

ഇപ്പോൾ ആവശ്യമായ സിദ്ധാന്തത്തിനായി. ഈ കോണുകൾ വിശ്രമിക്കുന്ന കേന്ദ്രവും ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ, കോർഡ്, ആർക്ക് എന്നിവ എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം:

ഒരു വൃത്തത്തിലെ കേന്ദ്ര കോണിനെ ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നുഅതിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് മുകളിൽ.

ഒരു പരന്ന മൂലയ്ക്കുള്ളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു സർക്കിളിന്റെ ഭാഗംഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്കിന്റെ ഡിഗ്രി അളവാണ് ഡിഗ്രി അളവ്അനുബന്ധ കേന്ദ്ര മൂല.

കോണിന്റെ ശീർഷകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു കോണിനെ ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നുഒരു വൃത്തത്തിൽ, കോണിന്റെ വശങ്ങൾ ഈ വൃത്തത്തെ വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു സർക്കിളിന്റെ രണ്ട് പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്മെന്റിനെ വിളിക്കുന്നുകോർഡ്... ഏറ്റവും വലിയ കോർഡ് സർക്കിളിന്റെ മധ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, അതിനെ വിളിക്കുന്നുവ്യാസം.

ഒരു സർക്കിളിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന കോണുകളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ,ഇനിപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്:

1. ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ ഒരേ ആർക്കിൽ കിടക്കുന്ന കേന്ദ്രത്തിന്റെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്.

2. ഒരേ ആർക്ക് അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള എല്ലാ ലിഖിത കോണുകളും തുല്യമാണ്.

3. ഈ കോണിന്റെ ഒരു വശത്ത് കിടക്കുന്ന എല്ലാ ആലേഖന കോണുകളും ഒരേ കോണിൽ കിടക്കുന്നു, അവ തുല്യമാണ്.

4. ഒരേ കോർഡിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഏതെങ്കിലും ജോടി കോണുകൾ, കോർഡിന്റെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്ന ലംബങ്ങൾ, 180 ° വരെ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.

അനന്തരഫലം: ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ചതുരത്തിന്റെ എതിർ കോണുകൾ 180 ഡിഗ്രി വരെ ചേർക്കുന്നു.

5. വ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള എല്ലാ ലിഖിത കോണുകളും നേരായവയാണ്.

പൊതുവേ, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി സ്വത്തിന്റെ അനന്തരഫലമാണ് (1), ഇതാണ് അതിന്റെ പ്രത്യേക കേസ്. നോക്കൂ - സെൻട്രൽ ആംഗിൾ 180 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ് (ഈ വികസിപ്പിച്ച ആംഗിൾ ഒരു വ്യാസമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല), അതായത്, ആദ്യത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച്, ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ സി അതിന്റെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് 90 ഡിഗ്രി.

ഈ വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് പല പ്രശ്നങ്ങൾക്കും പരിഹാരം കാണുന്നതിന് സഹായിക്കുന്നു, പലപ്പോഴും അനാവശ്യ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കുന്നു. ഇത് നന്നായി പഠിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഇത്തരത്തിലുള്ള പകുതിയിലധികം ജോലികൾ വാമൊഴിയായി പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന രണ്ട് പരിണതഫലങ്ങളുണ്ട്:

അനന്തരഫലം 1: ഒരു ത്രികോണം ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യുകയും അതിന്റെ ഒരു വശം ഈ വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ത്രികോണം ചതുരാകൃതിയിലാണ് (വലത് കോണിന്റെ ശീർഷകം വൃത്തത്തിൽ കിടക്കുന്നു).

അനന്തരഫലം 2: വലത് കോണുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം അതിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ മധ്യഭാഗവുമായി യോജിക്കുന്നു.

സ്റ്റീരിയോമെട്രിക് പ്രശ്നങ്ങളുടെ പല പ്രോട്ടോടൈപ്പുകളും ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ചും അനന്തരഫലങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ചും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. വസ്തുത തന്നെ ഓർക്കുക: ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം ആലേഖനം ചെയ്ത ത്രികോണത്തിന്റെ വശമാണെങ്കിൽ, ഈ ത്രികോണം ദീർഘചതുരാകൃതിയിലാണ് (വ്യാസത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ 90 ഡിഗ്രിയാണ്). മറ്റെല്ലാ നിഗമനങ്ങളും അനന്തരഫലങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം വരയ്ക്കാം, നിങ്ങൾ അവ പഠിക്കേണ്ടതില്ല.

ചട്ടം പോലെ, ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിന്റെ പകുതി പ്രശ്‌നങ്ങൾ ഒരു സ്കെച്ച് ഉപയോഗിച്ചാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്, പക്ഷേ പദവികളില്ലാതെ. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ (ലേഖനത്തിൽ താഴെ) ന്യായവാദ പ്രക്രിയ മനസിലാക്കാൻ, വെർട്ടിസുകളുടെ (കോണുകൾ) പദവികൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. പരീക്ഷയിൽ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല.ചുമതലകൾ പരിഗണിക്കുക:

വൃത്തത്തിന്റെ ദൂരത്തിന് തുല്യമായ ഒരു കോർഡിന്മേൽ വിശ്രമിക്കുന്ന ഒരു നിശിതമായ ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എന്താണ്? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിനായി നമുക്ക് ഒരു കേന്ദ്ര ആംഗിൾ നിർമ്മിക്കാം, ലംബങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുക:

സർക്കിളിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന കോണിന്റെ സ്വത്ത് പ്രകാരം:

AOB ആംഗിൾ 60 0 ആണ്, കാരണം AOB ത്രികോണം സമഭുജമാണ്, കൂടാതെ ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൽ എല്ലാ കോണുകളും 60 0 ആണ്. ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്, കാരണം കോർഡ് ആരത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വ്യവസ്ഥ പറയുന്നു.

അങ്ങനെ, ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ ACB 30 0 ന് തുല്യമാണ്.

ഉത്തരം: 30

ആരം 3 ഉള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന കോണിൽ 30 0 അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന കോർഡ് കണ്ടെത്തുക.

ഇത് പ്രധാനമായും വിപരീത പ്രശ്നമാണ് (മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിന്റെ). നമുക്ക് ഒരു സെൻട്രൽ കോർണർ നിർമ്മിക്കാം.

ഇത് ആലേഖനം ചെയ്തതിന്റെ ഇരട്ടി വലുതാണ്, അതായത്, AOB ആംഗിൾ 60 0 ആണ്. ഇതിൽ നിന്ന്, AOB ത്രികോണം സമഭുജമാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. അങ്ങനെ, കോർഡ് ആരത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് മൂന്ന്.

ഉത്തരം: 3

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 1 ആണ്. രണ്ടിന്റെ മൂലത്തിന് തുല്യമായ ഒരു കോർഡിൽ അസ്തിഷ്‌ടമായ ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

നമുക്ക് ഒരു സെൻട്രൽ കോർണർ നിർമ്മിക്കാം:

ആരവും കോർഡും അറിയുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് സെൻട്രൽ ആംഗിൾ എസിബി കണ്ടെത്താം. കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം വഴി ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും. സെൻട്രൽ ആംഗിൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എസിബി നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം: ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും വശത്തിന്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ വശങ്ങളുടെ ഇരട്ട ഗുണം അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ഇല്ലാതെ.

അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര കോൺ 360 0 ആണ് – 90 0 = 270 0 .

ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം ആംഗിൾ ACB അതിന്റെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് 135 ഡിഗ്രി.

ഉത്തരം: 135

120 ഡിഗ്രി കോൺ നിലകൊള്ളുന്ന കോർഡ് കണ്ടെത്തുക, ദൂരത്തിന്റെ ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത മൂന്നിന്റെ റൂട്ട്.

നമുക്ക് എ, ബി പോയിന്റുകൾ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് അതിനെ O ആയി നിശ്ചയിക്കാം:

എസിബിയുടെ ആരവും ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിളും നമുക്കറിയാം. നമുക്ക് AOB (180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതൽ) കേന്ദ്ര ആംഗിൾ കണ്ടെത്താം, തുടർന്ന് AOB ത്രികോണത്തിൽ AOB ആംഗിൾ കണ്ടെത്താം. തുടർന്ന്, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, AB കണക്കാക്കുക.

ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, AOB സെൻട്രൽ ആംഗിൾ (180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലാണ്) ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ ഇരട്ടി കോണിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത് 240 ഡിഗ്രി. അതായത് AOB ത്രികോണത്തിലെ AOB ആംഗിൾ 360 0 - 240 0 = 120 0 ആണ്.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം: 3

സർക്കിളിന്റെ 20% ഉള്ള ആർക്കിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത മൂല കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, ഇത് ഒരേ ആർക്കിൽ കിടക്കുന്ന കേന്ദ്ര കോണിന്റെ പകുതിയാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് ആർക്ക് എബിയെക്കുറിച്ചാണ്.

AB എന്ന ആർക്ക് ചുറ്റളവിന്റെ 20 ശതമാനം ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഇതിനർത്ഥം AOB-യുടെ മധ്യകോണും 360 0-ന്റെ 20 ശതമാനമാണ്.* 360 ഡിഗ്രി കോണാണ് വൃത്തം. അർത്ഥമാക്കുന്നത്,

അങ്ങനെ, ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എസിബി 36 ഡിഗ്രിയാണ്.

ഉത്തരം: 36

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്ക് എ.സിഒരു പോയിന്റ് അടങ്ങിയിട്ടില്ല ബി, 200 ഡിഗ്രി ആണ്. ഒരു പോയിന്റ് അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ആർക്ക് BC എ, 80 ഡിഗ്രി ആണ്. ആലേഖനം ചെയ്ത മൂല എസിബി കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, കോണീയ അളവുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ആർക്കുകളെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. 200 ഡിഗ്രിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആർക്ക് നീലയാണ്, 80 ഡിഗ്രിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആർക്ക് ചുവപ്പാണ്, ബാക്കിയുള്ള വൃത്തം മഞ്ഞയാണ്.

അങ്ങനെ, ആർക്ക് AB (മഞ്ഞ) യുടെ ഡിഗ്രി അളവ്, അതിനാൽ കേന്ദ്ര ആംഗിൾ AOB, ഇതാണ്: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

ലിഖിത ആംഗിൾ ACB AOB യുടെ പകുതി കേന്ദ്ര കോണാണ്, അതായത്, അത് 40 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്.

ഉത്തരം: 40

വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എന്താണ്? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

ആംഗിൾ എബിസി ഒരു ലിഖിത കോണാണ്. ഇത് AC യുടെ ആർക്ക്, അതിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിൽ സമാപിച്ചിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 330).

സിദ്ധാന്തം. ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ അളക്കുന്നത് അത് നിലകൊള്ളുന്ന ആർക്കിന്റെ പകുതിയാണ്.

ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മനസ്സിലാക്കണം: ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിൽ എത്ര കോണീയ ഡിഗ്രികളും മിനിറ്റുകളും സെക്കൻഡുകളും ആർക്ക് ഡിഗ്രികളായി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, മിനിറ്റുകളും സെക്കൻഡുകളും അത് നിലനിൽക്കുന്ന ആർക്കിന്റെ പകുതിയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുമ്പോൾ, മൂന്ന് കേസുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ആദ്യ കേസ്. സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം ആലേഖനം ചെയ്ത മൂലയുടെ വശത്താണ് (ചിത്രം 331).

∠ABC ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണും O വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം BC യുടെ വശത്തും ആയിരിക്കട്ടെ. ആർക്ക് എസിയുടെ പകുതിയാണ് ഇത് അളക്കുന്നതെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് പോയിന്റ് എ ബന്ധിപ്പിക്കുക. ഒരേ സർക്കിളിന്റെ ആരങ്ങളായി നമുക്ക് ഐസോസിലുകൾ \ (\ ഡെൽറ്റ \) AOB ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ AO = OB. അതിനാൽ, ∠A = ∠B.

AOB ത്രികോണത്തിന് ∠AOC ബാഹ്യമാണ്, അതിനാൽ ∠AOC = ∠A + ∠B, കൂടാതെ A, B കോണുകൾ തുല്യമായതിനാൽ, ∠B 1/2 ∠AOC ആണ്.

എന്നാൽ AOC അളക്കുന്നത് എസി ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ചാണ്, അതിനാൽ ∠B അളക്കുന്നത് എസി ആർക്കിന്റെ പകുതിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, \ (\ breve (AC) \) 60 ° 18 'ഉണ്ടെങ്കിൽ, ∠В 30 ° 9' ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ കേസ്. സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിലാണ് (ചിത്രം 332).

∠ABD ഒരു ആലേഖനം ചെയ്ത കോണായിരിക്കട്ടെ. O വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം അതിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിലാണ്. ആർക്ക് എഡിയുടെ പകുതിയാണ് ∠ABD അളക്കുന്നത് എന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇത് തെളിയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ബിസി വ്യാസം വരയ്ക്കുന്നു. ABD ആംഗിൾ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: ∠1, ∠2.

∠1 എന്നത് എസി ആർക്കിന്റെ പകുതിയും, ∠2 എന്നത് സിഡി ആർക്കിന്റെ പകുതിയും കൊണ്ട് അളക്കുന്നു, അതിനാൽ, മുഴുവൻ ∠ABD യും 1/2 \ (\ breve (AC) \) + 1/2 \ (\) അളക്കുന്നു breve (CD) \), അതായത് AD ആർക്കിന്റെ പകുതി.

ഉദാഹരണത്തിന്, \ (\ breve (AD) \) 124 ° ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, ∠В 62 ° ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

മൂന്നാമത്തെ കേസ്. സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം ആലേഖനം ചെയ്ത മൂലയ്ക്ക് പുറത്താണ് (ചിത്രം 333).

∠MAD ആലേഖനം ചെയ്ത കോണായിരിക്കട്ടെ. O വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം മൂലയ്ക്ക് പുറത്താണ്. MD ആർക്കിന്റെ പകുതിയാണ് ∠MAD അളക്കുന്നത് എന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇത് തെളിയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ വ്യാസം AB വരയ്ക്കുന്നു. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. എന്നാൽ ∠MAB അളക്കുന്നത് 1/2 \ (\ breve (MB) \), കൂടാതെ ∠DAB അളക്കുന്നത് 1/2 \ (\ breve (DB) \) ആണ്.

അതിനാൽ, ∠MAD അളക്കുന്നത് 1/2 (\ (\ breve (MB) - \ breve (DB)) \), അതായത് 1/2 \ (\ breve (MD) \).

ഉദാഹരണത്തിന്, \ (\ breve (MD) \) 48 ° 38 "ഉണ്ടെങ്കിൽ, ∠MAD യിൽ 24 ° 19 '8" അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അനന്തരഫലങ്ങൾ
1. ഒരേ ആർക്ക് അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള എല്ലാ ലിഖിത കോണുകളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്, കാരണം അവ ഒരേ ആർക്കിന്റെ പകുതി കൊണ്ടാണ് അളക്കുന്നത് (ചിത്രം 334, എ).

2. വ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ ശരിയാണ്, കാരണം അത് സർക്കിളിന്റെ പകുതിയിൽ നിൽക്കുന്നു. വൃത്തത്തിന്റെ പകുതിയിൽ 180 ആർക്ക് ഡിഗ്രി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത് വ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള കോണിൽ 90 കോണീയ ഡിഗ്രികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 334, ബി).

ഇത് രണ്ടിനാൽ രൂപപ്പെട്ട കോണാണ് കോർഡുകൾവൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്നു. ആലേഖനം ചെയ്ത കോണി എന്നു പറയുന്നു ആശ്രയിക്കുന്നുഅതിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കമാനത്തിൽ.

ആലേഖനം ചെയ്ത മൂലഅത് നിലകൊള്ളുന്ന കമാനത്തിന്റെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്.

മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾകോണീയ ഡിഗ്രികളും മിനിറ്റുകളും സെക്കൻഡുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു ആർക്ക് ഡിഗ്രികൾ, മിനിറ്റുകളും സെക്കൻഡുകളും അത് നിലകൊള്ളുന്ന ആർക്കിന്റെ പകുതിയിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് മൂന്ന് കേസുകൾ വിശകലനം ചെയ്യാം:

ആദ്യ കേസ്:

സെന്റർ O വശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾഎബിസി. AO ആരം പ്ലോട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ΔABO ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ OA = OB (റേഡിയായി) കൂടാതെ, അതനുസരിച്ച്, ∠ABO = ∠BAO. ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ത്രികോണം, ആംഗിൾ AOC - ബാഹ്യ. ഇതിനർത്ഥം ഇത് ABO, BAO എന്നീ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ABO എന്ന ഇരട്ട കോണിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ ∠ABO പകുതിക്ക് തുല്യമാണ് മധ്യ മൂലഎഒസി. എന്നാൽ ഈ കോണിനെ അളക്കുന്നത് എസി ആർക്ക് ആണ്. അതായത്, ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എബിസി അളക്കുന്നത് ആർക്ക് എസിയുടെ പകുതിയാണ്.

രണ്ടാമത്തെ കേസ്:

സെന്റർ O വശങ്ങൾക്കിടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾഎബിസി. ബിഡി വ്യാസം വരച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ എബിസി കോണിനെ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിക്കുന്നു, അതിൽ, ആദ്യ കേസിൽ സ്ഥാപിച്ചതനുസരിച്ച്, ഒരെണ്ണം പകുതിയായി അളക്കുന്നു. കമാനങ്ങൾഎഡി, ആർക്ക് സിഡിയുടെ മറ്റേ പകുതിയും. അതനുസരിച്ച് ABC ആംഗിൾ അളക്കുന്നു (AD + DC) / 2, അതായത്. 1/2 എ.സി.

മൂന്നാമത്തെ കേസ്:

സെന്റർ ഒ പുറത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾഎബിസി. വ്യാസം BD വരച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കും: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . എന്നാൽ ABD, CBD എന്നീ കോണുകൾ അളക്കുന്നത്, മുമ്പ് ന്യായീകരിക്കപ്പെട്ട പകുതികളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് കമാനങ്ങൾഎഡിയും സിഡിയും. കൂടാതെ ∠ABC അളക്കുന്നത് (AD-CD) / 2 ആണ്, അതായത് ആർക്ക് AC യുടെ പകുതി.

അനന്തരഫലം 1.ഒരേ ആർക്ക് അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഏതൊരുവയും ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതായത്, അവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്. കാരണം അവ ഓരോന്നും അതിന്റെ പകുതി കൊണ്ടാണ് അളക്കുന്നത് കമാനങ്ങൾ .

അനന്തരഫലം 2. ആലേഖനം ചെയ്ത മൂലവ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി - വലത് കോൺ... അത്തരത്തിലുള്ള ഓരോ കോണും പകുതി അർദ്ധവൃത്തത്തിൽ അളക്കുന്നതിനാൽ, അതനുസരിച്ച്, 90 ° അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അവ ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും.

ആദ്യം, പതിവുപോലെ, പ്രശ്നങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കേണ്ട നിർവചനങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

1.ആലേഖനം ചെയ്ത മൂലഒരു കോണാണ്, അതിന്റെ ശീർഷകം വൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിന്റെ വശങ്ങൾ വൃത്തത്തെ വിഭജിക്കുന്നു:

2.മധ്യ മൂലകോണാണ്, അതിന്റെ ശീർഷകം വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി യോജിക്കുന്നു:

ഒരു സർക്കിളിന്റെ ആർക്കിന്റെ ഡിഗ്രി മൂല്യംഅതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന കേന്ദ്ര കോണിന്റെ മൂല്യം അളന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എസി ആർക്കിന്റെ ഡിഗ്രി മൂല്യം AOC കോണിന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

3. ആലേഖനം ചെയ്തതും സെൻട്രൽ ആംഗിളും ഒരു ആർക്കിൽ വിശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ മൂല്യം കേന്ദ്രത്തേക്കാൾ രണ്ട് മടങ്ങ് കുറവാണ്:

4. ഒരു ആർക്കിൽ കിടക്കുന്ന എല്ലാ ആലേഖന കോണുകളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്:

5. വ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആലേഖനം ചെയ്ത കോൺ 90 ° ആണ്:

നമുക്ക് നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം.

ഒന്ന് . ടാസ്ക് B7 (# 27887)

ഒരേ ആർക്കിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന കേന്ദ്ര കോണിന്റെ മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

വ്യക്തമായും, AOC കോണിന്റെ മൂല്യം 90 ° ന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, ABC ആംഗിൾ 45 ° ന് തുല്യമാണ്

ഉത്തരം: 45 °

2. ടാസ്ക് B7 (# 27888)

ABC ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

വ്യക്തമായും, AOC ആംഗിൾ 270 ° ആണ്, പിന്നെ ആംഗിൾ ABC 135 ° ആണ്.

ഉത്തരം: 135 °

3. ടാസ്ക് B7 (നമ്പർ 27890)

ആംഗിൾ എബിസി നിലനിൽക്കുന്ന സർക്കിളിന്റെ ആർക്ക് എസിയുടെ ഡിഗ്രി മൂല്യം കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

ആർക്ക് എസിയിൽ നിലനിൽക്കുന്ന സെൻട്രൽ കോണിന്റെ മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

AOC കോണിന്റെ വ്യാപ്തി 45 ° ആണ്, അതിനാൽ ആർക്ക് AC യുടെ ഡിഗ്രി അളവ് 45 ° ആണ്.

ഉത്തരം: 45 °.

4 . ടാസ്ക് B7 (# 27885)

ADB, DAE എന്നീ ലിഖിത കോണുകൾ യഥാക്രമം ഡിഗ്രി മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചാപങ്ങളിൽ വിശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ ACB ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

എഡിബി ആംഗിൾ ആർക്ക് എബിയിൽ നിലകൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ, സെൻട്രൽ ആംഗിൾ AOB യുടെ മൂല്യം 118 ° ആണ്, അതിനാൽ, ആംഗിൾ BDA 59 ° ആണ്, തൊട്ടടുത്തുള്ള ADC 180 ° -59 ° = 121 ° ആണ്.

അതുപോലെ, DOE 38 ° ഉം അനുബന്ധമായ DAE 19 ° ഉം ആണ്.

ത്രികോണം ADC പരിഗണിക്കുക:

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ 180 ° വരെ ചേർക്കുന്നു.

ACB ആംഗിൾ 180 ° - (121 ° + 19 °) = 40 ° ആണ്

ഉത്തരം: 40 °

5 . ടാസ്ക് B7 (നമ്പർ 27872)

ചതുർഭുജമായ എബിസിഡി എബി, ബിസി, സിഡി, എഡി എന്നിവയുടെ വശങ്ങൾ ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ ചാപങ്ങളെ ചുരുങ്ങുന്നു, അവയുടെ ഡിഗ്രി മൂല്യങ്ങൾ യഥാക്രമം തുല്യമാണ്, കൂടാതെ. ഈ ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂല ബി കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

ആംഗിൾ ബി ആർക്ക് എഡിസിയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിന്റെ മൂല്യം ആർക്കുകളുടെ എഡി, സിഡി എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് 71 ° + 145 ° = 216 °

ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ B, ആർക്ക് സൈസ് ADC യുടെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് 108 °

ഉത്തരം: 108 °

6. ടാസ്ക് B7 (# 27873)

ഒരു സർക്കിളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകൾ A, B, C, D, ഈ സർക്കിളിനെ AB, BC, CD, AD എന്നിങ്ങനെ നാല് കമാനങ്ങളായി വിഭജിക്കുക, അവയുടെ ഡിഗ്രി മൂല്യങ്ങൾ യഥാക്രമം 4: 2: 3: 6 ആയി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ചതുർഭുജ എബിസിഡിയുടെ ആംഗിൾ എ കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

(മുമ്പത്തെ ടാസ്ക്കിന്റെ ഡ്രോയിംഗ് കാണുക)

ആർക്കുകളുടെ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിന്റെ അനുപാതം ഞങ്ങൾ നൽകിയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ യൂണിറ്റ് ഘടകം x അവതരിപ്പിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഓരോ ആർക്കിന്റെയും മൂല്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കും:

AB = 4x, BC = 2x, CD = 3x, AD = 6x. എല്ലാ ആർക്കുകളും ഒരു വൃത്തം ഉണ്ടാക്കുന്നു, അതായത്, അവയുടെ ആകെത്തുക 360 ° ആണ്.

4x + 2x + 3x + 6x = 360 °, അതിനാൽ x = 24 °.

5x = 120 ° മൂല്യമുള്ള ആർക്കുകൾ BC, CD എന്നിവയിൽ ആംഗിൾ എ നിലകൊള്ളുന്നു.

അതിനാൽ, ആംഗിൾ എ 60 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്

ഉത്തരം: 60 °

7. ടാസ്ക് B7 (# 27874)

ചതുർഭുജം എ ബി സി ഡിഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്നു. കുത്തിവയ്പ്പ് എബിസിസമം, ആംഗിൾ CAD

ശരാശരി നില

ചുറ്റളവും ആലേഖനം ചെയ്ത കോണും. വിഷ്വൽ ഗൈഡ് (2019)

അടിസ്ഥാന നിബന്ധനകൾ.

സർക്കിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ പേരുകളും നിങ്ങൾ നന്നായി ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കും - ചിത്രങ്ങൾ നോക്കുക - നിങ്ങളുടെ അറിവ് പുതുക്കുക.

ആദ്യം - ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം ഒരു ബിന്ദുവാണ്, അതിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിന്റെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലേക്കും ഉള്ള ദൂരം തുല്യമാണ്.

രണ്ടാമതായി - ആരം - കേന്ദ്രത്തെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ലൈൻ സെഗ്‌മെന്റും വൃത്തത്തിലെ ഒരു പോയിന്റും.

ധാരാളം റേഡിയുകളുണ്ട് (ഒരു സർക്കിളിലെ പോയിന്റുകളോളം), പക്ഷേ എല്ലാ ആരങ്ങളുടെയും നീളം തുല്യമാണ്.

ചിലപ്പോൾ സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി ആരംകൃത്യമായി വിളിക്കപ്പെടുന്നു സെഗ്മെന്റ് നീളം"കേന്ദ്രം വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്", രേഖ തന്നെയല്ല.

എന്നാൽ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ഒരു സർക്കിളിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ? ഒരു സെഗ്മെന്റും?

അതിനാൽ, ഈ വിഭാഗത്തെ വിളിക്കുന്നു "കോർഡ്".

ആരത്തിന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, വ്യാസത്തെ പലപ്പോഴും വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ ബന്ധിപ്പിച്ച് കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വഴിയിൽ, വ്യാസവും ആരവും എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? സൂക്ഷിച്ചു നോക്കൂ. തീർച്ചയായും, വ്യാസത്തിന്റെ പകുതിയാണ് ആരം.

കോർഡുകൾ കൂടാതെ, ഉണ്ട് സെക്കന്റ്.

ഏറ്റവും ലളിതമായ കാര്യം ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?

രണ്ട് ദൂരങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണാണ് മധ്യകോണം.

ഇപ്പോൾ - ആലേഖനം ചെയ്ത മൂല

ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ - വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് കോർഡുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ.

ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ ഒരു ആർക്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കോർഡ്) നിൽക്കുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു.

ചിത്രത്തിലേക്ക് നോക്കു:

ആർക്കുകളുടെയും കോണുകളുടെയും അളവുകൾ.

ചുറ്റളവ്. ആർക്കുകളും കോണുകളും ഡിഗ്രിയിലും റേഡിയനിലും അളക്കുന്നു. ആദ്യം, ഡിഗ്രികളെക്കുറിച്ച്. കോണുകൾക്ക്, ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല - ഡിഗ്രിയിൽ ആർക്ക് എങ്ങനെ അളക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഡിഗ്രി അളവ് (ആർക്ക് സൈസ്) എന്നത് അനുബന്ധ കേന്ദ്ര കോണിന്റെ മൂല്യമാണ് (ഡിഗ്രിയിൽ).

ഇവിടെ "അനുയോജ്യമായത്" എന്ന വാക്കിന്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുന്നു:

നിങ്ങൾ രണ്ട് കമാനങ്ങളും രണ്ട് കേന്ദ്ര കോണുകളും കാണുന്നുണ്ടോ? ശരി, ഒരു വലിയ ആർക്ക് ഒരു വലിയ കോണുമായി യോജിക്കുന്നു (അത് വലുതാണെന്നതിൽ കുഴപ്പമില്ല), ഒരു ചെറിയ ആർക്ക് ഒരു ചെറിയ കോണുമായി യോജിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സമ്മതിച്ചു: ആർക്കിൽ അനുബന്ധ കേന്ദ്ര കോണിന്റെ അതേ എണ്ണം ഡിഗ്രികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഭയങ്കരമായതിനെ കുറിച്ച് - റേഡിയൻസിനെ കുറിച്ച്!

ഈ "റേഡിയൻ" ഏതുതരം മൃഗമാണ്?

ഇത് സങ്കൽപ്പിക്കുക: റേഡിയൻസ് ഒരു കോണിനെ അളക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമാണ് ... റേഡിയിയിൽ!

റേഡിയൻ ആംഗിൾ എന്നത് ഒരു കേന്ദ്ര കോണാണ്, അതിന്റെ ആർക്ക് നീളം വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമാണ്.

അപ്പോൾ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു - തുറന്ന കോണിൽ എത്ര റേഡിയൻ ഉണ്ട്?

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ: പകുതി സർക്കിളിൽ എത്ര റേഡികൾ "ഫിറ്റ്" ചെയ്യുന്നു? അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വിധത്തിൽ: അര വൃത്തത്തിന്റെ നീളം ആരത്തേക്കാൾ എത്ര മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്?

പുരാതന ഗ്രീസിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ ചോദ്യം ചോദിച്ചു.

അതിനാൽ, ഒരു നീണ്ട തിരച്ചിലിന് ശേഷം, ചുറ്റളവിന്റെ ദൂരത്തിന്റെ അനുപാതം "മനുഷ്യ" സംഖ്യകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ലെന്ന് അവർ കണ്ടെത്തി.

ഈ മനോഭാവം എനിക്ക് വേരുകൾ വഴി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ പോലും കഴിയില്ല. അതായത്, വൃത്തത്തിന്റെ പകുതി ദൂരത്തേക്കാൾ സമയമോ മടങ്ങോ വലുതാണെന്ന് ഒരാൾക്ക് പറയാനാവില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു! ആളുകൾക്ക് ഇത് ആദ്യമായി കണ്ടെത്തുന്നത് എത്ര അത്ഭുതകരമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഊഹിക്കാൻ കഴിയുമോ?! അര വൃത്തത്തിന്റെ നീളവും ദൂരവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന്, "സാധാരണ" സംഖ്യകൾ മതിയാകില്ല. എനിക്ക് ഒരു കത്ത് നൽകേണ്ടി വന്നു.

അതിനാൽ, ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ നീളവും ആരവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും: തുറന്ന കോണിൽ എത്ര റേഡിയൻ ഉണ്ട്? ഇതിൽ റേഡിയൻസ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, സർക്കിളിന്റെ പകുതി ദൂരത്തേക്കാൾ ഇരട്ടി വലുതാണ്.

നൂറ്റാണ്ടുകളായി പുരാതന (അങ്ങനെയല്ല) ആളുകൾ (!) ഈ നിഗൂഢ സംഖ്യ കൂടുതൽ കൃത്യമായി കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിച്ചു, "സാധാരണ" സംഖ്യകളിലൂടെ അത് (ഏകദേശമെങ്കിലും) നന്നായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അസാധ്യമായി മടിയന്മാരാണ് - തിരക്കുള്ള ഒന്നിന് ശേഷം രണ്ട് അടയാളങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്ക് മതിയാകും, ഞങ്ങൾ അത് പരിചിതമാണ്

അതിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുക, ഇതിനർത്ഥം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒന്നിന്റെ ആരമുള്ള ഒരു സർക്കിളിന്റെ y നീളത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്, എന്നാൽ ഈ നീളം ഒരു "മനുഷ്യ" സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുന്നത് അസാധ്യമാണ് - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കത്ത് ആവശ്യമാണ്. അപ്പോൾ ഈ ചുറ്റളവ് തുല്യമായിരിക്കും. തീർച്ചയായും, ആരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്.

നമുക്ക് റേഡിയൻസിലേക്ക് മടങ്ങാം.

മടക്കിയ കോണിൽ റേഡിയൻ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തി.

നമുക്കുള്ളത്:

അതിനർത്ഥം ഞാൻ സന്തോഷവാനാണ്, അതായത് ഞാൻ സന്തോഷവാനാണ്. അതേ രീതിയിൽ, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ കോണുകളുള്ള പ്ലേറ്റ് ലഭിക്കും.

ആലേഖനം ചെയ്തതും കേന്ദ്ര കോണുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം.

അതിശയകരമായ ഒരു വസ്തുത സംഭവിക്കുന്നു:

ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ആംഗിൾ അനുബന്ധ കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയാണ്.

ഈ പ്രസ്താവന ചിത്രത്തിൽ എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്ന് കാണുക. "അനുയോജ്യമായ" സെൻട്രൽ ആംഗിൾ എന്നത് ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ അറ്റങ്ങളുമായി അറ്റങ്ങൾ ഒത്തുചേരുന്ന ഒന്നാണ്, കൂടാതെ ശീർഷകം മധ്യഭാഗത്താണ്. അതേ സമയം, "അനുയോജ്യമായ" സെൻട്രൽ ആംഗിൾ ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ അതേ കോർഡിലേക്ക് () "നോക്കണം".

എന്തുകൊണ്ടാണ് അങ്ങനെ? ആദ്യം നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ കേസ് നോക്കാം. കോർഡുകളിലൊന്ന് മധ്യത്തിലൂടെ പോകട്ടെ. അത് ചിലപ്പോൾ അങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു, അല്ലേ?

ഇവിടെ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത്? നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഇത് ഐസോസിലിസ് ആണ് - എല്ലാത്തിനുമുപരി, അവ ആരങ്ങളുമാണ്. അതിനാൽ, (അവരെ നിയമിച്ചു).

ഇനി നമുക്ക് നോക്കാം. ഇതാണ് പുറം മൂല! പുറത്തെ മൂല, അതിനോട് ചേർന്നില്ലാത്ത രണ്ട് ആന്തരികവയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

അതാണ്! ഒരു അപ്രതീക്ഷിത പ്രഭാവം. എന്നാൽ ആലേഖനം ചെയ്യുന്നതിന് ഒരു കേന്ദ്ര കോണും ഉണ്ട്.

ഇതിനർത്ഥം, ഈ കേസിൽ സെൻട്രൽ ആംഗിൾ ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ ഇരട്ടിയാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടു എന്നാണ്. എന്നാൽ ഇത് വളരെ സവിശേഷമായ ഒരു കേസാണ്: കോർഡ് എല്ലായ്പ്പോഴും കേന്ദ്രത്തിലൂടെ നേരെ പോകുന്നില്ല എന്നത് ശരിയാണോ? എന്നാൽ ഒന്നുമില്ല, ഇപ്പോൾ ഈ പ്രത്യേക കേസ് ഞങ്ങളെ വളരെയധികം സഹായിക്കും. നോക്കുക: രണ്ടാമത്തെ കേസ്: മധ്യഭാഗം ഉള്ളിലായിരിക്കട്ടെ.

നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാം: വ്യാസം വരയ്ക്കുക. തുടർന്ന് ... ആദ്യ കേസിൽ ഇതിനകം വിശകലനം ചെയ്ത രണ്ട് ചിത്രങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അത് ഉണ്ട്

അതിനാൽ, (ഡ്രോയിംഗിൽ, a)

ശരി, അവസാന കേസ് അവശേഷിക്കുന്നു: കേന്ദ്രം മൂലയ്ക്ക് പുറത്താണ്.

ഞങ്ങൾ അത് തന്നെ ചെയ്യുന്നു: ഒരു പോയിന്റിലൂടെ വ്യാസം വരയ്ക്കുക. എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്, പക്ഷേ തുകയ്ക്ക് പകരം - വ്യത്യാസം.

അത്രയേയുള്ളൂ!

ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ മധ്യഭാഗത്തിന്റെ പകുതിയാണെന്ന പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന് പ്രധാനവും വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ രണ്ട് പരിണതഫലങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താം.

അനന്തരഫലം 1

ഒരു ആർക്ക് അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള എല്ലാ ലിഖിത കോണുകളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം:

ഒരേ ആർക്കിൽ എണ്ണമറ്റ ആലേഖനം ചെയ്ത കോണുകൾ ഉണ്ട് (നമുക്ക് ഈ ആർക്ക് ഉണ്ട്), അവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായി കാണപ്പെടാം, പക്ഷേ അവയ്‌ക്കെല്ലാം ഒരേ കേന്ദ്ര കോണാണ് (), അതായത് ഈ ആലേഖനം ചെയ്‌ത എല്ലാ കോണുകളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

അനന്തരഫലം 2

വ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള കോൺ നേരായതാണ്.

നോക്കൂ: ഏത് മൂലയ്ക്കാണ് കേന്ദ്രം?

തീർച്ചയായും, . എന്നാൽ ഇത് തുല്യമാണ്! ശരി, അതുകൊണ്ടാണ് (അതുപോലെ ധാരാളം ആലേഖനം ചെയ്ത കോണുകൾ അടിസ്ഥാനമാക്കി) തുല്യമാണ്.

രണ്ട് കോർഡുകളുടെയും സെക്കന്റുകളുടെയും ഇടയിലുള്ള ആംഗിൾ

എന്നാൽ നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ആംഗിൾ ആലേഖനം ചെയ്തിട്ടില്ലെങ്കിൽ കേന്ദ്രമല്ല, പക്ഷേ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതുപോലെ:

അതോ അങ്ങനെയോ?

ചില കേന്ദ്ര കോണുകളിലൂടെ എങ്ങനെയെങ്കിലും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമോ? നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. നോക്കൂ: ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്.

a) (പുറത്തെ കോണായി). എന്നാൽ - ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്നത്, ഒരു കമാനത്തിൽ വിശ്രമിക്കുന്നു -. - ആലേഖനം ചെയ്‌തത്, ഒരു കമാനത്തിൽ കിടക്കുന്നു -.

സൗന്ദര്യത്തിന് അവർ പറയുന്നു:

കോർഡുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ ഈ കോണിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ആർക്കുകളുടെ കോണീയ മൂല്യങ്ങളുടെ പകുതി തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഇത് സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി എഴുതിയതാണ്, എന്നാൽ തീർച്ചയായും, ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ കേന്ദ്ര കോണുകൾ മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ബി) ഇപ്പോൾ - "പുറത്ത്"! എങ്ങനെയാകണം? അതെ, ഏതാണ്ട് സമാനമാണ്! ഇപ്പോൾ മാത്രം (വീണ്ടും പുറം കോണിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കുക). അതായത് ഇപ്പോൾ.

അതിനർത്ഥം. റെക്കോർഡുകളിലും ഫോർമുലേഷനുകളിലും സൗന്ദര്യവും സംക്ഷിപ്തതയും കൊണ്ടുവരാം:

സെക്കന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ ഈ കോണിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ആർക്കുകളുടെ കോണീയ മൂല്യങ്ങളുടെ പകുതി-വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

ശരി, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു സർക്കിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കോണുകളെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാ അടിസ്ഥാന അറിവുകളും കൊണ്ട് സജ്ജരാണ്. മുന്നോട്ട്, ടാസ്ക്കുകളുടെ ആക്രമണത്തിലേക്ക്!

വൃത്തവും അവിശ്വസനീയമായ ആംഗിളും. ശരാശരി നില

വൃത്തം എന്താണെന്ന് അഞ്ച് വയസ്സുകാരന് അറിയാം, അല്ലേ? ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, ഇതിന് ഒരു അമൂർത്തമായ നിർവചനം ഉണ്ട്, എന്നാൽ ഞങ്ങൾ അത് നൽകില്ല (കാണുക), പകരം ഒരു വൃത്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിന്റുകളുടെയും വരികളുടെയും കോണുകളുടെയും പേരുകൾ ഓർമ്മിക്കുക.

പ്രധാനപ്പെട്ട നിബന്ധനകൾ

ആദ്യം:

രണ്ടാമതായി:

മറ്റൊരു അംഗീകൃത പദപ്രയോഗമുണ്ട്: "കോർഡ് ആർക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു." ഇവിടെ, ചിത്രത്തിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കോർഡ് ഒരു ആർക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു. ഒരു കോർഡ് പെട്ടെന്ന് മധ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുകയാണെങ്കിൽ, അതിന് ഒരു പ്രത്യേക നാമമുണ്ട്: "വ്യാസം".

വഴിയിൽ, വ്യാസവും ആരവും എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? സൂക്ഷിച്ചു നോക്കൂ. തീർച്ചയായും,

ഇപ്പോൾ കോണുകളുടെ പേരുകൾ.

സ്വാഭാവികമായും, അല്ലേ? കോണിന്റെ വശങ്ങൾ മധ്യഭാഗത്ത് നിന്ന് പുറത്തേക്ക് പോകുന്നു, അതായത് കോർണർ കേന്ദ്രമാണ്.

ഇവിടെയാണ് ചിലപ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകുന്നത്. ശ്രദ്ധിക്കുക - വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ ഒരു കോണും ഇല്ല - ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു,എന്നാൽ വൃത്തത്തിൽ "ഇരുന്ന" ശീർഷം ഉള്ള ഒരാൾ മാത്രം.

ചിത്രങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം നോക്കാം:

അവർ മറ്റൊരു വിധത്തിലും പറയുന്നു:

ഇവിടെ ഒരു വിഷമകരമായ പോയിന്റുണ്ട്. എന്താണ് "മാച്ചിംഗ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഇഷ്‌ടാനുസൃത" സെന്റർ ആംഗിൾ? വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് ശീർഷകവും കമാനത്തിന്റെ അറ്റത്ത് അറ്റവും ഉള്ള ഒരു കോണാണോ? തീർച്ചയായും ആ രീതിയിൽ അല്ല. ഡ്രോയിംഗ് നോക്കൂ.

എന്നിരുന്നാലും, അവയിലൊന്ന് ഒരു മൂല പോലെ കാണപ്പെടുന്നില്ല - അത് വലുതാണ്. എന്നാൽ ഒരു ത്രികോണത്തിൽ കൂടുതൽ കോണുകൾ ഉണ്ടാകില്ല, പക്ഷേ ഒരു വൃത്തത്തിൽ - അതിന് കഴിയും! അതിനാൽ: ഒരു ചെറിയ ആർക്ക് AB ഒരു ചെറിയ കോണുമായി (ഓറഞ്ച്) യോജിക്കുന്നു, വലുത് - വലുത്. എങ്ങനെ, അല്ലേ?

ആലേഖനം ചെയ്തതും കേന്ദ്ര കോണുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം

വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പ്രസ്താവന ഓർക്കുക:

പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ, ഈ വസ്തുത ഇതുപോലെ എഴുതാൻ അവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു:

സെന്റർ കോർണർ ഉപയോഗിച്ച് വാക്കുകൾ എളുപ്പമല്ലേ?

എന്നിട്ടും, രണ്ട് ഫോർമുലേഷനുകൾക്കിടയിൽ ഒരു കത്തിടപാടുകൾ കണ്ടെത്താം, അതേ സമയം "അനുയോജ്യമായ" സെൻട്രൽ ആംഗിളും കണക്കുകളിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ "വിശ്രമിക്കുന്ന" ആർക്ക് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കുക.

നോക്കൂ: വൃത്തവും ആലേഖനം ചെയ്ത കോണും ഇതാ:

അതിന്റെ "അനുയോജ്യമായ" കേന്ദ്ര ആംഗിൾ എവിടെയാണ്?

ഞങ്ങൾ വീണ്ടും നോക്കുന്നു:

എന്താണ് ഭരണം?

പക്ഷേ! ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആലേഖനം ചെയ്തതും സെൻട്രൽ ആംഗിളും ഒരു വശത്ത് നിന്ന് ആർക്ക് വരെ "നോക്കുക" എന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

വിചിത്രമെന്നു പറയട്ടെ, നീല! കാരണം കമാനം നീളമുള്ളതും പകുതി വൃത്തത്തേക്കാൾ നീളമുള്ളതുമാണ്! അതിനാൽ ഒരിക്കലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്!

ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ "അർദ്ധഹൃദയത്തിൽ" നിന്ന് എന്ത് അനന്തരഫലമാണ് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയുക?

ഇവിടെ, ഉദാഹരണത്തിന്:

വ്യാസം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ആംഗിൾ

ഒരേ കാര്യത്തെക്കുറിച്ച് വ്യത്യസ്ത വാക്കുകളിൽ സംസാരിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് വളരെ ഇഷ്ടമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഇതിനകം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടോ? അവർ എന്തിനായിരിക്കും? നിങ്ങൾ കാണുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷ, ഔപചാരികമാണെങ്കിലും, സജീവമാണ്, അതിനാൽ, സാധാരണ ഭാഷയിലെന്നപോലെ, ഓരോ തവണയും കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായതിനാൽ നിങ്ങൾ അത് പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ശരി, "ഒരു കമാനത്തിൽ ആംഗിൾ വിശ്രമിക്കുന്നു" എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടു. സങ്കൽപ്പിക്കുക, അതേ ചിത്രത്തെ "ഒരു കോണിൽ ഒരു ആംഗിൾ വിശ്രമിക്കുന്നു" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എന്താണ്? അതെ, തീർച്ചയായും, ഈ ആർക്ക് വലിക്കുന്ന ഒന്നിൽ!

ഒരു ആർക്കിനെക്കാൾ ഒരു കോർഡിനെ ആശ്രയിക്കുന്നത് എപ്പോഴാണ് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാകുന്നത്?

ശരി, പ്രത്യേകിച്ച് ഈ കോർഡ് വ്യാസമുള്ളപ്പോൾ.

അത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിന്, അതിശയകരമാംവിധം ലളിതവും മനോഹരവും ഉപയോഗപ്രദവുമായ ഒരു പ്രസ്താവനയുണ്ട്!

നോക്കൂ: ചുറ്റളവും വ്യാസവും കോണും ഇവിടെയുണ്ട്.

വൃത്തവും അവിശ്വസനീയമായ ആംഗിളും. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചുരുക്കത്തിൽ

1. അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ.

3. ആർക്കുകളുടെയും കോണുകളുടെയും അളവുകൾ.

റേഡിയൻ ആംഗിൾ എന്നത് ഒരു കേന്ദ്ര കോണാണ്, അതിന്റെ ആർക്ക് നീളം വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ നീളവും ആരവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണിത്.

ആരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് ആണ്.

4. ആലേഖനം ചെയ്തതും കേന്ദ്ര കോണുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം.