സൈൻ നിയമം അനുസരിച്ച് ആന്ദോളനം വിവരിച്ചാൽ. ആന്ദോളനങ്ങൾ

>>ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകൾ

§ 22 ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകൾ

ഒരു ആന്ദോളന ശരീരത്തിന്റെ ത്വരിതവും കോർഡിനേറ്റും പരസ്പരം എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് അറിയുന്നത്, ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, കൃത്യസമയത്ത് കോർഡിനേറ്റിന്റെ ആശ്രിതത്വം കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാണ്.

സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു കോർഡിനേറ്റിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് ആക്സിലറേഷൻ.ഒരു ഗണിത കോഴ്‌സിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു പോയിന്റിന്റെ തൽക്ഷണ വേഗത, സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. ഒരു പോയിന്റിന്റെ ത്വരണം സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതിന്റെ വേഗതയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, അല്ലെങ്കിൽ സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കോർഡിനേറ്റിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യം (3.4) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

എവിടെ x " - സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കോർഡിനേറ്റിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്. സമവാക്യം (3.11) അനുസരിച്ച്, സ്വതന്ത്ര ആന്ദോളനങ്ങളിൽ, സമയത്തിനനുസരിച്ച് കോർഡിനേറ്റ് x മാറുന്നു, അതിനാൽ സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കോർഡിനേറ്റിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോർഡിനേറ്റിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികവും ചിഹ്നത്തിൽ വിപരീതവുമാണ്.

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അവയുടെ വാദവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് ആനുപാതികമാണെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഗതിയിൽ നിന്ന് അറിയാം. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം തെളിയിക്കുന്നത് മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കൊന്നും ഈ ഗുണമില്ല എന്നാണ്. സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ പാസൈൻ നിയമം അനുസരിച്ച് കാലക്രമേണ സ്വതന്ത്ര ആന്ദോളനം നടത്തുന്ന ഒരു ശരീരത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് മാറുന്നുവെന്ന് നിയമപരമായി ഉറപ്പിക്കാൻ ഇതെല്ലാം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. കോസൈൻ നിയമം അനുസരിച്ച് കാലക്രമേണ ഒരു പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റിലെ മാറ്റം ചിത്രം 3.6 കാണിക്കുന്നു.

സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ നിയമം അനുസരിച്ച് സംഭവിക്കുന്ന സമയത്തിനനുസരിച്ച് ഭൗതിക അളവിൽ ആനുകാലികമായ മാറ്റങ്ങളെ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി.ശരീരത്തിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള ഏറ്റവും വലിയ സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ മോഡുലസാണ് ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി.

സമയത്തിന്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിൽ നാം ശരീരത്തെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് എത്രമാത്രം സ്ഥാനഭ്രഷ്ടനാക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ശരീരത്തിന് എന്ത് വേഗത നൽകുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡിന് വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം. വ്യാപ്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളാൽ, അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ കൃത്യമായി ശരീരത്തിന് നൽകുന്ന ഊർജ്ജമാണ്. എന്നാൽ സൈൻ മോഡുലസിന്റെയും കോസൈൻ മോഡുലസിന്റെയും പരമാവധി മൂല്യങ്ങൾ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം (3.11) ഒരു സൈനോ കോസൈനോ ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഇത് സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ x m ആന്ദോളന ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപമെടുക്കണം.

സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകൾ വിവരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം.നമുക്ക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം (3.11) ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിച്ചു (3.11). തൽഫലമായി, ഫംഗ്ഷൻ (3.12) യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് (3.11) ഒരു പരിഹാരമാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരവും പ്രവർത്തനമായിരിക്കും

(3.14) അനുസരിച്ച് ബോഡി കോർഡിനേറ്റിന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു കോസൈൻ തരംഗമാണ് (ചിത്രം 3.6 കാണുക).

ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലയളവും ആവൃത്തിയും. ആന്ദോളനം ചെയ്യുമ്പോൾ, ശരീരത്തിന്റെ ചലനങ്ങൾ ഇടയ്ക്കിടെ ആവർത്തിക്കുന്നു. സിസ്റ്റം ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഒരു പൂർണ്ണ ചക്രം പൂർത്തിയാക്കുന്ന സമയ കാലയളവിനെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കാലയളവ് അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ആവൃത്തി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, അതായത് ഒരു യൂണിറ്റ് സമയത്തിലെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണം, ഉദാഹരണത്തിന് സെക്കൻഡിൽ. T സമയത്തിൽ ഒരു ആന്ദോളനം സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സെക്കൻഡിൽ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണം

ഇന്റർനാഷണൽ സിസ്റ്റം ഓഫ് യൂണിറ്റുകളിൽ (SI), ഒരു സെക്കൻഡിൽ ഒരു ആന്ദോളനം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ആന്ദോളനത്തിന്റെ ആവൃത്തി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. ജർമ്മൻ ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജി. ഹെർട്സിന്റെ ബഹുമാനാർത്ഥം ആവൃത്തിയുടെ യൂണിറ്റിനെ ഹെർട്സ് (ചുരുക്കത്തിൽ: Hz) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2 സെക്കൻഡിലെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ചാക്രിക അല്ലെങ്കിൽ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ആവൃത്തിയാണ് അളവ്. സമവാക്യത്തിൽ (3.14) സമയം t ഒരു കാലഘട്ടത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, T = 2. അങ്ങനെ, സമയത്ത് t = 0 x = x m ആണെങ്കിൽ, ആ സമയത്ത് t = T x = x m, അതായത് ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു കാലയളവിലൂടെ കാലഘട്ടം, ആന്ദോളനങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നു.

സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകളുടെ ആവൃത്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തിയാണ് 1.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ സവിശേഷതകളിൽ ഫ്രീ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ആവൃത്തിയുടെയും കാലഘട്ടത്തിന്റെയും ആശ്രിതത്വം.സമവാക്യം (3.13) അനുസരിച്ച് ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ശരീരത്തിന്റെ വൈബ്രേഷന്റെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തി ഇതിന് തുല്യമാണ്:

വലിയ സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യം k, അത് വലുതാണ്, കുറവ്, വലിയ ശരീര പിണ്ഡം m. ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: കഠിനമായ സ്പ്രിംഗ് ശരീരത്തിന് കൂടുതൽ ത്വരണം നൽകുകയും ശരീരത്തിന്റെ വേഗത വേഗത്തിൽ മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു. ശരീരത്തിന്റെ ഭാരം കൂടുന്തോറും ശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ വേഗത മാറുന്നു. ആന്ദോളന കാലയളവ് ഇതിന് തുല്യമാണ്:

വ്യത്യസ്‌ത കാഠിന്യത്തിന്റെയും വിവിധ പിണ്ഡങ്ങളുടേയും ഒരു കൂട്ടം നീരുറവകൾ ഉള്ളതിനാൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (3.13), (3.18) എന്നിവ k, m എന്നിവയെ ആശ്രയിക്കുന്നതിന്റെ സ്വഭാവം ശരിയായി വിവരിക്കുന്നുവെന്ന് അനുഭവത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഒരു നീരുറവയിൽ ശരീരത്തിന്റെ ആന്ദോളനത്തിന്റെ കാലഘട്ടവും വ്യതിചലനത്തിന്റെ ചെറിയ കോണുകളിൽ ഒരു പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളനത്തിന്റെ കാലഘട്ടവും ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്.

പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളെ വിവരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിലെ (3.10) ആക്സിലറേഷൻ t യ്ക്കും ഡിസ്പ്ലേസ്മെന്റ് x നും ഇടയിലുള്ള ആനുപാതിക ഗുണകത്തിന്റെ മോഡുലസ്, സമവാക്യത്തിലെ (3.11) പോലെ, ചാക്രിക ആവൃത്തിയുടെ ചതുരമാണ്. തൽഫലമായി, ലംബത്തിൽ നിന്ന് ത്രെഡിന്റെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ചെറിയ കോണുകളിൽ ഒരു ഗണിത പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളനത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തി പെൻഡുലത്തിന്റെ നീളത്തെയും ഗുരുത്വാകർഷണ ത്വരിതത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

I. ന്യൂട്ടന്റെ സമകാലികനായ ഡച്ച് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ G. Huygens ആണ് ഈ ഫോർമുല ആദ്യമായി നേടുകയും പരീക്ഷണാടിസ്ഥാനത്തിൽ പരീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്തത്. ത്രെഡ് വ്യതിചലനത്തിന്റെ ചെറിയ കോണുകൾക്ക് മാത്രമേ ഇത് സാധുതയുള്ളൂ.

1 പലപ്പോഴും ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ, സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ ചാക്രിക ആവൃത്തിയെ ഫ്രീക്വൻസി എന്ന് വിളിക്കും. നൊട്ടേഷൻ വഴി നിങ്ങൾക്ക് ചാക്രിക ആവൃത്തിയെ സാധാരണ ആവൃത്തിയിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.

പെൻഡുലത്തിന്റെ നീളം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് ആന്ദോളനത്തിന്റെ കാലയളവ് വർദ്ധിക്കുന്നു. ഇത് പെൻഡുലത്തിന്റെ പിണ്ഡത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. വിവിധ പെൻഡുലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ പരീക്ഷണാത്മകമായി പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ ആക്സിലറേഷനിൽ ആന്ദോളന കാലഘട്ടത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വവും കണ്ടെത്താനാകും. ചെറിയ g, പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളനത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കൂടുതലാണ്, അതിനാൽ, പെൻഡുലം ക്ലോക്ക് വേഗത കുറയുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു വടിയിൽ ഭാരമുള്ള രൂപത്തിൽ ഒരു പെൻഡുലം ഉള്ള ഒരു ക്ലോക്ക്, മോസ്കോ യൂണിവേഴ്സിറ്റിയുടെ (ഉയരം 200 മീറ്റർ) ബേസ്മെന്റിൽ നിന്ന് മുകളിലത്തെ നിലയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ പ്രതിദിനം ഏകദേശം 3 സെക്കൻഡ് പിന്നിൽ വീഴും. ഉയരത്തിനനുസരിച്ച് സ്വതന്ത്ര വീഴ്ചയുടെ ത്വരണം കുറയുന്നത് മാത്രമാണ് ഇതിന് കാരണം.

g യുടെ മൂല്യത്തിൽ ഒരു പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളന കാലഘട്ടത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വം പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആന്ദോളന കാലയളവ് അളക്കുന്നതിലൂടെ, g വളരെ കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായ അക്ഷാംശത്തിനനുസരിച്ച് ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ ത്വരണം മാറുന്നു. എന്നാൽ ഒരു നിശ്ചിത അക്ഷാംശത്തിൽ പോലും അത് എല്ലായിടത്തും ഒരുപോലെയല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഭൂമിയുടെ പുറംതോടിന്റെ സാന്ദ്രത എല്ലായിടത്തും ഒരുപോലെയല്ല. ഇടതൂർന്ന പാറകൾ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രദേശങ്ങളിൽ, ആക്സിലറേഷൻ g കുറച്ച് കൂടുതലാണ്. ധാതുക്കൾക്കായി തിരയുമ്പോൾ ഇത് കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഇരുമ്പയിരിന് സാധാരണ പാറകളെ അപേക്ഷിച്ച് ഉയർന്ന സാന്ദ്രതയുണ്ട്. അക്കാദമിഷ്യൻ എ എ മിഖൈലോവിന്റെ നേതൃത്വത്തിൽ നടത്തിയ കുർസ്കിനടുത്തുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണ ത്വരിതപ്പെടുത്തലിന്റെ അളവുകൾ ഇരുമ്പയിരിന്റെ സ്ഥാനം വ്യക്തമാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി. കാന്തിക അളവുകളിലൂടെയാണ് അവ ആദ്യം കണ്ടെത്തിയത്.

മിക്ക ഇലക്ട്രോണിക് സ്കെയിലുകളുടെയും ഉപകരണങ്ങളിൽ മെക്കാനിക്കൽ വൈബ്രേഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. തൂക്കേണ്ട ശരീരം ഒരു പ്ലാറ്റ്ഫോമിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിന് കീഴിൽ ഒരു കർക്കശമായ സ്പ്രിംഗ് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, മെക്കാനിക്കൽ വൈബ്രേഷനുകൾ ഉണ്ടാകുന്നു, അതിന്റെ ആവൃത്തി ബന്ധപ്പെട്ട സെൻസറാണ് അളക്കുന്നത്. ഈ സെൻസറുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മൈക്രോപ്രൊസസ്സർ ആന്ദോളന ആവൃത്തിയെ ശരീരത്തിന്റെ പിണ്ഡമായി മാറ്റുന്നു, കാരണം ഈ ആവൃത്തി പിണ്ഡത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (3.18), (3.20) ആന്ദോളന കാലയളവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലഘട്ടം സിസ്റ്റം പാരാമീറ്ററുകളെ (സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യം, ത്രെഡ് നീളം മുതലായവ) ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നാണ്.

മ്യാക്കിഷെവ് ജി യാ., ഫിസിക്സ്. 11-ാം ക്ലാസ്: വിദ്യാഭ്യാസം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ: അടിസ്ഥാനവും പ്രൊഫൈലും. ലെവലുകൾ / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; മാറ്റം വരുത്തിയത് വി.ഐ. നിക്കോളേവ, എൻ.എ.പാർഫെന്റീവ. - 17-ആം പതിപ്പ്, പുതുക്കിയത്. കൂടാതെ അധികവും - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 399 പേ.: അസുഖം.

ഗ്രേഡ് പ്രകാരമുള്ള വിഷയങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ ലിസ്റ്റ്, ഓൺലൈൻ ഫിസിക്സിലെ സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി അനുസരിച്ച് കലണ്ടർ പ്ലാൻ, ഗ്രേഡ് 11-ന് ഫിസിക്സിലെ വീഡിയോ മെറ്റീരിയൽ ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

പരമാവധി വേഗതയും ആക്സിലറേഷൻ മൂല്യങ്ങളും

ആശ്രിതത്വം v(t), a(t) എന്നിവയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, ത്രികോണമിതി ഘടകം 1 അല്ലെങ്കിൽ -1 ന് തുല്യമാകുമ്പോൾ വേഗതയും ത്വരിതവും പരമാവധി മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാം. സൂത്രവാക്യം വഴി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

v(t), a(t) എന്നീ ഡിപൻഡൻസികൾ എങ്ങനെ നേടാം

7. സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകൾ. ഓസിലേറ്ററി ചലനത്തിന്റെ വേഗത, ത്വരണം, ഊർജ്ജം. വൈബ്രേഷനുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ

സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകൾ(അഥവാ സ്വാഭാവിക വൈബ്രേഷനുകൾ) ബാഹ്യ സ്വാധീനങ്ങളുടെ അഭാവത്തിൽ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയ ഊർജ്ജം (സാധ്യത അല്ലെങ്കിൽ ചലനാത്മകം) കാരണം മാത്രം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളാണ്.

സാധ്യമായ അല്ലെങ്കിൽ ഗതികോർജ്ജം നൽകാം, ഉദാഹരണത്തിന്, മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ പ്രാരംഭ സ്ഥാനചലനം അല്ലെങ്കിൽ പ്രാരംഭ വേഗത വഴി.

സ്വതന്ത്രമായി ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ശരീരങ്ങൾ എല്ലായ്‌പ്പോഴും മറ്റ് ശരീരങ്ങളുമായി ഇടപഴകുകയും അവയ്‌ക്കൊപ്പം ശരീരങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം രൂപപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്പ്രിംഗ്, ഒരു പന്ത്, സ്പ്രിംഗിന്റെ മുകൾഭാഗം ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ലംബമായ പോസ്റ്റ് (ചുവടെയുള്ള ചിത്രം കാണുക) ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇവിടെ പന്ത് സ്ട്രിംഗിലൂടെ സ്വതന്ത്രമായി സ്ലൈഡുചെയ്യുന്നു (ഘർഷണ ശക്തികൾ നിസ്സാരമാണ്). നിങ്ങൾ പന്ത് വലത്തേക്ക് നീക്കി അതിൽ തന്നെ വിടുകയാണെങ്കിൽ, അത് സന്തുലിതാവസ്ഥയ്ക്ക് ചുറ്റും സ്വതന്ത്രമായി ആന്ദോളനം ചെയ്യും (പോയിന്റ് കുറിച്ച്) സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്ക് നയിക്കുന്ന സ്പ്രിംഗിന്റെ ഇലാസ്റ്റിക് ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനം കാരണം.

ഒരു മെക്കാനിക്കൽ ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന്റെ മറ്റൊരു മികച്ച ഉദാഹരണമാണ് ഒരു ഗണിത പെൻഡുലം (ചുവടെയുള്ള ചിത്രം കാണുക). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പന്ത് രണ്ട് ശക്തികളുടെ സ്വാധീനത്തിൽ സ്വതന്ത്ര ആന്ദോളനങ്ങൾ നടത്തുന്നു: ഗുരുത്വാകർഷണവും ത്രെഡിന്റെ ഇലാസ്റ്റിക് ശക്തിയും (ഭൂമിയും ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്). അവയുടെ ഫലം സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന്റെ ശരീരങ്ങൾക്കിടയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ശക്തികളെ വിളിക്കുന്നു ആന്തരിക ശക്തികൾ. ബാഹ്യശക്തികളാൽഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പുറത്തുള്ള ശരീരങ്ങളിൽ നിന്ന് അതിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ശക്തികളെ വിളിക്കുന്നു. ഈ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, സ്വതന്ത്ര ആന്ദോളനങ്ങളെ അതിന്റെ സന്തുലിത സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് നീക്കം ചെയ്തതിന് ശേഷം ആന്തരിക ശക്തികളുടെ സ്വാധീനത്തിലുള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിലെ ആന്ദോളനങ്ങളായി നിർവചിക്കാം.

സ്വതന്ത്ര ആന്ദോളനങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ ഇവയാണ്:

1) ഈ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്തതിനുശേഷം സിസ്റ്റത്തെ സ്ഥിരമായ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്ക് തിരികെ കൊണ്ടുവരുന്ന ഒരു ശക്തിയുടെ ആവിർഭാവം;

2) സിസ്റ്റത്തിലെ ഘർഷണത്തിന്റെ അഭാവം.

സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകളുടെ ചലനാത്മകത.

ഇലാസ്റ്റിക് ശക്തികളുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ശരീരത്തിന്റെ വൈബ്രേഷനുകൾ. ഇലാസ്റ്റിക് ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് കീഴിലുള്ള ശരീരത്തിന്റെ ആന്ദോളന ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യം എഫ്(ചിത്രം കാണുക) ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ (ചിത്രം കാണുക) F = ma) ഒപ്പം ഹുക്കിന്റെ നിയമം ( എഫ് നിയന്ത്രണം= -kx), എവിടെ എംപന്തിന്റെ പിണ്ഡമാണ്, ഇലാസ്റ്റിക് ബലത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിൽ പന്ത് നേടിയ ത്വരണം, കെ- സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യം ഗുണകം, എക്സ്- സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ശരീരത്തിന്റെ സ്ഥാനചലനം (രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും തിരശ്ചീന അക്ഷത്തിൽ പ്രൊജക്ഷനിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ഓ). ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ത്വരണം കണക്കിലെടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എകോർഡിനേറ്റിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് എക്സ്(സ്ഥാനചലനം), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനത്തിൽ ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ഒരു ശരീരത്തിന്റെ ചലനത്തിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണിത്: സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കോർഡിനേറ്റിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് (ബോഡി ആക്സിലറേഷൻ) അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമാണ്, വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുക്കുന്നു.

ഒരു ഗണിത പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളനം.ഒരു ഗണിത പെൻഡുലത്തിന്റെ (ചിത്രം) ആന്ദോളനത്തിന്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഗുരുത്വാകർഷണബലം വികസിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എഫ് ടി= മില്ലിഗ്രാംസാധാരണ നിലയിലേക്ക് Fn(ത്രെഡ് സഹിതം സംവിധാനം) ഒപ്പം ടാൻജെൻഷ്യൽ F τ(പന്തിന്റെ പാതയിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റ് - സർക്കിൾ) ഘടകങ്ങൾ. ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ സാധാരണ ഘടകം Fnത്രെഡിന്റെ ഇലാസ്റ്റിക് ശക്തിയും Fynpപെൻഡുലം സെൻട്രിപെറ്റൽ ആക്സിലറേഷനിലേക്ക് മൊത്തത്തിൽ, അത് വേഗതയുടെ വ്യാപ്തിയെ ബാധിക്കില്ല, പക്ഷേ അതിന്റെ ദിശയും സ്പർശന ഘടകവും മാറ്റുന്നു. F τപന്തിനെ അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്ക് തിരിച്ചുവിടുകയും ആന്ദോളന ചലനങ്ങൾ നടത്തുകയും ചെയ്യുന്ന ശക്തിയാണ്. ടാൻജൻഷ്യൽ ആക്സിലറേഷനായുള്ള ന്യൂട്ടന്റെ നിയമം മുൻ സന്ദർഭത്തിലെന്നപോലെ ഉപയോഗിക്കുന്നു ma τ = F τഎന്നും കൊടുത്തു F τ= -mg sinα, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഒരു τ= -g sinα,

സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനത്തിന്റെ ശക്തിയും കോണും കാരണം മൈനസ് ചിഹ്നം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു α വിപരീത അടയാളങ്ങൾ ഉണ്ട്. ചെറിയ വ്യതിചലന കോണുകൾക്കായി പാപം α ≈ α. അതാകട്ടെ, α = s/l, എവിടെ എസ്- ആർക്ക് ഒ.എ., ഐ- ത്രെഡ് നീളം. അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ കൂടാതെ τ= എസ്", നമുക്ക് ഒടുവിൽ ലഭിക്കുന്നത്:

സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപം സമവാക്യത്തിന് സമാനമാണ് . ഇവിടെ മാത്രം സിസ്റ്റത്തിന്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ത്രെഡിന്റെ നീളവും സ്വതന്ത്ര വീഴ്ചയുടെ ത്വരിതവുമാണ്, അല്ലാതെ സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യവും പന്തിന്റെ പിണ്ഡവും അല്ല; കോർഡിനേറ്റിന്റെ പങ്ക് വഹിക്കുന്നത് ആർക്കിന്റെ ദൈർഘ്യമാണ് (അതായത്, ആദ്യ കേസിലെന്നപോലെ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം).

അതിനാൽ, ഈ വൈബ്രേഷനുകൾക്ക് കാരണമാകുന്ന ശക്തികളുടെ ഭൗതിക സ്വഭാവം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ ഒരേ തരത്തിലുള്ള (ഒരേ നിയമങ്ങൾക്ക് വിധേയമായി) സമവാക്യങ്ങളാൽ സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകളെ വിവരിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു കൂടാതെ ഫോമിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്:

x = xmവില ω 0ടി(അഥവാ x = xmപാപം ω 0ടി).

അതായത്, കോസൈൻ അല്ലെങ്കിൽ സൈൻ നിയമം അനുസരിച്ച് സ്വതന്ത്ര ആന്ദോളനങ്ങൾ നടത്തുന്ന ഒരു ശരീരത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് കാലക്രമേണ മാറുന്നു, അതിനാൽ, ഈ ആന്ദോളനങ്ങൾ ഹാർമോണിക് ആണ്:

സമവാക്യത്തിൽ. x = xmവില ω 0ടി(അഥവാ x = xmപാപം ω 0ടി), x മീ- വൈബ്രേഷൻ വ്യാപ്തി, ω 0 - ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സ്വന്തം ചാക്രിക (വൃത്താകൃതിയിലുള്ള) ആവൃത്തി.

സ്വതന്ത്ര ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ചാക്രിക ആവൃത്തിയും കാലയളവും സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ശരീരത്തിന്റെ വൈബ്രേഷനുകൾക്ക്, ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ സാധുവാണ്:

.

വലിയ സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യം അല്ലെങ്കിൽ ലോഡിന്റെ പിണ്ഡം ചെറുതാകുമ്പോൾ, സ്വാഭാവിക ആവൃത്തി വർദ്ധിക്കും, ഇത് അനുഭവത്താൽ പൂർണ്ണമായി സ്ഥിരീകരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ തൃപ്തികരമാണ്:

.

ഡച്ച് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹ്യൂഗൻസ് (ന്യൂട്ടന്റെ സമകാലികൻ) ആണ് ഈ സൂത്രവാക്യം ആദ്യമായി നേടുകയും പരീക്ഷണാത്മകമായി പരീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്തത്.

പെൻഡുലത്തിന്റെ നീളം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് ആന്ദോളനത്തിന്റെ കാലയളവ് വർദ്ധിക്കുന്നു, മാത്രമല്ല അതിന്റെ പിണ്ഡത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങൾ കർശനമായി ആനുകാലികമാണെന്നും (സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ നിയമം അനുസരിക്കുന്നതിനാൽ) ഒരു യഥാർത്ഥ (ഫിസിക്കൽ) പെൻഡുലത്തിന്റെ ആദർശവൽക്കരണമായ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലത്തിന് പോലും ചെറിയ ആന്ദോളനത്തിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ എന്ന വസ്തുത പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ നൽകണം. കോണുകൾ. വ്യതിചലന കോണുകൾ വലുതാണെങ്കിൽ, ലോഡിന്റെ സ്ഥാനചലനം വ്യതിചലന കോണിന് (കോണിന്റെ സൈൻ) ആനുപാതികമായിരിക്കില്ല, കൂടാതെ ത്വരണം സ്ഥാനചലനത്തിന് ആനുപാതികമായിരിക്കില്ല.

സ്വതന്ത്രമായി ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ശരീരത്തിന്റെ വേഗതയും ത്വരിതവും ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങൾക്ക് വിധേയമാകും. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സമയം എടുക്കൽ ( x = xmവില ω 0ടി(അഥവാ x = xmപാപം ω 0ടി)), വേഗതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നേടുന്നു:

v = -v എംപാപം ω 0t = -v എംx മീകോസ് (ω 0t + π/2),

എവിടെ വി എം= ω 0 x മീ- വേഗത വ്യാപ്തി.

ത്വരിതപ്പെടുത്തലിന് സമാനമായ പദപ്രയോഗം എവേർതിരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ( v = -v എംപാപം ω 0t = -v എംx മീകോസ് (ω 0t + π/2)):

a = -a mവില ω 0ടി,

എവിടെ ഒരു എം= ω 2 0x മീ- ആക്സിലറേഷന്റെ വ്യാപ്തി. അങ്ങനെ, ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വേഗതയുടെ വ്യാപ്തി ആവൃത്തിക്ക് ആനുപാതികമാണ്, കൂടാതെ ആക്സിലറേഷന്റെ വ്യാപ്തി ആന്ദോളന ആവൃത്തിയുടെ ചതുരത്തിന് ആനുപാതികമാണ്.

ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകൾ
കോസൈൻ അല്ലെങ്കിൽ സൈൻ (ഹാർമോണിക് നിയമം) നിയമം അനുസരിച്ച് ഭൗതിക അളവിൽ മാറ്റങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്ന ആന്ദോളനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു. ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകൾ.ഉദാഹരണത്തിന്, മെക്കാനിക്കൽ ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകളുടെ കാര്യത്തിൽ:. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ, ω ആന്ദോളനത്തിന്റെ ആവൃത്തിയാണ്, x m എന്നത് ആന്ദോളനത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയാണ്, φ 0, φ 0 ' എന്നിവയാണ് ആന്ദോളനത്തിന്റെ പ്രാരംഭ ഘട്ടങ്ങൾ. മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രാരംഭ ഘട്ടത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ φ 0 ’ = φ 0 +π/2 പൂർണ്ണമായും യോജിക്കുന്നു.
ആനുകാലിക ആന്ദോളനത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം ഇതാണ്. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രത്യേക രൂപം (സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ) സിസ്റ്റത്തെ അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുന്ന രീതിയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. നീക്കം ചെയ്യുന്നത് ഒരു പുഷ് വഴിയാണ് സംഭവിക്കുന്നതെങ്കിൽ (കൈനറ്റിക് എനർജി നൽകപ്പെടുന്നു), t=0 സ്ഥാനചലനം x=0, അതിനാൽ, φ 0 '=0 സജ്ജീകരിക്കുന്ന sin ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്; സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുമ്പോൾ (സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജം റിപ്പോർട്ട് ചെയ്യപ്പെടുന്നു) t = 0, സ്ഥാനചലനം x = x m, അതിനാൽ, cos ഫംഗ്ഷനും φ 0 = 0 ഉം ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
കോസ് അല്ലെങ്കിൽ പാപം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തെ വിളിക്കുന്നു. ആന്ദോളന ഘട്ടം:. ആന്ദോളനത്തിന്റെ ഘട്ടം റേഡിയനുകളിൽ അളക്കുകയും ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ മൂല്യം (ആന്ദോളനത്തിന്റെ അളവ്) നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ആന്ദോളനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി പ്രാരംഭ വ്യതിയാനത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന് നൽകുന്ന പ്രാരംഭ ഊർജ്ജം).
ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങൾ സമയത്ത് വേഗതയും ത്വരണം.
വേഗതയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു സ്ഥാനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് വേഗത
അങ്ങനെ, ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനത്തിന്റെ വേഗതയും ഹാർമോണിക് നിയമമനുസരിച്ച് മാറുന്നതായി നാം കാണുന്നു, എന്നാൽ സ്പീഡ് ആന്ദോളനങ്ങൾ ഘട്ടം സ്ഥാനചലന ആന്ദോളനങ്ങളേക്കാൾ π/2 ന് മുന്നിലാണ്.
മൂല്യം - ഓസിലേറ്ററി ചലനത്തിന്റെ പരമാവധി വേഗത (വേഗതയിലെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകളുടെ വ്യാപ്തി).
അതിനാൽ, ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനത്തിന്റെ വേഗതയ്ക്കായി നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: , പൂജ്യം പ്രാരംഭ ഘട്ടത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ (ഗ്രാഫ് കാണുക).
ആക്സിലറേഷന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വേഗതയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് ആക്സിലറേഷൻ: സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കോർഡിനേറ്റിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. പിന്നെ: . ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററി മോഷൻ സമയത്ത് ത്വരിതപ്പെടുത്തലും ഹാർമോണിക് നിയമമനുസരിച്ച് മാറുന്നു, എന്നാൽ ആക്സിലറേഷൻ ആന്ദോളനങ്ങൾ π/2 ന്റെയും ഡിസ്പ്ലേസ്മെന്റ് ആന്ദോളനങ്ങളെക്കാളും π (ആന്ദോളനങ്ങൾ സംഭവിക്കുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ആന്റിഫേസിൽ).
മൂല്യം - പരമാവധി ആക്സിലറേഷൻ (ത്വരണം ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകളുടെ വ്യാപ്തി). അതിനാൽ, ത്വരിതപ്പെടുത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: , പൂജ്യം പ്രാരംഭ ഘട്ടത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ: (ചാർട്ട് കാണുക).
ആന്ദോളന ചലനം, ഗ്രാഫുകൾ, അനുബന്ധ ഗണിതശാസ്ത്ര പദപ്രയോഗങ്ങൾ എന്നിവയുടെ പ്രക്രിയയുടെ വിശകലനത്തിൽ നിന്ന്, ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ശരീരം സന്തുലിതാവസ്ഥ (സ്ഥാനചലനം പൂജ്യം) കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ത്വരണം പൂജ്യമാണെന്നും ശരീരത്തിന്റെ വേഗത പരമാവധി ആണെന്നും വ്യക്തമാണ്. ജഡത്വത്താൽ ശരീരം സന്തുലിതാവസ്ഥയെ കടന്നുപോകുന്നു), സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് മൂല്യം എത്തുമ്പോൾ, വേഗത പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ത്വരണം കേവല മൂല്യത്തിൽ പരമാവധി ആയിരിക്കും (ശരീരം അതിന്റെ ചലനത്തിന്റെ ദിശ മാറ്റുന്നു).
ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകൾക്കിടയിലുള്ള സ്ഥാനചലനത്തിനും ത്വരിതത്തിനും വേണ്ടിയുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം: കൂടാതെ .
നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം: - അതായത് സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് സ്ഥാനചലനത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമാണ് (വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ). ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷന്റെ സമവാക്യം. ഈ ആശ്രിതത്വം ഏതൊരു ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനത്തിനും അതിന്റെ സ്വഭാവം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ നിലനിൽക്കും. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ഞങ്ങൾ ഒരിക്കലും ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ, സൈക്ലിക് ഫ്രീക്വൻസിക്ക് മാത്രമേ അവയെ ആശ്രയിക്കാൻ കഴിയൂ.
വൈബ്രേഷനുകൾക്കുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നത് പലപ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമാണ്: , ഇവിടെ T എന്നത് ആന്ദോളന കാലഘട്ടമാണ്. തുടർന്ന്, ഒരു കാലഘട്ടത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ സമയം പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, 1/8 കാലയളവിനുശേഷം സ്ഥാനചലനം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: . വേഗതയ്ക്കും ത്വരിതത്തിനും സമാനമാണ്.

ഒരു സിസ്റ്റം ഒരേസമയം രണ്ടോ അതിലധികമോ ആന്ദോളനങ്ങളിൽ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി പങ്കെടുക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളുണ്ട്. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ആന്ദോളന ചലനം രൂപം കൊള്ളുന്നു, ഇത് പരസ്പരം ആന്ദോളനങ്ങൾ സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ (ചേർക്കുന്നു) സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നു. വ്യക്തമായും, ആന്ദോളനങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്ന കേസുകൾ വളരെ വൈവിധ്യപൂർണ്ണമായിരിക്കും. അവ കൂട്ടിച്ചേർത്ത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ മാത്രമല്ല, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ പാരാമീറ്ററുകളിലും അവയുടെ ആവൃത്തികളിലും ഘട്ടങ്ങളിലും ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളിലും ദിശകളിലും ആശ്രയിക്കുന്നു. ആന്ദോളനങ്ങൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യമായ എല്ലാ വൈവിധ്യമാർന്ന കേസുകളും അവലോകനം ചെയ്യുന്നത് സാധ്യമല്ല, അതിനാൽ വ്യക്തിഗത ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും.
1. ഒരു ദിശയുടെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ. നമുക്ക് ഒരേ ആവൃത്തിയിലുള്ള രണ്ട് ആന്ദോളനങ്ങൾ ചേർക്കാം, എന്നാൽ വ്യത്യസ്ത ഘട്ടങ്ങളും ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളും.

(4.40)
ആന്ദോളനങ്ങൾ പരസ്പരം സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യുമ്പോൾ


സമവാക്യങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് നമുക്ക് പുതിയ പാരാമീറ്ററുകൾ A, j എന്നിവ അവതരിപ്പിക്കാം:

(4.42)
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (4.42) പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

(4.43)

(4.44)
അങ്ങനെ, x ന് നമുക്ക് ഒടുവിൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും

(4.45)
അതിനാൽ, ഒരേ ആവൃത്തിയുടെ ഏകദിശ ആന്ദോളനങ്ങൾ ചേർക്കുന്നതിന്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് ഒരു ഹാർമോണിക് (സിനുസോയ്ഡൽ) ആന്ദോളനം ലഭിക്കുന്നു, അതിന്റെ വ്യാപ്തിയും ഘട്ടവും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (4.43), (4.44) എന്നിവയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
രണ്ട് കൂട്ടിച്ചേർത്ത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വ്യത്യസ്തമായ പ്രത്യേക കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:


(4.46)
നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ഒരേ വ്യാപ്തി, സമാന ഘട്ടങ്ങൾ, എന്നാൽ വ്യത്യസ്ത ആവൃത്തികൾ എന്നിവയുടെ ഏകദിശ ആന്ദോളനങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാം.


(4.47)
ആവൃത്തികൾ പരസ്പരം അടുത്തായിരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് കേസ് പരിഗണിക്കാം, അതായത് w1~w2=w
അപ്പോൾ (w1+w2)/2= w, (w2-w1)/2 എന്നത് ഒരു ചെറിയ മൂല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഏകദേശം അനുമാനിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആന്ദോളനത്തിന്റെ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

(4.48)
അതിന്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 4.5 ഈ ആന്ദോളനത്തെ ബീറ്റിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ആവൃത്തിയിൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു, പക്ഷേ അതിന്റെ വ്യാപ്തി ഒരു വലിയ കാലയളവിനൊപ്പം ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്നു.

2. പരസ്പരം ലംബമായ രണ്ട് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ. ഒരു ആന്ദോളനം x-ആക്സിസിലും മറ്റൊന്ന് y-അക്ഷത്തിലും സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചലനം വ്യക്തമായും xy തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.
1. ആന്ദോളനത്തിന്റെ ആവൃത്തികളും ഘട്ടങ്ങളും ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, എന്നാൽ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകൾ വ്യത്യസ്തമാണ്.

(4.49)
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചലനത്തിന്റെ പാത കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് സമയം ഒഴിവാക്കേണ്ടതുണ്ട് (4.49). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു സമവാക്യ പദത്തെ മറ്റൊരു പദത്താൽ ഹരിച്ചാൽ മതിയാകും, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കും

(4.50)
സമവാക്യം (4.50) കാണിക്കുന്നത് ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഒരു നേർരേഖയിൽ ആന്ദോളനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അതിന്റെ ചരിവ് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളുടെ അനുപാതത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
2. കൂട്ടിച്ചേർത്ത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടങ്ങൾ പരസ്പരം /2 കൊണ്ട് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ, സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഈ രൂപമുണ്ട്:

(4.51)
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചലനത്തിന്റെ പാത കണ്ടെത്തുന്നതിന്, സമയം ഒഴികെ, നിങ്ങൾ ചതുര സമവാക്യങ്ങൾ (4.51) ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, ആദ്യം അവയെ യഥാക്രമം A1, A2 എന്നിങ്ങനെ വിഭജിക്കുക, തുടർന്ന് ചേർക്കുക. ട്രാജക്റ്ററി സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:

(4.52)
ഇത് ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യമാണ്. ഏതെങ്കിലും പ്രാരംഭ ഘട്ടങ്ങൾക്കും ഒരേ ആവൃത്തിയിലുള്ള രണ്ട് കൂട്ടിച്ചേർത്ത പരസ്‌പര ലംബമായ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകൾക്കും, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആന്ദോളനം ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൽ സംഭവിക്കുമെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. അതിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ കൂട്ടിച്ചേർത്ത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടങ്ങളെയും ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.
കൂട്ടിച്ചേർത്ത ആന്ദോളനങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ആവൃത്തികളുണ്ടെങ്കിൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചലനങ്ങളുടെ പാതകൾ വളരെ വൈവിധ്യപൂർണ്ണമായിരിക്കും. x, y എന്നിവയിലെ ആന്ദോളന ആവൃത്തികൾ പരസ്പരം ഗുണിതങ്ങളാണെങ്കിൽ മാത്രം, അടച്ച പാതകൾ ലഭിക്കും. അത്തരം ചലനങ്ങളെ ആനുകാലികമായി തരം തിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ചലനങ്ങളുടെ പാതകളെ ലിസാജസ് രൂപങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചലനത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ സമാനമായ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളും ഘട്ടങ്ങളും ഉള്ള 1: 2 ആവൃത്തി അനുപാതങ്ങളുള്ള ആന്ദോളനങ്ങൾ ചേർത്ത് ലഭിക്കുന്ന ലിസജൗസ് കണക്കുകളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

(4.53)
ആന്ദോളനങ്ങൾ x-അക്ഷത്തേക്കാൾ രണ്ട് മടങ്ങ് കൂടുതലാണ് y-അക്ഷത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നത്. അത്തരം ആന്ദോളനങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നത് ഒരു ചിത്രം എട്ടിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു ചലന പാതയിലേക്ക് നയിക്കും (ചിത്രം 4.7).

8. നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളും അവയുടെ പാരാമീറ്ററുകളും: ഡിക്രിമെന്റും ആന്ദോളന ഗുണകവും, വിശ്രമ സമയം

)നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലഘട്ടം:

ടി = (58)

ചെയ്തത് δ << ω o വൈബ്രേഷനുകൾ ഹാർമോണിക്സിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല: T = 2π/ ω ഒ.

2) നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിസൂത്രവാക്യം (119) ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

3) ശോഷണം കുറയ്ക്കൽ,തുടർച്ചയായ രണ്ട് വൈബ്രേഷൻ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ് എ(ടി) ഒപ്പം എ(t+T), ഒരു കാലയളവിൽ വ്യാപ്തി കുറയുന്നതിന്റെ നിരക്ക്:

= EDT (59)

4) ലോഗരിതമിക് ഡാംപിംഗ് ഡിക്രിമെന്റ്- തുടർച്ചയായ രണ്ട് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളുടെ അനുപാതത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, ഒരു കാലഘട്ടത്തിൽ വ്യത്യാസമുള്ള സമയ നിമിഷങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു

q = ln = ln e d Т =dT(60)

തന്നിരിക്കുന്ന ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ് ലോഗരിതമിക് ഡാംപിംഗ് ഡിക്രിമെന്റ്.

5) വിശ്രമ സമയംകാലയളവിനെ വിളിക്കുന്നത് പതിവാണ് ( ടി) ഈ സമയത്ത് നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി e തവണ കുറയുന്നു:

e d τ = ഇ, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

(60), (61) എന്നീ പദങ്ങളുടെ താരതമ്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

q= = , (62)

എവിടെ N e -വിശ്രമവേളയിൽ നടത്തിയ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണം.

സമയത്താണെങ്കിൽ ടിസിസ്റ്റം പ്രതിജ്ഞാബദ്ധമാണ് Ν മടി, പിന്നെ ടി = Ν . Τ നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

എസ് = എ 0 ഇ -ഡി എൻ ടി കോസ്(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഗുണനിലവാര ഘടകം(ക്യു) സാധാരണയായി ആന്ദോളന കാലയളവിൽ സിസ്റ്റത്തിലെ ഊർജ്ജനഷ്ടത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തിന്റെ അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

Q = 2പി , (63)

എവിടെ ഡബ്ല്യു- സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൊത്തം ഊർജ്ജം, ΔW- ഒരു കാലയളവിൽ ഊർജ്ജം വിനിയോഗിച്ചു. കുറഞ്ഞ ഊർജ്ജം വിനിയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഗുണനിലവാര ഘടകം വർദ്ധിക്കുന്നു. കണക്കുകൾ കാണിക്കുന്നത്

Q = = pN e = = . (64)

എന്നിരുന്നാലും, ഗുണനിലവാര ഘടകം ലോഗരിഥമിക് അറ്റൻവേഷൻ ഡിക്രിമെന്റിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണ്. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (64) ഗുണനിലവാര ഘടകം ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് ആനുപാതികമാണ് എൻ ഇവിശ്രമവേളയിൽ സിസ്റ്റം നിർവഹിച്ചു.

7) സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജം t സമയത്തെ സിസ്റ്റം, സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം ഡബ്ല്യുഏറ്റവും വലിയ വ്യതിയാനത്തിൽ 0:

ഡബ്ല്യു = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

അവയുടെ ഊർജ്ജം 100 മടങ്ങ് കുറഞ്ഞാൽ (വ്യാപ്തി 10 മടങ്ങ് കുറഞ്ഞു) ആന്ദോളനങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി നിലച്ചതായി പരമ്പരാഗതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. സിസ്റ്റം നടത്തുന്ന ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

എൻ = = . (66)

9. നിർബന്ധിത വൈബ്രേഷനുകൾ. അനുരണനം. അപീരിയോഡിക് ആന്ദോളനങ്ങൾ. സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങൾ.

സിസ്റ്റത്തിന് അൺഡാംഡ് ആന്ദോളനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിന്, പുറത്തുനിന്നുള്ള ഘർഷണം മൂലം ആന്ദോളന ഊർജ്ജത്തിന്റെ നഷ്ടം നികത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആന്ദോളന ഊർജ്ജം കുറയുന്നില്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, സിസ്റ്റത്തിൽ ഇടയ്ക്കിടെ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ശക്തി സാധാരണയായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു (അത്തരമൊരു ശക്തിയെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും. നിർബന്ധിക്കുന്നു, ആന്ദോളനങ്ങൾ നിർബന്ധിതമാണ്).

നിർവ്വചനം: നിർബന്ധിച്ചുബാഹ്യ ആനുകാലികമായി മാറുന്ന ശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ഒരു ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിൽ സംഭവിക്കുന്ന ആന്ദോളനങ്ങളാണ് ഇവ.

ഈ ശക്തി സാധാരണയായി ഇരട്ട പങ്ക് വഹിക്കുന്നു:

ഒന്നാമതായി, ഇത് സിസ്റ്റത്തെ കുലുക്കുകയും ഒരു നിശ്ചിത അളവിൽ ഊർജ്ജം നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു;

രണ്ടാമതായി, പ്രതിരോധത്തിന്റെയും ഘർഷണത്തിന്റെയും ശക്തികളെ മറികടക്കാൻ ഇത് ഇടയ്ക്കിടെ ഊർജ്ജ നഷ്ടം (ഊർജ്ജ ഉപഭോഗം) നികത്തുന്നു.

നിയമമനുസരിച്ച് കാലക്രമേണ ചാലകശക്തി മാറട്ടെ:

.

അത്തരമൊരു ശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായി നമുക്ക് ചലനത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യം രചിക്കാം. ഒരു അർദ്ധ-ഇലാസ്റ്റിക് ശക്തിയും മാധ്യമത്തിന്റെ പ്രതിരോധ ശക്തിയും സിസ്റ്റത്തെ ബാധിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു (ചെറിയ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ അനുമാനത്തിൽ ഇത് ശരിയാണ്). അപ്പോൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചലന സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

അഥവാ .

,, - സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തി, മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഒരു അസമമായ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം 2 ലഭിക്കും. thഓർഡർ:

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു അസമമായ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഒരു ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന്റെയും ഒരു അസമമായ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന്റെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് അറിയാം.

ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം അറിയപ്പെടുന്നു:

,

എവിടെ ; എ 0 ഒപ്പം എ- ഏകപക്ഷീയമായ കോൺസ്റ്റ്.

.

ഒരു വെക്റ്റർ ഡയഗ്രം ഉപയോഗിച്ച്, ഈ അനുമാനം ശരിയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് സ്ഥിരീകരിക്കാനും മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാനും കഴിയും. എ" ഒപ്പം " ജെ”.

ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

.

അർത്ഥം " ജെ”, ഇത് നിർബന്ധിത ആന്ദോളനത്തിന്റെ ഘട്ടം കാലതാമസത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയാണ് അത് നിർണ്ണയിച്ച ചാലകശക്തിയിൽ നിന്ന്, വെക്റ്റർ ഡയഗ്രാമിൽ നിന്നും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

.

അവസാനമായി, അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം രൂപം നൽകും:

(8.18)

ഈ ഫംഗ്ഷൻ, കൂടിച്ചേർന്ന്

(8.19)

നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വഭാവം വിവരിക്കുന്ന ഒരു അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം നൽകുന്നു. പദം (8.19) പ്രക്രിയയുടെ പ്രാരംഭ ഘട്ടത്തിൽ, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സ്ഥാപനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സമയത്ത് (ചിത്രം 8.10) ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. കാലക്രമേണ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഘടകം കാരണം, രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന്റെ (8.19) പങ്ക് കൂടുതൽ കൂടുതൽ കുറയുന്നു, മതിയായ സമയത്തിന് ശേഷം അത് അവഗണിക്കാം, ലായനിയിൽ (8.18) മാത്രം നിലനിർത്തുന്നു.

അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ (8.18) സ്ഥിരമായ നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളെ വിവരിക്കുന്നു. ചാലകശക്തിയുടെ ആവൃത്തിക്ക് തുല്യമായ ആവൃത്തിയിലുള്ള ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളെ അവ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി ചാലകശക്തിയുടെ വ്യാപ്തിക്ക് ആനുപാതികമാണ്. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന് (w 0, b എന്നിവയാൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്), വ്യാപ്തി ചാലകശക്തിയുടെ ആവൃത്തിയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങൾ ഘട്ടത്തിൽ ഡ്രൈവിംഗ് ഫോഴ്‌സിന് പിന്നിലാണ്, കൂടാതെ "j" ലാഗിന്റെ വ്യാപ്തിയും ചാലകശക്തിയുടെ ആവൃത്തിയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചാലകശക്തിയുടെ ആവൃത്തിയിൽ നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡിന്റെ ആശ്രിതത്വം ഒരു നിശ്ചിത സിസ്റ്റത്തിനായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ട ഒരു നിശ്ചിത ആവൃത്തിയിൽ, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി പരമാവധി മൂല്യത്തിൽ എത്തുന്നു എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഈ ആവൃത്തിയിലുള്ള ചാലകശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനത്തോട് ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റം പ്രത്യേകിച്ച് പ്രതികരിക്കുന്നു. ഈ പ്രതിഭാസത്തെ വിളിക്കുന്നു അനുരണനം, അനുബന്ധ ആവൃത്തി അനുരണന ആവൃത്തി.

നിർവ്വചനം: നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയിൽ മൂർച്ചയുള്ള വർദ്ധനവ് കാണപ്പെടുന്ന പ്രതിഭാസത്തെ വിളിക്കുന്നു അനുരണനം.

നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയുടെ പരമാവധി അവസ്ഥയിൽ നിന്നാണ് അനുരണന ആവൃത്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നത്:

. (8.20)

തുടർന്ന്, ഈ മൂല്യം വ്യാപ്തിയുടെ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

. (8.21)

ഇടത്തരം പ്രതിരോധത്തിന്റെ അഭാവത്തിൽ, അനുരണനത്തിലെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി അനന്തതയിലേക്ക് മാറും; അതേ അവസ്ഥയിലുള്ള അനുരണന ആവൃത്തി (b=0) ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയുടെ ആശ്രിതത്വം ചാലകശക്തിയുടെ ആവൃത്തിയിൽ (അല്ലെങ്കിൽ, ആന്ദോളന ആവൃത്തിയിൽ സമാനമാണ്) ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (ചിത്രം 8.11). വ്യക്തിഗത വക്രങ്ങൾ "ബി" യുടെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. "b" ചെറുതാകുമ്പോൾ, ഈ വക്രത്തിന്റെ പരമാവധി ഉയരവും വലത്തോട്ടും കിടക്കുന്നു (w res എന്നതിന്റെ പദപ്രയോഗം കാണുക.). വളരെ ഉയർന്ന ഡാംപിംഗ് ഉപയോഗിച്ച്, അനുരണനം നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നില്ല - വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ആവൃത്തിയിൽ, നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി ഏകതാനമായി കുറയുന്നു (ചിത്രം 8.11 ലെ താഴ്ന്ന വക്രം).

ബിയുടെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അവതരിപ്പിച്ച ഗ്രാഫുകളുടെ സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു അനുരണന വളവുകൾ.

കുറിപ്പുകൾഅനുരണന വക്രങ്ങളെക്കുറിച്ച്:

w®0 പ്രവണത പോലെ, എല്ലാ കർവുകളും തുല്യമായ പൂജ്യമല്ലാത്ത മൂല്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു. ഈ മൂല്യം ഒരു സ്ഥിരമായ ശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിന് ലഭിക്കുന്ന സന്തുലിത സ്ഥാനത്ത് നിന്നുള്ള സ്ഥാനചലനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. എഫ് 0 .

w®¥ എല്ലാ വളവുകളും ലക്ഷണരഹിതമായി പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, കാരണം ഉയർന്ന ആവൃത്തിയിൽ, ബലം അതിന്റെ ദിശ വളരെ വേഗത്തിൽ മാറ്റുന്നു, സിസ്റ്റത്തിന് അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ശ്രദ്ധേയമായി മാറാൻ സമയമില്ല.

ചെറിയ b, ആവൃത്തിയിൽ അനുരണനത്തിനടുത്തുള്ള ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് മാറുമ്പോൾ, "മൂർച്ചയുള്ളത്" പരമാവധി.

അനുരണനത്തിന്റെ പ്രതിഭാസം പലപ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് ശബ്ദശാസ്ത്രത്തിലും റേഡിയോ എഞ്ചിനീയറിംഗിലും.

സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങൾ- രേഖീയമല്ലാത്ത ഫീഡ്‌ബാക്ക് ഉള്ള ഡിസിപ്പേറ്റീവ് ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റത്തിലെ അൺഡാംഡ് ആന്ദോളനങ്ങൾ, സ്ഥിരമായ ഊർജ്ജം പിന്തുണയ്ക്കുന്നു, അതായത് ആനുകാലികമല്ലാത്തത്ബാഹ്യ സ്വാധീനം.

സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ് നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങൾകാരണം രണ്ടാമത്തേത് കാരണമാകുന്നു ആനുകാലികംബാഹ്യ സ്വാധീനം ഈ സ്വാധീനത്തിന്റെ ആവൃത്തിയിൽ സംഭവിക്കുന്നു, അതേസമയം സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങളും അവയുടെ ആവൃത്തിയും സ്വയം ആന്ദോളന വ്യവസ്ഥയുടെ ആന്തരിക ഗുണങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

കാലാവധി സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങൾ 1928-ൽ A. A. ആൻഡ്രോനോവ് റഷ്യൻ പദാവലിയിൽ അവതരിപ്പിച്ചു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ[

സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

· വളഞ്ഞ ഭാരത്തിന്റെ ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ നിരന്തരമായ പ്രവർത്തനം കാരണം ക്ലോക്ക് പെൻഡുലത്തിന്റെ അൺഡാംഡ് ആന്ദോളനങ്ങൾ;

ഒരേപോലെ ചലിക്കുന്ന വില്ലിന്റെ സ്വാധീനത്തിൽ വയലിൻ സ്ട്രിംഗ് വൈബ്രേഷനുകൾ

· സ്ഥിരമായ വിതരണ വോൾട്ടേജിൽ മൾട്ടിവിബ്രേറ്റർ സർക്യൂട്ടുകളിലും മറ്റ് ഇലക്ട്രോണിക് ജനറേറ്ററുകളിലും ആൾട്ടർനേറ്റ് കറന്റ് ഉണ്ടാകുന്നത്;

· അവയവത്തിന്റെ പൈപ്പിലെ എയർ കോളത്തിന്റെ ആന്ദോളനം, അതിലേക്ക് ഒരു ഏകീകൃത വായു വിതരണം. (നിലക്കുന്ന തരംഗവും കാണുക)

കാന്തത്തിൽ നിന്ന് സസ്പെൻഡ് ചെയ്ത് വളച്ചൊടിച്ച ഉരുക്ക് അച്ചുതണ്ടുള്ള പിച്ചള ക്ലോക്ക് ഗിയറിന്റെ ഭ്രമണ വൈബ്രേഷനുകൾ (ഗമാസ്കോവിന്റെ പരീക്ഷണം) (ഒരു യൂണിപോളാർ ജനറേറ്ററിലെന്നപോലെ ചക്രത്തിന്റെ ഗതികോർജ്ജം ഒരു വൈദ്യുത മണ്ഡലത്തിന്റെ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജിയായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി ഒരു യൂണിപോളാർ മോട്ടോറിലെന്നപോലെ വൈദ്യുത മണ്ഡലം ചക്രത്തിന്റെ ഗതികോർജ്ജമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.)

മക്ലാക്കോവിന്റെ ചുറ്റിക

ഒരു ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടിലെ വൈദ്യുതധാരയുടെ ആവൃത്തിയേക്കാൾ പലമടങ്ങ് കുറഞ്ഞ ആവൃത്തിയിലുള്ള ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് കറന്റ് എനർജി ഉപയോഗിച്ച് അടിക്കുന്ന ചുറ്റിക.

ഓസ്‌സിലേറ്റിംഗ് സർക്യൂട്ടിന്റെ കോയിൽ എൽ മേശയുടെ മുകളിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ അടിക്കേണ്ട മറ്റ് വസ്തുക്കൾ). താഴെ നിന്ന് ഒരു ഇരുമ്പ് ട്യൂബ് പ്രവേശിക്കുന്നു, അതിന്റെ താഴത്തെ അറ്റം ചുറ്റികയുടെ ശ്രദ്ധേയമായ ഭാഗമാണ്. ഫൂക്കോ വൈദ്യുത പ്രവാഹങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന് ട്യൂബിന് ലംബമായ സ്ലോട്ട് ഉണ്ട്. ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടിന്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ അതിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തി സർക്യൂട്ടിലെ വൈദ്യുതധാരയുടെ ആവൃത്തിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നവയാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, ആൾട്ടർനേറ്റ് സിറ്റി കറന്റ്, 50 ഹെർട്സ്).

കറന്റ് ഓണാക്കി ആന്ദോളനങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ച ശേഷം, സർക്യൂട്ടിന്റെയും ബാഹ്യ സർക്യൂട്ടിന്റെയും വൈദ്യുതധാരകളുടെ അനുരണനം നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, ഇരുമ്പ് ട്യൂബ് കോയിലിലേക്ക് വലിച്ചിടുന്നു. കോയിലിന്റെ ഇൻഡക്‌ടൻസ് വർദ്ധിക്കുന്നു, ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ട് അനുരണനത്തിന് പുറത്ത് പോകുന്നു, കോയിലിലെ നിലവിലെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി കുറയുന്നു. അതിനാൽ, ട്യൂബ് അതിന്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനത്തേക്ക് മടങ്ങുന്നു - കോയിലിന് പുറത്ത് - ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ സ്വാധീനത്തിൽ. അപ്പോൾ സർക്യൂട്ടിനുള്ളിലെ നിലവിലെ ആന്ദോളനങ്ങൾ വർദ്ധിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു, അനുരണനം വീണ്ടും സംഭവിക്കുന്നു: ട്യൂബ് വീണ്ടും കോയിലിലേക്ക് വലിച്ചിടുന്നു.

ട്യൂബ് ഉണ്ടാക്കുന്നു സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങൾ, അതായത്, ആനുകാലിക ചലനങ്ങൾ മുകളിലേക്കും താഴേക്കും, അതേ സമയം ഒരു ചുറ്റിക പോലെ ഉച്ചത്തിൽ മേശയിൽ മുട്ടുന്നു. ഈ മെക്കാനിക്കൽ സ്വയം-ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലയളവ് അവയെ പിന്തുണയ്ക്കുന്ന ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് കറന്റിനേക്കാൾ പതിനായിരക്കണക്കിന് മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്.

മോസ്കോ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് ഫിസിക്സ് ആൻഡ് ടെക്നോളജിയിലെ ലക്ചർ അസിസ്റ്റന്റായ എംഐ മക്ലാക്കോവിന്റെ പേരിലാണ് ചുറ്റികയ്ക്ക് പേര് നൽകിയിരിക്കുന്നത്, അദ്ദേഹം സ്വയം ആന്ദോളനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനായി അത്തരമൊരു പരീക്ഷണം നിർദ്ദേശിക്കുകയും നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്തു.

സ്വയം ആന്ദോളന സംവിധാനം

ചിത്രം 1.സ്വയം ആന്ദോളന സംവിധാനം

സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത സ്വഭാവമുണ്ടാകാം: മെക്കാനിക്കൽ, തെർമൽ, വൈദ്യുതകാന്തിക, രാസവസ്തു. വ്യത്യസ്ത സിസ്റ്റങ്ങളിൽ സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നതിനും പരിപാലിക്കുന്നതിനുമുള്ള സംവിധാനം ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെയും രസതന്ത്രത്തിന്റെയും വ്യത്യസ്ത നിയമങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാകാം. വ്യത്യസ്ത സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കൃത്യമായ അളവിലുള്ള വിവരണത്തിന്, വ്യത്യസ്ത ഗണിത ഉപകരണങ്ങൾ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സംവിധാനത്തെ ഗുണപരമായി വിവരിക്കുന്ന എല്ലാ സ്വയം-ആന്ദോളന സംവിധാനങ്ങൾക്കും പൊതുവായ ഒരു ഡയഗ്രം സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും (ചിത്രം 1).

ഡയഗ്രാമിൽ: എസ്- സ്ഥിരമായ (ആനുകാലികമല്ലാത്ത) സ്വാധീനത്തിന്റെ ഉറവിടം; ആർ- സ്ഥിരമായ ഒരു ഇഫക്ടിനെ വേരിയബിളാക്കി മാറ്റുന്ന ഒരു നോൺ-ലീനിയർ കൺട്രോളർ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഇടയ്ക്കിടെയുള്ള ഒന്നായി), അത് "സ്വിംഗ്" ചെയ്യുന്നു ഓസിലേറ്റർ വി- സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആന്ദോളന ഘടകം(കൾ), ഫീഡ്‌ബാക്ക് വഴിയുള്ള ഓസിലേറ്റർ ആന്ദോളനങ്ങൾ ബിറെഗുലേറ്ററിന്റെ പ്രവർത്തനം നിയന്ത്രിക്കുക ആർ, ചോദിക്കുന്നു ഘട്ടംഒപ്പം ആവൃത്തിഅവന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഒരു സ്വയം-ആന്ദോളന സംവിധാനത്തിലെ വിസർജ്ജനം (ഊർജ്ജ വിസർജ്ജനം) നിരന്തരമായ സ്വാധീനത്തിന്റെ ഉറവിടത്തിൽ നിന്ന് അതിലേക്ക് ഊർജ്ജം ഒഴുകുന്നതിലൂടെ നഷ്ടപരിഹാരം നൽകുന്നു, അതിനാൽ സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങൾ മരിക്കുന്നില്ല.

അരി. 2പെൻഡുലം ക്ലോക്കിന്റെ റാറ്റ്ചെറ്റ് മെക്കാനിസത്തിന്റെ ഡയഗ്രം

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആന്ദോളനം മൂലകത്തിന് സ്വന്തം കഴിവുണ്ടെങ്കിൽ നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങൾ(വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഹാർമോണിക് ഡിസ്സിപ്പേറ്റീവ് ഓസിലേറ്റർ), സ്വയം-ആന്ദോളനങ്ങൾ (ഈ കാലയളവിൽ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് തുല്യമായ വിസർജ്ജനവും ഊർജ്ജ ഇൻപുട്ടും ഉള്ളത്) ഒരു ആവൃത്തിയിൽ സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു അനുരണനംഈ ഓസിലേറ്ററിന്, അവയുടെ ആകൃതി ഹാർമോണിക്കിനോട് അടുക്കുന്നു, കൂടാതെ വ്യാപ്തി, ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണിയിലുള്ള മൂല്യങ്ങളിൽ, സ്ഥിരമായ ബാഹ്യ സ്വാധീനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഇത്തരത്തിലുള്ള സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഒരു പെൻഡുലം ക്ലോക്കിന്റെ റാറ്റ്ചെറ്റ് മെക്കാനിസമാണ്, ഇതിന്റെ ഡയഗ്രം ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 2. റാറ്റ്ചെറ്റ് വീൽ ആക്സിലിൽ എ(ഈ സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു നോൺ-ലീനിയർ റെഗുലേറ്ററിന്റെ പ്രവർത്തനം നിർവ്വഹിക്കുന്നു) ഒരു സ്ഥിരമായ ശക്തിയുണ്ട് എം, മെയിൻസ്പ്രിംഗിൽ നിന്നോ ഭാരത്തിൽ നിന്നോ ഗിയർ ട്രെയിനിലൂടെ കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ചക്രം കറങ്ങുമ്പോൾ എഅതിന്റെ പല്ലുകൾ പെൻഡുലത്തിലേക്ക് ശക്തിയുടെ ഹ്രസ്വകാല പ്രേരണകൾ നൽകുന്നു പി(ഓസിലേറ്റർ), അതിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങൾ മങ്ങാത്തതിന് നന്ദി. മെക്കാനിസത്തിന്റെ ചലനാത്മകത സിസ്റ്റത്തിലെ ഫീഡ്‌ബാക്കിന്റെ പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, ചക്രത്തിന്റെ ഭ്രമണം പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുമായി സമന്വയിപ്പിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ആന്ദോളനത്തിന്റെ മുഴുവൻ കാലഘട്ടത്തിലും ചക്രം ഒരു പല്ലിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു കോണിലൂടെ കറങ്ങുന്നു.

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത സ്വയം-ഓസിലേറ്റിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു അയച്ചുവിടല്. അവയിലെ വൈബ്രേഷനുകൾ ഹാർമോണിക് ഇനങ്ങളിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും, കൂടാതെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതോ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ളതോ ട്രപസോയ്ഡൽ ആകൃതിയിലുള്ളതോ ആകാം. വിശ്രമിക്കുന്ന സ്വയം-ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയും കാലയളവും നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സ്ഥിരമായ ആഘാതത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയുടെ അനുപാതവും സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വത്തിന്റെയും വിസർജ്ജനത്തിന്റെയും സവിശേഷതകളുമാണ്.

അരി. 3വൈദ്യുത മണി

റിലാക്സേഷൻ സെൽഫ് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഇലക്ട്രിക് ബെല്ലിന്റെ പ്രവർത്തനമാണ്. 3. ഇവിടെ സ്ഥിരമായ (ആനുകാലികമല്ലാത്ത) എക്സ്പോഷറിന്റെ ഉറവിടം ഒരു ഇലക്ട്രിക് ബാറ്ററിയാണ് യു; ഒരു നോൺലീനിയർ റെഗുലേറ്ററിന്റെ പങ്ക് ഒരു ചോപ്പർ നിർവ്വഹിക്കുന്നു ടി, ഒരു ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ട് അടയ്ക്കുകയും തുറക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിന്റെ ഫലമായി അതിൽ ഒരു ഇടവിട്ടുള്ള കറന്റ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു; വൈദ്യുതകാന്തികത്തിന്റെ കാമ്പിൽ ഇടയ്ക്കിടെ പ്രചോദിപ്പിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു കാന്തികക്ഷേത്രമാണ് ആന്ദോളന ഘടകങ്ങൾ ഇ, ഒപ്പം ആങ്കർ എ, ഒരു ഇതര കാന്തികക്ഷേത്രത്തിന്റെ സ്വാധീനത്തിൻ കീഴിൽ നീങ്ങുന്നു. ആർമേച്ചറിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങൾ ബ്രേക്കറിനെ സജീവമാക്കുന്നു, അത് ഫീഡ്ബാക്ക് രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഭൗതിക അളവുകളാൽ: അർമേച്ചറിന്റെ ജഡത്വത്തിന്റെ നിമിഷം എവൈദ്യുതകാന്തിക വിൻഡിംഗിന്റെ ഇൻഡക്‌ടൻസും ഇ. ഈ പരാമീറ്ററുകളിലേതെങ്കിലും വർദ്ധനവ് സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലഘട്ടത്തിൽ വർദ്ധനവിന് കാരണമാകുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൽ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്നതും ഒരേസമയം ഒരു നോൺ-ലീനിയർ റെഗുലേറ്ററിനേയോ റെഗുലേറ്ററുകളേയോ സ്വാധീനിക്കുന്ന നിരവധി ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ (അവയിൽ പലതും ഉണ്ടാകാം), സ്വയം-ആന്ദോളനങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സ്വഭാവം എടുക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, അപ്പീരിയോഡിക്, അഥവാ ചലനാത്മകമായ കുഴപ്പം.

പ്രകൃതിയിലും സാങ്കേതികവിദ്യയിലും

സ്വയം ആന്ദോളനം പല പ്രകൃതി പ്രതിഭാസങ്ങൾക്കും അടിവരയിടുന്നു:

ഏകീകൃത വായു പ്രവാഹത്തിന്റെ സ്വാധീനത്തിൽ സസ്യ ഇലകളുടെ വൈബ്രേഷനുകൾ;

· നദികളുടെ വിള്ളലുകളിലും റാപ്പിഡുകളിലും പ്രക്ഷുബ്ധമായ പ്രവാഹങ്ങളുടെ രൂപീകരണം;

സാധാരണ ഗെയ്സറുകളുടെ പ്രവർത്തനം മുതലായവ.

നിരവധി സാങ്കേതിക ഉപകരണങ്ങളുടെയും ഉപകരണങ്ങളുടെയും പ്രവർത്തന തത്വം സ്വയം ആന്ദോളനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടെ:

മെക്കാനിക്കൽ, ഇലക്ട്രിക്കൽ എന്നിങ്ങനെ എല്ലാത്തരം ക്ലോക്കുകളുടെയും പ്രവർത്തനം;

· എല്ലാ കാറ്റിന്റെയും തന്ത്രി സംഗീത ഉപകരണങ്ങളുടെയും ശബ്ദം;

©2015-2019 സൈറ്റ്
എല്ലാ അവകാശങ്ങളും അവയുടെ രചയിതാക്കൾക്കുള്ളതാണ്. ഈ സൈറ്റ് കർത്തൃത്വം അവകാശപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ സൗജന്യ ഉപയോഗം നൽകുന്നു.
പേജ് സൃഷ്‌ടിച്ച തീയതി: 2017-04-04

ഓസിലേറ്ററി ചലനം- ഒരു ശരീരത്തിന്റെ ആനുകാലികമോ മിക്കവാറും ആനുകാലികമോ ആയ ചലനം, സമയത്തിന്റെ തുല്യ ഇടവേളകളിൽ ഏകദേശ, വേഗത, ത്വരണം എന്നിവ ഏകദേശം ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

ഒരു ശരീരം സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുമ്പോൾ, ശരീരത്തെ തിരികെ കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിക്കുന്ന ഒരു ശക്തി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമ്പോൾ മെക്കാനിക്കൽ വൈബ്രേഷനുകൾ സംഭവിക്കുന്നു.

സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ശരീരത്തിന്റെ വ്യതിചലനമാണ് ഡിസ്പ്ലേസ്മെന്റ് x.

ശരീരത്തിന്റെ പരമാവധി സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ മൊഡ്യൂളാണ് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് എ.

ആന്ദോളന കാലയളവ് T - ഒരു ആന്ദോളനത്തിന്റെ സമയം:

ആന്ദോളന ആവൃത്തി

ഒരു യൂണിറ്റ് സമയത്തിന് ഒരു ശരീരം നടത്തുന്ന ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണം: ആന്ദോളനങ്ങളിൽ, വേഗതയും ത്വരിതവും ഇടയ്ക്കിടെ മാറുന്നു. സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ, വേഗത പരമാവധി ആണ്, ത്വരണം പൂജ്യമാണ്. പരമാവധി സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ പോയിന്റുകളിൽ, ആക്സിലറേഷൻ പരമാവധി എത്തുകയും വേഗത പൂജ്യമാവുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷൻ ഷെഡ്യൂൾ

ഹാർമോണിക്സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ നിയമം അനുസരിച്ച് സംഭവിക്കുന്ന വൈബ്രേഷനുകളെ വിളിക്കുന്നു:

ഇവിടെ x(t) എന്നത് t എന്ന സമയത്ത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്ഥാനചലനം ആണ്, A എന്നത് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് ആണ്, ω എന്നത് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ചാക്രിക ആവൃത്തിയാണ്.

ശരീരത്തിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ലംബമായ അച്ചുതണ്ടിലൂടെയും സമയം തിരശ്ചീന അച്ചുതണ്ടിലൂടെയും നിങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ആന്ദോളനത്തിന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് ലഭിക്കും x = x (t) - കൃത്യസമയത്ത് ശരീരത്തിന്റെ സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വം. സ്വതന്ത്ര ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങൾക്ക്, ഇത് ഒരു സൈൻ വേവ് അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ തരംഗമാണ്. ഡിസ്പ്ലേസ്മെന്റ് x ന്റെ ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ ഗ്രാഫുകൾ, വേഗത V x ന്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ, കൃത്യസമയത്ത് a x ആക്സിലറേഷൻ എന്നിവ ചിത്രം കാണിക്കുന്നു.

ഗ്രാഫുകളിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, പരമാവധി സ്ഥാനചലനം x-ൽ, ആന്ദോളന ശരീരത്തിന്റെ വേഗത V പൂജ്യമാണ്, ആക്സിലറേഷൻ a, അതിനാൽ ശരീരത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലം പരമാവധി, സ്ഥാനചലനത്തിന് വിപരീതമായി നയിക്കപ്പെടുന്നു. സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ, സ്ഥാനചലനവും ത്വരണവും പൂജ്യമായി മാറുന്നു, വേഗത പരമാവധി ആണ്. ആക്സിലറേഷൻ പ്രൊജക്ഷന് എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥാനചലനത്തിന് വിപരീത ചിഹ്നമുണ്ട്.

വൈബ്രേഷൻ ചലനത്തിന്റെ ഊർജ്ജം

ആന്ദോളനമുള്ള ശരീരത്തിന്റെ മൊത്തം മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം അതിന്റെ ചലനാത്മകവും സാധ്യതയുള്ളതുമായ ഊർജ്ജങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഘർഷണത്തിന്റെ അഭാവത്തിൽ സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു:

സ്ഥാനചലനം പരമാവധി x = A-ൽ എത്തുമ്പോൾ, വേഗതയും അതോടൊപ്പം ഗതികോർജ്ജവും പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മൊത്തം ഊർജ്ജം സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഒരു ആന്ദോളന ശരീരത്തിന്റെ മൊത്തം മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം അതിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയുടെ ചതുരത്തിന് ആനുപാതികമാണ്.

സിസ്റ്റം സന്തുലിതാവസ്ഥ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, സ്ഥാനചലനവും സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജവും പൂജ്യമാണ്: x = 0, E p = 0. അതിനാൽ, മൊത്തം ഊർജ്ജം ഗതികോർജ്ജത്തിന് തുല്യമാണ്:

ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ശരീരത്തിന്റെ മൊത്തം മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം സന്തുലിതാവസ്ഥയിലുള്ള അതിന്റെ വേഗതയുടെ വർഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികമാണ്. അതിനാൽ:

ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലം

1. ഗണിത പെൻഡുലംഭാരമില്ലാത്ത അവിഭാജ്യ ത്രെഡിൽ സസ്പെൻഡ് ചെയ്ത ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റാണ്.

സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ, ഗുരുത്വാകർഷണബലം ത്രെഡിന്റെ പിരിമുറുക്കത്താൽ നഷ്ടപരിഹാരം നൽകുന്നു. പെൻഡുലം വ്യതിചലിക്കുകയും പുറത്തുവിടുകയും ചെയ്താൽ, ശക്തികൾ പരസ്പരം നഷ്ടപരിഹാരം നൽകുന്നത് അവസാനിപ്പിക്കും, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒരു ശക്തി സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടും. ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം:

ചെറിയ ആന്ദോളനങ്ങൾക്ക്, സ്ഥാനചലനം x l നേക്കാൾ വളരെ കുറവായിരിക്കുമ്പോൾ, മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ് ഏതാണ്ട് തിരശ്ചീനമായ x അക്ഷത്തിൽ നീങ്ങും. MAB ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

കാരണം sin a = x/l, അപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന R ന്റെ x അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ തുല്യമാണ്

മൈനസ് ചിഹ്നം കാണിക്കുന്നത്, ഫോഴ്‌സ് R എല്ലായ്പ്പോഴും ഡിസ്പ്ലേസ്‌മെന്റ് x ന് എതിർവശത്താണ്.

2. അതിനാൽ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളിലും അതുപോലെ സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളിലും, പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്ന ശക്തി സ്ഥാനചലനത്തിന് ആനുപാതികമാണ്, അത് വിപരീത ദിശയിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര, സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലങ്ങളുടെ ശക്തി പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം:

mg/l എന്നത് k യുടെ അനലോഗ് ആണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും. ഒരു സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലത്തിന്റെ കാലയളവിനുള്ള ഫോർമുലയിൽ k മാറ്റി mg/l

ഒരു ഗണിത പെൻഡുലത്തിന്റെ കാലയളവിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലത്തിന്റെ ചെറിയ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലഘട്ടം വ്യാപ്തിയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത സ്ഥലത്ത് സമയം അളക്കാനും ഗുരുത്വാകർഷണ ത്വരണം നിർണ്ണയിക്കാനും ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വ്യതിചലനത്തിന്റെ ചെറിയ കോണുകളിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര ആന്ദോളനങ്ങൾ ഹാർമോണിക് ആണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഗുരുത്വാകർഷണബലം, ത്രെഡിന്റെ പിരിമുറുക്കം, ലോഡിന്റെ നിഷ്ക്രിയത്വം എന്നിവ മൂലമാണ് അവ സംഭവിക്കുന്നത്. ഈ ശക്തികളുടെ ഫലമാണ് പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്ന ശക്തി.

ഉദാഹരണം. 6.25 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു പെൻഡുലത്തിന് 3.14 സെക്കൻഡ് ഫ്രീ ആന്ദോളനമുള്ള ഒരു ഗ്രഹത്തിൽ ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം നിർണ്ണയിക്കുക.

ഒരു ഗണിത പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളന കാലയളവ് ത്രെഡിന്റെ നീളത്തെയും ഗുരുത്വാകർഷണ ത്വരിതത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വർഗ്ഗീകരിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉത്തരം:ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ ത്വരണം 25 m/s 2 ആണ്.

വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളും പരിശോധനകളും "വിഷയം 4. "മെക്കാനിക്സ്. ആന്ദോളനങ്ങളും തിരമാലകളും."

• തിരശ്ചീനവും രേഖാംശവുമായ തരംഗങ്ങൾ. തരംഗദൈർഘ്യം

  പാഠങ്ങൾ: 3 അസൈൻമെന്റുകൾ: 9 ടെസ്റ്റുകൾ: 1

• ശബ്ദ തരംഗങ്ങൾ. ശബ്ദ വേഗത - മെക്കാനിക്കൽ വൈബ്രേഷനുകളും തരംഗങ്ങളും. ശബ്ദം ഒമ്പതാം ക്ലാസ്

ഞങ്ങൾ ശാരീരികമായി തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ നിരവധി സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു, ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു എന്ന് ഉറപ്പുവരുത്തി.

ഭൗതിക സംവിധാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ അളവിന്റെ വ്യത്യസ്ത നിർവചനങ്ങളിൽ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ വേരിയബിളിന്റെ വ്യത്യസ്ത ശാരീരിക ഇന്ദ്രിയങ്ങളിലും x: ഇത് ഒരു കോർഡിനേറ്റ്, ആംഗിൾ, ചാർജ്, കറന്റ് മുതലായവ ആകാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ (1.18) ഘടനയിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, അളവിന് എല്ലായ്പ്പോഴും വിപരീത സമയത്തിന്റെ അളവ് ഉണ്ടായിരിക്കും.

സമവാക്യം (1.18) വിളിക്കപ്പെടുന്നതിനെ വിവരിക്കുന്നു ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകൾ.

ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷൻ സമവാക്യം (1.18) ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ് (ഇതിൽ വേരിയബിളിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ x). സമവാക്യത്തിന്റെ രേഖീയത അർത്ഥമാക്കുന്നത്

ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ x(t)ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമാണ്, പിന്നെ ഫംഗ്ഷൻ Cx(t)അവന്റെ പരിഹാരവും ആയിരിക്കും ( സി- ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം);

പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ x 1(t)ഒപ്പം x 2(t)ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണ്, പിന്നെ അവയുടെ ആകെത്തുക x 1 (t) + x 2 (t)അതേ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരവും ആയിരിക്കും.

ഒരു ഗണിത സിദ്ധാന്തവും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, അതനുസരിച്ച് ഒരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. രേഖീയതയുടെ ഗുണങ്ങൾ അനുസരിച്ച് മറ്റെല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും അവയുടെ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷനുകളായി ലഭിക്കും. സ്വതന്ത്രമായ പ്രവർത്തനങ്ങളും സമവാക്യം (1.18) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതും നേരിട്ടുള്ള വ്യത്യാസത്തിലൂടെ പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

എവിടെ സി 1,സി 2- അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. ഈ പരിഹാരം മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. നമുക്ക് മൂല്യം നൽകാം

ബന്ധങ്ങളാൽ കോൺ നിർണ്ണയിക്കുക:

അപ്പോൾ പൊതുവായ പരിഹാരം (1.19) എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു

ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം തുല്യമാണ്

ഞങ്ങൾ ഒടുവിൽ വരുന്നു ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷൻ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരംഇങ്ങനെ:

നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത മൂല്യം എവിളിച്ചു വൈബ്രേഷൻ വ്യാപ്തി, - ആന്ദോളനത്തിന്റെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം. മുഴുവൻ കോസൈൻ ആർഗ്യുമെന്റും - കോമ്പിനേഷൻ - വിളിക്കുന്നു ആന്ദോളനം ഘട്ടം.

എക്സ്പ്രഷനുകൾ (1.19), (1.23) എന്നിവ പൂർണ്ണമായും തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ലാളിത്യത്തിന്റെ പരിഗണനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് അവയിലേതെങ്കിലും ഉപയോഗിക്കാം. രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളും സമയത്തിന്റെ ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. തീർച്ചയായും, സൈനും കോസൈനും ഒരു കാലഘട്ടത്തോടുകൂടിയ ആനുകാലികമാണ് . അതിനാൽ, ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങൾ നടത്തുന്ന ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിവിധ അവസ്ഥകൾ ഒരു കാലയളവിനുശേഷം ആവർത്തിക്കുന്നു ടി*, ഈ സമയത്ത് ആന്ദോളന ഘട്ടത്തിന് ഗുണിതമായ ഒരു വർദ്ധനവ് ലഭിക്കുന്നു :

അത് പിന്തുടരുന്നു

ഈ സമയങ്ങളിൽ ഏറ്റവും കുറവ്

വിളിച്ചു ആന്ദോളനത്തിന്റെ കാലഘട്ടം (ചിത്രം 1.8), കൂടാതെ - അവന്റെ വൃത്താകൃതി (ചാക്രിക) ആവൃത്തി.

അരി. 1.8

അവരും ഉപയോഗിക്കുന്നു ആവൃത്തി ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ

അതനുസരിച്ച്, വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ആവൃത്തി ഓരോ ആന്ദോളനങ്ങളുടെയും എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് സെക്കന്റുകൾ

അങ്ങനെ, സമയത്ത് സിസ്റ്റം എങ്കിൽ ടിവേരിയബിളിന്റെ മൂല്യത്താൽ സവിശേഷത x(t),അപ്പോൾ വേരിയബിളിന് ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിനു ശേഷം അതേ മൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും (ചിത്രം 1.9), അതായത്

അതേ അർത്ഥം സ്വാഭാവികമായും കാലക്രമേണ ആവർത്തിക്കും 2T, ZTതുടങ്ങിയവ.

അരി. 1.9 ആന്ദോളന കാലയളവ്

പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു ( സി 1, സി 2അഥവാ എ, എ), ഇവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ രണ്ടായി നിർണ്ണയിക്കണം പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ. സാധാരണയായി (ആവശ്യമില്ലെങ്കിലും) അവയുടെ പങ്ക് വഹിക്കുന്നത് വേരിയബിളിന്റെ പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങളാണ് x(0)അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും.

ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം (1.19) ഒരു സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലത്തിന്റെ ചലനത്തെ വിവരിക്കട്ടെ. അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നാം പെൻഡുലത്തെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുത്ത രീതിയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ സ്പ്രിംഗ് ദൂരത്തേക്ക് വലിച്ചു പ്രാരംഭ വേഗതയില്ലാതെ പന്ത് വിടുകയും ചെയ്തു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ

പകരം വയ്ക്കുന്നത് t = 0(1.19) ൽ, സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു സി 2

പരിഹാരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ലോഡിന്റെ വേഗത കണ്ടെത്തുന്നു

ഇവിടെ പകരം വയ്ക്കുന്നു ടി = 0, സ്ഥിരാങ്കം കണ്ടെത്തുക സി 1:

ഒടുവിൽ

(1.23) മായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയാണ്, അതിന്റെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം പൂജ്യമാണ്: .

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു രീതിയിൽ പെൻഡുലം അസന്തുലിതമാക്കാം. നമുക്ക് ലോഡ് അമർത്താം, അങ്ങനെ അത് ഒരു പ്രാരംഭ വേഗത കൈവരിക്കും, പക്ഷേ ആഘാതത്തിൽ പ്രായോഗികമായി നീങ്ങുന്നില്ല. അപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് മറ്റ് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉണ്ട്:

ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു

ലോഡിന്റെ വേഗത നിയമം അനുസരിച്ച് മാറും:

നമുക്ക് ഇവിടെ പകരം വയ്ക്കാം:

ആനുകാലികമായി ആവർത്തിക്കുന്ന ഏതൊരു ചലനത്തെയും ഓസിലേറ്ററി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമയത്ത് ശരീരത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആശ്രിതത്വവും വേഗതയും സമയത്തിന്റെ ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളാൽ വിവരിക്കപ്പെടുന്നു. സ്‌കൂൾ ഫിസിക്‌സ് കോഴ്‌സിൽ, ശരീരത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വവും വേഗതയും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളാകുന്ന വൈബ്രേഷനുകൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. , അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ സംയോജനം, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ എവിടെയാണ്. അത്തരം ആന്ദോളനങ്ങളെ ഹാർമോണിക് (പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം പലപ്പോഴും ഹാർമോണിക് ഫംഗ്ഷനുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു). ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ പ്രോഗ്രാമിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ആന്ദോളനങ്ങളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ആന്ദോളന ചലനത്തിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകളുടെ നിർവചനങ്ങൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്: വ്യാപ്തി, കാലയളവ്, ആവൃത്തി, വൃത്താകൃതിയിലുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ ചാക്രിക) ആവൃത്തി, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടം. നമുക്ക് ഈ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുകയും ലിസ്റ്റുചെയ്ത അളവുകൾ കൃത്യസമയത്ത് ബോഡി കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യാം, ഇത് ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

എവിടെയാണ്, ചില സംഖ്യകൾ.

ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി അതിന്റെ സന്തുലിത സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ശരീരത്തിന്റെ പരമാവധി വ്യതിയാനമാണ്. (11.1) ലെ കോസൈന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ ± 1 ന് തുല്യമായതിനാൽ, ശരീരത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് (11.1) തുല്യമാണ്. ശരീരത്തിന്റെ ചലനം ആവർത്തിക്കപ്പെടുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സമയമാണ് ആന്ദോളന കാലയളവ്. ആശ്രിതത്വത്തിന് (11.1), ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് കാലയളവ് സജ്ജമാക്കാം. കാലയളവിനൊപ്പം ഒരു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണ് കോസൈൻ. അതിനാൽ, അത്തരമൊരു മൂല്യത്തിലൂടെ ചലനം പൂർണ്ണമായും ആവർത്തിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും

ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ ചാക്രിക) ആവൃത്തി എന്നത് ഒരു യൂണിറ്റ് സമയത്തിൽ നടത്തുന്ന ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (11.3) വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ആവൃത്തി ഫോർമുലയിൽ നിന്നുള്ള അളവാണ് (11.1) എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

ആന്ദോളന ഘട്ടം ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷന്റെ വാദമാണ്, അത് കൃത്യസമയത്ത് കോർഡിനേറ്റിന്റെ ആശ്രിതത്വത്തെ വിവരിക്കുന്നു. സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (11.1) ശരീരത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടം, ആശ്രിതത്വം (11.1) വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന ചലനം തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. . സമയം = 0 ആന്ദോളന ഘട്ടത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആശ്രിതത്വത്തിന് (11.1), ആന്ദോളനങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം തുല്യമാണ്. വ്യക്തമായും, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം സമയ റഫറൻസ് പോയിന്റിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (നിമിഷം = 0), അത് എല്ലായ്പ്പോഴും സോപാധികമാണ്. സമയത്തിന്റെ ഉത്ഭവം മാറ്റുന്നതിലൂടെ, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം, കൂടാതെ ഫോർമുലയിലെ (11.1) സൈൻ ഒരു കോസൈനാക്കി മാറ്റാം അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും ചെയ്യാം.

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ പ്രോഗ്രാമിൽ സ്പ്രിംഗ്, ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലങ്ങളുടെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ആവൃത്തിക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലത്തെ സാധാരണയായി ഒരു സ്പ്രിംഗിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് കീഴിൽ മിനുസമാർന്ന തിരശ്ചീന പ്രതലത്തിൽ ആന്ദോളനം ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ബോഡി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ രണ്ടാമത്തെ അറ്റം ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഇടത് ചിത്രം). ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലം ഒരു വലിയ ശരീരമാണ്, അതിന്റെ അളവുകൾ അവഗണിക്കാം, നീളമുള്ളതും ഭാരമില്ലാത്തതും നീളമില്ലാത്തതുമായ ഒരു ത്രെഡിൽ (വലത് ചിത്രം) ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്നു. ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പേര്, "ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലം", അത് ഒരു അമൂർത്തത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന വസ്തുതയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രംയഥാർത്ഥ മാതൃക ( ശാരീരികമായ) പെൻഡുലം. സ്പ്രിംഗ്, ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലങ്ങളുടെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലഘട്ടത്തിന്റെ (അല്ലെങ്കിൽ ആവൃത്തി) സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലത്തിന്

ത്രെഡിന്റെ നീളം എവിടെയാണ്, ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ ത്വരണം. പ്രശ്‌നപരിഹാരത്തിന്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ നിർവചനങ്ങളുടെയും നിയമങ്ങളുടെയും പ്രയോഗം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ലോഡിലെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ചാക്രിക ആവൃത്തി കണ്ടെത്തുന്നതിന് ചുമതല 11.1.1നമുക്ക് ആദ്യം ആന്ദോളനത്തിന്റെ കാലഘട്ടം കണ്ടെത്താം, തുടർന്ന് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക (11.2). 10 m 28 s എന്നത് 628 സെക്കന്റ് ആയതിനാൽ, ഈ സമയത്ത് ലോഡ് 100 തവണ ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, ലോഡിന്റെ ആന്ദോളനത്തിന്റെ കാലഘട്ടം 6.28 സെക്കന്റ് ആണ്. അതിനാൽ, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ചാക്രിക ആവൃത്തി 1 സെ -1 ആണ് (ഉത്തരം 2 ). IN പ്രശ്നം 11.1.2ലോഡ് 600 സെക്കന്റിൽ 60 ആന്ദോളനങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കി, അതിനാൽ ആന്ദോളന ആവൃത്തി 0.1 സെ -1 ആണ് (ഉത്തരം 1 ).

ലോഡ് 2.5 കാലഘട്ടങ്ങളിൽ സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരം മനസ്സിലാക്കാൻ ( പ്രശ്നം 11.1.3), നമുക്ക് അവന്റെ പ്രസ്ഥാനത്തെ പിന്തുടരാം. ഒരു കാലയളവിനുശേഷം, ലോഡ് പരമാവധി വ്യതിചലനത്തിന്റെ പോയിന്റിലേക്ക് മടങ്ങുകയും പൂർണ്ണമായ ആന്ദോളനം പൂർത്തിയാക്കുകയും ചെയ്യും. അതിനാൽ, ഈ സമയത്ത്, ലോഡ് നാല് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകൾക്ക് തുല്യമായ ദൂരം സഞ്ചരിക്കും: സന്തുലിത സ്ഥാനത്തേക്ക് - ഒരു വ്യാപ്തി, സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു ദിശയിലെ പരമാവധി വ്യതിയാനത്തിന്റെ പോയിന്റിലേക്ക് - രണ്ടാമത്തേത്, സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്ക് മടങ്ങുക - മൂന്നാമത്, സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ആരംഭ പോയിന്റിലേക്ക് - നാലാമത്തേത്. രണ്ടാമത്തെ കാലയളവിൽ, ലോഡ് വീണ്ടും നാല് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളിലൂടെ കടന്നുപോകും, ​​ശേഷിക്കുന്ന പകുതി കാലയളവിൽ - രണ്ട് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകൾ. അതിനാൽ, സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരം പത്ത് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകൾക്ക് തുല്യമാണ് (ഉത്തരം 4 ).

ശരീരത്തിന്റെ ചലനത്തിന്റെ അളവ് ആരംഭ പോയിന്റിൽ നിന്ന് അവസാന പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്. 2.5 കാലഘട്ടത്തിൽ കൂടുതൽ ചുമതല 11.1.4രണ്ട് പൂർണ്ണവും പകുതി പൂർണ്ണവുമായ ആന്ദോളനം പൂർത്തിയാക്കാൻ ശരീരത്തിന് സമയമുണ്ടാകും, അതായത്. പരമാവധി വ്യതിയാനത്തിൽ ആയിരിക്കും, എന്നാൽ സന്തുലിതാവസ്ഥയുടെ മറുവശത്ത്. അതിനാൽ, സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ അളവ് രണ്ട് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകൾക്ക് തുല്യമാണ് (ഉത്തരം 3 ).

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ആന്ദോളനത്തിന്റെ ഘട്ടം ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വാദമാണ്, അത് കൃത്യസമയത്ത് ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ശരീരത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആശ്രിതത്വത്തെ വിവരിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട് ശരിയായ ഉത്തരം പ്രശ്നം 11.1.5 - 3 .

പൂർണ്ണമായ ആന്ദോളനത്തിന്റെ സമയമാണ് ഒരു കാലഘട്ടം. ഇതിനർത്ഥം, ശരീരം ചലിക്കാൻ തുടങ്ങിയ അതേ പോയിന്റിലേക്ക് ഒരു ശരീരം തിരികെ വരുന്നത് ഒരു കാലഘട്ടം കടന്നുപോയി എന്നല്ല: ശരീരം അതേ വേഗതയിൽ അതേ പോയിന്റിലേക്ക് മടങ്ങണം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ശരീരത്തിന്, ഒരു സന്തുലിത സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ആന്ദോളനം ആരംഭിച്ചാൽ, ഒരു ദിശയിൽ പരമാവധി അളവിൽ വ്യതിചലിക്കാനും തിരികെ മടങ്ങാനും മറ്റൊരു ദിശയിൽ പരമാവധി വ്യതിചലിക്കാനും വീണ്ടും തിരികെ മടങ്ങാനും സമയമുണ്ടാകും. അതിനാൽ, ഈ കാലയളവിൽ ശരീരത്തിന് രണ്ട് തവണ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പരമാവധി തുക വ്യതിചലിച്ച് തിരികെ മടങ്ങാൻ സമയമുണ്ടാകും. തൽഫലമായി, സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പരമാവധി വ്യതിയാനത്തിന്റെ പോയിന്റിലേക്കുള്ള കടന്നുപോകൽ ( പ്രശ്നം 11.1.6) ശരീരം കാലയളവിന്റെ നാലിലൊന്ന് ചെലവഴിക്കുന്നു (ഉത്തരം 3 ).

സമയത്തിന്റെ ത്രികോണമിതി (സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ) ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് കൃത്യസമയത്ത് ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ശരീരത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആശ്രിതത്വം വിവരിക്കുന്നവയാണ് ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങൾ. IN ചുമതല 11.1.7ഇവയാണ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ, അവയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ 2 ഉം 2 ഉം ആയി നിയുക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും. സമയത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെ ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ് ഫംഗ്ഷൻ. അതിനാൽ, അളവുകളുടെ മാത്രം വൈബ്രേഷനുകൾ ഹാർമോണിക് ആണ് (ഉത്തരം 4 ).

ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷൻ സമയത്ത്, ശരീരത്തിന്റെ വേഗത നിയമം അനുസരിച്ച് മാറുന്നു , സ്പീഡ് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി എവിടെയാണ് (സമയ റഫറൻസ് പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നതിനാൽ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്). കൃത്യസമയത്ത് ശരീരത്തിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നത് ഇവിടെ നിന്ന് നാം കണ്ടെത്തുന്നു
(പ്രശ്നം 11.1.8). കൂടുതൽ അറിയപ്പെടുന്ന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഈ സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളിൽ ശരീരത്തിന്റെ ഗതികോർജ്ജം ഹാർമോണിക് നിയമമനുസരിച്ച് മാറുന്നു, എന്നാൽ ഇരട്ടി ആവൃത്തിയിൽ (ഉത്തരം 2 ).

ലോഡിന്റെ ഗതികോർജ്ജവും വസന്തത്തിന്റെ സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന് പിന്നിൽ ( പ്രശ്നം 11.1.9) ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരാൻ എളുപ്പമാണ്. സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ശരീരം പരമാവധി അളവിൽ വ്യതിചലിക്കുമ്പോൾ, ശരീരത്തിന്റെ വേഗത പൂജ്യമാണ്, അതിനാൽ, സ്പ്രിംഗിന്റെ സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജം ലോഡിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. നേരെമറിച്ച്, ശരീരം സന്തുലിതാവസ്ഥയിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, സ്പ്രിംഗിന്റെ പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജം പൂജ്യമാണ്, അതിനാൽ ഗതികോർജ്ജം സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജത്തേക്കാൾ വലുതാണ്. അതിനാൽ, സന്തുലിത സ്ഥാനവും പരമാവധി വ്യതിചലനവും തമ്മിൽ, ഗതികോർജ്ജവും പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജവും ഒരു തവണ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു. ഒരു കാലഘട്ടത്തിൽ ശരീരം സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പരമാവധി വ്യതിചലനത്തിലേക്കോ പിന്നിലേക്കോ നാല് തവണ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ, ഈ കാലയളവിൽ ലോഡിന്റെ ഗതികോർജ്ജവും സ്പ്രിംഗിന്റെ സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജവും പരസ്പരം നാല് തവണ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു (ഉത്തരം 2 ).

വേഗത ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകളുടെ വ്യാപ്തി ( ചുമതല 11.1.10) ഊർജ്ജ സംരക്ഷണ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്. പരമാവധി വ്യതിചലന ഘട്ടത്തിൽ, ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഊർജ്ജം സ്പ്രിംഗിന്റെ സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജത്തിന് തുല്യമാണ്. , സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യത്തിന്റെ ഗുണകം എവിടെയാണ്, വൈബ്രേഷൻ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് ആണ്. സന്തുലിതാവസ്ഥയിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ശരീരത്തിന്റെ ഊർജ്ജം ഗതികോർജ്ജത്തിന് തുല്യമാണ് , ശരീരത്തിന്റെ പിണ്ഡം എവിടെയാണ്, സന്തുലിതാവസ്ഥയിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ശരീരത്തിന്റെ വേഗതയാണ്, ഇത് ആന്ദോളന പ്രക്രിയയിൽ ശരീരത്തിന്റെ പരമാവധി വേഗതയാണ്, അതിനാൽ, സ്പീഡ് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ ഊർജ്ജങ്ങളെ തുല്യമാക്കിക്കൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

(ഉത്തരം 4 ).

ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (11.5) ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു ( പ്രശ്നം 11.2.2), അതിന്റെ കാലയളവ് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലത്തിന്റെ പിണ്ഡത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, നീളം 4 മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കുന്നതോടെ, ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലഘട്ടം 2 മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കുന്നു (ഉത്തരം 1 ).

സമയത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ അളക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ആന്ദോളന പ്രക്രിയയാണ് ക്ലോക്ക് ( പ്രശ്നം 11.2.3). "ക്ലോക്ക് തിരക്കിലാണ്" എന്ന വാക്കുകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഈ പ്രക്രിയയുടെ കാലയളവ് എന്തായിരിക്കണം എന്നതിനേക്കാൾ കുറവാണ് എന്നാണ്. അതിനാൽ, ഈ ക്ലോക്കുകളുടെ പുരോഗതി വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, പ്രക്രിയയുടെ കാലയളവ് വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഫോർമുല (11.5) അനുസരിച്ച്, ഒരു ഗണിത പെൻഡുലത്തിന്റെ ആന്ദോളന കാലയളവ് വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ നീളം വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (ഉത്തരം 3 ).

ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി കണ്ടെത്താൻ പ്രശ്നം 11.2.4, ഒരൊറ്റ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ കൃത്യസമയത്ത് ബോഡി കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആശ്രിതത്വം പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വ്യവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന്, ഒരു അധിക ആംഗിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഈ ഫംഗ്‌ഷനെ ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അത്തരത്തിലുള്ള ആംഗിൾ എവിടെയാണ് . ഈ സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ശരീരത്തിന്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയാണ് പിന്തുടരുന്നത് (ഉത്തരം 4 ).