अंकित कोन, समस्या सिद्धांत. मित्रांनो! या लेखात आपण कार्यांबद्दल बोलू, ज्याच्या निराकरणासाठी कोरलेल्या कोनाचे गुणधर्म जाणून घेणे आवश्यक आहे. हा कार्यांचा संपूर्ण गट आहे, ते परीक्षेत समाविष्ट केले आहेत. त्यापैकी बहुतेक एका टप्प्यात अगदी सोप्या पद्धतीने सोडवले जातात.

आणखी कठीण कार्ये आहेत, परंतु ते आपल्यासाठी जास्त अडचणी आणणार नाहीत, आपल्याला कोरलेल्या कोनाचे गुणधर्म माहित असणे आवश्यक आहे. हळूहळू, आम्ही कार्यांच्या सर्व प्रोटोटाइपचे विश्लेषण करू, मी तुम्हाला ब्लॉगवर आमंत्रित करतो!

आता आवश्यक सिद्धांत. आठवा कोणता मध्यवर्ती आणि कोरलेला कोन, जीवा, चाप, ज्यावर हे कोन अवलंबून असतात:

वर्तुळातील मध्यवर्ती कोनाला सपाट कोन असे म्हणतातत्याच्या मध्यभागी शिखर.

वर्तुळाचा भाग जो एका सपाट कोपऱ्यात असतोवर्तुळाचा चाप म्हणतात.

वर्तुळाच्या कमानीचे अंश माप म्हणजे अंश मापसंबंधित मध्य कोन.

जर कोनाचा शिरोबिंदू असेल तर कोन वर्तुळात कोरलेला असे म्हणतातवर्तुळावर, आणि कोनाच्या बाजू या वर्तुळाला छेदतात.

वर्तुळावरील दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला म्हणतातजीवा. सर्वात लांब जीवा वर्तुळाच्या मध्यभागी जाते आणि त्याला म्हणतातव्यास

वर्तुळात कोरलेल्या कोनांच्या समस्या सोडवण्यासाठी,आपल्याला खालील गुणधर्म माहित असणे आवश्यक आहे:

1. कोरलेला कोन समान कमानीवर आधारित मध्यवर्ती कोनाच्या अर्ध्या समान आहे.

2. समान कमानीवर आधारित सर्व कोरलेले कोन समान आहेत.

3. एकाच जीवावर आधारित सर्व कोरलेले कोन, ज्याचे शिरोबिंदू या जीवेच्या एकाच बाजूला आहेत, ते समान आहेत.

4. एकाच जीवावर आधारित कोनांची कोणतीही जोडी, ज्याचे शिरोबिंदू जीवेच्या विरुद्ध बाजूंना असतात, ते 180° पर्यंत जोडतात.

कोरोलरी: वर्तुळात कोरलेल्या चौकोनाचे विरुद्ध कोन 180 अंशांपर्यंत जोडतात.

5. व्यासावर आधारित सर्व कोरलेले कोन सरळ आहेत.

सर्वसाधारणपणे, ही मालमत्ता मालमत्तेचा परिणाम आहे (1), हे त्याचे विशिष्ट प्रकरण आहे. पहा - मध्यवर्ती कोन 180 अंशांच्या बरोबरीचा आहे (आणि हा विकसित कोन व्यासापेक्षा जास्त काही नाही), याचा अर्थ असा आहे की पहिल्या गुणधर्मानुसार, कोरलेला कोन C त्याच्या अर्ध्या, म्हणजेच 90 अंशांच्या बरोबरीचा आहे.

या मालमत्तेचे ज्ञान अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यात मदत करते आणि बर्याचदा आपल्याला अनावश्यक गणना टाळण्यास अनुमती देते. त्यात चांगले प्रभुत्व मिळवल्यानंतर, आपण या प्रकारच्या अर्ध्याहून अधिक समस्या तोंडी सोडविण्यास सक्षम असाल. असे दोन परिणाम होऊ शकतात:

कोरोलरी 1: जर एका वर्तुळात त्रिकोण कोरलेला असेल आणि त्याची एक बाजू या वर्तुळाच्या व्यासाशी जुळत असेल, तर त्रिकोण काटकोन असेल (काटकोनाचा शिरोबिंदू वर्तुळावर असतो).

कोरोलरी 2: काटकोन त्रिकोणाभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाचे केंद्र त्याच्या कर्णाच्या मध्यबिंदूशी जुळते.

स्टिरिओमेट्रिक समस्यांचे अनेक प्रोटोटाइप देखील या गुणधर्माचा आणि या कॉरोलरीज वापरून सोडवले जातात. वस्तुस्थिती लक्षात ठेवा: जर वर्तुळाचा व्यास कोरलेल्या त्रिकोणाची बाजू असेल, तर हा त्रिकोण काटकोन आहे (व्यासाच्या समोरचा कोन 90 अंश आहे). तुम्ही इतर सर्व निष्कर्ष आणि परिणाम स्वतः काढू शकता, तुम्हाला ते शिकवण्याची गरज नाही.

नियमानुसार, कोरलेल्या कोनासाठी अर्ध्या समस्या स्केचसह दिल्या जातात, परंतु नोटेशनशिवाय. समस्या सोडवताना तर्क करण्याची प्रक्रिया समजून घेण्यासाठी (लेखात खाली), शिरोबिंदू (कोपरे) चे पदनाम सादर केले जातात. परीक्षेत, आपण हे करू शकत नाही.कार्ये विचारात घ्या:

वर्तुळाच्या त्रिज्येइतकी जीवा रोखणारा तीव्र कोन कोणता? तुमचे उत्तर अंशात द्या.

दिलेल्या कोरलेल्या कोनासाठी मध्यवर्ती कोन बनवू, शिरोबिंदू दर्शवू:

वर्तुळात कोरलेल्या कोनाच्या गुणधर्मानुसार:

कोन AOB 60 0 आहे, कारण AOB त्रिकोण समभुज आहे आणि समभुज त्रिकोणामध्ये सर्व कोन 60 0 सारखे आहेत. त्रिकोणाच्या बाजू समान आहेत, कारण कंडिशन म्हणते की जीवा त्रिज्या समान आहे.

अशा प्रकारे, कोरलेला कोन DIA 30 0 आहे.

उत्तर: 30

त्रिज्या 3 च्या वर्तुळात कोरलेली जीवा शोधा ज्यावर 30 0 कोन आहे.

ही मूलत: व्यस्त समस्या आहे (मागील समस्या). चला मध्यवर्ती कोपरा तयार करूया.

ते कोरलेल्यापेक्षा दुप्पट मोठे आहे, म्हणजेच कोन AOB 60 0 आहे. यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की AOB त्रिकोण समभुज आहे. अशा प्रकारे, जीवा त्रिज्या समान आहे, म्हणजे, तीन.

उत्तर: 3

वर्तुळाची त्रिज्या 1 आहे. दोनच्या मुळाच्या बरोबरीच्या जीवेवर आधारित स्थूल कोरलेल्या कोनाचे मूल्य शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या.

चला मध्य कोन तयार करूया:

त्रिज्या आणि जीवा जाणून घेतल्यास, आपण मध्य कोन DIA शोधू शकतो. कोसाइनचा नियम वापरून हे करता येते. मध्यवर्ती कोन जाणून घेतल्यास, आपण कोरलेला कोन ACB सहज शोधू शकतो.

कोसाइन प्रमेय: त्रिकोणाच्या कोणत्याही बाजूचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या चौरसांच्या बेरजेइतका असतो, त्या बाजूंच्या गुणाकाराच्या दुप्पट न करता त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनच्या गुणाकार असतो.

म्हणून, दुसरा मध्य कोन 360 0 आहे – 90 0 = 270 0 .

कोरलेल्या कोनाच्या गुणधर्मानुसार, कोन DIA त्याच्या अर्ध्या बरोबर आहे, म्हणजे 135 अंश.

उत्तर: 135

त्रिज्येच्या वर्तुळात 120 अंशांचा कोन, तीनचे मूळ कोरलेली जीवा शोधा.

बिंदू A आणि B वर्तुळाच्या मध्यभागी जोडा. चला त्याला O म्हणूया:

आम्हाला त्रिज्या आणि कोरलेला कोन DIA माहित आहे. आपण मध्य कोन AOB (180 अंशांपेक्षा जास्त) शोधू शकतो, नंतर त्रिकोण AOB मध्ये कोन AOB शोधू शकतो. आणि नंतर, कोसाइन प्रमेय वापरून, AB ची गणना करा.

कोरलेल्या कोनाच्या गुणधर्मानुसार, मध्यवर्ती कोन AOB (जो 180 अंशांपेक्षा जास्त आहे) कोरलेल्या कोनाच्या दुप्पट असेल, म्हणजेच 240 अंश. याचा अर्थ AOB त्रिकोणातील AOB हा कोन 360 0 - 240 0 = 120 0 आहे.

कोसाइनच्या कायद्यानुसार:

उत्तर:3

वर्तुळाच्या 20% असलेल्या कमानावर आधारित कोरलेला कोन शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या.

कोरलेल्या कोनाच्या गुणधर्मानुसार, समान कमानावर आधारित मध्यवर्ती कोनाच्या अर्धा आकार आहे, या प्रकरणात आपण आर्क AB बद्दल बोलत आहोत.

असे म्हटले जाते की चाप AB परिघाच्या 20 टक्के आहे. याचा अर्थ मध्य कोन AOB देखील 360 0 च्या 20 टक्के आहे.* वर्तुळ म्हणजे 360 अंशाचा कोन. म्हणजे,

अशा प्रकारे, कोरलेला कोन ACB 36 अंश आहे.

उत्तर: 36

वर्तुळाचा चाप एसी, ज्यामध्ये गुण नाहीत बी, 200 अंश आहे. आणि वर्तुळ BC चा चाप, ज्यामध्ये बिंदू नाहीत ए, 80 अंश आहे. कोरलेला कोन ACB शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या.

आपण स्पष्टतेसाठी ज्या आर्क्सची कोनीय मापे दिली आहेत ते दर्शवू. 200 अंशांशी संबंधित चाप निळा आहे, 80 अंशांशी संबंधित चाप लाल आहे, उर्वरित वर्तुळ पिवळा आहे.

अशा प्रकारे, चाप AB (पिवळा) चे अंश माप आणि म्हणून मध्यवर्ती कोन AOB आहे: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

कोरलेला कोन DAB हा मध्य कोन AOB च्या अर्धा आहे, म्हणजेच 40 अंशांच्या बरोबरीचा आहे.

उत्तर: 40

वर्तुळाच्या व्यासावर आधारित कोरलेला कोन काय आहे? तुमचे उत्तर अंशात द्या.

कोन ABC एक कोरलेला कोन आहे. ते त्याच्या बाजूंच्या (चित्र 330) मध्ये बंद केलेल्या आर्क AC वर विसावलेले आहे.

प्रमेय. एक कोरलेला कोन तो रोखत असलेल्या अर्ध्या चापाने मोजला जातो.

हे खालील प्रमाणे समजले पाहिजे: कोरलेल्या कोनामध्ये कंस अंशांइतके कोनीय अंश, मिनिटे आणि सेकंद असतात, तो ज्या कमानीवर असतो त्या अर्ध्या भागामध्ये मिनिटे आणि सेकंद असतात.

हे प्रमेय सिद्ध करताना आपल्याला तीन प्रकरणांचा विचार करावा लागेल.

पहिली केस. वर्तुळाचे केंद्र कोरलेल्या कोनाच्या बाजूला आहे (चित्र 331).

∠ABC हा कोरलेला कोन असू द्या आणि वर्तुळ O चे केंद्र BC च्या बाजूला आहे. ते अर्ध्या आर्क AC ने मोजले जाते हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

बिंदू A ला वर्तुळाच्या मध्यभागी जोडा. आपल्याला समद्विभुज \(\Delta\)AOB मिळते, ज्यामध्ये AO = OB, समान वर्तुळाची त्रिज्या म्हणून. म्हणून, ∠A = ∠B.

∠AOC हे AOB त्रिकोणाचे बाह्य आहे, म्हणून ∠AOC = ∠A + ∠B, आणि कोन A आणि B समान असल्याने, ∠B 1/2 ∠AOC आहे.

परंतु ∠AOC चाप AC द्वारे मोजले जाते, म्हणून ∠B चाप AC च्या अर्ध्याने मोजले जाते.

उदाहरणार्थ, जर \(\breve(AC)\) मध्ये 60°18' असेल, तर ∠B मध्ये 30°9' असेल.

दुसरी केस. वर्तुळाचे केंद्र कोरलेल्या कोनाच्या बाजूंच्या दरम्यान आहे (चित्र 332).

∠ABD हा कोरलेला कोन असू द्या. वर्तुळ O चे केंद्र त्याच्या बाजूंच्या मध्ये आहे. ∠ABD चा AD च्या अर्ध्या भागाने मोजला जातो हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

हे सिद्ध करण्यासाठी, व्यास BC काढू. कोन ABD दोन कोनांमध्ये विभाजित होतो: ∠1 आणि ∠2.

∠1 चाप AC च्या अर्ध्या भागाने मोजला जातो आणि ∠2 चाप CD च्या अर्ध्या भागाने मोजला जातो, म्हणून संपूर्ण ∠ABD 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( ने मोजला जातो. \breve(CD)\), म्हणजे चाप AD चा अर्धा.

उदाहरणार्थ, जर \(\breve(AD)\) मध्ये १२४° असेल, तर ∠B मध्ये ६२° असेल.

तिसरा केस. वर्तुळाचे केंद्र कोरलेल्या कोनाच्या बाहेर आहे (चित्र 333).

∠MAD हा एक कोरलेला कोन असू द्या. वर्तुळ O चे केंद्र कोपऱ्याच्या बाहेर आहे. ∠MAD चा MD च्या अर्ध्या भागाने मोजला जातो हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

हे सिद्ध करण्यासाठी, आपण व्यास AB काढू. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. परंतु ∠MAB 1/2 मोजते \(\breve(MB)\) आणि ∠DAB 1/2 \(\breve(DB)\) मोजते.

म्हणून, ∠MAD 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), म्हणजे 1 / 2 \(\breve(MD)\) मोजते.

उदाहरणार्थ, जर \(\breve(MD)\) मध्ये 48° 38 आहे, तर ∠MAD मध्ये 24° 19' 8" आहे.

परिणाम
1. एकाच कमानीवर आधारित सर्व कोरलेले कोन एकमेकांना समान असतात, कारण ते एकाच कमानीच्या अर्ध्या भागाने मोजले जातात. (अंजीर 334, अ).

2. व्यासावर आधारित कोरलेला कोन हा काटकोन असतो कारण तो अर्ध्या वर्तुळावर आधारित असतो. वर्तुळाच्या अर्ध्या भागामध्ये 180 चाप अंश असतात, याचा अर्थ व्यासावर आधारित कोनात 90 कोनीय अंश असतात (चित्र 334, b).

हा दोन मिळून बनलेला कोन आहे जीवावर्तुळावरील एका बिंदूपासून उद्भवणारे. कोरलेला कोन असे म्हणतात अवलंबून आहेत्याच्या बाजूंच्या मध्ये बंद केलेल्या कमानीवर.

कोरलेला कोनज्या कमानीवर तो विसावतो त्याच्या अर्ध्या बरोबर.

दुसऱ्या शब्दात, कोरलेला कोनजितक्या अंश, मिनिटे आणि सेकंदांचा समावेश आहे चाप अंश, मिनिटे आणि सेकंद हे कमानीच्या अर्ध्या भागामध्ये बंद केलेले असतात ज्यावर ते अवलंबून असते. औचित्यासाठी, आम्ही तीन प्रकरणांचे विश्लेषण करतो:

पहिली केस:

केंद्र O बाजूला स्थित आहे कोरलेला कोन ABS. त्रिज्या AO काढल्यास, आपल्याला ΔABO मिळेल, ज्यामध्ये OA = OB (रेडीआय म्हणून) आणि त्यानुसार, ∠ABO = ∠BAO. या संबंधात त्रिकोण, कोन AOC बाह्य आहे. आणि म्हणून, ते ABO आणि BAO या कोनांच्या बेरीज किंवा दुहेरी कोन ABO च्या समान आहे. तर ∠ABO अर्धा आहे मध्य कोपरा AOC. पण हा कोन आर्क AC ने मोजला जातो. म्हणजेच, कोरलेला कोन ABC हा चाप AC च्या अर्ध्या भागाने मोजला जातो.

दुसरी केस:

मध्य O बाजूंच्या दरम्यान स्थित आहे कोरलेला कोन ABC. व्यास BD काढल्यानंतर, आपण कोन ABC दोन कोनांमध्ये विभागू, ज्यापैकी, पहिल्या प्रकरणात स्थापित केल्यानुसार, एक अर्ध्याने मोजला जातो. चाप AD, आणि चाप सीडीचा दुसरा अर्धा भाग. आणि त्यानुसार, कोन ABC (AD + DC) / 2 ने मोजला जातो, म्हणजे. १/२ एसी.

तिसरी केस:

केंद्र O बाहेर स्थित आहे कोरलेला कोन ABS. व्यास BD काढल्यानंतर, आपल्याकडे असेल: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . परंतु ABD आणि CBD हे कोन पूर्वी सिद्ध केलेल्या अर्ध्या भागांवर आधारित मोजले जातात चापएडी आणि सीडी. आणि ∠ABС हे (AD-CD)/2 ने मोजले जाते, म्हणजे, AC चापच्या अर्ध्या भागाने.

परिणाम १.कोणतीही , समान कमानीवर आधारित समान आहेत, म्हणजेच ते एकमेकांशी समान आहेत. त्यांपैकी प्रत्येकाला समान अर्ध्याने मोजले जाते चाप .

परिणाम 2. कोरलेला कोन, व्यासावर आधारित - काटकोन. असा प्रत्येक कोन अर्धा अर्धवर्तुळाने मोजला जातो आणि त्यानुसार, 90 ° असतो.

या लेखात मी तुम्हाला सांगेन की वापरत असलेल्या समस्यांचे निराकरण कसे करावे.

प्रथम, नेहमीप्रमाणे, आम्ही वरील समस्या यशस्वीरित्या सोडवण्यासाठी आपल्याला माहित असणे आवश्यक असलेल्या व्याख्या आणि प्रमेये आठवतो.

1.कोरलेला कोनएक कोन आहे ज्याचा शिरोबिंदू वर्तुळावर असतो आणि ज्याच्या बाजू वर्तुळाला छेदतात:

2.मध्य कोपराहा कोन आहे ज्याचा शिरोबिंदू वर्तुळाच्या केंद्राशी जुळतो:

वर्तुळाच्या कमानाची डिग्री परिमाणतो ज्या मध्यवर्ती कोनावर टिकतो त्याच्या मूल्याद्वारे मोजले जाते.

या प्रकरणात, AC चापचे पदवी मूल्य कोन AOC च्या मूल्याच्या बरोबरीचे आहे.

3. जर कोरलेले आणि मध्य कोन समान कमानीवर आधारित असतील तर कोरलेला कोन मध्य कोनाच्या दुप्पट आहे:

4. एका कमानीवर झुकलेले सर्व कोरलेले कोन एकमेकांशी समान आहेत:

5. व्यासावर आधारित कोरलेला कोन 90° आहे:

आम्ही अनेक समस्या सोडवू.

एक टास्क B7 (#27887)

चला मध्य कोनाचे मूल्य शोधू, जे समान कमानावर अवलंबून आहे:

स्पष्टपणे, AOC कोनाचे मूल्य 90° आहे, म्हणून, कोन ABC 45° आहे

उत्तर: ४५°

2. टास्क B7 (क्रमांक 27888)

ABC कोन शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या.

स्पष्टपणे, कोन AOC 270° आहे, नंतर कोन ABC 135° आहे.

उत्तर: 135°

३ . टास्क B7 (#27890)

ज्या वर्तुळावर ABC कोन असतो त्या वर्तुळाच्या आर्क AC चे अंश मूल्य शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या.

चाप AC वर अवलंबून असलेल्या मध्य कोनाचे मूल्य शोधूया:

AOC कोनाचे मूल्य 45° आहे, म्हणून, आर्क AC चे अंश माप 45° आहे.

उत्तर: ४५°.

४ . टास्क B7 (#27885)

कोन ACB शोधा जर कोरलेले कोन ADB आणि DAE वर्तुळाच्या आर्क्सवर आधारित असतील, ज्याची पदवी मूल्ये अनुक्रमे आणि . तुमचे उत्तर अंशात द्या.

कोन ADB चाप AB वर स्थित आहे, म्हणून, मध्य कोन AOB चे मूल्य 118° आहे, म्हणून, कोन BDA 59° आहे, आणि समीप कोन ADC 180°-59°=121° आहे

त्याचप्रमाणे, कोन DOE 38° आहे आणि संबंधित कोरलेला कोन DAE 19° आहे.

त्रिकोण ADC विचारात घ्या:

त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° आहे.

ASV कोनाचे मूल्य 180°- (121°+19°)=40° आहे

उत्तर: 40°

५ . टास्क B7 (#27872)

ABCD AB, BC, CD आणि AD या चतुर्भुजाच्या बाजू परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या कमानाला वजा करतात, ज्याची पदवी मूल्ये अनुक्रमे , , आणि , आहेत. या चौकोनाचा B कोन शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या.

कोन B चाप ADC वर स्थित आहे, ज्याचे मूल्य आर्क्स AD आणि CD च्या मूल्यांच्या बेरजेइतके आहे, म्हणजे 71°+145°=216°

कोरलेला कोन B चाप ADC च्या अर्ध्या मूल्याच्या समान आहे, म्हणजे 108°

उत्तर: 108°

6. टास्क B7 (#27873)

वर्तुळावर स्थित A, B, C, D बिंदू, हे वर्तुळ चार आर्क्स AB, BC, CD आणि AD मध्ये विभाजित करतात, ज्याची पदवी मूल्ये अनुक्रमे 4:2:3:6 अशी आहेत. चौकोन ABCD चा कोन A शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या.

(मागील कार्याचे रेखाचित्र पहा)

आपण आर्क्सच्या परिमाणांचे गुणोत्तर दिलेले असल्याने, आपण एकक घटक x सादर करतो. नंतर प्रत्येक कमानाची विशालता खालीलप्रमाणे व्यक्त केली जाईल:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. सर्व आर्क एक वर्तुळ बनवतात, म्हणजेच त्यांची बेरीज 360 ° आहे.

4x+2x+3x+6x=360°, म्हणून x=24°.

कोन A चाप BC आणि CD वर स्थित आहे, ज्याचे एकूण मूल्य 5x=120° आहे.

म्हणून, कोन A 60° आहे

उत्तर: 60°

७. टास्क B7 (#27874)

चतुर्भुज अ ब क डवर्तुळात कोरलेले. इंजेक्शन ABCसमान, कोन CAD

सरासरी पातळी

वर्तुळ आणि अंकित कोन. व्हिज्युअल मार्गदर्शक (२०१९)

मूलभूत अटी.

मंडळाशी संबंधित सर्व नावे तुम्हाला किती चांगली आठवतात? फक्त बाबतीत, आम्हाला आठवते - चित्रे पहा - तुमचे ज्ञान रीफ्रेश करा.

पहिल्याने - वर्तुळाचे केंद्र एक बिंदू आहे ज्यापासून वर्तुळावरील सर्व बिंदू समान अंतरावर आहेत.

दुसरे म्हणजे - त्रिज्या - मध्यभागी जोडणारा रेषाखंड आणि वर्तुळावरील बिंदू.

त्रिज्या भरपूर आहेत (वर्तुळावर जितके बिंदू आहेत तितके), पण सर्व त्रिज्येची लांबी समान आहे.

कधी कधी थोडक्यात त्रिज्याते म्हणतात विभागाची लांबी"केंद्र हा वर्तुळावरील एक बिंदू आहे", आणि स्वतः खंड नाही.

आणि येथे काय होते ते आहे तुम्ही वर्तुळावर दोन बिंदू जोडल्यास? तसेच एक कट?

म्हणून, या विभागाला म्हणतात "जीवा".

त्रिज्येच्या बाबतीत, व्यासाला अनेकदा वर्तुळावरील दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या आणि मध्यभागी जाणाऱ्या खंडाची लांबी म्हणतात. तसे, व्यास आणि त्रिज्या यांचा संबंध कसा आहे? बारकाईने पहा. अर्थात, त्रिज्या अर्धा व्यास आहे.

जीवा व्यतिरिक्त, देखील आहेत secant

तुम्हाला सर्वात सोपा आठवतो का?

मध्य कोन हा दोन त्रिज्यांमधील कोन आहे.

आणि आता कोरलेला कोन

अंकित कोन म्हणजे वर्तुळावरील एका बिंदूला छेदणारा दोन जीवांमधील कोन.

या प्रकरणात, ते म्हणतात की कोरलेला कोन कमानीवर (किंवा जीवावर) अवलंबून असतो.

चित्र पहा:

चाप आणि कोन मोजणे.

घेर. आर्क आणि कोन अंश आणि रेडियनमध्ये मोजले जातात. प्रथम, अंशांबद्दल. कोनांसाठी कोणतीही अडचण नाही - आपल्याला अंशांमध्ये कंस कसे मोजायचे हे शिकण्याची आवश्यकता आहे.

पदवी माप (आर्क मूल्य) हे संबंधित मध्य कोनाचे मूल्य (अंशांमध्ये) आहे

येथे "संबंधित" शब्दाचा अर्थ काय आहे? चला काळजीपूर्वक पाहू:

दोन चाप आणि दोन मध्य कोन पहा? बरं, एक मोठा कंस मोठ्या कोनाशी सुसंगत असतो (आणि तो मोठा आहे हे ठीक आहे), आणि एक लहान चाप लहान कोनाशी संबंधित आहे.

म्हणून, आम्ही सहमत झालो: कमानीमध्ये संबंधित मध्य कोनाइतकेच अंश असतात.

आणि आता भयानक बद्दल - रेडियन बद्दल!

हा "रेडियन" कोणत्या प्रकारचा प्राणी आहे?

याची कल्पना करा: रेडियन हे कोन मोजण्याचा एक मार्ग आहे... त्रिज्यामध्ये!

रेडियन कोन हा मध्य कोन आहे ज्याची कमानीची लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्याएवढी आहे.

मग प्रश्न उद्भवतो - सरळ कोनात किती रेडियन आहेत?

दुसऱ्या शब्दांत: अर्ध्या वर्तुळात किती त्रिज्या "फिट" आहेत? किंवा दुसर्‍या प्रकारे: अर्ध्या वर्तुळाची लांबी त्रिज्यापेक्षा किती पटीने जास्त आहे?

हा प्रश्न प्राचीन ग्रीसमधील शास्त्रज्ञांनी विचारला होता.

आणि म्हणून, दीर्घ शोधानंतर, त्यांना आढळले की परिघ आणि त्रिज्याचे गुणोत्तर "मानवी" संख्यांमध्ये व्यक्त करू इच्छित नाही, जसे की इ.

आणि ही वृत्ती मुळातून व्यक्त करणेही शक्य नाही. म्हणजेच, असे दिसून आले की वर्तुळाचा अर्धा भाग त्रिज्येच्या दुप्पट किंवा पट आहे असे म्हणू शकत नाही! प्रथमच लोकांना शोधणे किती आश्चर्यकारक होते याची तुम्ही कल्पना करू शकता?! अर्ध्या वर्तुळाच्या लांबीच्या त्रिज्येच्या गुणोत्तरासाठी, "सामान्य" संख्या पुरेशा होत्या. मला एक पत्र टाकायचे होते.

तर, अर्धवर्तुळाच्या लांबीच्या त्रिज्येचे गुणोत्तर व्यक्त करणारी संख्या आहे.

आता आपण या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकतो: सरळ कोनात किती रेडियन आहेत? त्यात रेडियन आहे. तंतोतंत कारण वर्तुळाचा अर्धा भाग त्रिज्येच्या दुप्पट आहे.

वयोगटातील प्राचीन (आणि तसे नाही) लोक (!) "सामान्य" संख्यांद्वारे (किमान अंदाजे) अधिक चांगल्या प्रकारे व्यक्त करण्यासाठी, या रहस्यमय संख्येची अधिक अचूकपणे गणना करण्याचा प्रयत्न केला. आणि आता आपण अशक्य आळशी आहोत - व्यस्त झाल्यानंतर दोन चिन्हे आपल्यासाठी पुरेशी आहेत, आपल्याला सवय झाली आहे

त्याबद्दल विचार करा, याचा अर्थ, उदाहरणार्थ, एक त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाची y लांबी अंदाजे समान आहे आणि ही लांबी "मानवी" संख्येसह लिहिणे केवळ अशक्य आहे - आपल्याला एक पत्र आवश्यक आहे. आणि मग हा घेर समान असेल. आणि अर्थातच, त्रिज्याचा घेर समान आहे.

चला रेडियन वर परत जाऊया.

सरळ कोनात रेडियन असतो हे आपण आधीच शोधून काढले आहे.

आमच्याकडे काय आहे:

इतका आनंद, तो आनंद आहे. त्याच प्रकारे, सर्वात लोकप्रिय कोन असलेली प्लेट प्राप्त केली जाते.

कोरलेल्या आणि मध्य कोनांच्या मूल्यांमधील गुणोत्तर.

एक आश्चर्यकारक तथ्य आहे:

कोरलेल्या कोनाचे मूल्य संबंधित मध्य कोनाच्या निम्मे आहे.

हे विधान चित्रात कसे दिसते ते पहा. "संबंधित" मध्य कोन एक आहे ज्यामध्ये टोके कोरलेल्या कोनाच्या टोकाशी जुळतात आणि शिरोबिंदू मध्यभागी असतो. आणि त्याच वेळी, "संबंधित" मध्यवर्ती कोन कोरलेल्या कोनाप्रमाणेच जीवा () "दिसणे" आवश्यक आहे.

असे का? प्रथम एक साधी केस पाहू. एक जीवा मध्यभागी जाऊ द्या. शेवटी, असे कधीकधी घडते, बरोबर?

इथे काय होते? विचार करा. हे समद्विभुज आहे - शेवटी, आणि त्रिज्या आहेत. म्हणून, (त्यांना सूचित केले).

आता बघूया. हा बाहेरचा कोपरा आहे! आम्हाला आठवते की बाह्य कोन त्याच्या शेजारी नसलेल्या दोन अंतर्गत भागांच्या बेरजेइतका असतो आणि लिहा:

ते आहे! अनपेक्षित प्रभाव. पण शिलालेखासाठी मध्यवर्ती कोन देखील आहे.

तर, या प्रकरणात, आम्ही हे सिद्ध केले की मध्यवर्ती कोन कोरलेल्या कोनाच्या दुप्पट आहे. परंतु हे एक वेदनादायक विशेष प्रकरण आहे: जीवा नेहमी मध्यभागी सरळ जात नाही हे खरे आहे का? पण काही नाही, आता हे विशेष प्रकरण आपल्याला खूप मदत करेल. पहा: दुसरी केस: केंद्र आत पडू द्या.

चला हे करूया: व्यास काढा. आणि मग ... आम्ही दोन चित्रे पाहतो ज्यांचे पहिल्या प्रकरणात आधीच विश्लेषण केले गेले आहे. म्हणून, आमच्याकडे आधीच आहे

तर (रेखांकनावर, अ)

बरं, शेवटची केस राहते: केंद्र कोपऱ्याच्या बाहेर आहे.

आम्ही तेच करतो: एका बिंदूद्वारे व्यास काढा. सर्व काही समान आहे, परंतु बेरीज ऐवजी - फरक.

इतकंच!

अंकित कोन अर्धा मध्यवर्ती आहे या विधानाचे दोन मुख्य आणि अतिशय महत्त्वाचे परिणाम आता बनवू.

परिणाम १

समान कमानाला छेदणारे सर्व कोरलेले कोन समान आहेत.

आम्ही उदाहरण देतो:

एकाच कमानीवर (आमच्याकडे हा चाप आहे) आधारित असंख्य कोरलेले कोन आहेत, ते पूर्णपणे भिन्न दिसू शकतात, परंतु त्या सर्वांचा मध्य कोन समान आहे (), म्हणजे हे सर्व कोरलेले कोन एकमेकांमध्ये समान आहेत.

परिणाम 2

व्यासावर आधारित कोन काटकोन आहे.

पहा: कोणता कोपरा मध्यवर्ती आहे?

नक्कीच, . पण तो समान आहे! विहीर, म्हणूनच (तसेच अनेक कोरलेल्या कोनांवर आधारित) आणि समान आहे.

दोन जीवा आणि सेकंटमधील कोन

परंतु जर आपल्याला स्वारस्य असलेला कोन कोरलेला नसेल आणि मध्यवर्ती नसेल तर, उदाहरणार्थ, याप्रमाणे:

किंवा यासारखे?

काही मध्यवर्ती कोनातून व्यक्त करणे शक्य आहे का? हे आपण करू शकता बाहेर वळते. पहा, आम्हाला स्वारस्य आहे.

अ) (यासाठी बाहेरील कोपरा म्हणून). पण - अंकित, कमानीवर आधारित - . - अंकित, कमानीवर आधारित - .

सौंदर्यासाठी ते म्हणतात:

जीवांमधील कोन या कोनात समाविष्ट केलेल्या आर्क्सच्या कोनीय मूल्यांच्या अर्ध्या बेरजेइतका असतो.

हे संक्षिप्ततेसाठी लिहिले आहे, परंतु अर्थातच, हे सूत्र वापरताना, तुम्हाला मध्य कोन लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे.

ब) आणि आता - "बाहेर"! कसे असावे? होय, जवळजवळ समान! फक्त आता (पुन्हा बाहेरील कोपऱ्याची मालमत्ता लागू करा). ते आता आहे.

आणि याचा अर्थ. चला रेकॉर्ड आणि फॉर्म्युलेशनमध्ये सौंदर्य आणि संक्षिप्तता आणूया:

सेकंट्समधील कोन या कोनात बंद केलेल्या आर्क्सच्या कोनीय मूल्यांमधील अर्ध्या फरकाच्या समान आहे.

बरं, आता तुम्ही वर्तुळाशी संबंधित कोनांच्या सर्व मूलभूत ज्ञानाने सज्ज आहात. पुढे, कार्यांच्या हल्ल्याकडे!

वर्तुळ आणि अंतर्भूत कोन. सरासरी पातळी

वर्तुळ म्हणजे काय, अगदी पाच वर्षांच्या मुलालाही माहीत आहे, बरोबर? गणितज्ञांची, नेहमीप्रमाणे, या विषयावर एक अमूर्त व्याख्या आहे, परंतु आम्ही ती देणार नाही (पहा), उलट वर्तुळाशी संबंधित बिंदू, रेषा आणि कोन काय म्हणतात ते लक्षात ठेवा.

महत्त्वाच्या अटी

पहिल्याने:

दुसरे म्हणजे:

येथे आणखी एक स्वीकृत अभिव्यक्ती आहे: "जवा कंस संकुचित करते." येथे, येथे आकृतीमध्ये, उदाहरणार्थ, एक जीवा कंस संकुचित करते. आणि जर जीवा अचानक मध्यभागी गेली तर त्याला एक विशेष नाव आहे: "व्यास".

तसे, व्यास आणि त्रिज्या यांचा संबंध कसा आहे? बारकाईने पहा. अर्थात,

आणि आता - कोपऱ्यांसाठी नावे.

स्वाभाविकच, नाही का? कोपऱ्याच्या बाजू मध्यभागातून बाहेर येतात, याचा अर्थ कोपरा मध्यवर्ती आहे.

इथेच कधी कधी अडचणी येतात. लक्ष द्या - वर्तुळातील कोणताही कोन कोरलेला नसतो,परंतु ज्याचा शिरोबिंदू वर्तुळावरच "बसतो".

चला चित्रांमधील फरक पाहू:

ते वेगळ्या पद्धतीने देखील म्हणतात:

येथे एक अवघड मुद्दा आहे. "अनुरूप" किंवा "स्वतःचा" मध्य कोन म्हणजे काय? वर्तुळाच्या मध्यभागी शिरोबिंदू असलेला फक्त एक कोन आणि कमानीच्या टोकाला संपतो? त्या मार्गाने नक्कीच नाही. चित्र पहा.

त्यापैकी एक, तथापि, एक कोपरा देखील दिसत नाही - तो मोठा आहे. परंतु त्रिकोणामध्ये अधिक कोन असू शकत नाहीत, परंतु वर्तुळात - हे चांगले असू शकते! तर: एक लहान चाप AB एका लहान कोनाशी (केशरी) आणि मोठ्या कोनाशी संबंधित आहे. अगदी सारखे, नाही का?

अंकित आणि मध्य कोन यांच्यातील संबंध

एक अतिशय महत्वाचे विधान लक्षात ठेवा:

पाठ्यपुस्तकांमध्ये, त्यांना हेच सत्य लिहायला आवडते:

खरे आहे, मध्य कोनासह, सूत्रीकरण सोपे आहे?

परंतु तरीही, दोन फॉर्म्युलेशनमधील एक पत्रव्यवहार शोधू या आणि त्याच वेळी आकृत्यांमध्ये "संबंधित" मध्य कोन आणि चाप ज्यावर कोरलेला कोन "झोकतो" शोधण्यास शिका.

पहा, येथे एक वर्तुळ आणि एक कोरलेला कोन आहे:

त्याचा "संबंधित" मध्य कोन कुठे आहे?

चला पुन्हा पाहू:

काय आहे नियम?

परंतु! या प्रकरणात, कोरलेल्या आणि मध्यवर्ती कोन कमानीच्या एकाच बाजूला "दिसणे" महत्वाचे आहे. उदाहरणार्थ:

विचित्रपणे, निळा! कारण चाप लांब आहे, अर्ध्या वर्तुळापेक्षा लांब आहे! त्यामुळे कधीही गोंधळून जाऊ नका!

कोरलेल्या कोनाच्या "अर्धापणा" वरून कोणता परिणाम काढला जाऊ शकतो?

आणि येथे, उदाहरणार्थ:

व्यासावर आधारित कोन

तुमच्या लक्षात आले आहे की गणितज्ञांना एकाच गोष्टीबद्दल वेगवेगळ्या शब्दांत बोलणे खूप आवडते? ते त्यांच्यासाठी का आहे? तुम्ही पाहता, जरी गणिताची भाषा औपचारिक असली तरी ती जिवंत आहे आणि म्हणूनच, सामान्य भाषेप्रमाणे, प्रत्येक वेळी तुम्हाला ती अधिक सोयीस्कर पद्धतीने सांगायची आहे. बरं, "कमानावर कोन बसतो" म्हणजे काय ते आपण आधीच पाहिले आहे. आणि कल्पना करा, त्याच चित्राला "कोन जीवावर टिकतो" असे म्हणतात. कशावर? होय, नक्कीच, ज्याने हा चाप ओढला त्याच्यावर!

कमानीपेक्षा जीवावर अवलंबून राहणे केव्हा सोयीचे असते?

विहीर, विशेषतः, जेव्हा ही जीवा एक व्यास आहे.

अशा परिस्थितीसाठी एक आश्चर्यकारकपणे सोपे, सुंदर आणि उपयुक्त विधान आहे!

पहा: येथे एक वर्तुळ, व्यास आणि त्यावर विसंबलेला कोन आहे.

वर्तुळ आणि अंतर्भूत कोन. मुख्य बद्दल थोडक्यात

1. मूलभूत संकल्पना.

3. चाप आणि कोनांचे मोजमाप.

रेडियन कोन हा मध्य कोन आहे ज्याची कमानीची लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्याएवढी आहे.

ही एक संख्या आहे जी अर्धवर्तुळाच्या लांबीच्या त्रिज्याचे गुणोत्तर दर्शवते.

त्रिज्येचा घेर समान आहे.

4. कोरलेल्या आणि मध्य कोनांच्या मूल्यांमधील गुणोत्तर.