लॉगरिदमिक समीकरण परिभाषा. लॉगरिदमिक समीकरणांचे समाधान - अंतिम पाठ

समीकरणांसह, आम्ही प्रारंभिक वर्गांबद्दल परिचित आहोत. आम्ही अगदी सोप्या उदाहरणांपासून सोडवायला शिकलो आणि आपण कबूल केले पाहिजे की ते उच्च गणितामध्ये देखील त्यांचा वापर शोधतात. समीकरणांसह, सर्वकाही सोपे आहे, आणि स्क्वेअर. आपल्याला या विषयासह समस्या असल्यास, आम्ही ते पुन्हा उच्चारण्याची शिफारस करतो.

लॉगेरिथम आपण देखील पास केले आहे. तरीसुद्धा, आम्ही हे सांगणे महत्त्वाचे आहे की अद्याप माहित नाही अशा लोकांसाठी आहे. लॉगेरिदम चिन्हाच्या उजवीकडे असलेल्या नंबरवर असलेल्या संख्येसाठी ज्यायोगे लॉगेरिथम इतक्या प्रमाणात आहे. आपण ज्या आधारावर स्पष्ट व्हाल त्यावर उदाहरण देऊ या.

आपण चौथ्या पदवीमध्ये 3 उभे केले असाल तर ते 81 बाहेर वळते. आता समानतेद्वारे पर्यायी आणि लॉगेरिथम पूर्णपणे निराकरण केले जाईल हे आपल्याला समजेल. आता केवळ दोन संकल्पना एकत्र करणेच राहते. सुरुवातीला परिस्थिती अत्यंत कठीण वाटते, परंतु जवळच्या परीक्षेत, वजन त्याच्या जागी होते. आम्हाला विश्वास आहे की या लहान लेखानंतर परीक्षेच्या या भागामध्ये आपल्याला कोणतीही समस्या येणार नाही.

आज अशा संरचनेचे निराकरण करण्याचे बरेच मार्ग आहेत. आम्ही सर्वात सोपा, कार्यक्षम आणि सर्वात लागू ग्रीनबद्दल बोलू. लॉगरिदमिक समीकरणांचे निराकरण सर्वात सोपा उदाहरणाने सुरू करावे. सर्वात सोपा लॉगेरिथमिक समीकरणांचा समावेश असतो आणि त्यात एक व्हेरिएबल असतो.

असा विचार करणे महत्वाचे आहे की एक्स वितर्क आत आहे. ए आणि बी संख्या असणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, आपण केवळ फंक्शनला पदवीमध्ये व्यक्त करू शकता. हे असे दिसते.

अर्थात, लॉगरिदमिक समीकरणाचे निराकरण ही पद्धत आपल्याला योग्य उत्तर देईल. या प्रकरणात जबरदस्त बहुतेक विद्यार्थ्यांची समस्या अशी आहे की ते काय आणि कोठे घेतात हे त्यांना समजत नाही. परिणामी, आपल्याला त्रुटींसह ठेवणे आणि इच्छित गुण प्राप्त करणे आवश्यक आहे. आपण ठिकाणी अक्षरे गोंधळात पडल्यास सर्वात आक्षेपार्ह त्रुटी असेल. अशा प्रकारे समीकरण सोडविण्यासाठी, आपल्याला ही मानक शाळा फॉर्म्युला मिळवणे आवश्यक आहे कारण ते समजणे कठीण आहे.

हे सोपे करण्यासाठी, आपण दुसर्या पद्धतीचा अवलंब करू शकता - कॅनोनिकल फॉर्म. कल्पना अत्यंत सोपी आहे. पुन्हा कार्य दूर. लक्षात ठेवा की पत्र एक संख्या आहे, आणि फंक्शन किंवा व्हेरिएबल नाही. ए एक आणि अधिक शून्य नाही. बी वर कोणतेही बंधने नाहीत. आता मला एक सूत्र आठवते. खालीलप्रमाणे व्यक्त केले जाऊ शकते.

यातून असे खालीलप्रमाणे आहे की लॉगरिथमसह सर्व स्त्रोत समीकरणाचे प्रतिनिधित्व केले जाऊ शकते:

आता आपण लॉगेरिदम सोडू शकतो. हे एक सोपी रचना दर्शवते की आम्ही आधीपासून आधी पाहिले आहे.

या सूत्राची सोय अशी आहे की ते विविध प्रकारच्या प्रकरणांमध्ये लागू केले जाऊ शकते आणि केवळ सर्वात सोप्या डिझाइनसाठीच लागू केले जाऊ शकते.

ओओ बद्दल काळजी करू नका!

बर्याच अनुभवी गणितज्ञांना लक्षात येईल की आम्ही परिभाषा क्षेत्राकडे लक्ष दिले नाही. नियम कमी झाला आहे की एफ (x) आवश्यक आहे 0. नाही, आम्हाला या क्षणी चुकली नाही. आता आम्ही कॅनोनिक फॉर्मच्या दुसर्या मोठ्या फायद्यांविषयी बोलत आहोत.

येथे कोणतेही अतिरिक्त मुळे नाहीत. जर व्हेरिएबल एकाच ठिकाणी असेल तर परिभाषा क्षेत्र आवश्यक नाही. हे स्वयंचलितपणे केले जाते. हे निर्णय सुनिश्चित करण्यासाठी, अनेक साध्या उदाहरणांचे निराकरण करा.

वेगवेगळ्या आधारे लॉगरिदमिक समीकरण कसे सोडवायचे

हे आधीच जटिल जटिल glogayhightmic समीकरण आहेत आणि त्यांच्या समाधानाचा दृष्टीकोन विशेष असावा. क्वचितच कुख्यात कॅनोनिकल फॉर्मद्वारे क्वचितच प्राप्त झाले आहे. चला आपली तपशीलवार कथा सुरू करूया. आमच्याकडे खालील डिझाइन आहे.

अपूर्णांककडे लक्ष द्या. त्यात एक लॉगरिथम आहे. आपण हे कार्यामध्ये पहात असल्यास, एक मनोरंजक तंत्र लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे.

याचा अर्थ काय आहे? प्रत्येक लॉगेरिदमला सोयीस्कर बेससह खाजगी दोन लॉगेरिदम म्हणून दर्शविले जाऊ शकते. आणि या सूत्रामध्ये विशेष प्रकरण आहे जे या उदाहरणावर लागू आहे (याचा अर्थ सी \u003d बी).

हे असे अपूर्ण आहे जे आपण आपल्या उदाहरणामध्ये पाहतो. अशा प्रकारे.

खरं तर, अपूर्णांक चालू आणि अधिक सोयीस्कर अभिव्यक्ती मिळाली. हे अल्गोरिदम लक्षात ठेवा!

आता लॉगरिदमिक समीकरणामध्ये वेगवेगळे आधार नसल्याचे आवश्यक आहे. Fraquest द्वारे प्रतिनिधित्व.

गणित मध्ये एक नियम आहे ज्यावर आधारित आधार असू शकते. खालील बांधकाम प्राप्त होते.

असे दिसून येईल की आता आपल्या अभिव्यक्तीला कॅनोनिक फॉर्म आणि प्राथमिकतेचे निराकरण करण्यासाठी व्यत्यय आणते? इतके सोपे नाही. आम्ही लॉगेरिथमच्या आधी अंश असू नये. ही परिस्थिती दुरुस्त करा! अपूर्णांक एक प्रमाणात सहन करण्याची परवानगी आहे.

अनुक्रमे क्रमशः

जर तळघर समान असतील तर आपण लॉगेरिदम काढू आणि स्वत: च्या अभिव्यक्तीशी जुळवून घेऊ शकतो. म्हणून परिस्थिती त्यापेक्षा खूप सोपी असेल. प्राथमिक समीकरण राहील, जे आपल्यापैकी प्रत्येकाला 8 किंवा ग्रेड 7 मध्ये कसे निर्णय घ्यावे हे माहित होते. गणना आपण स्वत: तयार करू शकता.

आम्हाला या लॉगेरिदमिक समीकरणाचा एकमेव खरा रूट मिळाला. लॉगरिदमिक समीकरणाच्या समाधानाचे उदाहरण अगदी सोपे आहे, बरोबर? आता आणि आपण वापराच्या तयारी आणि वितरणासाठी सर्वात कठीण कार्यांसह देखील समजून घेता.

परिणाम काय आहे?

कोणत्याही लॉगेरिदमिक समीकरणांच्या बाबतीत, आम्ही एक अतिशय महत्त्वपूर्ण नियमांमधून पुढे जाऊ. अभिव्यक्तीला सोप्या मनापासून प्रेरणा देणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, आपल्याकडे योग्यरित्या कार्य सोडू नये, परंतु त्यास सर्वात सोपा आणि तार्किक मार्ग देखील बनवा. गणित नेहमीच कार्य करतात.

आम्ही जोरदार शिफारस करतो की आपण या प्रकरणात जटिल मार्ग शोधत आहात. कोणत्याही स्पष्ट नियम लक्षात ठेवा जे कोणत्याही अभिव्यक्ती बदलण्याची परवानगी देईल. उदाहरणार्थ, दोन किंवा तीन लॉगेरिथम एका बेसमध्ये आणा किंवा जमिनीतून एक पदवी घ्या आणि त्यावर विजय मिळवा.

हे लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की लॉगेरिदमिक समीकरणांना सतत ट्रेन करणे आवश्यक आहे. हळूहळू, आपण अधिक आणि अधिक जटिल डिझाइन पुढे जाल आणि यामुळे आपल्याला वापरासाठी सर्व कार्यांचे आत्मविश्वास समाधान मिळेल. आगाऊ परीक्षांसाठी तयार व्हा आणि आपल्यासाठी शुभेच्छा!

आज आपण सर्वात सोपा लॉगरिदमिक समीकरण सोडवण्यास शिकणार आहोत जेथे प्रारंभिक रूपांतरण आणि मुळे निवड आवश्यक नाहीत. परंतु जर तुम्ही अशा समीकरणांचे निराकरण कसे करावे हे शिकलात तर ते खूपच सोपे होईल.

सर्वात सोपा लॉगरिदमिक समीकरण हा एक एफ (x) \u003d बी प्रकारचा आहे, जेथे अ, बी ही संख्या आहे (ए\u003e 0, ए 1), एफ (x) काही कार्य आहे.

सर्व लॉगेरिदमिक समीकरणांची एक विशिष्ट वैशिष्ट्य म्हणजे लॉगेरिदमच्या चिन्हाच्या खाली व्हेरिएबल x ची उपस्थिती आहे. सुरुवातीला समस्येमध्ये समीकरण दिले जाते तर त्याला सर्वात सोपा म्हटले जाते. इतर कोणत्याही लॉगरिदमिक समीकरणांना विशेष रूपांतरणाद्वारे सोप्या आणि "मूलभूत लॉगेरिथम प्रॉपर्टीस" पहा). तथापि, असंख्य subtleties खात्यात घेणे आवश्यक आहे: अनावश्यक मुळे येऊ शकतात, त्यामुळे जटिल लॉगरिदमिक समीकरण स्वतंत्रपणे मानले जाईल.

अशा समीकरण कसे सोडवायचे? समानता चिन्हाच्या उजवीकडे असलेल्या संख्ये पुनर्स्थित करणे, डावीकडे समान आधारावर लॉगेरिथम पुनर्स्थित करणे पुरेसे आहे. मग आपण लॉगेरिथम चिन्हापासून मुक्त होऊ शकता. आम्हाला मिळते:

लॉग इन एक एफ (x) \u003d b ⇒ लॉग इन करा एक एफ (x) \u003d लॉग ए बी ⇒ एफ (x) \u003d ए बी

नेहमीचे समीकरण प्राप्त केले. त्याचे मुळे मूळ समीकरण च्या मुळे आहेत.

पदवी तयार करणे

बर्याचदा, जटिल सूत्रांना आकर्षित केल्याशिवाय बाह्य आणि धमकी दर्शविणारे लॉगेरिदमिक समीकरणांचे वर्णन केले जाते. आज आपण अशा कार्ये विचारात घेणार आहोत जिथे आपल्यास आवश्यक असलेले सर्वकाही सूक्ष्मदृष्ट्या फॉर्म्युला कमी करणे आणि लॉगेरिथमच्या परिभाषा क्षेत्रासाठी शोधताना गोंधळ होऊ नये.

आज, आपण आधीपासूनच नावावरून अंदाज लावल्याप्रमाणे, आम्ही संक्रमण सूचनांवर कॅनोनिकल फॉर्मवर लॉगरिदमिक समीकरण सोडवू. या व्हिडिओचे मुख्य "चिप" अंशांसह कार्य करेल किंवा बेस आणि युक्तिवादांमधून पदवी तयार करेल. आता नियम विचारात घेऊया:

त्याचप्रमाणे, आपण फाउंडेशनमधून पदवी बनवू शकता:

आपण पाहू शकता की, आपण लॉगेरिथम युक्तिजनातून दिसल्यास, आम्ही फक्त समोर दिसतो, नंतर जेव्हा बेसच्या पदवीची पदवी फक्त एक गुणक नाही, परंतु उलटा गुणक नसते. हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे.

शेवटी, सर्वात मनोरंजक. हे सूत्र एकत्र केले जाऊ शकतात, नंतर आपल्याला मिळेल:

अर्थातच, डेटा संक्रमण करताना, परिभाषा क्षेत्राच्या संभाव्य विस्तारासह किंवा निर्धारित क्षेत्राच्या संकल्पनेच्या विरूद्ध विशिष्ट पाण्याच्या पायऱ्या आहेत. स्वत: साठी न्यायाधीशः

लॉग 3 x 2 \u003d 2 ∙ लॉग 3 एक्स

पहिल्या प्रकरणात, 0, i.e पासून भिन्न असल्यास, x म्हणून उभे राहू शकते, नंतर दुसर्या प्रकरणात, फक्त x settled जाईल, जे फक्त समान नाही आणि 0 पेक्षा कठोरपणे, logarithm परिभाषा क्षेत्र कारण असे आहे की युक्तिवाद 0 पेक्षा कठोरपणे मोठा होता. म्हणूनच, मी तुम्हाला 8-9 वर्ग बीजग्रासच्या कोर्समधून एक अद्भुत सूत्राने आठवण करून देईन:

म्हणजेच, आपण आपला फॉर्मूला खालीलप्रमाणे लिहावा:

लॉग 3 x 2 \u003d 2 ∙ लॉग 3 | X |

मग परिभाषा नाही परिभाषा क्षेत्र होईल.

तथापि, आजच्या व्हिडिओ ट्यूटोरियलमध्ये स्क्वेअर असतील. आपण आमच्या कार्यांकडे लक्ष केल्यास, आपल्याला फक्त मुळे दिसतील. परिणामी, आम्ही हा नियम लागू करणार नाही, परंतु तरीही माझ्या डोक्यात ठेवण्याची गरज आहे, जेणेकरून आपण तर्क किंवा लॉगेरिदमच्या आधारावर एक चतुर्भुज कार्य पाहता तेव्हा आपल्याला हा नियम आठवते आणि सर्व बदल लक्षात ठेवा. योग्यरित्या.

तर, पहिला समीकरण:

अशा प्रकारचे कार्य सोडविण्यासाठी मी फॉर्म्युलामध्ये उपस्थित असलेल्या प्रत्येक अटींवर काळजीपूर्वक पहाण्याचा प्रस्ताव देतो.

तर्कसंगत सूचक असलेल्या पदवीच्या स्वरूपात प्रथम शब्द पुन्हा लिहा:

आम्ही दुसऱ्या टर्मकडे पाहतो: लॉग 3 (1 - x). येथे काहीही करणे आवश्यक नाही, सर्वकाही आधीच येथे रूपांतरित होत आहे.

शेवटी, 0, 5. मी मागील धड्यांमध्ये म्हटल्याप्रमाणे, लॉगेरिदमिक समीकरण आणि सूत्र सोडताना मी दशांश भागातून सामान्य दिशेने फिरण्याची शिफारस करतो. चला ते करूया:

0,5 = 5/10 = 1/2

आम्ही प्राप्त केलेल्या अटी लक्षात घेऊन आम्ही आमच्या मूळ फॉर्म्युला पुन्हा लिहा.

लॉग 3 (1 - x) \u003d 1

आता कॅनोनिकल फॉर्मवर जा:

लॉग 3 (1 - x) \u003d लॉग 3 3

वितर्क समान, logarithm चिन्ह सोडवा:

1 - x \u003d 3

-एक्स \u003d 2.

x \u003d -2.

सर्व, आम्ही समीकरण सोडवले. तथापि, परिभाषाचे क्षेत्र सुधारित आणि शोधू. हे करण्यासाठी, मूळ सूत्राकडे परत आणि पहा:

1 - x\u003e 0

-एक्स\u003e -1

एक्स< 1

आमचे मूळ x \u003d -2 ही आवश्यकता पूर्ण करते, म्हणून, x \u003d -2 मूळ समीकरणांचे एक समाधान आहे. आता आम्हाला कठोर स्पष्ट औचित्य मिळाले. सर्व, कार्य निराकरण आहे.

दुसऱ्या कार्यावर जा:

चला प्रत्येकाला स्वतंत्रपणे हाताळूया.

आम्ही प्रथम लिहितो:

आम्ही पहिला शब्द बदलला. आम्ही दुसऱ्या टर्मसह काम करतो:

अखेरीस, शेवटचा शब्द, जो समानता चिन्हाच्या उजवीकडे आहे:

परिणामी सूत्रांमधील घटकांऐवजी आम्ही प्राप्त अभिव्यक्तीची जागा देतो:

लॉग 3 एक्स \u003d 1

कॅनोनिकल फॉर्म वर जा:

लॉग 3 एक्स \u003d लॉग 3 3

वितर्क समान करणे, लॉगेरिथमच्या चिन्हापासून मुक्त व्हा आणि आम्हाला मिळते:

x \u003d 3.

पुन्हा, या प्रकरणात, मूळ समीकरण परत आणि पहा. स्त्रोत फॉर्म्युला मध्ये, व्हेरिएबल एक्स केवळ वितर्कमध्येच आहे

x\u003e 0.

दुसऱ्या logarithm मध्ये, ते रूट अंतर्गत उभे, परंतु पुन्हा वितर्क मध्ये, रूट 0 पेक्षा मोठे असणे आवश्यक आहे, म्हणजे आहार अभिव्यक्ती 0 पेक्षा जास्त असावा. आम्ही आमच्या मूळ x \u003d 3. वर पहा. हे आवश्यक आहे. परिणामी, x \u003d 3 मूळ लॉगेरिथमिक समीकरणाचे निराकरण आहे. सर्व, कार्य निराकरण आहे.

आजच्या व्हिडिओ ट्यूटोरियल मध्ये मुख्य क्षण दोन:

1) लॉगरिथम्स रूपांतरित करण्यास घाबरू नका आणि विशेषतः, लॉगरिथम चिन्हासाठी अंश टिकवून ठेवण्यास घाबरू नका, आमच्या मूलभूत सूत्राची आठवण ठेवताना: युक्तिवाद पासून पदवी तयार करताना, ते फक्त गुणक म्हणून अपरिवर्तित केले जाते, आणि जेव्हा बेसपासून पदवीची पदवी, ही पदवी चालू आहे.

2) दुसरा बिंदू स्वतःला कॅनोनिक फॉर्मशी संबंधित आहे. Logarithmic समीकरणाच्या सूत्राच्या रूपांतरणाच्या रूपात कालबाह्य स्वरुपाचे संक्रमण केले गेले. मला आपल्याला खालील सूत्रावर आठवण करून द्या:

ए \u003d लॉग बी बी

अर्थात, "कोणत्याही नंबर बी" च्या अभिव्यक्तीखाली, मला असे वाटते की लॉजायथमच्या आधारावर लागू केलेल्या गरजा पूर्ण करतात,

1 ≠ बी\u003e 0

म्हणून अशा बी सह, आणि आमच्या फाउंडेशन आधीच माहित असल्याने, ही आवश्यकता स्वयंचलितपणे अंमलात आणली जाईल. परंतु अशा बी सह - या आवश्यकतेची पूर्तता करणारे कोणीही - ही संक्रमण करता येते आणि आमच्याकडे एक राजकीय स्वरूप असेल ज्यामध्ये आपण लॉगेरिथम चिन्हापासून मुक्त होऊ शकता.

परिभाषा क्षेत्र विस्तार आणि अतिरिक्त मुळे

लॉगरिदमिक समीकरण बदलण्याच्या प्रक्रियेत, परिभाषा क्षेत्राचा एक उल्लेख वाढ होऊ शकतो. बर्याचदा, विद्यार्थ्यांना हे देखील लक्षात आले नाही, जे त्रुटी आणि चुकीचे उत्तर ठरते.

चला सर्वात सोपा संरचनेसह प्रारंभ करूया. सर्वात सोपा लॉगेरिथमिक समीकरण खालील आहे:

एक एफ (x) \u003d बी

कृपया लक्षात ठेवा: एक्स केवळ एक लॉगेरिथमच्या एका वितर्कमध्ये आहे. आम्ही अशा समीकरणांचे निराकरण कसे करू? आम्ही एक कॅनोनिक फॉर्म वापरतो. हे करण्यासाठी, आम्ही नंबर बी \u003d लॉग ए बी लॉग इन करतो आणि आमच्या समीकरणाचे पुनरुत्थान खालील फॉर्ममध्ये पुनरावृत्ती होते:

एक एफ (x) लॉग इन करा \u003d एक बी लॉग

या एंट्रीला कॅनोनिकल फॉर्म म्हटले जाते. तिच्याकडे आहे की कोणत्याही लॉगरिदमिक समीकरण, जे आपण केवळ आजच्या धड्यातच नव्हे तर कोणत्याही स्वतंत्र आणि चाचणीच्या कामात देखील भेटता.

कनिष्ठ स्वरूपात कसे येतात, वापरण्याची कोणती तंत्रे आधीच सरावची बाब आहे. मुख्य गोष्ट समजून घेणे आहे: जेव्हा आपल्याला अशा प्रकारचा रेकॉर्ड मिळतो, तेव्हा आपण असे मानू शकतो की कार्य निराकरण झाले आहे. कारण पुढील चरण प्रवेश असेल:

f (x) \u003d एक बी

दुसर्या शब्दात, आम्ही लॉगेरिदमच्या चिन्हापासून मुक्त होतो आणि वितर्क समान करणे.

हे सर्व संभाषण काय आहे? खरं तर, कॅनोनिकल फॉर्म केवळ सोप्या कार्यासाठीच नव्हे तर इतर कोणत्याही गोष्टीवर लागू आहे. विशेषतः, आणि आज आपण निर्णय घेणार आहोत. बघूया.

प्रथम कार्यः

या समीकरणाची समस्या काय आहे? हे कार्य दोन लॉगेरिथममध्ये त्वरित उभे आहे. कार्य कमीतकमी कमी केले जाऊ शकते, फक्त एक लॉगेरिथम कापून घेते. परंतु परिभाषाच्या क्षेत्रामध्ये समस्या आहेत: अतिरिक्त मुळे येऊ शकतात. तर आपण फक्त एक logarithms उजवीकडे हस्तांतरित करूया:

हा एक रेकॉर्ड आहे जो एकटाच एक कॅनोनिकल फॉर्मसारखा आहे. पण आणखी एक नाट्य आहे: कॅनोनिकल स्वरूपात, युक्तिवाद समान असावे. आणि आपल्याकडे 3 च्या तळाशी आणि उजवीकडे - 1/3 च्या आधारावर एक लॉगरिदम आहे. त्याला माहित आहे, आपल्याला या आधारावर एकाच संख्येवर आणण्याची गरज आहे. उदाहरणार्थ, नकारात्मक अंश काय आहे ते लक्षात ठेवा:

आणि मग आम्ही gondiplier म्हणून लॉग पलीकडे "-1" सूचक वापरू:

कृपया लक्षात ठेवा: बेसवर उभे असलेले पदवी संपते आणि अपूर्णांक बदलते. आम्हाला जवळजवळ कॅनोनिकल रेकॉर्ड मिळाले, वेगवेगळ्या कारणांपासून मुक्त होणे, परंतु परतावा "-1" गुणकांना उजवीकडे प्राप्त झाला. चला या गुणकाने युक्तिवादाने ते अंशतः बदलूया:

अर्थात, एक कॅनोनिकल फॉर्म प्राप्त झाला, तर आपण धैर्याने लॉगेरिथमचे चिन्ह पार केले आणि युक्तिवादांना समान केले. त्याच वेळी, मी तुम्हाला आठवण करून देतो की जेव्हा ते "-1" पदवी तयार होते तेव्हा - अपूर्णांक फक्त चालू होते - प्रमाण प्राप्त होते.

आम्ही प्रमाण आणि व्हेरिएबल क्रॉसाइव्हच्या प्रमाणाची मुख्य मालमत्ता वापरतो:

(x - 4) (2x - 1) \u003d (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 \u003d 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9 एक्स + 4 \u003d 3 एक्स 2 - 1 9 एक्स +20

x 2 - 10x + 16 \u003d 0

आमच्याकडे दिलेली चौरस समीकरण आहे, म्हणून आम्ही ते व्हीइटीच्या सूत्रांच्या मदतीने सोडवतो:

(x - 8) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 8; x 2 \u003d 2

ते सर्व आहे. आपल्याला वाटते की समीकरण ठरविले आहे? नाही! अशा निर्णयासाठी, आम्ही 0 पॉइंट प्राप्त करतो, कारण स्त्रोत समीकरणात एक्स व्हेरिएबलमधून दोन लॉगेरिथम आहेत. म्हणून, हे परिभाषा क्षेत्र लक्षात घेणे आवश्यक आहे.

आणि येथे मजा सुरू होते. बहुतेक विद्यार्थी गोंधळलेले आहेत: लॉगेरिथम परिभाषाचे क्षेत्र काय आहे? अर्थातच, सर्व वितर्क (आपल्याकडे दोन आहेत) अधिक शून्य असावे:

(x - 4) / (3x - 4)\u003e 0

(x - 5) / (2x - 1)\u003e 0

या प्रत्येक असमानतींना सोडविणे, सरळ रेषेवर चिन्हांकित करणे आवश्यक आहे, क्रॉस - आणि केवळ नंतर छेदनबिंदूवर काय खोटे आहे ते पहा.

मी प्रामाणिकपणे म्हणेन: या तंत्र अस्तित्वाचा अधिकार आहे, तो विश्वासार्ह आहे, आणि आपल्याला योग्य उत्तर मिळेल, परंतु त्यात खूप अनावश्यक कृती आहेत. तर पुन्हा आपल्या समस्येतून पुन्हा जाऊ आणि पाहा: परिभाषा क्षेत्रास लागू करणे आवश्यक आहे का? दुसर्या शब्दात, अतिरिक्त मुळे नक्कीच उद्भवतात तेव्हा देखील समजणे आवश्यक आहे.

1. सुरुवातीला आमच्याकडे दोन लॉगेरिथम होते. मग आम्ही त्यांच्यापैकी एक उजवीकडे हलविले, परंतु त्यांनी परिभाषा क्षेत्राला प्रभावित केले नाही.
2. मग आम्ही फाऊंडेशनमधून पदवी सहन करतो, परंतु लॉगरिदम अद्यापही दोन राहतात आणि त्यांच्यापैकी प्रत्येकामध्ये एक व्हेरिएबल x आहे.
3. शेवटी, आम्ही लॉगच्या चिन्हे पार करतो आणि क्लासिक अपूर्णांकात्मक तर्कशुद्ध समीकरण प्राप्त करतो.

हे शेवटचे पाऊल आहे की परिभाषाचे क्षेत्र विस्तारीत आहे! आम्ही लॉगच्या चिन्हेपासून मुक्त होताना, फ्रॅक्शनल तर्कशुद्ध समीकरणावर स्विच केले म्हणून, व्हेरिएबल एक्सच्या आवश्यकता वेगाने बदलल्या!

परिणामी, या निर्णयाच्या सुरुवातीस परिभाषा क्षेत्राचा विचार केला जाऊ शकत नाही, परंतु केवळ उल्लेख केलेल्या चरणात - वितर्कांना थेट समान करणे.

हे ऑप्टिमाइझ करण्याची संधी देखील आहे. एका बाजूला, आम्हाला आवश्यक आहे की दोन्ही वितर्कांमध्ये जास्त शून्य आहे. इतर वर - आम्ही या युक्तिवाद समान. परिणामी, किमान एक आणि ते सकारात्मक असल्यास, दुसरा देखील सकारात्मक असेल!

म्हणूनच असे दिसून येते की दोन असमानता पूर्ण होण्याची मागणी जास्त आहे. या अपूर्णांपैकी एक विचार करणे पुरेसे आहे. कोणता? ते सोपे आहे. उदाहरणार्थ, योग्य अपूर्णांकाने ते समजूया:

(x - 5) / (2x - 1)\u003e 0

हे एक सामान्य अंशात्मक तर्कसंगत असमानता आहे, ते अंतराने सोडवते:

चिन्हे व्यवस्थित कसे करावे? आमच्या सर्व मुळांपेक्षा जाणूनबुजून अधिक, संख्या घ्या. उदाहरणार्थ, 1 अब्ज आणि आम्ही ते अपूर्णांक बदलतो. आम्ही एक सकारात्मक संख्या प्राप्त करतो, i.e. रूट एक्स \u003d 5 च्या उजवीकडे एक चिन्ह "प्लस" एक चिन्ह उभे करेल.

मग चिन्हे वैकल्पिक, कारण बहुसंख्यतेचे मुळे नाहीत. आम्ही अंतरामध्ये स्वारस्य आहे, जेथे कार्य सकारात्मक आहे. परिणामी, x ∈ (-∞; -1/2) ∪ (5; + ∞).

आता मला उत्तरांची आठवण आठवते: x \u003d 8 आणि x \u003d 2. कठोरपणे बोलणे, हे अद्याप उत्तर नाही तर केवळ उत्तरांसाठी उमेदवार आहेत. कोणते निर्दिष्ट सेट आहे? अर्थात, x \u003d 8. परंतु x \u003d 2 परिभाषेनुसार आम्हाला अनुकूल नाही.

प्रथम लॉगरिदमिक समीकरणास एकूण प्रतिसाद एक्स \u003d 8 असेल. परिभाषाच्या आधारावर आम्हाला सक्षम, वाजवी उपाय मिळाले आहे.

दुसर्या समीकरण वर जा:

लॉग 5 (एक्स - 9) \u003d लॉग 0.5 4 - लॉग 5 (एक्स - 5) + 3

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की समीकरणातील दशांश भाग असल्यास, ते काढून टाकणे आवश्यक आहे. दुसर्या शब्दात, सामान्य अपूर्णांक म्हणून 0.5 पुन्हा लिहा. ताबडतोब लक्षात येईल की हे बेस असलेले लॉगेरिथम सहजपणे विचारात घेतले आहे:

हा खूप महत्वाचा क्षण आहे! जेव्हा आपल्याकडे जमिनीत असतो आणि तर्क खर्चाच्या अंशांमध्ये, आम्ही या अंशांचे सूत्र तयार करू शकतो:

आम्ही आमच्या प्रारंभिक लॉगेरिदमिक समीकरण परत आणि ते पुन्हा लिहा:

लॉग 5 (एक्स - 9) \u003d 1 - लॉग 5 (एक्स - 5)

एक डिझाइन, पूर्णपणे coneonical फॉर्म जवळ. तथापि, आपण अटींनी शर्मिंदा आहोत आणि समानतेच्या चिन्हाच्या उजवीकडे "minus" चिन्हांकित करतो. चला 5 वर आधारित लॉगरिदम म्हणून युनिट कल्पना करूया:

लॉग 5 (एक्स - 9) \u003d लॉग 5 5 1 - लॉग 5 (एक्स - 5)

उजवीकडील logarithmms सदस्यता घ्या (त्यांचे वितर्क विभाजित असताना):

लॉग 5 (एक्स - 9) \u003d लॉग 5 5 / (एक्स - 5)

पूर्णपणे. म्हणून आम्हाला एक कॅनोनिकल फॉर्म मिळाला! वितर्क समानित लॉग चिन्हे crouching:

(x - 9) / 1 \u003d 5 / (x - 5)

क्रॉस क्रॉसच्या गुणाकारांद्वारे सहज सोडविण्याचा हा एक प्रमाण आहे:

(x - 9) (x - 5) \u003d 5 1

x 2 - 9 एक्स - 5 एक्स + 45 \u003d 5

x 2 - 14x + 40 \u003d 0

स्पष्टपणे, आमच्याकडे कमी स्क्वेअर समीकरण आहे. Vieta च्या सूत्रांच्या मदतीने ते सहज सोडले जाते:

(x - 10) (x - 4) \u003d 0

x 1 \u003d 10

x 2 \u003d 4

आम्हाला दोन मुळे मिळाले. परंतु हे अंतिम उत्तर नाहीत, परंतु केवळ उमेदवार आहेत, कारण लॉगरिदमिक समीकरणाची आवश्यकता देखील परिभाषाचे क्षेत्र तपासते.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो: जेव्हा शोधू नका प्रत्येकजण युक्तिवादांमधून जास्त शून्य असेल. एक युक्तिवाद करण्याची गरज आहे - एकतर एक्स - 9, किंवा 5 / (x - 5) - शून्यपेक्षा मोठा होता. प्रथम वितर्क विचारात घ्या:

एक्स - 9\u003e 0

x\u003e 9.

स्पष्टपणे, ही आवश्यकता केवळ x \u003d 10 संतुष्ट करते. हा अंतिम उत्तर आहे. सर्व कार्य निराकरण आहे.

आजच्या धड्याचे महत्त्वाचे विचार एकदा:

1. व्हेरिएबल एक्स अनेक लॉगेरिदमध्ये दिसून येते, समीकरण प्राथमिक असल्याचे ठरते आणि परिभाषाचे क्षेत्र विचारात घ्यावे लागेल. अन्यथा आपण सहजपणे अतिरिक्त मुळे लिहून ठेवू शकता.
2. असमानता ताबडतोब नसल्यास परिभाषाच्या अत्यंत क्षेत्रासह कार्य करणे लक्षणीय सोपे असू शकते, परंतु अगदी क्षणी आपल्याला लॉगच्या चिन्हेपासून मुक्त होतो. शेवटी, जेव्हा युक्तिवाद एकमेकांना समान समजतात तेव्हा त्यांच्यापैकी फक्त एक शून्य आहे अशी मागणी करणे पुरेसे आहे.

अर्थात, आपण स्वतःला असमानता बनवण्यासाठी कोणत्या युक्तिवादातून निवडतो, म्हणून सर्वात सोपा निवडण्यासाठी तार्किक आहे. उदाहरणार्थ, दुसऱ्या समीकरणात, आम्ही एक आर्ग्युमेंट (एक्स - 9) -लाइन फंक्शन निवडले, एक अपूर्ण-तर्कशुद्ध द्वितीय वितर्कच्या विरोधात. सहमत आहे, असमानता x - 9\u003e 0 0 0 0 पेक्षा अधिक सोपा आहे. 0. जरी परिणाम समान आहे.

हे टिप्पणी लक्षणीयरित्या ओटीएजी शोधते, परंतु सावधगिरी बाळगा: वितर्क असताना केवळ दोनऐवजी एक असमानता वापरा एकमेकांना समतुल्य!

अर्थात, कोणीतरी विचारेल: वेगळ्या गोष्टीमुळे काय होते? होय, कधीकधी. उदाहरणार्थ, चरणांमध्ये, जेव्हा आपण व्हेरिएबल असून दोन युक्तिवाद चालू करतो तेव्हा अतिरिक्त मुळांच्या घटनांचा धोका घातला जातो.

स्वत: साठी न्यायाधीश: प्रथम आवश्यक आहे की प्रत्येक वितर्कांकडे जास्त शून्य आहे, परंतु त्यांचे कार्य अधिक शून्य करण्यासाठी पुरेसे प्रमाणित केल्यानंतर. परिणामी, या पैकी प्रत्येक ताण नकारात्मक असतो तेव्हा केस दुर्लक्षित केला जातो.

म्हणूनच, जर आपण जटिल जटिल gogarithmic समीकरण हाताळू लागले तर, कोणत्याही परिस्थितीत व्हेरिएबल x सह लॉगेरिदम्स घातली नाहीत - बर्याचदा ते अतिरिक्त मुळे घडतील. एक अतिरिक्त पाऊल चांगले करा, एक शब्द एक शब्द एकनिष्ठ फॉर्म करण्यासाठी दुसर्या मार्गावर हस्तांतरित करा.

ठीक आहे, आपण अशा लॉगेरिदम गुणाकार न करता कार्य करू शकत नसल्यास, पुढील व्हिडिओ ट्यूटोरियल मध्ये आम्ही चर्चा करू. :)

पुन्हा एकदा समीकरण मध्ये अंश बद्दल

आज आम्ही लॉगरिदमिक समीकरणांबद्दल किंवा त्याऐवजी, तर्कशक्ती आणि लॉगेरिदमच्या आधारावर अंशांची पदवी विश्लेषित करू.

मी असेही म्हणू इच्छितो की ते अगदी अंश देखील करणार आहे, कारण ते अगदी अंश आहे की बर्याच अडचणी उद्भवतात आणि वास्तविक लॉगेरिदमिक समीकरण सोडतात.

चला कॅनोनिकल फॉर्मसह प्रारंभ करूया. समजा आपल्याकडे असलेल्या प्रकाराचे एक समीकरण आहे जे एक एफ (x) \u003d b. या प्रकरणात, आम्ही फॉर्म b \u003d formula b द्वारे पुन्हा लिहा \u003d एक बी. हे खालील गोष्टी दर्शवते:

एक एफ (x) लॉग इन करा \u003d एक बी लॉग

मग आम्ही युक्तिवाद समान करतो:

f (x) \u003d एक बी

कॅनोनिकल फॉर्मला शेवटचा फॉर्मूला म्हणतात. हे तिच्यासाठी आहे की कोणत्याही लॉगरिदमिक समीकरणाने पहिल्या दृष्टीक्षेपात किती कठीण आणि भयंकर असले पाहिजे ते कमी करण्याचा प्रयत्न करीत आहे.

येथे प्रयत्न करा आणि प्रयत्न करा. चला प्रथम कार्य सुरू करूया:

प्राथमिक टीप: मी म्हटल्याप्रमाणे, लॉगेरिदमिक समीकरणातील सर्व दशांश भाग सामान्यपणे भाषांतर करणे चांगले आहे:

0,5 = 5/10 = 1/2

या तथ्यासह आपल्या समीकरणास पुन्हा लिहा. लक्षात घ्या की 1/1000 आणि 100 डझनची डिग्री आहे आणि नंतर सर्वत्रून पदवी आणते, ते कोठे आहेत: वितर्कांमधून आणि अगदी लॉगेरिदमच्या स्थापनेपासून:

आणि येथे अनेक विद्यार्थ्यांना एक प्रश्न आहे: "मॉड्यूल कसे योग्य होते?" खरंच, फक्त (x - 1) लिहा का? अर्थात, आता आपण (x-1 लिहू (x - 1), परंतु अशा एंट्रीचा अधिकार आपल्याला परिभाषा क्षेत्रासाठी खाती देतो. शेवटी, दुसर्या logarithm मध्ये, ते आधीच (x - 1) आहे, आणि हे अभिव्यक्ती शून्य पेक्षा मोठे असावे.

परंतु जेव्हा आपण logarithm च्या पायापासून स्क्वेअर सहन करतो, तेव्हा आपण मॉड्यूल बेस वर सोडले पाहिजे. मी समजावून सांगेन.

खरं तर गणिताच्या दृष्टिकोनातून पदवी रूटच्या निष्कर्षापर्यंत समतुल्य आहे. विशेषतः, जेव्हा स्क्वेअर अभिव्यक्ती (x - 1) 2 वरून बनवले जाते तेव्हा आम्ही अनिवार्यपणे दुसर्या पदवीचे मूळ काढून टाकत आहोत. पण स्क्वेअरचे मूळ एक मॉड्यूलपेक्षा काहीच नाही. नक्की मॉड्यूलकारण x - 1 ने नकार दिला असला तरीही "ऋण" स्क्वेअरमध्ये बांधला जातो तेव्हा ते अद्याप बर्न होईल. मूळ पुढील काढून टाकण्यासाठी आम्हाला एक सकारात्मक क्रमांक द्या - कोणत्याही खाणीशिवाय.

सर्वसाधारणपणे, आक्षेपार्ह चुका टाळण्यासाठी, एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा:

त्याच पदवीमध्ये बांधलेल्या कोणत्याही फंक्शनमधून अगदी डिग्री रूट हे स्वत: च्या कार्यरत नाही आणि त्याचे मॉड्यूल:

आमच्या लॉगरिदमिक समीकरण परत. मॉड्यूलबद्दल बोलताना, मी तर्क केला की आम्ही ते निराश करू शकतो. हे खरे आहे. आता मी समजावून सांगेन. कठोरपणे बोलणे, आम्हाला दोन पर्यायांचा विचार करण्यास बांधील होते:

1. एक्स - 1\u003e 0 ⇒ | एक्स - 1 | \u003d एक्स - 1
2. एक्स - 1.< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

यापैकी प्रत्येक पर्याय सोडवावे. परंतु एक स्नॅग आहे: स्त्रोत फॉर्म्युला मध्ये कोणत्याही मॉड्यूलशिवाय आधीपासूनच फंक्शन (x - 1) आहे. आणि लॉगेरिदमची व्याख्या क्षेत्राचे अनुसरण करून, ते x - 1\u003e 0 खाली लिहून ठेवण्याचा अधिकार आमच्याकडे आहे.

आपण सोल्यूशन दरम्यान केलेल्या सर्व मॉड्यूल आणि इतर रूपांतरणांकडे दुर्लक्ष करून ही आवश्यकता दिली पाहिजे. परिणामी, दुसरा पर्याय अर्थहीन मानला जातो - तो कधीही उद्भवणार नाही. जरी असमानतेच्या या शाखेत सोडवताना आम्हाला काही संख्या मिळतील, तरीही त्यांना अंतिम उत्तरामध्ये समाविष्ट होणार नाही.

आता आपण logarithmic समीकरण च्या conenical स्वरूपातून एक पाऊल एक एक पाऊल आहे. चला खालील फॉर्ममध्ये युनिटची कल्पना करूया:

1 \u003d लॉग एक्स - 1 (एक्स - 1) 1

याव्यतिरिक्त, आम्ही युक्तिवाद मध्ये, उजवीकडे उभे, गुणक -4 बनवू.

लॉग एक्स - 1 10 -4 \u003d लॉग एक्स - 1 (एक्स - 1)

आमच्याकडे लॉगरिदमिक समीकरणाचे राजकीय स्वरूप आहे. लॉगेरिथम चिन्हापासून मुक्त व्हा:

10 -4 \u003d x - 1

परंतु पायावर एक कार्य (आणि साध्या क्रमांकावर नाही) म्हणून आम्ही या कार्यास शून्य पेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे आणि एक समान नाही. ही प्रणाली असेल:

आवश्यकता x - 1\u003e 0 स्वयंचलितपणे केली जाते (सर्व x - 1 \u003d 10 -4 नंतर), आपल्या सिस्टममधून असमानता हटविली जाऊ शकते. दुसरी स्थिती देखील हटविली जाऊ शकते कारण एक्स - 1 \u003d 0.0001< 1. Итого получаем:

x \u003d 1 + 0.0001 \u003d 10001

हे एकमेव मूळ आहे जे लॉगेरिथम डेफिनेशन एरियाच्या सर्व आवश्यकतांना स्वयंचलितपणे पूर्ण करते (तथापि, आमच्या कार्य अटींमध्ये सर्व आवश्यक गोष्टी स्पष्टपणे पूर्ण केल्या गेल्या आहेत).

तर, दुसरा समीकरण:

3 लॉग 3 एक्स x \u003d 2 log 9 x x 2

हा समीकरण मूलभूतपणे पूर्वीपेक्षा वेगळे कसे आहे? आधीच कमीतकमी कारण लॉगरिथमचे पाया - 3 आणि 9 एक्स एकमेकांच्या नैसर्गिक अंश नाहीत. परिणामी, मागील सोल्युशनमध्ये आम्ही वापरलेली संक्रमण अशक्य आहे.

चला देखील डिग्री मुक्त होऊ. आमच्या बाबतीत, दुसर्या वितर्कात एकमेव पदवी आहे:

3 लॉग 3 x x \u003d 2 ∙ 2 log 9 x | x |

तथापि, मॉड्यूलचे चिन्ह काढले जाऊ शकते, कारण व्हेरिएबल एक्स देखील बेसमध्ये आहे, i.e. x\u003e 0 ⇒ | x | \u003d x. चला लॉगरिदमिक समीकरण पुन्हा लिहा:

3 लॉग 3 x x \u003d 4 log 9 x x

आम्हाला लॉगेरिथम मिळाले ज्यामध्ये समान वितर्क, परंतु वेगवेगळ्या आधारे. पुढे काय करावे? येथे बरेच पर्याय आहेत, परंतु आम्ही त्यापैकी फक्त दोनच विचारात घेणार आहोत, जे बहुतेक तार्किक आहेत आणि बहुतेक विद्यार्थ्यांसाठी वेगवान आणि समजण्यायोग्य तंत्र आहेत.

आम्ही आधीपासूनच पहिला पर्याय मानला आहे: कोणत्याही अपरिहार्य परिस्थितीत, आम्ही काही स्थायी बेसला एक व्हेरिएबल आधारासह लॉगरिदम अनुवाद करतो. उदाहरणार्थ, दोनदा. संक्रमण सूत्र सोपे आहे:

अर्थात, व्हेरिएबल सीच्या भूमिकेत सामान्य क्रमांक असावा: 1 ≠ c\u003e 0. आमच्या प्रकरणात C \u003d 2. आता आपल्याकडे सामान्य आंशिक तर्कशुद्ध समीकरण आहे. आम्ही डावीकडील सर्व घटक गोळा करतो:

स्पष्टपणे, लॉग 2 x गुणक सहन करणे चांगले आहे, कारण ते प्रथम आणि दुसर्या अपूर्णांकात उपस्थित आहे.

लॉग 2 एक्स \u003d 0;

3 लॉग 2 9 एक्स \u003d 4 लॉग 2 3 एक्स

आम्ही प्रत्येक लॉग दोन अटींमध्ये स्कॅश करतो:

लॉग 2 9 एक्स \u003d log 2 9 + log 2 x \u003d 2 log 2 3 + log 2 x;

लॉग 2 3 एक्स \u003d लॉग 2 3 + लॉग 2 एक्स

आम्ही या तथ्यांकडे लक्ष देऊन, समानतेच्या भागांचे पुनरुत्थान करतो:

3 (2 लॉग 2 3 + लॉग 2 x) \u003d 4 (लॉग 2 3 + लॉग 2 x)

6 लॉग 2 3 + 3 लॉग 2 x \u003d 4 लॉग 2 3 + 4 लॉग 2 x

2 लॉग 2 3 \u003d लॉग 2 एक्स

आता हे लॉगेरिथमच्या चिन्हाच्या खाली बांधकाम करणे अवस्थेत आहे (ते पदवीमध्ये बदलेल: 3 2 \u003d 9):

लॉग 2 9 \u003d लॉग 2 एक्स

आमच्या आधी एक क्लासिक कॅनॉनिकल फॉर्म आहे, लॉगेरिथम चिन्हापासून मुक्त व्हा आणि मिळवा:

असे मानले जात असे, हा रूट अधिक शून्य असल्याचे दिसून आले. परिभाषा क्षेत्र तपासण्यासाठी ते राहते. चला जमिनीवर पाहू या.

पण रूट एक्स \u003d 9 या गरजा पूर्ण करते. परिणामी, हा अंतिम निर्णय आहे.

या सोल्यूशनमधून निष्कर्ष सोपे आहे: दीर्घ गणना घाबरू नका! अगदी सुरुवातीस, आम्ही यादृच्छिकपणे एक नवीन आधार निवडला - आणि प्रक्रियेमुळे प्रक्रियेत लक्षणीय गुंतागुंतीची आहे.

पण मग प्रश्न उद्भवतो: कोणते कारण आहे इष्टतम? मी दुसऱ्या मार्गाने त्याबद्दल सांगेन.

चला आपल्या स्रोत समीकरण परत जाऊ:

3 log 3x x \u003d 2 log 9 एक्स x 2

3 log 3x x \u003d 2 ∙ 2 log 9x | x |

x\u003e 0 ⇒ | x | \u003d एच.

3 लॉग 3 x x \u003d 4 log 9 x x

आता आम्हाला थोडीशी वाटतं: इष्टतम आधार कोणता क्रमांक किंवा कार्य असेल? अर्थात, सर्वोत्तम पर्याय सी \u003d एक्स असेल - युक्तिवादांमध्ये आधीपासूनच उभे आहे. या प्रकरणात, फॉर्म्युला लॉग ए बी / लॉग सी बी / लॉग सी ए फॉर्म घेईल:

दुसर्या शब्दात, अभिव्यक्ती फक्त चालू होते. या प्रकरणात, युक्तिवाद आणि आधार ठिकाणी बदलते.

हा फॉर्म्युला खूप उपयोगी आहे आणि जटिल लॉगरिदमिक समीकरण सोडवण्यासाठी बर्याचदा वापरला जातो. तथापि, हा फॉर्म्युल वापरताना, एक अतिशय गंभीर पाण्याच्या पाण्याचे दगड होते. फाउंडेशनऐवजी आम्ही व्हेरिएबल एक्सची जागा घेतल्यास, त्यावर निर्बंध लागू केले जातात, जे पूर्वीचे निरीक्षण केले गेले नव्हते:

प्रारंभिक समीकरणात असे कोणतेही बंधन नव्हते. म्हणून, x \u003d 1. आपल्या समीकरणातील हे मूल्य बदलणे आवश्यक आहे:

3 लॉग 3 1 \u003d 4 लॉग 9 1

आम्हाला विश्वासू अंकीय समानता मिळते. परिणामी, x \u003d 1 मूळ आहे. या निर्णयाच्या सुरुवातीस मागील पद्धतीत आम्हाला नक्कीच समान रूट सापडले.

आणि आता, जेव्हा आपण या विशिष्ट प्रकरणात स्वतंत्रपणे विचार केला तेव्हा आम्हाला विश्वास आहे की एक्स ≠ 1. मग आमच्या लॉगरिदमिक समीकरणाने खालील फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहा:

3 लॉग X 9 एक्स \u003d 4 लॉग एक्स 3 एक्स

पूर्वीप्रमाणे समान सूत्र दोन्ही लॉगेरिथम मिळवा. या प्रकरणात, आम्ही लक्षात ठेवतो की x x \u003d 1:

3 (लॉग एक्स 9 + लॉग एक्स एक्स) \u003d 4 (लॉग एक्स 3 + लॉग एक्स एक्स)

3 log g x 9 + 3 \u003d 4 g g g g g g g x 3 + 4

3 लॉग X 3 2 - 4 g लॉग x 3 \u003d 4 - 3

2 लॉग x 3 \u003d 1

म्हणून आम्ही कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये आलो:

log x 9 \u003d log x x 1

x \u003d 9.

दुसरा रूट प्राप्त. यामुळे आवश्यकतेची पूर येते. 1. परिणामी, x \u003d 1 सह x \u003d 9 वर x \u003d 9 हा अंतिम उत्तर आहे.

आपण पाहू शकता की, गणना च्या व्याप्ती किंचित कमी होते. परंतु वास्तविक लॉगेरिथमिक समीकरण सोडवते तेव्हा कृतींची संख्या खूपच कमी असेल आणि आपल्याला प्रत्येक चरण तपशीलवार पेंट करणे आवश्यक नाही.

आजच्या धडाचा मुख्य नियम खालील प्रमाणे आहे: जर कार्य अगदी अंश आहे ज्यामुळे समान प्रमाणात रूट काढले जाते, तर आपल्याला आउटपुटमध्ये मॉड्यूल मिळेल. तथापि, आपण लॉगेरिदम क्षेत्राकडे लक्ष दिले तर या मॉड्यूल काढले जाऊ शकते.

पण सावधगिरी बाळगा: या पाठानंतर बहुतेक विद्यार्थ्यांना विश्वास आहे की सर्वकाही त्यांना स्पष्ट आहे. परंतु वास्तविक कार्ये सोडवताना ते संपूर्ण तार्किक शृंखला पुनरुत्पादित करू शकत नाहीत. परिणामी, समीकरण अत्यंत मूळ आहे आणि उत्तर चुकीचे आहे.

सूचना

दिलेल्या लॉगेरिथमिक अभिव्यक्ती लिहा. Logarithm 10 अभिव्यक्ती मध्ये वापरले असल्यास, त्याचे रेकॉर्ड लहान आहे आणि असे दिसते: एलजी बी एक दशांश लॉगेरिथम आहे. जर लॉगरिदमला बेसच्या रूपात नंबर ई असेल तर अभिव्यक्ती रेकॉर्ड केली गेली आहे: एल एन बी हे नैसर्गिक लॉगेरिथम आहे. हे समजले जाते की बी.एस. क्रमांक प्राप्त करण्यासाठी पाया्यांची संख्या वाढवावी लागते.

दोन फंक्शन्सच्या बेरीजमधून दोन कार्ये असतात तेव्हा ते त्यांना पूर्ववत करणे आवश्यक आहे आणि परिणाम folded आहेत: (यू + व्ही) "\u003d यू" + व्ही ";

जेव्हा दोन कार्याच्या उत्पादनाचे व्युत्पन्न केले जाते तेव्हा प्रथम कार्यापासून व्युत्पन्न करणे म्हणजे दुसर्या कार्यावर गुणाकार करणे आणि प्रथम फंक्शनद्वारे गुणाकार एक व्युत्पन्न जोडते: (यू * व्ही) "\u003d यू" * व्ही + V "* यू;

खाजगी दोन कार्यांचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी, डिव्हिव्हेटिव्ह डिव्हिडच्या उत्पादनापासून ते आवश्यक आहे, विभक्त केलेल्या व्याप्तीच्या उत्पादनाचे उत्पादन कमी करण्यासाठी, विभाजित केलेल्या व्युत्पन्न उत्पादनाचे उत्पादन कमी करण्यासाठी आणि हे सर्व स्क्वेअरमध्ये विभक्त केलेल्या विभाजनाच्या कार्यात विभागलेले आहे. (यू / व्ही) "\u003d (यू" व्ही-व्ही. * यू) / व्ही ^ 2;

जर एक जटिल कार्य दिले जाते तर आंतरिक कार्यापासून व्युत्पन्न करणे आवश्यक आहे आणि बाह्य एक व्युत्पन्न करणे आवश्यक आहे. Y \u003d यू (v (x)), नंतर वाई "(एक्स) \u003d वाई" (यू) * व्ही "(एक्स).

उपरोक्त वापरणे, आपण थेट कोणत्याही फंक्शनचे निरुपयोगी करू शकता. म्हणून, काही उदाहरणे विचारात घ्या:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (ई ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (ई ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (ई ^ x-2 * एक्स));
त्या ठिकाणी व्युत्पन्न गणना करण्यासाठी देखील कार्य देखील आहेत. फंक्शन y \u003d ई ^ (x ^ 2 + 6x + 5) दिले जाऊ द्या, आपल्याला पॉईंट एक्स \u003d 1 वर फंक्शनचे मूल्य शोधण्याची आवश्यकता आहे.
1) डेरिवेटिव्ह फंक्शन शोधा: y "\u003d ई ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) एखाद्या विशिष्ट पॉईंटच्या वर फंक्शनचे मूल्य मोजा "(1) \u003d 8 * ई ^ 0 \u003d 8

विषयावरील व्हिडिओ

उपयुक्त सल्ला

प्राथमिक डेरिव्हेटिव्ह सारणी जाणून घ्या. ते वेळ वाचवणार नाही.

स्त्रोत:

• व्युत्पन्न कॉन्स्टंट

तर, तर्कसंगतपणापासून अकारण समीकरण कसे आहे? जर अज्ञात व्हेरिएबल स्क्वेअर रूटच्या चिन्हाखाली असेल तर समीकरण विचित्र मानले जाते.

सूचना

अशा समीकरण सोडविण्याची मुख्य पद्धत ही दोन्ही भागांचे बांधकाम करण्याची पद्धत आहे समीकरण एक चौरस मध्ये. तथापि. हे नैसर्गिक आहे, आपल्याला चिन्हापासून मुक्त होण्यासाठी आवश्यक असलेली पहिली गोष्ट. तांत्रिकदृष्ट्या, ही पद्धत जटिल नाही, परंतु कधीकधी त्रास होऊ शकते. उदाहरणार्थ, समीकरण व्ही (2x-5) \u003d v (4x-7). स्क्वेअरमध्ये दोन्ही बाजूंची स्थापना करणे, आपल्याला 2x-5 \u003d 4x-7 प्राप्त होईल. अशा समीकरणाचे निराकरण करणे कठीण होणार नाही; x \u003d 1. पण संख्या 1 हे नाही समीकरण. का? एक्सच्या व्हॅल्यूऐवजी आणि उजवीकडे आणि डाव्या भागामध्ये युनिट सबमिट केले जाईल जे अर्थपूर्ण नसतात. हे मूल्य स्क्वेअर रूटसाठी परवानगी नाही. म्हणून 1 एक अपरिभाषित रूट आहे, आणि म्हणूनच या समीकरणाचे मूळ नाही.

म्हणून, स्क्वेअरमध्ये दोन्ही भागांचे बांधकाम पद्धत वापरून विचित्र समीकरण सोडवले जाते. आणि समीकरण सोडविणे, परदेशी मुळे कापणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, मूळ समीकरणातील मुळे आढळतात.

दुसरा विचार करा.
2x + vx-3 \u003d 0
अर्थात, ही समीकरण मागीलप्रमाणेच सोडता येते. रचना हस्तांतरित करा समीकरणउजव्या बाजूला एक चौरस रूट नाही आणि स्क्वेअरमध्ये व्यायाम करण्याची पद्धत वापरत नाही. परिणामी तर्कशुद्ध समीकरण आणि मुळे सोडवा. पण दुसरा, अधिक मोहक. नवीन व्हेरिएबल प्रविष्ट करा; Vx \u003d y. त्यानुसार, आपल्याला 2y2 + y-3 \u003d 0 समीकरणाचे समीकरण प्राप्त होईल. ते सामान्य स्क्वेअर समीकरण आहे. ते मुळे शोधा; Y1 \u003d 1 आणि y2 \u003d -3/2. पुढे, दोन निर्णय घ्या समीकरण Vx \u003d 1; Vx \u003d -3 / 2. मुळांचे दुसरे समीकरण नसते, प्रथम आम्ही ते एक्स \u003d 1 शोधतो. मुळे तपासण्याची गरज विसरू नका.

ओळख कमी करणे सोपे आहे. हे करण्यासाठी, लक्ष्य पोहोचल्याशिवाय आपल्याला समान रूपांतरणे आवश्यक आहे. अशा प्रकारे, साध्या अंकगणित कृतींच्या मदतीने, कार्य सोडले जाईल.

तुला गरज पडेल

• - पेपर;
• - एक पेन.

सूचना

अशा प्रकारच्या परिवर्तनांपैकी सर्वात सोपा बीजग्रिक संक्षिप्त गुणधर्म (जसे की सममैतिक (फरक), वर्गातील फरक, रक्कम (फरक), क्यूब रक्कम (फरक)). याव्यतिरिक्त, तेथे अनेक आणि त्रिकोणमित सूत्र आहेत जे मूळ ती ओळख आहेत.

खरंच, दोन घटकांच्या वर्गाच्या चौरसाने प्रथम प्लसच्या स्क्वेअरच्या स्क्वेअरच्या बरोबरीच्या समान आणि दुसर्या स्क्वेअरच्या स्क्वेअरच्या स्क्वेअरच्या बरोबरीचे आहे, जे (ए + बी) ^ 2 \u003d (ए + बी) (ए + बी) \u003d ए ^ 2 + एबी + बीए + बी ^ 2 \u003d ^ 2 + 2 बी + बी ^ 2.

दोन्ही सरलीकृत करा

समाधान सामान्य सिद्धांत

व्हेरिएबल्स बदलण्याची पद्धत

दुसर्या प्रकारच्या समाकलित समाधान

एकत्रीकरण मर्यादा प्रविष्ट करणे

गणितातील अंतिम चाचणीसाठी तयार करणे ही एक महत्त्वपूर्ण विभाग आहे - "लॉगेरिदम". या विषयावरील कार्ये आवश्यक आहेत. गेल्या काही वर्षांच्या अनुभवातून दिसून येते की लॉगरिदमिक समीकरणांना बर्याच शाळांकडून त्रास होतो. म्हणून, योग्य उत्तर कसे शोधायचे ते समजून घेण्यासाठी आणि तयार केलेल्या विविध स्तर असलेल्या विद्यार्थ्यांना त्यांच्याशी पूर्णपणे तोंड देण्यासाठी कार्यरत असणे आवश्यक आहे.

शैक्षणिक पोर्टल "Shkolkovo" वापरून यशस्वीरित्या प्रमाणन चाचणी भाड्याने!

एका राज्य परीक्षेसाठी तयार करताना, हायस्कूलच्या पदवीधारकांना विश्वासार्ह स्त्रोत आवश्यक आहे जे चाचणी कार्यांचे यशस्वी निराकरण करण्यासाठी सर्वाधिक पूर्ण आणि अचूक माहिती प्रदान करते. तथापि, पाठ्यपुस्तक नेहमीच चालू ठेवत नाही आणि इंटरनेटवर आवश्यक नियम आणि सूत्रांचा शोध बर्याचदा वेळ घेतो.

शैक्षणिक पोर्टल "SHKOLKOVO" आपल्याला कोणत्याही वेळी कोणत्याही ठिकाणी परीक्षा तयार करण्यास अनुमती देते. आपण पुनरावृत्ती करण्यासाठी सर्वात सोयीस्कर दृष्टीकोन आणि लॉगरिथम, तसेच एक आणि अनेक अज्ञात असलेल्या मोठ्या माहितीचे एकत्रीकरण शोधू शकता. प्रकाश समीकरण सह प्रारंभ. आपण त्यांच्याशी अडचण न घेता, अधिक जटिल जा. एखाद्या विशिष्ट असमानता सोडविण्यामध्ये आपल्याला काही समस्या असल्यास, आपण त्यात परत येण्यासाठी "आवडते" वर जोडू शकता.

कार्य करण्यासाठी आवश्यक सूत्र शोधा, मानक लॉगेरिदमिक समीकरणांच्या रूटची गणना करण्यासाठी विशेष प्रकरण आणि पद्धती पुन्हा करा, आपण "सैद्धांतिक मदत" विभाग पाहता. सर्वात सोप्या आणि समजण्यायोग्य स्वरूपात यशस्वी वितरणासाठी आवश्यक असलेले सर्व साहित्य "SHKOLKOVO" एकत्रित, व्यवस्थित आणि वर्णन केले.

आमच्या पोर्टलवर कोणत्याही जटिलतेच्या कार्यांसह अडचण न घेता आपण स्वत: ला काही विशिष्ट लॉगेरिदमिक समीकरणांच्या समाधानासह परिचित करू शकता. हे करण्यासाठी, "कॅटलॉग" विभागात जा. गणितातील परीक्षेच्या प्रोफाइल स्तराच्या समीकरणांसह आमच्याकडे मोठ्या संख्येने उदाहरणे आहेत.

रशियातील शाळांतील विद्यार्थी आमच्या पोर्टलचा फायदा घेऊ शकतात. वर्ग सुरू करण्यासाठी, फक्त सिस्टममध्ये नोंदणी करा आणि समीकरण सोडविण्यासाठी पुढे जा. परिणाम सुरक्षित करण्यासाठी, आम्ही आपल्याला दररोज "स्कॉल्कोवो" साइटवर परत जाण्याचा सल्ला देतो.

लॉगेरिथमिक समीकरण सोडवणे. भाग 1.

लॉगरिदमिक समीकरण एक समीकरण असे म्हणतात ज्यामध्ये अज्ञात अज्ञात असून अज्ञात आहे (विशेषतः लॉगेरिथमच्या आधारावर).

साधे लॉगरिदमिक समीकरण त्याच्याकडे फॉर्म आहे:

कोणत्याही लॉगेरिदमिक समीकरणाचे निराकरण हे लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली अभिव्यक्तीपर्यंत अभिव्यक्तीवर संक्रमण गृहीत धरते. तथापि, ही क्रिया समीकरणांच्या परवानगीयोग्य मूल्यांच्या क्षेत्राचा विस्तार करते आणि परदेशी मुळे दिसू शकते. परदेशी मुळे च्या देखावा टाळण्यासाठीआपण तीन प्रकारे एक करू शकता:

1. एक समतुल्य प्रेषण बनवा प्रारंभिक समीकरण पासून प्रणालीसह

कोणत्या प्रकारचे असमानता किंवा सोपे आहे यावर अवलंबून.

जर cogration मध्ये लॉगेरिथमच्या आधारावर अज्ञात असेल तर:

मग आम्ही सिस्टमवर जातो:

2. समीकरणाच्या परवानगीयोग्य मूल्यांचे क्षेत्र स्वतंत्रपणे शोधा, नंतर समीकरण सोडवा आणि सापडलेल्या सल्ल्याचे समाधान समाधानकारक आहे का ते तपासा.

3. समीकरण सोडवा आणि नंतर तपासा:मूळ समीकरणास आढळलेल्या सोल्युशन्सची जागा घ्या आणि आम्हाला विश्वासू समानता मिळेल की नाही ते तपासा.

कोणत्याही पातळीवरील जटिलतेचे लॉगरिदमिक समीकरण अखेरीस सर्वात सोपा लॉगेरिदमिक समीकरण करण्यासाठी नेहमीच खाली येते.

सर्व लॉगेरिथमिक समीकरण चार प्रकारांमध्ये विभागले जाऊ शकतात:

1 . समीकरण ज्यामध्ये प्रथम पदवीमध्ये लॉगेरिदम असतात. ते परिवर्तन आणि वापराद्वारे दिले जातात

उदाहरण. समीकरण निराकरण:

आम्ही लॉगेरिथच्या चिन्हाच्या खाली अभिव्यक्ति समान करतो:

आमचे मूळ समीकरण संतुष्ट आहे का ते तपासा:

होय, समाधानी.

उत्तरः एक्स \u003d 5

2 . समीकरण ज्यामध्ये लॉगरिदम 1 (विशेषतः, denomoter denominator) पेक्षा इतर पदवी असते. अशा समीकरण सोडवले जातात व्हेरिएबल बदल परिचय.

उदाहरण समीकरण निराकरण:

ओटीएजी समीकरण शोधा:

समीकरणामध्ये स्क्वेअरमध्ये लॉगेरिदम आहेत, म्हणून ते व्हेरिएबल बदलून सोडवले जाते.

महत्वाचे! पुनर्स्थापना प्रविष्ट करण्यापूर्वी, लॉगेरिदमच्या गुणधर्मांचा वापर करून "विटा" वरील समीकरणांचा भाग "काढा" हा एक भाग "काढून टाकणे आवश्यक आहे.

जेव्हा logarithms "संकुचित" तेव्हा, लॉगेरिदम गुणधर्म अचूकपणे लागू करणे महत्वाचे आहे:

याव्यतिरिक्त, येथे एक आणखी एक सूक्ष्म स्थान आहे आणि एक सामान्य चूक टाळण्यासाठी, आम्ही इंटरमीडिएट समानता वापरतो: आम्ही या फॉर्ममध्ये लॉगेरिथम पदवी लिहितो:

त्याचप्रमाणे,

आम्ही मूळ समीकरण मध्ये प्राप्त भावना बदलतो. आम्हाला मिळते:

आता आपण पाहतो की अज्ञात रचना मध्ये समीकरण मध्ये समाविष्ट आहे. आम्ही एक बदली सादर करतो:. ते वास्तविक मूल्य घेऊ शकतात म्हणून आम्ही व्हेरिएबलवर कोणतेही प्रतिबंध लागू करीत नाही.