मॉड्यूल क्रमांक या नंबरला ते निरर्थक असल्यास किंवा ते नकारात्मक असल्यास उलट चिन्हासह समान संख्या आहे.

उदाहरणार्थ, क्रमांक 6 मॉड्यूल 6 आहे, क्रमांक -6 मॉड्यूल देखील 6 आहे.

म्हणजे, संख्येच्या संख्येखालील ते पूर्ण मूल्य समजले जाते, या नंबरचे संपूर्ण मूल्य त्याचे चिन्ह वगळता आहे.

यासारखे नामांकित: | 6 |, | एच.|, |परंतु|. इ.

(अधिक वाचा - "मॉड्यूल" विभागात).

मॉड्यूल सह समीकरण.

उदाहरण 1. . समीकरण सोडवा|10 एच. - 5| = 15.

निर्णय.

नियमानुसार, समीकरण दोन समीकरणांच्या संपूर्णतेच्या समतुल्य आहे:

10एच. - 5 = 15
10एच. - 5 = -15

आम्ही ठरवतो:

10एच. = 15 + 5 = 20
10एच. = -15 + 5 = -10

एच. = 20: 10
एच. = -10: 10

एच. = 2
एच. = -1

उत्तर: एच. 1 = 2, एच. 2 = -1.

उदाहरण 2. . समीकरण सोडवा|2 एच. + 1| = एच. + 2.

निर्णय.

मॉड्यूल नॉन-नकारात्मक क्रमांक असल्याने एच. + 2 ≥ 0. अनुक्रमे:

एच. ≥ -2.

आम्ही दोन समीकरण संकलित करतो:

2एच. + 1 = एच. + 2
2एच. + 1 = -(एच. + 2)

आम्ही ठरवतो:

2एच. + 1 = एच. + 2
2एच. + 1 = -एच. - 2

2एच. - एच. = 2 - 1
2एच. + एच. = -2 - 1

एच. = 1
एच. = -1

दोन्ही संख्या अधिक -2 आहेत. म्हणून दोन्ही समीकरण मुळे आहेत.

उत्तर: एच. 1 = -1, एच. 2 = 1.

उदाहरण 3. . समीकरण सोडवा

|एच. + 3| - 1
————— = 4
एच. - 1

निर्णय.

समीकरणाचे अर्थ शून्य समतुल्य नसल्यासारखे आहे - याचा अर्थ असा आहे एच. ≠ 1. आम्ही ही स्थिती लक्षात घेतो. आमची पहिली कृती साधे आहे - फक्त अपूर्णांकापासून मुक्त नाही, परंतु ते बदलत आहे जेणेकरून ते शुद्ध स्वरूपात बनवते:

|एच. + 3 | - 1 \u003d 4 · ( एच. - 1),

|एच. + 3| - 1 = 4एच. - 4,

|एच. + 3| = 4एच. - 4 + 1,

|एच. + 3| = 4एच. - 3.

आता आपल्याकडे समीकरणाच्या डाव्या भागातील मॉड्यूल अंतर्गत केवळ अभिव्यक्ती आहे. पुढे जा.
नंबर मॉड्यूल एक गैर-नकारात्मक क्रमांक आहे - म्हणजे ते शून्य किंवा शून्यपेक्षा मोठे असावे. त्यानुसार, आम्ही असमानता सोडवतो:

4एच. - 3 ≥ 0

4एच. ≥ 3

एच. ≥ 3/4

अशा प्रकारे आपल्याकडे दुसरी स्थिती आहे: समीकरण मूळ किमान 3/4 असावे.

नियमानुसार, आम्ही दोन समीकरणांचे मिश्रण तयार करतो आणि त्यांना सोडवतो:

एच. + 3 = 4एच. - 3
एच. + 3 = -(4एच. - 3)

एच. + 3 = 4एच. - 3
एच. + 3 = -4एच. + 3

एच. - 4एच. = -3 - 3
एच. + 4एच. = 3 - 3

एच. = 2
एच. = 0

आम्हाला दोन उत्तरे मिळाली. ते स्त्रोत समीकरणाचे मूळ आहेत का ते तपासा.

आमच्याकडे दोन अटी होत्या: समीकरणाचे मूळ 1 च्या समान असू शकत नाही आणि ते कमीतकमी 3/4 असावे. I.e. एच. ≠ 1, एच. ≥ 3/4. या दोन्ही अटी प्राप्त झालेल्या दोन प्रतिसादांपैकी केवळ एक संबंधित आहेत - क्रमांक 2. याचा अर्थ असा आहे की केवळ स्त्रोत समीकरणाचे मूळ आहे.

उत्तर: एच. = 2.

मॉड्यूल सह असमानता.

उदाहरण 1. . असमानता सोडवा| एच. - 3| < 4

निर्णय.

मॉड्यूलचा नियम म्हणतो:

|परंतु| = परंतु, जर ए परंतु ≥ 0.

|परंतु| = -परंतु, जर ए परंतु < 0.

मॉड्यूलमध्ये नकारात्मक नसतात आणि नकारात्मक संख्या असू शकतात. म्हणून आपण दोन्ही प्रकरणांचा विचार केला पाहिजे: एच. - 3 × 0 आणि एच. - 3 < 0.

1) साठी एच. - 3 × 0 आमची प्रारंभिक असमानता केवळ एक मॉड्यूल चिन्हिवाय आहे:
एच. - 3 < 4.

2) साठी एच. - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एच. - 3) < 4.

उघड्या कंस, आम्हाला मिळते:

-एच. + 3 < 4.

अशा प्रकारे, या दोन परिस्थितीतून आम्ही दोन असमानतेच्या एकत्रीकरणात आलो:

एच. - 3 ≥ 0
एच. - 3 < 4

एच. - 3 < 0
-एच. + 3 < 4

आम्ही त्यांना सोडवतो:

एच. ≥ 3
एच. < 7

एच. < 3
एच. > -1

म्हणून, आम्ही दोन संचांच्या संयोजनासाठी जबाबदार आहोत:

3 ≤ एच. < 7 U -1 < एच. < 3.

सर्वात लहान आणि सर्वात मूल्याचे निर्धारण करा. ते एकाच वेळी आहे -1 आणि 7. एच. अधिक -1, परंतु 7 पेक्षा कमी.
शिवाय, एच. ≥ 3. म्हणून, या अत्यंत संख्या वगळता असमानतेचे समाधान -1 ते 7 मधील अनेक संख्या आहेत.

उत्तर: -1 < एच. < 7.

किंवा: एच. ∈ (-1; 7).

पूरक.

1) आपल्या असमानता सोडविण्यासाठी एक सोपा आणि शॉर्ट मार्ग आहे - ग्राफिक. हे करण्यासाठी, क्षैतिज अक्ष (आकृती 1) काढा.

अभिव्यक्ती | एच. - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एच. चार युनिट्स पेक्षा कमी एक बिंदू करण्यासाठी. आम्ही एक्सिस नंबर 3 वर लक्षात ठेवतो आणि त्या 4 विभागांमधून डावी आणि उजवीकडे मोजतो. आम्ही पॉईंट -1 वर येऊ - उजवीकडे - निर्देशीत 7. अशा प्रकारे, पॉइंट्स एच. आम्ही त्यांना संगणकाशिवाय पाहिले.

या प्रकरणात, असमानतेच्या स्थितीनुसार, -1 आणि 7 स्वत: ला अनेक निर्णयांमध्ये समाविष्ट केले जात नाही. अशा प्रकारे, आम्हाला उत्तर मिळते:

1 < एच. < 7.

2) पण दुसरा उपाय आहे जो ग्राफिक पद्धत अगदी सोपे आहे. त्यासाठी खालील फॉर्ममध्ये आमची असमानता सादर करणे आवश्यक आहे:

4 < एच. - 3 < 4.

शेवटी, ते मॉड्यूलच्या शासनाद्वारे आहे. नॉन-नकारात्मक क्रमांक 4 आणि समान नकारात्मक क्रमांक -4 असमानता उपायांची सीमा आहेत.

4 + 3 < एच. < 4 + 3

1 < एच. < 7.

उदाहरण 2. . असमानता सोडवा| एच. - 2| ≥ 5

निर्णय.

हे उदाहरण मागील एकापेक्षा वेगळे आहे. डाव्या बाजूला 5 किंवा त्यापेक्षा जास्त आहे 5. एक भौमितिक दृष्टीकोनातून, असमानतेचे निराकरण सर्व संख्या 5 युनिट्स आणि अधिक (आकृती 2) पासून वेगळे आहे. शेड्यूलनुसार हे स्पष्ट आहे की ही सर्व संख्या -3 आणि त्यापेक्षा जास्त किंवा त्यापेक्षा जास्त किंवा त्या समान आहेत 7. आणि म्हणून, आम्हाला आधीच उत्तर मिळाले आहे.

उत्तर: -3 ≥ एच. ≥ 7.

ही असमानता सोडविण्याच्या दृष्टीने, मुक्त सदस्याला डावीकडे आणि उजवीकडे दिशेने उजवीकडे वळवण्याचा मार्ग:

5 ≥ एच. - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एच. ≥ 5 + 2

उत्तर समान आहे: -3 ≥ एच. ≥ 7.

किंवा: एच. ∈ [-3; 7]

एक उदाहरण निराकरण केले आहे.

उदाहरण 3. . असमानता सोडवा6 एच. 2 - | एच.| - 2 ≤ 0

निर्णय.

संख्या एच. हे एक सकारात्मक संख्या, आणि नकारात्मक आणि शून्य असू शकते. म्हणून, आपल्याला सर्व तीन परिस्थिती लक्षात घेण्याची गरज आहे. आपल्याला माहित आहे की, त्यांना दोन असमानतेमध्ये घेतले जाते: एच. ≥ 0 I. एच. < 0. При एच. □ 0 आम्ही आमच्या प्रारंभिक असमानता पुन्हा लिहितो, कारण केवळ मॉड्यूल चिन्हाविना:

6x 2 - एच. - 2 ≤ 0.

आता दुसऱ्या प्रकरणात: जर एच. < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6एच. 2 - (-एच.) - 2 ≤ 0.

ब्रॅकेट प्रकट करा:

6एच. 2 + एच. - 2 ≤ 0.

अशा प्रकारे, आम्ही दोन समीकरणांचे समीकरण प्राप्त केले:

6एच. 2 - एच. - 2 ≤ 0
एच. ≥ 0

6एच. 2 + एच. - 2 ≤ 0
एच. < 0

प्रणालींमध्ये असमानता सोडविणे आवश्यक आहे - आणि याचा अर्थ दोन स्क्वेअर समीकरणांची मुळे शोधणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, आपण असमानतेच्या डाव्या भागांना शून्य करण्यासाठी समान करतो.

चला प्रथम प्रारंभ करूया:

6एच. 2 - एच. - 2 = 0.

स्क्वेअर समीकरण कसे सोडवले जाते - "स्क्वेअर समीकरण" विभाग पहा. आम्ही ताबडतोब उत्तर कॉल करू:

एच. 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

असमानतेच्या पहिल्या व्यवस्थेपासून, आम्ही प्राप्त करतो की प्रारंभिक असमानतेचे समाधान -1/2 ते 2/3 मधील सर्व संख्या आहेत. आम्ही जेव्हा समाधानांचे संयोजन लिहितो एच. ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

आता आम्ही द्वितीय स्क्वेअर समीकरण सोडवतो:

6एच. 2 + एच. - 2 = 0.

त्याचे मुळे

एच. 1 = -2/3, एच. 2 = 1/2.

निष्कर्ष: पाली एच. < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

आम्ही दोन उत्तरे एकत्र करतो आणि अंतिम उत्तर प्राप्त करतो: या अत्यंत संख्येसह सोल्यूशन -2/3 ते 2/3 मधील सर्व संख्या आहेत.

उत्तर: -2/3 ≤ एच. ≤ 2/3.

किंवा: एच. ∈ [-2/3; 2/3].

मॉड्यूल्ससह असमानतांच्या पद्धती (नियम) प्रकटीकरण मॉड्यूलच्या सातत्यपूर्ण प्रकटीकरणासह सुसंगत आहेत, जेव्हा सबमोडुले फंक्शन्सच्या अंतराळांचा अंतराळ वापरताना. अंतिम अवतारात, ज्याचे अनेक असमानता देखील समस्येच्या समस्येची पूर्तता करतात किंवा अंतराने प्राप्त होतात.

सराव मध्ये सामान्य उदाहरणांचे निराकरण करू या.

मॉड्यूलसह \u200b\u200bरेखीय असमानता

रेखीय अंतर्गत समीकरण समजून घेतात ज्यामध्ये व्हेरिएबल समीकरणाची रेखीपणे प्रवेश करते.

उदाहरण 1. असमानता शोध घ्या

निर्णय:
समस्येच्या स्थितीतून ते x \u003d -1 आणि x \u003d -2 वर शून्यमध्ये रूपांतरित केले जातात. हे गुण अंतराळांवर अंकीय अक्ष खंडित करतात

या प्रत्येक अंतरावर, आम्ही निर्दिष्ट असमानता सोडवतो. हे करण्यासाठी सर्व प्रथम सबमोडुले फंक्शनच्या चिन्हे क्षेत्रांचे ग्राफिक रेखाचित्र तयार करतात. ते प्रत्येक कार्याच्या चिन्हे असलेल्या क्षेत्रांच्या स्वरूपात दर्शविल्या जातात.

किंवा सर्व कार्याच्या चिन्हे सह अंतराल.

पहिल्या अंतरावर मॉड्यूल प्रकट

आम्ही ऋण युनिटसाठी दोन्ही भाग गुणाकार करतो, तर असमानता विपरीत बदल होईल. आपण या नियमात वापरणे कठीण असल्यास, आपण ऋण लावण्यासाठी साइन इन करण्यासाठी प्रत्येक भाग हस्तांतरित करू शकता. शेवटी, आपण प्राप्त होईल

सेट x\u003e -3 च्या छेदनबिंदूच्या छेदनबिंदू ज्यावर समीकरण सोडले ज्यावर समीकरण अंतराल असेल (-3; -2). कारण सोल्यूशन्सचे निराकरण करणे सोपे आहे म्हणून ग्राफिकल आपण या क्षेत्रांचे छेदन काढू शकता

क्षेत्रांचे सामान्य छेदन आणि एक उपाय असेल. कठोर अनियमिततेसह, किनार्यामध्ये समाविष्ट नाही. नॉन स्ट्रोकसह प्रतिस्थापना सत्यापित करा.

दुसऱ्या अंतराळात आम्हाला मिळते

अंतराल अंतराल असेल (-2; -5/3). ग्राफिकदृष्ट्या समाधान होईल

तिसऱ्या अंतराळात आम्हाला मिळते

ही स्थिती इच्छित क्षेत्रात निर्णय देत नाही.

दोन निर्णय सापडले असल्याने (-3; -2) आणि (-2; -5/3) पॉइंट एक्स \u003d -2 पॉईंटची सीमा दिसून येते.

अशा प्रकारे, पॉईंट एक्स \u003d -2 एक उपाय आहे. या संदर्भात एक सामान्य उपाय दिसेल (-3; 5/3).

उदाहरण 2. असमानता समाधान शोधा
| एक्स -2 | - | एक्स -3 |\u003e \u003d | एक्स -4 |

निर्णय:
सबमोडुले फंक्शनचे झीरोस x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 गुण आहेत. युक्तिवादांच्या मूल्यांसह, कमी पॉइंट्स नकारात्मक पाणबुडीचे कार्य आहेत आणि मोठ्या - सकारात्मक.

पॉइंट्स वास्तविक अक्षांना चार अंतरावर खंडित करतात. संरेखनच्या अंतरानुसार आणि असमानता सोडविण्यापासून मॉड्यूल्स प्रकट करा.

1) पहिल्या अंतरावर, सर्व सबमोडुले फंक्शन्स नकारात्मक आहेत, म्हणून जेव्हा मॉड्यूल उघडते तेव्हा आम्ही उलट चिन्ह बदलतो.

विचाराधीन अंतराल असलेल्या अंतराने आढळलेल्या मूल्यांचे छेद अनेक गुण असतील

2) पॉइंट्स x \u003d 2 आणि x \u003d 3 दरम्यानच्या अंतरावर प्रथम सबमोड्युले फंक्शन सकारात्मक आहे, द्वितीय आणि तिसर्या क्रमांकाचे आहेत. मॉड्यूल्स प्रकट करणे, मिळवा

असमानता, जी आपण ज्या अंतरावर निर्णय घेतो त्यामध्ये छेदनबिंदूमध्ये, एक उपाय देते - x \u003d 3.

3) अंक x \u003d 3 आणि x \u003d 4, प्रथम आणि द्वितीय सबमिओले फंक्शन्स सकारात्मक आहेत आणि तिसरे नकारात्मक आहेत. यावर आधारित आम्हाला मिळते

ही स्थिती दर्शवते की संपूर्ण अंतराळ मॉड्यूलसह \u200b\u200bअसमानता पूर्ण करेल.

4) एक्स\u003e 4 च्या मूल्यांकडे, सर्व कार्ये संरेखित आहेत. मॉड्यूलच्या प्रकटीकरणासह ते त्यांचे चिन्ह बदलत नाहीत.

अंतराळासह छेदनबिंदूमध्ये आढळलेली स्थिती खालील उपाययोजना देते

असमानता सर्व अंतराळावर ठरविली गेली असल्याने, सर्व आढळलेल्या सर्व मूल्ये x शोधणे अवस्थेत आहे. निर्णय दोन अंतराल असेल

हे एक उदाहरण निराकरण आहे.

उदाहरण 3. असमानता एक उपाय शोधा
|| एक्स -1 | -5 |\u003e 3-2x

निर्णय:
आमच्याकडे मॉड्यूलमधील मॉड्यूलसह \u200b\u200bअसमानता आहे. अशा प्रकारच्या असमानता उघडल्या जातात की, त्या खोल असलेल्या लोकांपासून प्रारंभ होतात.

सबमोड्यूल फंक्शन एक्स -1 पॉइंट x \u003d 1 येथे शून्यमध्ये रूपांतरित केले जाते. 1 साठी कमी मूल्यांसह हे नकारात्मक आणि X\u003e 1 साठी सकारात्मक आहे. या आधारावर, आम्ही अंतर्गत मॉड्यूल प्रकट करतो आणि प्रत्येक अंतरावर असमानता विचारतो.

प्रथम कमीतकमी अनंतकाळापर्यंत अंतरावर विचार करा

सबमोड्यूल फंक्शन पॉइंट एक्स \u003d -4 मध्ये शून्य आहे. लहान मूल्यांकडे, ते एक चिन्ह-सकारात्मक आहे, मोठ्या - नकारात्मक. एक्स साठी मॉड्यूल काढा<-4:

ज्या भागात आपण अनेक उपाय मानतो त्या क्षेत्रासह छेदनबिंदूमध्ये

पुढील चरणात मॉड्यूलने अंतराल (-4; 1) वर उघड केले आहे

मॉड्यूलच्या प्रकटीकरण क्षेत्राकडे लक्ष देऊन, आम्ही समाधान अंतराल प्राप्त करतो

लक्षात ठेवा: जर आपल्याला मॉड्यूलसह \u200b\u200bअशा अनियमिततेमध्ये मिळाले तर, एक सामान्य मुद्दे, नंतर एक नियम म्हणून, हे देखील एक समाधान आहे.

त्यासाठीच हे तपासणे योग्य आहे.

या प्रकरणात, आम्ही पॉइंट एक्स \u003d -4 बदलतो.

म्हणून x \u003d -4 एक समाधान आहे.
X\u003e 1 साठी अंतर्गत मॉड्यूल काढा

सबमोडूले फंक्शन x साठी नकारात्मक कार्य<6.
मॉड्यूल प्रकट आहे

अंतराल (1; 6) सह या विभागात ही स्थिती रिक्त सेट सोल्यूशन देते.

एक्स\u003e 6 साठी आम्हाला असमानता मिळते

तसेच, निराकरण रिक्त सेट प्राप्त.
उपरोक्त लक्षात घेता, मॉड्यूल्ससह असमानतेचा एकमात्र उपाय पुढील अंतराल असेल.

स्क्वेअर समीकरण असलेल्या मॉड्यूलसह \u200b\u200bअसमानता

उदाहरण 4. असमानता समाधान शोधा
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

निर्णय:
सबमोड्यूल फंक्शन पॉइंट्स x \u003d 0, x \u003d -3 वर शून्य आहे. साधे प्रतिस्थापन ऋण एकक

आम्ही स्थापन करतो की तो अंतराल (-3; 0) आणि सकारात्मक वर शून्य पेक्षा कमी आहे.
आम्ही पाणथळ कार्य सकारात्मक असलेल्या भागात मॉड्यूल प्रकट करू

स्क्वेअर फंक्शन सकारात्मक आहे जेथे क्षेत्र निर्धारित करणे अवस्थेत आहे. हे करण्यासाठी, स्क्वेअर समीकरणाचे मूळ निर्धारित करा

सोयीसाठी, आम्ही पॉईंट एक्स \u003d 0 बदलतो, जो अंतराल (-2; 1/2) संबंधित आहे. या अंतराळात कार्य नकारात्मक आहे, तर निर्णय खालील सेट एक्स असेल

येथे ब्रॅकेट्स सोल्यूशन्सच्या काठावर सूचित करतात, हे पालनपूर्वक केले आहे, पुढील नियम दिले आहे.

लक्षात ठेवा: जर मॉड्यूलसह \u200b\u200bअसमानता किंवा साध्या असमानता कठोर असेल तर, जर असमानता चुकीचे नसतील तर (), काठाचे निराकरण (स्क्वेअर ब्रॅकेट्सद्वारे दर्शविलेले).

हा नियम अनेक शिक्षकांचा वापर करतो: कठोरपणे असमानता निर्दिष्ट केली असल्यास आणि आपण स्क्वेअर ब्रॅकेट ([,]) सोडवण्यासाठी स्क्वेअर ब्रॅकेट रेकॉर्ड कराल - ते चुकीच्या प्रतिसादासाठी त्याची गणना करतील. चाचणी करताना, जर असमानता मॉड्यूल्ससह निर्दिष्ट केली जाते, तर सोल्यूशन्समध्ये, स्क्वेअर ब्रॅकेटसह क्षेत्र पहा.

अंतरावर (-3; 0) मॉड्यूलने फंक्शनचे चिन्ह उलट दिशेने बदला

असमानता प्रकटीकरण क्षेत्र दिले, निर्णय असेल

मागील क्षेत्रासह एकत्र दोन अर्ध-अंतराल देईल

उदाहरण 5. असमानता एक उपाय शोधा
9 एक्स ^ 2- | एक्स -3 |\u003e \u003d 9 एक्स -2

निर्णय:
असमानता निर्दिष्ट आहे, जो सबमोड्यूल फंक्शन जो पॉईंट एक्स \u003d 3 वर शून्य आहे. कमी मूल्यांसह, ते नकारात्मक आहे, मोठ्या - सकारात्मक आहे. X अंतरावर मॉड्यूल प्रकट करा<3.

आम्हाला भेदभाव समीकरण सापडतो

आणि मुळे

पॉइंट शून्य पुनर्संचयित करणे, आम्ही अंतराल [-1/9; 1] वर्गासिक कार्य नकारात्मक आहे, म्हणून अंतर एक उपाय आहे. पुढे x\u003e 3 येथे मॉड्यूल प्रकट करा

हे गणिती कॅलक्युलेटर आपल्याला मदत करेल मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण किंवा असमानता सोडवा. साठी कार्यक्रम समीकरण आणि मॉड्यूलसह \u200b\u200bअसमानता उपाय फक्त उत्तर कार्य देत नाही, ते ठरते स्पष्टीकरण सह तपशीलवार निर्णय. परिणाम प्रक्रिया प्रदर्शित करते.

परीक्षापूर्वी ज्ञान तपासताना परीक्षण आणि परीक्षांसाठी उच्च शिक्षण शाळांच्या उच्च शिक्षण शाळांच्या विद्यार्थ्यांना उपयुक्त ठरू शकते, जेव्हा गणित आणि बीजगणितामध्ये अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी पालक. किंवा कदाचित आपण शिक्षकांना भाड्याने घेण्यास किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करण्यासाठी खूप महाग आहात? किंवा आपण फक्त आपल्या गृहकार्य गणित किंवा बीजगणित मध्ये करू इच्छिता? या प्रकरणात, आपण आमच्या प्रोग्राम्सला विस्तृत समाधानासह देखील वापरू शकता.

अशा प्रकारे, आपण आपल्या स्वत: च्या प्रशिक्षण आणि / किंवा आपल्या तरुण भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, तर सोडलेल्या कार्याच्या क्षेत्रात शिक्षणाचे स्तर वाढते.

मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण किंवा असमानता प्रविष्ट करा

असे आढळून आले आहे की काही स्क्रिप्ट्स हे कार्य सोडविण्यासाठी आवश्यक आहेत लोड होत नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही.
आपल्याकडे अॅडब्लॉक समाविष्ट असू शकते.
या प्रकरणात, ते डिस्कनेक्ट करा आणि पृष्ठ अद्यतनित करा.

कारण कार्य सोडविण्याची इच्छा खूप आहे, आपली विनंती ओळखीची आहे.
काही सेकंदांनंतर, समाधान खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद ...

जर तू निराकरण मध्ये एक चूक लक्षात आलीआपण फीडबॅक फॉर्ममध्ये त्याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य निर्दिष्ट करा आपण निर्णय घ्या आणि काय फील्डमध्ये प्रवेश करा.

आमचे खेळ, कोडी सोडवणे, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण आणि असमानता

मुख्य शाळेच्या बीजब्रासचा अभ्यास सोपा समीकरण आणि मॉड्यूलसह \u200b\u200bअसमानता पूर्ण करू शकते. त्यांना सोडविण्यासाठी, \\ (| xa | \\) हे अंक x आणि a: \\ (| xa | \u003d \\ r rho (x; \\ r rho (x; \\ \\ \\ 'या घटनेवर आधारित भौमितिक पद्धत लागू करणे शक्य आहे. ; ए) \\). उदाहरणार्थ, समीकरण \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) सोडवण्यासाठी, एक अंकीय डायरेक्ट पॉइंट शोधणे आवश्यक आहे, एका अंतरासाठी पॉइंट 3 वरुन काढले आहे 2. अशा दोन गोष्टी आहेत: \\ (x_1 \u003d 1 \\) आणि \\ (x_2 \u003d 5 \\).

सोडवणे असमानता \\ (| 2x + 7 |

परंतु मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण आणि असमानता सोडविण्याचा मुख्य मार्ग म्हणजे तथाकथित "मॉड्यूल डिस्क्लोजर":
जर \\ (ए \\ Geq 0 \\), नंतर \\ (| ए | \u003d ए \\);
जर \\ (एक नियम म्हणून, मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण (असमानता) समीकरणांच्या संपूर्णतेमध्ये कमी केले जाते ज्यात मॉड्यूल चिन्ह नसतात.

निर्दिष्ट परिभाषा व्यतिरिक्त, खालील विधाने वापरल्या जातात:
1) जर \\ (c\u003e 0 \\), नंतर समीकरण \\ (x) | \u003d सी \\) समीकरणांच्या संपूर्णतेच्या समतुल्य आहे: \\ (\\ '\\' (\\ '\\' सुरू (reare) f (l) f (x ) \u003d सी \\\\ f (x) \u003d - सी \\ एंड (अॅरे) \\ योग्य. \\)
2) जर \\ (c\u003e 0 \\) तर असमानता \\ (x) | 3) तर \\ (सी \\ GEQ 0 \\), नंतर असमानता \\ (x) |\u003e सी \\) समतुल्य आहे असमानतेची संपूर्णता: \\ (\\ bletion [\\ 'sing (array) (l) f (x) सी \\ end (reare) \\ योग्य. \\)
4) असमानता दोन्ही भाग असल्यास \\ (f (x) उदाहरण 1. समीकरण सोडवा \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\) सोडवा.

जर \\ (x-1 \\ Geq 0 \\), नंतर \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) आणि निर्दिष्ट समीकरण फॉर्म घेते
\\ (x ^ 2 +2 (x - 1) -6 \u003d 0 \\ 0 \\ x x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
जर \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ x x x ^ 2 -2x-4 \u003d 0 \\).
अशा प्रकारे, निर्दिष्ट समीकरण प्रत्येक दोन प्रकरणांमध्ये स्वतंत्रपणे मानले पाहिजे.
1) \\ (x - 1 \\ Geq 0 \\), i.e. \\ (X \\ Geq 1 \\). समीकरण पासून \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) आम्हाला आढळते \\ (x_1 \u003d 2, \\ x_2 \u003d -4 \\). स्थिती \\ (x \\ Geq 1) केवळ मूल्य \\ (x_1 \u003d 2 \\) संतुष्ट करते.
2) \\ (x-1 उत्तर: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

उदाहरण 2. समीकरण सोडवण्यासाठी \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\).

प्रथम पद्धत (परिभाषेद्वारे मॉड्यूल प्रकटीकरण).
युक्तिवाद, उदाहरणार्थ 1, आम्ही निष्कर्ष काढतो की दोन अटी चालवताना निर्दिष्ट समीकरण स्वतंत्रपणे मानले जावे: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ Geq 0 \\) किंवा \\ (x ^ 2-6x + 7

1) जर \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ Geq 0 \\), नंतर \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) आणि निर्दिष्ट समीकरण फॉर्म \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ rightrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). या स्क्वेअर समीकरण ठरविणे, आम्ही प्राप्त करतो: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).
आम्हाला माहित आहे की मूल्य \\ (x_1 \u003d 6 \\) स्थिती पूर्ण करते \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ Geq 0 \\). हे करण्यासाठी, आम्ही निर्दिष्ट मूल्य स्क्वेअर असमानतेमध्ये बदलू. आम्ही प्राप्त करतो: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ Geq 0 \\), I.. \\ (7 \\ Geq 0 \\) - विश्वासू असमानता. तर, \\ (x_1 \u003d 6 \\) दिलेल्या समीकरणाचे मूळ आहे.
व्हॅल्यू \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) (3) \\) स्थिती पूर्ण करते \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ Geq 0 \\). हे करण्यासाठी, आम्ही निर्दिष्ट मूल्य स्क्वेअर असमानतेमध्ये बदलू. आम्हाला मिळते: \\ (\\ frac (\\ frac (5) (3) \\ right) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ Geq 0 \\), i.e. \\ (\\ Frac (25) (9) -3 \\ Geq 0 \\) - अयोग्य असमानता. तर, \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) दिलेल्या समीकरणाचे मूळ नाही.

2) जर \\ (x ^ 2-6x + 7, मूल्य \\ (x_3 \u003d 3 \\) \\ (x ^ 2-6x + 7, मूल्य \\ (x_4 \u003d frac (4) (3) \\ ) स्थिती पूर्ण करीत नाही \\ (x ^ 2-6x + 7 म्हणून, निर्दिष्ट समीकरणात दोन मुळे आहेत: \\ (x \u003d 6, x \u003d 3 \\).

दुसरा मार्ग. जर समीकरण दिले जाते \\ (| f (x) \\), नंतर \\ (x) \\ (\\ dive [\\ 'strib (reave) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ Frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ समाप्ती (अॅरे) \\ '\\' \\)
या दोन्ही समीकरण वर सोडले जातात (दिलेल्या समीकरण सोडविण्याच्या पहिल्या पद्धतीसह), त्यांची मुळे खालील प्रमाणे आहेत: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\). स्थिती \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ Geq 0 \\) या चार मूल्यांमधून फक्त दोन: 6 आणि 3. त्यामुळे, निर्दिष्ट समीकरणात दोन मुळे आहेत: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

तिसरे मार्ग (ग्राफिक).
1) आम्ही एक फंक्शन शेड्यूल तयार करतो (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). प्रथम, आम्ही पॅराबोला (वाई \u003d एक्स ^ 2-6x + 7 \\) तयार करतो. आमच्याकडे \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) आहे. फंक्शनचे आलेख \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) फंक्शनच्या फंक्शनमधून प्राप्त केले जाऊ शकते \\ (y \u003d x ^ 2 \\) ते स्केलच्या 3 युनिट्सपर्यंत पोहोचू शकते ( एक्स एक्सिससह) आणि 2 युनिट्स खाली (Y अक्षावर). डायरेक्ट एक्स \u003d 3 - आपल्याला स्वारस्य असलेल्या पॅराबोल्सचे अक्ष. पॉइंट (3; -2) - पॉईंट पॅराबोला, पॉइंट (0; 7) आणि पॅराबोला (6; 7) सह सममितीय.
फंक्शनचे शेड्यूल तयार करण्यासाठी \\ (y \u003d | x ^ 2-6-6-6-6-6-6-6x + 7 \\), पोलाबॅबोलच्या भागाचा भाग न बदलता सोडणे आवश्यक आहे, जे एक्स अक्ष खाली आणि पॅराबोलाचे भाग नाही एक्स अक्ष संबंधित दर्पण प्रदर्शित करण्यासाठी X अक्ष खाली x च्या खाली आहे.
2) आम्ही एक रेखीय फंक्शनचे आलेख तयार करतो (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\). चाचणी पॉइंट म्हणून, गुण घेणे सोपे आहे (0; -3) आणि (3; 2).

हे महत्त्वाचे आहे की पॉईंट एक्स \u003d 1.8 एबीसीएसएच्या अक्ष्यासह सरळ अंतरावर स्थित आहे ते योग्यरित्या स्थित आहे पॅराबोलाच्या क्रॉसिंगच्या डाव्या बाजूला डाव्या बाजूला बिंदू आहे \\ (x \u003d 3- \\ sqrt ( 2) \\) ((3- \\ sqrt (2) 3) ड्रॉईंगद्वारे निर्णय घेतल्यानंतर, आलेख दोन बिंदूंवर छेदतात - एक (3; 2) आणि इन (6; 7). या बिंदूंच्या अपमानास \u003d 3 आणि x \u003d 6 एका दिलेल्या समीकरणात, आम्हाला खात्री आहे की जेव्हा दुसरा अर्थ योग्य अंकीय समानता आहे. म्हणून आमची परिकल्पना पुष्टी केली गेली - समीकरणात दोन मुळे आहेत: x \u003d 3 आणि x \u003d 6. उत्तर: 3; 6 .

टिप्पणी. त्याच्या सर्व कृपेने ग्राफिक पद्धत फारच विश्वासार्ह नाही. परीक्षेच्या उदाहरणामध्ये, ते केवळ कार्य केले कारण समीकरण मुळे पूर्णांक आहेत.

उदाहरण 3. समीकरण सोडवा \\ (| 2x-4 | + | एक्स + 3 | \u003d 8 \\)

प्रथम पद्धत
2x-4 चे अभिव्यक्ती 0 वर 0 वर संदर्भित करते आणि एक्स + 3 पॉइंट एक्स \u003d -3 वर आहे. हे दोन बिंदू एक अंकीय स्तरावर तीन अंतर: \\ (x

पहिल्या अंतराल विचारात घ्या: \\ ((- - - \\ "- \\; -3) \\).
जर एक्स दुसरा अंतर मानतो: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
जर \\ (- 3 \\ leq x तिसऱ्या अंतरावर विचार करा: \\ (यू

उदाहरण 2.

असमानता सोडवा || एक्स + 2 | - 3 | ≤ 2.

निर्णय.

ही असमानता खालील प्रणालीच्या समतुल्य आहे.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.

मी स्वतंत्रपणे प्रणालीची प्रथम असमानता ठरवतो. हे खालील एकूण समतुल्य आहे:

यू [-1; 3].

2) मॉड्यूल व्याख्या वापरून असमानतेचे निराकरण.

मला तुमची आठवण करून देण्याची आठवण करून दे मॉड्यूलची व्याख्या.

| ए | \u003d जर असेल तर ≥ 0 आणि | ए | \u003d -ए असल्यास< 0.

उदाहरणार्थ, 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

उदाहरण 1.

सोडवा 3 | x - 1 | ≤ X + 3.

निर्णय.

मॉड्यूल व्याख्या वापरणे, आम्हाला दोन सिस्टम प्राप्त होईल:

(एक्स - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(एक्स - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

प्रथम द्वितीय प्रणाली स्वतंत्रपणे सोडवणे, आम्हाला मिळते:

(x ± 1
(x ≤ 3,

(एक्स< 1
(x ≥ 0.

प्रारंभिक असमानता सोल्यूशन प्रथम प्रणालीचे सर्व समाधान आणि द्वितीय प्रणालीचे सर्व उपाय असेल.

उत्तरः एक्स €.

3) स्क्वेअरमध्ये बांधकाम पद्धतीद्वारे असमानतेचे निराकरण.

उदाहरण 1.

असमानता सोडवा x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

निर्णय.

स्क्वेअरमध्ये असमानता दोन्ही भाग स्थापित करा. मला लक्षात ठेवा की जेव्हा ते सकारात्मक असतात तेव्हाच स्क्वेअरमध्ये असमानता दोन्ही भाग तयार करणे शक्य आहे. या प्रकरणात, आपल्याकडे मॉड्यूलचा डावा आणि उजवा आहे, म्हणून आम्ही ते करू शकतो.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

आता आम्ही खालील मॉडेलचा वापर करतो: (| x | |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

आम्ही अंतराल पद्धत सोडवितो.

उत्तरः एक्स € \u200b\u200b(-∞; 0) यू (1/2; 2)

4) व्हेरिएबल बदलून असमानतेचे उपाय.

उदाहरण

असमानता (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

निर्णय.

लक्षात ठेवा (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. मग आम्हाला असमानता मिळते

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | □ 30.

आम्ही y \u003d | 2x + 3 | पुनर्स्थित करू.

आम्ही प्रतिस्थापना सह असमानता पुन्हा लिहा.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

आम्ही गुणधर्मांकरिता डावीकडे उभे असलेल्या स्क्वेअर तीन-मेलेन विघटित करू.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(वाई - 6) (वाई + 5) ≤ 0.

आम्ही अंतराल वापरून निर्णय घेतो आणि मिळवा:

चला बदलण्यासाठी परत जाऊ:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

ही दुहेरी असमानता असमानतेच्या व्यवस्थेच्या समतुल्य आहे:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

प्रत्येक असमानतेला स्वतंत्रपणे द्या.

प्रथम प्रणाली समतुल्य आहे

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

मी ते सोडवतो.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

द्वितीय x साठी दुसरी असमानता स्पष्टपणे केली जाते कारण मॉड्यूलने परिभाषा सकारात्मक आहे. सिस्टीम सोल्यूशन सर्व x असल्याने एकाचवेळी सिस्टमची प्रथम आणि द्वितीय असमानता दोन्ही पूर्ण करते, नंतर मूळ प्रणालीचे समाधान त्याच्या पहिल्या दुहेरी असमानता सोडवेल (सर्व केल्यानंतर, सर्व x साठी दुसरे सत्य आहे).

उत्तरः x € [4.5; 1.5].

ब्लॉग.एससेट, मूळ स्त्रोताच्या पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह, आवश्यक किंवा आंशिक कॉपीसह आवश्यक आहे.