संख्येचे पूर्ण मूल्य ए - हे निर्देशांकाच्या सुरुवातीपासूनच बिंदूच्या सुरूवातीपासून अंतर आहे परंतु(ए).

ही व्याख्या समजण्यासाठी, आम्ही व्हेरिएबलऐवजी पर्याय बदलतो ए कोणताही नंबर, उदाहरणार्थ 3 आणि ते पुन्हा वाचण्याचा प्रयत्न करा:

संख्येचे पूर्ण मूल्य 3 - हे निर्देशांकाच्या सुरुवातीपासूनच बिंदूच्या सुरूवातीपासून अंतर आहे परंतु(3 ).

हे स्पष्ट होते की मॉड्यूल सामान्य अंतरापेक्षा काहीच नाही. समन्वयाच्या सुरूवातीपासून अंतरापर्यंतच्या दिशेने अंतर पहाण्याचा प्रयत्न करूया ( 3 )

समन्वय सुरू पासून अंतर एक निर्देश करण्यासाठी ( 3 ) समान 3 (तीन युनिट्स किंवा तीन चरण).

संख्येचे मॉड्यूल दोन उभ्या रेषा दर्शविते, उदाहरणार्थ:

खालीलप्रमाणे क्रमांक 3 मॉड्यूल दर्शविला आहे: | 3 |

4 क्रमांकाचे मॉड्यूल खालीलप्रमाणे दर्शविले आहे: | 4 |

खालीलप्रमाणे क्रमांक 5 मॉड्यूल आहे: | 5 |

आम्ही संख्या 3 मॉड्यूल शोधत होतो आणि ते सापडले की ते 3 च्या समान आहे आणि ते लिहा:

सारखे वाचतो: "तीन-वेळ मॉड्यूल तीन आहे"

आता नंबर -3 मॉड्यूल शोधण्याचा प्रयत्न करूया. पुन्हा, आम्ही परिभाषाकडे परत आलो आणि त्यात नंबर -3 निश्चित करतो. फक्त एक बिंदूऐवजी ए आम्ही एक नवीन बिंदू वापरतो बी. पॉइंट ए आम्ही आधीपासूनच पहिल्या उदाहरणामध्ये वापरले आहे.

मॉड्यूल नंबर - 3 निर्देशांकाच्या सुरूवातीपासून दूर कॉल करा बी(—3 ).

एक बिंदू पासून इतर अंतर नकारात्मक असू शकत नाही. म्हणून, कोणत्याही नकारात्मक संख्येचे मॉड्यूल, अंतर असल्याने एकतर नकारात्मक होणार नाही. क्रमांक -3 मॉड्यूल नंबर असेल 3. मूळ पासून मूळ पासून बिंदू बी (-3) देखील तीन युनिट्स आहे:

सारखे वाचतो: "ऋण तीन संख्येचे मॉड्यूल तीन आहे"

क्रमांक 0 चा मॉड्यूल 0 आहे, जो समन्वय 0 च्या बिंदूसारखा आहे ज्यामुळे निर्देशांकाच्या सुरुवातीस समन्वय साधतो, i.e. निर्देशांकाच्या सुरूवातीपासून अंतर ओ (0) समान शून्य:

"शून्य मॉड्यूल शून्य आहे"

आम्ही निष्कर्ष काढतो:

• संख्या मॉड्यूल नकारात्मक असू शकत नाही;
• सकारात्मक क्रमांक आणि शून्यसाठी, मॉड्यूल नंबर समान आहे आणि नकारात्मक - उलट क्रमांक;
• उलट संख्या समान मॉड्यूल आहेत.

उलट संख्या

संख्या केवळ चिन्हे द्वारे भिन्न आहेत उलट. उदाहरणार्थ, संख्या -2 आणि 2 उलट आहेत. ते फक्त चिन्हे भिन्न आहेत. 2 च्या संख्येत ऋण्यांचे चिन्ह आणि 2 एक प्लस चिन्ह आहे, परंतु आम्ही ते पाहू शकत नाही कारण आम्ही पूर्वी सांगितल्याप्रमाणे, परंपरेनुसार लिहू नका.

उलट संख्यांची अधिक उदाहरणे:

उलट संख्या समान मॉड्यूल आहेत. उदाहरणार्थ, -2 आणि 2 साठी मॉड्यूल शोधा

आकृती दर्शवते की निर्देशांकाच्या सुरूवातीपासून अंतर एक (2) आणि बी (2) दोन चरण समान.

तुला धडा आवडला का?
आमच्या नवीन गट vkontakte मध्ये सामील व्हा आणि नवीन धडे बद्दल सूचना प्राप्त करणे सुरू करा

आम्ही गणित निवडत नाहीत्याचे व्यवसाय, आणि ती आम्हाला निवडते.

रशियन गणितज्ञ yu.i मॅनिन

मॉड्यूल सह समीकरण

शाळेच्या गणिताचे सर्वात कठीण निराकरण करणारे कार्य समीकरणाचे चिन्ह असलेल्या व्हेरिएबल्स असतात. अशा समीकरणांचे यशस्वीरित्या निराकरण करण्यासाठी, मॉड्यूलची परिभाषा आणि मूलभूत गुणधर्म जाणून घेणे आवश्यक आहे. स्वाभाविकच, विद्यार्थ्यांना या प्रकारच्या समीकरणांचे निराकरण करण्याची कौशल्ये असणे आवश्यक आहे.

मूलभूत संकल्पना आणि गुणधर्म

वैध क्रमांकाचे मॉड्यूल (परिपूर्ण मूल्य) denotes आणि खालीलप्रमाणे परिभाषित आहे:

खालील गुणोत्तरांमध्ये मॉड्यूलची साधी गुणधर्म समाविष्ट आहेत:

नोट शेवटची दोन गुणधर्म कोणत्याही पदवीसाठी वैध आहेत.

याव्यतिरिक्त, तर, कुठे, कुठे

मॉड्यूल अधिक जटिल गुणधर्म, मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण सोडताना प्रभावीपणे वापरले जाऊ शकते, खालील प्रमेय खालील द्वारे तयार केले:

प्रमेय 1. कोणत्याही विश्लेषणात्मक कार्यासाठी आणि जोरदार असमानता

प्रमेय 2. समानता असमानतेच्या समतुल्य आहे.

प्रमेय 3. समानता असमानता समतुल्य.

"समीकरण" विषयावर समस्या सोडविण्याच्या विशिष्ट उदाहरणांचा विचार करा, मॉड्यूलच्या चिन्हाखाली व्हेरिएबल्स समाविष्टीत आहे. "

मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरणांचे समाधान

मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण सोडवून शाळेच्या गणितातील सर्वात सामान्य ही पद्धत आहे, मॉड्यूल उघड्यावर आधारित. ही पद्धत सार्वभौमिक आहे, तथापि, सर्वसाधारणपणे, त्याचा वापर अगदी त्रासदायक गणना होऊ शकतो. या संदर्भात विद्यार्थ्यांना इतरांना माहित असावे, अशा समीकरण सोडविण्यासाठी अधिक कार्यक्षम पद्धती आणि तंत्रे. विशेषतः, प्रमेय वापरण्याची कौशल्ये असणे आवश्यक आहे, या लेखात दिले.

उदाहरण 1.समीकरण सोडवा. (एक)

निर्णय. समीकरण (1) मॉड्यूल्स उघडण्याच्या पद्धतीची "क्लासिक" पद्धत सोडवेल. हे करण्यासाठी, आम्ही अंकीय अक्ष खंडित करतो पॉइंट्स I. अंतरावर आणि तीन प्रकरणांचा विचार करा.

1. तर, समीकरण (1) फॉर्म घेते. येथून ते अनुसरण करते. तथापि, येथे, हे मूल्य समीकरणांचे मूळ नाही (1) नाही.

2. तर, मग समीकरण (1) पासून आम्हाला मिळते किंवा .

तेंव्हापासून रूट समीकरण (1).

3. तर, ते समीकरण (1) घेते किंवा . लक्षात ठेवा की.

उत्तरः,.

मॉड्यूलसह \u200b\u200bत्यानंतरच्या समीकरण सोडविणे, अशा समीकरण सोडविण्याची कार्यक्षमता वाढविण्यासाठी आम्ही मॉड्यूलचे गुणधर्म सक्रियपणे वापरू.

उदाहरण 2. समीकरण सोडवा.

निर्णय. सुद्धा नंतर समीकरण पासून अनुसरण करते. या संदर्भात, आणि समीकरण घेते. येथून आम्हाला मिळते. परंतु , म्हणून, प्रारंभिक मूळ समीकरणाचे मूळ नाही.

उत्तरः नाही मुकुट.

उदाहरण 3. समीकरण सोडवा.

निर्णय. तेंव्हापासून. जर तर आणि समीकरण घेते.

येथून आम्हाला मिळते.

उदाहरण 4. समीकरण सोडवा.

निर्णय.समतुल्य फॉर्म मध्ये समीकरण पुन्हा लिहा. (2)

परिणामी समीकरण म्हणजे प्रकाराचे समीकरण होय.

प्रभु 2 खात्यात घेत आहे, असे तर्क केले जाऊ शकते की समीकरण (2) असमानतेच्या समतुल्य आहे. येथून आम्हाला मिळते.

उत्तरः

उदाहरण 5. समीकरण सोडवा.

निर्णय. या समीकरणाचे स्वरूप आहे. म्हणून, प्रोमर 3 नुसार., येथे आम्ही असमानता आहे किंवा .

उदाहरण 6. समीकरण सोडवा.

निर्णय. आम्ही ते ठेवले. म्हणून, मग निर्दिष्ट समीकरण स्क्वेअर समीकरणाचे दृश्य घेते, (3)

कुठे . समीकरण (3) कडे एक सकारात्मक रूट असल्याने आणि ते . येथून आम्हाला मूळ समीकरणाचे दोन मुळे मिळतात: आणि.

उदाहरण 7. समीकरण सोडवा. (4)

निर्णय. समीकरण पासून दोन समीकरणांच्या एकूण समतुल्य: आणि हे, समीकरण (4) सोडवते तेव्हा दोन प्रकरणांचा विचार करणे आवश्यक आहे.

1. तर किंवा.

येथून आम्हाला मिळते, आणि.

2. नंतर किंवा.

तेंव्हापासून.

उत्तरः ,,,,,,,

उदाहरण 8. समीकरण सोडवा . (5)

निर्णय. त्यामुळे, नंतर. येथून आणि समीकरण (5) पासून ते असे खालीलप्रमाणे आहे, I.E. येथे समीकरण एक प्रणाली आहे

तथापि, समीकरणांची ही प्रणाली अपूर्ण आहे.

उत्तरः नाही मुकुट.

उदाहरण 9. समीकरण सोडवा. (6)

निर्णय.आपण म्हणून नियुक्त केल्यास आणि समीकरण (6) मिळवा

किंवा . (7)

समीकरण (7) चे स्वरूप असल्याने, हे समीकरण असमानतेच्या समतुल्य आहे. येथून आम्हाला मिळते. नंतर किंवा पासून.

उत्तरः

उदाहरण 10. समीकरण सोडवा. (8)

निर्णय. प्रॉमम 1 च्या मते आपण रेकॉर्ड करू शकता

(9)

समीकरण (8) लक्षात घेऊन, आम्ही निष्कर्ष काढतो की दोन्ही असमानता (9) समानतेमध्ये संबोधित करतात, i.e. समीकरण एक प्रणाली आहे

तथापि, प्रोमर 3 नुसार, वरील प्रणाली असमानतेच्या प्रणालीद्वारे समान आहे

(10)

असमानता प्रणाली सोडवणे (10) आम्हाला मिळते. असमानता प्रणाली (10) समीकरण समतुल्य आहे (8), प्रारंभिक समीकरण एक मूळ आहे.

उत्तरः

उदाहरण 11. समीकरण सोडवा. (11)

निर्णय. तथापि, समानता समीकरण (11) पासून वाहते.

येथून ते त्या खालीलप्रमाणे. अशा प्रकारे, येथे असमानता प्रणाली आहे

असमानता या प्रणालीचे निराकरण आहे आणि.

उत्तरः,.

उदाहरण 12. समीकरण सोडवा. (12)

निर्णय. समीकरण (12) मॉड्यूल्सच्या सातत्यपूर्ण प्रकटीकरण पद्धतीचे निराकरण करेल. हे करण्यासाठी, अनेक प्रकरणांचा विचार करा.

1. तर, तर.

1.1. जर तर.

1.2. जर तर. परंतु , म्हणून, या प्रकरणात समीकरण (12) मध्ये मुळे नाहीत.

2. तर, तर.

2.1. जर तर.

2.2. जर तर.

उत्तरः ,,,,,,

उदाहरण 13. समीकरण सोडवा. (13)

निर्णय. समीकरण (13) च्या डाव्या भागापासून निंदनीय आहे. या संदर्भात, समीकरण (13)

एक दृश्य घेते किंवा.

हे समीकरण ओळखले जाते दोन समीकरण च्या एकूण समतुल्य आणि सॉलिविंग जे आपल्याला मिळते. म्हणून, ते समीकरण (13) एक मूळ आहे.

उत्तरः

उदाहरण 14. समीकरण प्रणाली सोडवा (14)

निर्णय. नंतर दोन्ही पासून. परिणामी, समीकरणांच्या प्रणालीपासून (14) आम्ही चार सिस्टीम समीकरण प्राप्त करतो:

उपरोक्त उपकरणांची मुळे समीकरणांच्या प्रणालीची मूळ आहेत. (14).

उत्तर: ,,,,,,,,

उदाहरण 15. समीकरण प्रणाली सोडवा (15)

निर्णय. तेंव्हापासून. या संदर्भात, समीकरणांच्या प्रणालीपासून (15) आम्ही समीकरणांची दोन प्रणाली प्राप्त करतो

समीकरण प्रथम प्रणालीचे मुळे आहेत आणि आणि समीकरणांच्या दुसर्या सिस्टीमवरून आम्ही प्राप्त करतो आणि.

उत्तरः ,,,,,,,

उदाहरण 16. समीकरण प्रणाली सोडवा (16)

निर्णय. सिस्टमच्या पहिल्या समीकरणापासून (16) हे ते अनुसरण करते.

तेंव्हापासून . प्रणालीचे दुसरे समीकरण विचारात घ्या. जोपर्यंतमग आणि समीकरण घेते, , किंवा .

आपण मूल्य बदलल्यास प्रथम सिस्टम समीकरण (16), मग, किंवा.

उत्तरः,.

समस्या सोडविण्याच्या पद्धतींचा गहन अभ्यास करण्यासाठी, सॉल्व्हिंग समीकरण संबद्ध, मॉड्यूलच्या चिन्हाच्या खाली व्हेरिएबल्स समाविष्टीत आहे, आपण शिफारस केलेल्या साहित्यांच्या सूचीमधून पाठ्यपुस्तकांना सल्ला देऊ शकता.

1. माती / ईडी मध्ये येणार्या गणितातील समस्या संकलित करणे. एम.आय. शनवी - एम.: शांती आणि शिक्षण2013. - 608 पी.

2. सुपरुन व्ही.पी. हायस्कूल विद्यार्थ्यांसाठी गणित: वाढलेल्या जटिलतेचे कार्य. - एम.: सीडी "लिब्रोक" / urss, 2017. - 200 पी.

3. सुपरुन व्ही.पी. हायस्कूल विद्यार्थ्यांसाठी गणित: समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी नॉन-मानक पद्धती. - एम.: सीडी "लिब्रोक" / urss, 2017. - 2 9 6 पी.

प्रश्न आहेत का?

शिक्षक मदत मिळविण्यासाठी - नोंदणी करा.

मूळ स्त्रोताशी पूर्ण किंवा आंशिक कॉपी पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह साइट आवश्यक आहे.

विद्यार्थ्यांसाठी सर्वात कठीण विषयांपैकी एक म्हणजे मॉड्यूल चिन्हाच्या अंतर्गत व्हेरिएबल असलेले समीकरणांचे उपाय आहे. कनेक्ट केलेल्या प्रारंभासाठी ते समजूया? उदाहरणार्थ, बहुतेक मुले बहुतेक मुले नटांसारखे दिसतात आणि एक मॉड्यूल म्हणून सर्वात जटिल संकल्पनापासून इतके समस्या आहे का?

माझ्या मते, या सर्व अडचणी मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण सोडविण्यासाठी स्पष्टपणे तयार केलेल्या नियमांच्या अभावाशी संबंधित आहेत. अशा प्रकारे, स्क्वेअर समीकरण ठरविणे, विद्यार्थ्यांना स्पष्टपणे माहित आहे की त्याने प्रथम भेदभावाचे सूत्र लागू केले पाहिजे आणि नंतर स्क्वेअर समीकरणाच्या मुळांचे सूत्र. आणि जर मॉड्यूल समीकरणात भेटले तर काय होईल? मॉड्यूल चिन्हाच्या अंतर्गत अज्ञात असल्यास जेव्हा समीकरणामध्ये अज्ञात असेल तर आम्ही कारवाईच्या आवश्यक योजनेचे स्पष्टपणे वर्णन करण्याचा प्रयत्न करू. प्रत्येक बाबतीत आम्ही काही उदाहरणे देतो.

पण प्रथम लक्षात ठेवा मॉड्यूलची व्याख्या. तर, मॉड्यूल नंबर ए जर स्वतःला हा नंबर म्हणतात ए अनिवार्य I. -ए.जर संख्या असेल तर ए कमी शून्य. आपण हे असे लिहू शकता:

| ए | \u003d ए जर ≥ 0 आणि | ए | \u003d -ए असल्यास< 0

मॉड्यूलच्या भौमितिक भावनांबद्दल बोलणे, हे लक्षात ठेवावे की प्रत्येक वास्तविक संख्या अंकीय अक्षावर विशिष्ट बिंदूशी संबंधित आहे - ते peopen. म्हणून, संख्याचे मॉड्यूल किंवा पूर्ण मूल्य संख्यात्मक अक्ष च्या काउंटडाउनच्या सुरूवातीपासून अंतरापासून अंतर आहे. अंतर नेहमीच सकारात्मक संख्येद्वारे दिले जाते. अशा प्रकारे, कोणत्याही नकारात्मक क्रमांकाचे मॉड्यूल ही संख्या सकारात्मक आहे. तसे, अगदी या टप्प्यावर, अनेक विद्यार्थी गोंधळात पडतात. मॉड्यूल एक अपूर्ण संख्या असू शकते, परंतु मॉड्यूलच्या अर्जाचा परिणाम नेहमीच सकारात्मक असतो.

आता आम्ही समीकरण सोडवण्यासाठी थेट हलवा.

1. प्रकार | x | च्या समीकरणाचा विचार करा \u003d सी, सी एक वैध क्रमांक आहे. हे समीकरण मॉड्यूल परिभाषित करून सोडवले जाऊ शकते.

सर्व वास्तविक संख्या तीन गटांमध्ये खंडित होतील: ते अधिक शून्य, जे शून्यपेक्षा कमी आहेत आणि तिसरे गट संख्या 0 आहे. आम्ही योजनेच्या स्वरूपात समाधान लिहितो:

(± सी, जर\u003e 0 असेल तर

जर | x | \u003d सी, एक्स \u003d (0, जर सी \u003d 0

(नाही रूट्स नाही< 0

1) | x | \u003d 5, कारण 5\u003e 0, नंतर x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, कारण -फाइव्ह< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, नंतर x \u003d 0.

2. समीकरण पहा f (x) | \u003d बी, जेथे b\u003e 0. या समीकरणाचे निराकरण करण्यासाठी, मॉड्यूलपासून मुक्त होणे आवश्यक आहे. आम्ही हे करतो: f (x) \u003d बी किंवा एफ (x) \u003d -b. आता प्रत्येक प्राप्त समीकरणांचे निराकरण करणे आवश्यक आहे. आरंभिक समीकरणामध्ये बी< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, कारण 4\u003e 0, नंतर

x + 2 \u003d 4 किंवा x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, कारण 11\u003e 0, नंतर

x 2 - 5 \u003d 11 किंवा x 2 - 5 \u003d 11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 नाही मुळे

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, कारण -इतक< 0, то уравнение не имеет корней.

3. समीकरण पहा फ (एक्स) | \u003d जी (x). मॉड्यूलच्या अर्थाने, अशा समीकरणामध्ये त्याचे योग्य बाजू शून्यपेक्षा जास्त किंवा समान असल्यासारखे असते, तर i.e. जी (एक्स) ≥ 0. मग आपल्याकडे असेल:

f (x) \u003d g (x)किंवा f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. 5x 10 ≥ 0 असल्यास, या समीकरणाचे मूळ असेल. हे असे आहे की अशा समीकरणास पात्र आहे.

1. ओडी 5x - 10 ≥ 0

2. उपाय:

2x - 1 \u003d 5x - 10 किंवा 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. ओडी एकत्र करा. आणि निर्णय, आम्हाला मिळते:

रूट एक्स \u003d 11/7 ओडीवर योग्य नाही, ते 2 पेक्षा कमी आहे आणि x \u003d 3 ही स्थिती पूर्ण करते.

उत्तरः एक्स \u003d 3

2) | एक्स - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. ओडी 1 - x 2 ≥ 0. अंतराच्या पद्धतीद्वारे ही असमानता सोडविली जाते:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. उपाय:

एक्स - 1 \u003d 1 - एक्स 2 किंवा एक्स - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 किंवा x \u003d 1 x \u003d 0 किंवा x \u003d 1

3. आम्ही निर्णय आणि ओडी एकत्र करतो:

फक्त मुळे x \u003d 1 आणि x \u003d 0 योग्य आहेत.

उत्तर: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. समीकरण पहा फ (एक्स) | \u003d | जी (एक्स) |. अशा प्रकारचे समीकरण पुढील पुढील समीकरणांसाठी आहे (x) \u003d g (x) किंवा f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. हे समीकरण खालीलप्रमाणे आहे:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 किंवा x 2 - 5x +7 \u003d -2x +5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 किंवा x \u003d 4 x \u003d 2 किंवा x \u003d 1

उत्तर: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. प्रतिस्थापनाद्वारे (व्हेरिएबल प्रतिस्थापन) द्वारे सुलभ समीकरण. विशिष्ट उदाहरणावर स्पष्टीकरण देणे ही समाधान पद्धत सर्वात सोपी आहे. म्हणून, स्क्वेअर समीकरण मॉड्यूल:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. मॉड्यूल x 2 \u003d | च्या गुणधर्मांद्वारे x | 2, म्हणून समीकरण पुन्हा लिहू शकते:

| एक्स | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. आम्ही पुनर्स्थित करू - x | \u003d टी ≥ 0, मग आपल्याकडे असेल:

टी 2 - 6 टी + 5 \u003d 0. या समीकरणाचे निराकरण करणे, आम्ही ते t \u003d 1 किंवा t \u003d 5 प्राप्त करू या.

| एक्स | \u003d 1 किंवा | x | \u003d 5.

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

उत्तर: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

आणखी एक उदाहरण विचारात घ्या:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. मॉड्यूल x 2 \u003d | च्या गुणधर्मांद्वारे x | 2, म्हणून

| एक्स | 2 + | x | - 2 \u003d 0. आम्ही पुनर्स्थित करू - x | \u003d टी ≥ 0, नंतर:

टी 2 + टी - 2 \u003d 2 \u003d 0. हे समीकरण निराकरण, आम्ही प्राप्त करतो, t \u003d -2 किंवा t \u003d 1. चला बदलू द्या:

| एक्स | \u003d -2 किंवा | x | \u003d 1.

नाही roots x \u003d ± 1

उत्तर: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. आणखी एक प्रकारचा समीकरण - "जटिल" मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण. अशा समीकरणांमध्ये समीकरणे ज्यामध्ये "मॉड्यूल मधील मॉड्यूल" आहेत. मॉड्यूलचे गुणधर्म लागू करून या प्रजातींचे समीकरण सोडवले जाऊ शकते.

1) | 3 - x || \u003d 4. आम्ही तसेच दुसर्या-प्रकार समीकरणांमध्ये तसेच कार्य करू. कारण 4\u003e 0, मग आम्हाला दोन समीकरण मिळते:

3 - | x | \u003d 4 किंवा 3 - | x | \u003d -4.

आता प्रत्येक समीकरण मॉड्यूल एक्स मध्ये व्यक्त करा, नंतर | x | \u003d -1 किंवा | x | \u003d 7.

आम्ही प्रत्येक प्राप्त समीकरणांचे निराकरण करतो. पहिल्या समीकरणात मूळ नाही, कारण नाही -ऑन< 0, а во втором x = ±7.

उत्तर x \u003d -7, x \u003d 7 आहे.

2) | 3 + | एक्स + 1 || \u003d 5. आम्ही या समीकरणाचे त्याच प्रकारे निराकरण करतो:

3 + | x + 1 | \u003d 5 किंवा 3 + | x + 1 | \u003d -5.

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8.

x + 1 \u003d 2 किंवा x + 1 \u003d -2. नाही मुकुट.

उत्तर: x \u003d -3, x \u003d 1.

मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण सोडविण्याचा एक सार्वभौम उपाय देखील आहे. ही अंतराल पद्धत आहे. पण आम्ही भविष्यात याचा विचार करू.

ब्लॉग.एससेट, मूळ स्त्रोताच्या पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह, आवश्यक किंवा आंशिक कॉपीसह आवश्यक आहे.

हे गणिती कॅलक्युलेटर आपल्याला मदत करेल मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण किंवा असमानता सोडवा. साठी कार्यक्रम समीकरण आणि मॉड्यूलसह \u200b\u200bअसमानता उपाय फक्त उत्तर कार्य देत नाही, ते ठरते स्पष्टीकरण सह तपशीलवार निर्णय. परिणाम प्रक्रिया प्रदर्शित करते.

परीक्षापूर्वी ज्ञान तपासताना परीक्षण आणि परीक्षांसाठी उच्च शिक्षण शाळांच्या उच्च शिक्षण शाळांच्या विद्यार्थ्यांना उपयुक्त ठरू शकते, जेव्हा गणित आणि बीजगणितामध्ये अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी पालक. किंवा कदाचित आपण शिक्षकांना भाड्याने घेण्यास किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करण्यासाठी खूप महाग आहात? किंवा आपण फक्त आपल्या गृहकार्य गणित किंवा बीजगणित मध्ये करू इच्छिता? या प्रकरणात, आपण आमच्या प्रोग्राम्सला विस्तृत समाधानासह देखील वापरू शकता.

अशा प्रकारे, आपण आपल्या स्वत: च्या प्रशिक्षण आणि / किंवा आपल्या तरुण भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, तर सोडलेल्या कार्याच्या क्षेत्रात शिक्षणाचे स्तर वाढते.

मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण किंवा असमानता प्रविष्ट करा

असे आढळून आले आहे की काही स्क्रिप्ट्स हे कार्य सोडविण्यासाठी आवश्यक आहेत लोड होत नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही.
आपल्याकडे अॅडब्लॉक समाविष्ट असू शकते.
या प्रकरणात, ते डिस्कनेक्ट करा आणि पृष्ठ अद्यतनित करा.

कारण कार्य सोडविण्याची इच्छा खूप आहे, आपली विनंती ओळखीची आहे.
काही सेकंदांनंतर, समाधान खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद ...

जर तू निराकरण मध्ये एक चूक लक्षात आलीआपण फीडबॅक फॉर्ममध्ये त्याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य निर्दिष्ट करा आपण निर्णय घ्या आणि काय फील्डमध्ये प्रवेश करा.

आमचे खेळ, कोडी सोडवणे, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण आणि असमानता

मुख्य शाळेच्या बीजब्रासचा अभ्यास सोपा समीकरण आणि मॉड्यूलसह \u200b\u200bअसमानता पूर्ण करू शकते. त्यांना सोडविण्यासाठी, \\ (| xa | \\) हे अंक x आणि a: \\ (| xa | \u003d \\ r rho (x; \\ r rho (x; \\ ' ; ए) \\). उदाहरणार्थ, समीकरण \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) सोडवण्यासाठी, एक अंकीय डायरेक्ट पॉइंट शोधणे आवश्यक आहे, एका अंतरासाठी पॉइंट 3 वरुन काढले आहे 2. अशा दोन गोष्टी आहेत: \\ (x_1 \u003d 1 \\) आणि \\ (x_2 \u003d 5 \\).

सोडवणे असमानता \\ (| 2x + 7 |

परंतु मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण आणि असमानता सोडविण्याचा मुख्य मार्ग म्हणजे तथाकथित "मॉड्यूल डिस्क्लोजर":
जर \\ (ए \\ Geq 0 \\), नंतर \\ (| ए | \u003d ए \\);
जर \\ (एक नियम म्हणून, मॉड्यूलसह \u200b\u200bसमीकरण (असमानता) समीकरणांच्या संपूर्णतेमध्ये कमी केले जाते ज्यात मॉड्यूल चिन्ह नसतात.

निर्दिष्ट परिभाषा व्यतिरिक्त, खालील विधाने वापरल्या जातात:
1) जर \\ (c\u003e 0 \\), नंतर समीकरण \\ (x) | \u003d सी \\) समीकरणांच्या संपूर्णतेच्या समतुल्य आहे: \\ (\\ 'stut ) \u003d सी \\\\ f (x) \u003d - सी \\ एंड (अॅरे) \\ योग्य. \\)
2) जर \\ (c\u003e 0 \\) तर असमानता \\ (x) | 3) तर \\ (सी \\ GEQ 0 \\), नंतर असमानता \\ (x) |\u003e सी \\) समतुल्य आहे असमानतेची संपूर्णता: \\ (\\ bletion [\\ 'sing (array) (l) f (x) सी \\ end (reare) \\ योग्य. \\)
4) असमानता दोन्ही भाग असल्यास \\ (f (x) उदाहरण 1. समीकरण सोडवा \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\) सोडवा.

जर \\ (x-1 \\ Geq 0 \\), नंतर \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) आणि निर्दिष्ट समीकरण फॉर्म घेते
\\ (x ^ 2 +2 (x - 1) -6 \u003d 0 \\ 0 \\ x x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
जर \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ x x x ^ 2 -2x-4 \u003d 0 \\).
अशा प्रकारे, निर्दिष्ट समीकरण प्रत्येक दोन प्रकरणांमध्ये स्वतंत्रपणे मानले पाहिजे.
1) \\ (x - 1 \\ Geq 0 \\), i.e. \\ (X \\ Geq 1 \\). समीकरण पासून \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) आम्हाला आढळते \\ (x_1 \u003d 2, \\ x_2 \u003d -4 \\). स्थिती \\ (x \\ Geq 1) केवळ मूल्य \\ (x_1 \u003d 2 \\) संतुष्ट करते.
2) \\ (x-1 उत्तर: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

उदाहरण 2. समीकरण सोडवण्यासाठी \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\).

प्रथम पद्धत (परिभाषेद्वारे मॉड्यूल प्रकटीकरण).
युक्तिवाद, उदाहरणार्थ 1, आम्ही निष्कर्ष काढतो की दोन अटी चालवताना निर्दिष्ट समीकरण स्वतंत्रपणे मानले जावे: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ Geq 0 \\) किंवा \\ (x ^ 2-6x + 7

1) जर \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ Geq 0 \\), नंतर \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) आणि निर्दिष्ट समीकरण फॉर्म \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ rightrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). या स्क्वेअर समीकरण ठरविणे, आम्ही प्राप्त करतो: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).
आम्हाला माहित आहे की मूल्य \\ (x_1 \u003d 6 \\) स्थिती पूर्ण करते \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ Geq 0 \\). हे करण्यासाठी, आम्ही निर्दिष्ट मूल्य स्क्वेअर असमानतेमध्ये बदलू. आम्ही प्राप्त करतो: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ Geq 0 \\), I.. \\ (7 \\ Geq 0 \\) - विश्वासू असमानता. तर, \\ (x_1 \u003d 6 \\) दिलेल्या समीकरणाचे मूळ आहे.
व्हॅल्यू \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) (3) \\) स्थिती पूर्ण करते \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ Geq 0 \\). हे करण्यासाठी, आम्ही निर्दिष्ट मूल्य स्क्वेअर असमानतेमध्ये बदलू. आम्हाला मिळते: \\ (\\ frac (\\ frac (5) (3) \\ right) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ Geq 0 \\), i.e. \\ (\\ Frac (25) (9) -3 \\ Geq 0 \\) - अयोग्य असमानता. तर, \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) दिलेल्या समीकरणाचे मूळ नाही.

2) जर \\ (x ^ 2-6x + 7, मूल्य \\ (x_3 \u003d 3 \\) \\ (x ^ 2-6x + 7, मूल्य \\ (x_4 \u003d frac (4) (3) \\ ) स्थिती पूर्ण करीत नाही \\ (x ^ 2-6x + 7 म्हणून, निर्दिष्ट समीकरणात दोन मुळे आहेत: \\ (x \u003d 6, x \u003d 3 \\).

दुसरा मार्ग. जर समीकरण दिले जाते \\ (| f (x) \\), नंतर \\ (x) \\ (\\ dive [\\ 'strib (reave) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ Frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ समाप्ती (अॅरे) \\ '\\' \\)
या दोन्ही समीकरण वर सोडले जातात (दिलेल्या समीकरण सोडविण्याच्या पहिल्या पद्धतीसह), त्यांची मुळे खालील प्रमाणे आहेत: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\). स्थिती \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ Geq 0 \\) या चार मूल्यांमधून फक्त दोन: 6 आणि 3. त्यामुळे, निर्दिष्ट समीकरणात दोन मुळे आहेत: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

तिसरे मार्ग (ग्राफिक).
1) आम्ही एक फंक्शन शेड्यूल तयार करतो (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). प्रथम, आम्ही पॅराबोला (वाई \u003d एक्स ^ 2-6x + 7 \\) तयार करतो. आमच्याकडे \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) आहे. फंक्शनचे आलेख \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) फंक्शनच्या फंक्शनमधून प्राप्त केले जाऊ शकते \\ (y \u003d x ^ 2 \\) ते स्केलच्या 3 युनिट्सपर्यंत पोहोचू शकते ( एक्स एक्सिससह) आणि 2 युनिट्स खाली (Y अक्षावर). डायरेक्ट एक्स \u003d 3 - आपल्याला स्वारस्य असलेल्या पॅराबोल्सचे अक्ष. पॉइंट (3; -2) - पॉईंट पॅराबोला, पॉइंट (0; 7) आणि पॅराबोला (6; 7) सह सममितीय.
फंक्शनचे शेड्यूल तयार करण्यासाठी \\ (y \u003d | x ^ 2-6-6-6-6-6-6-6x + 7 \\), पोलाबॅबोलच्या भागाचा भाग न बदलता सोडणे आवश्यक आहे, जे एक्स अक्ष खाली आणि पॅराबोलाचे भाग नाही एक्स अक्ष संबंधित दर्पण प्रदर्शित करण्यासाठी X अक्ष खाली x च्या खाली आहे.
2) आम्ही एक रेखीय फंक्शनचे आलेख तयार करतो (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\). चाचणी पॉइंट म्हणून, गुण घेणे सोपे आहे (0; -3) आणि (3; 2).

हे महत्त्वाचे आहे की पॉईंट एक्स \u003d 1.8 एबीसीएसएच्या अक्ष्यासह सरळ अंतरावर स्थित आहे ते योग्यरित्या स्थित आहे पॅराबोलाच्या क्रॉसिंगच्या डाव्या बाजूला डाव्या बाजूला बिंदू आहे \\ (x \u003d 3- \\ sqrt ( 2) \\) ((3- \\ sqrt (2) 3) ड्रॉईंगद्वारे निर्णय घेतल्यानंतर, आलेख दोन बिंदूंवर छेदतात - एक (3; 2) आणि इन (6; 7). या बिंदूंच्या अपमानास \u003d 3 आणि x \u003d 6 एका दिलेल्या समीकरणात, आम्हाला खात्री आहे की जेव्हा दुसरा अर्थ योग्य अंकीय समानता आहे. म्हणून आमची परिकल्पना पुष्टी केली गेली - समीकरणात दोन मुळे आहेत: x \u003d 3 आणि x \u003d 6. उत्तर: 3; 6 .

टिप्पणी. त्याच्या सर्व कृपेने ग्राफिक पद्धत फारच विश्वासार्ह नाही. परीक्षेच्या उदाहरणामध्ये, ते केवळ कार्य केले कारण समीकरण मुळे पूर्णांक आहेत.

उदाहरण 3. समीकरण सोडवा \\ (| 2x-4 | + | एक्स + 3 | \u003d 8 \\)

प्रथम पद्धत
2x-4 चे अभिव्यक्ती 0 वर 0 वर संदर्भित करते आणि एक्स + 3 पॉइंट एक्स \u003d -3 वर आहे. हे दोन बिंदू एक अंकीय स्तरावर तीन अंतर: \\ (x

पहिल्या अंतराल विचारात घ्या: \\ ((- - - \\ "- \\; -3) \\).
जर एक्स दुसरा अंतर मानतो: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
जर \\ (- 3 \\ leq x तिसऱ्या अंतरावर विचार करा: \\ ()