मोठ्या संख्येचे मूळ कसे हायलाइट करावे. स्क्वेअर रूट कसे शोधायचे? गुणधर्म, मूळ निष्कर्षांचे उदाहरण

मोठ्या संख्येचे मूळ काढून टाकणे. प्रिय मित्रानो!या लेखात, कॅल्क्युलेटरशिवाय मोठ्या संख्येचे मूळ कसे काढायचे याचे विश्लेषण करू. हे केवळ काही प्रकारच्या कार्यांचे निराकरण करणे आवश्यक आहे (अशा प्रकारच्या मोशनमध्ये आहे) परंतु सामान्य गणिती विकासासाठी देखील, हे विश्लेषणात्मक स्वीकृती वांछनीय आहे.

असे दिसते की सर्वकाही सोपे आहे: गुणधर्मांमध्ये पसरणे, होय काढा. कोणतीही समस्या नाहीत. उदाहरणार्थ, डीकॉम्पॉशनसह 2 9 1600 क्रमांक एक उत्पादन देईल:

गणना करा:

एक पण आहे! विभाजक 2, 3, 4 आणि असेच चांगले ठरल्यास ही पद्धत चांगली आहे. आणि आपण ज्या नंबरचे मूळ काढून टाकतो ते प्राइम नंबरचे उत्पादन असल्यास काय करावे? उदाहरणार्थ, 152881 संख्या 17, 17, 23, 23 ची एक उत्पादन आहे. या विभाजकांना शोधून काढण्याचा प्रयत्न करा.

विचार अंतर्गत पद्धत सार- हे शुद्ध विश्लेषण आहे. संचयित कौशल्य दरम्यान रूट त्वरीत आहे. जर कौशल्य कार्य करत नसेल तर फक्त एक छोट्या धीमे, परंतु तरीही निर्धारित करा.

1 9 0 9 6 9 पासून रूट काढा.

प्रथम, आम्ही परिभाषित करतो - कोणत्या अंक (एकाधिक सौ) आमच्या परिणाम आहेत.

अर्थात, या नंबरवरील रूटचा परिणाम 400 ते 500 पर्यंत श्रेणीत आहे,म्हणून

400 2 \u003d 160000 आणि 500 \u200b\u200b2 \u003d 250000

खरोखर:

मध्यभागी, 160,000 किंवा 250,000 च्या जवळ?

1 9 0 9 6 9 च्या संख्येत अंदाजे मध्यभागी आहे, परंतु अद्याप 160000 च्या जवळ आहे. हे निष्कर्ष काढता येईल की आमच्या मूळ परिणाम 450 पेक्षा कमी असेल. तपासा:

खरंच, ते 450 पेक्षा कमी आहे, 1 9 0 9 6 9< 202 500.

आता क्रमांक 440 तपासा:

म्हणून आमचा परिणाम 440 पेक्षा कमी आहे190 969 < 193 600.

क्रमांक 430 तपासत आहे:

आम्हाला आढळले की या मूळ परिणामात 430 ते 440 पर्यंत श्रेणीत आहे.

1 किंवा 9 च्या शेवटी असलेल्या संख्येचे उत्पादन शेवटी 1 वरून नंबर द्या. उदाहरणार्थ, 21 ते 21 441 आहे.

शेवटी 2 किंवा 8 वर असलेल्या संख्येचे उत्पादन 4 वरून नंबर द्या. उदाहरणार्थ, 18 ते 18 324 आहे.

शेवटच्या 5 वर असलेल्या नंबरचे उत्पादन शेवटी 5 वरून नंबर देतात. उदाहरणार्थ, 25 ते 25 625 आहे.

शेवटी 4 किंवा 6 वर असलेल्या संख्येचे उत्पादन 6 वाजता नंबर देतात. उदाहरणार्थ, 26 ते 26 ते 676 आहे.

3 किंवा 7 च्या शेवटी असलेल्या संख्येचे उत्पादन 9 वरून 9 क्रमांक देतात. उदाहरणार्थ, 17 ते 17 ब समान 28 9 आहे.

संख्या 9 0 9 6 9 क्रमांक 9 सह संपल्यामुळे, हे एक उत्पादन किंवा संख्या 433 किंवा 437 आहे.

* संपल्यावर केवळ ते केवळ 9 देऊ शकतात.

तपासा:

म्हणून रूटचा परिणाम 437 च्या समान असेल.

म्हणजे, आम्ही, "fastened" योग्य उत्तर "fastened".

जसे आपण पाहू शकता, स्तंभाद्वारे 5 क्रिया करणे आवश्यक आहे. आपण त्वरित बिंदूवर पोहोचू शकता किंवा फक्त तीन क्रिया करू शकता. हे सर्व आपण संख्येचे प्रारंभिक अंदाज कसे करेल यावर अवलंबून असते.

स्वतःला 148 99 6 च्या बाहेर रूट काढा

अशा प्रकारच्या भेदभावाने कार्य केले आहे:

मोटर जहाज नदीतून 336 किलोमीटर अंतरावर जाते आणि पार्किंग प्रस्थानीच्या बिंदूपर्यंत परत आले. प्रवाह दर 5 किमी / तास असल्यास, फिक्स्ड वॉटरमध्ये जहाजाची गती शोधा, पार्किंगची जागा 10 तास टिकते आणि निर्गमन स्थितीत, मोटर जहाज त्यातून नौकायनानंतर 48 तास परत करते. KM / H मध्ये उत्तर द्या.

निर्णय पहा

रूटचे परिणाम संख्या 300 आणि 400 दरम्यान आहे:

300 2 =90000 400 2 =160000

खरंच, 9 0000.<148996<160000.

या संख्येशी संबंधित संख्या (आढळली) हे निर्धारित करण्यासाठी पुढील तर्कांचे सार कमी केले जाते.

फरक मोजा148 996 - 90000 \u003d 58 996 आणि 160000 - 148 99 6 \u003d 11004.

हे दर्शविते की 148 99 6 ने 160000 पर्यंत जवळपास (खूप जवळ) आहे. म्हणून रूटचा परिणाम निश्चितपणे 350 आणि 360 पेक्षा अधिक असेल.

आम्ही निष्कर्ष काढू शकतो की आपला परिणाम 370 पेक्षा मोठा आहे. पुढील स्पष्ट आहे: 148 99 6 पासून नंबर 6 सह समाप्त होते, नंतर याचा अर्थ असा आहे की स्क्वेअरला 4 किंवा 6 वर्षांनी वाढवावा * केवळ या आकडे चौरस अखेरीस 6.

विनम्रपणे, अलेक्झांडर क्रूतोस्की.

पी .s: आपण सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल सांगल्यास मी कृतज्ञ असेल.

बर्याचदा ओलंपिक आणि परीक्षा (उदाहरणार्थ, गणितातील परीक्षेत), कॅलक्युलेटर वापरणे अशक्य आहे. आणि दररोजच्या जीवनात, कधीकधी आपल्याला एक्झेट्युलेटरकडून स्क्वेअर रूटच्या मूल्याचा अंदाज लावावा लागतो. पुढे कसे?

1. सर्वप्रथम, 2, 3, 7, 8 च्या बरोबरीचे असल्यास, संख्येचे शेवटचे अंक पहा, नंतर या नंबरचे संपूर्ण मूळ अस्तित्वात नाही. आणि संख्या 1, 4, 6, 9 सह समाप्त झाल्यास इच्छित रूटचा शेवटचा अंक अनुक्रमे 1 किंवा 9, 2 किंवा 8, 4 किंवा 6, 3 किंवा 7 असू शकतो.
क्रमांक 5 मध्ये नंबर संपल्यास, आपल्याला शेवटच्या क्रमांकावर लक्ष देणे आवश्यक आहे. संपूर्ण रूट अस्तित्त्वासाठी, ते 2-ki, i.e असणे आवश्यक आहे 25 वर संपलेल्या त्या संख्येत केवळ 5 च्या अखेरीस मुळे असू शकतात.
या श्रेणीतील या विशिष्ट स्थानावर 0. जर संख्या एक किंवा विषम संख्या शून्यसह संपली असेल तर दोन किंवा अगदी, म्हणजे, एकाधिक 10 ची रूट नाही.

आपण या टेबलमध्ये काही सममिती पाहिल्या आहेत का? यापेक्षा जास्त विचार करा. आपण अंदाज लावला नाही तर या विभागाच्या शेवटी पहा.

2. आम्ही 2 अंकांच्या उजवीकडे डावीकडील गट (कडा वर) नंबर खंडित करतो. शेवटच्या अंकांसह प्रारंभ करा. या प्रकरणात, निर्दिष्ट नंबरमध्ये अनेक संख्या असतात, तर त्या डाव्या गटात एक अंकी एक अंक असेल तर दोन.

आपल्या नंबरमध्ये फक्त दोन चेहरे असतात, तर हे कॉलममध्ये गुणाकार करून संभाव्य परिणाम थांबविले जाऊ शकते आणि तपासले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, 1225 मधील रूट 3 (आम्ही क्लॉज 3 मध्ये निर्धारित केले होते) सह सुरू केले पाहिजे आणि ते केवळ पूर्ण केले जाऊ शकते (क्लॉज 1 पहा), i.e. या नंबरवरुन नैसर्गिक मूळ असल्यास, ते केवळ 35 वर्षांचे असू शकते. 841 मधील रूट 2 सह सुरू असावे आणि ते 1 टीएसआय किंवा 9-ka, i.e. सह समाप्त होऊ शकते. हे 21, किंवा 2 9 आहेत. परंतु 21 × 20 आणि 20 2 \u003d 400, एक 2 9 × 30 आणि 30 2 \u003d 9 00. निर्दिष्ट क्रमांक 841 के 400 पेक्षा 900 च्या जवळ आहे, म्हणून उत्तर 2 9 आहे.

तपासा.

29
× 29
____
261
58
____
841

35
× 35
_____
175
105
_____
1225

तर, उत्तरे अस्तित्वात आहेत, त्यांना सापडले आणि सापडले.
दोन अंकी प्रतिसादांसाठी आणि एजी वर जास्त संख्या दुर्मिळ आहेत, सर्व काही अतिशय सोपे आहे. नाही का?

4. जर आपल्या नंबरमध्ये दोनपेक्षा जास्त चेहरे असतील किंवा आपण ताबडतोब तपासू इच्छित नसल्यास, मूळ शोधण्याच्या अल्गोरिदम पुढील चरण पुढे चालू ठेवते:
- स्क्वेअरच्या उत्तराचा पहिला अंक घ्या आणि पहिल्या चेहर्यापासून, फरकाने कापून घ्या, दुसरा चेहरा घालावा, तो तीन-अंकी किंवा चार-अंकी क्रमांक चालू करेल. आयटी चिन्हाने सूचित करा.

5. खालील अंक सर्वोच्च असावा, यासारखे निवडलेले:
- आम्ही उत्तराच्या 2 उपलब्ध भागावर गुणाकार करतो, त्यात प्रस्तावित अंक जोडा आणि परिणामी नंबर समान आकृतीवर गुणाकार करा. काय झाले, आम्ही एक पासून घटवा. अवशेष किमान संभाव्य सकारात्मक संख्या असणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ, 142884 (14 "28" 84 "88) च्या संख्येचा एक भाग सापडला - प्रथम आकृती 3 आणि दुसरी ओळ नष्ट केली गेली, i.e. ए \u003d 528 परिभाषित केले आहे. आम्ही 2 च्या उत्तराचा भाग गुणाकार करतो, आम्हाला 3 × 2 \u003d 6 मिळते. आता "अंदाज अंदाज" उजवीकडे पूर्ण करणे आवश्यक आहे. आम्ही त्याचे अंदाजे मूल्य परिभाषित करतो:
ए \u003d 528 × 500. 500: 60 × 8. म्हणून, तुम्ही 8 सुरू करता.
528 - 68 × 8 \u003d 528 - 544 528 - 67 × 7 \u003d 528 - 46 9\u003e 0. रूट 7 च्या पुढील अंक.

म्हणून, आमच्या उदाहरणांमध्ये:

आपण अनेक आकृत्या तयार केल्या असल्यास, किती चेहरे आणि त्याच वेळी या चरणावर अवशेष 0 आहे, तर उत्तर प्राप्त केले जाते. कोणत्याही परिस्थितीत, गुणाकार तपासणे अर्थपूर्ण आहे.
जर, अनेक चेहरे म्हणून संख्या, परंतु अवशेष 0 च्या समान नसतात, किंवा वरील गणनेमध्ये त्रुटी आली किंवा या नंबरचे नैसर्गिक मूळ अस्तित्वात नसते. नंतरच्या प्रकरणात, आपल्याला अद्याप दिलेल्या अचूकतेसह त्याचे मूल्य शोधण्याची आवश्यकता असल्यास, आपण स्वल्पविरामानंतर शून्य चेहरे (00) आवश्यक संख्या जोडू शकता आणि पुढे चालू ठेवू शकता.
जर चे चेहरे प्राप्त झालेल्या संख्येपेक्षा जास्त असतील तर. दोन शीर्ष उदाहरणांमध्ये, आम्ही शेवटचा अंक ठरवू शकतो, तो दावा 1 अनुसार निवडला जाऊ शकतो. सामान्य अल्गोरिदम त्यानुसार सुरू ठेवा.

6. आम्ही मागील चरणात प्राप्त झालेल्या अवशेषांना पुढील किनारा जोडत आहे. उत्तर पुढील अंक प्राप्त करण्यासाठी, 5 व्या चरणाच्या कृती पुन्हा करा. संपूर्ण उत्तर प्राप्त होईपर्यंत आम्ही या चरणाची पुनरावृत्ती करतो.
आमच्या उदाहरणांमध्ये:

एक्स + वाई. \u003d 10 I. वाई. = 10 − एक्स.

दोन संख्येच्या फरकांच्या स्क्वेअरचे सूत्र लक्षात ठेवा

(ए − बी) 2 = ए 2 − 2एबी + बी 2 ;

आणि स्क्वेअर शोधण्यासाठी त्याचा वापर करा वाई..

वाई. 2 = (10 − एक्स) 2 \u003d 10 2 - 2 · 10 · एक्स + एक्स 2 ;

या रकमेत, पहिला शब्द दोन शून्यसह संपतो, दुसरा शून्य आहे, याचा अर्थ असा आहे की जोडल्यानंतर अभिव्यक्ती त्याच अंकासह संपेल एक्स 2. त्या. एक्स 2 I. वाई. 2 एंटर एंटर करा.

रूट गणना उदाहरणे.

√ 633528 9 गणना. _______ .

आम्ही विभाजनासह समृद्धतेद्वारे इंटरमीडिएट परिणाम रेकॉर्ड करू. चेरनोव्हिक कॉलमच्या उजवीकडे.

6"33"52"89 | 2517.
−4
____
233
-225 | 45 × 5
______
852
-501 | 501 × 1
________
35189
-3518 9 | 5027 × 7
__________
0

1) आम्ही कडा वर नंबर विभाजित करतो: 6 "33" 52 "8 9. म्हणून ते 4 तुकडे झाले, म्हणूनच उत्तरामध्ये 4 अंकांचा समावेश असेल. प्रथम अंक 2, 2 2 \u003d 4 6.

2) पुढे, उत्तराचे विद्यमान भाग दुप्पट करा, आम्ही अवशेष निर्धारित करतो, पुढील ओळ नष्ट करतो आणि उत्तराचे खालील अंक निवडा. आम्ही हा पाऊल शेवटच्या चेहर्यावर पुन्हा करतो:
233: 40 ≈ 5; 45 × 5 \u003d 225 233; परिणामी, दुसरा क्रमांक 5;
852: 500 ≈ 1; 501 × 1 \u003d 501 852; परिणामी, तिसरा क्रमांक 1.

3) जर संपूर्ण मूळ अस्तित्वात असेल तर त्याचे शेवटचे अंक एकतर 3 किंवा 7 असू शकते. आम्ही स्तंभात 2513 आणि 2517 गुणक तपासू शकतो. परंतु बहुविध संख्येसाठी, सामान्य अल्गोरिदम चालू ठेवा:
3518 9: 5000 ≈ 7; 5027 × 7 \u003d 3518 9 (!) शेवटचे अंक 7.

उत्तरः 2517.

§2304 मोजा ____ .

48
× 48.
______
384
192
______
2304

आम्ही कडा वर विभागतो. 23 "04. म्हणूनच, 2-अंकी, प्रथम अंक 4, कारण 4 2 \u003d 16 23. शेवटचे अंक एकतर 2, किंवा 8 आहे, कारण गुणाकार परिणाम 4 सह समाप्त करणे आवश्यक आहे.
तर, 42 किंवा 48? 42 ≈ 40; 40 2 \u003d 1600. 48 ≈ 50; 50 2 \u003d 2500. निर्दिष्ट संख्येच्या जवळ 2500. म्हणून आपण 48 पासून कॉलममध्ये गुणाकार तपासू शकता.

उत्तरः 48.

गणिताच्या परीक्षेत हे सर्वात सामान्य प्रकरण आहे आणि मी निश्चितपणे ते पूर्ण करण्याची शिफारस करतो.

√503 ची गणना करा ___ .

क्रमांक शीर्ष तीन सह समाप्त. हे लगेच स्पष्ट आहे की संपूर्ण मूळ मूल्य कार्य करणार नाही. आपण स्वत: ला विचारू या, मूळ निर्धारित करण्यासाठी आपल्याला कोणत्या अचूकतेची आवश्यकता आहे. समजा, स्थितीने शंभर उत्तर फेरीत सांगितले. याचा अर्थ तो हजार वेपर्यंत घेणे आवश्यक आहे, i.e. स्वल्पविरामानंतर तिसऱ्या चिन्हापर्यंत. म्हणून, 3 शून्य चेहरे निर्दिष्ट संख्येत जोडले जावे. आणि स्वल्पविरामाने स्वत: ला विसरू नका!

5"03,00"00"00 | 22,427.
−4
____
103
- 84 | 42 × 2
______
1900
-1776 | 444 × 4
________
12400
- 8 9 64 | 4482 × 2
__________
343600
-313929 | 44847 × 7
____________
29671

1) अशा प्रकारे, किनार्यावरील विभाजन अशा 5 "03 असेल , 00 "00" 00. याचे उत्तर स्वल्पविरामाने आणि 3 नंतर पाच अंक असतील. पहिला अंक 2 (2 2 \u003d 4 5) आहे, तर आम्ही या प्रकरणात अंतिम अंक निर्धारित करू शकत नाही.

2) पुढे, सर्वसाधारणपणे एकूण अल्गोरिदम 4,5,6 चरणबद्ध करा:
103: 40 ≈ 2; 42 × 2 \u003d 84 103; म्हणून, दुसरा अंक 2.
1 9 00: 440 ≈ 4; 444 × 4 \u003d 1776 1 9 00; परिणामी, तिसरा क्रमांक 4.
12400: 4480 ≈ 3; 4483 × 3 \u003d 13449\u003e 12400; 4482 × 2 \u003d 8964 343600: 44840 ≈ 8; 44848 × 8 \u003d 358784\u003e 343600; 44847 × 7 \u003d 313929 आम्हाला अद्याप शून्य अवशेष मिळाले नाही आणि इच्छित रूट अपरिजीव संख्या असेल तर मला कधीही मिळणार नाही. परंतु आम्हाला याची गरज नाही कारण परिणामी गोल करण्यासाठी आवश्यक अचूकतेसह परिणाम प्राप्त झाला आहे.

अर्धविरामानंतर तिसऱ्या अंकाचा काढून टाकून, वाढत आहे (कारण 7\u003e 5) मागील एक युनिट 22.427 × 22.43.

उत्तरः 22,43.

√1.5 गणना करा ____ .

दशांश अपूर्णांकाचे मूळ गणना करण्यासाठी, आपल्याला ते 10 2 \u003d 100 आणि 0.1 2 \u003d 0.01 ची आठवण करावी लागेल. त्या. स्क्वेअर मध्ये बांधले तेव्हा विल्हेवाट च्या दुप्पट. त्यानुसार, दशांश अपूर्णांक पासून स्क्वेअर रूट काढण्यासाठी, आम्ही स्वल्पविरामानंतर संख्या संख्या देखील असणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, सेमिकॉलॉननंतर आम्हाला एक सेमिकोलॉन नंतर एक सेमिकोलन नंतर एक पूर्ण संख्या मिळते, याचा अर्थ प्रतिसादाच्या आंशिक भागामध्ये पूर्णांक संख्या आहे.
ज्या नंबरच्या संपूर्ण भागाकडे ते पुन्हा लक्षात ठेवा आपण पुढे किती शून्य, आणि फ्रॅक्शनल - शेवटी किती शून्य. यापासून नंबर बदलत नाही.

1 \u003d 001; 23 \u003d 000023; 1080 \u003d 01080; पण (!) 1080 ≠ 10800
0.1 \u003d 0.10; 2.3 \u003d 2.3000; 10,80 \u003d 0010,8000; पण (!) 10.80 ≠ 100,80 आणि 10.80 ≠ 10,080

मी पद्धत.

1,5 = 1,50 √1,5___ = √1,50____

समजा आपल्याला दशांश अचूकतेचे उत्तर देणे आवश्यक आहे, तर आपल्याला या रूटचे मूल्य दुसर्या दशांश चिन्हावर मोजण्याची आवश्यकता आहे. आता आपल्याकडे स्वल्पविरामानंतर 2 अंक आहेत, i.e. एक चेहरा, म्हणून मी दुसरा शून्य चेहरा जोडू.

1,50"00 | 1,22
−1
____
50
-44 | 22 × 2
______
600
-484 | 242 × 2
_______
116

1) काठावर रब्बिंग: 1.50 "00. परिणाम तृतीय अंकांमधून - एक स्वल्पविराम आणि दोन नंतर. पहिला आकृती स्पष्टपणे 1 आहे.

3) 1.22 × 1.2 गोलाकार.

उत्तरः 1,2.

दुसरा मार्ग

आम्ही गुणाकार करतो आणि त्याच वेळी आमच्या नंबर 10 ला पदवी उत्तीर्ण करतो (अनंतकाळपर्यंत ते अगदी सहजतेने आणि अखंडतेने मूळ ते अचूकपणे काढते). 1.5 \u003d 1.5 × 100/100 \u003d 150/100. परिणामी, 150 च्या रूटची गणना करणे आवश्यक आहे आणि ते 100 च्या रूटवर विभाजित करणे आवश्यक आहे, i.e. 10 वर.

लहान तीन अंकी पूर्णांकांसाठी, फक्त मुळांच्या मूल्यांना लक्षात ठेवा, कारण ते बर्याचदा आढळतात (उदाहरणार्थ, "स्क्वेअर नंबर 1 ते 25 पर्यंत" आणि "स्क्वेअर रूट्स") मध्ये आढळतात. संपूर्ण संख्या 144 च्या चौरसाच्या 150 च्या संख्येशी सर्वात जवळचा, परिणामी √150 ____ ≈ 12 आणि, अनुक्रमे, √1.5 ____ ≈ 12:10 = 1,2.

उत्तरः 1,2.

लक्ष: 1.5 च्या रूटची अंदाजे मूल्य निर्धारित करणे जेव्हा 1.5 च्या रूटचे अंदाजे मूल्य निर्धारित करावे तेव्हा एक त्रुटी सामान्य आहे. आम्हाला आठवते - अगदी शून्य संख्या.

√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

"स्मेककीच्या साम्राज्यात" त्याच्या पहिल्या आवृत्तीत "(1 9 08), ई-इग्निटी लिहितात:" ... मानसिक स्व-ओळख, बुद्धिमत्ता आणि "सुगंधी" असू शकत नाही "मार्ग" किंवा "गुंतवणूक" असू शकत नाही " कोणाच्या डोक्यात. परिणाम विश्वासार्ह आहेत जेव्हा केवळ गणितीय ज्ञान क्षेत्रातील परिचय प्रकाश आणि आनंददायी स्वरूपात, सामान्य आणि रोजच्या परिस्थितीच्या उदाहरणांवर, योग्य आणि विलक्षणतेसह निवडलेल्या सामान्य आणि आनंददायी स्वरूपात केले जाते.

1 9 11 जी "गणिताची भूमिका गणिताची भूमिका" ई.आय.आय...... Igrieviev लिहितात "... गणित मध्ये, ते सूत्र नाही, परंतु विचार करण्याची प्रक्रिया लक्षात ठेवली पाहिजे."

स्क्वेअर रूट काढण्यासाठी तेथे दोन अंकी अंकांसाठी वर्गांची तक्ता आहेत, आपण सामान्य घटकांवरील संख्येस विघटित करू शकता आणि कामातून स्क्वेअर रूट काढू शकता. स्क्वेअर टेबल्स पुरेसे नाहीत, गुणधर्मांवर मूळ विघटन करण्याचा निष्कर्ष एक वेळ घेणारा कार्य आहे, जो नेहमीच इच्छित परिणाम होऊ शकत नाही. 20 9 764 पासून स्क्वेअर रूट काढण्याचा प्रयत्न करा? साध्या घटकांसाठी विघटन उत्पादन 2 * 2 * 52441 देते. चाचणी आणि त्रुटीची पद्धत, सिलेक्शन नक्कीच आहे, जर आपल्याला खात्री असेल की हे एक पूर्णांक आहे. मी ऑफर करू इच्छित मार्ग आपल्याला तरीही स्क्वेअर रूट काढण्याची परवानगी देतो.

एकदा संस्थेमध्ये (पर्म स्टेट शैक्षणिक संस्था) आम्ही आम्हाला या मार्गावर आणले, जे मला आता सांगायचे आहे. या पद्धतीने पुरावा असल्याचा मला कधीच वाटले नाही, तर आता मला मागे घेण्याचा काही पुरावा होता.

या पद्धतीचा आधार क्रमांक \u003d क्रमांकाची रचना आहे.

\u003d &, i.e. आणि 2 \u003d 5 9 6334.

1. उजव्या डाव्या बाजूला (5 9 63364) क्रमांकावर (5 9 6 "333 "64)

2. गटाच्या पहिल्या डाव्या बाजूस स्क्वेअर रूट काढा (- क्रमांक 2). म्हणून आम्हाला नंबरचा पहिला अंक मिळतो.

3. आम्हाला प्रथम अंक (2 2 \u003d 4) चे स्क्वेअर सापडतो.

4. पहिल्या गटात आणि प्रथम अंक (5-4 \u003d 1) मधील फरक शोधा.

5. खालील दोन अंक (संख्या 1 9 6 प्राप्त झाली).

6. आम्ही आमच्याकडून आढळलेल्या प्रथम आकडेवारी दुप्पट, ओळीच्या खाली डावीकडे लिहा (2 * 2 \u003d 4).

7. आता नंबरची दुसरी संख्या शोधणे आवश्यक आहे: आमच्याकडून सापडलेल्या दुहेरी आकृती एक संख्या बनतात, ज्याचे एक संख्या संख्या कमी करणे, 1 9 6 ची संख्या प्राप्त करणे आवश्यक आहे. (ही संख्या 4, 44 * 4 \u003d 176 आहे). 4 - संख्या दुसरा क्रमांक आणि.

8. फरक शोधा (1 96-176 \u003d 20).

9. आम्ही खालील गट नष्ट करतो (आम्हाला 2033 क्रमांक मिळतो).

10. संख्या 24 दुप्पट होईल, आम्हाला 48 मिळते.

11.48 युनिट्सच्या संख्येने गुणाकार असलेल्या डझन, आम्ही 2033 पेक्षा कमी (484 * 4 \u003d 1 9 36) कमी असणे आवश्यक आहे. आम्हाला युनिट्सची संख्या (4) आढळली आणि संख्या एक तृतीय अंक आहे.

प्रकरणांसाठी मला पुरावा दिला जातो:

1. तीन-अंकी संख्या स्क्वेअर रूट काढणे;

2. चार-अंकी संख्या एक चौरस रूट काढणे.

स्क्वेअर रूट काढण्यासाठी अंदाजे पद्धती (कॅल्क्युलेटर वापरल्याशिवाय).

बॅबिलियन लोकांनी त्यांच्या नंबरच्या स्क्वेअर रूटची अंदाजे मूल्य शोधण्याचा खालील मार्ग वापरला. नंबर एक्सला 2 + बी म्हणून दर्शविला गेला, जेथे एक्सच्या संख्येशी सर्वात जवळचे आणि 2 नैसर्गिक नंबरचे अचूक स्क्वेअर आहे (ए 2? एक्स), आणि सूत्र वापरला जातो . (1)

उदाहरणार्थ, 28 मधील उदाहरणार्थ, सूत्र (1) स्क्वेअर रूटसह काढा:

एमके 5,2915026 वापरुन 28 च्या रूटच्या निष्कर्षांचे परिणाम.

जसजसे बॅबिलोनियन रूटच्या अचूक मूल्यासाठी चांगले अंदाज देते.

2. आयझॅक न्यूटनने स्क्वेअर रूट काढण्यासाठी एक पद्धत विकसित केली, जी जीरॉन अॅलेक्झांड्रिया (सुमारे 100 ग्रॅम ई.) वर परत आली. या पद्धती (न्यूटन पद्धत म्हणून ओळखल्या जाणार्या) खालील प्रमाणे आहे.

असू द्या एक 1.- संख्येची पहिली अंदाजे (1 म्हणून 1 आपण एक स्क्वेअर रूटचे मूल्य नैसर्गिक नंबरचे मूल्य घेऊ शकता - एक अचूक स्क्वेअर, जास्त नाही x).

पुढील, अधिक अचूक अंदाज एक 2.संख्या एक सूत्र आहे .

तथ्य 1.
\\ (\\ बुलेट \\) काही नॉन-नकारात्मक संख्या \\ (ए \\) (म्हणजे \\ Geqslant 0 \\)) घ्या. मग (अंकगणितीय) वर्गमुळ \\ (ए \\), अशा प्रकारचे गैर-नकारात्मक संख्या \\ (b \\) म्हणतात, जेव्हा आपण स्क्वेअरमध्ये बांधले, तेव्हा आम्हाला संख्या \\ (ए \\) मिळते: \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ मजकूर (सारखे) \\ quad a \u003d b ^ 2 \\] त्या परिभाषापासून ते \\ (एक \\ Geqslant 0, बी \\ Geqslant 0 \\). स्क्वेअर रूटच्या अस्तित्वासाठी हे निर्बंध एक महत्त्वपूर्ण स्थिती आहेत आणि लक्षात ठेवल्या पाहिजेत!
स्क्वेअर एक नॉन-नकारात्मक परिणाम देते तेव्हा कोणताही नंबर लक्षात ठेवा. ते आहे, \\ (100 ^ 2 \u003d 10,000 \\ Geqslant 0 \\) आणि \\ ((100) ^ 2 \u003d 10,000 \\ Geqslant 0 \\).
\\ (\\ बुलेट \\) \\ (\\ sqrt (25) \\) च्या समान काय आहे? आम्हाला माहित आहे की (5 ^ 2 \u003d 25 \\) आणि \\ ((5) ^ 2 \u003d 25 \\). लक्षात घेता, आम्ही एक नॉन-नकारात्मक संख्या शोधणे आवश्यक आहे, नंतर \\ (- 5 \\) तंदुरुस्त नाही, म्हणून \\ (\\ \\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (25 \u003d 5 ^ 2 \\)) .
मूल्य शोधणे \\ (\\ sqrt a \\) ची संख्या \\ (a \\) पासून स्क्वेअर रूट काढली जाते आणि संख्या \\ (a \\) ची चौकशी अभिव्यक्ती म्हटले जाते.
\\ (\\ बुलेट \\) परिभाषावर आधारित, अभिव्यक्ती \\ (-25) \\) वर आधारित, \\ (\\ \\ sqrt (-4) \\), इ. अर्थ करू नका.

तथ्य 2.
वेगवान गणनांसाठी, नैसर्गिक संख्येचे वर्ग \\ (1 \\) पासून \\ (20 \\) पासून शिकणे उपयुक्त ठरेल: \\ [\\ प्रारंभ (अॅरे) (| ll |) \\ Hlin 1 ^ 2 \u003d 1 \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\ 2 ^ 2 \u003d 4 \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\ 3 ^ 2 \u003d 9 \\ \u003d 14 \\ 3 ^ 2 \u003d 9 \\ \\ 14 ^ 2 \u003d 16 9 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 \\ quad14 ^ 2 \u003d 1 9 6 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 \\ 15 ^ 2 \u003d 225 \\ 6 ^ 2 \u003d 36 \\ quad16 ^ 2 \u003d 256 \\ 7 ^ 2 \u003d 4 9 \\ 256 \\ 0 2 \u003d 4 9 \\ \\ 256 \\ 3 ^ 2 \u003d 289 \\ 8 ^ 2 \u003d 64 \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 \\ 3 ^ 2 \u003d 100 \\ 3 \\ ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ Hine \\ समाप्ती ( रचना) \\]

तथ्य 3.
स्क्वेअर रूट्ससह कोणती कारवाई केली जाऊ शकते?
\\ (\\ बंदूकीची गोळी \\) स्क्वेअर रूट्सची रक्कम किंवा फरक रक्कम किंवा फरक पासून स्क्वेअर रूट समान नाही, जे आहे \\ [\\ Sqrt एक \\ sqrt b \\ s \\ n \\ sqrt (एक \\ pmb b) \\] अशा प्रकारे, आपल्याला गणना करण्याची आवश्यकता असल्यास, उदाहरणार्थ, \\ (\\ \\ sqrt (25) + sqrt (4 9) \\), नंतर सुरुवातीला आपल्याला मूल्य शोधणे आवश्यक आहे (25) \\) आणि \\ (\\ sqrt) (4 9) \\), आणि मग त्यांना पटवा. म्हणून, \\ [\\ Sqrt (25) + \\ sqrt (4 9) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] जर मूल्ये \\ (\\ sqrt a \\) किंवा \\ sqrt a + sqrt b \\ s \\ s \\ s \\) जोडते तेव्हा ते अयशस्वी होते, तेव्हा अशा अभिव्यक्ती पुढे बदलली जात नाही आणि तशीच राहिली नाही. आहे. उदाहरणार्थ, \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (4 9) \\) च्या प्रमाणात, आम्ही शोधू शकतो (\\ \\ sqrt (4 9) \\) - हे आहे (7 \\), परंतु \\ (\\ sqrt 2 \\) कोणत्याही प्रकारे रूपांतरित केले जाऊ शकत नाही, म्हणून \\ (\\ Sqrt 2+ \\ sqrt (4 9) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\). या अभिव्यक्ती पुढे, दुर्दैवाने, सुलभ करणे अशक्य आहे \\ (\\ बुलेट \\) काम / खाजगी स्क्वेअर रूट्स काम / खाजगी पासून समान वर्ग रूट आहे, ते आहे \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (एबी) \\ \\ \\ मजकूर (आणि) \\ \\ \\ \\ \\ \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ए: बी) \\] (समतुलांचे दोन्ही भाग अर्थ बनवतात तर)
उदाहरणः \\ (\\ Sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ (\\ Sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16 \\); \\ ((25)) \u003d \\ sqrt (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\ sqt. \\ (\\ बुलेट \\) या गुणधर्मांचा वापर करून, मोठ्या संख्येने स्क्वेअर रूट्स मल्टिपलर्समध्ये वाढवून सोयीस्कर आहे.
एक उदाहरण विचारात घ्या. आम्हाला आढळते (\\ sqrt (44100) \\). \\ (44100: 100 \u003d 441 \\), नंतर \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\). विभाजनाची वैशिष्ट्ये म्हणून, संख्या \\ (441 \\) मध्ये विभाजित आहे \\ (9 \\) (9 \\) मध्ये विभागली गेली आहे (कारण त्याच्या संख्येची बेरीज 9 आहे आणि 9), म्हणून, \\ (441: 9 \u003d 49 \\), त्यामुळे आहे, \\ (441 \u003d 9 \\ cdot 4 9 \\).
म्हणून आम्हाला मिळाले: \\ [\\ Sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 4 9 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (4 9) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 10 \u003d 210 \\ cdot आणखी एक उदाहरण विचारात घ्या: \\ [\\ Sqrt (\\ dfrac (32)) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ dfrac (16 \\ cdot 2 cdot 3 \\ cdot 4 9 \\ cdot 2) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\ cqrt डीफ्रॅक (16 \\ cdot4 \\ cdot49) \u003d \\ dfrac (16) \\ c.frt (16) \\ cdot \\ sqrt4 \\ cdot \\ sqrt (4 9)) (\\ sqrt9) \u003d \\ dfrac (4 \\ cdot 2 \\ cdot 7) 3 \u003d \\ Dfrac (56) 3 \\]
\\ (\\ बुलेट \\) आम्ही अभिव्यक्तीच्या उदाहरणावर \\ (5 \\ sqrt2 \\) च्या चिन्हावर एक चौरस रूटच्या चिन्हाखाली संख्या कशी करावी हे दर्शवितो (अभिव्यक्ती कडून abbreviated एंट्री \\ (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\)). नंतर, (5 \u003d \\ sqrt (25) \\) नंतर \ आम्ही देखील लक्षात ठेवतो की, उदाहरणार्थ,
1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (\\ sqrt a + sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a \\).

अस का? उदाहरणार्थ 1). आपण आधीपासूनच समजून घेतल्याप्रमाणे, कसा तरी संख्या \\ (\\ sqrt2 \\) रूपांतरित करू शकत नाही. कल्पना करा की \\ (\\ sqrt2 \\) एक संख्या आहे (ए \\) आहे. त्यानुसार, अभिव्यक्ती \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) काहीही नाही (ए + 3 ए \\) (एक संख्या \\ (ए \\) तसेच समान संख्या \\ (ए \\)). आणि आम्हाला माहित आहे की हे अशा चार समान आहेत (ए \\), म्हणजे, \\ (4 \\ sqrt2 \\).

तथ्य 4.
\\ (\\ बुलेट \\) बर्याचदा "रूट काढले जाऊ शकत नाही" असे म्हणते, जेव्हा एखाद्या नंबरचे मूल्य आढळते तेव्हा मूळ (क्रांतिकारी) मुक्त करणे शक्य नाही. . उदाहरणार्थ, \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\) पासून मूळ काढणे शक्य आहे, कारण \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), म्हणून \\ (\\ \\ sqrt (16) \u003d 4 \\). परंतु \\ (3 \\ \\3 \\) मध्ये \\ (3 \\) पासून रूट काढण्यासाठी, हे अशक्य आहे कारण स्क्वेअरमध्ये असा कोणताही नंबर नाही (3 \\).
अशा संख्या (किंवा अशा संख्येसह अभिव्यक्ती) विचित्र आहेत. उदाहरणार्थ, संख्या \\ (\\ Sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\) \\) इ. ते विचित्र आहेत.
जरी अंशात्मक संख्या \\ (\\ pi \\) (संख्या "पीआय" आहे, अंदाजे \\ (3.14 \\)), \\ (ई \\) (या नंबरला ईयुलरची संख्या म्हणतात, ते अंदाजे \\ ( 2.7 \\)) इ.
\\ (\\ बुलेट \\) आम्ही आपले लक्ष वेधले की कोणतीही संख्या एकतर तर्कसंगत किंवा तर्कहीन असेल. आणि सर्व तर्कसंगत आणि सर्व तर्कशुद्ध संख्या एक कॉल म्हणतात वैध (वास्तविक) संख्या विविध. हे सेट लेटर द्वारे दर्शविले जाते \\ (\\ mathbb (आर) \\).
तर, सध्या आपल्याला माहित असलेल्या सर्व संख्या वास्तविक संख्या म्हणतात.

तथ्य 5.
\\ (\\ बुलेट \\) वास्तविक संख्या \\ (a \\) च्या मॉड्यूल एक नॉन-नकारात्मक क्रमांक \\ (| ए | \\), बिंदू (ए \\) पासून \\ (0 \\) पर्यंतच्या अंतरापर्यंत आहे वास्तविक ओळ. उदाहरणार्थ, \\ (| 3 | \\) आणि \\ (| -3 | \\) 3 च्या समान आहेत, कारण बिंदू (3 \\) आणि \\ (- 3 \\) ते \\ (0 \\) आहेत. समान आणि समान \\ (3 \\).
\\ (\\ बुलेट \\) जर \\ (ए \\) एक गैर-नकारात्मक क्रमांक असेल तर \\ (| ए | \u003d ए \\).
उदाहरण: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ (\\ Qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\). \\ (\\ बुलेट \\) जर \\ (ए \\) एक नकारात्मक संख्या असेल तर \\ (| ए | \u003d -ए \\).
उदाहरण: \\ (| -5 | \u003d (- 5) \u003d 5 \\); \\ (\\ qquaad | - \\ sqrt3 | \u003d - (- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
असे म्हटले जाते की नकारात्मक संख्या, मॉड्यूल "खातो" आणि सकारात्मक संख्या, तसेच संख्या \\ (0 \\), मॉड्यूल सोडत नाही.
परंतु हा नियम केवळ संख्येसाठी योग्य आहे. आपल्या मॉड्यूल चिन्हावर (किंवा काही अन्य अज्ञात) अज्ञात \\ (x \\) असल्यास, उदाहरणार्थ, \\ (| x | \\), ज्याबद्दल आम्हाला माहित नाही, ते शून्य किंवा नकारात्मक आहे, नंतर सुटका करा मॉड्यूल आम्ही करू शकत नाही. या प्रकरणात, ही अभिव्यक्ती इतकी अवशेष आहे: \\ (x x | \\). \\ (\\ बुलेट \\) खालील सूत्रे घेतात: \\ [(\\ मोठ्या (\\ \\ sqrt (^ 2) \u003d | a |)) \\] \\] \\ [(\\ मोठे ((\\ मोठ्या (ए)) ^ 2 \u003d अ)), \\ मजकूर (प्रदान केलेले) \\ Geqslant 0 \\] ही त्रुटी फारच सहसा अनुमती आहे: ते म्हणतात की \\ (\\ sqrt (^ 2) \\) आणि \\ (((((\\ sqrt ए) ^ 2 \\) समान आहे. जेव्हा \\ (ए \\) एक सकारात्मक क्रमांक किंवा शून्य असेल तेव्हाच हे खरे आहे. परंतु जर \\ (ए \\) एक नकारात्मक क्रमांक असेल तर ते चुकीचे आहे. अशा उदाहरणावर विचार करणे पुरेसे आहे. \\ (A \\) संख्या \\ (- 1 \\) घेण्याऐवजी घ्या. नंतर \\ (\\ sqrt ((1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), परंतु अभिव्यक्ती \\ ((\\ sqrt (-1) ^ 2 \\) अस्तित्वात नाही (कारण ते अस्तित्वात नाही रूट चिन्ह अंतर्गत अशक्य नकारात्मक संख्या!).
म्हणूनच, आम्ही आपले लक्ष वेधून घेतो की \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) समान नाही! उदाहरण: 1) \\ (\\ sqrt (\\ sqrt2 \\ उजवीकडे) ^ 2) \u003d | - \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\)कारण \\ (- \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ Phantom (00000) \\) \\ ((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\). \\ (\\ बुलेट \\) \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), नंतर \\ [\\ sqrt (ए ^ (2 एन) \u003d | ^ n | ^ n ^ n] (अभिव्यक्ती \\ (2 एन \\) अगदी संख्या दर्शविली जाते)
म्हणजे, थोड्या प्रमाणात असलेल्या संख्येचे मूळ काढून टाकताना, ही संख्या दोनदा कमी होते.
उदाहरणः
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
2) \\ (\\ sqrt ((25) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 | \u003d 25 \\) (जर मॉड्यूल ठेवत नसेल तर मूळ ते \\ (25 \\) च्या समान आहे; परंतु आम्हाला आठवते की मूळच्या परिभाषाद्वारे असू शकत नाही: रूट काढताना आमच्याकडे नेहमीच एक सकारात्मक क्रमांक किंवा शून्य असतो)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (कोणत्याही संख्येत पदवी नसल्यामुळे अवांछित आहे)

तथ्य 6.
दोन स्क्वेअर रूट्सची तुलना कशी करावी?
\\ (\\ बुलेट \\) स्क्वेअर रूट्ससाठी सत्य: जर \\ (\\ sqrt ए<\sqrt b\) , то \(a उदाहरणः
1) तुलना \\ (\\ sqrt (50) \\) आणि \\ (6 \\ sqrt2 \\). सुरुवातीला, आम्ही दुसरी अभिव्यक्ती बदलली \\ (\\ Sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\). अशा प्रकारे, पासून \\ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) कोणत्या संपूर्ण संख्येत \\ (\\ sqrt (50) \\) आहे?
\\ (\\ Sqrt (4 9) \u003d 7 \\), \\ (\\ \\ sqrt (64) \u003d 8 \\), आणि \\ (4 9<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) तुलना \\ (\\ sqrt 2-1 \\) आणि \\ (0.5 \\). समजा की \\ (\\ sqrt2-1\u003e 0.5 \\): \\ [\\ प्रारंभ (संरेखित) & \\ sqrt 2-1\u003e 0.5 \\ \\ मोठे | +1 \\ क्वाड \\ मजकूर ((दोन्ही भागांमध्ये एकक जोडा) \\\\ \\ sqrt2\u003e 0,5 + 1 \\ \\ मोठे | \\ ^ 2 \\ क्वाड \\ मजकूर ((स्क्वेअरमध्ये दोन्ही भाग बांधलेले)) \\\\ & 2\u003e 1,5 ^ 2 \\ & 2\u003e 2.25 \\ समाप्ती (संरेखित) \\] आपण पाहतो की आपल्याला अयोग्यता मिळाली आहे. म्हणून, आमची धारणा चुकीची होती आणि \\ (\\ sqrt 2-1<0,5\) .
लक्षात ठेवा असमानतेच्या दोन्ही भागांमध्ये विशिष्ट संख्येचा जोड त्याच्या चिन्हावर परिणाम होत नाही. सकारात्मक संख्येवर असमानतेच्या दोन्ही भागांचे गुणाकार / विभाग देखील त्याच्या चिन्हावर प्रभाव पाडत नाही आणि नकारात्मक संख्येवर गुणाकार / विभाग उलटतेच्या चिन्हावर बदलते!
समीकरण / असमानपणाचे भाग दोन्हीपैकी एक स्क्वेअरमध्ये एक चौरस मध्ये उभे करणे शक्य आहे जेव्हा दोन्ही भाग नॉनगनेटिव्ह असतात. उदाहरणार्थ, मागील उदाहरणावरून असमानतेमध्ये असमानता मध्ये दोन्ही भाग एक चौरस मध्ये तयार करणे शक्य आहे (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ बुलेट \\) लक्षात ठेवावे \\ [\\ Sawing (संरेखित) & \\ sqrt 2 \\ अंदाजे 1,4 & \\\\ & \\ sqrt 3 \\ साधारण 1.7 \\ end (संरेखित) \\] या नंबरचे अंदाजे मूल्य ज्ञान आपल्याला संख्या तुलना करताना मदत करेल! \\ (\\ बुलेट \\) मोठ्या संख्येने स्क्वेअरच्या टेबलमध्ये नसलेल्या मोठ्या संख्येने (जेव्हा ते काढले गेले असेल तर) आपण प्रथम निर्धारित करणे आवश्यक आहे, जे "शेकडो" असतात, नंतर - त्या दरम्यान "डझनभर ", आणि मग मी या नंबरचा शेवटचा अंक परिभाषित करतो. उदाहरणार्थ, हे कसे कार्य करते ते दर्शवा.
\\ (\\ Sqrt (28224) \\) घ्या. आम्हाला माहित आहे की \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\, 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\) इ. लक्षात ठेवा की (28224 \\) \\ (10 \u200b\u200b\\, 000 000 \\) आणि \\ (40 \\, 000 000 च्या दरम्यान आहे. परिणामी, \\ (\\ \\ sqrt (28224) \\) \\ (100 \\) आणि \\ (200 \\) दरम्यान आहे.
आता आम्ही परिभाषित करतो, ज्यात "डझनभर" हा आमचा नंबर आहे (उदाहरणार्थ, \\ (120 \\) आणि \\ (130 \\) दरम्यान). स्क्वेअर टेबलमधून देखील आम्हाला माहित आहे की (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\), नंतर \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400 \\ ), \\ (130 ^ 2 \u003d 16 9 00 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28 9 00 \\ ). अशा प्रकारे, आपण पाहतो की \\ (28224 \\) \\ (160 ^ 2 \\) आणि \\ (170 ^ 2 \\) दरम्यान आहे. परिणामी, संख्या \\ (\\ sqrt (28224) \\) \\ (160 \\) आणि \\ (170 \\) दरम्यान आहे.
चला अंतिम अंक निर्धारित करण्याचा प्रयत्न करूया. चला लक्षात ठेवा की चौरस शेवटी \\ (4 \\) दिले जाते? हे \\ (2 ^ 2 \\) आणि \\ (8 ^ 2 \\) आहे. परिणामी, \\ (\\ sqrt (28224) \\) एकतर 2 किंवा 8 वर समाप्त होईल. तपासा. तपासा. आम्हाला आढळते (162 ^ 2 \\) आणि \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\).
परिणामी, \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\). व्होला!

गणितामध्ये परीक्षा निश्चित करण्यासाठी, प्रथम त्या सैद्धांतिक सामग्रीचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे जे पहिल्या दृष्टीक्षेपात असंख्य प्रचार, सूत्र, अल्गोरिदम इत्यादींचा प्रस्ताव सादर करणे आवश्यक आहे, असे दिसते की ते अगदी सोपे आहे. तथापि, एक स्रोत शोधण्यासाठी ज्यामध्ये गणितातील परीक्षेसाठी सिद्धांत सहजतेने सादर केला जातो आणि कोणत्याही स्तरावर प्रशिक्षण असलेल्या विद्यार्थ्यांसाठी समजण्यायोग्य आहे - खरं तर, कार्य खूपच क्लिष्ट आहे. शाळा पाठ्यपुस्तके नेहमीच ठेवली जाऊ शकतात. आणि गणितातील परीक्षेसाठी मुख्य सूत्र शोधा इंटरनेटवरही सोपे नाही.

गणिताच्या सिद्धांताचा अभ्यास करणे इतकेच महत्वाचे का आहे की केवळ परीक्षेत नाही?

1. कारण ते क्षितिज वाढवते. गणितातील सैद्धांतिक सामग्रीचा अभ्यास जो आजच्या जगाच्या ज्ञानाशी संबंधित विस्तृत विषयावर उत्तरे मिळवण्याची इच्छा असलेल्या प्रत्येकासाठी उपयुक्त आहे. निसर्गातील प्रत्येक गोष्ट ऑर्डर केली जाते आणि लॉजिक स्पष्ट आहे. हे विज्ञान मध्ये परावर्तित आहे जे शांतता शक्य आहे.
2. कारण ते बुद्धिमत्ता विकसित करते. गणितातील परीक्षेसाठी संदर्भ सामग्रीचा अभ्यास करणे तसेच विविध कार्ये सोडविणे, एक व्यक्ती तार्किकदृष्ट्या विचार आणि कारणास्तव शिकतो, सक्षम आणि स्पष्टपणे विचार तयार करतात. हे निष्कर्ष काढण्यासाठी, सारांश, तपशीलवार करण्याची क्षमता निर्माण करते.

आम्ही व्यवस्थित करण्याच्या पद्धती आणि शैक्षणिक सामग्रीच्या सादरीकरणाच्या सर्व फायद्याचे वैयक्तिकरित्या मूल्यांकन करण्याचा प्रस्ताव देतो.

सूचना

अशा गुणक निवडण्यासाठी अशा गुणक निवडा मूळ खरोखर अभिव्यक्ती - अन्यथा ऑपरेशन गमावेल. उदाहरणार्थ, साइन अंतर्गत असल्यास मूळ तीन (क्यूबिक रूट) समान सूचकांसह, संख्या 128, नंतर चिन्हातून बनविले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, संख्या 5. त्याच वेळी संख्या 128 क्यूबामध्ये 5 मध्ये विभाजित करणे आवश्यक आहे: ³√128 \u003d 5 * ³√ (128/5³) \u003d 5 * ³√ (128/125) \u003d 5 * ³√1.024. जर फ्रॅक्शनल नंबरची उपस्थिती परिचित असेल तर मूळ या फॉर्मच्या अटींचा विरोध नाही. जर आपल्याला सोप्या पर्यायाची आवश्यकता असेल तर प्रथम अशा पूर्णांक गुणकांवर एक अभिव्यक्ती स्कॅट करते, ज्यापैकी एक क्यूबिक रूट असेल संख्यामी. उदाहरणार्थ: ³√128 \u003d ³√ (64 * 2) \u003d ³√ (4³ * 2) \u003d 4 * ³√2.

फीड नंबरच्या कारखान्यांच्या निवडीसाठी वापरा, जर संख्येची पातळी मोजली असेल तर शक्य नाही. हे विशेषतः सत्य आहे मूळएम पेक्षा जास्त डिग्री एक सूचक सह. जर आपल्याकडे इंटरनेटवर प्रवेश असेल तर आपण शोध इंजिनांमध्ये तयार केलेल्या Google आणि निग्मा संगणकांची गणना करू शकता. उदाहरणार्थ, आपल्याला सर्वात मोठा पूर्णांक गुणक शोधण्याची आवश्यकता असल्यास, जे क्यूबिकच्या चिन्हातून बाहेर काढले जाऊ शकते मूळ संख्या 250 साठी, नंतर Google साइटवर क्लिक करा, चिन्हातून बाहेर पडणे अशक्य आहे की नाही हे तपासण्यासाठी "6 ^ 3" विनंती प्रविष्ट करा. मूळ सहा. शोध इंजिन 216 च्या तुलनेत परिणाम दर्शवेल. अॅले, 250 शिल्लक नसलेले विभागले जाऊ शकत नाहीत संख्या. नंतर विनंती 5 ^ 3 प्रविष्ट करा. परिणाम 125 असेल आणि यामुळे आपल्याला मल्टीप्लेयर्स 125 आणि 2 वर 250 विभाजित करण्याची परवानगी मिळते, याचा अर्थ चिन्हावरुन बाहेर पडण्याचा अर्थ आहे मूळ संख्या 5 तेथे सोडून संख्या 2.

स्त्रोत:

• रूट कसे आणायचे
• कामाचे चौरस रूट

खाली पासून बाहेर काढा मूळ गणिती अभिव्यक्ती सुलभ करणे आवश्यक आहे तेव्हा परिस्थितींमध्ये एक घटक आवश्यक आहे. कॅल्क्युलेटर वापरुन इच्छित गणना करणे अशक्य आहे जेव्हा असे प्रकरण आहेत. उदाहरणार्थ, जर संख्या ऐवजी, व्हेरिएबल्सचे अल्फाबेटिक पद वापरले जाते.

सूचना

सामान्य दोषांवर पेस्टिंग अभिव्यक्ती पसरवा. संकेतस्थळांमध्ये दर्शविल्या जाणार्या घटकांमधून त्याच वेळी पुनरावृत्ती होते हे पहा मूळ, किंवा जास्त. उदाहरणार्थ, आपल्याला चौथ्या पदवीमधून रूट काढण्याची आवश्यकता आहे. या प्रकरणात, संख्या * ए * ए * ए * ए * (ए * ए * ए * ए * ए * म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. सूचक मूळ या प्रकरणात, संबंधित होईल घटक ए 3. ते काढून घेणे आवश्यक आहे.

परिणामी पास्ता वेगळ्या ठिकाणी स्वतंत्रपणे काढा. निष्कर्ष काढणे मूळ हा एक बीजगणित प्रभाव आहे, व्यायाम उलट. निष्कर्ष काढणे मूळ अशा संख्येपासून एक यादृच्छिक पदवी इतकी आहे की या अनियंत्रित पदवीमध्ये आयोजित केल्यावर, परिणामी दिलेला क्रमांक असेल. निष्कर्ष केल्यास. मूळ उत्पादन करणे अशक्य आहे, चिन्ह अंतर्गत एक फीडिंग अभिव्यक्ती सोडा मूळ आहे तसं. सूचीबद्ध क्रियांच्या परिणामी आपण खाली एक डेंट तयार कराल चिन्ह मूळ.

विषयावरील व्हिडिओ

नोट

एक घटकांच्या स्वरूपात फीडिंग अभिव्यक्ती लिहिताना सावधगिरी बाळगा - या टप्प्यावर त्रुटी चुकीच्या परिणामांवर कारणीभूत ठरेल.

उपयुक्त सल्ला

मुळे काढून टाकताना, विशेष सारण्यांचा वापर करणे किंवा लॉगरिदमिक मुळे वापरणे सोयीस्कर आहे - यामुळे आपण योग्य समाधान शोधण्यासाठी वेळ कमी करता.

स्त्रोत:

• 201 9 मध्ये मूळ निष्कर्ष चिन्ह

उच्च अंश, भिन्नता आणि एकत्रीकरणाचे समीकरण सोडविणे यासह गणितच्या अनेक विभागांमध्ये बीजगणित अभिव्यक्तींचे सरलीकरण आवश्यक आहे. हे गुणधर्मांवर विघटन समेत अनेक पद्धती वापरते. ही पद्धत लागू करण्यासाठी, आपल्याला एक सामान्य शोध आणि सामान्य करणे आवश्यक आहे घटक प्रति ब्रॅकेट्स.

सूचना

साठी एक सामान्य घटक बनविणे ब्रॅकेट्स - विघटन सर्वात सामान्य मार्गांपैकी एक. हा तंत्रज्ञानाचा वापर लांब बीजगणित अभिव्यक्ती, i.e. च्या संरचनेला सुलभ करण्यासाठी केला जातो. polynomials. सामान्य एक संख्या, एकल किंवा twisted असू शकते, आणि गुणाकार वितरण मालमत्ता ते शोधण्यासाठी वापरली जाते.

संख्या. प्रत्येक बहुपद असलेल्या गुणधर्मांवर काळजीपूर्वक पहा, त्यांना त्याच संख्येत विभाजित करणे शक्य आहे. उदाहरणार्थ, अभिव्यक्तीमध्ये 12 z³ + 16 z² - 4 स्पष्ट आहे घटक 4. परिवर्तनानंतर, 4 (3 z³ + 4 z² 1 आहे). इतर, हा नंबर सर्व गुणांक सर्वात लहान सामान्य पूर्ण विभक्त आहे.

एकल. तपशील, पॉलिओमियलच्या प्रत्येक घटकामध्ये समान व्हेरिएबल असो किंवा नाही. समजा असे आहे, आता मागील प्रकरणात गुणधर्मांकडे पहा. उदाहरणः 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

या बहुपद प्रत्येक घटकामध्ये एक व्हेरिएबल z आहे. याव्यतिरिक्त, सर्व गुणांक संख्या, एकाधिक 3. परिणामी, एकूण घटक 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1) सह अनुकरण केले जाईल.

बाउंसर ब्रॅकेट्स सामान्य घटक दोन, व्हेरिएबल आणि संख्या, जे एकूण बहुप्त आहे. म्हणून, जर. घटक- हे स्पष्ट नाही, तर आपल्याला कमीतकमी एक रूट शोधण्याची आवश्यकता आहे. बहुपदांचे विनामूल्य सदस्य हायलाइट करा, हे व्हेरिएबलशिवाय एक गुणांक आहे. आता सर्व इंटिजर मुक्त सदस्य विभाजकांच्या एकूण अभिव्यक्तीमध्ये पर्यायी पद्धत लागू करा.

विचार करा: Z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4 z ^ 4 - 2 z³ + z² 4 z + 4 \u003d 0 असेल तर Z1 \u003d 1 शोधा. Z1 \u003d 1 आणि Z2 \u003d 2, याचा अर्थ असा आहे ब्रॅकेट्स आपण twisted (z - 1) आणि (z - 2) सहन करू शकता. उर्वरित अभिव्यक्ती शोधण्यासाठी, अनुक्रमिक विभाग स्तंभामध्ये वापरा.