मोठ्या संख्येने रूट कसे निवडावे. आपल्याला चौरस मूळ कसे सापडेल? गुणधर्म, रूट एक्सट्रॅक्शनची उदाहरणे

मोठ्या संख्येने रूट काढत आहे. प्रिय मित्रानो!या लेखात, आम्ही कॅल्क्युलेटरशिवाय मोठ्या संख्येचे मूळ कसे काढायचे ते शोधून काढू. हे केवळ काही प्रकारच्या यूएसई समस्यांचे निराकरण करण्यासाठीच नाही (काही हालचाली करण्यासाठी देखील आहेत), परंतु सामान्य गणिताच्या विकासासाठी देखील हे विश्लेषणात्मक तंत्र जाणून घेणे इष्ट आहे.

असे दिसते की सर्वकाही सोपे आहे: ते तयार करा आणि ते काढा. काहीच अडचण नाही. उदाहरणार्थ, 291600 क्रमांकाची संख्या वाढविल्यास ते उत्पादन देईल:

आम्ही गणना करतो:

एक पण आहे! विभाजक 2, 3, 4 आणि इतर सहजतेने निर्धारित केल्यास पद्धत चांगली आहे. परंतु ज्या नंबरवरुन आपण मुळ काढतो त्या संख्येचे मूळ संख्येचे काय असेल तर? उदाहरणार्थ १28२288१ म्हणजे १,, १ numbers, २ numbers, २ numbers क्रमांकाचे उत्पादन आहे. लगेचच हे विभाजक शोधण्याचा प्रयत्न करा.

आम्ही ज्या पद्धतीचा विचार करीत आहोत त्याचा सार- हे शुद्ध विश्लेषण आहे. विकत घेतलेल्या कौशल्यासह रूट द्रुतपणे आढळते. जर कौशल्याची पूर्तता केली गेली नाही, परंतु दृष्टीकोन सहजपणे समजला असेल तर तो थोडा हळू आहे, परंतु तरीही दृढ आहे.

190969 पासून मूळ काढूया.

प्रथम, आपण हे ठरवूया - आपला निकाल कोणत्या संख्येच्या (शंभरचे गुणाकार) दरम्यान आहे.

अर्थात, दिलेल्या संख्येच्या मूळचा परिणाम 400 ते 500 च्या श्रेणीत आहे,म्हणून

400 2 \u003d 160,000 आणि 500 \u200b\u200b2 \u003d 250,000

खरोखर:

मध्यभागी, 160,000 किंवा 250,000 च्या जवळ?

१ 190 ० 69 69 69 ही संख्या जवळजवळ मध्यभागी आहे, परंतु असे असले तरी ते १00०००० च्या अगदी जवळ आहे. आपल्या मुळाचा निकाल 5050० पेक्षा कमी असेल असा आपण निष्कर्ष काढू शकतो. चला तपासू:

190 969 पासून ते 450 पेक्षा कमी आहे< 202 500.

आता क्रमांक 440 तपासू:

तर आमचा निकाल 440 पेक्षा कमी आहे190 969 < 193 600.

430 क्रमांक तपासत आहे:

आम्ही स्थापित केले आहे की या मूळचा परिणाम 430 ते 440 दरम्यान आहे.

शेवटी 1 किंवा 9 सह संख्येचे उत्पादन शेवटी 1 सह एक संख्या देते. उदाहरणार्थ, 21x21 441 आहे.

शेवटी 2 किंवा 8 सह संख्येचे उत्पादन शेवटी 4 सह एक संख्या देते. उदाहरणार्थ, 18 x 18 324 आहे.

शेवटी 5 असलेल्या संख्येचे उत्पादन शेवटी 5 सह संख्या देते. उदाहरणार्थ, 25x25 625 इतके आहे.

शेवटी 4 किंवा 6 सह संख्येचे उत्पादन शेवटी 6 सह एक संख्या देते. उदाहरणार्थ 26x26 समान 676 आहे.

शेवटी 3 किंवा 7 सह संख्येचे उत्पादन शेवटी 9 सह एक संख्या देते. उदाहरणार्थ, 17x17 289 आहे.

190969 संख्या 9 सह समाप्त होत असल्याने, नंतर हे उत्पादन एकतर 433 किंवा 437 आहे.

* केवळ तेच जेव्हा चौरस असतात तेव्हा शेवटी 9 देऊ शकतात.

आम्ही तपासतो:

तर मूळ निकाल 437 होईल.

म्हणजेच आम्ही योग्य उत्तरासाठी "ग्रॉप्ड" सॉर्ट करतो.

आपण पहातच आहात, स्तंभात 5 क्रिया करणे आवश्यक आहे कमाल आवश्यक आहे. कदाचित आपण त्वरित पोहचू शकता, किंवा फक्त तीन क्रिया कराल. आपण संख्येचा प्रारंभिक अंदाज नेमका कसा करता यावर हे सर्व अवलंबून आहे.

स्वतःच 148996 चे मूळ काढा

समस्येमध्ये असा भेदभाव प्राप्त होतोः

मोटर जहाज नदीच्या काठावरुन त्याच्या गंतव्यस्थानाकडे 6 33 km कि.मी. अंतरावर जाते आणि नंतर थांबेपर्यंत परत जाते. स्थिर पाण्यात जहाजाची गती शोधा, जर सध्याचा वेग 5 किमी / तासाचा असेल तर, मुक्काम 10 तासांपर्यंत राहील आणि जहाज सोडल्यानंतर 48 तासांनंतर जहाज सुटण्याच्या ठिकाणी परत येईल. आपले उत्तर किमी / ताशी द्या.

समाधान पहा

मूळ परिणाम 300 आणि 400 दरम्यान आहे:

300 2 =90000 400 2 =160000

खरंच, 90,000<148996<160000.

या संख्येच्या तुलनेत 148996 संख्या कशी आहे (दूरस्थ) आहे हे निर्धारित करण्यासाठी पुढील युक्तिवादाचे सार खाली येते.

चला फरक मोजूया148996 - 90,000 \u003d 58996 आणि 160,000 - 148996 \u003d 11004.

हे दिसून आले की 148996 160000 च्या जवळ (अगदी जवळ) आहे. म्हणूनच, मूळचा परिणाम निश्चितपणे 350 आणि अगदी 360 पेक्षा जास्त असेल.

आपला निकाल 37 than० पेक्षा अधिक आहे असा आपण निष्कर्ष काढू शकतो. पुढे हे स्पष्ट आहे: १8899 6 since ही संख्या with सह समाप्त होते, याचा अर्थ असा आहे की 4 किंवा 6 मध्ये समाप्त होणारी संख्या वर्गित करणे आवश्यक आहे. शेवट 6.

हार्दिक शुभेच्छा, अलेक्झांडर कृतित्सकीख.

पी.एस .: सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल आपण आम्हाला सांगू शकत असल्यास मी कृतज्ञ आहे.

बर्\u200dयाचदा ऑलिंपियाड्स आणि परिक्षांमध्ये (उदाहरणार्थ गणिताच्या परीक्षेवर) आपण कॅल्क्युलेटर वापरू शकत नाही. आणि दैनंदिन जीवनात, कधीकधी आपल्याकडे कॅल्क्युलेटर नसताना पूर्णांक च्या वर्गमूलच्या मूल्याचे अनुमान काढणे आवश्यक असते. पुढे कसे?

1. सर्व प्रथम, संख्येचा शेवटचा अंक पहा, जर तो 2, 3, 7, 8 असेल तर या संख्येचा संपूर्ण मूळ अस्तित्त्वात नाही. आणि जर संख्या १,,,,, the अंकांसह संपत असेल तर इच्छित रूटचा शेवटचा अंक अनुक्रमे १ किंवा,, २ किंवा,, or किंवा,, or किंवा be असू शकतो.
जर संख्या 5 अंकासह समाप्त होत असेल तर आपण पेनल्टीमेट अंकाकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. संपूर्ण रूटच्या अस्तित्वासाठी, ते 2 असणे आवश्यक आहे, म्हणजे. केवळ 25 मध्ये समाप्त होणार्\u200dया संख्येची मुळे 5 मध्ये समाप्त होऊ शकतात.
या प्रणालीतील एक विशेष स्थान 0 ने व्यापलेले आहे. जर संख्या एक किंवा विषम संख्येच्या शूनोसह संपली तर संपूर्ण रूट नसते, जर दोन किंवा अगदी, म्हणजेच, 10 चे मूळ अनेक.

या सारणीमध्ये आपल्याला काही सममिती आढळली आहे का? हे कशामुळे होते याचा विचार करा. जर आपण अंदाज केला नसेल तर या विभागाच्या शेवटी पहा.

2. उजवीकडून डावीकडे 2 अंकांच्या गटांमध्ये (काठावर) संख्या खंडित करा. शेवटच्या अंकासह प्रारंभ करा. शिवाय, जर दिलेल्या संख्येमध्ये विचित्र संख्येचा अंक असेल तर डावीकडील गटात एक अंक असेल तर सम संख्येने दोन असेल तर.

जर आपल्या संख्येमध्ये केवळ दोन चेहरे असतील तर आपण येथे थांबू शकता आणि स्तंभात गुणाकार करून संभाव्य परिणाम तपासू शकता. उदाहरणार्थ, 1225 क्रमांकाचे मूळ 3 ने सुरू झाले पाहिजे (आम्ही यास आयटम 3 मध्ये परिभाषित केले आहे) आणि फक्त 5 (आयटम 1 पहा) सह समाप्त होऊ शकते, म्हणजे. या संख्येचे जर मूळ मूळ असेल तर ते केवळ 35 असू शकते. 1 84१ संख्येचे मूळ २ सह प्रारंभ होणे आवश्यक आहे आणि १ किंवा with सह समाप्त होणे आवश्यक आहे. ते एकतर 21 किंवा 29 आहे. परंतु 21 ≈ 20 आणि 20 2 \u003d 400, आणि 29 ≈ 30 आणि 30 2 \u003d 900. दिलेली संख्या 841 400 पेक्षा 900 च्या जवळ आहे, म्हणून उत्तर संभवतः 29 आहे.

चला तपासू.

29
× 29
____
261
58
____
841

35
× 35
_____
175
105
_____
1225

तर, उत्तरे अस्तित्त्वात आहेत, ती सापडली आहेत आणि योग्य आहेत.
दुहेरी आकड्यांची उत्तरे आणि परीक्षेतील जास्त लांबलचक संख्या क्वचितच आहेत, सर्व काही अगदी सोपे आहे. नाही का?

4. जर आपल्या संख्येमध्ये दोनपेक्षा जास्त चेहरे असतील किंवा आपण थेट तपासणीकडे जाऊ इच्छित नसल्यास, मूळ शोधण्यासाठी अल्गोरिदम पुढील चरणात सुरू आहे:
- उत्तराचा प्रथम अंक अंकित करा आणि प्रथम बाजूपासून वजा करा, दुसर्\u200dया बाजूने फरक जोडा, आपल्याला तीन-अंकी किंवा चार-अंकी क्रमांक मिळेल. हे चिन्ह ए द्वारे दर्शवू.

5. पुढील अंक सर्वात मोठा असावा, या प्रमाणे निवडलेलाः
- आम्ही उत्तराचा विद्यमान भाग 2 ने गुणाकार करतो, त्यामध्ये अपेक्षित अंक जोडू आणि परिणामी संख्या त्याच आकड्याने गुणाकार करू. ए क्रमांकावरून निकाल वजा करा उर्वरित सर्वात लहान संभाव्य संख्या असावी.

उदाहरणार्थ, 142884 (14 "28" 84) क्रमांकासाठी, उत्तराचा एक भाग सापडला - पहिला अंक 3 आणि दुसरा चेहरा काढून टाकला गेला, म्हणजे. परिभाषित ए \u003d 8२8. उत्तराचा भाग २ ने गुणाकार करा, आम्हाला × × २ \u003d get मिळेल. आता, उजवीकडे असलेल्या--के वर आपल्याला "अनुमानित अंक" जोडण्याची आवश्यकता आहे. आम्ही त्याचे अंदाजे मूल्य निर्धारित करतो:
ए \u003d 528 ≈ 500.500: 60 ≈ 8. म्हणून, आम्ही 8 वरून निवडण्यास प्रारंभ करतो.
528 - 68 × 8 \u003d 528 - 544 528 - 67 × 7 \u003d 528 - 469\u003e 0. मूळचा पुढील अंक 7 आहे.

तर, आमच्या उदाहरणांमध्येः

जर आपण चेहरे जितके अंक बनवले असेल आणि या चरणातील उर्वरित संख्या 0 असेल तर उत्तर प्राप्त होईल. कोणत्याही परिस्थितीत, गुणाकाराने हे तपासणे अर्थपूर्ण आहे.
चेहरे जितके असतील तितके अंक असल्यास, परंतु उर्वरित संख्या 0 नसेल तर एकतर वरील गणनांमध्ये एक त्रुटी आली आहे किंवा या संख्येचे कोणतेही नैसर्गिक मूळ नाही. नंतरच्या प्रकरणात, आपल्याला अद्याप दिलेल्या अचूकतेसह त्याचे मूल्य शोधण्याची आवश्यकता असल्यास, आपण दशांश नंतर आवश्यक शून्य किनार (00) जोडू शकता आणि पुढे सुरू ठेवू शकता.
प्राप्त झालेल्या संख्येपेक्षा जास्त चेहरे असल्यास, सुरू ठेवा. दोन वरच्या उदाहरणांमध्ये, फक्त शेवटचा अंक निश्चित करणे आमच्यासाठी राहिले आहे, हे आयटम 1 नुसार निवडीद्वारे केले जाऊ शकते: संख्या 144484 साठी, आपल्याला 20449 143 आणि 147 क्रमांकासाठी 372 आणि 378 गुणाकार करून तपासणे आवश्यक आहे. परंतु आम्ही सामान्य अल्गोरिदमनुसार पुढे जाऊ.

6. मागील चरणात प्राप्त झालेल्या उर्वरित भागामध्ये पुढील चेहरा जोडून आम्ही नवीन क्रमांक ए बनवतो. उत्तराचा पुढील अंक मिळविण्यासाठी 5 व्या चरणातील क्रियांची पुनरावृत्ती करा. संपूर्ण उत्तर प्राप्त होईपर्यंत आम्ही या चरणांची पुनरावृत्ती करतो.
आमच्या उदाहरणांमध्ये:

x + y \u003d 10 आणि y = 10 − x.

चला दोन संख्यांच्या फरकाच्या स्क्वेअरचे सूत्र आठवू

(अ − बी) 2 = अ 2 − 2अब्राहम + बी 2 ;

आणि एक चौरस शोधण्यासाठी याचा वापर करा y.

y 2 = (10 − x) 2 \u003d 10 2 - 2 10 x + x 2 ;

या बेरीजमध्ये, पहिली संज्ञा दोन शून्यात संपेल, दुसरी शून्यात, ज्याचा अर्थ म्हणजे जोडानंतरची संपूर्ण अभिव्यक्ती त्याच अंकासह समाप्त होईल x 2 त्या. x 2 आणि y 2 समान.

रूटची गणना करण्याची उदाहरणे.

√6335289 चे मूल्यांकन करा _______ .

आम्ही भागासह सादृश्यते स्तंभात दरम्यानचे निकाल लिहू. स्तंभाच्या उजवीकडे मसुदा.

6"33"52"89 | 2517.
−4
____
233
.225 | 45 × 5
______
852
.501 | 501 × 1
________
35189
−35189 | 5027 × 7
__________
0

1) काठावर संख्या विभाजित करा: 6 "33" 52 "89. हे 4 तुकडे झाले, म्हणून उत्तर 4 अंकांचा असेल. पहिला अंक 2 आहे, 2 2 \u003d 4 6 पासून.

२) पुढे, आम्ही उत्तराचा विद्यमान भाग दुप्पट करतो, उर्वरित भाग निश्चित करतो, पुढची ओळ खाली पाडतो आणि उत्तराचा पुढील अंक निवडतो. आम्ही शेवटच्या काठावर ही चरण पुन्हा करतो:
233: 40 ≈ 5; 45 x 5 \u003d 225 233; म्हणूनच, दुसरा अंक 5 आहे;
852: 500; 1; 501 × 1 \u003d 501,852; म्हणून तिसरा अंक 1 आहे.

)) जर संपूर्ण मूळ अस्तित्वात असेल तर त्याचा शेवटचा अंक एकतर or किंवा can असू शकतो. आम्ही एका स्तंभात गुणाकार करून २ 25१13 आणि २17१17 तपासू शकतो. परंतु एकाधिक-अंकी संख्यांसाठी सामान्य अल्गोरिदमनुसार सुरू ठेवणे वेगवान आहे:
35189: 5000; 7; 5027. 7 \u003d 35189 (!) शेवटचा अंक 7 आहे.

उत्तरः 2517.

√2304 चे मूल्यांकन करा ____ .

48
. 48
______
384
192
______
2304

आम्ही ते काठावर मोडतो. 23 "04. म्हणून, उत्तर 2 अंकांमधून आहे, पहिला अंक 4 आहे, कारण 4 2 \u003d 16 23. शेवटचा अंक एकतर 2 किंवा 8 आहे, कारण गुणाकाराचा परिणाम 4 सह समाप्त होणे आवश्यक आहे.
तर, 42 किंवा 48? 42 ≈ 40; 40 2 \u003d 1600.48 ≈ 50; 50 2 \u003d 2500.2500 दिलेल्या संख्येच्या जवळ आहे, म्हणून आम्ही 48 वरून लांब गुणाकाराने चाचणी सुरू करतो.

उत्तरः 48.

गणितातील परीक्षेवरील हे सर्वात सामान्य प्रकरण आहे आणि मी याची शिफारस करतो की तुम्ही हे धनादेशासह संपवा.

√503 चे मूल्यांकन करा ___ .

संख्या तीन मध्ये संपेल. हे त्वरित स्पष्ट झाले आहे की संपूर्ण मूळ मूल्य कार्य करणार नाही. आपण स्वतःला प्रश्न विचारू की मूळ निश्चित करण्यासाठी कोणती नेमकेपणा आवश्यक आहे. चला अट जवळच्या शंभरावा उत्तर मिळवण्यासाठी सांगत आहे. याचा अर्थ असा की आपल्याला ते हजारो पर्यंत मिळवणे आवश्यक आहे, म्हणजे. 3 री दशांश पर्यंत. म्हणून, दिलेल्या संख्येमध्ये आणखी 3 शून्य काठ जोडणे आवश्यक आहे. आणि स्वल्पविरामाने स्वतःला विसरू नका!

5"03,00"00"00 | 22,427.
−4
____
103
- 84 | 42 × 2
______
1900
.1776 | 444 × 4
________
12400
- 8964 | 4482 × 2
__________
343600
.313929 | 44847 × 7
____________
29671

1) अशाप्रकारे चेहर्यावर विभाजन करणे हे 5 "03 सारखे होईल , 00 "00" 00. दशांश बिंदूच्या आधी 2 आणि नंतरचे 3 - उत्तर पाच अंकांचे असेल. पहिला अंक 2 (2 2 \u003d 4 5) आहे, या प्रकरणात आम्ही शेवटचा अंक निश्चित करू शकत नाही.

२) पुढे, आम्ही नेहमीप्रमाणे सामान्य अल्गोरिदमच्या 4,5,6 चरणांचे कार्य करतो:
103: 40 ≈ 2; 42 x 2 \u003d 84 103; म्हणून दुसरा अंक 2 आहे.
1900: 440; 4; 444 x 4 \u003d 1776 1900; म्हणून तिसरा अंक 4 आहे.
12400: 4480 ≈ 3; 4483 x 3 \u003d 13449\u003e 12400; 4482 × 2 \u003d 8964 343600: 44840 ≈ 8; 44848 × 8 \u003d 358784\u003e 343600; 84 4484847 × \u003d \u003d 39 39 39 29. We आम्हाला अद्याप शून्य शिल्लक प्राप्त झाले नाही आणि कदाचित आवश्यक रूट असमंजसपणाची संख्या असल्यास आम्हाला ते कधीही मिळणार नाही. पण आम्हाला याची गरज नाही, कारण फेरीसाठी आवश्यक परिशुद्धतेसह निकाल आधीच प्राप्त झाला आहे.

दशांश बिंदू नंतर तिसरा अंक काढून टाकून (मागील\u003e 7% 5 पासून) मागील एकास एका युनिटद्वारे 22.427 ≈ 22.43 ने वाढविले.

उत्तरः 22,43.

√1.5 चे मूल्यांकन करा ____ .

दशांश अपूर्णांकाच्या मुळाची गणना करण्यासाठी आपल्याला हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की 10 2 \u003d 100 आणि 0.1 2 \u003d 0.01. त्या. चौरस असल्यास, अंक दुप्पट केले जातात. त्यानुसार, दशांश अपूर्णांकाचा वर्गमूळ काढण्यासाठी, दशांश बिंदूनंतर आपल्याकडे समान संख्या असणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, आम्हाला उजवीकडून डावीकडे (शेवटी पासून) विभाजीत करताना दशांश बिंदूनंतर चेह of्यांची पूर्ण संख्या मिळते, आणि म्हणूनच उत्तराच्या अपूर्णांकात अंकांची पूर्णांक संख्या.
हे देखील लक्षात ठेवा की संख्येच्या पूर्ण भागामध्ये आपण कितीही अग्रगण्य आणि शून्य भागाच्या शेवटी कितीही शून्य जोडू शकता. यावरून संख्या बदलत नाही.

1 \u003d 001; 23 \u003d 000023; 1080 \u003d 01080; परंतु (!) 1080 ≠ 10800
0.1 \u003d 0.10; 2.3 \u003d 2.3000; 10.80 \u003d 0010.8000; परंतु (!) 10.80 ≠ 100.80 आणि 10.80 ≠ 10.080

पद्धत मी.

1,5 = 1,50 √1,5___ = √1,50____

आपण दहाव्याला अचूक उत्तर देणे आवश्यक आहे असे समजू या की मग आपल्याला या मूळचे मूल्य दुसर्\u200dया दशांश पर्यंत मोजणे आवश्यक आहे. आता आपल्याकडे दशांश बिंदूनंतर 2 अंक आहेत, म्हणजे. एक चेहरा, तर दुसरा शून्य चेहरा जोडा.

1,50"00 | 1,22
−1
____
50
−44 | 22 × 2
______
600
.484 | 242 × 2
_______
116

1) काठावर काम करणे: 1.50 "00. निकाल 3 अंकांचा असेल - दशांश बिंदूच्या आधी आणि नंतर दोन. पहिला अंक स्पष्टपणे 1 आहे.

3) फेरी 1.22 ≈ 1.2.

उत्तरः 1,2.

पद्धत II.

आम्ही गुणाकार करतो आणि त्याच वेळी आमची संख्या एका सम शक्तीमध्ये 10 ने विभाजित करतो (अपरिहार्यपणे सम सामर्थ्यामध्ये, जेणेकरून नंतर आपण सहजपणे आणि अचूकपणे विभाजकापासून मूळ काढू शकू). 1.5 \u003d 1.5 × 100/100 \u003d 150/100. म्हणून, आपल्याला 150 च्या रूटची गणना करणे आवश्यक आहे आणि 100 च्या मुळाने त्याचे विभाजन करणे आवश्यक आहे, म्हणजे. 10 रोजी.

तीन-अंकी लहान पूर्णांकांसाठी मुळांची मूल्ये लक्षात ठेवणे सोपे आहे, कारण ते अगदी सामान्य आहेत (उदाहरणार्थ, "1 ते 25 मधील वर्गांचे वर्ग" आणि "वर्ग मूळ" सारण्यांमध्ये). पूर्णांक संख्येच्या चौकोनाचे सर्वात जवळील मूल्य 144 ते 150, म्हणून √150 ____ ≈ 12 आणि त्यानुसार, √1.5 ____ ≈ 12:10 = 1,2.

उत्तरः 1,2.

लक्ष: 1.5 च्या मूळचे अंदाजे मूल्य निर्धारित करण्यासाठी जेव्हा 15 चे मूळ घेतले जाते तेव्हा ही एक अगदी सामान्य चूक आहे. लक्षात ठेवा - अगदी शून्य संख्या.

√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

“कल्पकतेच्या राज्यात” (१ 190 ००8) च्या पहिल्या आवृत्तीच्या प्रस्तावनेत ईआय इग्नाटिव्ह लिहितात: “... मानसिक पुढाकार, कल्पकता आणि“ चातुर्य ”कोणाच्याही डोक्यात“ ड्रिल ”किंवा“ ठेवले ”जाऊ शकत नाही. जेव्हा गणिताच्या ज्ञानाच्या क्षेत्राची ओळख सुलभ आणि आनंददायी मार्गाने केली जाते तेव्हाच त्यातील परिणाम विश्वासार्ह असतात, जेव्हा योग्य बुद्धी आणि करमणुकीने निवडलेल्या दैनंदिन आणि दैनंदिन परिस्थितीची उदाहरणे. "

१ 11 ११ च्या आवृत्तीच्या “गणितातील स्मृतीची भूमिका” च्या अग्रलेखात, ई.आय. इग्नातिव लिहितात "... गणितामध्ये कोणी सूत्रे नव्हे तर विचार करण्याची प्रक्रिया लक्षात ठेवली पाहिजे."

चौरस मूळ काढण्यासाठी, दोन-अंकी संख्यांसाठी चौरसांच्या सारण्या आहेत, आपण संख्येला मुख्य घटक बनवू शकता आणि उत्पादनाचे वर्गमूल काढू शकता. चौरसांची सारणी बर्\u200dयाचदा पुरेसे नसते, फॅक्टरिझेशनद्वारे रूट काढणे ही एक वेळ घेणारी कार्य असते, जे नेहमीच इच्छित परिणामास कारणीभूत नसते. 209764 चा वर्गमूल वापरुन पहा? प्राइम फॅक्टरिझेशन उत्पादनास 2 * 2 * 52441 देते. चाचणी आणि त्रुटींद्वारे, निवड - हे निश्चितच केले जाऊ शकते, जर आपल्याला खात्री असेल की हा पूर्णांक आहे. मला सुचवायचा मार्ग म्हणजे स्क्वेअर रूट तरीही मिळवा.

एकदा संस्थेत (पेर्म स्टेट पेडागॉजिकल इन्स्टिट्यूट) आमच्याशी या पद्धतीची ओळख झाली, ज्याबद्दल मला आता बोलायचे आहे. या पद्धतीचा पुरावा आहे की नाही याबद्दल मला कधीच आश्चर्य वाटले नाही, म्हणून आता मला स्वत: चा काही पुरावा घ्यावा लागला.

या पद्धतीचा आधार म्हणजे संख्या \u003d ची रचना.

\u003d आणि, म्हणजे आणि 2 \u003d 596334.

1. आम्ही संख्या (5963364) ला उजवीकडून डावीकडे जोडी (5 left96`33`64) मध्ये विभाजित करतो

2. डाव्या बाजूच्या पहिल्या गटाचे चौरस रूट काढा (- क्रमांक 2) हे आम्हाला & चा पहिला अंक देते.

3. पहिल्या अंकाचा वर्ग (2 2 \u003d 4) शोधा.

The. पहिला गट आणि पहिल्या अंकातील वर्ग (between-. \u003d १) मधील फरक शोधा.

5. आम्ही पुढील दोन संख्या खाली घेतो (आम्हाला क्रमांक 196 आला)

We. आम्हाला आढळलेला पहिला अंक दुप्पट करणे, ओळीच्या मागे डावीकडे (2 * 2 \u003d 4) लिहा.

Now. आता आपणास संख्येचा दुसरा अंक शोधणे आवश्यक आहे आणि: आम्हाला आढळलेला दुप्पट पहिला अंक, दहाव्या क्रमांकाचा अंक बनतो, जेव्हा संख्येच्या गुणाकार्याने, आपल्याला १ 6 than पेक्षा कमी क्रमांक मिळवणे आवश्यक आहे (हा अंक,, * 44 * \u003d \u003d १66 आहे). 4 हा & अंकांचा दुसरा अंक आहे.

8. फरक शोधा (196-176 \u003d 20).

9. आम्ही पुढील गट पाडतो (आम्हाला 2033 क्रमांक मिळतो)

10. 24 संख्या दुप्पट केल्याने आम्हाला 48 मिळतात.

एका संख्येत 11.48 दहापट, जेव्हा त्या संख्येच्या संख्येने गुणाकार केला जातो तेव्हा आम्हाला 2033 (484 * 4 \u003d 1936) पेक्षा कमी क्रमांक मिळाला पाहिजे. आम्हाला आढळलेल्या युनिटचा अंक (4) आणि चा तिसरा अंक आहे.

या खटल्यांचा पुरावा माझ्याद्वारे देण्यात आला आहे.

1. तीन-अंकी संख्येचे वर्गमूळ काढणे;

२. चार-अंकी संख्येचे वर्गमूल काढा.

अंदाजे चौरस मूळ पद्धती (कॅल्क्युलेटर न वापरता).

1. प्राचीन बॅबिलोनी लोकांनी त्यांच्या x च्या वर्गमूलचे अंदाजे मूल्य शोधण्यासाठी खालील पद्धतीचा वापर केला. त्यांनी x 2 ला अंकांची बेरीज 2 + बी म्हणून दर्शविले, जेथे 2 ही संख्या x च्या सर्वात जवळील एक नैसर्गिक संख्या a (a 2? X) चा अचूक वर्ग आहे आणि सूत्र वापरले . (1)

सूत्र (१) वापरून वर्गमूळ काढू, उदाहरणार्थ २ 28 क्रमांकावरून:

एमके 5.2915026 वापरुन 28 वरून मूळ काढण्याचा परिणाम.

आपण पाहू शकता की, बेबीलोनियन पद्धतीने मुळाच्या अचूक मूल्याला चांगले अंदाजे दिले आहेत.

२. आयझॅक न्यूटन यांनी स्क्वेअर रूट काढण्यासाठी एक पद्धत विकसित केली, जी अलेक्झांड्रियाच्या हेरॉन (सुमारे 100 एडी) ची आहे. ही पद्धत (न्यूटनची पद्धत म्हणून ओळखली जाते) खालीलप्रमाणे आहे.

असू द्या एक 1- संख्येचे प्रथम अंदाजे मूल्य (1 म्हणून आपण नैसर्गिक संख्येच्या चौरस मूल्याची मूल्ये घेऊ शकता - अचूक चौरस जास्त नाही x).

पुढील, अधिक अचूक अंदाजे एक 2संख्या सूत्रानुसार आढळू शकते .

तथ्य 1.
\\ (\\ बुलेट \\) काही नॉन-नकारात्मक नंबर घ्या \\ (a \\) (म्हणजे. \\ (a q geqslant 0 \\)). मग (अंकगणित) वर्गमुळ from (ए \\) या क्रमांकास अशा नकारात्मक-नकारात्मक क्रमांक \\ (बी \\) असे म्हणतात, जेव्हा वर्गित केल्यावर आपल्याला \\ (ए \\) क्रमांक मिळेल: \\ [\\ चौरस ए \u003d बी \\ क्वाड \\ मजकूर (समान) \\ चतुर्भुज ए \u003d बी ^ 2 \\] हे परिभाषा खालीलप्रमाणे आहे \\ (a \\ geqslant 0, b \\ geqslant 0 \\). चौरस मुळाच्या अस्तित्वासाठी या मर्यादा आवश्यक आहेत आणि लक्षात ठेवल्या पाहिजेत!
लक्षात ठेवा की चौरस असताना कोणतीही संख्या नकारात्मक-नकारात्मक निकाल देते. म्हणजेच \\ (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) आणि \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 lant).
\\ (\\ बुलेट \\) is (q चौरस (25)?) म्हणजे काय? आम्हाला माहित आहे की \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) आणि \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\). परिभाषानुसार, आम्हाला एक नकारात्मक-नकारात्मक संख्या शोधणे आवश्यक आहे, त्यानंतर \\ (- 5 \\) फिट होत नाही, म्हणून \\ (q वर्गमीटर (25) \u003d 5 \\) (पासून \\ (25 \u003d 5 ^ 2 \\)).
\\ (Q sqrt a \\) मूल्य शोधण्याला \\ (a \\) संख्येचा वर्गमूल घेणे म्हणतात आणि संख्या \\ (a number) ला मूलगामी अभिव्यक्ती असे म्हणतात.
\\ (\\ बुलेट \\) व्याख्येच्या आधारे, अभिव्यक्ति \\ (q sqrt (-25) \\), q (q sqrt (-4),), इ. अर्थ नाही.

तथ्य 2.
द्रुत गणनासाठी, numbers (1 \\) पासून \\ (20 \\) पर्यंत नैसर्गिक संख्येच्या वर्गांची सारणी शिकणे उपयुक्त ठरेल: \\ [\\ प्रारंभ (अ\u200dॅरे) (| एलएल |) line एचलाइन 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ क्वाड 11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 & \\ क्वाड 12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 & \\ क्वाड 13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 आणि \\ क्वाड 14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 आणि \\ क्वाड 15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 आणि \\ क्वाड 16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 आणि \\ क्वाड 17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 आणि ad क्वाड 18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 आणि ad क्वाड 19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & ad क्वाड 20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ समाप्त (अ\u200dॅरे) \\]

तथ्य 3.
चौरस मुळे काय केले जाऊ शकते?
\\ (\\ बंदूकीची गोळी \\) चौरस मुळांची बेरीज किंवा फरक बेरीज किंवा फरकाच्या चौरस मुळाइतके नाही, म्हणजे. \\ [\\ चौरस ए \\ दुपारी q चौरस बी \\ ने \\ स्कर्ट (एक दुपारी बी) \\] अशा प्रकारे, आपण गणना करणे आवश्यक असल्यास, उदाहरणार्थ, \\ (q sqrt (25) + q sqrt (49),), नंतर सुरूवातीस आपल्याला \\ (q sqrt (25) \\) आणि \\ (q sqrt (49) \\ ही मूल्ये सापडली पाहिजेत. म्हणून, \\ [q चौरस (25) + q स्क्वेअर (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] Adding (\\ sqrt a \\) किंवा \\ (q sqrt b \\) मूल्ये adding (q sqrt a + \\ sqrt b \\) जोडताना आढळू शकत नाहीत, तर ही अभिव्यक्ती पुढे रूपांतरित होणार नाही आणि तीच राहील. उदाहरणार्थ, \\ (q sqrt 2+ q sqrt (49) sum) च्या बेरजेमध्ये आम्ही शोधू शकतो \\ (\\ sqrt (49) \\) - हे \\ (7 \\) आहे, परंतु \\ (q sqrt 2 \\) कोणत्याही प्रकारे रूपांतरित केले जाऊ शकत नाही, तर \\ (q चौरस 2+ q चौरस (49) \u003d \\ चौरस 2 + 7 \\)... दुर्दैवाने या अभिव्यक्तीचे आणखी वर्णन करणे सोपे नाही. \\ (\\ बुलेट \\) चौरस मुळांचे उत्पादन / भागफल / उत्पादनाच्या वर्गमूलच्या समान असते, म्हणजे \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ मजकूर (आणि) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (परंतु समानतेच्या दोन्ही बाजूंनी अर्थ काढला गेला तर)
उदाहरणः \\ (\\ चौरस ()२) d सीडीट \\ स्क्वर्ट २ \u003d q स्क्वेअर (\\२ \\ सीडीट २) \u003d \\ स्क्वेअर () 64) \u003d \\); \\ (q चौरस (768): \\ स्क्वेअर 3 \u003d \\ स्क्वेअर (768: 3) \u003d \\ स्क्वर्ट (256) \u003d 16 \\); \\ (q sqrt ((- 25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) d cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\)... \\ (\\ बुलेट \\) या गुणधर्मांचा वापर करून, मोठ्या संख्येने चौरस मुळे त्यांना तथ्या देऊन शोधणे सोयीचे आहे.
चला एक उदाहरण पाहूया. Find (\\ चौरस (44100).) शोधा. \\ (44100: 100 \u003d 441 \\) असल्याने, नंतर \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441.). भागाकाराच्या आधारे, \\ (441१ \\) ही संख्या 9 (\\ \\) ने विभाज्य आहे (कारण त्याच्या अंकांची बेरीज 9 आहे आणि by ने भागाकार आहे), म्हणून \\ (1 44१: \u003d \u003d \\ \\) म्हणजेच \\ (1 44१ \u003d \\ \\) अशा प्रकारे, आम्हाला मिळाले:
\\ [q sqrt (44100) \u003d q sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 10 \u003d 210 \\] दुसरे उदाहरण पाहू: \\ [\\ वर्गमीटर (\\ डीफ्राक (\\२ \\ सीडीट २ 4)) (२))) \u003d \\ वर्गमीटर (\\ डीफ्राक (१\\ \\ सीडीट २ \\ सीडीट \\ \\ सीडीट \\ \\ सीडीट २) (\\ \\ सीडीट))) \u003d q स्क्वर्ट \u003d \\ dfrac (56) 3 \\] \\ (\\ बुलेट \\) अभिव्यक्तीचे उदाहरण using (5 \\ sqrt2 \\) (short (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\)) चे अभिव्यक्ती वापरून स्क्वेअर रूट चिन्हाखाली संख्या कशी प्रविष्ट करायची ते दाखवूया. \\ (5 \u003d q sqrt (25).) असल्याने, तेव्हापासून
हे देखील लक्षात घ्या, उदाहरणार्थ, \ 1) \\ (q sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- q sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (q sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a \\)
{!LANG-07288926434bd6d21b4ca0747521f054!}

अस का? उदाहरण 1) वापरून स्पष्टीकरण देऊया. आपण आधीपासूनच समजून घेतल्यानुसार, आम्ही कसा तरी convert (q sqrt2 \\) नंबर रूपांतरित करू शकत नाही. चला अशी कल्पना करूया की \\ (q sqrt2 \\) ही काही संख्या \\ (a \\) आहे. त्यानुसार, अभिव्यक्ती \\ (\\ sqrt2 + 3 q sqrt2 \\) \\ (a + 3a \\) (एक संख्या \\ (a \\) अधिक समान संख्या three (एक \\)) पेक्षा अधिक काही नाही. आणि हे आपल्याला माहित आहे की हे अशा चार संख्यांइतके आहे to (a \\), म्हणजेच q (4 \\ sqrt2 \\).

तथ्य 4.
\\ (\\ बुलेट \\) बहुतेक वेळा असे म्हणतात जेव्हा काही संख्येचे मूल्य शोधताना रूटच्या (रॅडिकल) चिन्हापासून मुक्त होणे शक्य नसते तेव्हा “रूट काढू शकत नाही”. उदाहरणार्थ, आपण \\ (16 \\) संख्येचे मूळ काढू शकता, कारण \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), म्हणून \\ (q sqrt (16) \u003d 4.). परंतु \\ (3 \\) संख्येमधून मूळ शोधणे अशक्य आहे, म्हणजेच find (q sqrt3 \\) शोधा, कारण अशी संख्या नाही जे वर्गात \\ (3 \\) देईल.
अशा संख्या (किंवा अशा संख्यांसह अभिव्यक्ती) तर्कहीन आहेत. उदाहरणार्थ संख्या \\ (q sqrt3, \\ 1+ q sqrt2, \\ q sqrt (15) \\) इ. तर्कहीन आहेत.
तसेच असमंजसपणाचे अंक आहेत \\ (\\ पीआय \\) (संख्या "पीआय", अंदाजे \\ (14.१14 \\)), \\ (ई \\) (या संख्येस युलर संख्या म्हणतात, जवळजवळ \\ (२.7 \\)) इ.
\\ (\\ बुलेट \\) कृपया लक्षात घ्या की कोणतीही संख्या एकतर तर्कसंगत किंवा तर्कहीन असेल. आणि एकत्र, सर्व तर्कसंगत आणि सर्व असमंजसपूर्ण संख्या म्हणतात एक सेट तयार करतात वास्तविक (वास्तविक) संख्यांचा संच हा संच \\ (th mathbb (R) \\) अक्षराने दर्शविला जातो.
याचा अर्थ असा आहे की आपल्यास सध्या माहित असलेल्या सर्व संख्यांना वास्तविक संख्या म्हणतात.

तथ्य 5.
\\ (\\ बुलेट \\) वास्तविक संख्येचे मॉड्यूलस a (a \\) ही वास्तविक रेषेवरील बिंदू \\ (a \\) ते \\ (0 \\) च्या समानतेने नॉन-नकारात्मक संख्या \\ (| एक | \\) आहे. उदाहरणार्थ, \\ (| 3 | \\) आणि \\ (| -3 | \\) 3 बरोबर आहेत कारण बिंदू \\ (3 \\) आणि \\ (- 3 \\) ते \\ (0 \\) पर्यंत समान आहेत आणि \\ (3) समान आहेत \\).
\\ (\\ बुलेट \\) जर \\ (a \\) एक नकारात्मक संख्या असेल तर \\ (| a | \u003d a \\).
उदाहरण: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ (\\ क्वॅड | q sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\). \\ (\\ बुलेट \\) जर \\ (a \\) नकारात्मक संख्या असेल तर \\ (| a | \u003d -a \\).
उदाहरणः \\ (| -5 | \u003d - (- 5) \u003d 5 \\); \\ (\\ क्वॅड | - \\ वर्गमीटर 3 | \u003d - (- \\ sqrt3) \u003d \\ वर्गमीटर 3 \\).
ते म्हणतात की मॉड्यूल नकारात्मक संख्येचे उणे "खातो" आणि मॉड्यूलमध्ये सकारात्मक संख्या तसेच \\ (0 \\) संख्या बदलली आहे.
परंतु हा नियम केवळ संख्येसाठी कार्य करतो. आपल्याकडे मॉड्यूलस (किंवा काही इतर अज्ञात) च्या चिन्हाखाली एखादे अज्ञात \\ (x \\) असल्यास, उदाहरणार्थ, \\ (| x | \\), ज्याबद्दल आम्हाला माहित नाही, ते सकारात्मक आहे, शून्य आहे किंवा नकारात्मक असेल तर मॉड्यूलसपासून मुक्त व्हा आम्ही करू शकत नाही. या प्रकरणात, ही अभिव्यक्ती इतकी राहिली आहे: \\ (| x | \\). \\ (\\ बुलेट \\) खालील सूत्रे धरून आहेत: \\ [(\\ विशाल (\\ वर्गमीटर (अ ^ 2) \u003d | अ |)) \\] \\ [(\\ मोठा ((\\ स्क्वेअर (अ))) ^ २ \u003d ए)), \\ मजकूर (अट वर) अ \\ गीकस्लंट 0 \\] एक अगदी सामान्य चूक केली जाते: ते म्हणतात की \\ (q sqrt (a ^ 2) \\) आणि \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) एक आणि समान आहेत. Only (अ \\) एक सकारात्मक संख्या किंवा शून्य असल्यास हेच खरे आहे. परंतु जर \\ (a \\) नकारात्मक संख्या असेल तर हे खरे नाही. अशा उदाहरणावर विचार करणे पुरेसे आहे. चला \\ (a \\) ऐवजी \\ (- 1 \\) संख्या घेऊ. नंतर \\ (q sqrt ((- 1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), परंतु भाव \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) अस्तित्त्वात नाही (सर्व केल्यानंतर, ते मूळ चिन्हाखाली अशक्य आहे नकारात्मक संख्या घाला!).
म्हणूनच, आम्ही आपले लक्ष वेधून घेतो की \\ (q sqrt (a ^ 2) () \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 equal) च्या बरोबरीचे नाही! उदाहरणः १) \\ (\\ sqrt (\\ डावीकडे (- \\ sqrt2 \\ उजवीकडे) ^ 2) \u003d | - \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\)पासून \\ (- q वर्गमीटर 2)<0\) ;

\\ (\\ प्रेत (00000) 2) 2) \\ ((\\ स्क्वेअर (2)) ^ 2 \u003d 2 \\) \\ (\\ बुलेट \\) पासून \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), नंतर \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d | a ^ n | \\] (अभिव्यक्ती \\ (2 एन \\) सम संख्या दर्शवते)
म्हणजेच काही प्रमाणात असलेल्या संख्येमधून मूळ काढताना ही डिग्री अर्धवट असते.
उदाहरणः
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
२) \\ (\\ sqrt ((- 25) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (लक्षात ठेवा मॉड्यूल स्थापित केलेले नसल्यास ते संख्येचे मूळ \\ (- 25 \\) आहे हे कळते; परंतु आम्हाला आठवते की, मुळाच्या व्याख्येनुसार, हे असे होऊ शकत नाही: रूट काढताना आपल्याकडे नेहमी सकारात्मक संख्या किंवा शून्य असते)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (सम शक्ती असणारी कोणतीही संख्या नकारात्मक नसलेली आहे)

तथ्य 6.
दोन चौरस मुळांची तुलना कशी करावी?
\\ (\\ बुलेट \\) चौरस मुळांसाठी हे सत्य आहे: if \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a उदाहरणः
1) तुलना \\ (\\ स्क्वेअर (50).) आणि \\ (6 q वर्गमीटर 2.). प्रथम, दुसर्\u200dया अभिव्यक्तीचे रुपांतर करू \\ (\\ चौरस () 36) d सीडीट \\ स्क्वर्ट २ \u003d \\ चौरस (\\ 36 \\ सीडीट २) \u003d \\ चौरस ()२) \\)... अशा प्रकारे, पासून \\ (50)<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
२) inte (q चौरस ()०)?) पूर्णांक किती आहे?
\\ (Q sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (q sqrt (64) \u003d 8 \\), आणि \\ (49) पासून<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \\ (q स्क्वेअर 2-1 \\) आणि \\ (0,5 \\) ची तुलना करा. समजा \\ (q sqrt2-1\u003e 0.5 \\): \\ [\\ प्रारंभ (संरेखित) आणि \\ स्क्वेअर 2-1\u003e 0.5 \\ \\ मोठा +1 \\ चतुर्भुज \\ मजकूर ((दोन्ही बाजूंना एक जोडा)) \\\\ & q sqrt2\u003e 0.5 + 1 \\ \\ मोठा | \\ ^ 2 \\ क्वाड \\ मजकूर ((दोन्ही बाजूंना चौरस)) \\\\ & 2\u003e 1.5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2.25 \\ एंड (संरेखित) \\] आम्ही पाहतो की आम्हाला चुकीची असमानता मिळाली. म्हणून, आमची धारणा चुकीची होती आणि \\ (q sqrt 2-1)<0,5\) .
लक्षात घ्या की असमानतेच्या दोन्ही बाजूंमध्ये संख्या जोडल्यामुळे त्याच्या चिन्हावर परिणाम होत नाही. असमानतेचे दोन्ही बाजूंना सकारात्मक संख्येने गुणाकार करणे / विभाजित करणे देखील त्याच्या चिन्हावर परिणाम करत नाही आणि नकारात्मक संख्येने गुणाकार / विभाजन केल्याने असमानतेचे चिन्ह उलट होते.
आपण फक्त समीकरण / असमानतेच्या दोन्ही बाजूंचे वर्ग करू शकता जेव्हा दोन्ही बाजू नकारात्मक असतात. उदाहरणार्थ, मागील उदाहरणावरून असमानतेमध्ये, असमानतेमध्ये दोन्ही बाजूंचे वर्ग केले जाऊ शकते - (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ बुलेट \\) लक्षात ठेवा \\ [\\ आरंभ (संरेखित) आणि q चौरस 2 \\ अंदाजे 1.4 \\\\ आणि \\ स्क्वेअर 3 \\ अंदाजे 1.7 \\ एंड (संरेखित) \\] संख्यांची तुलना करताना या संख्येचे अंदाजे मूल्य जाणून घेणे आपणास मदत करेल! \\ (\\ बुलेट \\) चौरसांच्या सारणीत नसलेल्या मोठ्या संख्येने (जर ते काढले असेल तर) रूट काढण्यासाठी प्रथम ते निर्धारित करावे लागेल की ते "शेकडो" कोणत्या दरम्यान आहे, नंतर - कोणत्या "दहापट" दरम्यान, आणि नंतर या संख्येचा शेवटचा अंक निश्चित करा. उदाहरणासह ते कसे कार्य करते ते पाहूया.
चला take (\\ sqrt (28224).) घेऊ. आम्हाला माहित आहे की \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\, 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\) इ. लक्षात ठेवा की \\ (28224 \\) हे \\ (10 \u200b\u200b\\, 000 \\) आणि \\ (40 \\, 000 \\) दरम्यान आहे. म्हणून, \\ (\\ sqrt (28224) \\) हे \\ (100 \\) आणि \\ (200 \\) दरम्यान आहे.
आता आम्ही ठरवूया की आपली संख्या कोणत्या "दहा" आहे (म्हणजे उदाहरणार्थ, \\ (120 \\) आणि \\ (130 determine)). तसेच वर्गांच्या सारणीवरून आम्हाला हे माहित आहे की \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\), इत्यादी नंतर, (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400) \\), \\ (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900) \\). अशा प्रकारे, आम्ही पाहतो की \\ (28224 \\) हे \\ (160 ^ 2 \\) आणि \\ (170 ^ 2 \\) दरम्यान आहे. म्हणून, \\ (q sqrt (28224) \\) संख्या \\ (160 \\) आणि \\ (170 \\) दरम्यान आहे.
शेवटचा अंक निश्चित करण्याचा प्रयत्न करूया. चौरस असताना \\ (4 \\) च्या शेवटी कोणत्या एकल-अंकांची संख्या लक्षात ठेवू? हे \\ (2 ^ 2 \\) आणि \\ (8 ^ 2 \\) आहेत. म्हणून, \\ (q sqrt (28224)) 2 किंवा 8 एकतर समाप्त होईल. चला हे तपासू. \\ (162 ^ 2 \\) आणि \\ (168 ^ 2 \\) शोधा:
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ सीडीट 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ सीडोट 168 \u003d 28224.).
म्हणून \\ (\\ वर्गमीटर (28224) \u003d 168.). व्होइला!

गणितातील परीक्षेचे पुरेसे निराकरण करण्यासाठी, सर्वप्रथम, असंख्य प्रमेय, सूत्रे, अल्गोरिदम इत्यादींचा परिचय देणारी सैद्धांतिक सामग्रीचा अभ्यास करणे पहिल्या दृष्टीक्षेपात असे दिसते की ते अगदी सोपे आहे. तथापि, कोणत्याही स्तरावरील प्रशिक्षण घेणा-या विद्यार्थ्यांसाठी गणितातील परीक्षेचा सिद्धांत सहज आणि समजून घेण्यासारखा स्त्रोत शोधणे खरं तर एक कठीण काम आहे. शालेय पुस्तके नेहमीच जवळ ठेवणे अशक्य आहे. आणि गणितातील परीक्षेची मूलभूत सूत्रे शोधणे इंटरनेटवरही अवघड आहे.

केवळ परीक्षा देणा those्यांसाठीच नाही तर गणितातील सिद्धांताचा अभ्यास करणे इतके महत्त्वाचे का आहे?

1. कारण ते आपली क्षितिजे विस्तृत करते... ज्याला आजूबाजूच्या जगाच्या ज्ञानाशी संबंधित विस्तृत प्रश्नांची उत्तरे मिळवायची असतील त्यांना गणितातील सैद्धांतिक साहित्याचा अभ्यास उपयुक्त ठरेल. निसर्गातील प्रत्येक गोष्ट सुव्यवस्थित आणि स्पष्ट तर्क आहे. हे विज्ञानाच्या प्रतिबिंबित तंतोतंत आहे ज्याद्वारे जगाला समजणे शक्य आहे.
2. कारण त्यातून बुद्धिमत्तेचा विकास होतो... गणिताच्या परीक्षेसाठी संदर्भ सामग्रीचा अभ्यास करणे, तसेच विविध समस्या सोडवण्याद्वारे, एखाद्या व्यक्तीने तर्कशक्तीने आणि तर्कबुद्धीने विचार करणे, सक्षमपणे आणि स्पष्टपणे विचार तयार करणे शिकले. विश्लेषण, सामान्यीकरण आणि निष्कर्ष काढण्याची क्षमता त्याने विकसित केली.

आम्ही आपल्याला शैक्षणिक साहित्याचे पद्धतशीरकरण आणि सादरीकरण करण्याच्या आमच्या दृष्टिकोनाचे सर्व फायदे वैयक्तिकरित्या मूल्यांकन करण्यासाठी आमंत्रित करतो.

सूचना

रॅडिकल संख्येसाठी एक घटक निवडा, त्यामधून खालील काढणे मूळ वैध अभिव्यक्ती - अन्यथा ऑपरेशन गमावेल. उदाहरणार्थ, चिन्हाखाली असल्यास मूळ तीन बरोबर घनरूप (घन मूळ) आहे संख्या 128, त्यानंतर आपण चिन्ह काढू शकता, उदाहरणार्थ, संख्या 5. त्याच वेळी, द संख्या 128 चे 5 क्यूबिडद्वारे भाग करावे लागेल: 8128 \u003d 5 ∗ ³√ (128 / 5³) \u003d 5 ∗ ³√ (128/125) \u003d 5 ∗ ³√1.024. जर चिन्हा खाली अपूर्णांकांची उपस्थिती असेल मूळ समस्येच्या अटींचा विरोध करत नाही, तर या फॉर्ममध्ये हे शक्य आहे. जर आपल्याला एक सोपी आवृत्ती आवश्यक असेल तर प्रथम रॅडिकल एक्सप्रेशनला पूर्णांक घटकांमध्ये विभाजित करा, त्यातील क्यूब रूट पूर्णांक असेल संख्यामी. उदाहरणार्थ: ³√128 \u003d ³√ (64 ∗ 2) \u003d ³√ (4³ ∗ 2) \u003d 4 ∗ ³√2.

आपल्या डोक्यात संख्येची शक्ती मोजणे शक्य नसल्यास घटक निवडण्यासाठी रॅडिकल नंबरचा वापर करा. हे विशेषतः खरे आहे मूळदोनपेक्षा जास्त घातांक सह मी. आपल्याकडे इंटरनेटवर प्रवेश असल्यास आपण Google आणि निगम शोध इंजिनमध्ये तयार केलेल्या कॅल्क्युलेटरद्वारे गणना करू शकता. उदाहरणार्थ, आपल्याला क्यूबिक चिन्हाच्या बाहेर घेता येणारा सर्वात मोठा पूर्णांक घटक शोधण्याची आवश्यकता असल्यास मूळ संख्या 250 साठी, नंतर Google साइटवर जाऊन "6 ^ 3" क्वेरी चिन्हावरून काढणे शक्य आहे की नाही याची तपासणी करा मूळ सहा. शोध इंजिन 216 च्या बरोबरीचा एक परिणाम दर्शवेल. हां, 250 याद्वारे पूर्णपणे विभागले जाऊ शकत नाही संख्या... नंतर क्वेरी 5 ^ 3 प्रविष्ट करा. निकाल 125 असेल आणि यामुळे आपणास 250 आणि 125 च्या घटकांमध्ये 250 विभाजित करण्याची परवानगी मिळेल आणि म्हणूनच ते चिन्हातून काढले जाईल मूळ संख्या 5 तेथे सोडत आहे संख्या 2.

स्रोत:

• रूट अंतर्गत कसे जायचे
• उत्पादनाचा वर्ग मूळ

अंतर्गत बाहेर घ्या मूळ आपणास गणितातील अभिव्यक्ति सुलभ करणे आवश्यक आहे अशा परिस्थितीत एक घटक आवश्यक आहे. असे काही वेळा असतात जेव्हा कॅल्क्युलेटरचा वापर करून आवश्यक गणना करणे अशक्य असते. उदाहरणार्थ, जर संख्या ऐवजी चल अक्षरे वापरली गेली तर.

सूचना

मूलगामी अभिव्यक्ति साध्या घटकांमध्ये विस्तृत करा. निर्देशकामध्ये दर्शविलेल्या समान वेळेस कोणत्या घटकाची पुनरावृत्ती होते ते पहा मूळ, किंवा जास्त. उदाहरणार्थ, समजा तुम्हाला a चा चौथा मूळ घ्यायचा आहे. या प्रकरणात, संख्या एक * a * a * a \u003d a * (a * a * a) \u003d a * a3 म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. सूचक मूळ या प्रकरणात परस्पर होईल घटक a3. चिन्हासाठीही ते पुढे नेणे आवश्यक आहे.

शक्य असल्यास परिणामी मुळांचे मूळ वेगळे काढा. पुनर्प्राप्त करीत आहे मूळ क्षेपणाची उलटी बीजगणित क्रिया आहे. पुनर्प्राप्त करीत आहे मूळ एका संख्येमधून अनियंत्रित पदवी मिळविण्यासाठी एक नंबर शोधा जो या अनियंत्रित सामर्थ्याकडे वाढल्यावर दिलेल्या संख्येस परिणाम देईल. माहिती असल्यास मूळ निर्मिती करता येत नाही, चिन्हाखाली मूलगामी अभिव्यक्ती सोडा मूळ मार्ग आहे. सूचीबद्ध कृती करण्याच्या परिणामी, आपण खाली पासून काढू शकाल चिन्ह मूळ.

संबंधित व्हिडिओ

नोट

मूलभूत अभिव्यक्ति घटकांच्या स्वरुपात लिहिताना काळजी घ्या - या टप्प्यावर झालेल्या त्रुटीमुळे चुकीचे परिणाम होतील.

उपयुक्त सल्ला

मुळे काढताना, विशेष सारण्या किंवा लॉगरिथमिक मुळांच्या सारण्या वापरणे सोयीचे आहे - यामुळे योग्य तोडगा शोधण्यात वेळ कमी होईल.

स्रोत:

• 2019 मधील मूळ माहितीचे चिन्ह

गणिताच्या बर्\u200dयाच क्षेत्रांमध्ये बीजगणितीय अभिव्यक्तींचे सरलीकरण आवश्यक आहे, ज्यात उच्च पदवी, भिन्नता आणि समाकलन यांचे समीकरण सोडवणे समाविष्ट आहे. यात फॅक्टरिझेशनसह अनेक पद्धती वापरल्या जातात. ही पद्धत लागू करण्यासाठी आपल्याला शोधणे आणि सामान्य करणे आवश्यक आहे घटक मागे कंस.

सूचना

साठी सामान्य घटक पार पाडणे कंस कुजण्याचा एक सर्वात सामान्य मार्ग आहे. या तंत्राचा उपयोग लांब बीजगणितात्मक अभिव्यक्तीची रचना सुलभ करण्यासाठी केला जातो, म्हणजे. बहुपदी सामान्य एक संख्या, एकल किंवा द्विपदी असू शकते आणि ते शोधण्यासाठी गुणाकाराचे वितरण मालमत्ता वापरली जाते.

संख्या: प्रत्येक बहुपदातील गुणांकांकडे काळजीपूर्वक पहा की ते एकाच संख्येने विभाजित केले जाऊ शकतात की नाही. उदाहरणार्थ, 12 z³ + 16 z² - 4 च्या अभिव्यक्तीमध्ये, स्पष्ट आहे घटक 4. परिवर्तनानंतर आपल्याला 4 (3 z³ + 4 z² - 1) मिळेल. अन्यथा, ही संख्या सर्व गुणांकातील सर्वात सामान्य पूर्णांक विभाजक आहे.

मोनोमियल - बहुपदीच्या प्रत्येक अटींमध्ये समान चर असल्यास ते निश्चित करा. तेच प्रकरण गृहीत धरुन आधीच्या केसप्रमाणे गुणांक पहा. उदाहरणः 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

या बहुपदीच्या प्रत्येक घटकामध्ये एक व्हेरिएबल z असतो. शिवाय, सर्व गुणांक of च्या गुणाकार आहेत. म्हणून, सामान्य घटक मोनोमियल 3 झेड: 3 झेड (3 झेड - 2 झेड + 5 झेड - 1) असेल.

द्विपदी कंस सामान्य घटक दोनपैकी एक व्हेरिएबल आणि एक संख्या, जी एक सामान्य बहुपद आहे. म्हणून, जर घटकध्वनी स्पष्ट नाही, नंतर आपल्याला किमान एक रूट शोधण्याची आवश्यकता आहे. बहुपदीची मुक्त संज्ञा निवडा, हे व्हेरिएबलशिवाय गुणांक आहे. आता इंटरसेप्टच्या सर्व पूर्णांक विभाजकांच्या सामान्य अभिव्यक्तीवर प्रतिस्थापन पद्धत लागू करा.

विचार करा: z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4 z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 \u003d 0. 2 मधील पूर्णांक विभाजकांपैकी कोणतेही एक आहे का ते तपासा. Z1 शोधा \u003d 1 आणि z2 \u003d 2, म्हणूनच नंतर कंस आपण द्विपदी (झेड - 1) आणि (झेड - 2) घेऊ शकता. उर्वरित अभिव्यक्ती शोधण्यासाठी, सलग लांब विभाग वापरा.