ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर
द्विपदीच्या चौरसाचे पृथक्करण आणि चौरस त्रिकोणाच्या आकाराचे निर्धारण.

त्या. finding (पी, क्यू \\) आणि \\ (एन, एम \\) संख्या शोधण्यासाठी कार्ये कमी केली जातात

कार्यक्रम केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही तर निराकरण प्रक्रिया देखील दर्शवितो.

हा कार्यक्रम हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांना चाचण्या आणि परीक्षेच्या तयारीसाठी उपयुक्त ठरू शकतो, जेव्हा परीक्षेपूर्वी ज्ञानाची चाचणी घेते तेव्हा पालक गणितामध्ये आणि बीजगणितातील बर्\u200dयाच समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी नियंत्रित करतात. किंवा कदाचित एखादा शिक्षक घ्या किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके घेणे आपल्यासाठी खूप महाग आहे? किंवा आपल्याला गणित किंवा बीजगणित मध्ये शक्य तितक्या लवकर आपले गृहकार्य करायचे आहे काय? या प्रकरणात, आपण आमच्या प्रोग्रामचा तपशीलवार निराकरणासह वापरू शकता.

अशा प्रकारे, आपण आपले स्वतःचे प्रशिक्षण आणि / किंवा आपल्या लहान भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, तर निराकरण करण्याच्या कार्यक्षेत्रातील शिक्षणाची पातळी वाढते तेव्हा.

जर आपल्याला चौरस त्रिकोमामध्ये प्रवेश करण्याच्या नियमांची माहिती नसेल तर आम्ही शिफारस करतो की आपण त्यांच्याशी स्वतःस परिचित व्हा.

चौरस बहुपद प्रविष्ट करण्याचे नियम

व्हेरिएबल कोणतेही लॅटिन अक्षर असू शकते.
उदाहरणार्थ: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\), इ.

संख्या पूर्णांक किंवा अपूर्णांक प्रविष्ट केली जाऊ शकतात.
शिवाय, अपूर्णांक संख्या केवळ दशांश स्वरूपातच नव्हे तर सामान्य अपूर्णांकाच्या रूपात देखील प्रविष्ट केली जाऊ शकते.

दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
दशांश अपूर्णांकात, पूर्णांकातील भिन्न भाग बिंदू किंवा स्वल्पविरामाने विभक्त केला जाऊ शकतो.
उदाहरणार्थ, आपण यासारख्या दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करू शकता: 2.5x - 3.5x ^ 2

सामान्य भागांमध्ये प्रवेश करण्याचे नियम.
अंश, विभाजक आणि भागांचा पूर्णांक म्हणून केवळ पूर्णांक असू शकतो.

भाजक नकारात्मक असू शकत नाही.

संख्यात्मक अपूर्णांक प्रविष्ट करताना, अंश विभाजनाच्या चिन्हाद्वारे भाजकापासून विभक्त केला जातो: /
एम्परसँड चिन्हाद्वारे संपूर्ण भाग अपूर्णांकातून विभक्त केला जातो: &
इनपुट: 3 आणि 1/3 - 5 आणि 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
निकाल: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

अभिव्यक्ति प्रविष्ट करताना कंस वापरू शकतो. या प्रकरणात, निराकरण करताना, सादर केलेली अभिव्यक्ती प्रथम सुलभ केली जाते.
उदाहरणार्थ: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 आणि 1/2)

तपशीलवार निराकरण उदाहरण

द्विपदीच्या वर्गाचे अलगाव. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ राइटरो ए (x + पी) ^ 2 + क्यू $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$ $$ 2x ^ 2 +2 \\ सीडीट 2 \\ सीडीट \\ बाकी ( rac frac (1) (2) \\ उजवीकडे) \\ cdot x + 2 \\ cdot \\ डावीकडे (\\ frac (1) (2) \\ उजवीकडे) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ बाकी (x ^ 2 + 2 \\ सीडीट \\ डावे (\\ frac (1) (2) \\ उजवीकडे) \\ cdot x + \\ डावे (\\ frac (1) (2) \\ उजवीकडे) ^ 2 \\ उजवीकडे) - rac frac (9 ) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ डावीकडे (x + \\ frac (1) (2) \\ उजवीकडे) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ उत्तरः $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ डावे (x + \\ frac (1) (2) \\ उजवीकडे) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ कारक $$ ax ^ 2 + bx + c \\ राइटरो ए (x + एन) (x + मी) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ डावीकडे (x ^ 2 + x-2 \\ उजवीकडे) \u003d $$
$$ 2 \\ डावा (x ^ 2 + 2x-1x-1 d cdot 2 \\ उजवीकडे) \u003d $$ $$ 2 \\ डावा (x \\ डावा (x +2 \\ उजवीकडे) -1 \\ डावा (x +2 \\ उजवीकडे) ) \\ उजवा) \u003d $$ $$ 2 \\ डावा (x -1 \\ उजवीकडे) \\ डावा (x +2 \\ उजवीकडे) $$ उत्तरः $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ डावा (x -1 \\ उजवीकडे) \\ डावा (x +2 \\ उजवीकडे) $$

असे आढळले की या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड होत नाहीत आणि कदाचित प्रोग्राम कार्य करत नाही.
कदाचित आपण अ\u200dॅडबॉक सक्षम केले असेल.
या प्रकरणात, ते बंद करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

कारण असे बरेच लोक आहेत ज्यांना समस्या सोडवायची आहे, आपली विनंती रांगेत आहे.
काही सेकंदांनंतर, समाधान खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद ...

जर तू निराकरणात चूक लक्षात आली, आपण अभिप्राय फॉर्ममध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करा आपण निर्णय घ्या आणि काय शेतात जा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

चौरस त्रिकोणी पासून द्विपदीच्या वर्गाचे अलगाव

चौरस त्रिकोणी अक्ष 2 + बीएक्स + सी हा (x + पी) 2 + क्यू म्हणून दर्शविला गेला असेल, जेथे पी आणि क्यू वास्तविक संख्या आहेत तर ते असे म्हणतात की चौरस त्रिकोणी द्विपदीचा वर्ग हायलाइट केला.

त्रैमासिक 2x 2 + 12x + 14 द्विपदीच्या वर्गातून निवडा.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

हे करण्यासाठी आम्ही उत्पादन 2 * 3 * x म्हणून 6x चे प्रतिनिधित्व करतो आणि नंतर 3 2 जोडा आणि वजा करतो. आम्ही मिळवा:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ CDd 3 \\ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^-^ ^ 2 + 7) \u003d $$ $$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

टी.ओ. आम्ही द्विपदीचा वर्ग चौरस त्रिमुखी पासून भिन्न केला, आणि ते दर्शवा:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

चौरस त्रिकोणी कारक

चौरस त्रिकोणी अक्ष 2 + बीएक्स + सी हे (एक्स + एन) (एक्स + एम) म्हणून दर्शविले गेले असेल, जेथे एन आणि एम वास्तविक संख्या आहेत तर ते म्हणतात की ऑपरेशन पूर्ण झाले चतुर्भुज त्रिकोणी घटक.

हे परिवर्तन कसे केले जाते हे स्पष्ट करू.

चौरस त्रिकोणी 2x 2 + 4x-6 फॅक्टर

फॅक्टर आउट अ, म्हणजेच 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

कंसात अभिव्यक्ती रूपांतरित करा.
हे करण्यासाठी, 3x-1x च्या फरकाच्या रूपात 2x आणि -1 * 3 फॉर्ममध्ये -3 कल्पना करा. आम्ही मिळवा:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ cdot x -1 \\ cdot x -1 \\ cdot 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ cdot (x + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

टी.ओ. आम्ही घटक चौरस त्रिकोणी, आणि ते दर्शवा:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

लक्षात घ्या की जेव्हा त्रिकोणाकृती समीकरणांची मुळे असतात तेव्हाच चतुर्भुज त्रिकोमाचे घटककरण शक्य होते.
त्या. आमच्या बाबतीत, त्रैमासिक 2x 2 + 4x-6 फॅक्टरिंग करणे शक्य आहे जर चौरस समीकरण 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 ची मूळ असेल. फॅक्टरिंग प्रक्रियेत, आम्हाला असे आढळले की 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 हे समीकरण दोन मुळे 1 आणि -3 आहे, कारण या मूल्यांसाठी समीकरण 2 (x-1) (x + 3) \u003d 0 योग्य समानतेत बदलते.

काय फॅक्टरिझेशन? एक अस्वस्थ आणि गुंतागुंतीचे उदाहरण सोप्या आणि गोंडस रूपात बदलण्याचा हा एक मार्ग आहे.) खूप शक्तिशाली स्वागत! हे प्राथमिक गणितातील आणि उच्च शिक्षणाच्या प्रत्येक चरणात उद्भवते.

गणिताच्या भाषेत अशाच प्रकारच्या परिवर्तनांना अभिव्यक्तींचे एकसारखे परिवर्तन म्हणतात. विषयात कोण नाही - दुव्यावर एक फेरफटका मारा. इथे थोडासा सोपा आणि उपयुक्त आहे.) कोणत्याही समान परिवर्तनाचा अर्थ अभिव्यक्ती लिहिणे होय दुसर्\u200dया स्वरूपात त्याचे सार जपताना.

याचा अर्थ फॅक्टरिझेशन अत्यंत सोपे आणि सरळ. अगदी नावावरूनच. आपण एक गुणक काय आहे हे विसरणे (किंवा माहित नाही) परंतु हा शब्द “गुणाकार” या शब्दावरून आला आहे हे शोधणे शक्य आहे काय?) फॅक्टरिंग चा अर्थ: एखाद्या गोष्टीने काहीतरी गुणाकार करण्याच्या स्वरूपात अभिव्यक्तीची कल्पना करा. मला गणितासाठी आणि रशियन भाषेसाठी क्षमा करा ...) एवढेच.

उदाहरणार्थ, आपल्याला 12 संख्या विस्तृत करण्याची आवश्यकता आहे. आपण सुरक्षितपणे लिहू शकता:

तर आम्ही क्रमांक 12 ला 3 बाय 4 च्या गुणाकाराच्या रूपात सादर केला. कृपया लक्षात घ्या की उजवीकडील संख्या (3 आणि 4) डावीकडील (1 आणि 2) पेक्षा पूर्णपणे भिन्न आहेत. परंतु आम्हाला हे चांगले ठाऊक आहे की 12 आणि 3 · 4 त्याच. रूपांतरणातून 12 व्या क्रमांकाचे सार बदलले नाही.

12 वेगळे विघटन करणे शक्य आहे का? सुलभ!

12 \u003d 3 · 4 \u003d 2 · 6 \u003d 3 · 2 · 2 \u003d 0.5 · 24 \u003d ........

विघटन पर्याय अंतहीन आहेत.

फॅक्टरिंग नंबर ही चांगली गोष्ट आहे. हे उदाहरणार्थ, मुळांसह कृतीसह मदत करते. परंतु गोष्टींची बीजगणित अभिव्यक्ती करणे ही तितकी उपयुक्त नाही, ती आहे - आवश्यक! पूर्णपणे उदाहरणार्थ:

सरलीकृत करा:

ज्यांना अभिव्यक्ती कशी करावी हे माहित नसते त्यांना बाजूला ठेवा. हे कसे माहित आहे - सुलभ करते आणि मिळते:

प्रभाव आश्चर्यकारक आहे, बरोबर?) तसे, उपाय अगदी सोपा आहे. खाली स्वत: साठी पहा. किंवा, उदाहरणार्थ, हे कार्यः

समीकरण सोडवा:

x 5 - x 4 \u003d 0

हे मनाने ठरवले जाते. फॅक्टरिंग करून. खाली आपण हे उदाहरण सोडवू. उत्तरः x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.

किंवा, तेच, परंतु जेष्ठांसाठी):

समीकरण सोडवा:

या उदाहरणांवर मी दाखविली मुख्य उद्देश फॅक्टरिलायझेशन: अपूर्णांक अभिव्यक्ती सुलभ करणे आणि काही प्रकारचे समीकरण सोडवणे. मी व्यावहारिक नियम लक्षात ठेवण्याची शिफारस करतो:

आपल्याकडे भयंकर भिन्न भिन्न अभिव्यक्ती असल्यास, आम्ही अंश आणि संप्रेरक घटकांचा प्रयत्न करू शकतो. बर्\u200dयाचदा, अपूर्णांक कमी आणि सरलीकृत केला जातो.

आपल्याकडे एखादे समीकरण असल्यास, जिथे उजवीकडे शून्य आहे आणि डाव्या बाजूस हे समजत नाही, आम्ही घटकांच्या आधारे डाव्या बाजूला घटक बनविण्याचा प्रयत्न करू शकतो. कधीकधी हे मदत करते).

फॅक्टरिंगचे मुख्य मार्ग.

येथे सर्वात लोकप्रिय मार्ग आहेतः

4. चौरस त्रिमुखीचे विघटन.

या पद्धती लक्षात ठेवल्या पाहिजेत. त्या क्रमाने. जटिल उदाहरणे तपासली जातात सर्व संभाव्य विघटन पद्धतींना. आणि गोंधळ होऊ नये म्हणून ऑर्डर तपासणे चांगले आहे ... येथे, क्रमाने आम्ही प्रारंभ करू.)

1. सामान्य घटक कंस.

एक सोपा आणि विश्वासार्ह मार्ग. हे त्याच्याकडून दुखत नाही! ते एकतर चांगल्या प्रकारे घडते किंवा अजिबात नाही.) म्हणूनच, तो पहिला आहे. आम्ही समजु शकतो.

प्रत्येकाला माहित आहे (माझा विश्वास आहे!) नियम:

a (बी + सी) \u003d अबी + एसी

किंवा अधिक सामान्य स्वरुपात:

अ (बी + सी + डी + .....) \u003d अबी + एसी + अ\u200dॅड + ....

सर्व समानता डावीकडून उजवीकडे आणि त्याउलट उजवीकडून डावीकडे दोन्ही कार्य करतात. आपण लिहू शकता:

ab + ac \u003d a (बी + सी)

ab + ac + ad + .... = अ (बी + सी + डी + .....)

हा सामान्य घटक कंस करण्याचा संपूर्ण बिंदू आहे.

डाव्या बाजुला आणि - सामान्य घटक सर्व अटींसाठी. त्या सर्व गुणाकार). उजवीकडे सर्वात जास्त आहे आणि आधीच आहे कंस बाहेर.

पद्धतीचा व्यावहारिक उपयोग उदाहरणासह विचार केला जाईल. प्रथम पर्याय अगदी सोपा आहे, अगदी आदिमही आहे.) परंतु या पर्यायावर मी कोणत्याही घटकासाठी (हिरव्या रंगात) खूप महत्वाचे मुद्दे चिन्हांकित करेन.

फॅक्टर:

आह + 9 एक्स

जे सामान्य गुणक दोन्ही पदांवर बसतो? एक्स, नक्कीच! हे कंसातून काढून टाकू. आम्ही तसे करतो. कंस बाहेर लगेच x लिहा:

अक्ष + 9 x \u003d x (

आणि कंसात आपण विभाजनाचा परिणाम लिहितो प्रत्येक पद याच एक्स वर क्रमाने:

एवढेच. नक्कीच, अशा तपशीलांनी रंगवणे आवश्यक नाही हे मनामध्ये केले आहे. पण काय आहे ते समजून घेणे इष्ट आहे). आम्ही स्मृतीत निराकरण करतो:

कंस बाहेर सामान्य घटक लिहा. कंसात आम्ही या समान सामान्य घटकाद्वारे सर्व अटी विभाजित करण्याचे परिणाम लिहितो. क्रमाने.

म्हणून आम्ही अभिव्यक्ती मांडली आह + 9 एक्स घटकांद्वारे. ने ते x गुणाकारात बदलले (a + 9). मी लक्षात घेतो की मूळ अभिव्यक्तीमध्ये गुणाकार देखील होता, अगदी दोन: a · x आणि 9 · x. पण ते घटक होते नाही! कारण, गुणाव्यतिरिक्त, या अभिव्यक्तीमध्ये "+" चिन्ह देखील होते. आणि अभिव्यक्ती मध्ये x (a + 9) गुणाशिवाय काही नाही!

असे कसे !? - मी लोकांचा संतापजनक आवाज ऐकतो - आणि कंसात !?)

होय, कंसात आणखी एक भर आहे. पण युक्ती अशी आहे की कंस उघडलेले नसतानाही आम्ही त्यांचा विचार करतो एका पत्राप्रमाणे आणि आम्ही सर्व क्रिया कंसात करतो. एका पत्राप्रमाणे या अर्थाने, अभिव्यक्तीमध्ये x (a + 9) गुणाकारशिवाय काहीही नाही. हा फॅक्टरिंगचा संपूर्ण मुद्दा आहे.

तसे, आम्ही सर्व काही ठीक केले आहे की नाही हे तपासणे शक्य आहे का? सुलभ! कंसात काय (एक्स) ठेवले होते ते परत गुणाकार करणे आणि ते कार्य झाले की नाही ते पाहणे पुरेसे आहे स्त्रोत अभिव्यक्ती? जर ते चालू झाले तर, सर्व टीप-टॉप!)

x (a + 9) \u003d ax + 9x

झाले.)

या आदिम उदाहरणात कोणतीही समस्या नाही. परंतु जर बर्\u200dयाच अटी असतील आणि भिन्न चिन्हेदेखील असतील तर ... थोडक्यात, प्रत्येक तिसरा विद्यार्थी मवळतो). म्हणून:

आवश्यक असल्यास, व्यस्त गुणाद्वारे फॅक्टरलाइझेशन तपासा.

फॅक्टर:

3ax + 9x

आम्ही एक सामान्य घटक शोधत आहोत. पण, एक्स सह सर्वकाही स्पष्ट आहे, ते बाहेर घेतले जाऊ शकते. अजून काही आहेत का? सामान्य घटक होय! हे तिहेरी आहे. आपण यासारखे शब्द लिहू शकता:

3ax + 3 · 3x

येथे आपण सामान्य घटक असेल की लगेचच पाहू शकता 3x. येथे आम्ही उभे आहोत:

3ax + 3 · 3x \u003d 3x (a + 3)

बाहेर ठेवले.

आणि आपण बनवल्यास काय होईल फक्त x? विशेष काहीनाही:

3ax + 9x \u003d x (3 ए + 9)

हे देखील फॅक्टरिंग असेल. परंतु या आकर्षक प्रक्रियेत, जोपर्यंत संधी आहे तोपर्यंत सर्व काही थांबविणे प्रथा आहे. येथे कंसात तिहेरी बनवण्याची संधी आहे. हे चालू होईल:

3ax + 9x \u003d x (3 ए + 9) \u003d 3x (ए + 3)

फक्त एकच अतिरिक्त क्रिया घेऊन तीच गोष्ट.) लक्षात ठेवाः

सामान्य घटक कंसातून बाहेर ठेवताना आपण बनवण्याचा प्रयत्न करतो जास्तीत जास्त सामान्य घटक

मजा सुरू ठेवत आहे?)

फॅक्टर अभिव्यक्ति:

3ax + 9x-8a-24

आपण काय बनवू? तीन, एक्स? नाही ... नाही. मी तुम्हाला आठवण करून देतो की आपण केवळ बाहेर काढू शकता सामान्य गुणक आहे सर्वातअभिव्यक्ति अटी. म्हणूनच तो सामान्य येथे असा कोणताही घटक नाही ... काय, आपण घालू शकत नाही !? बरं, हो, आनंदी, कसे ... भेटू:

2. गटबद्ध करणे.

वास्तविक, गटबद्धतेस फॅक्टोरिंगचा स्वतंत्र मार्ग म्हटले जाऊ शकत नाही. त्याऐवजी, एका जटिल उदाहरणापासून मुक्त होण्याचा हा एक मार्ग आहे.) अटींचे गटबद्ध करणे आवश्यक आहे जेणेकरून सर्वकाही कार्य करेल. हे केवळ उदाहरणाद्वारे दर्शविले जाऊ शकते. तर आपल्यासमोर हा अभिव्यक्ती आहे:

3ax + 9x-8a-24

हे पाहिले जाऊ शकते की काही सामान्य अक्षरे आणि संख्या उपलब्ध आहेत. परंतु... सामान्य सर्व दृष्टीने गुणक - नाही. हार मानू नका आणि अभिव्यक्तीचे तुकडे करा. गट. जेणेकरून प्रत्येक तुकड्यात एक सामान्य घटक होता, त्यास सहन करण्याचे काहीतरी होते. कसे खंडित करावे? होय, फक्त कंसात टाका.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की कंस कोठेही आणि केव्हाही ठेवता येतो. जर फक्त उदाहरणाचे सार बदलला नाही. उदाहरणार्थ, आपण हे करू शकता:

3ax + 9x-8a-24=(3एक्स + 9 एक्स) - (8 ए + 24))

कृपया दुसर्\u200dया कंसात लक्ष द्या! त्यांच्या समोर एक वजा चिन्ह आहे आणि 8 ए आणि 24 सकारात्मक झाले! जर सत्यापनासाठी, पुन्हा कंस उघडा, चिन्हे बदलतील आणि आपल्याला मिळेल स्त्रोत अभिव्यक्ती. त्या. कंसातील अभिव्यक्तीचे सार बदलले नाही.

परंतु आपण चिन्ह बदल लक्षात न घेता फक्त कंसात अडकल्यास, उदाहरणार्थः

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8 ए-24) )

ही एक चूक असेल. आधीच इतर अभिव्यक्ती. कंस उघडा आणि सर्व काही दृश्यमान होईल. मग आपण ठरवू शकत नाही, होय ...)

पण फॅक्टरिझेशनकडे परत. आम्ही प्रथम कंस पाहू (3ax + 9x) आणि आम्हाला वाटते की हे सहन करणे शक्य आहे का? बरं, आम्ही वरचं हे उदाहरण घेतलं, आम्ही बनवू शकतो 3x:

(3ax + 9x) \u003d 3x (a + 3)

आम्ही दुसर्\u200dया कंसांचा अभ्यास करतो, तेथे आपण आठ बनवू शकता:

(8 ए + 24) \u003d 8 (ए + 3)

आमची संपूर्ण अभिव्यक्ती बाहेर येईल:

(3एक्स + 9 एक्स) - (8 ए + 24) \u003d 3x (ए + 3) -8 (ए + 3)

फॅक्टरर्ड? नाही कुजण्याचा परिणाम असावा फक्त गुणाकार आणि आमच्याकडे वजा चिन्ह सर्व काही खराब करते. पण ... दोन्ही शब्दांमध्ये एक समान घटक आहे! तो (a + 3). हे असे काहीही नव्हते की मी म्हणालो की संपूर्ण कंस संपूर्ण एक पत्र आहे. हे कंस कंसातून बाहेर ठेवता येते. होय, हे असेच दिसते आहे.)

वर वर्णन केल्याप्रमाणे करा. एक सामान्य घटक लिहित आहे (a + 3)दुसर्\u200dया कंसात अटी विभाजित करण्याचे परिणाम लिहा (a + 3):

3x (a + 3) -8 (a + 3) \u003d (a + 3) (3x-8)

सर्व! उजवीकडे, गुणाशिवाय काहीही नाही! तर, फॅक्टरिझेशन यशस्वीरित्या पूर्ण झाले!) ते येथे आहेः

3ax + 9x-8a-24 \u003d (अ + 3) (3x-8)

चला गटबाजीचे सार थोडक्यात सांगूया.

अभिव्यक्ती नाही तर सामान्य साठी गुणक सर्व संज्ञा, आम्ही कंसात अभिव्यक्ती खंडित करतो जेणेकरून कंसातील सामान्य घटक होते. आम्ही ते काढतो आणि काय झाले ते पाहतो. जर आपण भाग्यवान असाल आणि अगदी समान अभिव्यक्ती कंसात राहिली तर आम्ही हे कंस कंसात ठेवले.

मी जोडेल की गटबद्ध करणे ही एक सर्जनशील प्रक्रिया आहे). नेहमीच प्रथमच बाहेर वळत नाही. काहीही चुकीचे नाही. कधीकधी आपल्याला ठिकाणी अटी बदलून घ्याव्या लागतील, गट शोधण्यासाठी वेगवेगळ्या पर्यायांचा विचार करा, जोपर्यंत आपल्याला योग्य सापडत नाही. येथे मुख्य गोष्ट म्हणजे हार मानणे नव्हे!)

उदाहरणे.

आता, ज्ञान मिळवल्यानंतर, आपण अवघड उदाहरणे सोडवू शकता.) धड्याच्या सुरूवातीस असे तीन होते ...

सरलीकृत करा:

थोडक्यात, आम्ही आधीच हे उदाहरण ठरविले आहे. स्वत: साठी बेबनाव.) मी तुम्हाला आठवण करून देतो: जर आपल्याला भयंकर अपूर्णांक दिले तर आम्ही अंश आणि संज्ञेचा घटक बनविण्याचा प्रयत्न करतो. इतर सरलीकरण पर्याय फक्त नाही.

ठीक आहे, येथे भाजक प्रदर्शित केलेला नाही, तर अंश दाखविला आहे ... आम्ही आधीपासून पाठात अंश वाढविला आहे! या प्रमाणे:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (अ + 3) (3x-8)

आम्ही अपूर्णांक च्या अंश मध्ये विघटन परिणाम लिहा:

अपूर्णांक कमी करण्याच्या नियमानुसार (अपूर्णांकांची मुख्य मालमत्ता), आम्ही अंश आणि विभाजक समान संख्येने किंवा अभिव्यक्तीमध्ये विभागू शकतो. यातून अपूर्णांक बदलत नाही. तर अभिव्यक्तीद्वारे अंश आणि संख्य विभाजित करा (3x-8). आणि तिथे आणि तेथे आपल्याला एकता प्राप्त होते. सरलीकरणाचा अंतिम परिणामः

मी ठामपणे सांगतो: अंश कमी करणे शक्य आहे तरच आणि केवळ तरच, तर अंश आणि संप्रेरकांच्या व्यतिरिक्त तेथे काहीही नाही. म्हणूनच बेरीजचे (फरक) रूपांतरण मध्ये होते गुणाकार सरलीकरणासाठी इतके महत्वाचे आहे. नक्कीच, तर अभिव्यक्ती विविध, मग काहीही कमी होणार नाही. ते होईल. पण फॅक्टरिंग संधी देते. विघटन झाल्याशिवाय अशी कोणतीही शक्यता नाही.

समीकरणाचे उदाहरणः

समीकरण सोडवा:

x 5 - x 4 \u003d 0

सामान्य घटक बाहेर काढा x 4 कंस पलीकडे. आम्ही मिळवा:

x 4 (x-1) \u003d 0

आम्ही मानतो की घटकांचे उत्पादन शून्याइतके असते जर आणि फक्त तर जेव्हा त्यापैकी कोणतेही शून्य असेल. जर शंका असेल तर मला दोन शून्य नसलेले अंक शोधा, जे शून्याने गुणाकार केल्यास शून्य मिळतील.) तर आम्ही लिहितो, प्रथम प्रथम घटकः

या समानतेसह, दुसरा घटक आपल्याला त्रास देत नाही. कोणीही असू शकते, तरीही, शेवटी, शून्य बाहेर येईल. आणि कोणती संख्या चौथ्या शक्तीला शून्य देईल? फक्त शून्य! आणि इतर नाही ... तर:

आम्ही प्रथम घटक शोधून काढला, आम्हाला एक मूळ सापडले. आम्ही दुसर्\u200dया घटकाचा सामना करतो. आता आम्हाला पहिल्या घटकाची काळजी नाही.):

म्हणून त्यांना एक उपाय सापडला: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1. यापैकी कोणतेही मूळ आपल्या समीकरणांना बसते.

खूप महत्त्वाचा मुद्दा. लक्षात घ्या आम्ही समीकरण सोडवले आहे थोड थोड करून! प्रत्येक घटक शून्याच्या बरोबर आहे. इतर घटकांकडे दुर्लक्ष करणे. तसे, जर अशा समीकरणात आपल्यासारखे दोन घटक नसतील तर तीन, पाच आपल्याला पाहिजे तितके आम्ही सोडवू समान. थोड थोड करून. उदाहरणार्थ:

(x-1) (x + 5) (x-3) (x + 2) \u003d 0

जो कोणी कंस उघडतो, सर्वकाही गुणाकार करतो तो कायमच या समीकरणावर टांगला जाईल.) उजवा विद्यार्थी त्वरित दिसेल की डाव्या बाजूला गुणाकार आणि उजवीकडे शून्य व्यतिरिक्त काही नाही. आणि सर्व ब्रॅकेट्स क्रमाने शून्य करण्यासाठी समान (मनाने!) सुरू होते. आणि (10 सेकंदात!) योग्य समाधान मिळवा. x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x 4 \u003d -2.

ग्रेट, राइट?) समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असल्यास असे मोहक समाधान शक्य आहे घटक संकेत स्पष्ट आहे?)

ठीक आहे, शेवटचे उदाहरण, सर्वात जुने):

समीकरण सोडवा:

मागील सारखे काहीतरी, आपण शोधू शकत नाही?) नक्कीच. हे लक्षात ठेवण्याची वेळ आली आहे की सातव्या-वर्गातील बीजगणितात, साइन, लॉगरिदम आणि इतर काहीही अक्षरेखाली लपवले जाऊ शकते! फॅक्टोरलायझेशन संपूर्ण गणितामध्ये कार्य करते.

सामान्य घटक बाहेर काढा lg 4 x कंस पलीकडे. आम्ही मिळवा:

lg 4 x \u003d 0

हे एक मूळ आहे. आम्ही दुसर्\u200dया घटकाचा सामना करतो.

येथे अंतिम उत्तर आहेः x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 10.

मला आशा आहे की आपणास अपूर्णांक सुलभ करण्यात आणि समीकरणांचे निराकरण करण्यात संपूर्ण शक्ती प्राप्त झाली असेल.)

या धड्यात, आम्ही सामान्य घटक आणि गटबद्धता काढून टाकली. हे संक्षिप्त गुणाकार आणि चौरस त्रिकोमासंबंधी सूत्रांशी संबंधित आहे.

आपल्याला ही साइट आवडत असल्यास ...

तसे, माझ्याकडे आपल्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

आपण उदाहरणे सोडविण्याचा सराव करू शकता आणि आपली पातळी शोधू शकता. त्वरित सत्यापनासह चाचणी घेत आहे. शिकत आहे - व्याजसह!)

आपण कार्ये आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

बीजगणितातील “बहुपदीय” आणि “बहुपदीय घटकांचे निर्धारण” या संकल्पना खूप सामान्य आहेत कारण मोठ्या बहुमूल्य संख्येसह गणना सहजपणे करण्यासाठी आपल्याला त्या माहित असणे आवश्यक आहे. हा लेख अनेक विघटन पद्धतींचे वर्णन करेल. हे सर्व वापरण्यास अगदी सोपे आहेत, आपल्याला प्रत्येक बाबतीत फक्त एक निवडण्याची आवश्यकता आहे.

बहुपदीय संकल्पना

बहुपद म्हणजे मोनोमियल्सची बेरीज, म्हणजेच फक्त गुणाकार ऑपरेशन असलेले अभिव्यक्ती.

उदाहरणार्थ, 2 * x * y एक मोनोमीयल आहे, परंतु 2 * x * y + 25 हे बहुपद आहे ज्यामध्ये 2 वाद्ये असतात: 2 * x * y आणि 25. अशा बहुपदांना बहुपदी म्हणतात.

कधीकधी, बहुमूल्य मूल्यांसह उदाहरणे सोडविण्याच्या सोयीसाठी, अभिव्यक्तीचे रूपांतरण आवश्यक असते, उदाहरणार्थ, अनेक घटकांमध्ये विघटित होते, म्हणजेच संख्या किंवा अभिव्यक्ती ज्यामध्ये गुणाकार होतो. बहुपदीचे घटक बनविण्याचे बरेच मार्ग आहेत. सर्वात आदिमपासून सुरू होण्याचा त्यांचा विचार करणे योग्य आहे, जे प्राथमिक ग्रेडमध्ये वापरले जाते.

गटबद्ध करणे (सामान्य रेकॉर्ड)

सर्वसाधारणपणे गटबद्ध पद्धतीद्वारे बहुपक्षीय गोष्टी बनविण्याचे सूत्र असे दिसते:

एसी + बीडी + बीसी + अ\u200dॅड \u003d (एसी + बीसी) + (जाहिरात + बीडी)

मोनोमियल्सचे गट करणे आवश्यक आहे जेणेकरून प्रत्येक गटात एक सामान्य घटक दिसून येईल. पहिल्या कंसात, हा घटक c आहे आणि दुस in्या मध्ये डी. हे ब्रॅकेट करण्यासाठी हे करणे आवश्यक आहे, त्याद्वारे गणना सुलभ करते.

विशिष्ट उदाहरणासाठी विघटन अल्गोरिदम

गटबद्ध करून बहुपक्षीय गोष्टी बनविण्याचे सर्वात सोपा उदाहरण खाली दिले आहे:

10ac + 14 बीसी - 25 ए \u200b\u200b- 35 बी \u003d (10 एसी - 25 ए) + (14 बीसी - 35 बी)

पहिल्या कंसात, आपल्याला फॅक्टर ए सह संज्ञा घेणे आवश्यक आहे, जे सामान्य असेल, आणि दुसर्\u200dयामध्ये फॅक्टर बी सह. चिन्हेकडे लक्ष द्या + आणि - तयार झालेल्या अभिव्यक्तीमध्ये. प्रारंभिक अभिव्यक्ती मध्ये असलेले चिन्ह आम्ही स्मारकासमोर ठेवले. म्हणजेच, आपल्याला अभिव्यक्ती 25 ए \u200b\u200bनसून अभिव्यक्ती -25 सह कार्य करण्याची आवश्यकता आहे. उणे चिन्ह जणू त्यामागील अभिव्यक्तीवर “चिकटलेले” असते आणि ते नेहमी गणनेत खात्यात घेतो.

पुढील चरणात, आपल्याला ब्रॅकेट बाहेर घटक जो सामान्य आहे, त्याचे घटक काढणे आवश्यक आहे. त्यासाठीच गटबाजी केली जाते. हे कंसात ठेवणे म्हणजे कंसात लिहिणे (गुणाकार वगळणे) कंसात असलेल्या सर्व अटींमध्ये परिपूर्णतेसह पुनरावृत्ती होणारे सर्व घटक. जर कंसात 2, परंतु 3 किंवा त्यापेक्षा जास्त अटी नसतील तर सामान्य घटक त्या प्रत्येकात असणे आवश्यक आहे, अन्यथा ते कंसातून काढले जाऊ शकत नाही.

आमच्या बाबतीत, कंसात केवळ 2 संज्ञा. सामान्य घटक त्वरित दिसून येतो. पहिल्या कंसात हे अ, दुस the्या मध्ये बी. येथे आपल्याला डिजिटल गुणांकांकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. पहिल्या कंसात, दोन्ही गुणांक (10 आणि 25) 5 चे गुणाकार आहेत. याचा अर्थ असा की केवळ एच नाही तर 5 ए देखील कंसातून बाहेर ठेवले जाऊ शकते. ब्रॅकेट समोर 5 ए लिहा आणि नंतर काढलेल्या सर्व घटकांमधून प्रत्येक संज्ञा कंसात विभागून घ्या आणि चिन्हे विसरत नाही आणि कंसात भागाकार देखील लिहा + आणि - दुसर्\u200dया कंसात असेच करा, 14 आणि 35 पासून 7 बी काढा. 7 चे एकाधिक.

10ac + 14 बीसी - 25 ए \u200b\u200b- 35 बी \u003d (10 एसी - 25 ए) + (14 बीसी - 35 बी) \u003d 5 ए (2 सी - 5) + 7 बी (2 सी - 5).

यात 2 अटीः 5 ए (2 सी - 5) आणि 7 बी (2 सी - 5) बाहेर आल्या. त्या प्रत्येकामध्ये एक सामान्य घटक असतो (कंसातील संपूर्ण अभिव्यक्ती येथे समान आहे, ज्याचा अर्थ हा एक सामान्य घटक आहे): 2 एस - It. हे कंसातून काढले जाणे देखील आवश्यक आहे, म्हणजेच 5 ए आणि 7 बी या शब्दाच्या दुसर्\u200dया ब्रॅकेटमध्ये राहतील:

5 ए (2 सी - 5) + 7 बी (2 सी - 5) \u003d (2 सी - 5) * (5 ए + 7 बी).

तर संपूर्ण अभिव्यक्ती अशीः

10ac + 14 बीसी - 25 ए \u200b\u200b- 35 बी \u003d (10 एसी - 25 ए) + (14 बीसी - 35 बी) \u003d 5 ए (2 सी - 5) + 7 बी (2 सी - 5) \u003d (2 सी - 5) * (5 ए + 7 बी).

अशाप्रकारे, बहुपद 10 एएस + 14 बीसी - 25 ए \u200b\u200b- 35 बी 2 घटकांमध्ये विघटित होते: (2 सी - 5) आणि (5 ए + 7 बी). रेकॉर्डिंग दरम्यान त्यांच्यात गुणाकार चिन्ह वगळता येऊ शकतो.

कधीकधी या प्रकारच्या अभिव्यक्ती आढळतात: 5 ए 2 + 50 ए 3, येथे आपण केवळ एक किंवा 5 ए नाही तर 5 ए 2 देखील कंसातून बाहेर ठेवू शकता. आपण नेहमीच सर्वात मोठा सामान्य घटक शोधण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे. आमच्या बाबतीत, आम्ही प्रत्येक संज्ञा सामान्य घटकात विभागल्यास, आम्हाला मिळते:

5 ए 2/5 ए 2 \u003d 1; 50 ए 3/5 ए 2 \u003d 10 ए (समान बेससह बर्\u200dयाच अंशांच्या भागाची गणना करताना, बेस संरक्षित केला जातो आणि घातांक वजा केले जाते) अशाप्रकारे, युनिट कंसात राहील (कोणत्याही बाबतीत आपण कंसात एक संज्ञा घेतल्यास युनिट लिहायला विसरू नका) आणि विभागातील भाग: 10 अ. बाहेर वळते की:

5 ए 2 + 50 ए 3 \u003d 5 ए 2 (1 + 10 ए)

स्क्वेअर सूत्रे

गणितांच्या सोयीसाठी अनेक सूत्रे काढली गेली. त्यांना संक्षिप्त गुणाकार सूत्र म्हणतात आणि बर्\u200dयाचदा वापरले जातात. हे सूत्र डिग्री असलेल्या बहुपदांवर घटकांना मदत करते. फॅक्टरिंगचा हा आणखी एक शक्तिशाली मार्ग आहे. तर ते येथे आहेत:

• a 2 + 2ab + b 2 \u003d (a + बी) 2 - सूत्र, ज्याला "बेरीजचा वर्ग" म्हणतात, चौकोनात विघटन झाल्यामुळे कंसात असलेल्या संख्यांची बेरीज होते, म्हणजेच या बेरीजचे मूल्य स्वतःच 2 वेळा गुणाकार होते, म्हणजे ते एक घटक आहे.
• a 2 + 2ab - बी 2 \u003d (अ - बी) 2 - फरकाच्या वर्गाचे सूत्र, ते मागील प्रमाणेच आहे. चौरस अंशामध्ये असलेले, कंसात बंद केलेले फरक.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b) - हे चौरसांच्या फरकाचे सूत्र आहे कारण बहुवार्षिक मध्ये प्रारंभी 2 चौरस असतात ज्यात संख्या किंवा भाव असतात ज्या दरम्यान वजाबाकी केली जाते. कदाचित, तीनपैकी नावे, बहुतेकदा वापरली जातात.

चौरस सूत्र वापरुन गणनाची उदाहरणे

त्यांच्यावरील गणना अगदी सोप्या पद्धतीने केल्या जातात. उदाहरणार्थ:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - "बेरीजचे वर्ग" सूत्र वापरा.
2. 25x 2 हे 5x अभिव्यक्तीचा वर्ग आहे. 20hu हे 2 * (5x * 2y) चे दुहेरी उत्पादन आहे आणि 4y 2 हे 2y चा वर्ग आहे.
3. अशाप्रकारे 25x 2 + 20xy + 4y 2 \u003d (5x + 2y) 2 \u003d (5x + 2y) (5x + 2y). हे बहुपद 2 घटकांमध्ये विघटित होते (घटक समान असतात, म्हणून ते चौरस शक्तीसह अभिव्यक्ती म्हणून लिहिले जाते).

फरकांच्या स्क्वेअरचे सूत्र वापरुन क्रिया या प्रमाणेच केल्या जातात. सूत्र म्हणजे चौरस फरक. या सूत्रांची उदाहरणे इतर अभिव्यक्तींमध्ये ओळखणे आणि शोधणे खूप सोपे आहे. उदाहरणार्थ:

• 25 ए 2 - 400 \u003d (5 ए - 20) (5 ए + 20). 25 ए 2 \u003d (5 ए) 2 आणि 400 \u003d 20 2 पासून
• 36x2 - 25 ए \u200b\u200b2 \u003d (6 एक्स - 5 आय) (6 एक्स + 5 ए). 36x 2 \u003d (6x) 2 आणि 25y 2 \u003d (5y 2) पासून
• एस 2 - 169 बी 2 \u003d (एस - 13 बी) (सी + 13 बी). 169 बी 2 पासून (13 बी) 2

हे महत्त्वाचे आहे की प्रत्येक पद एक अभिव्यक्तीचा वर्ग आहे. मग हे बहुपद चौरस फरक सूत्राद्वारे घटित होते. यासाठी, दुसरी पदवी संख्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक नाही. तेथे बहुपदरे आहेत ज्यात मोठ्या प्रमाणात अंश आहेत परंतु तरीही या सूत्रांसाठी योग्य आहेत.

अ 8 + 10 ए 4 +25 \u003d (एक 4) 2 + 2 * ए 4 * 5 + 5 2 \u003d (एक 4 +5) 2

या उदाहरणात, 8 चे प्रतिनिधित्व केले जाऊ शकते (एक 4) 2, म्हणजेच एका विशिष्ट अभिव्यक्तीचा वर्ग. 25 हे 5 2, आणि 10 ए 4 आहे - हे 2 * अ 4 * 5 अटींचे दुहेरी उत्पादन आहे. म्हणजेच, या अभिव्यक्ती, मोठ्या घटकासह डिग्रीचे अस्तित्व असूनही, नंतर त्यांच्याशी कार्य करण्यासाठी 2 घटकांमध्ये विघटित केले जाऊ शकते.

क्यूबस सूत्रे

चौकोनी तुकडे असलेल्या बहुपदी फॅक्टरिंग करण्यासाठी समान सूत्रे अस्तित्वात आहेत. चौरस असलेल्या लोकांपेक्षा ते थोडे अधिक क्लिष्ट आहेत:

• a 3 + बी 3 \u003d (ए + बी) (अ 2 - अब + बी 2) - या सूत्राला चौकोनांची बेरीज म्हटले जाते, कारण प्रारंभीच्या स्वरूपात बहुपद दोन घन किंवा जोडलेल्या संख्येची बेरीज असते.
• a 3 - बी 3 \u003d (अ - बी) (अ 2 + अब + बी 2) - मागील प्रमाणे समान सूत्र चौकोनी तुकड्यांच्या फरक म्हणून नियुक्त केले गेले आहे.
• अ 3 + 3 ए 2 बी + 3 एबी 2 + बी 3 \u003d (ए + बी) 3 - बेरीजचे घन, गणितांच्या परिणामी, संख्या किंवा भावांची बेरीज कंसात बंद केली जाते आणि स्वतःस 3 वेळा गुणाकार करते म्हणजेच घन मध्ये स्थित असते.
• ए 3 - 3 ए 2 बी + 3 एब 2 - बी 3 \u003d (अ - बी) 3 -आधीच्या गणितांशी संबंधित असलेल्या काही सूत्राच्या गणित क्रियांच्या (अधिक आणि वजाच्या बदलांसह) सादरीकरणाद्वारे तयार केलेले सूत्र, "फरक घन" असे म्हणतात.

शेवटची दोन सूत्रे बहुपक्षीय घटकांचा उपयोग करण्यासाठी व्यावहारिकपणे वापरली जात नाहीत, कारण ती जटिल आहेत आणि बहुतेक पूर्णपणे अशा संरचनेशी संबंधित आहेत बहुतेकदा या सूत्रांनुसार विघटित होऊ शकतात. परंतु आपल्याला अद्याप त्यांना माहित असणे आवश्यक आहे, कंस उघडताना - त्यांना विरुद्ध दिशेने क्रियांची आवश्यकता असेल.

घन फॉर्म्युला उदाहरणे

उदाहरणाचा विचार करा: 64 ए 3 - 8 बी 3 \u003d (4 ए) 3 - (2 बी) 3 \u003d (4 ए - 2 बी) ((4 ए) 2 + 4 ए * 2 बी + (2 बी) 2) \u003d (4 ए - 2 बी) (16 ए 2 + 8 बी + 4 बी 2) )

बर्\u200dयाच साध्या संख्या येथे घेतल्या आहेत, जेणेकरून आपण लगेच पाहू शकता की 64 ए 3 (4 ए) 3 आहे, आणि 8 बी 3 (2 बी) 3 आहे. अशाप्रकारे, हे बहुपद सूत्राप्रमाणे विघटित केले जाते, 2 घटकांद्वारे चौकोनांचे अंतर. चौकोनांच्या बेरजेच्या सूत्रानुसार कृती साधर्मितीने केली जाते.

हे समजून घेणे महत्वाचे आहे की सर्व बहुपदी किमान एका पद्धतीद्वारे विघटनक्षम नसतात. परंतु असे अभिव्यक्ती आहेत ज्यात चौरस किंवा घनपेक्षा जास्त अंश आहेत परंतु त्यांचे संक्षिप्त गुणाकार स्वरूपात देखील वाढविले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ: x 12 + 125y 3 \u003d (x 4) 3 + (5y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y) (x 4 + 5y) ( x 8 - 5x 4 वाई + 25 ए \u200b\u200b2).

या उदाहरणात 12 अंश आहेत. परंतु चौकोनांच्या बेरीजच्या सूत्राद्वारेदेखील त्याचे घटक काढणे शक्य आहे. हे करण्यासाठी, एक्स 12 म्हणून (x 4) 3, म्हणजेच काही अभिव्यक्तीचे घन म्हणून कल्पना करा. आता सूत्रात अ च्या ऐवजी ते बदलणे आवश्यक आहे. तर, 125u 3 हा अभिव्यक्ती 5u घन आहे. पुढे, सूत्रानुसार उत्पादन तयार करा आणि गणना करा.

सुरुवातीस किंवा शंका असल्यास आपण नेहमी उलट गुणाद्वारे तपासू शकता. आपल्याला केवळ परिणामी अभिव्यक्तीमधील कंस उघडणे आणि तत्सम शब्दांसह क्रिया करणे आवश्यक आहे. ही पद्धत सर्व सूचीबद्ध कपात पद्धतींवर लागू आहे: सामान्य घटक आणि गटबद्ध करणे आणि चौकोनी तुकडे आणि चौरस अंशांच्या सूत्रानुसार कृती करण्यासाठी.

बहुपदीय म्हणजे मोनोमियल्सची बेरीज होणारी अभिव्यक्ती. नंतरचे हे डिग्री (के) च्या अभिव्यक्तीच्या स्थिर (संख्या) आणि रूट (किंवा रूट्स) चे उत्पादन आहे. या प्रकरणात, आपण पदवी के च्या बहुपदीबद्दल बोलतो. बहुपद विघटित होण्यामध्ये अभिव्यक्तीचे रूपांतर होते ज्यामध्ये घटक घटकांद्वारे बदलले जातात. या प्रकारचे परिवर्तन करण्याच्या मुख्य मार्गांवर विचार करा.

एक सामान्य घटक काढून बहु-विघटन पद्धत

ही पद्धत वितरण कायद्याच्या नियमांवर आधारित आहे. तर, एमएन + एमके \u003d एम * (एन + के).

• उदाहरणः7y 2 + 2uy आणि 2 मी 3 - 12 मी 2 + 4 एलएम पसरवा.

7y 2 + 2uy \u003d y * (7y + 2u),

2 मी 3 - 12 मी 2 + 4 एलएम \u003d 2 मी (मी 2 - 6 मी + 2 एल).

तथापि, प्रत्येक बहुवार्षिकमध्ये आवश्यक असणारा घटक नेहमी आढळू शकत नाही, म्हणून ही पद्धत सार्वत्रिक नाही.

संक्षिप्त गुणाकारांच्या सूत्रावर आधारित बहुपद विघटन करण्याची पद्धत

संक्षिप्त गुणाकार सूत्र कोणत्याही डिग्रीच्या बहुपदीसाठी वैध आहेत. सर्वसाधारण भाषेत, अभिव्यक्ती यासारखे दिसते:

यूके - एलके \u003d (यू - एल) (यू के -१ + यू के -२ * एल + यू के-3 * एल २ + ... यू * एल के-२ + एल के -१), जिथे के प्राकृतिक संख्यांचे प्रतिनिधी आहे .

बर्\u200dयाचदा सराव मध्ये, दुसर्\u200dया आणि तिसर्\u200dया ऑर्डरच्या बहुपदांसाठी सूत्रे वापरली जातात:

यू 2 - एल 2 \u003d (यू - एल) (यू + एल),

यू 3 - एल 3 \u003d (यू - एल) (यू 2 + उल + एल 2),

यू 3 + एल 3 \u003d (यू + एल) (यू 2 - उल + एल 2).

• उदाहरणः25 पी 2 - 144 बी 2 आणि 64 मी 3 - 8 एल 3 पसरवा.

25 पी 2 - 144 बी 2 \u003d (5 पी - 12 बी) (5 पी + 12 बी),

64 मी 3 - 8 एल 3 \u003d (4 मी) 3 - (2 एल) 3 \u003d (4 मी - 2 एल) ((4 मी) 2 + 4 मीटर * 2 एल + (2 एल) 2) \u003d (4 मीटर - 2 एल) (16 मी 2 + 8 एमएल + 4 एल 2 )

बहुपद विघटन करण्याची पद्धत - अभिव्यक्तीच्या अटींचे गट करणे

ही पद्धत एक प्रकारे सामान्य घटक प्राप्त करण्याचे तंत्र प्रतिध्वनी करते, परंतु त्यामध्ये काही फरक आहेत. विशेषतः सामान्य घटक वाटप करण्यापूर्वी एखाद्याने मोनोमियल्सचे गट केले पाहिजेत. गटबद्ध करणे संयुक्त आणि तात्पुरते कायद्यांच्या नियमांवर आधारित आहे.

अभिव्यक्तीमध्ये प्रतिनिधित्व केलेले सर्व स्मारक गटांमध्ये विभागले गेले आहेत, त्या प्रत्येकामध्ये सामान्य मूल्य काढले गेले आहे की सर्व गटांमध्ये दुसरा घटक समान असेल. सर्वसाधारणपणे, अशीच विघटन करण्याची पद्धत अभिव्यक्ती म्हणून दर्शविली जाऊ शकते:

pl + केएस + केएल + पीएस \u003d (पीएल + पीएस) + (केएस + केएल) ⇒ पीएल + केएस + केएल + पीएस \u003d पी (एल + एस) + के (एल + एस),

pl + केएस + केएल + पीएस \u003d (पी + के) (एल + एस).

• उदाहरणः14 एमएन + 16 एलएन - 49 मी - 56 एल पसरला.

14 एमएन + 16 एलएन - 49 एम - 56 एल \u003d (14 एमएन - 49 मी) + (16 एलएन - 56 एल) \u003d 7 मी * (2 एन - 7) + 8 एल * (2 एन - 7) \u003d (7 मी + 8 एल) (2 एन - 7).

बहुपदीय विघटन पद्धत - पूर्ण चौरस निर्मिती

बहुपदीय सडण्याच्या दरम्यान ही पद्धत सर्वात प्रभावी आहे. सुरुवातीच्या टप्प्यात, फरक किंवा प्रमाणात चौरस मध्ये "संकुचित" होऊ शकतात अशा मोनोमेल्स निश्चित करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, एक प्रमाण वापरा:

(पी - बी) 2 \u003d पी 2 - 2 पीबी + बी 2,

• उदाहरणः यू 4 + 4u 2 - 1 चे भाव वाढवा.

चला त्याच्या स्मारकांमधे एक पूर्ण वर्ग तयार करणार्\u200dया संज्ञा एकत्रित करूयाः u 4 + 4u 2 - 1 \u003d u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d

\u003d (यू 4 + 2 * 2 यू 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (यू 4 + 2 * 2 यू 2 + 4) - 5.

संक्षेपित गुणाकाराचे नियम वापरून परिवर्तन पूर्ण करा: (यू 2 + 2) 2 - 5 \u003d (यू 2 + 2 - √5) (यू 2 + 2 + √5).

टी.ओ. u 4 + 4u 2 - 1 \u003d (यू 2 + 2 - √5) (यू 2 + 2 + √5).

बहुपदांचे गुणाकार लक्षात घेता, आम्हाला अनेक सूत्रे आठवते, ती म्हणजे: (a + b) for, (a - b) for, (a + b) (a - b), (a + b) ³ साठी आणि (अ - ब).

जर हा बहुपद यापैकी एका सूत्रानुसार जुळत असेल तर त्याचे घटक बनविणे शक्य होईल. उदाहरणार्थ, बहुपक्षीय a² - 2ab + b², आपल्याला माहित आहे की (a - b) equal [किंवा (a - b) to (a - b) च्या बरोबरी आहे, म्हणजे, a² - 2ab + b² मध्ये 2 घटकांमध्ये भाग करणे शक्य होते]; देखील

या उदाहरणांपैकी दुसरे उदाहरण घ्या. आपल्याला दिलेले बहुपद, दोन संख्यांमधील फरक (प्रथम क्रमांकाचा वर्ग, पहिल्या संख्येने व दुसर्\u200dया क्रमांकाचे दोनचे गुण वजा) व दुसर्\u200dया क्रमांकाचे चौरस मिळवून दिलेल्या सूत्रापर्यंत पोहोचला आहे: x 6 प्रथम संख्येचा वर्ग आहे, आणि म्हणून , प्रथम क्रमांक स्वतः x 3 आहे, दुसर्\u200dया क्रमांकाचा वर्ग दिलेल्या बहुपदांचा शेवटचा सदस्य आहे, म्हणजेच 1, दुसरा क्रमांक स्वतःच आहे, म्हणूनच 1; पहिल्या क्रमांकाद्वारे आणि दुसर्\u200dयाचे गुणांक –2x 3 असा आहे, कारण 2x 3 \u003d 2 · x 3 · 1. म्हणून आपला बहुपद x 3 आणि 1 या संख्येचा फरक वर्ग करून प्राप्त केला जातो, म्हणजेच ते x (3) - 12. दुसरे चौथे उदाहरण विचारात घ्या. आम्ही पाहतो की हा बहुपक्षीय 2 बी 2 - 25 हा दोन संख्यांच्या वर्गांचा फरक मानला जाऊ शकतो, म्हणजे पहिल्या क्रमांकाचा वर्ग 2 बी 2 आहे, म्हणूनच प्रथम क्रमांक अब्ज आहे, दुसर्\u200dया क्रमांकाचा वर्ग 25 आहे, तर दुसरा क्रमांक स्वत: का आहे 5. आहे. म्हणून आपला बहुपद त्यांच्या संख्येच्या फरकाने दोन संख्यांची बेरीज केल्यापासून प्राप्त केला जाऊ शकतो,

(ab + 5) (अब - 5).

कधीकधी असे होते की या बहुवार्षिकमध्ये सदस्य आपल्या वापरण्याच्या क्रमाने नसतात, उदाहरणार्थ.

9 ए 2 + बी 2 + 6 एबी - मानसिकदृष्ट्या आम्ही दुसरी आणि तिसरी संज्ञा पुनर्संचयित करू शकतो आणि नंतर आपल्या त्रिकोणाकृती \u003d (3 अ + बी) 2 चे स्पष्टीकरण होईल.

... (प्रथम आणि द्वितीय सदस्यांचे मानसिकरित्या पुनर्रचना करा).

25 ए 6 + 1 - 10 एक्स 3 \u003d (5 एक्स 3 - 1) 2 इ.

आणखी एक बहुपदी विचार करा

a 2 + 2ab + 4b 2.

आम्ही पाहतो की पहिली संज्ञा a चा वर्ग आहे आणि तिसरे संज्ञेचा वर्ग 2 बी आहे परंतु दुसरे पद पहिल्या क्रमांकाचे आणि दुसर्\u200dयाचे दोनचे उत्पादन नाही - असे उत्पादन 2 · a · 2b \u003d 4ab असेल. म्हणून, या बहुपदात दोन संख्यांच्या बेरीजच्या वर्गाचे सूत्र लागू करणे अशक्य आहे. जर एखाद्याने असे लिहिले आहे की 2 + 2ab + 4 बी 2 \u003d (ए + 2 बी) 2, तर हे चुकीचे असेल - आपण सूत्राद्वारे फॅक्टरिझेशन लागू करण्यापूर्वी आपण बहुपदांच्या सर्व अटींचा काळजीपूर्वक विचार केला पाहिजे.

40. दोन्ही तंत्रांचे संयोजन. बहुतेक वेळा बहुपत्नीय गोष्टी बनवताना, आपल्याला सामान्य घटक कंसातून बाहेर ठेवण्याचे तंत्र आणि सूत्र लागू करण्याचे तंत्र एकत्र केले पाहिजे. येथे काही उदाहरणे दिली आहेत:

1.2 ए 3 - 2 एब 2. सामान्य घटक 2 ए ला प्रथम कंसात ठेवून आपल्याला 2 ए (ए 2 - बी 2) मिळेल. घटक अ 2 - बी 2, परिणामी सूत्राद्वारे घटक (ए + बी) आणि (ए - बी) मध्ये घटक बनविला जातो.

कधीकधी आपल्याला सूत्रासाठी विघटन तंत्र वारंवार वापरावे लागते:

1.ए 4 - बी 4 \u003d (ए 2 + बी 2) (ए 2 - बी 2)

आम्ही पाहतो की पहिला घटक 2 + बी 2 परिचित कोणत्याही सूत्रामध्ये बसत नाही; शिवाय प्रभागातील विशेष प्रकरणे (कलम 37 37) लक्षात ठेवून आपण हे सिद्ध केले की २ + बी २ (दोन संख्यांच्या वर्गांची बेरीज) मुळीच पटत नाही. प्राप्त केलेल्या घटकांपैकी दुसरा 2 - बी 2 (दोन संख्यांच्या वर्गानुसार फरक) घटकित (ए + बी) आणि (ए - बी) आहे. तर,

41. प्रभागातील विशेष प्रकरणांचा अर्ज. परिच्छेद on 37 च्या आधारे आपण त्वरित ते लिहू शकतो, उदाहरणार्थ,