संबंधित कोन बरोबर आहेत. दोन रेषांच्या समांतरतेची चिन्हे

रेषा c ला a आणि b समांतर रेषांना छेदू द्या. यामुळे आठ कोपरे तयार होतात. समांतर रेषेवरील कोन आणि सेकंट हे समस्यांमध्ये इतके वापरले जातात की त्यांना भूमितीमध्ये विशेष नावे दिली जातात.

कोपरा 1 आणि 3 - उभ्यासाहजिकच, अनुलंब कोन समान आहेत,ते आहे
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

अर्थात, कोन 5 आणि 7, 6 आणि 8 देखील अनुलंब आहेत.

कोपरा 1 आणि 2 - संबंधित, आम्हाला हे आधीच माहित आहे. समीप कोनांची बेरीज 180º आहे.

कोन 3 आणि 5 (तसेच 2 आणि 8, 1 आणि 7, 4 आणि 6) आडव्या दिशेने पडलेले आहेत. क्रॉस-लींग कोन समान आहेत.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

कोपरा 1 आणि 6 - एकतर्फीते संपूर्ण "बांधकाम" च्या एका बाजूला पडलेले आहेत. कोन 4 आणि 7 देखील एकतर्फी आहेत. एकतर्फी कोनांची बेरीज 180° आहे, ते आहे
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

कोन 2 आणि 6 (तसेच 3 आणि 7, 1 आणि 5, 4 आणि 8) म्हणतात. संबंधित.

संबंधित कोन आहेत, ते आहे
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

कोन 3 आणि 5 (तसेच 2 आणि 8, 1 आणि 7, 4 आणि 6) म्हणतात. आडवे पडलेले.

क्रॉसवाईज कोन समान आहेत, ते आहे
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

ही सर्व तथ्ये USE समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी लागू करण्यासाठी, एखाद्याने त्यांना रेखाचित्रावर पाहणे शिकले पाहिजे. उदाहरणार्थ, समांतरभुज चौकोन किंवा समलंब चौकोन पाहता, समांतर रेषांची जोडी आणि सेकंट, तसेच एकतर्फी कोन दिसू शकतात. समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण रेखाटल्यानंतर, आपल्याला पडलेले कोन क्रॉसवाईज दिसतात. हे उपाय तयार करणार्‍या चरणांपैकी एक आहे.

1. समांतरभुज चौकोनाच्या स्थूल कोनाचा दुभाजक विरुद्ध बाजूस 3:4 च्या गुणोत्तराने विभाजित करतो, स्थूल कोनाच्या शिरोबिंदूपासून मोजतो. समांतरभुज चौकोनाची परिमिती 88 असल्यास त्याची सर्वात लांब बाजू शोधा.

आठवा की कोनाचा दुभाजक हा कोनाच्या शिरोबिंदूतून बाहेर पडणारा आणि कोनाला अर्ध्या भागात विभागणारा किरण आहे.

BM हा स्थूल कोन B चा दुभाजक असू द्या. स्थितीनुसार, MD आणि AB हे खंड अनुक्रमे 3x आणि 4x इतके आहेत.

SVM आणि VMA या कोनांचा विचार करा. AD आणि BC समांतर असल्याने, BM एक सेकंट आहे, CBM आणि BMA हे कोन क्रॉसवाईज आहेत. आपल्याला माहित आहे की छेदणारे कोन समान आहेत. म्हणून, त्रिकोण AVM समद्विभुज आहे, म्हणून, AB = AM = 4x.

समांतरभुज चौकोनाची परिमिती ही त्याच्या सर्व बाजूंची बेरीज असते, म्हणजे
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
म्हणून x = 4, 7x = 28.

2. समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण त्याच्या दोन बाजूंसह 26º आणि 34º कोन बनवतो. समांतरभुज चौकोनाचा सर्वात मोठा कोन शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या.

समांतरभुज चौकोन आणि त्याचा कर्ण काढा. रेखांकनातील क्रॉस-लींग कोन आणि एकतर्फी कोन लक्षात घेतल्यास, तुम्हाला सहजपणे उत्तर मिळेल: 120º.

3. विरुद्ध कोनांमधील फरक 50º आहे हे ज्ञात असल्यास समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचा सर्वात मोठा कोन कोणता आहे? तुमचे उत्तर अंशात द्या.

ते आम्हाला माहीत आहे समद्विभुज(किंवा समद्विभुज) याला ट्रॅपेझॉइड म्हणतात, ज्याच्या बाजू समान असतात. म्हणून, वरच्या पायथ्यावरील कोन समान आहेत, तसेच खालच्या पायथ्यावरील कोन आहेत.

चला रेखाचित्र पाहू. नियमानुसार, α - β = 50°, म्हणजेच α = β + 50°.

कोन α आणि β हे समांतर रेषांसह एकतर्फी आहेत आणि सेकंट आहेत, म्हणून,
α + β = 180°.

तर 2β + 50° = 180°
β = 65°, नंतर α = 115°.

उत्तर: 115.

EGE-अभ्यास » अध्यापन साहित्य » भूमिती: शून्य ते C4 » उंची, मध्यक, त्रिकोणाचे दुभाजक

दोन रेषांच्या समांतरतेची चिन्हे

प्रमेय 1. जर सेकंटच्या दोन ओळींच्या छेदनबिंदूवर असेल तर:

तिरपे पडलेले कोन समान आहेत, किंवा

संबंधित कोन समान आहेत, किंवा

तर एकतर्फी कोनांची बेरीज 180° आहे

रेषा समांतर आहेत(आकृती क्रं 1).

पुरावा. आम्ही स्वतःला केस १ च्या पुराव्यापुरते मर्यादित ठेवतो.

समजा रेषा a आणि b च्या छेदनबिंदूवर AB द्वारे ओलांडलेले कोन समान आहेत. उदाहरणार्थ, ∠ 4 = ∠ 6. आपण सिद्ध करूया की a || b

समजा की a आणि b रेषा समांतर नाहीत. नंतर ते काही M बिंदूला छेदतात आणि परिणामी, 4 किंवा 6 पैकी एक कोन ABM त्रिकोणाचा बाह्य कोन असेल. निश्चिततेसाठी, ∠ 4 हा ABM त्रिकोणाचा बाह्य कोपरा असू द्या आणि ∠ 6 हा आतील कोपरा असू द्या. त्रिकोणाच्या बाह्य कोनावरील प्रमेयावरून असे दिसून येते की ∠ 4 हा ∠ 6 पेक्षा मोठा आहे, आणि हे या स्थितीला विरोध करते, म्हणजे रेषा a आणि 6 एकमेकांना छेदू शकत नाहीत, म्हणून त्या समांतर आहेत.

परिणाम १. एकाच रेषेला लंब असलेल्या विमानातील दोन भिन्न रेषा समांतर असतात(चित्र 2).

टिप्पणी. प्रमेय 1 चे केस 1 ज्या पद्धतीने आपण सिद्ध केले त्याला विरोधाभास किंवा मूर्खपणा कमी करून पुराव्याची पद्धत म्हणतात. या पद्धतीला त्याचे पहिले नाव मिळाले कारण तर्काच्या सुरुवातीला, एक गृहितक केले जाते जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे त्याच्या विरुद्ध (विरुद्ध) आहे. याला निरर्थकता कमी करणे असे म्हणतात कारण, केलेल्या गृहीतकाच्या आधारे वाद घालत आपण एका मूर्खपणाच्या निष्कर्षापर्यंत पोहोचतो (मूर्खपणा). असा निष्कर्ष प्राप्त केल्याने आपण सुरुवातीला केलेले गृहितक नाकारण्यास आणि सिद्ध करणे आवश्यक असलेले गृहितक स्वीकारण्यास भाग पाडतो.

कार्य १.दिलेल्या बिंदू M मधून जाणारी रेषा तयार करा आणि दिलेल्या रेषेला a समांतर करा, M बिंदूमधून न जात.

उपाय. आपण बिंदू M मधून रेषा a (Fig. 3) ला लंब एक रेषा काढतो.

मग आपण रेषेला p रेषेच्या लंब M बिंदूमधून b रेषा काढतो. प्रमेय 1 च्या परिणामानुसार रेषा b ही रेषा a ला समांतर आहे.

विचारात घेतलेल्या समस्येवरून एक महत्त्वपूर्ण निष्कर्ष खालीलप्रमाणे आहे:
दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूद्वारे, एखादी व्यक्ती नेहमी दिलेल्या रेषेच्या समांतर रेषा काढू शकते..

समांतर रेषांचा मुख्य गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहे.

समांतर रेषांचे स्वयंसिद्ध. दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या दिलेल्या बिंदूद्वारे, दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त एक रेषा असते.

या स्वयंसिद्धातून येणाऱ्या समांतर रेषांच्या काही गुणधर्मांचा विचार करा.

1) जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एका रेषेला छेदत असेल तर ती दुसर्‍याला छेदते (चित्र 4).

2) जर दोन वेगवेगळ्या रेषा तिसऱ्या रेषेच्या समांतर असतील तर त्या समांतर असतात (चित्र 5).

खालील प्रमेय देखील सत्य आहे.

प्रमेय 2. जर दोन समांतर रेषा एका सेकंटने ओलांडल्या तर:

पडलेले कोन समान आहेत;

संबंधित कोन समान आहेत;

एकतर्फी कोनांची बेरीज 180° आहे.

परिणाम 2. जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एका रेषेला लंब असेल तर ती दुसऱ्या रेषेला देखील लंब असते.(चित्र 2 पहा).

टिप्पणी. प्रमेय 2 ला प्रमेय 1 चा व्युत्क्रम म्हणतात. प्रमेय 1 चा निष्कर्ष प्रमेय 2 ची स्थिती आहे. आणि प्रमेय 1 ची स्थिती प्रमेय 2 चा निष्कर्ष आहे. प्रत्येक प्रमेयाला व्युत्क्रम नसतो, म्हणजे दिलेले प्रमेय खरे असल्यास, तर व्यस्त प्रमेय खोटा असू शकतो.

उभ्या कोनांवर प्रमेयाच्या उदाहरणाने हे स्पष्ट करू. हे प्रमेय खालीलप्रमाणे तयार केले जाऊ शकते: जर दोन कोन उभे असतील तर ते समान असतील. व्यस्त प्रमेय असे असेल: जर दोन कोन समान असतील तर ते अनुलंब आहेत. आणि हे अर्थातच खरे नाही. दोन समान कोन अजिबात उभे असण्याची गरज नाही.

उदाहरण १दोन समांतर रेषा तिसऱ्याने ओलांडल्या आहेत. हे ज्ञात आहे की दोन अंतर्गत एकतर्फी कोनांमधील फरक 30° आहे. ते कोन शोधा.

उपाय. आकृती 6 अट पूर्ण करू द्या.

प्रश्न 1.कोणत्या कोनांना समीप म्हणतात?
उत्तर द्या.दोन कोनांची एक बाजू सामाईक असल्यास त्यांना समीप म्हटले जाते आणि या कोनांच्या इतर बाजू पूरक अर्ध-रेषा आहेत.
आकृती 31 मध्ये, कोपरे (a 1 b) आणि (a 2 b) समीप आहेत. त्यांची एक सामान्य बाजू b आहे आणि बाजू a 1 आणि a 2 अतिरिक्त अर्ध-रेषा आहेत.

प्रश्न २.समीप कोनांची बेरीज 180° आहे हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या. प्रमेय 2.1.समीप कोनांची बेरीज 180° आहे.
पुरावा.कोन (a 1 b) आणि कोन (a 2 b) यांना समीप कोन द्या (चित्र 31 पहा). बीम b विकसित कोनाच्या 1 आणि 2 बाजूंच्या दरम्यान जातो. म्हणून, कोनांची बेरीज (a 1 b) आणि (a 2 b) विकसित कोनाशी समान आहे, म्हणजे 180 °. Q.E.D.

प्रश्न 3.दोन कोन समान असतील तर त्यांना लागून असलेले कोन देखील समान आहेत हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या.

प्रमेय पासून 2.1 हे खालीलप्रमाणे आहे की जर दोन कोन समान असतील तर त्यांना लागून असलेले कोन समान असतील.
समजा कोन (a 1 b) आणि (c 1 d) समान आहेत. आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की कोन (a 2 b) आणि (c 2 d) देखील समान आहेत.
समीप कोनांची बेरीज 180° आहे. यावरून पुढे येते की a 1 b + a 2 b = 180° आणि c 1 d + c 2 d = 180°. म्हणून, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b आणि c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. कोन (a 1 b) आणि (c 1 d) समान असल्याने, आपल्याला a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d मिळेल. समान चिन्हाच्या संक्रमणाच्या गुणधर्मानुसार, ते खालीलप्रमाणे आहे की a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

प्रश्न 4.कोणत्या कोनाला उजवा (तीव्र, स्थूल) म्हणतात?
उत्तर द्या.९०° च्या बरोबरीच्या कोनाला काटकोन म्हणतात.
90° पेक्षा कमी कोनाला तीव्र कोन म्हणतात.
90° पेक्षा जास्त आणि 180° पेक्षा कमी कोनाला ओबटस कोन म्हणतात.

प्रश्न 5.काटकोनाला लागून असलेला कोन काटकोन आहे हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या.समीप कोनांच्या बेरजेवरील प्रमेयावरून असे दिसून येते की काटकोनाला लागून असलेला कोन काटकोन आहे: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

प्रश्न 6.उभ्या कोन काय आहेत?
उत्तर द्या.एका कोनाच्या बाजू दुसर्‍या बाजूंच्या पूरक अर्ध्या रेषा असतील तर दोन कोनांना उभ्या म्हणतात.

प्रश्न 7.उभे कोन समान आहेत हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या. प्रमेय 2.2. अनुलंब कोन समान आहेत.
पुरावा.(a 1 b 1) आणि (a 2 b 2) यांना अनुलंब कोन द्या (चित्र 34). कोपरा (a 1 b 2) कोपऱ्याला लागून आहे (a 1 b 1) आणि कोपरा (a 2 b 2). म्हणून, समीप कोनांच्या बेरजेवरील प्रमेयाद्वारे, आपण असा निष्कर्ष काढतो की प्रत्येक कोन (a 1 b 1) आणि (a 2 b 2) कोन (a 1 b 2) 180° ला पूरक आहे, म्हणजे. कोन (a 1 b 1) आणि (a 2 b 2) समान आहेत. Q.E.D.

प्रश्न 8.दोन रेषांच्या छेदनबिंदूवर एक कोन काटकोन असेल तर इतर तीन कोन देखील काटकोन आहेत हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या. AB आणि CD रेषा O बिंदूवर एकमेकांना छेदतात असे गृहीत धरा. AOD हा कोन 90° आहे असे गृहीत धरा. समीप कोनांची बेरीज 180° असल्याने, आम्हाला ते AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90° मिळते. COB कोन AOD कोनाला अनुलंब आहे, म्हणून ते समान आहेत. म्हणजेच, कोन COB = 90°. COA BOD च्या अनुलंब आहे, म्हणून ते समान आहेत. म्हणजेच कोन BOD = 90°. अशा प्रकारे, सर्व कोन 90 ° समान आहेत, म्हणजेच ते सर्व बरोबर आहेत. Q.E.D.

प्रश्न 9.कोणत्या रेषांना लंब म्हणतात? रेषांचा लंब दर्शविण्यासाठी कोणते चिन्ह वापरले जाते?
उत्तर द्या.जर दोन रेषा काटकोनात छेदतात तर त्यांना लंब म्हणतात.
रेषांची लंबकता \(\perp\) द्वारे दर्शविली जाते. एंट्री \(a\perp b\) वाचते: "रेषा a रेषा b ला लंब आहे".

प्रश्न 10.हे सिद्ध करा की रेषेच्या कोणत्याही बिंदूतून एखादी रेषा लंबवत काढू शकते आणि फक्त एक.
उत्तर द्या. प्रमेय 2.3.प्रत्येक रेषेद्वारे, आपण त्यास लंब एक रेषा काढू शकता आणि फक्त एक.
पुरावा.एक दिलेली ओळ असू द्या आणि A वर दिलेला बिंदू असू द्या. प्रारंभिक बिंदू A (चित्र 38) सह सरळ रेषेद्वारे अर्ध्या रेषांपैकी 1 द्वारे दर्शवा. अर्ध्या रेषेपासून एक 1 कोन (a 1 b 1) 90 ° च्या समान बाजूला ठेवा. नंतर किरण b 1 असलेली रेषा अ रेषेला लंब असेल.

असे गृहीत धरा की आणखी एक रेषा आहे जी बिंदू A मधून देखील जाते आणि a रेषेला लंब आहे. किरण b 1 सह समान अर्ध्या समतलात असलेल्या या रेषेची अर्धी रेषा c 1 ने दर्शवा.
कोन (a 1 b 1) आणि (a 1 c 1), प्रत्येकी 90° च्या समान, अर्ध-रेषा a 1 पासून एका अर्ध्या समतलात मांडले आहेत. परंतु अर्ध-रेषेपासून 1, 90° एवढा एकच कोन या अर्ध्या विमानात बाजूला ठेवता येतो. म्हणून, बिंदू A मधून जाणारी आणि a रेषेला लंब असलेली दुसरी रेषा असू शकत नाही. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

प्रश्न 11.रेषेला लंब म्हणजे काय?
उत्तर द्या.दिलेल्या रेषेला लंब हा दिलेल्या रेषेला लंब असलेला रेषाखंड असतो, ज्याचे एक टोक त्यांच्या छेदनबिंदूवर असते. विभागाच्या या टोकाला म्हणतात आधारलंब.

प्रश्न १२.विरोधाभासाने पुरावा काय आहे ते स्पष्ट करा.
उत्तर द्या.प्रमेय २.३ मध्ये आपण वापरलेल्या पुराव्याच्या पद्धतीला विरोधाभासाने पुरावा म्हणतात. पुराव्याच्या या पद्धतीमध्ये आपण प्रथम प्रमेयाने जे सांगितले आहे त्याच्या विरुद्ध गृहीत धरतो. मग, तर्क करून, स्वयंसिद्ध आणि सिद्ध प्रमेयांवर विसंबून, आपण अशा निष्कर्षाप्रत पोहोचतो जो प्रमेयच्या स्थितीचा, किंवा स्वयंसिद्धांपैकी एकाचा किंवा पूर्वी सिद्ध झालेल्या प्रमेयांचा विरोध करतो. या आधारावर, आम्ही निष्कर्ष काढतो की आमची धारणा चुकीची होती, याचा अर्थ प्रमेयाचे प्रतिपादन खरे आहे.

प्रश्न १३.कोन दुभाजक म्हणजे काय?
उत्तर द्या.कोनाचा दुभाजक हा एक किरण आहे जो कोनाच्या शिरोबिंदूपासून येतो, त्याच्या बाजूंमधून जातो आणि कोन अर्ध्यामध्ये विभाजित करतो.