एक त्रिकोण ज्यामध्ये सर्व कोपरे तीक्ष्ण असतात. त्रिकोण, कोन आणि बाजूंचे प्रकार
आच्छादित केले जाऊ शकते तर दोन त्रिकोण समान असल्याचे म्हटले जाते. आकृती 1 समान त्रिकोण एबीसी आणि ए 1 बी 1 सी 1 दर्शवते. यापैकी प्रत्येक त्रिकोण दुसर्\u200dया बाजूला सुपरइम्पोज केला जाऊ शकतो जेणेकरून ते पूर्णपणे संरेखित केले जातील, म्हणजेच त्यांच्या उत्कृष्ट आणि बाजू जोड्यांमध्ये जोडल्या जातील. हे स्पष्ट आहे की या प्रकरणात या त्रिकोणाचे कोन जोड्यांमध्ये एकत्र केले जातील.
अशा प्रकारे, जर दोन त्रिकोण समान असतील तर एका त्रिकोणाचे घटक (म्हणजेच, बाजू आणि कोन) अनुक्रमे दुसर्\u200dया त्रिकोणाच्या घटकांसारखे असतात. लक्षात ठेवा की अनुक्रमे समान बाजूंच्या विरूद्ध समान त्रिकोणात (म्हणजे आच्छादित करणे) समान कोन आहेत, आणि परत: समान बाजू समान कोनाच्या उलट असतात.
तर, उदाहरणार्थ, एबीसी आणि ए 1 बी 1 सी 1 समान त्रिकोणामध्ये, अनुक्रमे एबी आणि ए 1 बी 1 च्या समांतर बाजू, अनुक्रमे 1 आणि सी 1 मध्ये समान कोन आहेत. त्रिकोण एबीसी आणि А 1 В 1 С 1 ची समानता खालीलप्रमाणे दर्शविली जाईल: BC एबीसी \u003d Δ А 1 В 1 С 1. हे सिद्ध होते की दोन त्रिकोणांची समानता त्यांच्या काही घटकांची तुलना करून स्थापित केली जाऊ शकते.
प्रमेय 1. त्रिकोणांच्या समानतेचे पहिले चिन्ह. जर दोन बाजू आणि एका त्रिकोणाच्या दरम्यानचे कोन अनुक्रमे दोन बाजूंच्या आणि दुसर्या त्रिकोणाच्या दरम्यानचे कोन असेल तर असे त्रिकोण समान आहेत (चित्र 2).
पुरावा. एबीसी आणि ए 1 बी 1 सी 1 त्रिकोणांचा विचार करा, ज्यासाठी एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1 ∠ ए \u003d ∠ ए 1 (चित्र 2 पहा.) आपण हे सिद्ध करूया की Δ एबीसी \u003d Δ ए 1 बी 1 सी 1.
∠ ए \u003d ∠ ए १ असल्याने, त्रिकोणी एबीसी त्रिकोणावर अ १ बी बी १ सी १ वर अंकित केले जाऊ शकते जेणेकरुन अ A शिरोबिंदू A 1 बी 1 आणि A 1 से रे वर अनुक्रमे ए आणि बी ओव्हरलॅप होईल. 1 एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1 असल्याने एबी बाजू ए 1 बी 1 बाजू आणि एसी बाजू ए 1 सी 1 बाजूने संरेखित केली जाईल; विशेषतः, बिंदू बी आणि बी 1, सी आणि सी 1 एकत्र केले जातील. परिणामी, बीसी आणि बी 1 सी 1 च्या बाजू एकत्र केल्या जातील. तर, एबीसी आणि ए 1 बी 1 सी 1 त्रिकोण पूर्णपणे सुसंगत आहेत, म्हणजेच ते समान आहेत.
प्रमेय 2 सुपरपोजिशन पद्धतीने त्याच प्रकारे सिद्ध केले गेले आहे.
प्रमेय 2. त्रिकोणांच्या समानतेचे दुसरे चिन्ह. जर एका त्रिकोणाची बाजू आणि दोन संलग्न कोन अनुक्रमे बाजूच्या आणि दुसर्\u200dया त्रिकोणाच्या दोन समीप कोन असतील तर अशा त्रिकोण समान आहेत (चित्र 34).
टिप्पणी. प्रमेय 2 चा वापर प्रमेय 3 स्थापित करण्यासाठी केला जातो.
प्रमेय 3. त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन आंतरिक कोनांची बेरीज 180 180 पेक्षा कमी आहे.
प्रमेय 4 शेवटच्या प्रमेय पासून खालीलप्रमाणे.
प्रमेय 4.. त्रिकोणाचे बाह्य कोन त्याच्या जवळ नसलेल्या कोणत्याही अंतर्गत कोनापेक्षा मोठे आहे.
प्रमेय 5. त्रिकोणांच्या समानतेचे तिसरे चिन्ह. जर एका त्रिकोणाच्या तीन बाजू दुसर्\u200dया त्रिकोणाच्या तीन बाजूंच्या अनुक्रमे असतील तर अशा त्रिकोण समान () असतात.
उदाहरण १. त्रिकोणांमध्ये एबीसी आणि डीईएफ (अंजीर 4)
∠ ए \u003d ∠ ई, एबी \u003d 20 सेमी, एसी \u003d 18 सेमी, डीई \u003d 18 सेमी, ईएफ \u003d 20 सेमी. त्रिकोण एबीसी आणि डीईएफची तुलना करा. कोन बी बरोबर त्रिकोण डीईएफ मधील कोन काय आहे?
निर्णय. पहिल्या गुणधर्मात हे त्रिकोण समान आहेत. त्रिकोण डीईएफचे कोन एफ त्रिकोण एबीसीच्या कोन बीच्या बरोबरीचे आहे, कारण हे कोन परस्पर समांतर बाजूंच्या डीई आणि एसीच्या विरूद्ध असतात.
उदाहरण 2. सेगमेंट्स एबी आणि सीडी (चित्र 5) बिंदू ओ वर छेदतात, जे त्या प्रत्येकाच्या मध्यभागी आहे. लेग एसी 6 मीटर असल्यास लेग बीडी म्हणजे काय?
निर्णय.
एओसी आणि बीओडी त्रिकोण समान आहेत (पहिल्या निकषानुसार): एओसी \u003d ∠ बीओडी (अनुलंब), एओ \u003d ओव्ही, सीओ \u003d ओडी (स्थितीनुसार).
या त्रिकोणांची समानता त्यांच्या बाजूंची समानता दर्शवते, म्हणजेच एसी \u003d बीडी. परंतु एसी \u003d 6 मीटर अटनुसार बीडी \u003d 6 मी.
त्रिकोण - व्याख्या आणि सामान्य संकल्पना
त्रिकोण हा एक साधा बहुभुज आहे ज्याचे तीन बाजू आणि समान कोन आहेत. त्याची विमाने 3 गुण आणि 3 रेखा विभागांद्वारे मर्यादित आहेत ज्यायोगे हे बिंदू जोड्या बनतात.
कोणत्याही त्रिकोणाचे सर्व शिरोबिंदू, कोणतेही प्रकार न घेता, कॅपिटल लॅटिन अक्षराद्वारे डिझाइन केले जातात आणि त्या बाजूच्या बाजूंना विपरीत अक्षांच्या संबंधित पदनामांद्वारे दर्शविले जाते, केवळ मोठ्या अक्षरेच नव्हे तर लहान असतात. तर, उदाहरणार्थ, ए, बी आणि सी अक्षरे द्वारे नियुक्त केलेल्या शिरोबिंदूसह त्रिकोणात ए, बी, सी आहेत.
जर आपण युक्लिडियन अवकाशातील त्रिकोणाचा विचार केला तर ही एक भौमितिक आकृती आहे जी एका सरळ रेषेत न पडणा .्या तीन बिंदूंना जोडणार्\u200dया तीन विभागांच्या मदतीने तयार केली गेली.
वरील आकृती बारकाईने पहा. त्यावर, बिंदू A, B आणि C या त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत आणि त्याचे विभाग त्रिकोणाच्या बाजूंना म्हणतात. या बहुभुजातील प्रत्येक शिरोबिंदू त्याचे कोपरे आत बनवतात.
त्रिकोणांचे प्रकार
आकारानुसार, त्रिकोणाचे कोन, ते अशा प्रकारांमध्ये विभागले गेले आहेत: आयताकृती;
तीव्र-कोन;
ओबट्यूज.
आयताकृती त्रिकोणांमध्ये एक कोन असलेल्या आणि इतर दोनला तीव्र कोन असण्याचा समावेश आहे.
तीव्र त्रिकोण ते असतात ज्यात त्याचे सर्व कोपरे तीक्ष्ण असतात.
आणि जर त्रिकोणामध्ये एक ओब्ट्यूज कोन असेल आणि इतर दोन कोन तीव्र असतील तर अशा त्रिकोणाला ओब्टेज म्हणून वर्गीकृत केले जाईल.
आपल्यातील प्रत्येकजण चांगल्या प्रकारे जाणतो की सर्व त्रिकोणांना समान बाजू नसतात. आणि त्याच्या बाजू किती काळ आहेत त्यानुसार, त्रिकोण विभागले जाऊ शकतात:
आइसोसेल्स;
समभुज;
अष्टपैलू
कार्यः विविध प्रकारचे त्रिकोण काढा. त्यांना एक व्याख्या द्या. आपण त्यांच्यात काय फरक पाहता?
त्रिकोणाचे मूलभूत गुणधर्म
जरी हे साधे बहुभुज कोन किंवा बाजूंच्या परिमाणात एकमेकांपासून भिन्न असू शकतात, परंतु प्रत्येक त्रिकोणामध्ये मूलभूत गुणधर्म असतात जे या आकृतीचे वैशिष्ट्य आहेत.
कोणत्याही त्रिकोणात:
त्याच्या सर्व कोनांची एकूण बेरीज 180º आहे.
जर तो समभुज संबंधात असेल तर त्याचे प्रत्येक कोन 60º आहे.
समभुज त्रिकोणात एकमेकांना समान आणि समान कोन असतात.
बहुभुजची बाजू जितकी लहान असेल तितके लहान कोन त्याच्या विरुद्ध असेल आणि उलट, मोठ्या बाजूच्या विरूद्ध मोठे कोन असते.
जर बाजू समान असतील तर समान कोन त्यांच्या विरूद्ध स्थित आहेत आणि त्याउलट.
जर आपण त्रिकोण घेतला आणि त्याची बाजू वाढविली तर आपण बाह्य कोप with्याने समाप्त केले. हे अंतर्गत कोनांच्या बेरजेइतके आहे.
कोणत्याही त्रिकोणात, तिची बाजू, आपण निवडलेल्यापैकी कोणता फरक पडत नाही, तरीही अन्य 2 बाजूंच्या बेरीजपेक्षा कमी असेल, परंतु त्यांच्या फरकापेक्षा अधिक:
1.ए< b + c, a > बी - सी;
2. बी< a + c, b > एसी;
3.c< a + b, c > अ - बी.
कार्य
टेबल त्रिकोणाचे आधीच ज्ञात दोन कोन दर्शविते. सर्व कोनांची एकूण बेरीज जाणून घेतल्यास त्रिकोणाच्या तिसर्\u200dया कोनात काय बरोबर आहे ते शोधा आणि टेबलमध्ये प्रविष्ट करा:
1. तिसर्\u200dया कोनात किती अंश आहेत?
२. कोणत्या प्रकारच्या त्रिकोणांशी संबंधित आहे?
त्रिकोणांच्या समानतेची चिन्हे
मी सही करतो
II चिन्ह
तिसरा चिन्ह
उंची, दुभाजक आणि त्रिकोणाचे मध्यक
त्रिकोणाची उंची - आकृतीच्या वरच्या बाजूस त्याच्या उलट बाजूस काढलेल्या लंबला त्रिकोणाची उंची म्हणतात. त्रिकोणाच्या सर्व उंची एका बिंदूत छेदतात. त्रिकोणाच्या सर्व 3 उंचीचे छेदनबिंदू म्हणजे त्याचे ऑर्थोसेन्टर.
या शिरोबिंदूमधून काढलेला विभाग आणि त्यास विरुद्ध बाजूच्या मध्यभागी जोडणारा मध्यभाग आहे. मेडियन्स तसेच त्रिकोणाच्या उंचीवर, छेदनबिंदूचा एक सामान्य बिंदू आहे, त्रिकोण किंवा सेंट्रोइडच्या गुरुत्वाकर्षणाचे तथाकथित केंद्र आहे.
त्रिकोणाचे दुभाजक म्हणजे कोन आणि दुसर्\u200dया बाजूच्या बिंदूचे बिंदू जोडणारा विभाग आणि हा कोन अर्ध्या भागामध्ये विभाजित करणे. त्रिकोणाचे सर्व दुभाजक एका बिंदूत छेदतात, ज्यास त्रिकोणात कोरलेल्या मंडळाचे केंद्र म्हणतात.
जो विभाग त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या मिडपॉइंट्सला जोडतो त्याला मिडलाइन म्हणतात.
ऐतिहासिक संदर्भ
त्रिकोणासारखी आकृती प्राचीन काळापासून ओळखली जात आहे. ही आकृती आणि त्यातील गुणधर्मांचा उल्लेख चार हजार वर्षांपूर्वी इजिप्शियन पपायरीवर होता. थोड्या वेळाने पायथागोरियन प्रमेय आणि हेरॉनच्या सूत्रानुसार, त्रिकोणाच्या गुणधर्मांचा अभ्यास उच्च स्तरावर गेला, परंतु तरीही, दोन हजार वर्षांपूर्वी हे घडले.
XV-XVI शतकांमध्ये, त्रिकोणाच्या गुणधर्मांवर बरेच अभ्यास सुरू केले गेले आणि परिणामी, प्लॅनिमेस्ट्रीसारखे विज्ञान उद्भवले, ज्याला "त्रिकोणाची नवीन भूमिती" म्हटले जाते.
रशिया एन.आय. लोबचेव्हस्कीच्या वैज्ञानिकांनी त्रिकोणाच्या गुणधर्मांच्या ज्ञानासाठी खूप मोठे योगदान दिले. नंतर त्याच्या कृतींमध्ये गणित आणि भौतिकशास्त्र आणि सायबरनेटिक्स या दोन्ही विषयांत उपयोगिता आढळली.
त्रिकोणांच्या गुणधर्मांच्या ज्ञानाबद्दल धन्यवाद, त्रिकोणमितीसारखे विज्ञान उद्भवले. एखाद्या व्यक्तीला त्याच्या व्यावहारिक गरजा भागविण्यासाठी आवश्यक ठरले कारण त्याचा नकाशे तयार करणे, क्षेत्रे मोजणे आणि विविध यंत्रणेची रचना तयार करणे आवश्यक आहे.
आपल्याला माहित असलेले सर्वात प्रसिद्ध त्रिकोण काय आहे? हे अर्थातच बर्म्युडा त्रिकोण आहे! हे नाव 50 च्या दशकात भौगोलिक स्थान (त्रिकोणाच्या शिरोबिंदू) मुळे प्राप्त झाले, ज्यामध्ये विद्यमान सिद्धांतानुसार त्याशी संबंधित विसंगती उद्भवली. बर्म्युडा त्रिकोणातील शिखर म्हणजे बर्म्युडा, फ्लोरिडा आणि पोर्टो रिको.
असाइनमेंट: बर्म्युडा त्रिकोण बद्दल आपण कोणते सिद्धांत ऐकले आहेत?
आपणास माहित आहे काय की लोबाचेव्हस्कीच्या सिद्धांतात त्रिकोणाचे कोन जोडताना, त्यांचा योग नेहमीच 180º पेक्षा कमी असतो. रिमॅनच्या भूमितीमध्ये, त्रिकोणाच्या सर्व कोनांची बेरीज 180 अंशांपेक्षा जास्त असते आणि युक्लिडच्या लेखनात ते 180 अंश इतके असते.
गृहपाठ
दिलेल्या विषयावर क्रॉसवर्ड कोडे सोडवा
क्रॉसवर्ड कोडेसाठी प्रश्नः
१. त्रिकोणाच्या शिखरापासून दुसर्\u200dया बाजूला असलेल्या सरळ रेषांपर्यंत काढलेल्या लंबाचे नाव काय आहे?
२. एका शब्दात, त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबीची बेरीज आपण कशी म्हणू शकता?
Whose. त्रिकोण म्हणजे ज्याचे दोन बाजू समान आहेत?
90. 90 ० of कोन असलेला त्रिकोण कोणता आहे?
The. त्रिकोणाच्या मोठ्या बाजूचे नाव काय आहे?
Is. समद्विभुज त्रिकोणाच्या बाजूचे नाव?
Any. कोणत्याही त्रिकोणात त्यापैकी तीन नेहमीच असतात.
8.. कोनात 90 ० ex पेक्षा जास्त असलेल्या त्रिकोणाचे नाव काय आहे?
9. आपल्या बाजूच्या वरच्या बाजूस विरुद्ध बाजूच्या मध्यभागाशी जोडणार्\u200dया रेषाखंडाचे नाव?
10. साध्या बहुभुज एबीसीमध्ये, राजधानी ए आहे ...?
11. अर्ध्यामध्ये त्रिकोणाचे कोन विभाजित करणार्\u200dया विभागाचे नाव काय आहे?
त्रिकोणांविषयी प्रश्नः
1. व्याख्या द्या.
२. किती उंची आहेत?
A. त्रिकोणात किती दुभाजक असतात?
Its. त्याचे कोन किती आहे?
What. आपल्याला कोणत्या प्रकारच्या साध्या बहुभुज माहित आहे?
Wonderful. त्रिकोणांचे कोणते गुण अद्भुत आहेत?
The. कोन मोजण्यासाठी कोणते उपकरण वापरले जाऊ शकते?
8. जर घड्याळाचे हात 21 वाजले तर. तासांच्या हातांचे कोन काय आहे?
". एखादी व्यक्ती“ डावीकडे ”,“ सभोवती ”अशी आज्ञा दिली तर ती कोणत्या कोनातून वळते?
10. तीन इतर कोप and्यासह तीन बाजू असलेल्या आकृतीशी संबंधित इतर कोणत्या परिभाषा तुम्हाला ठाऊक आहेत?
प्रथम स्तर
त्रिकोण. विस्तृत मार्गदर्शक (2019)
कदाचित संपूर्ण पुस्तक त्रिकोणाच्या विषयावर लिहिले जाऊ शकते. पण पूर्ण पुस्तक वाचण्यासाठी खूप लांब आहे ना? म्हणूनच, आम्ही येथे केवळ सर्वसाधारणपणे कोणत्याही त्रिकोणाशी संबंधित असलेल्या तथ्यांबद्दल आणि सर्व प्रकारच्या विशिष्ट विषयांवर, इत्यादींचा विचार करू. स्वतंत्र विषयांमध्ये विभक्त - पुस्तक तुकडा तुकडा वाचा. असो, कोणत्याही त्रिकोणाच्या बाबतीत.
1. त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज. कोपide्याच्या बाहेर
हे दृढपणे लक्षात ठेवा आणि विसरू नका. आम्ही हे सिद्ध करणार नाही (सिद्धांताची पुढील स्तर पहा).
आमच्या शब्दात केवळ आपल्यालाच गोंधळ घालू शकेल तो शब्द म्हणजे "अंतर्गत".
इथे का आहे? आणि फक्त तेव्हाच, आम्ही त्रिकोणाच्या आतल्या कोप about्यांबद्दल बोलत आहोत यावर जोर दिला. आणि काय, बाहेरील इतर कोपरे आहेत? फक्त कल्पना करा, तेथे आहेत. त्रिकोण अजूनही आहे बाह्य कोपरे... आणि त्या वस्तुस्थितीचा सर्वात महत्वाचा परिणाम आतील कोपरे त्रिकोण समान आहे, बाह्य त्रिकोणाला स्पर्श करतो. तर त्रिकोणाचा हा बाह्य कोपरा काय आहे ते जाणून घेऊ.
चित्र पहा: एक त्रिकोण घ्या आणि एक बाजू घ्या (म्हणा) सुरू ठेवा.
अर्थात, आम्ही बाजूला सोडून बाजूला ठेवू शकतो. या प्रमाणे:
पण कोन बद्दल काहीही नाही म्हणायचे करू शकत नाही!
तर त्रिकोणाच्या बाहेरील प्रत्येक कोनात बाह्य कोन म्हणण्याचा अधिकार नाही, परंतु केवळ तोच बनलेला आहे एका बाजूला आणि दुसर्\u200dया बाजूची सातत्य.
मग बाह्य कोप ?्याबद्दल आपल्याला काय माहित असणे आवश्यक आहे?
पहा, आमच्या चित्रात याचा अर्थ असा आहे.
हे त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरीजशी कसे संबंधित आहे?
चला हे समजू या. अंतर्गत कोनांची बेरीज आहे
परंतु - कारण आणि - समीप.
बरं, की बाहेर वळते :.
हे किती सोपे आहे ते पहा !? परंतु फार महत्वाचे... तर लक्षात ठेवाः
त्रिकोणाच्या आतील कोनांची बेरीज समान असते आणि त्रिकोणाचे बाह्य कोन त्याच्या जवळ नसलेल्या दोन अंतर्गत कोनांच्या बेरजेइतके असते.
2. त्रिकोण असमानता
पुढील तथ्य कोनात नाही तर त्रिकोणाच्या बाजूशी संबंधित आहे.
याचा अर्थ असा की
या वस्तुस्थितीला त्रिकोण असमानता का म्हटले जाते याचा आपण आधीच अंदाज लावला आहे?
बरं, ही त्रिकोण असमानता कोठे उपयुक्त ठरेल?
आणि अशी कल्पना करा की आपले तीन मित्र आहेत: कोल्या, पेट्या आणि सर्गेई. आणि म्हणूनच, कोल्या म्हणतो: "माझ्या घरापासून पेट्या मी सरळ रेषेत." आणि पेट्या: "माझ्या घरापासून सर्गेईच्या घरापर्यंत, सरळ रेषेत मीटर." आणि सेर्गेई: "तुला बरं वाटतंय पण माझ्या घरापासून कोलिनोय पर्यंत ते सरळ रेषेत आहे." बरं, इथे तुम्हाला म्हणायचं आहे: “थांबा, थांबा! तुमच्यातील काहीजण सत्य सांगत नाहीत! ”
का? होय, कारण जर कोल्याहून पेटीट मी, आणि पेटिट ते सर्गेई मीटर, तर कोल्या ते सर्गेई पर्यंत निश्चितच ते कमी () मीटर असावे - अन्यथा त्रिकोणातील असमानतेचे उल्लंघन केले गेले आहे. विहीर, अक्कल, निश्चितच उल्लंघन आहे: सर्व काही, लहानपणापासूनच प्रत्येकाला ठाऊक नसते की सरळ रेषेचा मार्ग () त्या बिंदूच्या मार्गापेक्षा लहान असावा. (). तर त्रिकोणातील असमानता हे सामान्य ज्ञान प्रतिबिंबित करते. असो, आता एखाद्या प्रश्नाचे उत्तर कसे द्यावे हे आपणास माहित आहे:
बाजूंनी त्रिकोण आहे का?
या तीनपैकी कोणत्याही दोनपैकी तिसर्\u200dयापेक्षा अधिक जोडणे हे खरे आहे की नाही हे आपण तपासावे. आम्ही तपासतो: याचा अर्थ असा आहे की बाजूंसह कोणतेही त्रिकोण नाही! पण पक्षांसह - असे होते, कारण
3. त्रिकोणांची समानता
असो, एक नसेल तर दोन किंवा अधिक त्रिकोण. ते समान आहेत किंवा नाही हे कसे तपासाल? वास्तविक, व्याख्याानुसारः
पण ... ही एक भयानक अस्ताव्यस्त व्याख्या आहे! नोटबुकमध्येही दोन त्रिकोण सुपरइपोज करण्यासाठी, कसे सांगावे अशी प्रार्थना करा !? पण आमच्या आनंदासाठी आहे त्रिकोणांसाठी समानता निकषजे आपणास नोटबुक धोक्यात न घालता सुज्ञपणे वागण्याची परवानगी देते.
आणि याशिवाय, व्यर्थ विनोद काढून टाकणे, मी तुम्हाला एक रहस्य सांगेन: गणितज्ञांकरिता, “सुपरइंपोज त्रिकोण” हा शब्द त्यांचा अर्थ काढून टाकणे आणि सुपरइंपोज करणे असा नाही, तर अनेकांना असे म्हणायचे आहे की असे दोन शब्द असे सिद्ध करतात की दोन त्रिकोण एकत्रितपणे एकत्रित होतील तेव्हा. म्हणून कोणत्याही बाबतीत आपण आपल्या कामात लिहू नये “मी तपासले - आच्छादित केल्यावर त्रिकोण जुळतात” - हे आपल्यासाठी मोजले जाणार नाही आणि ते बरोबर असतील कारण ओव्हरलॅपिंग करताना आपली चूक झाली नाही याची हमी कोणी देत \u200b\u200bनाही, म्हणा, मिलिमीटरच्या एका चतुर्थांश भागाद्वारे.
तर, काही गणितज्ञांनी पुष्कळ शब्द सांगितले, आम्ही त्यांच्या नंतर या शब्दांची पुनरावृत्ती करणार नाही (सिद्धांताच्या शेवटच्या स्तरावर असल्याशिवाय), परंतु आम्ही सक्रियपणे वापरू त्रिकोणाच्या समानतेचे तीन चिन्हे.
दैनंदिन जीवनात (गणितीय), अशा लहान फॉर्म्युलेशन स्वीकारले जातात - ते लक्षात ठेवणे आणि लागू करणे सोपे आहे.
- पहिले चिन्ह दोन बाजूंनी आणि त्यांच्या दरम्यान कोनात आहे;
- दुसरा चिन्ह दोन कोप and्यांवर आणि लगतच्या बाजूला आहे;
- तिसरे चिन्ह तीन बाजूंनी आहे.
त्रिकोण. मुख्य बद्दल उदास
त्रिकोण ही एक भौमितिक आकृती आहे जी तीन रेषाखंडांद्वारे तयार केली जाते जी तीन बिंदू समान सरळ रेषेत नसलेली जोडते.
मूलभूत संकल्पना.
मूलभूत गुणधर्म:
- कोणत्याही त्रिकोणाच्या अंतर्गत कोनांची बेरीज म्हणजे असते.
- त्रिकोणाचे बाह्य कोपरा दोन आतील बाजूंच्या बेरजेइतके असतात जे त्याच्या जवळ नसतात, म्हणजे.
किंवा - त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबीची बेरीज त्याच्या तिसर्या बाजूच्या लांबीपेक्षा जास्त असते, म्हणजे.
- त्रिकोणामध्ये मोठ्या कोनात मोठी बाजू असते, मोठ्या बाजूच्या विरूद्ध मोठे कोन असते, म्हणजे.
जर, तर आणि त्याउलट,
जर तर.
त्रिकोणांच्या समानतेची चिन्हे.
1. प्रथम चिन्ह - दोन्ही बाजूंनी आणि त्यांच्या दरम्यान कोपर्यात.
2. दुसरा चिन्ह - दोन कोप and्या आणि लगतच्या बाजूला.
3. तिसरे चिन्ह - तीन बाजूंनी.
बरं, विषय संपला आहे. जर आपण या ओळी वाचत असाल तर आपण खूप छान आहात.
कारण केवळ 5% लोक स्वतःहून काहीतरी मास्टर करण्यास सक्षम आहेत. आणि जर आपण शेवटपर्यंत वाचले तर आपण त्या 5% मध्ये आहात!
आता सर्वात महत्वाची गोष्ट.
आपण या विषयावरील सिद्धांत शोधला. आणि पुन्हा, हे आहे ... हे फक्त सुपर आहे! तुम्ही तुमच्या समवयस्कांपैकी बहुतेक मित्रांपेक्षा आधीच चांगले आहात.
समस्या अशी आहे की हे कदाचित पुरेसे नसेल ...
कशासाठी?
परीक्षेत यशस्वी उत्तीर्ण होण्यासाठी, संस्थेत अर्थसंकल्पावर प्रवेश मिळावा यासाठी आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे आयुष्यभर.
मी तुम्हाला कशाचीही खात्री पटवून देणार नाही, मी फक्त एक गोष्ट सांगेन ...
चांगले शिक्षण प्राप्त केलेले लोक ज्यांना ते मिळाले नाही त्यांच्यापेक्षा अधिक पैसे कमवितात. ही आकडेवारी आहे.
परंतु ही देखील मुख्य गोष्ट नाही.
मुख्य म्हणजे ते अधिक आनंदित आहेत (असे अभ्यास आहेत). कदाचित त्यांच्यासमोर बर्\u200dयाच संधी उघडल्या गेल्यामुळे आणि जीवन उजळ होईल? मला माहित नाही...
पण स्वतःसाठी विचार करा ...
परीक्षेतील इतरांपेक्षा निश्चितपणे हे निश्चित होण्यासाठी आणि शेवटी अधिक आनंदी असणे काय आहे?
या विषयावर सोडवा, अडचणी सोडवा.
परीक्षेवर आपल्याला सिद्धांत विचारले जाणार नाहीत.
तुला गरज पडेल कार्ये थोडा वेळ सोडवा.
आणि जर आपण त्यांचे निराकरण केले नाही (बरेच काही!), आपणास खात्री आहे की मूर्खपणाने चुकून कुठेतरी जाल किंवा आपल्याला वेळ येणार नाही.
हे खेळामध्ये आहे - निश्चितपणे जिंकण्यासाठी आपल्याला बर्\u200dयाच वेळा पुनरावृत्ती करावी लागेल.
आपल्याला पाहिजे तेथे संग्रह शोधा, समाधान, तपशीलवार विश्लेषणासह अपरिहार्यपणे आणि निर्णय, निर्णय, निर्णय!
आपण आमची कार्ये वापरू शकता (पर्यायी) आणि आम्ही अर्थातच त्यांची शिफारस करतो.
आमच्या कार्यांच्या मदतीने आपला हात भरण्यासाठी, आपण सध्या वाचत असलेल्या युक्लीव्हर पाठ्यपुस्तकाचे आयुष्य वाढविण्यात आपल्याला मदत करणे आवश्यक आहे.
कसे? दोन पर्याय आहेतः
- या लेखातील सर्व लपलेली कार्ये सामायिक करा - 299 आर
- ट्यूटोरियलच्या सर्व 99 लेखांमधील सर्व लपलेल्या कार्यात प्रवेश अनलॉक करा - आरयूबी 499
होय, आमच्या आमच्या पाठ्यपुस्तकात असे 99 लेख आहेत आणि सर्व कार्ये आणि त्यामधील सर्व लपविलेले मजकूर त्वरित उघडता येऊ शकतात.
साइटच्या संपूर्ण आयुष्यासाठी सर्व लपवलेल्या कार्यांमध्ये प्रवेश प्रदान केला जातो.
अनुमान मध्ये...
आपल्याला आमची कार्ये आवडत नसल्यास, इतर शोधा. फक्त सिद्धांतावर विचार करू नका.
“समजलेली” आणि “मी सोडवण्यास सक्षम आहे” ही पूर्णपणे भिन्न कौशल्ये आहेत. तुम्हाला दोघांची गरज आहे.
समस्या शोधा आणि निराकरण करा!
तीव्र कोनात, आयताकृती आणि ओट्यूज-एंगलमध्ये त्रिकोणांचा विभाग. आस्पेक्ट रेशोनुसार वर्गीकरण त्रिकोणांना बहुमुखी, समभुज आणि समद्विभुजांमध्ये विभागते. शिवाय, प्रत्येक त्रिकोण एकाच वेळी दोनचा असतो. उदाहरणार्थ, त्याच वेळी ते आयताकृती आणि अष्टपैलू असू शकते.
कोनांच्या प्रकारानुसार दृश्य निर्धारित करताना ते खूप सावधगिरी बाळगतात. ओब्क्ट्यूज त्रिकोण हा एक त्रिकोण आहे ज्यामध्ये एक कोन आहे म्हणजेच ते 90 अंशांपेक्षा जास्त आहे. एक उजवा कोन असलेला त्रिकोण मोजला जाऊ शकतो एक उजवा (90 अंश समान) कोनाद्वारे. तथापि, त्रिकोणास तीव्र-कोनात वर्गीकृत करण्यासाठी, आपल्याला हे निश्चित करणे आवश्यक आहे की तिचे तीनही कोन तीक्ष्ण आहेत.
प्रकारची व्याख्या त्रिकोण आस्पेक्ट रेशोनुसार, प्रथम आपल्याला तिन्ही बाजूंची लांबी शोधावी लागेल. तथापि, अटानुसार, बाजूंच्या लांबी आपल्याला न दिल्या गेल्या तर कोन आपल्याला मदत करू शकतात. एक त्रिकोण बहुमुखी असेल, त्या तीनही बाजूंच्या लांबी भिन्न आहेत. जर बाजूंची लांबी अज्ञात असेल तर त्रिकोणचे बहुतेक म्हणून वर्गीकरण केले जाऊ शकते जर तिचे तीनही कोन भिन्न असतील. एक अष्टपैलू त्रिकोण भलते, उजव्या कोनाचे आणि तीव्र कोनात असू शकते.
एक समद्विभुज त्रिकोण असेल ज्याच्या तीन बाजूंपैकी दोन एकमेकांच्या बरोबरीने असतील. बाजूंची लांबी आपल्याला दिली नसल्यास, दोन समान कोनातून मार्गदर्शन करा. एक समद्विभुज त्रिकोण, बहुमुखी प्रतिभासारखे, ओट्यूज-एंगल आणि आयताकृती आणि तीव्र-कोन असू शकतात.
समभुज फक्त एक त्रिकोण असू शकतो, ज्या तिन्ही बाजूंच्या लांबी समान आहेत. त्याचे सर्व कोन देखील एकमेकांशी समान आहेत आणि त्यातील प्रत्येक कोन 60 अंशांच्या बरोबरीचे आहे. म्हणून हे स्पष्ट आहे की समभुज त्रिकोण नेहमीच तीव्र कोनात असतात.
टीप 2: ओब्ट्यूज आणि तीव्र-कोन त्रिकोण कसे ओळखावे
बहुभुजातील सर्वात सोपा त्रिकोण आहे. हे एकाच विमानात पडलेल्या तीन बिंदूंच्या मदतीने तयार केले आहे, परंतु एका सरळ रेषेत न पडता, विभागांद्वारे जोड्यांमध्ये जोडलेले आहेत. तथापि, त्रिकोण वेगवेगळ्या प्रकारचे असतात, म्हणजे त्यांच्याकडे भिन्न गुणधर्म असतात.
सूचना
तीन प्रकारचे भेद करण्याची प्रथा आहे: ओबट्यूज, तीव्र आणि आयताकृती. हे कोप of्याच्या प्रकाराद्वारे आहे. ओब्क्ट्यूज त्रिकोण हा एक त्रिकोण आहे ज्यामध्ये एक कोपरा ओब्टेज आहे. एक ओबट्यूज कोन नव्वद डिग्री पेक्षा मोठे परंतु एकशे ऐंशीपेक्षा कमी कोन आहे उदाहरणार्थ, त्रिकोणी एबीसीमध्ये एबीसी 65 °, बीसीए 95 °, आणि सीएबी 20 ° आहे. कोन एबीसी आणि सीएबी 90 than पेक्षा कमी आहेत, परंतु कोन बीसीए मोठे आहे, ज्याचा अर्थ असा आहे की त्रिकोण ओब्टेज आहे.
तीव्र-कोन त्रिकोण एक त्रिकोण आहे ज्यामध्ये सर्व कोपरे तीव्र असतात. एक धारदार कोन नव्वद पेक्षा कमी आणि शून्य अंशांपेक्षा मोठा कोन आहे. उदाहरणार्थ, त्रिकोण एबीसीमध्ये, कोन एबीसी 60 °, कोन बीसीए 70 °, कोन सीएबी 50 ° आहे सर्व तीन कोन 90 90 पेक्षा कमी आहेत, ज्याचा अर्थ त्रिकोण आहे. जर आपल्याला माहित असेल की त्रिकोणाच्या सर्व बाजू समान आहेत तर याचा अर्थ असा आहे की त्यातील सर्व कोन देखील एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत तर साठ डिग्रीच्या समान आहेत. त्यानुसार, अशा त्रिकोणाच्या सर्व कोन्या नव्वद अंशांपेक्षा कमी असतात आणि म्हणूनच असा त्रिकोण तीव्र कोनात असतो.
जर त्रिकोणाच्या एका कोनातून नव्वद अंश इतके असेल तर याचा अर्थ असा की तो वाइड-अँगल प्रकार किंवा तीव्र कोनाचा प्रकार नाही. हा एक उजवा कोन असलेला त्रिकोण आहे.
त्रिकोणचा प्रकार आस्पेक्ट रेशोद्वारे निर्धारित केल्यास ते समभुज, अष्टपैलू आणि समद्विभुज असतील. समभुज त्रिकोणात सर्व बाजू समान आहेत आणि तुम्हाला जसे समजले की त्रिकोण तीव्र कोनात आहे. जर त्रिकोणाच्या फक्त दोन बाजू समान असतील किंवा बाजू एकमेकांच्या बरोबरी नसतील तर ते ओब्ट्यूज किंवा आयताकृती किंवा तीव्र असू शकतात. याचा अर्थ असा आहे की या प्रकरणांमध्ये बिंदू 1, 2 किंवा 3 नुसार कोन मोजणे किंवा मोजणे आणि अनुमान काढणे आवश्यक आहे.
संबंधित व्हिडिओ
स्रोत:
- ओबट्यूज त्रिकोण
जेव्हा या त्रिकोणाच्या सर्व बाजू आणि कोन समान असतात तेव्हा दोन किंवा अधिक त्रिकोणांची समानता केसशी संबंधित असते. तथापि, ही समानता सिद्ध करण्यासाठी अनेक सोप्या निकष आहेत.
तुला गरज पडेल
- भूमितीची पाठ्यपुस्तक, कागदाची पत्रक, पेन्सिल, प्रोट्रॅक्टर, शासक.
सूचना
त्रिकोणाच्या समानतेच्या निकषांवर असलेल्या विभागासाठी सातवी श्रेणीची भूमिती पाठ्यपुस्तक उघडा. आपल्याला दिसेल की असे बरेच मूलभूत निकष आहेत जे सिद्ध करतात की दोन त्रिकोण समान आहेत. जर दोन त्रिकोण, ज्याची समानता तपासली गेली आहे ती अनियंत्रित असेल तर त्यांच्यासाठी समानतेची तीन मूलभूत चिन्हे आहेत. त्रिकोणांविषयी काही अतिरिक्त माहिती माहित असल्यास मुख्य तीन वैशिष्ट्ये पुष्कळशा पूरक आहेत. हे उजव्या कोनात असलेल्या त्रिकोणाच्या समानतेच्या बाबतीत लागू होते.
त्रिकोणाच्या समानतेबद्दलचा पहिला नियम वाचा. आपल्याला माहित आहे की हे दोन कोनात दोन कोन आणि दोन त्रिकोणाच्या समीप बाजू समान असल्याचे सिद्ध झाल्यास हे आपल्याला त्रिकोणाला समान विचार करण्यास परवानगी देते. हा कायदा समजून घेण्यासाठी, एका बिंदूतून दोन किरणांनी तयार केलेल्या दोन समान निश्चित कोनांचे (प्रोट्रेक्टर) कागदाचा तुकडा काढा. दोन्ही प्रकरणात काढलेल्या कोपर्याच्या वरच्या बाजूने त्याच बाजूने एका शासकासह उपाय करा. प्रॅक्ट्रॅक्टर वापरुन, दोन तयार झालेल्या त्रिकोणाचे परिणामी कोन मोजा आणि ते समान आहेत याची खात्री करुन घ्या.
त्रिकोणांच्या समानतेचे चिन्ह समजण्यासाठी अशा व्यावहारिक उपायांचा अवलंब न करण्यासाठी, समानतेच्या पहिल्या चिन्हाचा पुरावा वाचा. खरं म्हणजे त्रिकोणाच्या समानतेबद्दलच्या प्रत्येक नियमात कठोर सैद्धांतिक पुरावा असतो, नियम लक्षात ठेवण्यासाठी ते वापरणे सोयीचे नाही.
दुसरे चिन्ह वाचा की त्रिकोण समान आहेत. असे म्हटले आहे की जर एक बाजू आणि अशा दोन त्रिकोणाचे दोन समीप कोन समान असतील तर दोन त्रिकोण समान असतील. हा नियम लक्षात ठेवण्यासाठी, त्रिकोणाच्या रेखाटलेल्या बाजू आणि दोन जवळील कोपांची कल्पना करा. अशी कल्पना करा की कोप of्यांच्या बाजूंच्या लांबी हळूहळू वाढत आहेत. अखेरीस ते छेदतील एक तृतीय कोपरा तयार करण्यासाठी. या मानसिक कार्यात, हे महत्वाचे आहे की बाजूंचे छेदनबिंदू, जे मानसिकदृष्ट्या वाढतात, तसेच परिणामी कोन देखील, तिसर्\u200dया बाजूने आणि दोन जवळील कोनातून विशिष्टपणे निश्चित केले जातात.
जर आपल्याला अभ्यासानुसार त्रिकोणाच्या कोनांबद्दल कोणतीही माहिती दिली गेली नसेल तर त्रिकोण समतेचे तिसरे चिन्ह वापरा. या नियमानुसार, त्यापैकी तीनही बाजू दुसर्\u200dयाच्या संबंधित तीन बाजूंच्या समान असल्यास दोन त्रिकोण समान मानले जातात. म्हणूनच, हा नियम म्हणतो की त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबी विशिष्टपणे त्रिकोणाचे सर्व कोन निर्धारित करतात, याचा अर्थ असा की ते त्रिकोण स्वतःच निर्धारण करतात.
संबंधित व्हिडिओ