Ekstrem fungsi. Apakah extrema fungsi: titik kritikal maksimum dan minimum Extrema bagi fungsi maksimum dan minimum

Titik ekstrem fungsi ialah titik dalam domain takrifan fungsi di mana nilai fungsi mengambil nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik ini dipanggil extrema (minimum dan maksimum) fungsi.

Definisi. titik x1 domain fungsi f(x) dipanggil titik maksimum fungsi , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar daripada nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di sebelah kanan dan kirinya (iaitu, ketidaksamaan berlaku f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definisi. titik x2 domain fungsi f(x) dipanggil titik minimum fungsi, jika nilai fungsi pada titik ini adalah kurang daripada nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di sebelah kanan dan kirinya (iaitu, ketidaksamaan berlaku f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Dalam kes ini kita mengatakan bahawa fungsi mempunyai pada titik x2 minimum.

Katakan titik x1 - titik maksimum fungsi f(x). Kemudian dalam selang sehingga x1 fungsi bertambah, oleh itu terbitan fungsi lebih besar daripada sifar ( f "(x) > 0 ), dan dalam selang selepas x1 fungsi berkurang, oleh itu, terbitan bagi suatu fungsi kurang daripada sifar ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Marilah kita juga menganggap bahawa perkara itu x2 - titik minimum fungsi f(x). Kemudian dalam selang sehingga x2 fungsi itu berkurangan, dan terbitan bagi fungsi itu kurang daripada sifar ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 fungsi semakin meningkat, dan terbitan fungsi lebih besar daripada sifar ( f "(x) > 0 ). Dalam kes ini juga pada titik x2 terbitan bagi fungsi itu adalah sifar atau tidak wujud.

Teorem Fermat (tanda perlu kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi). Jika titik x0 - titik ekstrem fungsi f(x) maka pada ketika ini terbitan bagi fungsi tersebut adalah sama dengan sifar ( f "(x) = 0 ) atau tidak wujud.

Definisi. Titik di mana terbitan fungsi adalah sifar atau tidak wujud dipanggil titik kritikal .

Contoh 1. Mari kita pertimbangkan fungsinya.

Pada titik itu x= 0 terbitan fungsi ialah sifar, oleh itu titik x= 0 ialah titik kritikal. Walau bagaimanapun, seperti yang boleh dilihat pada graf fungsi, ia meningkat di seluruh domain definisi, jadi titik x= 0 bukan titik ekstrem bagi fungsi ini.

Oleh itu, syarat bahawa terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan sifar atau tidak wujud adalah syarat yang perlu untuk ekstrem, tetapi tidak mencukupi, kerana contoh fungsi lain boleh diberikan yang syarat ini dipenuhi, tetapi fungsi tidak mempunyai ekstrem pada titik yang sepadan. sebab tu mesti ada bukti yang mencukupi, membolehkan seseorang menilai sama ada terdapat ekstrem pada titik kritikal tertentu dan jenis ekstrem itu - maksimum atau minimum.

Teorem (tanda pertama yang mencukupi bagi kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi). Titik kritikal x0 f(x) jika, apabila melalui titik ini, derivatif fungsi berubah tanda, dan jika tanda berubah dari "tambah" kepada "tolak", maka ia adalah titik maksimum, dan jika dari "tolak" kepada "tambah", maka ia adalah titik minimum.

Jika dekat titik x0 , ke kiri dan ke kanannya, terbitan mengekalkan tandanya, ini bermakna fungsi sama ada hanya berkurangan atau hanya bertambah dalam kejiranan tertentu titik x0 . Dalam kes ini, pada titik itu x0 tidak ada yang melampau.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem fungsi, anda perlu melakukan perkara berikut :

1. Cari terbitan bagi fungsi tersebut.
2. Samakan terbitan kepada sifar dan tentukan titik kritikal.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandakan titik kritikal pada garis nombor dan tentukan tanda terbitan fungsi dalam selang yang terhasil. Jika tanda derivatif berubah daripada "tambah" kepada "tolak", maka titik kritikal adalah titik maksimum, dan jika dari "tolak" kepada "tambah", maka titik minimum.
4. Kira nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2. Cari ekstrem bagi fungsi tersebut .

Penyelesaian. Mari cari terbitan fungsi:

Mari kita samakan derivatif kepada sifar untuk mencari titik kritikal:

.

Oleh kerana untuk sebarang nilai "x" penyebutnya tidak sama dengan sifar, kami menyamakan pengangka dengan sifar:

Mendapat satu titik kritikal x= 3 . Mari kita tentukan tanda terbitan dalam selang yang dihadkan oleh titik ini:

dalam julat dari tolak infiniti hingga 3 - tanda tolak, iaitu, fungsi berkurangan,

dalam selang dari 3 hingga tambah infiniti terdapat tanda tambah, iaitu, fungsi meningkat.

Iaitu, tempoh x= 3 ialah titik minimum.

Mari cari nilai fungsi pada titik minimum:

Oleh itu, titik ekstrem fungsi ditemui: (3; 0), dan ia adalah titik minimum.

Teorem (tanda kedua yang mencukupi bagi kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi). Titik kritikal x0 ialah titik ekstrem bagi fungsi f(x) jika terbitan kedua bagi fungsi pada titik ini tidak sama dengan sifar ( f ""(x) ≠ 0 ), dan jika terbitan kedua lebih besar daripada sifar ( f ""(x) > 0 ), maka titik maksimum, dan jika terbitan kedua kurang daripada sifar ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Nota 1. Jika pada titik itu x0 Jika kedua-dua derivatif pertama dan kedua lenyap, maka pada ketika ini adalah mustahil untuk menilai kehadiran ekstrem berdasarkan kriteria kedua yang mencukupi. Dalam kes ini, anda perlu menggunakan kriteria pertama yang mencukupi untuk ekstrem fungsi.

Catatan 2. Kriteria kedua yang mencukupi untuk ekstrem fungsi tidak boleh digunakan walaupun apabila terbitan pertama tidak wujud pada titik pegun (maka terbitan kedua juga tidak wujud). Dalam kes ini, anda juga perlu menggunakan tanda pertama yang mencukupi bagi ekstrem fungsi.

Sifat setempat dari ekstrema fungsi

Daripada takrifan di atas, ia mengikuti bahawa ekstrem fungsi adalah bersifat setempat - ia adalah nilai terbesar dan terkecil fungsi berbanding dengan nilai berdekatan.

Katakan anda melihat pendapatan anda dalam tempoh satu tahun. Jika pada bulan Mei anda memperoleh 45,000 rubel, dan pada bulan April 42,000 rubel dan pada bulan Jun 39,000 rubel, maka pendapatan Mei adalah maksimum fungsi pendapatan berbanding dengan nilai berdekatan. Tetapi pada bulan Oktober anda memperoleh 71,000 rubel, pada bulan September 75,000 rubel, dan pada bulan November 74,000 rubel, jadi pendapatan Oktober adalah minimum bagi fungsi pendapatan berbanding dengan nilai berdekatan. Dan anda boleh melihat dengan mudah bahawa maksimum antara nilai April-Mei-Jun adalah kurang daripada minimum September-Oktober-November.

Secara umumnya, pada selang waktu fungsi boleh mempunyai beberapa ekstrem, dan mungkin ternyata beberapa minimum fungsi itu lebih besar daripada maksimum. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan dalam rajah di atas, .

Iaitu, seseorang tidak sepatutnya berfikir bahawa maksimum dan minimum fungsi adalah, masing-masing, nilai terbesar dan terkecil pada keseluruhan segmen yang sedang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi mempunyai nilai terbesar hanya berbanding dengan nilai-nilai yang terdapat pada semua titik yang cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum ia mempunyai nilai terkecil sahaja berbanding dengan nilai tersebut. bahawa ia mempunyai pada semua titik yang cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh itu, kita boleh menjelaskan konsep titik ekstrem fungsi di atas dan memanggil mata minimum mata minimum tempatan, dan mata maksimum mata maksimum tempatan.

Kami mencari ekstrem fungsi bersama-sama

Contoh 3.

Penyelesaian: Fungsi ditakrifkan dan berterusan pada keseluruhan garis nombor. Derivatifnya juga wujud pada keseluruhan garis nombor. Oleh itu, dalam kes ini, titik kritikal adalah hanya yang di mana, i.e. , dari mana dan . Titik kritikal dan bahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada tiga selang kemonotonan: . Mari pilih satu titik kawalan dalam setiap satu daripadanya dan cari tanda terbitan pada ketika ini.

Untuk selang, titik kawalan boleh: cari. Mengambil mata dalam selang, kita dapat, dan mengambil mata dalam selang, kita ada. Jadi, dalam selang dan , dan dalam selang . Menurut kriteria pertama yang mencukupi untuk ekstrem, tiada ekstrem pada titik (kerana terbitan mengekalkan tandanya dalam selang), dan pada titik fungsi mempunyai minimum (kerana derivatif menukar tanda dari tolak kepada tambah apabila lulus melalui titik ini). Mari cari nilai yang sepadan bagi fungsi: , a . Dalam selang fungsi berkurangan, kerana dalam selang ini , dan dalam selang ia meningkat, kerana dalam selang ini .

Untuk menjelaskan pembinaan graf, kita dapati titik persilangannya dengan paksi koordinat. Apabila kita memperoleh persamaan yang puncanya ialah dan , iaitu, dua titik (0; 0) dan (4; 0) graf fungsi itu ditemui. Menggunakan semua maklumat yang diterima, kami membina graf (lihat permulaan contoh).

Untuk semakan sendiri semasa pengiraan, anda boleh gunakan kalkulator terbitan dalam talian .

Contoh 4. Cari ekstrem fungsi dan bina grafnya.

Domain definisi fungsi ialah keseluruhan garis nombor, kecuali titik, i.e. .

Untuk memendekkan kajian, anda boleh menggunakan fakta bahawa fungsi ini adalah genap, kerana . Oleh itu, grafnya adalah simetri tentang paksi Oy dan kajian hanya boleh dilakukan untuk selang waktu.

Mencari terbitan dan titik kritikal fungsi:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi mengalami ketakselanjaran pada ketika ini, jadi ia tidak boleh menjadi titik ekstrem.

Oleh itu, fungsi yang diberikan mempunyai dua titik kritikal: dan . Dengan mengambil kira pariti fungsi, kami akan menyemak hanya titik menggunakan kriteria kedua yang mencukupi untuk ekstrem. Untuk melakukan ini, kami mencari derivatif kedua dan tentukan tandanya di: kita dapat . Sejak dan , ia ialah titik minimum fungsi, dan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang graf fungsi, mari kita ketahui kelakuannya di sempadan domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan x kepada sifar dari kanan, dan x kekal positif; sama bermaksud aspirasi x kepada sifar dari kiri, dan x kekal negatif). Oleh itu, jika , maka . Seterusnya, kita dapati

,

mereka. jika , maka .

Graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi. Gambar adalah pada permulaan contoh.

Untuk semakan sendiri semasa pengiraan, anda boleh gunakan kalkulator terbitan dalam talian .

Kami terus mencari extrema fungsi bersama-sama

Contoh 8. Cari ekstrem bagi fungsi tersebut.

Penyelesaian. Mari cari domain takrifan fungsi tersebut. Oleh kerana ketidaksamaan mesti dipenuhi, kita memperoleh daripada .

Mari kita cari terbitan pertama bagi fungsi tersebut.

Algoritma mudah untuk mencari extrema..

• Mencari terbitan bagi fungsi tersebut
• Kami menyamakan derivatif ini kepada sifar
• Kami mencari nilai pembolehubah ungkapan yang terhasil (nilai pembolehubah di mana derivatif ditukar kepada sifar)
• Menggunakan nilai ini, kami membahagikan garis koordinat ke dalam selang (jangan lupa tentang titik putus, yang juga perlu diplot pada garis), semua titik ini dipanggil titik "mencurigakan" untuk ekstrem
• Kami mengira yang mana antara selang ini derivatif akan positif dan yang akan negatif. Untuk melakukan ini, anda perlu menggantikan nilai dari selang ke dalam derivatif.

Daripada mata yang mencurigakan untuk ekstrem, adalah perlu untuk mencari . Untuk melakukan ini, kami melihat selang kami pada garis koordinat. Jika, apabila melalui beberapa titik, tanda derivatif berubah daripada tambah kepada tolak, maka titik ini akan menjadi maksimum, dan jika dari tolak kepada tambah, maka minimum.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi, anda perlu mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik ekstrem. Kemudian pilih nilai terbesar dan terkecil.

Mari kita lihat satu contoh
Kami mencari derivatif dan menyamakannya dengan sifar:

Kami memplot nilai pembolehubah yang diperoleh pada garis koordinat dan mengira tanda terbitan pada setiap selang. Nah, sebagai contoh, untuk yang pertama mari kita ambil-2 , maka derivatifnya akan sama-0,24 , untuk yang kedua kami akan ambil0 , maka derivatifnya ialah2 , dan untuk yang ketiga kami ambil2 , maka derivatifnya ialah-0.24. Kami meletakkan tanda-tanda yang sesuai.

Kami melihat bahawa apabila melalui titik -1, derivatif menukar tanda dari tolak kepada tambah, iaitu, ini akan menjadi titik minimum, dan apabila melalui 1, ia akan menukar tanda dari tambah kepada tolak, masing-masing, ini akan menjadi titik maksimum.

Fungsi dan kajian ciri-cirinya menduduki salah satu bab utama dalam matematik moden. Komponen utama mana-mana fungsi ialah graf yang menggambarkan bukan sahaja sifatnya, tetapi juga parameter terbitan fungsi ini. Mari kita fahami topik yang sukar ini. Jadi apakah cara terbaik untuk mencari titik maksimum dan minimum fungsi?

Fungsi: definisi

Mana-mana pembolehubah yang dalam beberapa cara bergantung pada nilai kuantiti lain boleh dipanggil fungsi. Sebagai contoh, fungsi f(x 2) adalah kuadratik dan menentukan nilai untuk keseluruhan set x. Katakan bahawa x = 9, maka nilai fungsi kita akan sama dengan 9 2 = 81.

Fungsi datang dalam pelbagai jenis: logik, vektor, logaritma, trigonometri, angka dan lain-lain. Mereka dikaji oleh minda yang cemerlang seperti Lacroix, Lagrange, Leibniz dan Bernoulli. Karya mereka berfungsi sebagai tunjang dalam cara moden mengkaji fungsi. Sebelum mencari titik minimum, adalah sangat penting untuk memahami maksud fungsi dan terbitannya.

Derivatif dan peranannya

Semua fungsi bergantung pada pembolehubahnya, yang bermaksud bahawa ia boleh menukar nilainya pada bila-bila masa. Pada graf, ini akan digambarkan sebagai lengkung yang sama ada jatuh atau naik di sepanjang paksi ordinat (ini ialah keseluruhan set nombor "y" di sepanjang graf menegak). Jadi, penentuan titik maksimum dan minimum fungsi adalah berkaitan dengan "ayunan" ini. Mari kita jelaskan apakah hubungan ini.

Terbitan mana-mana fungsi digraf untuk mengkaji ciri asasnya dan mengira seberapa cepat fungsi itu berubah (iaitu mengubah nilainya bergantung pada pembolehubah "x"). Pada masa apabila fungsi meningkat, graf terbitannya juga akan meningkat, tetapi pada bila-bila masa fungsi boleh mula berkurangan, dan kemudian graf terbitan akan berkurangan. Titik di mana derivatif berubah daripada tanda tolak kepada tanda tambah dipanggil titik minimum. Untuk mengetahui cara mencari mata minimum, anda harus lebih memahami

Bagaimana untuk mengira derivatif?

Takrif dan fungsi membayangkan beberapa konsep daripada Secara umumnya, takrifan terbitan boleh dinyatakan seperti berikut: ini ialah kuantiti yang menunjukkan kadar perubahan fungsi.

Cara matematik untuk menentukannya nampaknya rumit bagi ramai pelajar, tetapi pada hakikatnya semuanya lebih mudah. Anda hanya perlu mengikut pelan standard untuk mencari derivatif mana-mana fungsi. Di bawah ini kami menerangkan bagaimana anda boleh mencari titik minimum fungsi tanpa menggunakan peraturan pembezaan dan tanpa menghafal jadual derivatif.

1. Anda boleh mengira terbitan fungsi menggunakan graf. Untuk melakukan ini, anda perlu menggambarkan fungsi itu sendiri, kemudian ambil satu titik di atasnya (titik A dalam rajah). Lukis garis menegak ke bawah ke paksi absis (titik x 0), dan pada titik A lukis tangen ke graf fungsi. Paksi-x dan tangen membentuk sudut tertentu a. Untuk mengira nilai berapa cepat fungsi meningkat, anda perlu mengira tangen sudut ini a.
2. Ternyata tangen sudut antara tangen dan arah paksi-x ialah terbitan bagi fungsi di kawasan kecil dengan titik A. Kaedah ini dianggap sebagai kaedah geometri untuk menentukan terbitan.

Kaedah untuk mengkaji fungsi

Dalam kurikulum matematik sekolah, adalah mungkin untuk mencari titik minimum fungsi dalam dua cara. Kami telah membincangkan kaedah pertama menggunakan graf, tetapi bagaimanakah kita boleh menentukan nilai berangka derivatif? Untuk melakukan ini, anda perlu mempelajari beberapa formula yang menerangkan sifat terbitan dan membantu menukar pembolehubah seperti "x" kepada nombor. Kaedah berikut adalah universal, jadi ia boleh digunakan untuk hampir semua jenis fungsi (kedua-dua geometri dan logaritma).

1. Ia adalah perlu untuk menyamakan fungsi dengan fungsi terbitan, dan kemudian memudahkan ungkapan menggunakan peraturan pembezaan.
2. Dalam sesetengah kes, apabila diberikan fungsi di mana pembolehubah "x" berada dalam pembahagi, adalah perlu untuk menentukan julat nilai yang boleh diterima, tidak termasuk titik "0" daripadanya (atas sebab mudah bahawa dalam matematik seseorang tidak boleh bahagi dengan sifar).
3. Selepas ini, anda harus mengubah bentuk asal fungsi menjadi persamaan mudah, menyamakan keseluruhan ungkapan kepada sifar. Sebagai contoh, jika fungsi kelihatan seperti ini: f(x) = 2x 3 +38x, maka menurut peraturan pembezaan terbitannya adalah sama dengan f"(x) = 3x 2 +1. Kemudian kita menukar ungkapan ini menjadi persamaan bentuk berikut: 3x 2 +1 = 0 .
4. Selepas menyelesaikan persamaan dan mencari titik "x", anda harus memplotkannya pada paksi-x dan menentukan sama ada terbitan dalam bahagian ini antara titik yang ditanda adalah positif atau negatif. Selepas penetapan, ia akan menjadi jelas pada titik mana fungsi mula berkurangan, iaitu, perubahan tanda dari tolak ke sebaliknya. Dengan cara ini anda boleh mencari kedua-dua mata minimum dan maksimum.

Peraturan pembezaan

Komponen paling asas dalam mengkaji fungsi dan terbitannya ialah pengetahuan tentang peraturan pembezaan. Hanya dengan bantuan mereka anda boleh mengubah ekspresi rumit dan fungsi kompleks yang besar. Mari kita berkenalan dengan mereka, terdapat banyak daripada mereka, tetapi semuanya sangat mudah kerana sifat semula jadi kedua-dua kuasa dan fungsi logaritma.

1. Terbitan mana-mana pemalar adalah sama dengan sifar (f(x) = 0). Iaitu, terbitan f(x) = x 5 + x - 160 akan mengambil bentuk berikut: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Terbitan hasil tambah dua sebutan: (f+w)" = f"w + fw".
3. Terbitan bagi fungsi logaritma: (log a d)" = d/ln a*d. Formula ini digunakan untuk semua jenis logaritma.
4. Terbitan kuasa: (x n)"= n*x n-1. Contohnya, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Terbitan bagi fungsi sinusoidal: (sin a)" = cos a. Jika sin sudut a ialah 0.5, maka terbitannya ialah √3/2.

Titik melampau

Kami telah membincangkan cara mencari titik minimum, tetapi terdapat juga konsep titik maksimum fungsi. Jika minimum menandakan titik-titik di mana fungsi berubah daripada tanda tolak kepada tambah, maka titik maksimum ialah titik-titik pada paksi-x di mana derivatif fungsi berubah daripada tambah kepada sebaliknya - tolak.

Anda boleh menemuinya menggunakan kaedah yang diterangkan di atas, tetapi anda harus mengambil kira bahawa ia menunjukkan kawasan di mana fungsi mula berkurangan, iaitu, terbitan akan kurang daripada sifar.

Dalam matematik, adalah kebiasaan untuk menggeneralisasikan kedua-dua konsep, menggantikannya dengan frasa "titik ekstrem." Apabila tugas meminta anda untuk menentukan mata ini, ini bermakna anda perlu mengira derivatif fungsi tertentu dan mencari mata minimum dan maksimum.

Pertimbangkan fungsi y = f(x), yang dianggap pada selang (a, b).

Jika boleh menunjukkan kejiranan b bagi titik x1 kepunyaan selang (a, b) supaya bagi semua x (x1, b), ketaksamaan f(x1) > f(x) kekal, maka y1 = f1(x1) dipanggil maksimum fungsi y = f(x) lihat rajah.

Kami menandakan maksimum fungsi y = f(x) dengan maks f(x). Jika mungkin untuk menunjukkan kejiranan b bagi titik x2 kepunyaan selang (a, b) supaya bagi semua x ia tergolong dalam O (x2, 6), x tidak sama dengan x2, ketaksamaan kekal f(x2)< f(x) , maka y2= f(x2) dipanggil minimum bagi fungsi y-f(x) (lihat rajah).

Untuk contoh mencari maksimum, lihat video berikut

Fungsi minimum

Kami menandakan minimum fungsi y = f(x) dengan min f(x). Dalam kata lain, maksimum atau minimum sesuatu fungsi y = f(x) dipanggil nilainya yang lebih besar (kurang) daripada semua nilai lain yang diterima pada titik yang cukup dekat dengan yang diberikan dan berbeza daripadanya.

Nota 1. Fungsi maksimum, ditakrifkan oleh ketidaksamaan dipanggil maksimum yang ketat; maksimum tidak ketat ditentukan oleh ketaksamaan f(x1) > = f(x2)

Nota 2. mempunyai watak tempatan (ini adalah nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kejiranan yang cukup kecil pada titik yang sepadan); minima individu bagi sesuatu fungsi mungkin lebih besar daripada maksimum bagi fungsi yang sama

Akibatnya, maksimum (minimum) fungsi dipanggil maksimum tempatan(minimum tempatan) berbeza dengan maksimum mutlak (minimum) - nilai terbesar (paling kecil) dalam domain definisi fungsi.

Maksimum dan minimum fungsi dipanggil ekstrem . Extrema in didapati membina graf fungsi

bahasa Latin extremum bermaksud melampau maksudnya. Nilai hujah x di mana extremum dicapai dipanggil extremum point. Syarat yang diperlukan untuk ekstrem dinyatakan oleh teorem berikut.

Teorem. Pada titik ekstrem fungsi boleh dibezakan, terbitannya adalah sama dengan sifar.

Teorem mempunyai makna geometri yang mudah: tangen kepada graf fungsi boleh beza pada titik yang sepadan adalah selari dengan paksi Lembu

1°. Penentuan ekstrem bagi suatu fungsi.

Konsep maksimum, minimum dan ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah adalah serupa dengan konsep sepadan fungsi satu pembolehubah bebas.

Biarkan fungsi z =f (x ; y) ditakrifkan di beberapa kawasan D titik N (x 0 ;y 0) D.

titik (x 0 ;y 0) dipanggil titik maksimum fungsi z= f (x ;y ), jika terdapat -kejiranan titik tersebut (x 0 ;y 0), itu bagi setiap titik (x;y), Berlainan daripada (x 0 ;y 0) dari kejiranan ini ketidaksamaan berlaku f (x ;y)< f (x 0 ;y 0). Dalam Rajah 12: N 1 - titik maksimum, a N 2 - titik minimum fungsi z =f (x ;y).

Titik ditentukan sama minimum fungsi: untuk semua mata (x 0 ;y 0), Berlainan daripada (x 0 ;y 0), dari d -kejiranan sesuatu titik (x 0 ;y 0) ketidaksamaan memegang: f (x 0 ;y 0) >f (x 0 ;y 0).

Ekstrem bagi fungsi tiga atau lebih pembolehubah ditentukan dengan cara yang sama.

Nilai fungsi pada titik maksimum (minimum) dipanggil maksimum (minimum) fungsi.

Maksimum dan minimum fungsi dipanggil melampau.

Ambil perhatian bahawa, mengikut takrifan, titik ekstrem fungsi terletak di dalam domain takrifan fungsi; maksimum dan minimum mempunyai tempatan(tempatan) watak: nilai fungsi pada satu titik (x 0 ;y 0) dibandingkan dengan nilainya pada titik yang cukup dekat dengan (x 0 ;y 0). Di kawasan D sesuatu fungsi mungkin mempunyai beberapa ekstrem atau tiada.

2°. Syarat yang diperlukan untuk ekstrem.

Mari kita pertimbangkan syarat kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi.

Kesamaan geometri f"y (x 0 ;y 0)= 0 dan f"y (x 0 ;y 0) = 0 bermakna bahawa pada titik ekstrem fungsi z = f (x ; y) satah tangen ke permukaan yang mewakili fungsi f (x ; y), selari dengan kapal terbang Oh hoo kerana persamaan satah tangen ialah z =z 0.

Komen. Fungsi boleh mempunyai ekstrem pada titik di mana sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud. Sebagai contoh, fungsi mempunyai maksimum pada titik TENTANG(0;0), tetapi tidak mempunyai derivatif separa pada ketika ini.

Titik di mana susunan pertama terbitan separa fungsi z = f (x ;y) adalah sama dengan sifar, i.e. f"x = 0, f" y = 0, dipanggil titik pegun fungsi z.

Titik pegun dan titik di mana sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud dipanggil titik kritikal.

Pada titik kritikal, fungsi mungkin mempunyai ekstrem atau tidak. Kesamaan derivatif separa kepada sifar adalah syarat yang perlu tetapi tidak mencukupi untuk kewujudan ekstrem. Pertimbangkan, sebagai contoh, fungsi z = hu. Untuk itu, titik 0(0; 0) adalah kritikal (bertukar kepada sifar). Walau bagaimanapun, fungsi ekstrem di dalamnya adalah z = xy tidak mempunyai, kerana dalam kejiranan yang cukup kecil pada titik O(0;0) terdapat titik yang mana z> 0 (mata suku pertama dan ke-3) dan z< 0 (mata suku II dan IV).

Oleh itu, untuk mencari ekstrem fungsi dalam kawasan tertentu, adalah perlu untuk menundukkan setiap titik kritikal fungsi tersebut kepada penyelidikan tambahan.

Titik pegun ditemui dengan menyelesaikan sistem persamaan

(syarat yang diperlukan untuk ekstrem).

Sistem (1) adalah bersamaan dengan satu persamaan df(x, y)=0. Secara umum, pada titik ekstrem P(a, b) fungsi f(x, y) atau df(x, y)=0, atau df(a, b) tidak wujud.

3°. Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem. biarlah P(a; b)- titik pegun fungsi f(x,y), i.e. . df(a, b) = 0. Kemudian:

dan jika d2f (a, b)< 0 pada , kemudian f(a, b) Terdapat maksimum fungsi f (x, y);

b) jika d2f (a, b) > 0 pada , kemudian f(a, b)Terdapat minimum fungsi f (x,y);

c) jika d2f (a, b) menukar tanda, kemudian f (a, b) bukan ekstrem fungsi f (x, y).

Syarat yang diberikan adalah bersamaan dengan yang berikut: biarkan Dan . Jom mengarang diskriminasi Δ=AC -B².

1) jika Δ > 0, maka fungsi mempunyai ekstrem pada titik P(a;b) iaitu maksimum jika A<0 (atau DENGAN<0 ), dan minimum jika A>0(atau С>0);

2) jika Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Tidak;

3) jika Δ =0, maka persoalan kehadiran ekstrem fungsi pada titik itu P(a; b) tetap terbuka (penyelidikan lanjut diperlukan).

4°. Kes fungsi beberapa pembolehubah. Untuk fungsi tiga atau lebih pembolehubah, syarat yang diperlukan untuk kewujudan ekstrem adalah serupa dengan keadaan (1), dan keadaan yang mencukupi adalah serupa dengan keadaan a), b), c) 3°.

Contoh. Periksa fungsi ekstrem z=x³+3xy²-15x-12y.

Penyelesaian. Mari cari derivatif separa dan buat sistem persamaan (1):

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh empat mata pegun:

Mari cari derivatif tertib ke-2

dan mewujudkan diskriminasi Δ=AC - B² bagi setiap titik pegun.

1) Untuk mata: , Δ=AC-B²=36-144<0 . Ini bermakna tidak ada ekstrem pada titik itu.

2) Untuk titik P2: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. Pada titik P2 fungsi mempunyai minimum. Minimum ini adalah sama dengan nilai fungsi di x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Untuk mata: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . Tidak ada yang melampau.

4) Untuk titik P 4: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. Pada titik P4 fungsi mempunyai maksimum sama dengan Zmaks=-8-6+30+12=28.

5°. Ekstrem bersyarat. Dalam kes yang paling mudah ekstrem bersyarat fungsi f(x,y) ialah maksimum atau minimum bagi fungsi ini, dicapai di bawah syarat hujahnya dikaitkan dengan persamaan φ(x,y)=0 (persamaan sambungan). Untuk mencari ekstrem bersyarat bagi suatu fungsi f(x, y) dengan adanya perhubungan φ(x,y) = 0, membentuk apa yang dipanggil Fungsi Lagrange

F (x,y )=f (x,y )+λφ (x,y ),

di mana λ ialah faktor pemalar yang tidak ditentukan, dan ekstrem biasa bagi fungsi tambahan ini dicari. Syarat yang diperlukan untuk ekstrem dikurangkan kepada sistem tiga persamaan

dengan tiga yang tidak diketahui x, y, λ, yang mana yang tidak diketahui ini boleh, secara amnya, ditentukan.

Persoalan kewujudan dan sifat ekstrem bersyarat diselesaikan berdasarkan kajian tanda pembezaan kedua fungsi Lagrange

untuk sistem nilai yang diuji x, y, λ, diperoleh daripada (2) dengan syarat bahawa dx Dan dу berkaitan dengan persamaan

.

Iaitu, fungsi f(x,y) mempunyai maksimum bersyarat jika d²F< 0, dan minimum bersyarat jika d²F>0. Khususnya, jika diskriminasi Δ untuk fungsi F(x,y) adalah positif pada titik pegun, maka pada titik ini terdapat maksimum bersyarat bagi fungsi tersebut f(x, y), Jika A< 0 (atau DENGAN< 0), dan minimum bersyarat jika A > O(atau С>0).

Begitu juga, ekstrem bersyarat bagi fungsi tiga atau lebih pembolehubah didapati dengan kehadiran satu atau lebih persamaan sambungan (bilangan yang, bagaimanapun, mestilah kurang daripada bilangan pembolehubah). Di sini kita perlu memperkenalkan seberapa banyak faktor yang tidak pasti ke dalam fungsi Lagrange kerana terdapat persamaan gandingan.

Contoh. Cari ekstrem bagi fungsi itu z =6-4x -3y dengan syarat pembolehubah X Dan di memenuhi persamaan x²+y²=1.

Penyelesaian. Secara geometri, masalahnya datang kepada mencari nilai terbesar dan terkecil aplikasi z kapal terbang z=6 - 4x - Zu untuk titik persilangannya dengan silinder x2+y2=1.

Menyusun fungsi Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Kami ada . Keadaan yang diperlukan memberikan sistem persamaan

penyelesaian yang kami dapati:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

Jika dan , maka d²F >0, dan, oleh itu, pada ketika ini fungsi mempunyai minimum bersyarat. Jika dan , kemudian d²F<0, dan, oleh itu, pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum bersyarat.

Oleh itu,

6°. Nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Biarkan fungsi z =f (x ; y) ditakrifkan dan berterusan dalam kawasan tertutup yang terhad . Kemudian dia sampai di beberapa titik terhebat anda M dan paling kurang T nilai (kononnya ekstrem global). Nilai-nilai ini dicapai oleh fungsi pada titik yang terletak di dalam rantau ini , atau pada titik yang terletak di sempadan wilayah.