Garis ab dan bc adalah selari, bersilang dan bersilang. Definisi

Teorem. Jika satu garis terletak pada satah tertentu, dan garis lain memotong satah ini pada titik yang bukan milik garis pertama, maka kedua-dua garis ini bersilang. Tanda garisan lintasan Bukti. Biarkan garisan a terletak dalam satah, dan garisan b bersilang dengan satah di titik B, yang bukan kepunyaan garis a. Jika garis a dan b terletak pada satah yang sama, maka titik B juga akan terletak pada satah ini. Oleh kerana hanya terdapat satu satah melalui garisan dan satu titik di luar garisan ini, maka satah ini mestilah satah. Tetapi kemudian garis lurus b akan terletak di dalam pesawat, yang bercanggah dengan keadaan itu. Akibatnya, garis lurus a dan b tidak terletak pada satah yang sama, i.e. kacukan.

Berapakah pasang garis senget yang terdapat yang mengandungi tepi prisma segi tiga sekata? Penyelesaian: Bagi setiap tepi tapak terdapat tiga tepi yang bersilang dengannya. Untuk setiap tepi sisi terdapat dua rusuk yang bersilang dengannya. Oleh itu, bilangan pasangan garisan condong yang diperlukan ialah Latihan 5

Berapakah pasang garis senget yang terdapat yang mengandungi tepi prisma heksagon sekata? Penyelesaian: Setiap tepi tapak mengambil bahagian dalam 8 pasang garisan silang. Setiap tepi sisi mengambil bahagian dalam 8 pasang garisan silang. Oleh itu, bilangan pasangan garisan condong yang diperlukan ialah Latihan 6

Jika dua garisan dalam ruang mempunyai titik sepunya, maka kedua-dua garis ini dikatakan bersilang. Dalam rajah berikut, garis a dan b bersilang di titik A. Garis a dan c tidak bersilang.

Mana-mana dua garis lurus sama ada hanya mempunyai satu titik sepunya atau tidak mempunyai titik sepunya.

Garis selari

Dua garisan di angkasa dipanggil selari jika ia terletak pada satah yang sama dan tidak bersilang. Untuk menandakan garis selari, gunakan ikon khas - ||.

Notasi a||b bermakna garis a selari dengan garis b. Dalam rajah yang dibentangkan di atas, garis a dan c adalah selari.

Teorem Garis Selari

Melalui mana-mana titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, terdapat melewati garis selari dengan yang diberikan dan, lebih-lebih lagi, hanya satu.

Melintasi garisan

Dua garisan yang terletak pada satah yang sama boleh bersilang atau selari. Tetapi di angkasa, dua garis lurus tidak semestinya tergolong dalam satah ini. Mereka boleh terletak dalam dua satah yang berbeza.

Adalah jelas bahawa garisan yang terletak dalam satah yang berbeza tidak bersilang dan bukan garis selari. Dua garis yang tidak terletak pada satah yang sama dipanggil melintasi garisan lurus.

Rajah berikut menunjukkan dua garis lurus bersilang a dan b, yang terletak pada satah yang berbeza.

Uji dan teorem pada garis condong

Jika satu daripada dua garisan terletak pada satah tertentu, dan garisan yang satu lagi memotong satah ini pada satu titik yang tidak terletak pada garisan pertama, maka garisan ini bersilang.

Teorem pada garis condong: melalui setiap dua garis yang bersilang terdapat satah yang selari dengan garis yang satu lagi, dan, lebih-lebih lagi, hanya satu.

Oleh itu, kami telah mempertimbangkan semua kemungkinan kes kedudukan relatif garis dalam ruang. Terdapat hanya tiga daripada mereka.

1. Garisan bersilang. (Iaitu, mereka hanya mempunyai satu titik persamaan.)

2. Garisan adalah selari. (Iaitu, mereka tidak mempunyai titik yang sama dan terletak dalam satah yang sama.)

3. Garis lurus bersilang. (Iaitu, mereka terletak di satah yang berbeza.)

Tidak sampai seminit pun berlalu sebelum saya mencipta fail Verdov baharu dan meneruskan topik yang begitu menarik. Anda perlu merakam detik-detik suasana kerja, jadi tiada pengenalan lirik. Akan ada pukulan yang membosankan =)

Dua ruang lurus boleh:

1) kacukan;

2) bersilang pada titik;

3) selari;

4) perlawanan.

Kes No. 1 pada asasnya berbeza daripada kes lain. Dua garis lurus bersilang jika ia tidak terletak pada satah yang sama. Angkat satu lengan ke atas dan rentangkan lengan yang satu lagi ke hadapan - berikut ialah contoh garisan silang. Dalam mata No. 2-4 garis lurus mesti terletak dalam satu kapal terbang.

Bagaimana untuk mengetahui kedudukan relatif garisan di angkasa?

Pertimbangkan dua ruang langsung:

– garis lurus yang ditakrifkan oleh titik dan vektor arah;
– garis lurus yang ditakrifkan oleh titik dan vektor arah.

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari buat lukisan skematik:

Lukisan menunjukkan garis lurus bersilang sebagai contoh.

Bagaimana untuk menangani garis lurus ini?

Memandangkan titik diketahui, mudah untuk mencari vektor.

Jika lurus kacukan, kemudian vektor bukan coplanar(lihat pelajaran Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor), dan, oleh itu, penentu yang terdiri daripada koordinatnya ialah bukan sifar. Atau, yang sebenarnya adalah perkara yang sama, ia akan menjadi bukan sifar: .

Dalam kes No. 2-4, struktur kami "jatuh" ke dalam satu satah, dan vektor coplanar, dan hasil campuran vektor bersandar linear bersamaan dengan sifar: .

Mari kembangkan algoritma lagi. Mari kita berpura-pura itu Oleh itu, garis sama ada bersilang, selari, atau bertepatan.

Jika vektor arah kolinear, maka garisan itu sama ada selari atau bertepatan. Untuk paku akhir, saya mencadangkan teknik berikut: ambil mana-mana titik pada satu baris dan gantikan koordinatnya ke dalam persamaan baris kedua; jika koordinat "sesuai", maka garisan itu bertepatan; jika ia "tidak sesuai", maka garisan itu selari.

Algoritmanya mudah, tetapi contoh praktikal masih akan membantu:

Contoh 11

Cari kedudukan relatif dua garis

Penyelesaian: seperti dalam banyak masalah geometri, adalah mudah untuk merumuskan penyelesaian titik demi titik:

1) Kami mengambil titik dan vektor arah daripada persamaan:

2) Cari vektor:

Oleh itu, vektor adalah koplanar, yang bermaksud bahawa garisan terletak pada satah yang sama dan boleh bersilang, selari, atau bertepatan.

4) Mari kita semak vektor arah untuk kolineariti.

Mari kita buat sistem daripada koordinat yang sepadan bagi vektor ini:

daripada semua orang persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, sistem adalah konsisten, koordinat yang sepadan bagi vektor adalah berkadar, dan vektor adalah kolinear.

Kesimpulan: garisan selari atau bertepatan.

5) Ketahui sama ada garisan mempunyai titik sepunya. Mari kita ambil titik kepunyaan baris pertama dan gantikan koordinatnya ke dalam persamaan garis:

Oleh itu, garisan tidak mempunyai titik sepunya, dan mereka tidak mempunyai pilihan selain selari.

Jawab:

Contoh menarik untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 12

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Sila ambil perhatian bahawa baris kedua mempunyai huruf sebagai parameter. Logik. Dalam kes umum, ini adalah dua baris yang berbeza, jadi setiap baris mempunyai parameternya sendiri.

Dan sekali lagi saya menggesa anda untuk tidak melangkau contoh, tugas yang saya cadangkan adalah jauh dari rawak ;-)

Masalah dengan garisan di angkasa

Pada bahagian akhir pelajaran, saya akan cuba mempertimbangkan bilangan maksimum masalah yang berbeza dengan garis spatial. Dalam kes ini, susunan asal cerita akan diperhatikan: pertama kita akan mempertimbangkan masalah dengan garis persimpangan, kemudian dengan garis bersilang, dan pada akhirnya kita akan bercakap tentang garis selari di angkasa. Walau bagaimanapun, saya mesti mengatakan bahawa beberapa tugas pelajaran ini boleh dirumuskan untuk beberapa kes lokasi baris sekaligus, dan dalam hal ini, pembahagian bahagian ke dalam perenggan agak sewenang-wenangnya. Terdapat contoh yang lebih mudah, terdapat contoh yang lebih kompleks, dan diharapkan semua orang akan menemui apa yang mereka perlukan.

Melintasi garisan

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa garis lurus bersilang jika tiada satah di mana kedua-duanya terletak. Apabila saya memikirkan latihan itu, masalah raksasa muncul di fikiran, dan kini saya gembira untuk mempersembahkan kepada perhatian anda seekor naga dengan empat kepala:

Contoh 13

Diberi garis lurus. Diperlukan:

a) membuktikan bahawa garis bersilang;

b) cari persamaan garis yang melalui titik yang berserenjang dengan garis yang diberi;

c) mengarang persamaan garis lurus yang mengandungi serenjang sepunya lintasan garisan;

d) cari jarak antara garisan.

Penyelesaian: Orang yang berjalan akan menguasai jalan:

a) Mari kita buktikan bahawa garis bersilang. Mari cari titik dan vektor arah bagi garisan ini:

Mari cari vektor:

Jom kira hasil campuran vektor:

Oleh itu, vektor bukan coplanar, yang bermaksud bahawa garisan bersilang, itulah yang perlu dibuktikan.

Mungkin semua orang telah lama menyedari bahawa untuk melintasi garisan algoritma pengesahan adalah yang paling singkat.

b) Cari persamaan garis yang melalui titik dan berserenjang dengan garis. Mari buat lukisan skematik:

Untuk perubahan saya menyiarkan secara langsung DI BELAKANG lurus, lihat bagaimana ia dipadamkan sedikit di titik persimpangan. Kacukan? Ya, secara amnya, garis lurus "de" akan disilang dengan garis lurus asal. Walaupun kami tidak berminat pada masa ini, kami hanya perlu membina garis serenjang dan itu sahaja.

Apakah yang diketahui tentang "de" langsung? Perkara kepunyaan itu diketahui. Vektor panduan tidak mencukupi.

Mengikut syarat, garis lurus mestilah berserenjang dengan garis lurus, yang bermaksud vektor arahnya akan ortogon dengan vektor arah. Sudah biasa daripada Contoh No. 9, mari cari produk vektor:

Mari kita susun persamaan garis lurus "de" menggunakan titik dan vektor arah:

sedia. Pada dasarnya, anda boleh menukar tanda dalam penyebut dan menulis jawapan dalam borang , tetapi tidak perlu untuk ini.

Untuk menyemak, anda perlu menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan garis lurus yang terhasil, kemudian gunakan hasil darab skalar bagi vektor pastikan bahawa vektor benar-benar ortogon dengan vektor arah "pe satu" dan "pe dua".

Bagaimana untuk mencari persamaan garis yang mengandungi serenjang sepunya?

c) Masalah ini akan menjadi lebih sukar. Saya mengesyorkan agar dummies melangkau perkara ini, saya tidak mahu menyejukkan simpati ikhlas anda untuk geometri analisis =) By the way, mungkin lebih baik untuk pembaca yang lebih bersedia untuk menahan juga, hakikatnya dari segi kerumitan contohnya harus diletakkan terakhir dalam artikel, tetapi mengikut logik pembentangan ia harus terletak di sini.

Jadi, anda perlu mencari persamaan garis yang mengandungi serenjang sepunya garis condong.

- ini ialah segmen yang menghubungkan garisan ini dan berserenjang dengan garisan ini:

Inilah lelaki kacak kami: - garisan bersilang serenjang biasa. Dia seorang sahaja. Tidak ada yang lain seperti itu. Kita perlu mencipta persamaan untuk garis yang mengandungi segmen ini.

Apakah yang diketahui tentang "um" langsung? Vektor arahnya diketahui, terdapat dalam perenggan sebelumnya. Tetapi, malangnya, kita tidak tahu satu pun titik kepunyaan garis lurus “em”, dan kita juga tidak tahu hujung serenjang – titik . Di manakah garis serenjang ini bersilang dengan dua garis asal? Di Afrika, di Antartika? Dari semakan awal dan analisis keadaan, tidak jelas sama sekali cara menyelesaikan masalah... Tetapi terdapat helah rumit yang dikaitkan dengan penggunaan persamaan parametrik garis lurus.

Kami akan merumuskan keputusan titik demi titik:

1) Mari kita tulis semula persamaan baris pertama dalam bentuk parametrik:

Mari kita pertimbangkan perkara itu. Kami tidak tahu koordinat. TAPI. Jika titik kepunyaan garis tertentu, maka koordinatnya sepadan dengan , mari kita nyatakan dengan . Kemudian koordinat titik akan ditulis dalam bentuk:

Kehidupan semakin baik, satu yang tidak diketahui masih bukan tiga yang tidak diketahui.

2) Kemarahan yang sama mesti dilakukan pada titik kedua. Mari kita tulis semula persamaan baris kedua dalam bentuk parametrik:

Jika titik kepunyaan garis tertentu, maka dengan maksud yang sangat spesifik koordinatnya mesti memenuhi persamaan parametrik:

Atau:

3) Vektor, seperti vektor yang ditemui sebelum ini, akan menjadi vektor arah garis lurus. Bagaimana untuk membina vektor dari dua titik telah dibincangkan sejak dahulu lagi di dalam kelas Vektor untuk boneka. Sekarang perbezaannya ialah koordinat vektor ditulis dengan nilai parameter yang tidak diketahui. Jadi apa? Tiada siapa yang melarang menolak koordinat yang sepadan bagi permulaan vektor daripada koordinat penghujung vektor.

Terdapat dua titik: .

Mencari vektor:

4) Oleh kerana vektor arah adalah kolinear, satu vektor dinyatakan secara linear melalui yang lain dengan pekali perkadaran tertentu "lambda":

Atau koordinat demi koordinat:

Ternyata yang paling biasa sistem persamaan linear dengan tiga perkara yang tidak diketahui, yang boleh diselesaikan secara standard, sebagai contoh, kaedah Cramer. Tetapi di sini adalah mungkin untuk turun dengan sedikit kerugian; dari persamaan ketiga kita akan menyatakan "lambda" dan menggantikannya ke dalam persamaan pertama dan kedua:

Oleh itu: , dan kami tidak memerlukan "lambda". Hakikat bahawa nilai parameter ternyata sama adalah semata-mata kemalangan.

5) Langit benar-benar cerah, mari kita gantikan nilai yang ditemui kepada mata kami:

Vektor arah tidak diperlukan terutamanya, kerana rakan sejawatannya telah ditemui.

Ia sentiasa menarik untuk diperiksa selepas perjalanan yang panjang.

:

Persamaan yang betul diperolehi.

Mari kita gantikan koordinat titik ke dalam persamaan :

Persamaan yang betul diperolehi.

6) Kord akhir: mari buat persamaan garis lurus menggunakan titik (anda boleh mengambilnya) dan vektor arah:

Pada dasarnya, anda boleh memilih titik "baik" dengan koordinat utuh, tetapi ini adalah kosmetik.

Bagaimana untuk mencari jarak antara garis bersilang?

d) Kami memotong kepala keempat naga.

Kaedah satu. Bukan kaedah, tetapi kes khas yang kecil. Jarak antara garisan silang adalah sama dengan panjang serenjang sepunya mereka: .

Titik melampau bagi serenjang sepunya terdapat dalam perenggan sebelumnya, dan tugasnya adalah asas:

Kaedah kedua. Dalam amalan, selalunya hujung serenjang biasa tidak diketahui, jadi pendekatan yang berbeza digunakan. Satah selari boleh dilukis melalui dua garis lurus yang bersilang, dan jarak antara satah ini adalah sama dengan jarak antara garis lurus ini. Khususnya, satu serenjang biasa menonjol di antara satah ini.

Dalam perjalanan geometri analitik, daripada pertimbangan di atas, formula diperoleh untuk mencari jarak antara garis lurus yang bersilang:
(bukannya mata kami "um satu, dua" anda boleh mengambil titik garisan sewenang-wenangnya).

Hasil campuran vektor sudah ditemui di titik "a": .

Produk vektor bagi vektor terdapat dalam perenggan "be": , mari kita hitung panjangnya:

Oleh itu:

Mari dengan bangganya mempamerkan trofi dalam satu baris:

Jawab:
A) , yang bermaksud bahawa garis lurus bersilang, iaitu apa yang diperlukan untuk dibuktikan;
b) ;
V) ;
G)

Apa lagi yang boleh anda ceritakan tentang melintasi garisan? Terdapat sudut tertentu di antara mereka. Tetapi kami akan mempertimbangkan formula sudut universal dalam perenggan seterusnya:

Bersilang ruang lurus semestinya terletak pada satah yang sama:

Pemikiran pertama adalah bersandar pada titik persimpangan dengan sekuat tenaga. Dan saya segera berfikir, mengapa menafikan diri anda keinginan yang betul?! Mari kita naik ke atas dia sekarang!

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis ruang?

Contoh 14

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Mari kita tulis semula persamaan garis dalam bentuk parametrik:

Tugas ini telah dibincangkan secara terperinci dalam Contoh No. 7 pelajaran ini (lihat. Persamaan garis dalam ruang). Dan dengan cara ini, saya mengambil garis lurus sendiri dari Contoh No. 12. Saya tidak akan berbohong, saya terlalu malas untuk mencipta yang baharu.

Penyelesaiannya adalah piawai dan telah ditemui semasa kami cuba memikirkan persamaan untuk serenjang sepunya garis bersilang.

Titik persilangan garis tergolong dalam garis, oleh itu koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis ini, dan sepadan dengannya nilai parameter yang sangat spesifik:

Tetapi titik yang sama ini juga tergolong dalam baris kedua, oleh itu:

Kami menyamakan persamaan yang sepadan dan menjalankan penyederhanaan:

Satu sistem tiga persamaan linear dengan dua tidak diketahui diperolehi. Jika garisan bersilang (yang dibuktikan dalam Contoh No. 12), maka sistem itu semestinya konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik. Ia boleh diselesaikan Kaedah Gaussian, tetapi kami tidak akan berdosa dengan fetisisme tadika seperti itu, kami akan melakukannya dengan lebih mudah: dari persamaan pertama kami menyatakan "te zero" dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

Dua persamaan terakhir ternyata pada asasnya sama, dan ia mengikuti daripada mereka bahawa . Kemudian:

Mari kita gantikan nilai parameter yang ditemui ke dalam persamaan:

Jawab:

Untuk menyemak, kami menggantikan nilai parameter yang ditemui ke dalam persamaan:
Koordinat yang sama diperolehi yang perlu disemak. Pembaca yang teliti boleh menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan kanonik asal garis.

Dengan cara ini, adalah mungkin untuk melakukan sebaliknya: cari titik melalui "es zero", dan semaknya melalui "te zero".

Takhayul matematik yang terkenal berkata: di mana persilangan garis dibincangkan, sentiasa ada bau serenjang.

Bagaimana untuk membina garisan ruang berserenjang dengan yang diberikan?

(garisan bersilang)

Contoh 15

a) Tuliskan persamaan garis yang melalui titik yang berserenjang dengan garis tersebut (garisan bersilang).

b) Cari jarak dari titik ke garis.

Catatan : klausa “garis bersilang” – ketara. Melalui titik
anda boleh melukis bilangan garis serenjang yang tidak terhingga yang akan bersilang dengan garis lurus "el". Satu-satunya penyelesaian berlaku dalam kes apabila garis lurus berserenjang dengan titik tertentu dilukis dua diberikan dengan garis lurus (lihat Contoh No. 13, titik “b”).

A) Penyelesaian: Kami menandakan baris yang tidak diketahui dengan . Mari buat lukisan skematik:

Apakah yang diketahui tentang garis lurus? Mengikut syarat, satu mata diberikan. Untuk menyusun persamaan garis lurus, adalah perlu untuk mencari vektor arah. Vektor agak sesuai sebagai vektor sedemikian, jadi kami akan menanganinya. Lebih tepat lagi, mari kita ambil hujung vektor yang tidak diketahui dengan teliti.

1) Mari kita keluarkan vektor arahnya daripada persamaan garis lurus "el", dan tulis semula persamaan itu sendiri dalam bentuk parametrik:

Ramai yang meneka bahawa sekarang untuk kali ketiga semasa pelajaran, ahli silap mata akan menarik seekor angsa putih dari topinya. Pertimbangkan satu titik dengan koordinat yang tidak diketahui. Oleh kerana titiknya ialah , koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis lurus "el" dan ia sepadan dengan nilai parameter tertentu:

Atau dalam satu baris:

2) Mengikut keadaan, garis mestilah berserenjang, oleh itu, vektor arahnya adalah ortogon. Dan jika vektor adalah ortogonal, maka mereka produk skalar sama dengan sifar:

Apa yang berlaku? Persamaan linear termudah dengan satu yang tidak diketahui:

3) Nilai parameter diketahui, mari cari titik:

Dan vektor arah:
.

4) Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Penyebut bagi perkadaran itu ternyata pecahan, dan ini betul-betul berlaku apabila ia sesuai untuk menyingkirkan pecahan. Saya hanya akan mendarabkannya dengan -2:

Jawab:

Catatan : pengakhiran yang lebih ketat kepada penyelesaian diformalkan seperti berikut: mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah. Sesungguhnya, jika vektor ialah vektor pemandu garis lurus, maka vektor kolinear, secara semula jadi, juga akan menjadi vektor panduan garis lurus ini.

Pengesahan terdiri daripada dua peringkat:

1) semak vektor arah garis untuk keortogonan;

2) kita menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan setiap baris, mereka harus "sesuai" di sana dan di sana.

Terdapat banyak perbincangan tentang tindakan biasa, jadi saya menyemak draf.

By the way, saya terlupa satu lagi titik - untuk membina titik "zyu" simetri kepada titik "en" berbanding dengan garis lurus "el". Walau bagaimanapun, terdapat "analog rata" yang baik, yang boleh didapati dalam artikel itu Masalah paling mudah dengan garis lurus pada satah. Di sini satu-satunya perbezaan adalah dalam koordinat "Z" tambahan.

Bagaimana untuk mencari jarak dari titik ke garisan dalam ruang?

b) Penyelesaian: Mari kita cari jarak dari titik ke garis.

Kaedah satu. Jarak ini betul-betul sama dengan panjang serenjang: . Penyelesaiannya adalah jelas: jika mata diketahui , Itu:

Kaedah kedua. Dalam masalah praktikal, asas serenjang sering menjadi rahsia yang dimeterai, jadi lebih rasional untuk menggunakan formula siap pakai.

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan formula:
, di manakah vektor arah bagi garis lurus “el”, dan – percuma titik kepunyaan garis tertentu.

1) Daripada persamaan garis kami mengeluarkan vektor arah dan titik yang paling mudah diakses.

2) Titik diketahui dari keadaan, tajamkan vektor:

3) Jom cari produk vektor dan hitung panjangnya:

4) Kira panjang vektor panduan:

5) Oleh itu, jarak dari titik ke garis:

garisan l1 dan l2 dipanggil condong jika ia tidak terletak pada satah yang sama. Biarkan a dan b ialah vektor arah bagi garis-garis ini, dan biarkan titik M1 dan M2 tergolong dalam garis l1 dan l2, masing-masing.

Maka vektor a, b, M1M2> bukan seplanar, dan oleh itu hasil campurannya tidak sama dengan sifar, iaitu (a, b, M1M2>) =/= 0. Pernyataan sebaliknya juga benar: jika (a, b , M1M2> ) =/= 0, maka vektor a, b, M1M2> bukan coplanar, dan, oleh itu, garis l1 dan l2 tidak terletak dalam satah yang sama, iaitu, ia bersilang. Oleh itu, dua garis bersilang jika dan hanya jika keadaan(a, b, M1M2>) =/= 0, di mana a dan b ialah vektor arah garis, dan M1 dan M2 ialah titik kepunyaan, masing-masing, kepada garis ini. Keadaan (a, b, M1M2>) = 0 adalah syarat yang perlu dan mencukupi untuk fakta bahawa garisan terletak pada satah yang sama. Jika garis diberikan oleh persamaan kanoniknya

maka a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) dan keadaan (2) ditulis seperti berikut:

Jarak antara garisan lintasan

ini ialah jarak antara satu daripada garis bersilang dengan satah yang selari dengannya, melalui garisan lain. Jarak antara garis bersilang ialah jarak dari satu titik satu daripada garis bersilang ke satah yang melalui garis lain yang selari dengan yang pertama. barisan.

26. Definisi elips, persamaan kanonik. Terbitan persamaan kanonik. Hartanah.

Ellips ialah lokus geometri titik pada satah yang jumlah jarak ke dua titik fokus F1 dan F2 satah ini, dipanggil fokus, ialah nilai tetap. Dalam kes ini, kebetulan fokus elips ialah tidak dikecualikan. Jika perisa bertepatan, maka elips adalah bulatan. Untuk mana-mana elips anda boleh mencari sistem koordinat Cartesian supaya elips akan diterangkan oleh persamaan (persamaan kanonik elips):

Ia menerangkan elips berpusat pada asal, yang paksinya bertepatan dengan paksi koordinat.

Jika di sebelah kanan terdapat unit dengan tanda tolak, maka persamaan yang terhasil ialah:

menerangkan elips khayalan. Adalah mustahil untuk menggambarkan elips sedemikian dalam satah sebenar. Mari kita nyatakan fokus oleh F1 dan F2, dan jarak di antara mereka dengan 2c, dan jumlah jarak dari titik arbitrari elips ke fokus dengan 2a

Untuk mendapatkan persamaan elips, kami memilih sistem koordinat Oxy supaya fokus F1 dan F2 terletak pada paksi Ox, dan asalan bertepatan dengan tengah segmen F1F2. Kemudian fokus akan mempunyai koordinat berikut: dan Biarkan M(x;y) menjadi titik arbitrari bagi elips. Kemudian, mengikut definisi elips, i.e.

Ini, pada dasarnya, adalah persamaan elips.

27. Takrif hiperbola, persamaan kanonik. Terbitan persamaan kanonik. Hartanah

Hiperbola ialah lokus geometri titik pada satah yang mana nilai mutlak perbezaan jarak ke dua titik tetap F1 dan F2 satah ini, dipanggil fokus, ialah nilai malar. Biarkan M(x;y) menjadi arbitrari titik hiperbola. Kemudian, mengikut takrifan hiperbola |MF 1 – MF 2 |=2a atau MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definisi parabola, persamaan kanonik. Terbitan persamaan kanonik. Hartanah. Parabola ialah HMT bagi satah yang jaraknya ke beberapa titik tetap F bagi satah ini adalah sama dengan jarak kepada beberapa garis lurus tetap, juga terletak dalam satah yang sedang dipertimbangkan. F – fokus parabola; garis tetap ialah direktriks parabola. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 =2px;

Hartanah: 1. Parabola mempunyai paksi simetri (paksi parabola); 2.Semua

parabola terletak di separuh satah kanan satah Oxy pada p>0, dan di sebelah kiri

jika p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.