Cara menambah pecahan tak wajar. Operasi dengan pecahan

rumah / Cinta

Pelajaran ini akan merangkumi penambahan dan penolakan pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza. Kita sudah tahu cara menambah dan menolak pecahan biasa dengan penyebut yang berbeza. Untuk melakukan ini, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut biasa. Ternyata pecahan algebra mengikut peraturan yang sama. Pada masa yang sama, kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan algebra kepada penyebut sepunya. Menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza adalah salah satu topik yang paling penting dan sukar dalam kursus gred 8. Selain itu, topik ini akan muncul dalam banyak topik dalam kursus algebra yang akan anda pelajari pada masa hadapan. Sebagai sebahagian daripada pelajaran, kami akan mengkaji peraturan untuk menambah dan menolak pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza, dan juga menganalisis beberapa contoh biasa.

Mari kita lihat contoh paling mudah untuk pecahan biasa.

Contoh 1. Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Mari kita ingat peraturan untuk menambah pecahan. Untuk memulakan, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut biasa. Penyebut sepunya bagi pecahan biasa ialah gandaan sepunya terkecil(LCM) penyebut asal.

Definisi

Nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan kedua-dua nombor dan .

Untuk mencari LCM, anda perlu memfaktorkan penyebut ke dalam faktor perdana, dan kemudian memilih semua faktor perdana yang termasuk dalam pengembangan kedua-dua penyebut.

; . Kemudian LCM nombor mesti termasuk dua dua dan dua tiga: .

Selepas mencari penyebut sepunya, anda perlu mencari faktor tambahan bagi setiap pecahan (sebenarnya, bahagikan penyebut sepunya dengan penyebut pecahan yang sepadan).

Setiap pecahan kemudiannya didarab dengan faktor tambahan yang terhasil. Kami mendapat pecahan dengan penyebut yang sama, yang kami pelajari untuk menambah dan menolak dalam pelajaran sebelumnya.

Kita mendapatkan: .

Jawapan:.

Sekarang mari kita pertimbangkan penambahan pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza. Pertama, mari kita lihat pecahan yang penyebutnya ialah nombor.

Contoh 2. Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Algoritma penyelesaian benar-benar serupa dengan contoh sebelumnya. Adalah mudah untuk mencari penyebut sepunya bagi pecahan ini: dan faktor tambahan bagi setiap pecahan tersebut.

Jawapan:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menambah dan menolak pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza:

1. Cari penyebut sepunya terendah bagi pecahan.

2. Cari faktor tambahan bagi setiap pecahan (dengan membahagikan penyebut sepunya dengan penyebut pecahan yang diberi).

3. Darabkan pengangka dengan faktor tambahan yang sepadan.

4. Menambah atau menolak pecahan menggunakan peraturan menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang sama.

Sekarang mari kita pertimbangkan contoh dengan pecahan yang penyebutnya mengandungi ungkapan huruf.

Contoh 3. Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Oleh kerana ungkapan huruf dalam kedua-dua penyebut adalah sama, anda harus mencari penyebut sepunya untuk nombor tersebut. Penyebut biasa akhir akan kelihatan seperti: . Oleh itu, penyelesaian kepada contoh ini kelihatan seperti:.

Jawapan:.

Contoh 4. Tolak pecahan: .

Penyelesaian:

Jika anda tidak boleh "menipu" semasa memilih penyebut biasa (anda tidak boleh memfaktorkannya atau menggunakan formula pendaraban singkatan), maka anda perlu mengambil hasil darab penyebut kedua-dua pecahan sebagai penyebut sepunya.

Jawapan:.

Secara umum, apabila menyelesaikan contoh sedemikian, tugas yang paling sukar ialah mencari penyebut biasa.

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 5. Permudahkan: .

Penyelesaian:

Apabila mencari penyebut biasa, anda mesti cuba memfaktorkan penyebut pecahan asal (untuk memudahkan penyebut biasa).

Dalam kes khusus ini:

Maka mudah untuk menentukan penyebut biasa: .

Kami menentukan faktor tambahan dan menyelesaikan contoh ini:

Jawapan:.

Sekarang mari kita wujudkan peraturan untuk menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza.

Contoh 6. Permudahkan: .

Penyelesaian:

Jawapan:.

Contoh 7. Permudahkan: .

Penyelesaian:

Jawapan:.

Sekarang mari kita pertimbangkan contoh di mana bukan dua, tetapi tiga pecahan ditambah (lagipun, peraturan penambahan dan penolakan untuk bilangan pecahan yang lebih besar tetap sama).

Contoh 8. Permudahkan: .

Mari kita lihat contoh paling mudah untuk pecahan biasa.

Contoh 1. Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Definisi

Nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan kedua-dua nombor dan .

Untuk mencari LCM, anda perlu memfaktorkan penyebut ke dalam faktor perdana, dan kemudian memilih semua faktor perdana yang termasuk dalam pengembangan kedua-dua penyebut.

; . Kemudian LCM nombor mesti termasuk dua dua dan dua tiga: .

Selepas mencari penyebut sepunya, anda perlu mencari faktor tambahan bagi setiap pecahan (sebenarnya, bahagikan penyebut sepunya dengan penyebut pecahan yang sepadan).

Setiap pecahan kemudiannya didarab dengan faktor tambahan yang terhasil. Kami mendapat pecahan dengan penyebut yang sama, yang kami pelajari untuk menambah dan menolak dalam pelajaran sebelumnya.

Kita mendapatkan: .

Jawapan:.

Sekarang mari kita pertimbangkan penambahan pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza. Pertama, mari kita lihat pecahan yang penyebutnya ialah nombor.

Contoh 2. Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Algoritma penyelesaian benar-benar serupa dengan contoh sebelumnya. Adalah mudah untuk mencari penyebut sepunya bagi pecahan ini: dan faktor tambahan bagi setiap pecahan tersebut.

Jawapan:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menambah dan menolak pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza:

1. Cari penyebut sepunya terendah bagi pecahan.

2. Cari faktor tambahan bagi setiap pecahan (dengan membahagikan penyebut sepunya dengan penyebut pecahan yang diberi).

3. Darabkan pengangka dengan faktor tambahan yang sepadan.

4. Menambah atau menolak pecahan menggunakan peraturan menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang sama.

Sekarang mari kita pertimbangkan contoh dengan pecahan yang penyebutnya mengandungi ungkapan huruf.

Contoh 3. Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Jawapan:.

Contoh 4. Tolak pecahan: .

Penyelesaian:

Jawapan:.

Secara umum, apabila menyelesaikan contoh sedemikian, tugas yang paling sukar ialah mencari penyebut biasa.

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 5. Permudahkan: .

Penyelesaian:

Apabila mencari penyebut biasa, anda mesti cuba memfaktorkan penyebut pecahan asal (untuk memudahkan penyebut biasa).

Dalam kes khusus ini:

Maka mudah untuk menentukan penyebut biasa: .

Kami menentukan faktor tambahan dan menyelesaikan contoh ini:

Jawapan:.

Sekarang mari kita wujudkan peraturan untuk menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza.

Contoh 6. Permudahkan: .

Penyelesaian:

Jawapan:.

Contoh 7. Permudahkan: .

Penyelesaian:

Jawapan:.

Sekarang mari kita pertimbangkan contoh di mana bukan dua, tetapi tiga pecahan ditambah (lagipun, peraturan penambahan dan penolakan untuk bilangan pecahan yang lebih besar tetap sama).

Contoh 8. Permudahkan: .

Ungkapan pecahan sukar difahami oleh kanak-kanak. Kebanyakan orang mengalami kesukaran dengan. Apabila mempelajari topik "menambah pecahan dengan nombor bulat," kanak-kanak itu jatuh ke dalam pengsan, mendapati sukar untuk menyelesaikan masalah itu. Dalam banyak contoh, sebelum melakukan tindakan, satu siri pengiraan mesti dilakukan. Contohnya, tukarkan pecahan atau tukarkan pecahan tak wajar kepada pecahan wajar.

Mari jelaskan dengan jelas kepada kanak-kanak itu. Mari ambil tiga epal, dua daripadanya akan menjadi keseluruhan, dan potong yang ketiga kepada 4 bahagian. Pisahkan satu keping dari epal yang dipotong, dan letakkan baki tiga di sebelah dua buah keseluruhan. Kami mendapat ¼ sebiji epal di satu sisi dan 2 ¾ di sebelah yang lain. Jika kita gabungkan, kita dapat tiga biji epal. Mari cuba kurangkan 2 ¾ epal sebanyak ¼, iaitu, keluarkan hirisan lain, kita dapat 2 2/4 epal.

Mari kita lihat dengan lebih dekat operasi dengan pecahan yang mengandungi integer:

Mula-mula, mari kita ingat peraturan pengiraan untuk ungkapan pecahan dengan penyebut biasa:

Pada pandangan pertama, semuanya mudah dan ringkas. Tetapi ini hanya terpakai pada ungkapan yang tidak memerlukan penukaran.

Bagaimana untuk mencari nilai ungkapan yang penyebutnya berbeza

Dalam sesetengah tugas, anda perlu mencari makna ungkapan yang penyebutnya berbeza. Mari lihat kes tertentu:
3 2/7+6 1/3

Mari cari nilai ungkapan ini dengan mencari penyebut sepunya bagi dua pecahan.

Untuk nombor 7 dan 3, ini ialah 21. Kami membiarkan bahagian integer sama, dan membawa bahagian pecahan kepada 21, untuk ini kita darabkan pecahan pertama dengan 3, yang kedua dengan 7, kita dapat:
6/21+7/21, jangan lupa bahawa keseluruhan bahagian tidak boleh ditukar. Akibatnya, kita mendapat dua pecahan dengan penyebut yang sama dan mengira jumlahnya:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Bagaimana jika hasil penambahan ialah pecahan tak wajar yang sudah mempunyai bahagian integer:
2 1/3+3 2/3
Dalam kes ini, kami menambah bahagian integer dan bahagian pecahan, kami mendapat:
5 3/3, seperti yang anda tahu, 3/3 ialah satu, yang bermaksud 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Mencari jumlah semuanya jelas, mari lihat penolakan:

Daripada semua yang telah dikatakan, peraturan untuk operasi dengan nombor bercampur berikut:

Jika anda perlu menolak integer daripada ungkapan pecahan, anda tidak perlu mewakili nombor kedua sebagai pecahan; cukup untuk melakukan operasi hanya pada bahagian integer.

Mari kita cuba mengira makna ungkapan itu sendiri:

Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah huruf "m":

4 5/11-2 8/11, pengangka bagi pecahan pertama adalah kurang daripada kedua. Untuk melakukan ini, kita meminjam satu integer daripada pecahan pertama, kita dapat,
3 5/11+11/11=3 keseluruhan 16/11, tolak yang kedua daripada pecahan pertama:
3 16/11-2 8/11=1 keseluruhan 8/11

Berhati-hati semasa menyelesaikan tugasan, jangan lupa untuk menukar pecahan tak wajar kepada pecahan bercampur, menyerlahkan keseluruhan bahagian. Untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan nilai pengangka dengan nilai penyebut, maka apa yang berlaku mengambil tempat keseluruhan bahagian, selebihnya akan menjadi pengangka, contohnya:

19/4=4 ¾, mari kita periksa: 4*4+3=19, penyebut 4 kekal tidak berubah.

ringkaskan:

Sebelum memulakan tugasan yang berkaitan dengan pecahan, adalah perlu untuk menganalisis jenis ungkapan itu, apakah transformasi yang perlu dibuat pada pecahan agar penyelesaiannya betul. Cari penyelesaian yang lebih rasional. Jangan pergi dengan cara yang sukar. Rancang semua tindakan, selesaikan dahulu dalam bentuk draf, kemudian pindahkannya ke buku nota sekolah anda.

Untuk mengelakkan kekeliruan semasa menyelesaikan ungkapan pecahan, anda mesti mengikut peraturan ketekalan. Tentukan semuanya dengan berhati-hati, tanpa tergesa-gesa.

Salah satu sains yang paling penting, aplikasinya boleh dilihat dalam disiplin seperti kimia, fizik dan juga biologi, adalah matematik. Mempelajari sains ini membolehkan anda mengembangkan beberapa kualiti mental dan meningkatkan keupayaan anda untuk menumpukan perhatian. Salah satu topik yang patut diberi perhatian khusus dalam kursus Matematik ialah menambah dan menolak pecahan. Ramai pelajar sukar untuk belajar. Mungkin artikel kami akan membantu anda memahami topik ini dengan lebih baik.

Cara menolak pecahan yang penyebutnya sama

Pecahan ialah nombor yang sama yang anda boleh melakukan pelbagai operasi. Perbezaan mereka daripada nombor bulat terletak pada kehadiran penyebut. Itulah sebabnya, apabila melakukan operasi dengan pecahan, anda perlu mengkaji beberapa ciri dan peraturannya. Kes termudah ialah penolakan pecahan biasa yang penyebutnya diwakili sebagai nombor yang sama. Melakukan tindakan ini tidak sukar jika anda mengetahui peraturan mudah:

Untuk menolak satu saat daripada satu pecahan, adalah perlu untuk menolak pengangka pecahan yang dikurangkan daripada pengangka pecahan yang dikurangkan. Kami menulis nombor ini ke dalam pengangka perbezaan, dan biarkan penyebutnya sama: k/m - b/m = (k-b)/m.

Contoh penolakan pecahan yang penyebutnya sama

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Daripada pengangka pecahan "7" kita tolak pengangka pecahan "3" untuk ditolak, kita dapat "4". Kami menulis nombor ini dalam pengangka jawapan, dan dalam penyebut kami meletakkan nombor yang sama yang ada dalam penyebut pecahan pertama dan kedua - "19".

Gambar di bawah menunjukkan beberapa lagi contoh yang serupa.

Mari kita pertimbangkan contoh yang lebih kompleks di mana pecahan dengan penyebut serupa ditolak:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Daripada pengangka bagi pecahan “29” dikurangkan dengan menolak seterusnya pengangka semua pecahan berikutnya - “3”, “8”, “2”, “7”. Akibatnya, kita mendapat hasil "9", yang kita tulis dalam pengangka jawapan, dan dalam penyebut kita tulis nombor yang ada dalam penyebut semua pecahan ini - "47".

Menambah pecahan yang mempunyai penyebut yang sama

Menambah dan menolak pecahan biasa mengikut prinsip yang sama.

Untuk menambah pecahan yang penyebutnya sama, anda perlu menambah pengangka. Nombor yang terhasil ialah pengangka bagi jumlah, dan penyebutnya akan tetap sama: k/m + b/m = (k + b)/m.

Mari lihat rupanya menggunakan contoh:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kepada pengangka bagi sebutan pertama pecahan - "1" - tambahkan pengangka bagi sebutan kedua pecahan - "2". Hasilnya - "3" - ditulis ke dalam pengangka jumlah, dan penyebut dibiarkan sama seperti yang terdapat dalam pecahan - "4".

Pecahan dengan penyebut yang berbeza dan penolakannya

Kami telah mempertimbangkan operasi dengan pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Seperti yang anda lihat, mengetahui peraturan mudah, menyelesaikan contoh sedemikian agak mudah. Tetapi bagaimana jika anda perlu melakukan operasi dengan pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza? Ramai pelajar sekolah menengah keliru dengan contoh sedemikian. Tetapi di sini pun, jika anda tahu prinsip penyelesaiannya, contoh-contohnya tidak lagi sukar untuk anda. Terdapat juga peraturan di sini, tanpa penyelesaian pecahan sedemikian adalah mustahil.

Untuk menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza, ia mesti dikurangkan kepada penyebut terkecil yang sama.

Kami akan bercakap dengan lebih terperinci tentang cara melakukan ini.

Sifat pecahan

Untuk membawa beberapa pecahan kepada penyebut yang sama, anda perlu menggunakan sifat utama pecahan dalam penyelesaian: selepas membahagi atau mendarab pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama, anda mendapat pecahan yang sama dengan yang diberikan.

Jadi, sebagai contoh, pecahan 2/3 boleh mempunyai penyebut seperti "6", "9", "12", dll., iaitu, ia boleh mempunyai bentuk sebarang nombor yang merupakan gandaan "3". Selepas kita mendarabkan pengangka dan penyebut dengan "2", kita mendapat pecahan 4/6. Selepas kita mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan asal dengan "3", kita mendapat 6/9, dan jika kita melakukan operasi yang serupa dengan nombor "4", kita mendapat 8/12. Satu kesamaan boleh ditulis seperti berikut:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Bagaimana untuk menukar berbilang pecahan kepada penyebut yang sama

Mari kita lihat bagaimana untuk mengurangkan berbilang pecahan kepada penyebut yang sama. Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan yang ditunjukkan dalam gambar di bawah. Mula-mula anda perlu menentukan nombor yang boleh menjadi penyebut untuk kesemuanya. Untuk memudahkan urusan, mari kita memfaktorkan penyebut sedia ada.

Penyebut pecahan 1/2 dan pecahan 2/3 tidak boleh difaktorkan. Penyebut 7/9 mempunyai dua faktor 7/9 = 7/(3 x 3), penyebut pecahan 5/6 = 5/(2 x 3). Sekarang kita perlu menentukan faktor mana yang paling kecil untuk keempat-empat pecahan ini. Oleh kerana pecahan pertama mempunyai nombor "2" dalam penyebut, ini bermakna ia mesti ada dalam semua penyebut; dalam pecahan 7/9 terdapat dua kembar tiga, yang bermaksud bahawa kedua-duanya juga mesti hadir dalam penyebut. Dengan mengambil kira perkara di atas, kami menentukan bahawa penyebut terdiri daripada tiga faktor: 3, 2, 3 dan bersamaan dengan 3 x 2 x 3 = 18.

Mari kita pertimbangkan pecahan pertama - 1/2. Terdapat "2" dalam penyebutnya, tetapi tidak ada satu digit "3", tetapi harus ada dua. Untuk melakukan ini, kita mendarabkan penyebut dengan dua tiga kali ganda, tetapi, mengikut sifat pecahan, kita mesti mendarabkan pengangka dengan dua tiga kali ganda:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Kami melakukan operasi yang sama dengan pecahan yang tinggal.

2/3 - satu tiga dan satu dua hilang dalam penyebut:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 atau 7/(3 x 3) - penyebut kehilangan dua:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 atau 5/(2 x 3) - penyebut kehilangan tiga:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Semuanya kelihatan seperti ini:

Cara menolak dan menambah pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza

Seperti yang dinyatakan di atas, untuk menambah atau menolak pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza, ia mesti dikurangkan kepada penyebut yang sama, dan kemudian menggunakan peraturan untuk menolak pecahan yang mempunyai penyebut yang sama, yang telah dibincangkan.

Mari kita lihat ini sebagai contoh: 4/18 - 3/15.

Mencari gandaan nombor 18 dan 15:

Nombor 18 terdiri daripada 3 x 2 x 3.
Nombor 15 terdiri daripada 5 x 3.
Gandaan sepunya ialah faktor berikut: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Selepas penyebut ditemui, adalah perlu untuk mengira faktor yang akan berbeza untuk setiap pecahan, iaitu nombor yang diperlukan untuk mendarab bukan sahaja penyebut, tetapi juga pengangka. Untuk melakukan ini, bahagikan nombor yang kami temui (gandaan sepunya) dengan penyebut pecahan yang mana faktor tambahan perlu ditentukan.

90 dibahagikan dengan 15. Nombor "6" yang terhasil akan menjadi pendarab untuk 3/15.
90 dibahagikan dengan 18. Nombor "5" yang terhasil akan menjadi pendarab untuk 4/18.

Peringkat seterusnya penyelesaian kami adalah untuk mengurangkan setiap pecahan kepada penyebut "90".

Kami telah bercakap tentang bagaimana ini dilakukan. Mari lihat bagaimana ini ditulis dalam contoh:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jika pecahan mempunyai nombor kecil, maka anda boleh menentukan penyebut sepunya, seperti dalam contoh yang ditunjukkan dalam gambar di bawah.

Perkara yang sama berlaku untuk mereka yang mempunyai penyebut yang berbeza.

Penolakan dan mempunyai bahagian integer

Kami telah membincangkan secara terperinci penolakan pecahan dan penambahannya. Tetapi bagaimana untuk menolak jika pecahan mempunyai bahagian integer? Sekali lagi, mari kita gunakan beberapa peraturan:

Tukarkan semua pecahan yang mempunyai bahagian integer kepada pecahan tak wajar. Dengan kata mudah, keluarkan keseluruhan bahagian. Untuk melakukan ini, darabkan nombor bahagian integer dengan penyebut pecahan, dan tambahkan hasil darab yang terhasil kepada pengangka. Nombor yang keluar selepas tindakan ini ialah pengangka bagi pecahan tak wajar. Penyebut tetap tidak berubah.
Jika pecahan mempunyai penyebut yang berbeza, ia hendaklah dikurangkan kepada penyebut yang sama.
Lakukan penambahan atau penolakan dengan penyebut yang sama.
Apabila menerima pecahan tak wajar, pilih keseluruhan bahagian.

Terdapat satu lagi cara di mana anda boleh menambah dan menolak pecahan dengan bahagian keseluruhan. Untuk melakukan ini, tindakan dilakukan secara berasingan dengan keseluruhan bahagian, dan tindakan dengan pecahan secara berasingan, dan hasilnya direkodkan bersama.

Contoh yang diberikan terdiri daripada pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dalam kes apabila penyebut berbeza, ia mesti dibawa ke nilai yang sama, dan kemudian melakukan tindakan seperti yang ditunjukkan dalam contoh.

Menolak pecahan daripada nombor bulat

Satu lagi jenis operasi dengan pecahan ialah kes apabila pecahan mesti ditolak. Pada pandangan pertama, contoh seperti itu nampak sukar untuk diselesaikan. Walau bagaimanapun, semuanya agak mudah di sini. Untuk menyelesaikannya, anda perlu menukar integer kepada pecahan, dan dengan penyebut yang sama dalam pecahan yang ditolak. Seterusnya, kami melakukan penolakan yang serupa dengan penolakan dengan penyebut yang sama. Dalam contoh ia kelihatan seperti ini:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Penolakan pecahan (gred 6) yang dibentangkan dalam artikel ini adalah asas untuk menyelesaikan contoh yang lebih kompleks yang diliputi dalam gred berikutnya. Pengetahuan tentang topik ini kemudiannya digunakan untuk menyelesaikan fungsi, derivatif, dan sebagainya. Oleh itu, adalah sangat penting untuk memahami dan memahami operasi dengan pecahan yang dibincangkan di atas.

§ 87. Penambahan pecahan.

Menambah pecahan mempunyai banyak persamaan dengan menambah nombor bulat. Penambahan pecahan adalah tindakan yang terdiri daripada fakta bahawa beberapa nombor tertentu (istilah) digabungkan menjadi satu nombor (jumlah), yang mengandungi semua unit dan pecahan unit istilah.

Kami akan mempertimbangkan tiga kes secara berurutan:

1. Penambahan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Penambahan pecahan dengan penyebut yang berbeza.
3. Penambahan nombor bercampur.

1. Penambahan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pertimbangkan contoh: 1/5 + 2/5.

Mari kita ambil segmen AB (Rajah 17), ambil ia sebagai satu dan bahagikannya kepada 5 bahagian yang sama, kemudian bahagian AC segmen ini akan sama dengan 1/5 segmen AB, dan sebahagian daripada segmen CD yang sama akan sama dengan 2/5 AB.

Daripada lukisan itu jelas bahawa jika kita mengambil segmen AD, ia akan sama dengan 3/5 AB; tetapi segmen AD ialah jumlah tepat bagi segmen AC dan CD. Jadi kita boleh menulis:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Mempertimbangkan istilah-istilah ini dan jumlah yang terhasil, kita melihat bahawa pengangka bagi jumlah itu diperolehi dengan menambahkan pengangka bagi istilah, dan penyebutnya kekal tidak berubah.

Daripada ini kita mendapat peraturan berikut: Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan meninggalkan penyebut yang sama.

Mari lihat contoh:

2. Penambahan pecahan dengan penyebut yang berbeza.

Mari tambah pecahan: 3 / 4 + 3 / 8 Mula-mula mereka perlu dikurangkan kepada penyebut sepunya terendah:

Pautan perantaraan 6/8 + 3/8 tidak dapat ditulis; kami telah menulisnya di sini untuk kejelasan.

Oleh itu, untuk menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda mesti terlebih dahulu mengurangkannya kepada penyebut sepunya terendah, menambah pengangkanya dan melabelkan penyebut sepunya.

Mari kita pertimbangkan contoh (kita akan menulis faktor tambahan di atas pecahan yang sepadan):

3. Penambahan nombor bercampur.

Mari tambah nombor: 2 3/8 + 3 5/6.

Mari kita bawa bahagian pecahan nombor kita kepada penyebut biasa dan tulis semulanya semula:

Sekarang kita menambah bahagian integer dan pecahan secara berurutan:

§ 88. Penolakan pecahan.

Menolak pecahan ditakrifkan dengan cara yang sama seperti menolak nombor bulat. Ini adalah tindakan dengan bantuan yang, memandangkan jumlah dua istilah dan satu daripadanya, istilah lain dijumpai. Mari kita pertimbangkan tiga kes berturut-turut:

1. Menolak pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza.
3. Penolakan nombor bercampur.

1. Menolak pecahan dengan penyebut yang sama.

Mari lihat contoh:

13 / 15 - 4 / 15

Mari kita ambil segmen AB (Rajah 18), ambil ia sebagai satu unit dan bahagikannya kepada 15 bahagian yang sama; maka sebahagian AC segmen ini akan mewakili 1/15 AB, dan sebahagian AD segmen yang sama akan sepadan dengan 13/15 AB. Mari kita ketepikan satu lagi segmen ED bersamaan dengan 4/15 AB.

Kita perlu menolak pecahan 4/15 daripada 13/15. Dalam lukisan, ini bermakna segmen ED mesti ditolak daripada segmen AD. Akibatnya, segmen AE akan kekal, iaitu 9/15 segmen AB. Jadi kita boleh menulis:

Contoh yang kami buat menunjukkan bahawa pengangka bagi perbezaan itu diperoleh dengan menolak pengangka, tetapi penyebutnya tetap sama.

Oleh itu, untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menolak pengangka penolakan daripada pengangka bagi penolakan dan meninggalkan penyebut yang sama.

2. Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza.

Contoh. 3/4 - 5/8

Mula-mula, mari kita kurangkan pecahan ini kepada penyebut sepunya terendah:

Pertengahan 6 / 8 - 5 / 8 ditulis di sini untuk kejelasan, tetapi boleh dilangkau kemudian.

Oleh itu, untuk menolak pecahan daripada pecahan, anda mesti terlebih dahulu mengurangkannya kepada penyebut sepunya yang paling rendah, kemudian tolak pengangka bagi titik kecil daripada pengangka bagi titik kecil dan tandatangani penyebut sepunya di bawah perbezaannya.

Mari lihat contoh:

3. Penolakan nombor bercampur.

Contoh. 10 3/4 - 7 2/3.

Mari kita kurangkan bahagian pecahan minuend dan subtrahend kepada penyebut sepunya terendah:

Kami menolak keseluruhan daripada keseluruhan dan pecahan daripada pecahan. Tetapi terdapat kes apabila bahagian pecahan subtrahend lebih besar daripada bahagian pecahan minuend. Dalam kes sedemikian, anda perlu mengambil satu unit daripada keseluruhan bahagian minuend, bahagikannya kepada bahagian-bahagian di mana bahagian pecahan dinyatakan, dan tambahkannya pada bahagian pecahan minuend. Dan kemudian penolakan akan dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam contoh sebelumnya:

§ 89. Pendaraban pecahan.

Semasa mengkaji pendaraban pecahan, kami akan mempertimbangkan soalan berikut:

1. Mendarab pecahan dengan nombor bulat.
2. Mencari pecahan nombor yang diberi.
3. Mendarab nombor bulat dengan pecahan.
4. Mendarab pecahan dengan pecahan.
5. Pendaraban nombor bercampur.
6. Konsep minat.
7. Mencari peratusan bagi nombor yang diberi. Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Mendarab pecahan dengan nombor bulat.

Mendarab pecahan dengan nombor bulat mempunyai maksud yang sama seperti mendarab nombor bulat dengan integer. Untuk mendarab pecahan (daraban) dengan integer (faktor) bermakna mencipta jumlah sebutan yang sama, di mana setiap sebutan adalah sama dengan darab, dan bilangan sebutan adalah sama dengan pendarab.

Ini bermakna jika anda perlu mendarab 1/9 dengan 7, maka ia boleh dilakukan seperti ini:

Kami memperoleh keputusan dengan mudah, kerana tindakan itu dikurangkan kepada menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Oleh itu,

Pertimbangan tindakan ini menunjukkan bahawa mendarab pecahan dengan nombor bulat adalah bersamaan dengan meningkatkan pecahan ini seberapa banyak bilangan unit dalam nombor bulat. Dan kerana peningkatan pecahan dicapai sama ada dengan menambah pengangkanya

atau dengan mengurangkan penyebutnya , maka kita boleh sama ada mendarabkan pengangka dengan integer atau membahagikan penyebut dengannya, jika pembahagian tersebut mungkin.

Dari sini kita mendapat peraturan:

Untuk mendarab pecahan dengan nombor bulat, anda mendarabkan pengangka dengan nombor bulat itu dan membiarkan penyebutnya sama, atau, jika boleh, bahagikan penyebut dengan nombor itu, membiarkan pengangkanya tidak berubah.

Apabila mendarab, singkatan adalah mungkin, contohnya:

2. Mencari pecahan nombor yang diberi. Terdapat banyak masalah di mana anda perlu mencari, atau mengira, sebahagian daripada nombor tertentu. Perbezaan antara masalah ini dengan masalah lain ialah ia memberikan bilangan beberapa objek atau unit ukuran dan anda perlu mencari sebahagian daripada nombor ini, yang juga ditunjukkan di sini oleh pecahan tertentu. Untuk memudahkan pemahaman, kami akan memberikan contoh masalah tersebut, dan kemudian memperkenalkan kaedah untuk menyelesaikannya.

Tugasan 1. Saya mempunyai 60 rubel; Saya menghabiskan 1/3 daripada wang ini untuk membeli buku. Berapakah harga buku tersebut?

Tugasan 2. Kereta api mesti menempuh jarak antara bandar A dan B bersamaan 300 km. Dia sudah menempuh 2/3 jarak ini. Berapa kilometer ini?

Tugasan 3. Terdapat 400 buah rumah di kampung itu, 3/4 daripadanya adalah bata, selebihnya adalah kayu. Berapakah bilangan rumah bata kesemuanya?

Ini adalah beberapa daripada banyak masalah yang kami hadapi untuk mencari sebahagian daripada nombor tertentu. Mereka biasanya dipanggil masalah untuk mencari pecahan nombor yang diberikan.

Penyelesaian masalah 1. Dari 60 gosok. Saya membelanjakan 1/3 untuk buku; Ini bermakna untuk mencari kos buku anda perlu membahagikan nombor 60 dengan 3:

Menyelesaikan masalah 2. Inti masalahnya ialah anda perlu mencari 2/3 daripada 300 km. Mari kita hitung dahulu 1/3 daripada 300; ini dicapai dengan membahagikan 300 km dengan 3:

300: 3 = 100 (iaitu 1/3 daripada 300).

Untuk mencari dua pertiga daripada 300, anda perlu menggandakan hasil bahagi yang terhasil, iaitu, darab dengan 2:

100 x 2 = 200 (iaitu 2/3 daripada 300).

Menyelesaikan masalah 3. Di sini anda perlu menentukan bilangan rumah bata yang membentuk 3/4 daripada 400. Mari mula-mula cari 1/4 daripada 400,

400: 4 = 100 (iaitu 1/4 daripada 400).

Untuk mengira tiga perempat daripada 400, hasil bahagi yang terhasil mesti digandakan tiga kali ganda, iaitu didarab dengan 3:

100 x 3 = 300 (iaitu 3/4 daripada 400).

Berdasarkan penyelesaian kepada masalah ini, kita boleh memperoleh peraturan berikut:

Untuk mencari nilai pecahan daripada nombor tertentu, anda perlu membahagikan nombor ini dengan penyebut pecahan dan darab hasil bahagi yang terhasil dengan pengangkanya.

3. Mendarab nombor bulat dengan pecahan.

Terdahulu (§ 26) telah ditetapkan bahawa pendaraban integer harus difahami sebagai penambahan sebutan yang sama (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Dalam perenggan ini (titik 1) telah ditetapkan bahawa mendarab pecahan dengan integer bermakna mencari jumlah sebutan yang sama bersamaan dengan pecahan ini.

Dalam kedua-dua kes, pendaraban terdiri daripada mencari jumlah sebutan yang sama.

Sekarang kita beralih kepada mendarab nombor bulat dengan pecahan. Di sini kita akan menemui, sebagai contoh, pendaraban: 9 2 / 3. Jelas bahawa definisi pendaraban sebelum ini tidak digunakan untuk kes ini. Ini terbukti daripada fakta bahawa kita tidak boleh menggantikan pendaraban tersebut dengan menambah nombor yang sama.

Oleh sebab itu, kita perlu memberikan takrifan baharu bagi pendaraban, iaitu, dalam erti kata lain, menjawab soalan tentang apa yang perlu difahami dengan pendaraban dengan pecahan, bagaimana tindakan ini harus difahami.

Maksud mendarab nombor bulat dengan pecahan adalah jelas daripada definisi berikut: mendarab integer (daraban) dengan pecahan (daraban) bermakna mencari pecahan darab ini.

Iaitu, mendarab 9 dengan 2/3 bermakna mencari 2/3 daripada sembilan unit. Dalam perenggan sebelumnya, masalah tersebut telah diselesaikan; jadi mudah untuk mengetahui bahawa kita akan mendapat 6.

Tetapi kini persoalan yang menarik dan penting timbul: mengapa operasi yang kelihatan berbeza, seperti mencari jumlah nombor yang sama dan mencari pecahan nombor, dipanggil dalam aritmetik dengan perkataan yang sama "pendaraban"?

Ini berlaku kerana tindakan sebelumnya (mengulang nombor dengan istilah beberapa kali) dan tindakan baharu (mencari pecahan nombor) memberikan jawapan kepada soalan homogen. Ini bermakna kita meneruskan di sini dari pertimbangan bahawa soalan atau tugasan homogen diselesaikan dengan tindakan yang sama.

Untuk memahami ini, pertimbangkan masalah berikut: "1 m kain berharga 50 rubel. Berapakah kos 4 m kain tersebut?

Masalah ini diselesaikan dengan mendarabkan bilangan rubel (50) dengan bilangan meter (4), iaitu 50 x 4 = 200 (rubel).

Mari kita ambil masalah yang sama, tetapi di dalamnya jumlah kain akan dinyatakan sebagai pecahan: "1 m kain berharga 50 rubel. Berapakah harga 3/4 m kain tersebut?”

Masalah ini juga perlu diselesaikan dengan mendarabkan bilangan rubel (50) dengan bilangan meter (3/4).

Anda boleh menukar nombor di dalamnya beberapa kali lagi, tanpa mengubah maksud masalah, contohnya, ambil 9/10 m atau 2 3/10 m, dsb.

Oleh kerana masalah ini mempunyai kandungan yang sama dan hanya berbeza dalam nombor, kami memanggil tindakan yang digunakan dalam menyelesaikannya dengan perkataan yang sama - pendaraban.

Bagaimanakah anda mendarab nombor bulat dengan pecahan?

Mari kita ambil nombor yang dihadapi dalam masalah terakhir:

Mengikut definisi, kita mesti mencari 3/4 daripada 50. Mula-mula kita cari 1/4 daripada 50, dan kemudian 3/4.

1/4 daripada 50 ialah 50/4;

3/4 daripada nombor 50 ialah .

Oleh itu.

Mari kita pertimbangkan contoh lain: 12 5 / 8 =?

1/8 daripada nombor 12 ialah 12/8,

5/8 daripada nombor 12 ialah .

Oleh itu,

Dari sini kita mendapat peraturan:

Untuk mendarab nombor bulat dengan pecahan, anda perlu mendarab nombor bulat dengan pengangka pecahan dan menjadikan hasil darab ini sebagai pengangka, dan menandatangani penyebut pecahan ini sebagai penyebut.

Mari tulis peraturan ini menggunakan huruf:

Untuk membuat peraturan ini benar-benar jelas, perlu diingat bahawa pecahan boleh dianggap sebagai hasil bagi. Oleh itu, adalah berguna untuk membandingkan peraturan yang ditemui dengan peraturan untuk mendarab nombor dengan hasil bagi, yang dinyatakan dalam § 38

Adalah penting untuk diingat bahawa sebelum melakukan pendaraban, anda harus melakukan (jika boleh) pengurangan, Sebagai contoh:

4. Mendarab pecahan dengan pecahan. Mendarab pecahan dengan pecahan mempunyai makna yang sama seperti mendarab nombor bulat dengan pecahan, iaitu, apabila mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mencari pecahan yang terdapat dalam faktor daripada pecahan pertama (daraban).

Iaitu, mendarab 3/4 dengan 1/2 (separuh) bermakna mencari separuh daripada 3/4.

Bagaimanakah anda mendarab pecahan dengan pecahan?

Mari kita ambil contoh: 3/4 didarab dengan 5/7. Ini bermakna anda perlu mencari 5/7 daripada 3/4. Mula-mula kita cari 1/7 daripada 3/4, dan kemudian 5/7

1/7 daripada nombor 3/4 akan dinyatakan seperti berikut:

5/7 nombor 3/4 akan dinyatakan seperti berikut:

Oleh itu,

Contoh lain: 5/8 didarab dengan 4/9.

1/9 daripada 5/8 ialah ,

4/9 daripada nombor 5/8 ialah .

Oleh itu,

Daripada contoh-contoh ini peraturan berikut boleh disimpulkan:

Untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka dengan pengangka, dan penyebut dengan penyebut, dan menjadikan hasil darab pertama sebagai pengangka, dan hasil darab kedua sebagai penyebut hasil darab.

Peraturan ini boleh ditulis dalam bentuk umum seperti berikut:

Apabila mendarab, adalah perlu untuk membuat (jika boleh) pengurangan. Mari lihat contoh:

5. Pendaraban nombor bercampur. Memandangkan nombor bercampur boleh digantikan dengan mudah dengan pecahan tak wajar, keadaan ini biasanya digunakan apabila mendarab nombor bercampur. Ini bermakna dalam kes di mana pendaraban, atau pengganda, atau kedua-dua faktor dinyatakan sebagai nombor bercampur, ia digantikan dengan pecahan tak wajar. Mari kita darab, sebagai contoh, nombor bercampur: 2 1/2 dan 3 1/5. Mari kita tukar setiap pecahan itu menjadi pecahan tak wajar dan kemudian darabkan pecahan yang terhasil mengikut peraturan untuk mendarab pecahan dengan pecahan:

peraturan. Untuk mendarab nombor bercampur, anda mesti terlebih dahulu menukarnya kepada pecahan tak wajar dan kemudian mendarabnya mengikut peraturan untuk mendarab pecahan dengan pecahan.

Catatan. Jika salah satu faktor ialah integer, maka pendaraban boleh dilakukan berdasarkan hukum taburan seperti berikut:

6. Konsep minat. Apabila menyelesaikan masalah dan melakukan pelbagai pengiraan praktikal, kami menggunakan semua jenis pecahan. Tetapi perlu diingat bahawa banyak kuantiti membenarkan bukan hanya sebarang, tetapi pembahagian semula jadi untuk mereka. Sebagai contoh, anda boleh mengambil seperseratus (1/100) ruble, ia akan menjadi kopeck, dua perseratus ialah 2 kopecks, tiga perseratus ialah 3 kopecks. Anda boleh mengambil 1/10 rubel, ia akan menjadi "10 kopecks, atau sekeping sepuluh kopeck. Anda boleh mengambil satu perempat daripada ruble, iaitu 25 kopecks, setengah ruble, iaitu 50 kopecks (lima puluh kopecks). Tetapi mereka boleh dikatakan tidak mengambilnya, sebagai contoh, 2/7 ruble kerana ruble tidak dibahagikan kepada pertujuh.

Unit berat, iaitu kilogram, terutamanya membenarkan pembahagian perpuluhan, contohnya 1/10 kg, atau 100 g. Dan pecahan kilogram seperti 1/6, 1/11, 1/13 adalah tidak biasa.

Secara umum, ukuran (metrik) kami ialah perpuluhan dan membenarkan pembahagian perpuluhan.

Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa ia amat berguna dan mudah dalam pelbagai kes untuk menggunakan kaedah (seragam) yang sama untuk membahagikan kuantiti. Pengalaman bertahun-tahun telah menunjukkan bahawa pembahagian yang berasas sedemikian adalah bahagian "seratus". Mari kita pertimbangkan beberapa contoh yang berkaitan dengan bidang amalan manusia yang paling pelbagai.

1. Harga buku telah menurun sebanyak 12/100 daripada harga sebelumnya.

Contoh. Harga buku sebelumnya ialah 10 rubel. Ia menurun sebanyak 1 rubel. 20 kopecks

2. Bank simpanan membayar penyimpan 2/100 daripada jumlah yang didepositkan untuk simpanan pada tahun tersebut.

Contoh. 500 rubel didepositkan dalam daftar tunai, pendapatan dari jumlah ini untuk tahun ini ialah 10 rubel.

3. Bilangan graduan dari satu sekolah ialah 5/100 daripada jumlah keseluruhan pelajar.

CONTOH Terdapat hanya 1,200 pelajar di sekolah itu, di mana 60 daripadanya lulus.

Bahagian keseratus nombor dipanggil peratusan.

Perkataan "peratus" dipinjam daripada bahasa Latin dan akarnya "sen" bermaksud seratus. Bersama-sama dengan preposisi (pro centum), perkataan ini bermaksud "untuk seratus." Makna ungkapan ini mengikuti fakta bahawa pada mulanya bunga Rom kuno adalah nama yang diberikan kepada wang yang dibayar oleh penghutang kepada pemberi pinjaman "untuk setiap seratus." Perkataan "sen" didengari dalam perkataan yang biasa: centner (seratus kilogram), sentimeter (katakan sentimeter).

Sebagai contoh, bukannya mengatakan bahawa sepanjang bulan lalu kilang menghasilkan 1/100 daripada semua produk yang dihasilkan olehnya rosak, kami akan mengatakan ini: sepanjang bulan lalu kilang itu menghasilkan satu peratus kecacatan. Daripada berkata: kilang itu menghasilkan 4/100 lebih banyak produk daripada rancangan yang ditetapkan, kami akan berkata: kilang itu melebihi pelan sebanyak 4 peratus.

Contoh di atas boleh dinyatakan secara berbeza:

1. Harga buku telah menurun sebanyak 12 peratus daripada harga sebelumnya.

2. Bank simpanan membayar penyimpan 2 peratus setahun ke atas jumlah yang disimpan dalam simpanan.

3. Bilangan graduan dari satu sekolah ialah 5 peratus daripada semua pelajar sekolah.

Untuk memendekkan huruf, adalah kebiasaan untuk menulis simbol % dan bukannya perkataan "peratusan".

Walau bagaimanapun, anda perlu ingat bahawa dalam pengiraan tanda % biasanya tidak ditulis; ia boleh ditulis dalam pernyataan masalah dan dalam hasil akhir. Semasa melakukan pengiraan, anda perlu menulis pecahan dengan penyebut 100 dan bukannya nombor bulat dengan simbol ini.

Anda perlu dapat menggantikan integer dengan ikon yang ditunjukkan dengan pecahan dengan penyebut 100:

Sebaliknya, anda perlu membiasakan diri menulis integer dengan simbol yang ditunjukkan dan bukannya pecahan dengan penyebut 100:

7. Mencari peratusan bagi nombor yang diberi.

Tugasan 1. Sekolah menerima 200 meter padu. m kayu api, dengan kayu api birch menyumbang 30%. Berapa banyak kayu api birch yang ada?

Maksud masalah ini ialah kayu api birch hanya membentuk sebahagian daripada kayu api yang dihantar ke sekolah, dan bahagian ini dinyatakan dalam pecahan 30/100. Ini bermakna kita mempunyai tugas untuk mencari pecahan nombor. Untuk menyelesaikannya, kita mesti mendarab 200 dengan 30/100 (masalah mencari pecahan nombor diselesaikan dengan mendarab nombor dengan pecahan.).

Ini bermakna 30% daripada 200 sama dengan 60.

Pecahan 30/100 yang dihadapi dalam masalah ini boleh dikurangkan sebanyak 10. Pengurangan ini boleh dilakukan dari awal lagi; penyelesaian kepada masalah itu tidak akan berubah.

Tugasan 2. Terdapat 300 kanak-kanak pelbagai peringkat umur di kem tersebut. Kanak-kanak berumur 11 tahun membentuk 21%, kanak-kanak berumur 12 tahun membentuk 61% dan akhirnya kanak-kanak berumur 13 tahun membentuk 18%. Berapakah bilangan kanak-kanak dari setiap peringkat umur yang ada di kem itu?

Dalam masalah ini anda perlu melakukan tiga pengiraan, iaitu secara berurutan mencari bilangan kanak-kanak berumur 11 tahun, kemudian berumur 12 tahun dan akhirnya berumur 13 tahun.

Ini bermakna di sini anda perlu mencari pecahan nombor tiga kali. Mari lakukannya:

1) Berapakah bilangan kanak-kanak berumur 11 tahun di sana?

2) Berapakah bilangan kanak-kanak berumur 12 tahun di sana?

3) Berapakah bilangan kanak-kanak berumur 13 tahun di sana?

Selepas menyelesaikan masalah, adalah berguna untuk menambah nombor yang dijumpai; jumlah mereka hendaklah 300:

63 + 183 + 54 = 300

Perlu juga diperhatikan bahawa jumlah peratusan yang diberikan dalam pernyataan masalah ialah 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ini menunjukkan bahawa jumlah bilangan kanak-kanak di kem itu diambil sebagai 100%.

3 a d a h a 3. Pekerja itu menerima 1,200 rubel sebulan. Daripada jumlah ini, dia membelanjakan 65% untuk makanan, 6% untuk pangsapuri dan pemanasan, 4% untuk gas, elektrik dan radio, 10% untuk keperluan budaya dan 15% disimpan. Berapakah jumlah wang yang telah dibelanjakan untuk keperluan yang dinyatakan dalam masalah?

Untuk menyelesaikan masalah ini anda perlu mencari pecahan 1,200 5 kali. Mari lakukan ini.

1) Berapa banyak wang yang dibelanjakan untuk makanan? Masalahnya mengatakan bahawa perbelanjaan ini adalah 65% daripada jumlah pendapatan, iaitu 65/100 daripada nombor 1,200. Mari kita buat pengiraan:

2) Berapa banyak wang yang anda bayar untuk sebuah apartmen dengan pemanasan? Menaakul sama dengan yang sebelumnya, kami sampai pada pengiraan berikut:

3) Berapa banyak wang yang anda bayar untuk gas, elektrik dan radio?

4) Berapakah jumlah wang yang dibelanjakan untuk keperluan budaya?

5) Berapakah jumlah wang yang disimpan oleh pekerja itu?

Untuk menyemak, adalah berguna untuk menambah nombor yang terdapat dalam 5 soalan ini. Jumlahnya hendaklah 1,200 rubel. Semua pendapatan diambil sebagai 100%, yang mudah disemak dengan menjumlahkan nombor peratusan yang diberikan dalam penyata masalah.

Kami menyelesaikan tiga masalah. Walaupun masalah ini menangani perkara yang berbeza (penghantaran kayu api untuk sekolah, bilangan kanak-kanak yang berbeza umur, perbelanjaan pekerja), mereka diselesaikan dengan cara yang sama. Ini berlaku kerana dalam semua masalah adalah perlu untuk mencari beberapa peratus nombor yang diberikan.

§ 90. Pembahagian pecahan.

Semasa kita mengkaji pembahagian pecahan, kita akan mempertimbangkan soalan berikut:

1. Bahagi integer dengan integer.
2. Membahagi pecahan dengan nombor bulat
3. Membahagi nombor bulat dengan pecahan.
4. Membahagi pecahan dengan pecahan.
5. Pembahagian nombor bercampur.
6. Mencari nombor daripada pecahan yang diberi.
7. Mencari nombor dengan peratusannya.

Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Bahagi integer dengan integer.

Seperti yang ditunjukkan dalam jabatan integer, pembahagian ialah tindakan yang terdiri daripada fakta bahawa, memandangkan hasil darab dua faktor (dividen) dan salah satu faktor ini (pembahagi), faktor lain ditemui.

Kami melihat membahagikan integer dengan integer dalam bahagian integer. Kami menemui dua kes pembahagian di sana: pembahagian tanpa baki, atau "sepenuhnya" (150: 10 = 15), dan pembahagian dengan baki (100: 9 = 11 dan 1 baki). Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa dalam bidang integer, pembahagian tepat tidak selalu mungkin, kerana dividen tidak selalu hasil darab pembahagi dengan integer. Selepas memperkenalkan pendaraban dengan pecahan, kita boleh mempertimbangkan sebarang kes pembahagian integer mungkin (hanya pembahagian dengan sifar dikecualikan).

Sebagai contoh, membahagi 7 dengan 12 bermakna mencari nombor yang hasil darabnya dengan 12 akan sama dengan 7. Nombor sedemikian ialah pecahan 7 / 12 kerana 7 / 12 12 = 7. Contoh lain: 14: 25 = 14 / 25, kerana 14 / 25 25 = 14.

Oleh itu, untuk membahagi nombor bulat dengan nombor bulat, anda perlu mencipta pecahan yang pengangkanya sama dengan dividen dan penyebutnya sama dengan pembahagi.

2. Membahagi pecahan dengan nombor bulat.

Bahagikan pecahan 6 / 7 dengan 3. Menurut definisi pembahagian yang diberikan di atas, kita ada di sini hasil darab (6/7) dan salah satu faktor (3); ia diperlukan untuk mencari faktor kedua yang, apabila didarab dengan 3, akan memberikan hasil darab yang diberi 6/7. Jelas sekali, ia sepatutnya tiga kali lebih kecil daripada produk ini. Ini bermakna tugas yang ditetapkan sebelum kita adalah untuk mengurangkan pecahan 6/7 sebanyak 3 kali.

Kita sedia maklum bahawa pengurangan pecahan boleh dilakukan sama ada dengan menurunkan pengangkanya atau dengan menambah penyebutnya. Oleh itu anda boleh menulis:

Dalam kes ini, pengangka 6 boleh dibahagikan dengan 3, jadi pengangka harus dikurangkan sebanyak 3 kali.

Mari kita ambil contoh lain: 5 / 8 dibahagikan dengan 2. Di sini pengangka 5 tidak boleh dibahagikan dengan 2, yang bermaksud bahawa penyebut perlu didarab dengan nombor ini:

Berdasarkan ini, peraturan boleh dibuat: Untuk membahagi pecahan dengan nombor bulat, anda perlu membahagikan pengangka pecahan dengan nombor bulat itu.(jika boleh), meninggalkan penyebut yang sama, atau darabkan penyebut pecahan dengan nombor ini, meninggalkan pengangka yang sama.

3. Membahagi nombor bulat dengan pecahan.

Biarkan perlu untuk membahagi 5 dengan 1/2, iaitu, cari nombor yang, selepas didarab dengan 1/2, akan memberikan hasil darab 5. Jelas sekali, nombor ini mestilah lebih besar daripada 5, kerana 1/2 ialah pecahan wajar , dan apabila mendarab nombor hasil darab bagi pecahan wajar mestilah kurang daripada hasil darab. Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita tulis tindakan kita seperti berikut: 5: 1 / 2 = X , yang bermaksud x 1/2 = 5.

Kita mesti mencari nombor sedemikian X , yang, jika didarab dengan 1/2, akan memberikan 5. Oleh kerana mendarab nombor tertentu dengan 1/2 bermakna mencari 1/2 daripada nombor ini, maka, oleh itu, 1/2 daripada nombor yang tidak diketahui X adalah sama dengan 5, dan nombor bulat X dua kali lebih banyak, iaitu 5 2 = 10.

Jadi 5: 1/2 = 5 2 = 10

Mari semak:

Mari kita lihat contoh lain. Katakan anda ingin membahagi 6 dengan 2/3. Mari cuba mula-mula mencari hasil yang diingini menggunakan lukisan (Gamb. 19).

Rajah 19

Mari kita lukis segmen AB bersamaan dengan 6 unit, dan bahagikan setiap unit kepada 3 bahagian yang sama. Dalam setiap unit, tiga pertiga (3/3) daripada keseluruhan segmen AB adalah 6 kali lebih besar, i.e. e. 18/3. Menggunakan kurungan kecil, kami menyambungkan 18 segmen yang terhasil daripada 2; Akan ada 9 segmen sahaja. Ini bermakna pecahan 2/3 terkandung dalam 6 unit 9 kali, atau, dengan kata lain, pecahan 2/3 ialah 9 kali kurang daripada 6 unit keseluruhan. Oleh itu,

Bagaimana untuk mendapatkan hasil ini tanpa lukisan menggunakan pengiraan sahaja? Mari kita sebabkan seperti ini: kita perlu bahagikan 6 dengan 2/3, iaitu kita perlu menjawab soalan berapa kali 2/3 terkandung dalam 6. Mari kita ketahui dahulu: berapa kali 1/3 terkandung dalam 6? Dalam keseluruhan unit terdapat 3 pertiga, dan dalam 6 unit terdapat 6 kali lebih banyak, iaitu 18 pertiga; untuk mencari nombor ini kita mesti darab 6 dengan 3. Ini bermakna 1/3 terkandung dalam b unit 18 kali, dan 2/3 terkandung dalam b unit bukan 18 kali, tetapi separuh daripada banyak kali, iaitu 18: 2 = 9 Oleh itu, apabila membahagi 6 dengan 2/3 kita melakukan perkara berikut:

Dari sini kita mendapat peraturan untuk membahagi nombor bulat dengan pecahan. Untuk membahagi nombor bulat dengan pecahan, anda perlu mendarab nombor bulat ini dengan penyebut pecahan yang diberikan dan, menjadikan hasil darab ini sebagai pengangka, bahagikannya dengan pengangka bagi pecahan yang diberikan.

Mari tulis peraturan menggunakan huruf:

Untuk membuat peraturan ini benar-benar jelas, perlu diingat bahawa pecahan boleh dianggap sebagai hasil bagi. Oleh itu, adalah berguna untuk membandingkan peraturan yang ditemui dengan peraturan untuk membahagikan nombor dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam § 38. Sila ambil perhatian bahawa formula yang sama diperoleh di sana.

Apabila membahagikan, singkatan adalah mungkin, contohnya:

4. Membahagi pecahan dengan pecahan.

Katakan kita perlu membahagi 3/4 dengan 3/8. Apakah maksud nombor yang terhasil daripada pembahagian? Ia akan menjawab soalan berapa kali pecahan 3/8 terkandung dalam pecahan 3/4. Untuk memahami isu ini, mari buat lukisan (Gamb. 20).

Mari kita ambil segmen AB, ambil sebagai satu, bahagikannya kepada 4 bahagian yang sama dan tandakan 3 bahagian tersebut. Segmen AC akan sama dengan 3/4 segmen AB. Sekarang mari kita bahagikan setiap empat segmen asal kepada separuh, kemudian segmen AB akan dibahagikan kepada 8 bahagian yang sama dan setiap bahagian tersebut akan sama dengan 1/8 segmen AB. Mari kita sambungkan 3 segmen sedemikian dengan lengkok, maka setiap segmen AD dan DC akan sama dengan 3/8 segmen AB. Lukisan menunjukkan bahawa segmen bersamaan dengan 3/8 terkandung dalam segmen sama dengan 3/4 tepat 2 kali; Ini bermakna hasil pembahagian boleh ditulis seperti berikut:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Mari kita lihat contoh lain. Katakan kita perlu membahagi 15/16 dengan 3/32:

Kita boleh membuat alasan seperti ini: kita perlu mencari nombor yang, selepas didarab dengan 3/32, akan memberikan hasil darab bersamaan dengan 15/16. Mari kita tulis pengiraan seperti ini:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nombor tidak diketahui X ialah 15/16

1/32 daripada nombor yang tidak diketahui X ialah ,

32 / 32 nombor X mekap .

Oleh itu,

Oleh itu, untuk membahagi pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan mendarabkan penyebut pecahan pertama dengan pengangka kedua, dan menjadikan hasil kali pertama sebagai pengangka, dan yang kedua penyebutnya.

Mari tulis peraturan menggunakan huruf:

Apabila membahagikan, singkatan adalah mungkin, contohnya:

5. Pembahagian nombor bercampur.

Apabila membahagikan nombor bercampur, mereka mesti terlebih dahulu ditukar kepada pecahan tak wajar, dan kemudian pecahan yang terhasil mesti dibahagikan mengikut peraturan untuk membahagi pecahan. Mari lihat contoh:

Mari kita tukar nombor bercampur kepada pecahan tak wajar:

Sekarang mari bahagikan:

Oleh itu, untuk membahagi nombor bercampur, anda perlu menukarnya kepada pecahan tak wajar dan kemudian bahagi menggunakan peraturan untuk membahagi pecahan.

6. Mencari nombor daripada pecahan yang diberi.

Di antara pelbagai masalah pecahan, kadangkala terdapat masalah di mana nilai beberapa pecahan nombor yang tidak diketahui diberikan dan anda perlu mencari nombor ini. Masalah jenis ini akan menjadi songsang kepada masalah mencari pecahan nombor yang diberikan; ada nombor telah diberikan dan ia dikehendaki mencari beberapa pecahan nombor ini, di sini pecahan nombor telah diberikan dan ia dikehendaki mencari nombor ini sendiri. Idea ini akan menjadi lebih jelas jika kita beralih kepada menyelesaikan masalah jenis ini.

Tugasan 1. Pada hari pertama, glazier melapisi 50 tingkap, iaitu 1/3 daripada semua tingkap rumah yang dibina. Berapakah bilangan tingkap di rumah ini?

Penyelesaian. Masalahnya mengatakan bahawa 50 tingkap kaca membentuk 1/3 daripada semua tingkap rumah, yang bermaksud terdapat 3 kali lebih banyak tingkap secara keseluruhan, i.e.

Rumah itu mempunyai 150 tingkap.

Tugasan 2. Kedai itu menjual 1,500 kg tepung, iaitu 3/8 daripada jumlah stok tepung yang ada di kedai itu. Apakah bekalan tepung awal kedai?

Penyelesaian. Daripada keadaan masalah jelas bahawa 1,500 kg tepung yang dijual merupakan 3/8 daripada jumlah stok; Ini bermakna 1/8 daripada rizab ini akan menjadi 3 kali kurang, iaitu untuk mengiranya anda perlu mengurangkan 1500 sebanyak 3 kali:

1,500: 3 = 500 (ini ialah 1/8 daripada rizab).

Jelas sekali, keseluruhan bekalan akan menjadi 8 kali lebih besar. Oleh itu,

500 8 = 4,000 (kg).

Stok awal tepung di kedai ialah 4,000 kg.

Daripada pertimbangan masalah ini, peraturan berikut boleh diperolehi.

Untuk mencari nombor daripada nilai pecahan yang diberikan, cukup untuk membahagikan nilai ini dengan pengangka pecahan dan mendarabkan hasilnya dengan penyebut pecahan itu.

Kami menyelesaikan dua masalah untuk mencari nombor yang diberi pecahannya. Masalah sedemikian, seperti yang jelas dilihat dari yang terakhir, diselesaikan dengan dua tindakan: pembahagian (apabila satu bahagian ditemui) dan pendaraban (apabila nombor bulat ditemui).

Namun, setelah kita mempelajari pembahagian pecahan, masalah di atas boleh diselesaikan dengan satu tindakan iaitu: pembahagian dengan pecahan.

Sebagai contoh, tugas terakhir boleh diselesaikan dalam satu tindakan seperti ini:

Pada masa hadapan, kami akan menyelesaikan masalah mencari nombor daripada pecahannya dengan satu tindakan - pembahagian.

7. Mencari nombor dengan peratusannya.

Dalam masalah ini anda perlu mencari nombor yang mengetahui beberapa peratus daripada nombor itu.

Tugasan 1. Pada awal tahun ini saya menerima 60 rubel dari bank simpanan. pendapatan daripada jumlah yang saya masukkan ke dalam simpanan setahun yang lalu. Berapa banyak wang yang telah saya masukkan ke dalam bank simpanan? (Meja tunai memberikan pulangan 2% kepada pendeposit setiap tahun.)

Masalahnya ialah saya meletakkan sejumlah wang dalam bank simpanan dan tinggal di sana selama setahun. Selepas setahun, saya menerima 60 rubel daripadanya. pendapatan, iaitu 2/100 daripada wang yang saya deposit. Berapa banyak wang yang saya masukkan?

Akibatnya, mengetahui sebahagian daripada wang ini, dinyatakan dalam dua cara (dalam rubel dan pecahan), kita mesti mencari keseluruhan, yang belum diketahui, jumlah. Ini adalah masalah biasa mencari nombor berdasarkan pecahannya. Masalah berikut diselesaikan dengan pembahagian:

Ini bermakna 3,000 rubel telah dimasukkan ke dalam bank simpanan.

Tugasan 2. Nelayan memenuhi rancangan bulanan sebanyak 64% dalam dua minggu, menuai 512 tan ikan. Apakah rancangan mereka?

Daripada keadaan masalah diketahui bahawa nelayan telah menyelesaikan sebahagian daripada rancangan itu. Bahagian ini bersamaan dengan 512 tan, iaitu 64% daripada pelan. Kami tidak tahu berapa tan ikan yang perlu disediakan mengikut perancangan. Mencari nombor ini akan menjadi penyelesaian kepada masalah itu.

Masalah sedemikian diselesaikan dengan pembahagian:

Ini bermakna mengikut perancangan, 800 tan ikan perlu disediakan.

Tugasan 3. Kereta api itu pergi dari Riga ke Moscow. Apabila dia melepasi kilometer ke-276, salah seorang penumpang bertanya kepada konduktor yang lalu berapa banyak perjalanan yang telah mereka lalui. Untuk ini, konduktor menjawab: "Kami telah menampung 30% daripada keseluruhan perjalanan." Berapakah jarak dari Riga ke Moscow?

Dari keadaan masalah, jelas bahawa 30% laluan dari Riga ke Moscow adalah 276 km. Kita perlu mencari keseluruhan jarak antara bandar-bandar ini, iaitu, untuk bahagian ini, cari keseluruhan:

§ 91. Nombor timbal balik. Menggantikan pembahagian dengan pendaraban.

Mari kita ambil pecahan 2/3 dan gantikan pengangka sebagai ganti penyebutnya, kita dapat 3/2. Kami mendapat songsangan bagi pecahan ini.

Untuk mendapatkan pecahan yang merupakan songsang bagi pecahan tertentu, anda perlu meletakkan pengangkanya di tempat penyebut, dan penyebut di tempat pengangka. Dengan cara ini kita boleh mendapatkan timbal balik mana-mana pecahan. Sebagai contoh:

3/4, belakang 4/3; 5/6, belakang 6/5

Dua pecahan yang mempunyai sifat pembilang yang pertama adalah penyebut yang kedua, dan penyebut yang pertama adalah pengangka yang kedua, disebut saling songsang.

Sekarang mari kita fikirkan apakah pecahan yang akan menjadi salingan 1/2. Jelas sekali, ia akan menjadi 2 / 1, atau hanya 2. Dengan mencari pecahan songsang yang diberikan, kita mendapat integer. Dan kes ini tidak terpencil; sebaliknya, untuk semua pecahan dengan pengangka 1 (satu), kebalikannya adalah integer, misalnya:

1/3, terbalik 3; 1/5, terbalik 5

Oleh kerana dalam mencari pecahan salingan kita juga menemui integer, dalam perkara berikut kita akan bercakap bukan tentang pecahan salingan, tetapi tentang nombor salingan.

Mari kita fikirkan cara menulis songsangan bagi integer. Untuk pecahan, ini boleh diselesaikan dengan mudah: anda perlu meletakkan penyebut sebagai ganti pengangka. Dengan cara yang sama, anda boleh mendapatkan songsangan bagi integer, kerana mana-mana integer boleh mempunyai penyebut 1. Ini bermakna songsangan bagi 7 akan menjadi 1/7, kerana 7 = 7/1; untuk nombor 10 songsang akan menjadi 1/10, kerana 10 = 10/1

Idea ini boleh dinyatakan secara berbeza: salingan nombor yang diberi diperoleh dengan membahagi satu dengan nombor yang diberi. Pernyataan ini benar bukan sahaja untuk nombor bulat, tetapi juga untuk pecahan. Malah, jika kita perlu menulis songsangan bagi pecahan 5/9, maka kita boleh mengambil 1 dan membahagikannya dengan 5/9, i.e.

Sekarang mari kita tunjukkan satu perkara harta benda nombor timbal balik, yang akan berguna kepada kita: hasil darab nombor salingan adalah sama dengan satu. Sesungguhnya:

Menggunakan sifat ini, kita boleh mencari nombor salingan dengan cara berikut. Katakan kita perlu mencari songsangan bagi 8.

Mari kita nyatakan dengan huruf X , kemudian 8 X = 1, oleh itu X = 1/8. Mari cari nombor lain yang merupakan songsang bagi 7/12 dan tandakannya dengan huruf X , kemudian 7/12 X = 1, oleh itu X = 1: 7 / 12 atau X = 12 / 7 .

Kami memperkenalkan di sini konsep nombor salingan untuk menambah sedikit maklumat tentang pembahagian pecahan.

Apabila kita membahagikan nombor 6 dengan 3/5, kita melakukan perkara berikut:

Beri perhatian khusus kepada ungkapan dan bandingkan dengan yang diberikan: .

Jika kita mengambil ungkapan secara berasingan, tanpa kaitan dengan yang sebelumnya, maka adalah mustahil untuk menyelesaikan persoalan dari mana asalnya: daripada membahagikan 6 dengan 3/5 atau daripada mendarab 6 dengan 5/3. Dalam kedua-dua kes perkara yang sama berlaku. Oleh itu kita boleh katakan bahawa membahagi satu nombor dengan yang lain boleh digantikan dengan mendarab dividen dengan songsangan pembahagi.

Contoh yang kami berikan di bawah mengesahkan sepenuhnya kesimpulan ini.

Mari kita lihat dengan lebih dekat operasi dengan pecahan yang mengandungi integer:

Bagaimana untuk mencari nilai ungkapan yang penyebutnya berbeza

Cara menolak pecahan yang penyebutnya sama

Contoh penolakan pecahan yang penyebutnya sama

Menambah pecahan yang mempunyai penyebut yang sama

Pecahan dengan penyebut yang berbeza dan penolakannya

Sifat pecahan

Bagaimana untuk menukar berbilang pecahan kepada penyebut yang sama

Cara menolak dan menambah pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza

Penolakan dan mempunyai bahagian integer

Menolak pecahan daripada nombor bulat

Pilihan Editor