Menyelesaikan persamaan logaritma untuk dummies. Menyelesaikan persamaan logaritma

Kita semua biasa dengan persamaan dari sekolah rendah. Di sana kami juga belajar untuk menyelesaikan contoh paling mudah, dan kami mesti mengakui bahawa mereka menemui aplikasi mereka walaupun dalam matematik yang lebih tinggi. Semuanya mudah dengan persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Jika anda menghadapi masalah dengan topik ini, kami amat mengesyorkan anda menyemaknya.

Anda mungkin telah pun melalui logaritma. Walau bagaimanapun, kami menganggap penting untuk memberitahu apa itu untuk mereka yang belum tahu. Logaritma disamakan dengan kuasa yang asasnya mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor di sebelah kanan tanda logaritma. Mari berikan contoh berdasarkan yang semuanya akan menjadi jelas kepada anda.

Jika anda menaikkan 3 kepada kuasa keempat, anda mendapat 81. Sekarang gantikan nombor dengan analogi, dan anda akhirnya akan memahami bagaimana logaritma diselesaikan. Kini yang tinggal hanyalah menggabungkan dua konsep yang dibincangkan. Pada mulanya, keadaan kelihatan sangat rumit, tetapi setelah pemeriksaan lebih dekat beratnya jatuh ke tempatnya. Kami pasti bahawa selepas artikel pendek ini anda tidak akan menghadapi masalah dalam bahagian Peperiksaan Negeri Bersatu ini.

Hari ini terdapat banyak cara untuk menyelesaikan struktur sedemikian. Kami akan memberitahu anda tentang yang paling mudah, paling berkesan dan paling sesuai dalam kes tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Menyelesaikan persamaan logaritma hendaklah bermula dengan contoh yang paling mudah. Persamaan logaritma termudah terdiri daripada fungsi dan satu pembolehubah di dalamnya.

Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa x berada di dalam hujah. A dan b mestilah nombor. Dalam kes ini, anda hanya boleh menyatakan fungsi dari segi nombor kepada kuasa. Ia kelihatan seperti ini.

Sudah tentu, menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan kaedah ini akan membawa anda kepada jawapan yang betul. Masalah bagi sebahagian besar pelajar dalam kes ini ialah mereka tidak faham apa yang datang dari mana. Akibatnya, anda perlu bersabar dengan kesilapan dan tidak mendapat mata yang diingini. Kesilapan yang paling menyakitkan hati adalah jika anda mencampurkan huruf. Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, anda perlu menghafal formula standard sekolah ini kerana ia sukar untuk difahami.

Untuk memudahkan, anda boleh menggunakan kaedah lain - bentuk kanonik. Idea ini sangat mudah. Kembalikan perhatian anda kepada masalah. Ingat bahawa huruf a ialah nombor, bukan fungsi atau pembolehubah. A tidak sama dengan satu dan lebih besar daripada sifar. Tiada sekatan ke atas b. Sekarang, daripada semua formula, mari kita ingat satu. B boleh dinyatakan seperti berikut.

Oleh itu, semua persamaan asal dengan logaritma boleh diwakili dalam bentuk:

Sekarang kita boleh menggugurkan logaritma. Hasilnya adalah reka bentuk yang mudah, yang telah kita lihat sebelum ini.

Kemudahan formula ini terletak pada fakta bahawa ia boleh digunakan dalam pelbagai jenis kes, dan bukan hanya untuk reka bentuk yang paling mudah.

Jangan risau tentang OOF!

Ramai ahli matematik berpengalaman akan menyedari bahawa kita tidak memberi perhatian kepada domain definisi. Peraturan ini berpunca daripada fakta bahawa F(x) semestinya lebih besar daripada 0. Tidak, kami tidak terlepas perkara ini. Sekarang kita bercakap tentang satu lagi kelebihan serius bentuk kanonik.

Tidak akan ada akar tambahan di sini. Jika pembolehubah hanya akan muncul di satu tempat, maka skop tidak diperlukan. Ia dilakukan secara automatik. Untuk mengesahkan penghakiman ini, cuba selesaikan beberapa contoh mudah.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan logaritma dengan asas yang berbeza

Ini adalah persamaan logaritma yang kompleks, dan pendekatan untuk menyelesaikannya mestilah istimewa. Di sini jarang sekali mungkin untuk menghadkan diri kita kepada bentuk kanonik yang terkenal. Mari mulakan cerita terperinci kami. Kami mempunyai pembinaan berikut.

Beri perhatian kepada pecahan. Ia mengandungi logaritma. Jika anda melihat ini dalam tugasan, anda perlu mengingati satu helah yang menarik.

Apakah maksudnya? Setiap logaritma boleh diwakili sebagai hasil bagi dua logaritma dengan asas yang mudah. Dan formula ini mempunyai kes khas yang boleh digunakan dengan contoh ini (maksud kami jika c=b).

Ini betul-betul pecahan yang kita lihat dalam contoh kita. Justeru.

Pada asasnya, kami membalikkan pecahan itu dan mendapat ungkapan yang lebih mudah. Ingat algoritma ini!

Sekarang adalah perlu bahawa persamaan logaritma tidak mengandungi asas yang berbeza. Mari kita wakili asas sebagai pecahan.

Dalam matematik terdapat peraturan berdasarkan mana anda boleh memperoleh ijazah dari asas. Hasil pembinaan berikut.

Nampaknya apa yang menghalang kita daripada sekarang mengubah ekspresi kita ke dalam bentuk kanonik dan menyelesaikannya? Tidak begitu mudah. Tidak boleh ada pecahan sebelum logaritma. Mari kita betulkan keadaan ini! Pecahan dibenarkan untuk digunakan sebagai darjah.

Masing-masing.

Jika asas adalah sama, kita boleh mengeluarkan logaritma dan menyamakan ungkapan itu sendiri. Dengan cara ini keadaan akan menjadi lebih mudah daripada sebelumnya. Apa yang akan kekal ialah persamaan asas yang setiap daripada kita tahu bagaimana untuk menyelesaikannya pada gred ke-8 atau bahkan ke-7. Anda boleh membuat pengiraan sendiri.

Kami telah memperoleh satu-satunya punca sebenar persamaan logaritma ini. Contoh penyelesaian persamaan logaritma agak mudah, bukan? Kini anda akan dapat menangani secara bebas walaupun tugas yang paling kompleks untuk menyediakan dan lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Apakah keputusannya?

Dalam kes mana-mana persamaan logaritma, kita meneruskan daripada satu peraturan yang sangat penting. Ia adalah perlu untuk bertindak sedemikian rupa untuk mengurangkan ungkapan kepada bentuk yang paling mudah. Dalam kes ini, anda akan mempunyai peluang yang lebih baik untuk bukan sahaja menyelesaikan tugas dengan betul, tetapi juga melakukannya dengan cara yang paling mudah dan paling logik yang mungkin. Beginilah cara ahli matematik sentiasa bekerja.

Kami amat tidak mengesyorkan anda mencari jalan yang sukar, terutamanya dalam kes ini. Ingat beberapa peraturan mudah yang akan membolehkan anda mengubah sebarang ungkapan. Sebagai contoh, kurangkan dua atau tiga logaritma ke pangkalan yang sama atau dapatkan kuasa dari pangkalan dan menangi ini.

Perlu diingat juga bahawa menyelesaikan persamaan logaritma memerlukan latihan berterusan. Secara beransur-ansur anda akan beralih kepada struktur yang lebih dan lebih kompleks, dan ini akan membawa anda untuk menyelesaikan semua varian masalah pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan yakin. Bersedia lebih awal untuk peperiksaan anda, dan semoga berjaya!

Menyelesaikan persamaan logaritma. Bahagian 1.

Persamaan logaritma ialah persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung di bawah tanda logaritma (khususnya, dalam pangkalan logaritma).

Yang paling mudah persamaan logaritma mempunyai bentuk:

Menyelesaikan sebarang persamaan logaritma melibatkan peralihan daripada logaritma kepada ungkapan di bawah tanda logaritma. Walau bagaimanapun, tindakan ini memperluaskan julat nilai persamaan yang dibenarkan dan boleh membawa kepada kemunculan akar luar. Untuk mengelakkan penampilan akar asing, anda boleh melakukan salah satu daripada tiga cara:

1. Buat peralihan yang setara daripada persamaan asal kepada sistem termasuk

bergantung pada ketidaksamaan atau lebih mudah.

Jika persamaan mengandungi yang tidak diketahui dalam asas logaritma:

kemudian kita pergi ke sistem:

2. Cari secara berasingan julat nilai persamaan yang boleh diterima, kemudian selesaikan persamaan dan semak sama ada penyelesaian yang ditemui memenuhi persamaan.

3. Selesaikan persamaan, dan kemudian semak: gantikan penyelesaian yang ditemui ke dalam persamaan asal dan semak sama ada kita mendapat kesamaan yang betul.

Persamaan logaritma bagi mana-mana tahap kerumitan sentiasa akhirnya berkurangan kepada persamaan logaritma termudah.

Semua persamaan logaritma boleh dibahagikan kepada empat jenis:

1 . Persamaan yang mengandungi logaritma hanya kepada kuasa pertama. Dengan bantuan transformasi dan penggunaan, mereka dibawa ke bentuk

Contoh. Mari kita selesaikan persamaan:

Mari kita samakan ungkapan di bawah tanda logaritma:

Mari kita semak sama ada punca persamaan kita memenuhi:

Ya, ia memuaskan.

Jawapan: x=5

2 . Persamaan yang mengandungi logaritma kepada kuasa selain 1 (terutamanya dalam penyebut pecahan). Persamaan sedemikian boleh diselesaikan menggunakan memperkenalkan perubahan pembolehubah.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaan:

Mari cari persamaan ODZ:

Persamaan mengandungi logaritma kuasa dua, jadi ia boleh diselesaikan menggunakan perubahan pembolehubah.

Penting! Sebelum memperkenalkan penggantian, anda perlu "menarik" logaritma yang merupakan sebahagian daripada persamaan menjadi "bata", menggunakan sifat logaritma.

Apabila "membahagikan" logaritma, adalah penting untuk menggunakan sifat-sifat logaritma dengan berhati-hati:

Di samping itu, terdapat satu lagi perkara yang halus di sini, dan untuk mengelakkan kesilapan biasa, kami akan menggunakan kesamaan pertengahan: kami akan menulis darjah logaritma dalam bentuk ini:

Begitu juga,

Mari kita gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan asal. Kita mendapatkan:

Sekarang kita melihat bahawa yang tidak diketahui terkandung dalam persamaan sebagai sebahagian daripada . Mari perkenalkan penggantinya: . Memandangkan ia boleh mengambil sebarang nilai sebenar, kami tidak mengenakan sebarang sekatan ke atas pembolehubah.

Dalam pelajaran ini kita akan mengkaji fakta teori asas tentang logaritma dan mempertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan logaritma termudah.

Mari kita ingat definisi pusat - definisi logaritma. Ia melibatkan penyelesaian persamaan eksponen. Persamaan ini mempunyai punca tunggal, ia dipanggil logaritma b kepada asas a:

Definisi:

Logaritma b kepada asas a ialah eksponen kepada asas a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b.

Biar kami ingatkan anda identiti logaritma asas.

Ungkapan (ungkapan 1) ialah punca persamaan (ungkapan 2). Gantikan nilai x daripada ungkapan 1 dan bukannya x ke dalam ungkapan 2 dan dapatkan identiti logaritma utama:

Jadi kita melihat bahawa setiap nilai dikaitkan dengan nilai. Kami menandakan b dengan x(), c dengan y, dan dengan itu memperoleh fungsi logaritma:

Sebagai contoh:

Mari kita ingat sifat asas fungsi logaritma.

Marilah kita perhatikan sekali lagi, di sini, kerana di bawah logaritma boleh terdapat ungkapan yang sangat positif, sebagai asas logaritma.

nasi. 1. Graf fungsi logaritma dengan asas yang berbeza

Graf fungsi at ditunjukkan dalam warna hitam. nasi. 1. Jika hujah meningkat daripada sifar kepada infiniti, fungsi tersebut meningkat daripada tolak kepada tambah infiniti.

Graf fungsi at ditunjukkan dalam warna merah. nasi. 1.

Ciri-ciri fungsi ini:

Domain: ;

Julat nilai: ;

Fungsi ini adalah monotonik di seluruh domain definisinya. Apabila monotonik (ketat) meningkat, nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar. Apabila monotonik (ketat) berkurangan, nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Sifat-sifat fungsi logaritma adalah kunci untuk menyelesaikan pelbagai persamaan logaritma.

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma yang paling mudah; semua persamaan logaritma lain, sebagai peraturan, dikurangkan kepada bentuk ini.

Oleh kerana asas logaritma dan logaritma itu sendiri adalah sama, fungsi di bawah logaritma juga sama, tetapi kita tidak boleh terlepas domain takrifan. Hanya nombor positif boleh muncul di bawah logaritma, kami mempunyai:

Kami mendapati bahawa fungsi f dan g adalah sama, jadi cukup untuk memilih mana-mana satu ketaksamaan untuk mematuhi ODZ.

Oleh itu, kita mempunyai sistem bercampur di mana terdapat persamaan dan ketaksamaan:

Sebagai peraturan, tidak perlu menyelesaikan ketaksamaan; cukup untuk menyelesaikan persamaan dan menggantikan punca yang ditemui ke dalam ketaksamaan, dengan itu melakukan pemeriksaan.

Mari kita rumuskan kaedah untuk menyelesaikan persamaan logaritma termudah:

Samakan asas logaritma;

Menyamakan fungsi sublogaritma;

Lakukan pemeriksaan.

Mari lihat contoh khusus.

Contoh 1 - selesaikan persamaan:

Asas logaritma pada mulanya sama, kita mempunyai hak untuk menyamakan ungkapan sublogaritma, jangan lupa tentang ODZ, kita memilih logaritma pertama untuk menyusun ketaksamaan:

Contoh 2 - selesaikan persamaan:

Persamaan ini berbeza daripada yang sebelumnya kerana asas logaritma adalah kurang daripada satu, tetapi ini tidak menjejaskan penyelesaian dalam apa jua cara:

Mari cari punca dan gantikannya ke dalam ketaksamaan:

Kami menerima ketidaksamaan yang salah, yang bermaksud bahawa punca yang ditemui tidak memenuhi ODZ.

Contoh 3 - selesaikan persamaan:

Asas logaritma pada mulanya sama, kita mempunyai hak untuk menyamakan ungkapan sublogaritma, jangan lupa tentang ODZ, kita memilih logaritma kedua untuk menyusun ketaksamaan:

Mari cari punca dan gantikannya ke dalam ketaksamaan:

Jelas sekali, hanya akar pertama yang memenuhi ODZ.

Ungkapan logaritma, contoh penyelesaian. Dalam artikel ini kita akan melihat masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugasan bertanyakan soalan mencari makna ungkapan. Perlu diingatkan bahawa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan memahami maksudnya adalah sangat penting. Bagi Peperiksaan Negeri Bersepadu, logaritma digunakan semasa menyelesaikan persamaan, dalam masalah yang digunakan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan kajian fungsi.

Mari kita berikan contoh untuk memahami maksud logaritma:

Identiti logaritma asas:

Sifat logaritma yang mesti sentiasa diingati:

*Logaritma hasil darab adalah sama dengan jumlah logaritma faktor.

* * *

*Logaritma bagi hasil (pecahan) adalah sama dengan perbezaan antara logaritma faktor.

* * *

*Logaritma eksponen adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma tapaknya.

* * *

*Peralihan kepada asas baharu

* * *

Lebih banyak hartanah:

* * *

Pengiraan logaritma berkait rapat dengan penggunaan sifat eksponen.

Mari kita senaraikan beberapa daripadanya:

Intipati sifat ini ialah apabila pengangka dipindahkan ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah kepada sebaliknya. Sebagai contoh:

Akibat daripada harta ini:

* * *

Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas kekal sama, tetapi eksponen didarabkan.

* * *

Seperti yang telah anda lihat, konsep logaritma itu sendiri adalah mudah. Perkara utama ialah anda memerlukan latihan yang baik, yang memberi anda kemahiran tertentu. Sudah tentu, pengetahuan tentang formula diperlukan. Sekiranya kemahiran menukar logaritma asas belum dibangunkan, maka apabila menyelesaikan tugas mudah anda boleh membuat kesilapan dengan mudah.

Berlatih, selesaikan contoh paling mudah dari kursus matematik dahulu, kemudian beralih kepada yang lebih kompleks. Pada masa hadapan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "menakutkan" diselesaikan; mereka tidak akan muncul dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu, tetapi mereka menarik, jangan ketinggalan!

Itu sahaja! Semoga berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Persediaan untuk ujian akhir dalam matematik termasuk bahagian penting - "Logaritma". Tugasan daripada topik ini semestinya terkandung dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu. Pengalaman dari tahun-tahun lepas menunjukkan bahawa persamaan logaritma menyebabkan kesukaran kepada ramai pelajar sekolah. Oleh itu, pelajar yang mempunyai tahap latihan yang berbeza mesti memahami cara mencari jawapan yang betul dan cepat mengatasinya.

Lulus ujian pensijilan dengan jayanya menggunakan portal pendidikan Shkolkovo!

Semasa membuat persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu, graduan sekolah menengah memerlukan sumber yang boleh dipercayai yang menyediakan maklumat yang paling lengkap dan tepat untuk berjaya menyelesaikan masalah ujian. Walau bagaimanapun, buku teks tidak selalu ada, dan mencari peraturan dan formula yang diperlukan di Internet sering mengambil masa.

Portal pendidikan Shkolkovo membolehkan anda bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu di mana-mana sahaja pada bila-bila masa. Laman web kami menawarkan pendekatan yang paling mudah untuk mengulang dan mengasimilasikan sejumlah besar maklumat tentang logaritma, serta dengan satu dan beberapa yang tidak diketahui. Mulakan dengan persamaan mudah. Jika anda menghadapinya tanpa kesukaran, teruskan kepada yang lebih kompleks. Jika anda menghadapi masalah menyelesaikan ketidaksamaan tertentu, anda boleh menambahkannya pada Kegemaran anda supaya anda boleh kembali kepadanya kemudian.

Anda boleh mencari formula yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas, mengulangi kes khas dan kaedah untuk mengira punca persamaan logaritma piawai dengan melihat bahagian "Bantuan Teoritis". Guru Shkolkovo mengumpul, menyusun dan membentangkan semua bahan yang diperlukan untuk berjaya lulus dalam bentuk yang paling mudah dan paling mudah difahami.

Untuk menangani tugas dengan mudah dalam sebarang kerumitan, di portal kami, anda boleh membiasakan diri dengan penyelesaian beberapa persamaan logaritma standard. Untuk melakukan ini, pergi ke bahagian "Katalog". Kami mempunyai sejumlah besar contoh, termasuk persamaan dengan tahap profil Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Pelajar dari sekolah di seluruh Rusia boleh menggunakan portal kami. Untuk memulakan kelas, hanya mendaftar dalam sistem dan mula menyelesaikan persamaan. Untuk menyatukan keputusan, kami menasihati anda untuk kembali ke laman web Shkolkovo setiap hari.