Maksud tangen bagi suatu sudut. Sinus, kosinus, tangen: apakah itu? Bagaimana untuk mencari sinus, kosinus dan tangen? Sinus dalam trigonometri

Contoh:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

Hujah dan nilai

Kosinus sudut akut

Kosinus sudut akut boleh ditentukan menggunakan segi tiga tepat - ia adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Contoh :

1) Biarkan sudut diberikan dan anda perlu menentukan kosinus sudut ini.

2) Mari lengkapkan mana-mana segi tiga bersudut tegak di sudut ini.

3) Setelah mengukur sisi yang diperlukan, kita boleh mengira kosinus.

Kosinus sudut akut lebih besar daripada \(0\) dan kurang daripada \(1\)

Jika, apabila menyelesaikan masalah, kosinus sudut akut ternyata lebih besar daripada 1 atau negatif, maka di suatu tempat dalam penyelesaian terdapat ralat.

Kosinus bagi suatu nombor

Bulatan nombor membolehkan anda menentukan kosinus sebarang nombor, tetapi biasanya mencari kosinus nombor entah bagaimana berkaitan dengan : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Sebagai contoh, untuk nombor \(\frac(π)(6)\) - kosinus akan sama dengan \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Dan untuk nombor \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ia akan sama dengan \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (kira-kira \ (-0 ,71\)).

Kosinus untuk nombor lain yang sering ditemui dalam amalan, lihat.

Nilai kosinus sentiasa terletak di antara \(-1\) dan \(1\). Dalam kes ini, kosinus boleh dikira untuk sebarang sudut dan nombor.

Kosinus mana-mana sudut

Terima kasih kepada bulatan berangka, adalah mungkin untuk menentukan kosinus bukan sahaja sudut akut, tetapi juga bodoh, negatif, dan lebih besar daripada \ (360 ° \) (giliran penuh). Bagaimana untuk melakukannya - lebih mudah untuk melihat sekali daripada mendengar \(100\) kali, jadi lihat gambar.

Sekarang penjelasan: biarlah perlu untuk menentukan kosinus sudut KOA dengan ukuran darjah dalam \(150°\). Kami menggabungkan titik O dengan pusat bulatan, dan sisi okey- dengan paksi \(x\). Selepas itu, ketepikan \ (150 ° \) lawan jam. Kemudian ordinat titik TAPI akan menunjukkan kepada kita kosinus sudut ini.

Jika kita berminat dengan sudut dengan ukuran darjah, contohnya, dalam \ (-60 ° \) (sudut KOV), kami melakukan perkara yang sama, tetapi \(60°\) ketepikan mengikut arah jam.

Dan akhirnya, sudut lebih besar daripada \(360°\) (sudut KOS) - semuanya serupa dengan tumpul, hanya selepas melepasi pusingan penuh mengikut arah jam, kami pergi ke pusingan kedua dan "mendapat kekurangan darjah". Khususnya, dalam kes kami, sudut \(405°\) diplotkan sebagai \(360° + 45°\).

Adalah mudah untuk meneka bahawa untuk mengetepikan sudut, sebagai contoh, dalam \ (960 ° \), anda perlu membuat dua pusingan (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)), dan untuk sudut dalam \ (2640 ° \) - keseluruhan tujuh.

Perlu diingat bahawa:

Kosinus bagi sudut tegak ialah sifar. Kosinus bagi sudut tumpul ialah negatif.

Tanda kosinus di kuarters

Menggunakan paksi kosinus (iaitu, paksi absis, diserlahkan dengan warna merah dalam rajah), mudah untuk menentukan tanda kosinus di sepanjang bulatan berangka (trigonometrik):

Di mana nilai pada paksi adalah dari \(0\) hingga \(1\), kosinus akan mempunyai tanda tambah (suku I dan IV ialah kawasan hijau),
- di mana nilai pada paksi adalah dari \(0\) hingga \(-1\), kosinus akan mempunyai tanda tolak (kawasan II dan III - kawasan ungu).

Contoh. Takrifkan tanda \(\cos 1\).
Penyelesaian: Mari cari \(1\) pada bulatan trigonometri. Kami akan bermula dari fakta bahawa \ (π \u003d 3,14 \). Ini bermakna bahawa satu adalah lebih kurang tiga kali lebih hampir kepada sifar (titik "mula").

Jika kita melukis serenjang dengan paksi kosinus, menjadi jelas bahawa \(\cos⁡1\) adalah positif.
Jawapan: tambahan.

Kaitan dengan fungsi trigonometri lain:

Fungsi \(y=\cos(x)\)

Jika kita memplot sudut dalam radian di sepanjang paksi \(x\), dan nilai kosinus yang sepadan dengan sudut ini di sepanjang paksi \(y\), kita mendapat graf berikut:

Graf ini dipanggil dan mempunyai sifat berikut:

Domain definisi ialah sebarang nilai x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- julat nilai - daripada \(-1\) hingga \(1\) termasuk: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- genap: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- berkala dengan kala \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- titik persilangan dengan paksi koordinat:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), di mana \(n ϵ Z\)
paksi-y: \((0;1)\)
- selang aksara:
fungsi adalah positif pada selang: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi adalah negatif pada selang: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), di mana \(n ϵ Z\)
- selang kenaikan dan penurunan:
fungsi bertambah pada selang: \((π+2πn;2π+2πn)\), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi berkurangan pada selang: \((2πn;π+2πn)\), di mana \(n ϵ Z\)
- maksima dan minima fungsi:
fungsi mempunyai nilai maksimum \(y=1\) pada titik \(x=2πn\), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi mempunyai nilai minimum \(y=-1\) pada titik \(x=π+2πn\), di mana \(n ϵ Z\).

Apakah sinus, kosinus, tangen, kotangen bagi suatu sudut akan membantu anda memahami segi tiga tepat.

Apakah sisi segi tiga tepat dipanggil? Betul, hipotenus dan kaki: hipotenus ialah sisi yang terletak bertentangan dengan sudut tepat (dalam contoh kita, ini ialah sisi \ (AC \) ); kaki ialah dua sisi yang tinggal \ (AB \) dan \ (BC \) (yang bersebelahan dengan sudut kanan), lebih-lebih lagi, jika kita menganggap kaki berkenaan dengan sudut \ (BC \) , maka kaki \ (AB \) ialah kaki bersebelahan, dan kaki \ (BC \) adalah bertentangan. Jadi, sekarang mari kita jawab soalan: apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut?

Sinus sudut- ini ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.

Dalam segitiga kami:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus sudut- ini ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan hipotenus.

Dalam segitiga kami:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Sudut tangen- ini ialah nisbah kaki yang bertentangan (jauh) kepada yang bersebelahan (dekat).

Dalam segitiga kami:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangen sudut- ini adalah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).

Dalam segitiga kami:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Definisi ini adalah perlu ingat! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengingati kaki mana yang hendak dibahagi dengan apa, anda perlu memahami dengan jelasnya tangen dan kotangen hanya kaki duduk, dan hipotenus hanya muncul di dalam resdung dan kosinus. Dan kemudian anda boleh membuat rangkaian persatuan. Sebagai contoh, yang ini:

kosinus→sentuh→sentuh→bersebelahan;

Cotangent→sentuh→sentuh→bersebelahan.

Pertama sekali, perlu diingat bahawa sinus, kosinus, tangen dan kotangen sebagai nisbah sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi ini (pada satu sudut). Jangan percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Pertimbangkan, sebagai contoh, kosinus sudut \(\beta \) . Mengikut definisi, dari segi tiga \(ABC \): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), tetapi kita boleh mengira kosinus sudut \(\beta \) daripada segi tiga \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Anda lihat, panjang sisi adalah berbeza, tetapi nilai kosinus satu sudut adalah sama. Oleh itu, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bergantung semata-mata pada magnitud sudut.

Jika anda memahami definisinya, teruskan dan perbaikinya!

Untuk segi tiga \(ABC \) , ditunjukkan dalam rajah di bawah, kami dapati \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Nah, adakah anda mendapatnya? Kemudian cuba sendiri: hitung yang sama untuk sudut \(\beta \) .

Jawapan: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Bulatan unit (trigonometri).

Memahami konsep darjah dan radian, kami menganggap bulatan dengan jejari sama dengan \ (1 \) . Bulatan sedemikian dipanggil bujang. Ia sangat berguna dalam kajian trigonometri. Oleh itu, kami membincangkannya dengan lebih terperinci.

Seperti yang anda lihat, bulatan ini dibina dalam sistem koordinat Cartesan. Jejari bulatan adalah sama dengan satu, manakala pusat bulatan terletak pada asalan, kedudukan awal vektor jejari ditetapkan di sepanjang arah positif paksi \(x \) (dalam contoh kita, ini ialah jejari \(AB \) ).

Setiap titik pada bulatan sepadan dengan dua nombor: koordinat sepanjang paksi \(x \) dan koordinat sepanjang paksi \(y \) . Apakah nombor koordinat ini? Dan secara umum, apakah kaitan mereka dengan topik yang ada? Untuk melakukan ini, ingat tentang segi tiga bersudut tepat yang dianggap. Dalam rajah di atas, anda boleh melihat dua segi tiga tepat keseluruhan. Pertimbangkan segi tiga \(ACG \) . Ia adalah segi empat tepat kerana \(CG \) berserenjang dengan paksi \(x \).

Apakah \(\cos \ \alpha \) daripada segi tiga \(ACG \) ? betul tu \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Selain itu, kita tahu bahawa \(AC \) ialah jejari bagi bulatan unit, jadi \(AC=1 \) . Gantikan nilai ini ke dalam formula kosinus kami. Inilah yang berlaku:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Dan apakah \(\sin \ \alpha \) daripada segi tiga \(ACG \) ? Sudah tentu, \(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC) \)! Gantikan nilai jejari \ (AC \) dalam formula ini dan dapatkan:

\(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Jadi, bolehkah anda beritahu saya apakah koordinat titik \(C \) , yang tergolong dalam bulatan? Nah, tidak mungkin? Tetapi bagaimana jika anda menyedari bahawa \(\cos \ \alpha \) dan \(\sin \alpha \) hanyalah nombor? Apakah koordinat yang sepadan dengan \(\cos \alpha \)? Sudah tentu, koordinat \(x \) ! Dan apakah koordinat yang sepadan dengan \(\sin \alpha \)? Betul, koordinat \(y \)! Jadi intinya \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Apakah itu \(tg \alpha \) dan \(ctg \alpha \) ? Betul, mari kita gunakan takrifan tangen dan kotangen yang sesuai dan dapatkannya \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Bagaimana jika sudut lebih besar? Di sini, sebagai contoh, seperti dalam gambar ini:

Apakah yang telah berubah dalam contoh ini? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, kita sekali lagi beralih ke segi tiga bersudut tegak. Pertimbangkan segi tiga tepat \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : sudut (bersebelahan dengan sudut \(\beta \) ). Apakah nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Betul, kami mematuhi takrifan fungsi trigonometri yang sepadan:

\(\begin(array)(l)\sin \sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\sudut ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Nah, seperti yang anda lihat, nilai sinus sudut masih sepadan dengan koordinat \ (y \) ; nilai kosinus sudut - koordinat \ (x \) ; dan nilai tangen dan kotangen kepada nisbah yang sepadan. Oleh itu, hubungan ini boleh digunakan untuk sebarang putaran vektor jejari.

Telah disebutkan bahawa kedudukan awal vektor jejari adalah di sepanjang arah positif paksi \(x \). Setakat ini kita telah memutarkan vektor ini mengikut lawan jam, tetapi apa yang berlaku jika kita memutarkannya mengikut arah jam? Tiada apa-apa yang luar biasa, anda juga akan mendapat sudut saiz tertentu, tetapi hanya ia akan menjadi negatif. Oleh itu, apabila memutarkan vektor jejari lawan jam, kita dapat sudut positif, dan apabila berputar mengikut arah jam - negatif.

Jadi, kita tahu bahawa seluruh revolusi vektor jejari mengelilingi bulatan ialah \(360()^\circ \) atau \(2\pi \) . Adakah mungkin untuk memutarkan vektor jejari dengan \(390()^\circ \) atau dengan \(-1140()^\circ \) ? Sudah tentu anda boleh! Dalam kes pertama, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), jadi vektor jejari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada \(30()^\circ \) atau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dalam kes kedua, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), iaitu, vektor jejari akan membuat tiga pusingan lengkap dan berhenti pada kedudukan \(-60()^\circ \) atau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Oleh itu, daripada contoh di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut yang berbeza dengan \(360()^\circ \cdot m \) atau \(2\pi \cdot m \) (di mana \(m \) ialah sebarang integer ) sepadan dengan kedudukan vektor jejari yang sama.

Rajah di bawah menunjukkan sudut \(\beta =-60()^\circ \) . Imej yang sama sepadan dengan sudut \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) dan lain-lain. Senarai ini boleh diteruskan selama-lamanya. Semua sudut ini boleh ditulis dengan formula am \(\beta +360()^\circ \cdot m \) atau \(\beta +2\pi \cdot m \) (dengan \(m \) ialah sebarang integer)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Sekarang, mengetahui takrifan fungsi trigonometri asas dan menggunakan bulatan unit, cuba jawab apa yang nilainya sama dengan:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Berikut ialah bulatan unit untuk membantu anda:

Sebarang kesulitan? Kemudian mari kita fikirkan. Jadi kita tahu bahawa:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

Dari sini, kami menentukan koordinat titik yang sepadan dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulakan mengikut urutan: sudut masuk \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) sepadan dengan titik dengan koordinat \(\left(0;1 \right) \) , oleh itu:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- tidak wujud;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Selanjutnya, mematuhi logik yang sama, kami mendapati bahawa sudut masuk \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) sepadan dengan titik dengan koordinat \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \kanan) \), masing-masing. Mengetahui ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sepadan. Cuba sendiri dahulu, kemudian semak jawapan.

Jawapan:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- tidak wujud

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- tidak wujud

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- tidak wujud

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- tidak wujud

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Oleh itu, kita boleh membuat jadual berikut:

Tidak perlu mengingati semua nilai ini. Cukup untuk mengingati korespondensi antara koordinat titik pada bulatan unit dan nilai fungsi trigonometri:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Perlu ingat atau boleh keluarkan!! \) !}

Dan berikut ialah nilai-nilai fungsi trigonometri bagi sudut dalam dan \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) diberikan dalam jadual di bawah, anda mesti ingat:

Tidak perlu takut, sekarang kami akan menunjukkan salah satu contoh hafalan yang agak mudah dari nilai yang sepadan:

Untuk menggunakan kaedah ini, adalah penting untuk mengingati nilai sinus untuk ketiga-tiga ukuran sudut ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), serta nilai tangen sudut dalam \(30()^\circ \) . Mengetahui nilai \(4 \) ini, agak mudah untuk memulihkan keseluruhan jadual - nilai kosinus dipindahkan mengikut anak panah, iaitu:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), mengetahui perkara ini, adalah mungkin untuk memulihkan nilai untuk \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Pengangka “\(1 \) ” akan sepadan dengan \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , dan penyebut “\(\sqrt(\text(3)) \) ” akan sepadan dengan \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Nilai kotangen dipindahkan mengikut anak panah yang ditunjukkan dalam rajah. Jika anda memahami perkara ini dan mengingati skema dengan anak panah, maka sudah cukup untuk mengingati hanya \(4 \) nilai dari jadual.

Koordinat titik pada bulatan

Adakah mungkin untuk mencari titik (koordinatnya) pada bulatan, mengetahui koordinat pusat bulatan, jejari dan sudut putarannya? Sudah tentu anda boleh! Mari terbitkan formula umum untuk mencari koordinat titik. Di sini, sebagai contoh, kita mempunyai bulatan sedemikian:

Kami diberi titik itu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ialah pusat bulatan. Jejari bulatan ialah \(1,5 \) . Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik \(P \) yang diperolehi dengan memutarkan titik \(O \) dengan \(\delta \) darjah.

Seperti yang dapat dilihat dari rajah, koordinat \ (x \) titik \ (P \) sepadan dengan panjang segmen \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Panjang segmen \ (UK \) sepadan dengan koordinat \ (x \) pusat bulatan, iaitu, ia sama dengan \ (3 \) . Panjang segmen \(KQ \) boleh dinyatakan menggunakan takrifan kosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Kemudian kita mempunyai itu untuk titik \(P \) koordinat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Dengan logik yang sama, kita dapati nilai koordinat y untuk titik \(P\) . Dengan cara ini,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Jadi, secara umum, koordinat titik ditentukan oleh formula:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), di mana

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinat pusat bulatan,

\(r\) - jejari bulatan,

\(\delta \) - sudut putaran jejari vektor.

Seperti yang anda lihat, untuk bulatan unit yang sedang kita pertimbangkan, formula ini dikurangkan dengan ketara, kerana koordinat pusat adalah sifar, dan jejari adalah sama dengan satu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Kosinus ialah fungsi trigonometri yang terkenal, yang juga merupakan salah satu fungsi utama trigonometri. Kosinus sudut dalam segi tiga bersudut tegak ialah nisbah kaki bersebelahan segi tiga dengan hipotenus segi tiga itu. Selalunya, takrifan kosinus dikaitkan dengan segi tiga tepat jenis segi empat tepat. Tetapi ia juga berlaku bahawa sudut yang perlu untuk mengira kosinus dalam segi tiga jenis segi empat tepat tidak terletak dalam segi tiga jenis segi empat tepat ini. Apa yang perlu dilakukan? Bagaimana untuk mencari kosinus sudut segitiga?

Jika anda ingin mengira kosinus sudut dalam segi tiga bersudut tegak, maka semuanya sangat mudah. Anda hanya perlu mengingati definisi kosinus, di mana terletak penyelesaian kepada masalah ini. Anda hanya perlu mencari nisbah yang sama antara kaki bersebelahan, serta hipotenus segi tiga. Sesungguhnya, di sini tidak sukar untuk menyatakan kosinus sudut. Formulanya kelihatan seperti ini: - cosα = a/c, di sini "a" ialah panjang kaki, dan sisi "c", masing-masing, ialah panjang hipotenus. Sebagai contoh, kosinus sudut akut segi tiga tegak boleh didapati menggunakan formula ini.

Sekiranya anda berminat dengan kosinus sudut dalam segi tiga sewenang-wenangnya, maka teorem kosinus datang untuk menyelamatkan, yang harus digunakan dalam kes sedemikian. Teorem kosinus menyatakan bahawa kuasa dua sisi segi tiga adalah priori sama dengan hasil tambah kuasa dua sisi lain segi tiga yang sama, tetapi tanpa dua kali ganda hasil darab sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka.

1. Sekiranya anda perlu mencari kosinus sudut akut dalam segitiga, maka anda perlu menggunakan formula berikut: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Jika dalam segitiga adalah perlu untuk mencari kosinus sudut tumpul, maka anda perlu menggunakan formula berikut: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Penamaan dalam formula - a dan b - ialah panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut yang dikehendaki, c ialah panjang sisi yang bertentangan dengan sudut yang dikehendaki.

Juga, kosinus sudut boleh dikira menggunakan teorem sinus. Ia mengatakan bahawa semua sisi segitiga adalah berkadar dengan sinus sudut yang bertentangan. Menggunakan teorem sinus, anda boleh mengira baki unsur segitiga, hanya mengetahui dua sisi dan sudut yang bertentangan dengan satu sisi, atau dua sudut dan satu sisi. Pertimbangkan satu contoh. Keadaan masalah: a=1; b=2; c=3. Sudut yang bertentangan dengan sisi "A", kita nyatakan - α, maka, mengikut formula, kita mempunyai: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Jawapan: 1.

Sekiranya kosinus sudut perlu dikira bukan dalam segitiga, tetapi dalam beberapa angka geometri sewenang-wenangnya, maka semuanya menjadi lebih rumit. Nilai sudut mesti ditentukan terlebih dahulu dalam radian atau darjah, dan hanya kemudian mengira kosinus daripada nilai ini. Kosinus mengikut nilai berangka ditentukan menggunakan jadual Bradis, kalkulator kejuruteraan atau aplikasi matematik khas.

Aplikasi matematik khas mungkin mempunyai fungsi seperti pengiraan automatik bagi kosinus sudut dalam rajah tertentu. Keindahan aplikasi sedemikian ialah mereka memberikan jawapan yang betul, dan pengguna tidak menghabiskan masanya untuk menyelesaikan masalah yang kadangkala agak rumit. Sebaliknya, dengan penggunaan berterusan aplikasi secara eksklusif untuk menyelesaikan masalah, semua kemahiran untuk bekerja dengan menyelesaikan masalah matematik untuk mencari kosinus sudut dalam segi tiga, serta angka sewenang-wenangnya, hilang.

Salah satu cabang matematik yang mana pelajar sekolah menghadapi kesukaran terbesar ialah trigonometri. Tidak hairanlah: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada ingatan matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk menyimpulkan rantai logik yang kompleks.

Asal-usul trigonometri

Berkenalan dengan sains ini harus bermula dengan definisi sinus, kosinus dan tangen sudut, tetapi pertama-tama anda perlu memikirkan apa yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.

Dari segi sejarah, segi tiga tepat telah menjadi objek utama kajian dalam bahagian sains matematik ini. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan seseorang menentukan nilai semua parameter rajah yang sedang dipertimbangkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Pada masa lalu, orang melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi, dan juga seni.

Peringkat pertama

Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segi tiga tepat. Kemudian formula khas ditemui yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam kehidupan seharian bahagian matematik ini.

Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga bersudut tegak, selepas itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh pelajar dalam fizik dan menyelesaikan persamaan trigonometri abstrak, bekerja dengannya bermula di sekolah menengah.

Trigonometri sfera

Kemudian, apabila sains mencapai tahap perkembangan seterusnya, formula dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan lain digunakan, dan jumlah sudut dalam segitiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui tentang kewujudannya, sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain, adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan "berbentuk arka" dalam ruang tiga dimensi.

Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Beri perhatian - ia telah memperoleh bentuk arka. Dengan bentuk sedemikian, geometri sfera, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teori dan gunaan lain, berurusan.

Segitiga kanan

Setelah mengetahui serba sedikit tentang cara-cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah sinus, kosinus, tangen, pengiraan apa yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.

Langkah pertama ialah memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Dia paling lama. Kami ingat bahawa, mengikut teorem Pythagoras, nilai berangkanya adalah sama dengan punca hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain.

Sebagai contoh, jika dua sisi masing-masing adalah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi yang tinggal membentuk sudut tegak dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat segi empat tepat ialah 180 darjah.

Definisi

Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang asas geometri, kita boleh beralih kepada definisi sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.

Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki bertentangan (iaitu, sisi bertentangan dengan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih besar daripada satu! kenapa? Kerana hipotenus secara lalai adalah yang paling panjang. Tidak kira berapa panjang kaki, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih besar daripada 1 dalam jawapan kepada masalah, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas salah.

Akhir sekali, tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Keputusan yang sama akan memberikan pembahagian sinus dengan kosinus. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, selepas itu kita bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat nisbah yang sama seperti dalam definisi tangen.

Kotangen, masing-masing, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi yang bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan unit dengan tangen.

Jadi, kita telah mempertimbangkan takrifan sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita boleh berurusan dengan formula.

Formula paling mudah

Dalam trigonometri, seseorang tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Dan inilah yang diperlukan apabila menyelesaikan masalah.

Formula pertama yang perlu anda ketahui apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi ia menjimatkan masa jika anda ingin mengetahui nilai sudut, bukan sisi.

Ramai pelajar tidak dapat mengingati formula kedua, yang juga sangat popular apabila menyelesaikan masalah sekolah: jumlah satu dan kuasa dua tangen sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut. Lihat lebih dekat: lagipun, ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah menjadikan formula trigonometri tidak dapat dikenali sepenuhnya. Ingat: mengetahui apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan penukaran dan beberapa formula asas, anda boleh pada bila-bila masa secara bebas memperoleh formula yang lebih kompleks yang diperlukan pada helaian kertas.

Rumus sudut berganda dan penambahan hujah

Dua lagi formula yang perlu anda pelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka ditunjukkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil darab berpasangan sinus dan kosinus ditambah.

Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan argumen sudut berganda. Ia sepenuhnya diperolehi daripada yang sebelumnya - sebagai amalan, cuba dapatkannya sendiri, mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut berganda boleh ditukar untuk menurunkan darjah sinus, kosinus, alfa tangen.

Teorem

Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan oleh itu luas rajah, dan saiz setiap sisi, dsb.

Teorem sinus menyatakan bahawa hasil daripada membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan nilai sudut bertentangan, kita mendapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan sama dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.

Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada jumlah segi empat sama kedua-dua belah, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut yang bersebelahan dengannya - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.

Kesilapan kerana kurang perhatian

Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk membuat kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita berkenalan dengan yang paling popular.

Pertama, anda tidak seharusnya menukar pecahan biasa kepada perpuluhan sehingga keputusan akhir diperoleh - anda boleh meninggalkan jawapan sebagai pecahan biasa, melainkan syarat menyatakan sebaliknya. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat tugas, akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa pada operasi matematik yang tidak perlu. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti akar tiga atau dua, kerana ia berlaku dalam tugasan pada setiap langkah. Perkara yang sama berlaku untuk membundarkan nombor "hodoh".

Selanjutnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Jika anda tersilap terlupa untuk menolak dua kali hasil darab sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi juga menunjukkan salah faham sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan yang tidak berhati-hati.

Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus 30 darjah adalah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Ia mudah untuk mencampurkannya, akibatnya anda pasti akan mendapat hasil yang salah.

Permohonan

Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula belajar trigonometri, kerana mereka tidak memahami maksud yang digunakan. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep terima kasih yang anda boleh mengira jarak ke bintang yang jauh, meramalkan kejatuhan meteorit, menghantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban di permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, dari muzik ke perubatan.

Akhirnya

Jadi anda sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.

Keseluruhan intipati trigonometri bermuara kepada fakta bahawa parameter yang tidak diketahui mesti dikira daripada parameter segitiga yang diketahui. Terdapat enam parameter secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan magnitud tiga sudut. Keseluruhan perbezaan dalam tugas terletak pada fakta bahawa data input yang berbeza diberikan.

Bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki yang diketahui atau hipotenus, kini anda tahu. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama masalah trigonometri adalah untuk mencari punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini anda akan dibantu oleh matematik sekolah biasa.

Konsep sinus, kosinus, tangen dan kotangen adalah kategori utama trigonometri - cabang matematik, dan dikaitkan dengan takrifan sudut. Pemilikan sains matematik ini memerlukan hafalan dan pemahaman formula dan teorem, serta pemikiran spatial yang dikembangkan. Itulah sebabnya pengiraan trigonometri sering menyebabkan kesukaran kepada pelajar sekolah dan pelajar. Untuk mengatasinya, anda harus lebih mengenali fungsi dan formula trigonometri.

Konsep dalam trigonometri

Untuk memahami konsep asas trigonometri, anda mesti terlebih dahulu memutuskan apakah segi tiga tegak dan sudut dalam bulatan, dan mengapa semua pengiraan trigonometri asas dikaitkan dengannya. Segitiga yang salah satu sudutnya ialah 90 darjah ialah segi tiga tegak. Dari segi sejarah, angka ini sering digunakan oleh orang dalam seni bina, navigasi, seni, astronomi. Oleh itu, mengkaji dan menganalisis sifat-sifat angka ini, orang datang ke pengiraan nisbah sepadan parameternya.

Kategori utama yang dikaitkan dengan segi tiga tepat ialah hipotenus dan kaki. Hipotenus ialah sisi segi tiga yang bertentangan dengan sudut tegak. Kaki, masing-masing, adalah dua sisi yang lain. Jumlah sudut mana-mana segi tiga sentiasa 180 darjah.

Trigonometri sfera ialah bahagian trigonometri yang tidak dipelajari di sekolah, tetapi dalam sains gunaan seperti astronomi dan geodesi, saintis menggunakannya. Ciri segitiga dalam trigonometri sfera ialah ia sentiasa mempunyai jumlah sudut lebih daripada 180 darjah.

Sudut segi tiga

Dalam segi tiga tegak, sinus sudut ialah nisbah kaki yang bertentangan dengan sudut yang dikehendaki kepada hipotenus segi tiga. Oleh itu, kosinus ialah nisbah kaki bersebelahan dan hipotenus. Kedua-dua nilai ini sentiasa mempunyai nilai kurang daripada satu, kerana hipotenus sentiasa lebih panjang daripada kaki.

Tangen sudut ialah nilai yang sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan kaki bersebelahan sudut yang dikehendaki, atau sinus kepada kosinus. Kotangen pula ialah nisbah kaki bersebelahan sudut yang dikehendaki kepada kakte yang bertentangan. Kotangen bagi suatu sudut juga boleh diperoleh dengan membahagikan unit dengan nilai tangen.

bulatan unit

Bulatan unit dalam geometri ialah bulatan yang jejarinya sama dengan satu. Bulatan sedemikian dibina dalam sistem koordinat Cartesian, dengan pusat bulatan bertepatan dengan titik asal, dan kedudukan awal vektor jejari ditentukan oleh arah positif paksi X (paksi absis). Setiap titik bulatan mempunyai dua koordinat: XX dan YY, iaitu koordinat absis dan ordinat. Memilih mana-mana titik pada bulatan dalam satah XX, dan menjatuhkan serenjang daripadanya ke paksi absis, kita mendapat segi tiga tepat yang dibentuk oleh jejari ke titik yang dipilih (mari kita nyatakan dengan huruf C), serenjang yang dilukis ke paksi X (titik persilangan dilambangkan dengan huruf G), dan segmen paksi absis antara asalan (titik dilambangkan dengan huruf A) dan titik persilangan G. Segitiga ACG yang terhasil ialah segi tiga tegak yang tertulis dalam bulatan, dengan AG ialah hipotenus, dan AC dan GC ialah kaki. Sudut antara jejari bulatan AC dan segmen paksi absis dengan sebutan AG, kami takrifkan sebagai α (alfa). Jadi, cos α = AG/AC. Memandangkan AC ialah jejari bagi bulatan unit, dan ia sama dengan satu, ternyata cos α=AG. Begitu juga, sin α=CG.

Di samping itu, mengetahui data ini, adalah mungkin untuk menentukan koordinat titik C pada bulatan, kerana cos α=AG, dan sin α=CG, yang bermaksud bahawa titik C mempunyai koordinat yang diberikan (cos α; sin α). Mengetahui bahawa tangen adalah sama dengan nisbah sinus kepada kosinus, kita boleh menentukan bahawa tg α \u003d y / x, dan ctg α \u003d x / y. Memandangkan sudut dalam sistem koordinat negatif, seseorang boleh mengira bahawa nilai sinus dan kosinus beberapa sudut boleh menjadi negatif.

Pengiraan dan formula asas

Nilai fungsi trigonometri

Setelah mempertimbangkan intipati fungsi trigonometri melalui bulatan unit, kita boleh memperoleh nilai fungsi ini untuk beberapa sudut. Nilai disenaraikan dalam jadual di bawah.

Identiti trigonometri yang paling mudah

Persamaan di mana terdapat nilai yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri dipanggil trigonometri. Identiti dengan nilai sin x = α, k ialah sebarang integer:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. dosa x = a, |a| > 1, tiada penyelesaian.
5. dosa x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiti dengan nilai cos x = a, dengan k ialah sebarang integer:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, tiada penyelesaian.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identiti dengan nilai tg x = a, dengan k ialah sebarang integer:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identiti dengan nilai ctg x = a, dengan k ialah sebarang integer:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formula cast

Kategori formula malar ini menunjukkan kaedah yang anda boleh beralih daripada fungsi trigonometri bentuk kepada fungsi hujah, iaitu, menukar sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut mana-mana nilai kepada penunjuk sudut yang sepadan. selang dari 0 hingga 90 darjah untuk kemudahan pengiraan yang lebih baik.

Formula untuk mengurangkan fungsi sinus sudut kelihatan seperti ini:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Untuk kosinus sudut:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Penggunaan formula di atas adalah mungkin tertakluk kepada dua peraturan. Pertama, jika sudut boleh diwakili sebagai nilai (π/2 ± a) atau (3π/2 ± a), nilai fungsi berubah:

• daripada dosa kepada cos;
• daripada cos kepada dosa;
• dari tg ke ctg;
• dari ctg ke tg.

Nilai fungsi kekal tidak berubah jika sudut boleh diwakili sebagai (π ± a) atau (2π ± a).

Kedua, tanda fungsi yang dikurangkan tidak berubah: jika ia pada mulanya positif, ia kekal begitu. Perkara yang sama berlaku untuk fungsi negatif.

Formula Penambahan

Formula ini menyatakan nilai sinus, kosinus, tangen, dan kotangen hasil tambah dan beza dua sudut putaran dari segi fungsi trigonometrinya. Sudut biasanya dilambangkan sebagai α dan β.

Formula kelihatan seperti ini:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Formula ini sah untuk sebarang sudut α dan β.

Formula sudut dua dan tiga

Rumus trigonometri sudut dua dan tiga ialah rumus yang mengaitkan fungsi sudut 2α dan 3α, masing-masing, dengan fungsi trigonometri sudut α. Diperolehi daripada formula penambahan:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Peralihan daripada jumlah kepada produk

Memandangkan 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), memudahkan formula ini, kita memperoleh identiti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Begitu juga, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Peralihan daripada produk kepada jumlah

Formula ini mengikuti daripada identiti untuk peralihan jumlah kepada produk:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formula pengurangan

Dalam identiti ini, kuasa segi empat sama dan kuasa padu bagi sinus dan kosinus boleh dinyatakan dalam sebutan sinus dan kosinus kuasa pertama bagi sudut berbilang:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Penggantian sejagat

Rumus penggantian trigonometri universal menyatakan fungsi trigonometri dari segi tangen separuh sudut.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), manakala x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), dengan x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), dengan x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), manakala x \u003d π + 2πn.

Kes khas

Kes khusus persamaan trigonometri termudah diberikan di bawah (k ialah sebarang integer).

Persendirian untuk sinus:

Hasil bagi kosinus:

Persendirian untuk tangen:

Hasil bagi kotangen:

Teorem

Teorem sinus

Terdapat dua versi teorem - mudah dan lanjutan. Teorem sinus mudah: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Dalam kes ini, a, b, c ialah sisi segi tiga, dan α, β, γ ialah sudut bertentangan, masing-masing.

Teorem sinus lanjutan untuk segi tiga arbitrari: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Dalam identiti ini, R menandakan jejari bulatan di mana segi tiga yang diberi ditulis.

Teorem kosinus

Identiti dipaparkan dengan cara ini: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Dalam formula, a, b, c ialah sisi segi tiga, dan α ialah sudut yang bertentangan dengan sisi a.

Teorem tangen

Formula menyatakan hubungan antara tangen dua sudut, dan panjang sisi yang bertentangan dengannya. Sisi dilabelkan a, b, c, dan sudut bertentangan yang sepadan ialah α, β, γ. Formula teorem tangen: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Teorem kotangen

Mengaitkan jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga dengan panjang sisinya. Jika a, b, c ialah sisi segi tiga, dan A, B, C, masing-masing, ialah sudut bertentangan mereka, r ialah jejari bulatan tersurat, dan p ialah separuh perimeter segi tiga, identiti berikut tahan:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikasi

Trigonometri bukan sahaja sains teori yang dikaitkan dengan formula matematik. Sifat, teorem dan peraturannya digunakan secara praktikal oleh pelbagai cabang aktiviti manusia - astronomi, navigasi udara dan laut, teori muzik, geodesi, kimia, akustik, optik, elektronik, seni bina, ekonomi, kejuruteraan mekanikal, kerja mengukur, grafik komputer, kartografi, oseanografi, dan lain-lain lagi.

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ialah konsep asas trigonometri, yang dengannya anda boleh menyatakan secara matematik hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga, dan mencari kuantiti yang dikehendaki melalui identiti, teorem dan peraturan.