ජ්යාමිතික ප්රගතියෙන් පෙළෙන බෙදුම්කරුවෙකු සොයා ගන්නේ කෙසේද. ජ්යාමිතික ප්රගතිය

ජ්යාමිතික ප්රගතිය ගණිතයට සාපේක්ෂව ගණිතයේ නොඅඩු වැදගත්කමක් නැත. ජ්යාමිතික ප්රගතියක් එවැනි අංකයක් ලෙස හැඳින්වේ b1, B2, B2, B2, B2, B [N] සෑම මීළඟ වාරයක්ම පෙර අංකය ගුණ කිරීමෙන් ලබා ගනී. මෙය මෙය අංකයකි, වර්ධන වේගය හෝ ප්රගතිය අඩුවීම සංලක්ෂිත වේ හරය සහිත ජ්යාමිතික ප්රගතිය සහ දැක්වෙන්න

ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි සම්පූර්ණ කර්තව්යයක් සඳහා, නිකායට අමතරව, එහි පළමු වාරය දැන ගැනීම හෝ නිර්වචනය කිරීම අවශ්ය වේ. හරයෙහි ධනාත්මක වටිනාකම සඳහා, ප්රගතිය ඒකාකාරී අනුක්රමයක් වන අතර, මෙම සංඛ්යා අනුපිළිවෙල ඒකාකාරී ලෙස අඩු වුවහොත් සහ ඒකාකාරී ලෙස වැඩිවෙමින් පවතී නම්. මෙම නඩුව තනි භාවිතයකට හරය සමාන වූ විට, අපට සමාන සංඛ්යා මාලාවක් ඇති බැවින්, ඒවායේ සාරාංශය ප්රායෝගික උනන්දුවක් නොදක්වයි.

ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි සාමාන්යාධිකාරී සූත්රය අනුව ගණනය කරන්න

ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි පළමු සාමාජිකයින්ගේ මුදල සූත්රය තීරණය කරන්න

ජ්යාමිතික ප්රගතිය සඳහා සම්භාව්ය කාර්යයන් සඳහා විසඳුම් සලකා බලන්න. අපි සරලම දේ තේරුම් ගැනීමට පටන් ගනිමු.

උදාහරණය 1. ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි පළමු සාමාජිකයා 27 ක් වන අතර එහි හරය 1/3 කි. පළමු ජ්යාමිතික ප්රගති සාමාජිකයින් හය සොයා ගන්න.

විසඳුම: ගැටලුවේ ගැටලුවේ තත්වය ලියන්න

ගණනය කිරීම් සඳහා, අපි ජ්යාමිතික ප්රගතියේ N-th සාමාජිකයාගේ සූත්රය භාවිතා කරමු

එහි පදනම මත අපි ප්රගතියෙන් තොරව නොදන්නා සාමාජිකයින් සොයා ගනිමු

ජ්යාමිතික ගමනක් යන සාමාජිකයන්ගේ ගණනය කිරීම් සරල බව ඔබට සහතික කර ගන්නේ කෙසේද? ප්රගතිය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත

උදාහරණ 2. ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි පළමු සාමාජිකයන් තිදෙනෙක් සිටිති: 6; -12; 24. හීලයිනර් සහ ඇගේ ඩික් හත්වන සොයා ගන්න.

විසඳුම: එහි අර්ථ දැක්වීම මත පදනම්ව භූමි ප්රගතියේ හරයෙහි හරය ගණනය කරන්න

-2 හි හරයෙහි විකල්ප ජ්යාමිතික ගමනක් ලැබුණි. හත්වන සාමාජිකයා සූත්රය ගණනය කරන්න

මෙම ගැටළුව මත විසඳනු ලැබේ.

උදාහරණය 3. ජ්යාමිතික ප්රගතිය සාමාජිකයන් දෙදෙනෙකු විසින් සකසා ඇත . ප්රගතියෙහි දහවන සාමාජිකයා සොයා ගන්න.

තීරණය:

අපි නිශ්චිත අගයන් සූත්ර හරහා ලියන්නෙමු

නීතිරීතිවලට අනුව, හරයක් සොයා ගැනීම අවශ්ය වන අතර පසුව අපේක්ෂිත අගය සොයන්න, නමුත් අපි දහවන සාමාජිකයා සඳහා ඇත

ආදාන දත්ත සමඟ අක්රීය නොවන උපාමාරු මත පදනම්ව ද එම සූත්රයම ලබා ගත හැකිය. අපි ලබා ගත්තෙමු, අපට ලැබෙන ප්රති As ලයක් ලෙස අපි හයවන සාමාජිකයා තවත් කෙනෙකුට බෙදන්නෙමු

හයවන සාමාජිකයාට වටිනාකම වෙනස් වුවහොත්, අපට දහවන කොටස ලැබේ

මේ අනුව, සරල පරිවර්තනයන් සමඟ සමාන කාර්යයන් සඳහා, නිසි විසඳුමක් ඉක්මන් ආකාරයකින් සොයාගත හැකිය.

උදාහරණය 4. ජ්යාමිතික ප්රගතිය පුනරාවර්තන සූත්ර මගින් ලබා දෙනු ලැබේ

නිකායේ ජ්යාමිතික ප්රගතිය සහ පළමු සාමාජිකයින් හය දෙනාගේ එකතුව සොයා ගන්න.

තීරණය:

අපි දී ඇති දත්ත සමීකරණ පද්ධතියක ස්වරූපයෙන් ලියන්නෙමු

පළමුවැන්න සඳහා දෙවන සමීකරණය ලබා දෙමින් හිමි පුද්ගලයා ප්රකාශ කරන්න

පළමු සමීකරණයේ ප්රගතියෙහි පළමු පදය සොයා ගන්න

ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සොයා ගැනීම සඳහා අපි පහත සඳහන් සාමාජිකයින් පස්දෙනා ගණනය කරමු

පේළි කිහිපයක් සලකා බලන්න.

7 28 112 448 1792...

එහි ඕනෑම මූලද්රව්යයක අර්ථය පෙර හතර වතාවක් වඩා වැඩි බව පැහැදිලිය. එබැවින් මෙම ලිපි මාලාව ප්රගතියකි.

ජ්යාමිතික ප්රගතිශීලී වීම අසීමිත සංඛ්යා අනුක්රමයක් වන අතර එහි ප්රධාන ලක්ෂණය වන්නේ ඊළඟ අංකය පෙර අංකය ලබා ගැනීමෙන් යම් නිශ්චිත සංඛ්යාවක් සඳහා ගුණ කිරීමෙන් ඊළඟ අංකය ලබා ගැනීමයි. මෙය පහත දැක්වෙන සූත්රය මගින් ප්රකාශ වේ.

z +1 \u003d Z Z Z වන Z වන Z, z යනු තෝරාගත් අයිතමයේ අංකයයි.

ඒ අනුව, z ∈ n.

9 ශ්රේණියේ පාසලේ ජ්යාමිතික ප්රගතියක් අධ්යයනය කළ කාල සීමාව. සංකල්පය හඳුනා ගැනීමට උදාහරණ උපකාරී වේ:

0.25 0.125 0.0625...

මෙම සූත්රය පදනම් කරගෙන, ප්රගතිය හරය පහත පරිදි සොයාගත හැකිය:

Q, හෝ B z ශුන්යයට සමාන විය නොහැක. එසේම, සෑම ප්රගතියක්ම ශුන්ය නොවිය යුතුය.

ඒ අනුව, ඊළඟ පේළි ගණන සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ Q හි අවසාන කොටස ගුණ කළ යුතුය.

මෙම ප්රගතිය සැකසීමට, ඔබ එහි පළමු අංගය සහ හරය නියම කළ යුතුය. ඊට පසු, පසුකාලීන සාමාජිකයෙකු සහ ඒවායේ එකතුව සොයාගත හැකිය.

ප්රභේද

Q සහ 1 මත පදනම්ව, මෙම ප්රගතිය වර්ග කිහිපයකට බෙදා ඇත:

• එසේ සහ 1, සහ Q වැඩි ඒකක, පසුව එවැනි අනුක්රමයක් එකිනෙකා සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතිය සමඟ වැඩි වෙමින් පවතී. උදාහරණය පහත දැක්වේ.

උදාහරණය: A 1 \u003d 3, Q \u003d 2 - පරාමිතීන් දෙකම එකකට වඩා වැඩිය.

එවිට සංඛ්යාත්මක අනුක්රමය පහත පරිදි සටහන් කළ හැකිය:

3 6 12 24 48 ...

• නම් | Q | අඩු එකක්, එනම් එය පිළිබඳ ගුණ කිරීම බෙදීමට සමාන වන අතර, එවැනි තත්වයන් සහිත ප්රගතියක් වන්නේ ජ්යාමිතික ප්රගතිය අඩුවීමයි. උදාහරණය පහත දැක්වේ.

උදාහරණය: 1 \u003d 6, Q \u003d 1/3 - තවත් ඒකක 1 ක්, Q අඩුයි.

එවිට සංඛ්යාත්මක අනුක්රමය මේ ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය:

6 2 2/3 ... - 3 වතාවක් පහත දැක්වෙන මූලද්රව්යයට වඩා ඕනෑම මූලද්රව්යයක් වැඩිය.

• ලකුණ. Q.<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

උදාහරණය: A 1 \u003d -3, Q \u003d -2 - පරාමිතීන් දෙකම ශුන්යයට වඩා අඩුය.

එවිට සංඛ්යාත්මක අනුක්රමය ලිවිය හැකිය:

3, 6, -12, 24,...

සූත්ර

ජ්යාමිතික ප්රගතිය පහසුව භාවිතා කිරීම සඳහා, බොහෝ සූත්ර තිබේ:

• සූත්ර ඉසෙඩ්-ටී සාමාජික. පෙර අංක ගණනය නොකර විශේෂිත අංකය යටතේ ඇති මූලද්රව්යය ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

උදාහරණයක්:ප්රශ්නය. = 3, ඒ. 1 \u003d 4. ප්රගතියෙහි හතරවන අංගය අවශ්ය වේ.

තීරණය:ඒ. 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• එක සමාන වන පළමු මූලද්රව්යවල එකතුව z.. සියලුම අනුක්රමික මූලද්රව්යවල එකතුව ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ දෙයිz. ඇතුළුව.

(1-ප්රශ්නය.) පසුව (1 - Q) හරයින් කැපී පෙනේ≠ 0, එබැවින් Q 1 ට සමාන නොවේ.

සටහන: Q \u003d 1 නම්, ප්රගතිය අනන්ත නැවත නැවත නැවත සංඛ්යා මාලාවක් නියෝජනය කරයි.

ජ්යාමිතික ප්රගතිය, උදාහරණ:ඒ. 1 = 2, ප්රශ්නය. \u003d -2. S 5 ගණනය කරන්න.

තීරණය:එස්. 5 = 22 - සූත්රය විසින් ගණනය කිරීම.

• නම් මුදල |ප්රශ්නය.| < 1 и если z стремится к бесконечности.

උදාහරණයක්:ඒ. 1 = 2 , ප්රශ්නය. \u003d 0.5. මුදල සොයා ගන්න.

තීරණය:S z. = 2 · = 4

S z. = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

සමහර ගුණාංග:

• ලාක්ෂණික දේපල. පහත කොන්දේසිය නම් ඕනෑම දෙයක් සඳහා සිදු කරන ලදීz., එවිට දී ඇති සංඛ්යාත්මක පේළියක් - ජ්යාමිතික ප්රගතිය:

z. 2 = z. -1 · ඒ. Z + 1.

• එසේම, ජ්යාමිතික ප්රගතියක \u200b\u200bඕනෑම සංඛ්යාවක් සිටින චතුරශ්රය පිහිටා ඇත්තේ මෙම අයිතමයට සමාන නම් වෙනත් දෙකෙහි ඇති චතුරශ්ර දෙකෙහි එකතු කිරීම ය.

z. 2 = z. - ටී. 2 + z. + ටී. 2 කොහෙදටී. - මෙම සංඛ්යා අතර දුර.

• මූලද්රව්ය Q.කාලය.
• ප්රගතියෙහි මූලද්රව්යවල ල ar ු ගණකය ද ප්රගතියක් ඇති කරයි, නමුත් දැනටමත් ගණිතමය, එනම් ඒවා සෑම එක් එක් කෙනා යම් සංඛ්යාවක් සඳහා පෙර පැවති එකකට වඩා වැඩි ය.

සමහර සම්භාව්ය කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ

ජ්යාමිතික ප්රගතිය යනු කුමක්ද යන්න වඩා හොඳින් වටහා ගැනීම, 9 පන්තියේ විසඳුමක් සහිත උදාහරණ උපකාරී වේ.

• කොන්දේසි:ඒ. 1 = 3, ඒ. 3 \u003d 48. සොයා ගන්නප්රශ්නය..

විසඳුම: සෑම පසුකාලීන මූලද්රව්යයක්ම පෙර පැවති එකට වඩා වැඩියප්රශ්නය. කාලය.හරය භාවිතයෙන් අන් අය හරහා සමහර අංග ප්රකාශ කිරීම අවශ්ය වේ.

එබැවින්,ඒ. 3 = ප්රශ්නය. 2 · ඒ. 1

ආදේශන විටප්රශ්නය.= 4

• කොන්දේසි:ඒ. 2 = 6, ඒ. 3 \u003d 12. S 6 ගණනය කරන්න.

තීරණය:මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සූත්රයේ පළමු අංගය හා ආදේශනය වන Q සොයා ගැනීම ප්රමාණවත් වේ.

ඒ. 3 = ප්රශ්නය.· ඒ. 2 , එබැවින්,ප්රශ්නය.= 2

a 2 \u003d Q E 1,ඒ නිසා a 1 \u003d. 3

S 6 \u003d. 189

• · ඒ. 1 = 10, ප්රශ්නය. \u003d -2. ප්රගතියෙහි සිව්වන අංගයක් සොයා ගන්න.

විසඳුම: මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සිව්වන අංගය පළමු හා හරය හරහා ප්රකාශ කිරීම ප්රමාණවත් වේ.

a 4 \u003d Q 3· 1 \u003d -80

යෙදුමේ උදාහරණයක්:

• සෑම වසරකම රුබමාර 10,000 කට දායක වූ බැංකුවේ සේවාදායකයා දායකත්වයක් ලබා දුන් අතර, සෑම වසරකම සේවාදායකයා ප්රධාන මුදල සඳහා 6% ක් එකතු කරනු ලැබේ. වසර 4 කට පසු ගිණුමේ කොපමණ මුදලක් පවතිනු ඇත්ද?

විසඳුම: ආරම්භක මුදල රූබල් 10,000 කට සමාන වේ. එබැවින්, ගිණුමේ ආයෝජනය කිරීමෙන් වසරකට පසු 10,000 + 10,000 ට සමාන මුදලක් ලැබෙනු ඇත · 0.06 \u003d 10000 · 1.06

ඒ අනුව තවත් වසරක් වන විට ගිණුමේ ඇති මුදල පහත පරිදි වේ:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 \u003d 1.06 · 1.06 · 10.1.1.1.1.06

එනම්, සෑම වසරකම ප්රමාණය 1.06 ගුණයකින් වැඩි වේ. එහි අර්ථය වන්නේ වසර 4 කට පසු ගිණුමේ ඇති අරමුදල් ප්රමාණය සොයා ගැනීම ප්රමාණවත් බවයි. එහි ප්රගතියේ සිව්වන අංගය සොයා ගැනීමට එය ප්රමාණවත් වන අතර එය පළමු අංගය 10,000 ට සමාන වූ පළමු අංගය සහ හරයින් 1.06 ට සමාන වේ .

S \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 \u003d 12625

මුදල ගණනය කිරීම සඳහා කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ:

විවිධ කාර්යයන්හි, ජ්යාමිතික ප්රගතිය භාවිතා වේ. මුදල සොයා ගැනීම පිළිබඳ උදාහරණයක් පහත පරිදි නියම කළ හැකිය:

ඒ. 1 = 4, ප්රශ්නය. \u003d 2, ගණනය කරන්නඑස් 5..

විසඳුම: ගණනය කිරීම සඳහා අවශ්ය සියලු දත්ත දන්නා කරුණකි, ඔබ ඒවා සූත්රයේ ආදේශ කළ යුතුය.

එස්. 5 = 124

• ඒ. 2 = 6, ඒ. 3 \u003d 18. පළමු මූලද්රව්ය හය ප්රමාණය ගණනය කරන්න.

තීරණය:

භූමි වශයෙන්. ප්රගතිය සෑම මීළඟ මූලද්රව්යයක්ම Q ගුණයකින් පෙර පැවති මෙම මූලද්රව්යය, එනම්, ඔබ මූලද්රව්යය දැනගත යුතු මුදල ගණනය කිරීම සඳහාඒ. 1 සහ හරයප්රශ්නය..

ඒ. 2 · ප්රශ්නය. = ඒ. 3

ප්රශ්නය. = 3

ඒ හා සමානව, ඔබ සොයා ගත යුතුයඒ. 1 , දැන ගැනීමඒ. 2 සහප්රශ්නය..

ඒ. 1 · ප්රශ්නය. = ඒ. 2

a 1 \u003d.2

එස්. 6 = 728.

සෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක්ම නම් එන්. වලංගු දෙයක් කරන්න a n. , එවිට ඔවුන් පවසන්නේ සකසන දෙයයි සංඛ්යාත්මක අනුක්රමය :

ඒ. 1 , ඒ. 2 , ඒ. 3 , . . . , a n. , . . . .

එබැවින් සංඛ්යාත්මක අනුක්රමය ස්වාභාවික තර්කයේ ක්රියාකාරිත්වයයි.

ගණන ඒ. 1 අමතන්න අනුක්රමයේ පළමු සාමාජිකයා , ගණන ඒ. 2 — අනුක්රමයේ දෙවන සාමාජිකයා , ගණන ඒ. 3 — තෙවන ආදිය. ගණන a n. අමතන්න n-m අනුක්රමික සාමාජිකයා , සහ ස්වාභාවික අංකය එන්. — ඔහුගේ අංකය .

අසල්වැසි සාමාජිකයන් දෙදෙනෙකුගෙන් a n. සහ a n. +1 සාමාජික අනුපිළිවෙල a n. +1 අමතන්න පසු විපරම (දෙසට a n. ), නමුත් a n. — කලින් (දෙසට a n. +1 ).

අනුපිළිවෙලක් සැකසීමට, ඕනෑම අංකයක් සහිත අනුක්රමයක සාමාජිකයෙකු සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසන ක්රමයක් නියම කළ යුතුය.

බොහෝ විට අනුක්රමය භාවිතා කිරීම දක්වා ඇත සූත්ර N-TH සාමාජික , එනම්, අනුක්රමික සාමාජිකයා එහි සංඛ්යාවෙන් තීරණය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසන සූත්රය.

උදාහරණ වශයෙන්,

ධනාත්මක අමුතු සංඛ්යා අනුක්රමය සූත්රය විසින් සැකසිය හැකිය

a n.= 2n -1,

සහ අනුක්රමය වෙනස් වේ 1 සහ -1 - සූත්රය

බී. එන්. = (-1) එන්. +1 . ◄

අනුක්රමය නිර්වචනය කළ හැකිය පුනරාවර්තන සූත්රය, එනම්, පෙර (එකක් හෝ වැඩි ගණනක්) සාමාජිකයින් හරහා, අනුක්රමයේ ඕනෑම සාමාජිකයෙකු ප්රකාශ කරන සූත්රයකි.

උදාහරණ වශයෙන්,

නම් ඒ. 1 = 1 , නමුත් a n. +1 = a n. + 5

ඒ. 1 = 1,

ඒ. 2 = ඒ. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ඒ. 3 = ඒ. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ඒ. 4 = ඒ. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ඒ. 5 = ඒ. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

නම් 1.= 1, a 2. = 1, a n. +2 = a n. + a n. +1 , සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයින් හත් දෙනා පහත පරිදි වේ:

1. = 1,

a 2. = 1,

ඒ 3. = 1. + a 2. = 1 + 1 = 2,

ඒ 4. = a 2. + ඒ 3. = 1 + 2 = 3,

5. = ඒ 3. + ඒ 4. = 2 + 3 = 5,

ඒ. 6 = ඒ. 4 + ඒ. 5 = 3 + 5 = 8,

ඒ. 7 = ඒ. 5 + ඒ. 6 = 5 + 8 = 13. ◄

අනුපිළිවෙල විය හැකිය අවසානය සහ අසීමිත .

අනුක්රමය හැඳින්වේ සීමිත එයට සීමිත සාමාජිකයින් සංඛ්යාවක් සිටී නම්. අනුක්රමය හැඳින්වේ අසීමිත එය අසීමිත ලෙස බොහෝ සාමාජිකයන් සිටී නම්.

උදාහරණ වශයෙන්,

ඉලක්කම් දෙකක ස්වාභාවික අංකවල අනුක්රමය:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

සීමිත.

ප්රාථමික සංඛ්යා අනුපිළිවෙල:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

අසීමිත. ◄

අනුක්රමය හැඳින්වේ වැඩි කිරීම දෙවැන්න සිට ආරම්භ වන සෑම සාමාජිකයෙකුටම පෙර, පෙර එකට වඩා වැඩි නම්.

අනුක්රමය හැඳින්වේ බැසයාම සෑම සාමාජිකයෙකුටම දෙවන ස්ථානයේ සිට, පෙර එකට වඩා අඩු නම්.

උදාහරණ වශයෙන්,

2, 4, 6, 8, . . . , 2එන්., . . . - අනුක්රමය වැඩි කිරීම;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / එන්., . . . - අනුක්රමය අඩු වීම. ◄

වැඩිවන සංඛ්යාව අඩු වීම, එහි අංග, වැඩිවන සංඛ්යාව අඩු නොවේ, හෝ ඊට පටහැනිව, වැඩි නොකරන්න ඒකාකාරී අනුක්රමය .

ඒකාකාරී අනුපිළිවෙල විශේෂයෙන්, අනුපිළිවෙල සහ අනුපිළිවෙල අඩු කිරීම.

අංක ගණිත ප්රගතිය

අංක ගණිත ප්රගතිය තත්පරයෙන් ආරම්භ වන සෑම සාමාජිකයෙකුටම, දෙවැන්නෙන් පටන් ගත් සෑම සාමාජිකයෙකුටම අනුක්රමය ලෙස හැඳින්වේ, එය කලින් එකතු කළ හැකි ය.

ඒ. 1 , ඒ. 2 , ඒ. 3 , . . . , a n., . . .

ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා ගණිතමය ප්රගතියක් වේ එන්. තත්වය සෑහීමකට පත්වේ:

a n. +1 = a n. + ඩී.,

කොහෙද ඩී. - යම් සංඛ්යාවක්.

මේ අනුව, මෙම අංක ගණිත ප්රගතියෙහි පසුකාලීන සහ පෙර සාමාජිකයන් අතර වෙනස සැමවිටම නියත ය:

a 2. - ඒ. 1 = සහ 3. - ඒ. 2 = . . . = a n. +1 - a n. = ඩී..

ගණන ඩී. අමතන්න අංක ගණිත ප්රගතිය අතර වෙනස.

අංක ගණිත ප්රගතියක් සැකසීමට, එහි පළමු වාරය සහ වෙනසක් සඳහන් කිරීම ප්රමාණවත් වේ.

උදාහරණ වශයෙන්,

නම් ඒ. 1 = 3, ඩී. = 4 , අනුක්රමයේ පළමු අනුපිළිවෙල පහ පහත පරිදි වේ:

1. =3,

a 2. = 1. + ඩී. = 3 + 4 = 7,

ඒ 3. = a 2. + ඩී.= 7 + 4 = 11,

ඒ 4. = ඒ 3. + ඩී.= 11 + 4 = 15,

ඒ. 5 = ඒ. 4 + ඩී.= 15 + 4 = 19. ◄

පළමු සාමාජිකයා සමඟ අංක ගණිත ප්රගතියක් සඳහා ඒ. 1 සහ වෙනස ඩී. ඇයට එන්.

a n. = 1. + (එන්.- 1)..

උදාහරණ වශයෙන්,

අංක ගණිත ප්රගතියෙහි තිස්තුමක් සහිත සාමාජිකාවක් සොයා ගන්න

1, 4, 7, 10, . . .

1. =1, ඩී. = 3,

ඒ 30. = 1. + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1. + (එන්.- 2)ඩී,

a n.= 1. + (එන්.- 1)ඩී,

a n. +1 = ඒ. 1 + nd.,

එවිට පැහැදිලිවම

දෙවන සිට, දෙවන සිට ආරම්භ වන අංක ගණිත ප්රගතියේ සෑම සාමාජිකයෙකුම සාමාන්ය අංක ගණිත පෙර පැවති හා පසුව සාමාජිකයින්ට සමාන වේ.

a, B සහ C සංඛ්යා සමහර අංක ගණිත ප්රගතියක \u200b\u200bනිරන්තර සාමාජිකයන් වන අතර ඒවායින් එකක් සාමාන්ය අංක ගණිත තවත් දෙදෙනෙකුට සමාන නම් පමණි.

උදාහරණ වශයෙන්,

a n. = 2එන්.- 7 ගණිත ප්රගතියක්.

අපි ඉහත ප්රකාශය භාවිතා කරමු. අපිට තියනවා:

a n. = 2එන්.- 7,

n-1 = 2(n -1) - 7 = 2එන්.- 9,

a n + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2එන්.- 5.

එබැවින්,

◄

එය සටහන් කර ගන්න එන්. an ඛාඛයේ ප්රගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන් පමණක් පමණක් නොව පමණක් සොයාගත හැකිය ඒ. 1 නමුත් මීට පෙර කේ.

a n. = කේ. + (එන්.- කේ. කේ)ඩී..

උදාහරණ වශයෙන්,

සදහා ඒ. 5 පටිගත කළ හැකිය

5. = 1. + 4ඩී.,

5. = a 2. + 3ඩී.,

5. = ඒ 3. + 2ඩී.,

5. = ඒ 4. + ඩී.. ◄

a n. = n-k + කේ.ඩී.,

a n. = a n + k - කේ.ඩී.,

එවිට පැහැදිලිවම

අංක ගණිත ප්රගතියේ ඕනෑම සාමාජිකයෙක්, දෙවන සිට මෙම අංක ගණිත ප්රගතියේ සාමාජිකයින්ගෙන් අඩ දක්වාම එයට සමාන වේ.

ඊට අමතරව, ඕනෑම අංකවල ප්රතිගාමිකයෙකු සඳහා සමානාත්මතාවය සත්ය වේ:

m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

උදාහරණ වශයෙන්,

අංක ගණිත ප්රගතියක්

1) ඒ. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ඒ. 9 + ඒ. 11 )/2;

2) 28 = 10 යි. = ඒ 3. + 7ඩී.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) 10 යි.= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + ඒ 13)/2;

4) a 2 + A 12 \u003d A 5 + A 9, වශයෙන්

2 + A 12= 4 + 34 = 38,

5 + A 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n.= 1 + 2 + 3 + 3 +. . .+ a n.,

පළමුවන එන්. අංක ගණිත ප්රගතියේ සාමාජිකයන් පද ගණන සඳහා අන්ත විකල්ප නියමයන්ගේ කාර්යයට සමාන වේ:

මෙතැන් සිට, විශේෂයෙන්, සාමාජිකත්වය සාරාංශගත කළ යුතු නම් එය අනුගමනය කරයි

කේ., කේ. +1 , . . . , a n.,

පෙර සූත්රය එහි ව්යුහය රඳවා ගනී:

උදාහරණ වශයෙන්,

අංක ගණිත ප්රගතියක් 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

එස්. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = එස්. 10 - එස්. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

අංක ගණිත ප්රගතියක් ලබා දෙන්නේ නම්, සාරධර්ම ඒ. 1 , a n., ඩී., එන්. සහඑස්. එන්. සූත්ර දෙකකින් මායිම්:

එමනිසා, මෙම වටිනාකම් තුනක වටිනාකම් ලබා දෙන්නේ නම්, ඉතිරි අගයන් දෙකේ අනුරූප සාරධර්ම නොදන්නා දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් සමඟ ඒකාබද්ධව මෙම සූත්ර දෙකේ අනුරූප අගයන් තීරණය වේ.

අංක ගණිත ප්රගතිය ඒකාකාරී අනුපිළිවෙලක්. එහිදී:

• නම් ඩී. > 0 , එවිට එය වැඩි වෙමින් පවතී;
• නම් ඩී. < 0 , එය බැස යමින්;
• නම් ඩී. = 0 අනුක්රමය ස්ථීරව වනු ඇත.

ජ්යාමිතික ප්රගතිය

ජ්යාමිතික ප්රගතිය දෙවන සිට, දෙවැන්නෙන් පටන්ගත් සෑම සාමාජිකයෙකුටම, අනුක්රමය ලෙස හැඳින්වේ, ඊට පෙර, එකම අංකයකින් ගුණ කර ඇත.

බී. 1 , බී. 2 , බී. 3 , . . . , b n., . . .

ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා නම් ජ්යාමිතික ප්රගතියකි එන්. තත්වය සෑහීමකට පත්වේ:

b n. +1 = b n. · ප්රශ්නය.,

කොහෙද ප්රශ්නය. ≠ 0 - යම් සංඛ්යාවක්.

මේ අනුව, මෙම ජ්යාමිතික ප්රගතියට පෙර පැවති සාමාජිකයාගේ අනුපාතය පෙර අවස්ථාව දක්වා ඇති සංඛ්යාව ස්ථිරයි:

බී. 2 / බී. 1 = බී. 3 / බී. 2 = . . . = b n. +1 / b n. = ප්රශ්නය..

ගණන ප්රශ්නය. අමතන්න හරය සහිත ජ්යාමිතික ප්රගතිය.

ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සැකසීමට, එහි පළමු වාරය සහ හරයින් සඳහන් කිරීමට එය ප්රමාණවත් වේ.

උදාහරණ වශයෙන්,

නම් බී. 1 = 1, ප්රශ්නය. = -3 , අනුක්රමයේ පළමු අනුපිළිවෙල පහ පහත පරිදි වේ:

b 1. = 1,

බී 2. = b 1. · ප්රශ්නය. = 1 · (-3) = -3,

බී 3. = බී 2. · ප්රශ්නය.= -3 · (-3) = 9,

බී 4. = බී 3. · ප්රශ්නය.= 9 · (-3) = -27,

බී. 5 = බී. 4 · ප්රශ්නය.= -27 · (-3) = 81. ◄

බී. 1 සහ හරය ප්රශ්නය. ඇයට එන්. - මට සූත්රය මගින් සොයාගත හැකිය:

b n. = බී. 1 · q n. -1 .

උදාහරණ වශයෙන්,

ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි හත්වන සාමාජිකයා සොයා ගන්න 1, 2, 4, . . .

බී. 1 = 1, ප්රශ්නය. = 2,

බී. 7 = බී. 1 · ප්රශ්නය. 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1. · q n. -2 ,

b n. = b 1. · q n. -1 ,

b n. +1 = බී. 1 · q n.,

එවිට පැහැදිලිවම

b n. 2 = b n. -1 · b n. +1 ,

දෙවැන්න සිට, ජ්යාමිතික ප්රගතියේ සෑම සාමාජිකයෙක්ම, සාමාන්ය ජ්යාමිතික (සමානුපාතික) පෙර සහ පසුකාලීන සාමාජිකයින්ට සමාන වේ.

ප්රතිවිරුද්ධ ප්රකාශයද සත්ය බැවින්, පහත සඳහන් ප්රකාශය සිදු වේ:

a, B සහ C සහ ඒවා සමහර ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි නිරන්තර සාමාජිකයන් වන අතර ඒවායින් එක් අයෙකුගේ චතුරශ්රය අනෙක් දෙකේ කෘතියට සමාන නම්, එනම් එක් අංකයක් සාමාන්ය ජ්යාමිතික දෙකකි.

උදාහරණ වශයෙන්,

සූත්රය විසින් නියම කරනු ලබන අනුක්රමය බව අපි ඔප්පු කරමු b n. \u003d -3 · 2 එන්. ජ්යාමිතික ප්රගතියකි. අපි ඉහත ප්රකාශය භාවිතා කරමු. අපිට තියනවා:

b n. \u003d -3 · 2 එන්.,

b n. -1 \u003d -3 · 2 එන්. -1 ,

b n. +1 \u003d -3 · 2 එන්. +1 .

එබැවින්,

b n. 2 \u003d (-3 · 2 එන්.) 2 \u003d (-3 · 2) එන්. -1 · (-33 · 2 එන්. +1 ) = b n. -1 · b n. +1 ,

එය අවශ්ය ප්රකාශය සනාථ කරයි. ◄

එය සටහන් කර ගන්න එන්. ජ්යාමිතික ප්රගතියේ සාමාජිකයා හරහා පමණක් නොව පමණක් සොයාගත හැකිය බී. 1 , නමුත් පෙර සාමාජිකයෙක් ද බී කේ. සූත්රය භාවිතා කිරීමට එය ප්රමාණවත් වන්නේ ඇයි?

b n. = බී කේ. · q n. - කේ. කේ.

උදාහරණ වශයෙන්,

සදහා බී. 5 පටිගත කළ හැකිය

බී 5. = b 1. · ප්රශ්නය. 4 ,

බී 5. = බී 2. · q 3.,

බී 5. = බී 3. · q 2.,

බී 5. = බී 4. · ප්රශ්නය.. ◄

b n. = බී කේ. · q n. - කේ. කේ,

b n. = b n. - කේ. කේ · q කේ,

එවිට පැහැදිලිවම

b n. 2 = b n. - කේ. කේ· b n. + කේ. කේ

ජ්යාමිතික ප්රගතියේ ඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ චතුරශ්රය මෙම ප්රගතියෙහි සාමාජිකයින්ගේ කෘතියට සමානය.

ඊට අමතරව, ඕනෑම ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්ය වේ:

b m.· b n.= බී කේ.· බී එල්.,

එම්.+ එන්.= කේ. කේ+ l..

උදාහරණ වශයෙන්,

ජ්යාමිතික ප්රගතියෙනි

1) බී. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = බී. 5 · බී. 7 ;

2) 1024 = බී. 11 = බී. 6 · ප්රශ්නය. 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) බී. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = බී. 4 · බී. 8 ;

4) බී. 2 · බී. 7 = බී. 4 · බී. 5 , වශයෙන්

බී. 2 · බී. 7 = 2 · 64 = 128,

බී. 4 · බී. 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n.= බී. 1 + බී. 2 + බී. 3 + . . . + b n.

පළමුවන එන්. හරය සහිත ජ්යාමිතික ප්රගතිය ප්රශ්නය. ≠ 0 සූත්රය විසින් ගණනය කරනු ලැබේ:

සහ සඳහා ප්රශ්නය. = 1 - සූත්රයට අනුව

S n.= සැ.යු. 1

ඔබට සාමාජිකයන් සාරාංශ කිරීමට අවශ්ය නම්

බී කේ., බී කේ. +1 , . . . , b n.,

සූත්රය භාවිතා කරයි:

උදාහරණ වශයෙන්,

ජ්යාමිතික ප්රගතියෙනි 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

එස්. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = එස්. 10 - එස්. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ජ්යාමිතික ප්රගතිය ලබා දෙන්නේ නම්, සාරධර්ම බී. 1 , b n., ප්රශ්නය., එන්. සහ S n. සූත්ර දෙකකින් මායිම්:

එමනිසා, මෙම වටිනාකම් තුනක ඕනෑම අගයන් තුනක අගයන් ලබා දෙන්නේ නම්, ඉතිරි අගයන් දෙකේ අනුරූප සාරධර්ම නොදන්නා දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් සමඟ සංයෝජනය වී ඇත.

පළමු සාමාජිකයා සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතිය සඳහා බී. 1 සහ හරය ප්රශ්නය. පහත සඳහන් දෑ තිබේ ඒකාකාරීත්වයේ ගුණාංග :

• පහත සඳහන් කොන්දේසි වලින් එකක් සිදු කරන්නේ නම් ප්රගතිය වැඩි වේ:

බී. 1 > 0 සහ ප්රශ්නය.> 1;

බී. 1 < 0 සහ 0 < ප්රශ්නය.< 1;

• පහත සඳහන් කොන්දේසි වලින් එකක් නම් ප්රගතිය බැස යයි:

බී. 1 > 0 සහ 0 < ප්රශ්නය.< 1;

බී. 1 < 0 සහ ප්රශ්නය.> 1.

නම් ප්රශ්නය.< 0 , එවිට ජ්යාමිතික ප්රගතිය ලකුණක් වේ): එහි සාමාජිකයින්ට එහි පළමු සාමාජිකයා වන එහි පළමු සාමාජිකයා ලෙස සමාන ලකුණක් සහ සාමාජිකයන් පවා සාමාජිකයන් පවා - ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ. විකල්ප ජ්යාමිතික ප්රගතිය ඒකාකාරී නොවන බව පැහැදිලිය.

පළමු වැඩ එන්. ජ්යාමිතික ප්රගතියේ සාමාජිකයන් සූත්රය විසින් ගණනය කළ හැකිය:

P n.= b 1. · බී 2. · බී 3. · . . . · B n. = (b 1. · b n.) එන්. / 2 .

උදාහරණ වශයෙන්,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ජ්යාමිතික ප්රගතිය අනන්ත ලෙස අඩු කිරීම

ජ්යාමිතික ප්රගතිය අනන්ත ලෙස අඩු කිරීම අසීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් අමතන්න, ඔහුගේ හරය සහිත මොඩියුලය අඩුය 1 , i.e

|ප්රශ්නය.| < 1 .

ජ්යාමිතික ප්රගතිය අනන්තය අඩු කිරීම අහෝසි කිරීමේ අනුක්රමයක් නොවන බව සලකන්න. මෙය නඩුවට අනුරූප වේ

1 < ප්රශ්නය.< 0 .

මෙම හරය සමඟ අනුක්රමය ප්රත්යාවර්ත වේ. උදාහරණ වශයෙන්,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ජ්යාමිතික ප්රගතිය අනන්තයෙන් අඩුවීමේ එකතුව පළමුවැන්නාගේ එකතුව අසීමිත සංඛ්යාවට අමතන්න එන්. හිමිවීමේ සාමාජිකයින් සංඛ්යාවේ අසීමිත වැඩිවීමක් සමඟ එන්. . මෙම සංඛ්යාව සෑම විටම ඇත්ත වශයෙන්ම වන අතර සූත්රය විසින් ප්රකාශිත වේ

උදාහරණ වශයෙන්,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

අංක ගණිත හා ජ්යාමිතික ප්රගතිය පිළිබඳ සන්නිවේදනය

අංක ගණිතය සහ ජ්යාමිතික ප්රගතිය එකිනෙකා සමඟ සමීපව සම්බන්ධ වේ. උදාහරණ දෙකක් පමණක් සලකා බලන්න.

ඒ. 1 , ඒ. 2 , ඒ. 3 , . . . ඩී. ටී.

ආ. 1 , ආ. 2 , ආ. 3 , . . . බී .. .

උදාහරණ වශයෙන්,

1, 3, 5, . . . - වෙනසක් සහිත අංක ගණිත ප්රගතිය 2 සහ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - හරය සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතිය 7 2 . ◄

බී. 1 , බී. 2 , බී. 3 , . . . - හරය සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතිය ප්රශ්නය. ටී.

ලොග් A B 1, ලොග් A B 2, ලොග් A B 3, . . . - වෙනසක් සහිත අංක ගණිත ප්රගතිය ලොග් පිළිතුර A.ප්රශ්නය. .

උදාහරණ වශයෙන්,

2, 12, 72, . . . - හරය සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතිය 6 සහ

lG 2, lG 12, lG 72, . . . - වෙනසක් සහිත අංක ගණිත ප්රගතිය lG 6 . ◄

මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම සහ ඉදිරිපත් කිරීම මාතෘකාව පිළිබඳ: "සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙල. ජ්යාමිතික ප්රගතිය"

අතිරේක ද්රව්ය
හිතවත් භාවිතා කරන්නන්, ඔබේ අදහස්, සමාලෝචන, පැතුම් ඉවත් කිරීමට අමතක නොකරන්න! සියලුම ද්රව්ය ප්රති-වයිරස වැඩසටහන විසින් පරීක්ෂා කරනු ලැබේ.

9 ශ්රේණිය සඳහා "අනුකලනය" සඳහා මාර්ගගත වෙළඳසැලේ පුහුණු අත්පොත් සහ සිමියුලේටර්
උපාධි හා මුල් කාර්යයන් සහ ග්රැෆික්ස්

යාලුවනේ, අද අපි තවත් දියුණුවක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු.
අද පාඩමේ තේමාව වන්නේ ජ්යාමිතික ප්රගතියයි.

ජ්යාමිතික ප්රගතිය

උදාහරණයක්. 1,2,4,8,16 ... පළමු වාරය එකකට සමාන වන ජ්යාමිතික ප්රගතිය, සහ $ Q \u003d $ 2.

උදාහරණයක්. 8,88,88 ... ජ්යාමිතික ප්රගතිය අටකට සමාන,
A $ Q \u003d 1 $.

උදාහරණයක්. 3, -3.3, -3.3 ... ජ්යාමිතික ප්රගතිය, කුමන පළමු සාමාජිකයා තිදෙනෙකුට සමාන වේ,
A $ Q \u003d -1 $.

ජ්යාමිතික ප්රගතියට ඒකාකාරී ගුණාංග ඇත.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ Q\u003e $ 1,
එවිට අනුක්රමය වැඩි වෙමින් පවතී.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ 0 පෝරමයෙහි දැක්වීමට අනුක්රමය ගනු ලැබේ: $ b_ (1), B_ (2), B_ (3), ..., B_ (N), ... $.

ගණිත ප්රගතියක් ලෙස, ජ්යාමිතික ප්රගතියක් තුළ නම්, ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රගතිය අවසන් ජ්යාමිතික ප්රගතිය ලෙස හැඳින්වේ.

$ b_ (1), B_ (2), B_ (3), ..., B_ (N - 1), B_ (N) $.
සටහන, අනුක්රමය ජ්යාමිතික ප්රගතියක් නම්, සාමාජිකයන්ගේ චතුරස්රවල අනුක්රමය ද ජ්යාමිතික ප්රගතියකි. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි, පළමු වාරය ඩොලර් B_ (1) ^ 2 $, සහ හරය: හරය ඩොලර් Q ^ 2 $.

ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි N-ous ථමාර්ථ සාමාජිකයාගේ සූත්රය

අපි නැවත අපගේ උදාහරණ වෙත යමු.

උදාහරණයක්. 1,2,4,8,16 ... පළමු වාරය එකකට සමාන වන ජ්යාමිතික ප්රගතිය,
a $ Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.

උදාහරණයක්. 16,84,2,11/11 ... පළමු වාරය පළමු වාරය 16 ක් වන අතර, ඩොලර් Q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2) (2)) ^ (n - 1).

උදාහරණයක්. 8,88,88 ... පළමු වාරය අටක්, සහ $ Q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.

උදාහරණයක්. 3, -3.3, -3.3 ... පළමු වාරය තුනකට සමාන වන ජ්යාමිතික ප්රගතිය, සහ $ Q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.

උදාහරණයක්. $ B_ (1), B_ (2), ..., B_ (N), ... $.) හි ජ්යාමිතික ප්රගතිය
අ) $ b_ (1) \u003d 6, Q \u003d $ 3 බව දන්නා කරුණකි. $ B_ (5) $ සොයා ගන්න.
ආ) $ b_ (1) \u003d 6, Q \u003d 2, B_ (n) \u003d $ 768. N සොයා ගන්න.
ඇ) $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d $ 96 බව දන්නා කරුණකි. $ B_ (1) $ සොයා ගන්න.
)) $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d $ 4096. Q සොයා ගන්න.

තීරණය.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d $ 486.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $, $ 2 ^ 7 \u003d\u003e n - 1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
ඇ) $ b_ (6) \u003d b_ (1) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d b_ (1) \u003d - $ 3.
)) \u003d b_ (12) \u003d b_ (1) \u003d b_ (1) * quel (11) \u003d - 2 * q (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (- 2048 \u003d\u003e Q \u003d -2 $.

උදාහරණයක්. ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි හත්වන සහ පස්වන සාමාජිකයින් අතර වෙනස 192 ක් වන අතර, ශීත manfයේ පස්වන හා හයවන සාමාජික ප්රමාණය 192 කි. මෙම ප්රගතියෙහි දහවන සාමාජිකයා සොයා ගන්න.

තීරණය.
අපි එය දන්නවා: $ b_ (7) --b_ (5) \u003d 192 $ සහ $ b_ (5) + (6) \u003d 192 $.
අපි ද දනිමු: $ B_ (5) \u003d B_ (1) * Q 4 $; $ b_ (6) \u003d B_ (1) * Q 5 $; $ b_ (7) \u003d B_ (1) * Q 6 $.
ඉන්පසු:
$ B_ (1) * Q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
සමීකරණ පද්ධතියක් ලැබුණි:
$ \\ ආරම්භ කරන්න (නඩු) b_ (1) * Q ^ 4 (Q ^ 2-1) \u003d 192 ^ 2 (1) * q ^ 4 (නඩු) $.
සකස් කිරීම, අපගේ සමීකරණ ලබා ගනු ඇත:
$ B_ (1) * Q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
Q Q ^ 2-1 \u003d Q + 1 $.
Q Q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
විසඳුම් දෙකක් ලැබුණි Q: $ Q_ (1) \u003d 2, Q_ (2) \u003d - 1 $.
පසුව දෙවන සමීකරණය සඳහා අප ආදේශ කිරීම:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ විසඳුම් නොමැත.
ලැබුනේ: $ b_ (1) \u003d 4, Q \u003d $ 2.
අපි දහවන සාමාජිකයා සොයා ගනිමු: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * ^ ^ 9 \u003d 4 ^ 9 \u003d $ 948.

සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතිය

අවසාන ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දෙන්න: $ b_ (1), B_ (2), ..., B_ (N - 1), B_ (N) $.
අපි එහි සාමාජිකයින්ගේ එකතුවෙහි නියම කිරීම හඳුන්වා දෙන්නන්: $ s_ (n) \u003d b_ (1) + (2) + (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $.
$ Q \u003d 1 $ විට. ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි සියලුම සාමාජිකයන් පළමු සාමාජිකයාට සමාන වේ, එවිට $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
දැන් $ Q ≠ $ 1 හි නඩුව ගැන සලකා බලන්න.
ප්රශ්නයකට ඉහත ප්රමාණය ගුණ කරන්න.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + (n - 1) + b_ (n - b_ (1) * q b_ (2) * Q + * Q + ⋯ + b_ (n - 1) * q b + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + (n) + b_ (n) + b_ (n) * Q $.
සටහන:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) * q a * Q $.

$ S_ (n) * Q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) * b_ (n) * q-b_ (1) - (B_ (2) - 2 ) + ⋯ + B_ (N - 1) + B_ (N)) \u003d B_ (n) * Q-B_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d crac (b_ (n) * q-b_ (1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n - b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

සීමිත ජ්යාමිතික ගමනක් යන ප්රමාණයෙන් අපි සූත්රය ලබා ගත්තෙමු.

තීරණය.
$ S_ (7) \u003d crcc (4 * (3 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) -1) (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.

උදාහරණයක්.
ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි පස්වන සාමාජිකයා සොයා ගන්න, එය news b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - $ 4095.

තීරණය.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * Q ^ (n - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $.
Q Q ^ (n) \u003d 1024Q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1))) (Q-1) \u003d - $ 4095.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (Q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d $ 1364.
Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි ලාක්ෂණික දේපල

සංඛ්යාත්මක අනුක්රමය ජ්යාමිතික ප්රගතියයි, එක් එක් සාමාජිකයාගේ චතුරශ්රය යාබදව ඉදිරියට යාබදව ඉදිරියට යාබදව ඇති නිෂ්පාදනයට සමාන වූ විට පමණක් එය සමඟ ඇති විය. අවසාන ප්රගතිය සඳහා, මෙම තත්වය පළමු හා අවසාන සාමාජිකයා සඳහා ඉටු නොකෙරේ.

ජ්යාමමිතික ප්රගතියෙහි ඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ මොඩියුලය එයට යාබදව සිටින සාමාන්ය ජ්යාමිතික සාමාජිකයින්ට සමාන වේ.

තීරණය.
අපි ලාක්ෂණික දේපල භාවිතා කරමු:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3X + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3 + 3x + 6X + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ සහ $ x_ (2) \u003d - 1 $.
මුල් ප්රකාශනයේ නිරන්තරයෙන් ආදේශ කරන්න, අපගේ විසඳුම්:
X \u003d $ 2 හි අනුක්රමය ලබා ගන්නා ලදි: 4; 6; 9 - ජ්යාමිතික ප්රගතිය, කුමන Q \u003d $ 1.5 $.
$ X \u003d -1 $ සඳහා, ලැබුණු අනුක්රමය: 1; 0; 0.
පිළිතුර: $ x \u003d 2. $

ස්වයං විසඳුම් සඳහා කාර්යයන්

ජ්යාමිතික ප්රගතිය සහ ගණිතමය, 9 වන ශ්රේණියේ වීජ ගණිත වර්ෂයේ දී අධ්යයනය කරනු ලබන වැදගත් සංඛ්යාත්මක ය. මෙම ලිපියෙන්, ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි හරය සහ එහි වටිනාකම එහි ගුණාංගවලට බලපාන ආකාරය සලකා බලන්න.

ගමනයට අනුව ගමනයට අර්ථ දැක්වීම

ආරම්භ කිරීම සඳහා, මෙම සංඛ්යාත්මක ශ්රේණියේ අර්ථ දැක්වීම අපි ලබා දෙමු. ජ්යාමිතික හි ප්රගතිය එවැනි තාර්කික සංඛ්යා ගණනාවක් ලෙස හැඳින්වේ, එය නියත අංකයක් සඳහා එහි පළමු අංගයක් වන ස්ථාවර ගුණ කිරීම මගින් සෑදී ඇත.

උදාහරණයක් ලෙස, 3, 6, 12, 24, 24 පේළියක සංඛ්යාව, ... ඔබ 3 (පළමු අංගය) 2 වන විට, පසුව 2 න් වැඩි වේ, පසුව අපට ලැබෙනු ඇත 12, සහ එසේ ය.

සලකා බලනු ලබන අනුපිළිවෙලින් අනුපිළිවෙලින් අනුපිළිවෙලින් AI සංකේතය සංකේතවත් කිරීම සිරිතකි, එහිදී මම මූලද්රව්ය අංකය පෙන්වන නිඛිලයක් වන අතර එය පේළියේ මූලද්රව්ය අංකය දැක්වේ.

ප්රගතිය පිළිබඳ ඉහත අර්ථ දැක්වීම පහත පරිදි ගණිතයේ භාෂාවෙන් ලිවිය හැකිය: a \u003d bn-1 * A1, බී එහිදී ආ ඩිකනකරුවා. මෙම සූත්රය පහසුවෙන් බලන්න: n \u003d 1 නම්, පසුව B1-1 \u003d 1, එවිට අපි A1 \u003d A1 ලබා ගනිමු. N \u003d 2, පසුව A \u003d B * A1 නම්, සලකා බලනු ලබන සංඛ්යා ගණන පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමට අපි නැවත පැමිණෙමු. එන් හි විශාල වටිනාකම් සඳහා සමාන තර්ක දිගටම කරගෙන යා හැකිය.

ජ්යාමිතිකගේ ප්රගතියෙහි හරය

B අංකය සියලු සංඛ්යාත්මක ශ්රේණිය වන්නේ කුමන චරිතයද යන්න. හරය මෙන් බී ධනාත්මක, negative ණ වන අතර එකකට වඩා හෝ ඊට වඩා වැඩි අගයක් ද තිබිය හැකිය. සියලුම ලැයිස්තුගත විකල්ප විවිධ අනුපිළිවෙලට හේතු වේ:

• b\u003e 1. තාර්කික සංඛ්යා වැඩි වැඩියෙන් පවතී. උදාහරණයක් ලෙස, 1, 2, 4, 8, ... A1 මූලද්රව්යය negative ණාත්මක නම්, සෑම අනුක්රමයම වැඩි වනු ඇති අතර, මොඩියුලය අනුව පමණක් නොව, සංඛ්යා වල සං sign ාවෙන් අඩු වේ.
• b \u003d 1. බොහෝ විට මෙම නඩුව සාමාන්ය සමාන තාර්කික සංඛ්යා සංඛ්යාවක් ඇති බැවින් මෙම නඩුව ප්රගතිය ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, -4, -4, -4.

මුදල සඳහා සූත්රය

සලකා බලනු ලබන ප්රගතියේ වර්ගය භාවිතා කරමින් නිශ්චිත කාර්යයන් සලකා බැලීමට පෙර, එහි පළමු n මූලද්රව්ය ප්රමාණය සඳහා වැදගත් සූත්රයක් ගෙන ඒම අවශ්ය වේ. සූත්රයට පෝරමය ඇත: Sn \u003d (Bn - 1) * A1 / (B - 1).

ප්රගති සාමාජිකයින්ගේ පුනරාවර්තන අනුක්රමය සලකා බැලුවහොත් ඔබට මෙම ප්රකාශය ලබා ගත හැකිය. ඉහත සූත්රයේ දී අත්තනෝමතික සාමාජිකයින්ගේ සංඛ්යාව සොයා ගැනීම සඳහා පළමු අංගය සහ හරය පමණක් දැන ගැනීම ප්රමාණවත් බව ද අපි සටහන් කරමු.

අනන්තයෙන් අඩු අනුක්රමය

ඉහත ඒවා නියෝජනය කරන බවට පැහැදිලි කිරීමක් ලබා දෙන ලදි. දැන්, SN සඳහා සූත්රය දැන ගැනීම, අපි එය මෙම සංඛ්යාත්මක පේළියට අදාළ කරමු. ඕනෑම අංකයක් බැවින්, 1 නොඉක්මවන මොඩියුලය ඉදිකර නැත, එය ඉදි කළ විට, එය බිංදුවක්, එනම් B∞ \u003d\u003e 0, ho -1 නම්

වෙනස (1 - ආ), බොහෝ විට ධනාත්මක වන බැවින්, හරයෙහි සාරධර්ම නොසලකා, ජ්යාමිතික S හි අනවශ්ය ලෙස පිරී බැලීමේ ප්රමාණය අද්විතීය ලෙස තීරණය වන්නේ එහි පළමු අංගයේ ලකුණ A1.

නිශ්චිත සංඛ්යා මත ලබාගත් දැනුම ක්රියාත්මක කරන්නේ කෙසේදැයි අප පෙන්වන කාර්යයන් කිහිපයක් දැන් සලකා බලන්න.

කාර්ය අංකය 1. ප්රගතිය සහ ප්රමාණය නොදන්නා අංග ගණනය කිරීම

ප්රගතියේ ජ්යාමිතික, යෝග්රිට්රිටික්, යටි පතුලේ ප්රගතිය 3 සහ එහි පළමු අංගය 3 වන සහ 10 වන සාමාජිකයින්ට සමාන වන අතර එහි ආරම්භක අංග හතෙහි එකතුව කුමක්ද?

ගැටලුවේ තත්වය තරමක් සරල වන අතර ඉහත සූත්රවල සෘජු භාවිතය. එබැවින්, n අංකය සමඟ මූලද්රව්යය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි A \u003d BN-1 * A1 යන ප්රකාශය භාවිතා කරමු. 7 වන අංගය සඳහා, අප සතුව ඇත: A7 \u003d B6 * A1, දන්නා දත්ත ආදේශ කරන්න, අපි ලබා ගත හැකිය: A7 \u003d 26 \u003d 192. 10 වන සාමාජිකයා සඳහා එකම ආකාරයකින්: A10 \u003d 29 \u003d 1536.

අපි එම මුදල සඳහා සුප්රසිද්ධ සූත්රය භාවිතා කරන අතර මාලාවේ 7 වන පළමු අංග සඳහා මෙම අගය තීරණය කරමු. අපට ඇත: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

කාර්ය අංකය 2. ප්රගතිය පිළිබඳ නවක කොටස් ප්රමාණය තීරණය කිරීම

BN-1 * 4 හි ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි ඉදිරියට යාමේ හරයකට ඉඩ දෙන්න. මෙම ලිපි මාලාවේ 5 සිට 10 වන අංගයේ 5 සිට 10 වන අංගය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.

දන්නා සූත්ර කෙලින්ම භාවිතා නොකිරීම ගැටළුව විසඳන්නේ නැත. එය විවිධ ක්රම 2 කින් විසඳිය හැකිය. මාතෘකාව ඉදිරිපත් කිරීමේ සම්පූර්ණත්වය සඳහා, අපි දෙකම ගෙනෙමු.

ක්රමය 1. එය පිළිබඳ අදහස සරල ය: ඔබ පළමු සාමාජිකයින්ගේ අදාළ මුදල් දෙක ගණනය කළ යුතු අතර පසුව එකිනෙකාගෙන් අඩු කරන්න. කුඩා මුදලක් ගණනය කරන්න: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. දැන් අපි විශාල මුදලක් ගණනය කරමු: s4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. අවසාන ප්රකාශනයේ සඳහන් වූයේ 5 වන දින දැනටමත් ගැටලුවේ ගැටලුව යටතේ ගණනය කිරීමට අවශ්ය මුදලට 5 වන බැවින් 5 වන දින දැනටමත් ඇතුළත් කර ඇති බැවින් ඒවා 4 ක් පමණි. අවසාන වශයෙන්, අපි වෙනස ගන්නවා: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

ක්රමය 2. සංඛ්යා ආදේශ කිරීමට පෙර, ගණන් කිරීම, සලකා බලනු ලබන මාලාවේ M සහ N අතර ප්රමාණය සඳහා සූත්රයක් ලබා ගත හැකිය. අපි ක්රම 1 හි තරමක් දුරට කළෙමු, එමඟින් පළමුව වැඩ කරන්නේ එම මුදල සංකේත ඉදිරිපත් කිරීම සමඟයි. අපට ඇත: Snm \u003d (bn - 1) * A1 / (B - 1 - 1) * (BM-1 - 1) * A1 / (BN 1) / (B - BM-1) / (B - 1) . එහි ප්රති ing ලයක් ලෙස ඇති වන, ඔබට දන්නා සංඛ්යා ආදේශ කර අවසාන ප්රති result ලය ගණනය කළ හැකිය: s105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2 - 1) \u003d -1344.

කාර්යය # 3. හරය කුමක්ද?

A1 \u003d 2, ජ්යාමිතිකගේ ප්රගතිය පිළිබඳ හරය සොයා ගනිමු, එහි අසීමිත මුදල 3 වන අතර මෙය සංඛ්යා අඩුවීමේ සංඛ්යාවක් බව දන්නා අතර, මෙය සංඛ්යා අඩුවීමේ සංඛ්යාවක් බව දන්නා කරුණකි.

කර්තව්යයේ කොන්දේසිය අනුව එය විසඳීම සඳහා භාවිතා කළ යුත්තේ කුමන සූත්රයද යන්න අනුමාන කිරීම අපහසු නැත. ඇත්ත වශයෙන්ම, අනන්ත අඩුවීමේ ප්රගතිය සඳහා. අපට ඇත: S∞ \u003d A1 / (1 - ආ). හරය ප්රකාශ කරන තැන: B \u003d 1 - A1 / S∞. දන්නා අගයන් ආදේශ කර අපේක්ෂිත අංකය ලබා ගැනීම සඳහා එය ඉතිරිව ඇත: B \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 හෝ -0.333 (3). මෙම ප්රති result ලය ඔබට මෙම ප්රති result ලය පරීක්ෂා කළ හැක්කේ මෙම වර්ගයේ අනුක්රමය සඳහා b b 1 ඔබ්බට නොඉක්මවිය යුතු බවයි. දැකිය හැකි පරිදි, | | -1 / 3 |

කාර්ය අංකය 4. සංඛ්යා ගණනාවක් ප්රතිස්ථාපනය කිරීම

සංඛ්යාත්මක ශ්රේණියේ අංග 2 ක්, උදාහරණයක් ලෙස, 5 වන සහ 10 සිට 10 දක්වා සමානකම් 60 ට සමාන වේ. මෙම දත්තවල ප්රගතියෙහි ගුණාංග තෘප්තිමත් බව දැන, එය මෙම දත්ත අනුව සමස්ත පරාසය යථා තත්වයට පත් කිරීම අවශ්ය වේ.

කාර්යය විසඳීම සඳහා, එක් එක් කැපී පෙනෙන එක් සාමාජිකයෙකු සඳහා අනුරූප ප්රකාශනයක් ආරම්භ කිරීම අවශ්ය වේ. අපට ඇත: A5 \u003d B4 * A1 සහ A10 \u003d B9 * A1. දැන් අපි පළමු ප්රකාශනය මුලින්ම බෙදා ගනිමු, අපි ලබා ගනිමු: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. මෙතැන් සිට, පස්වන උපාධියේ මුල සාමාජිකයින්ගේ කාර්යයේ කොන්දේසි වලින් දන්නා සම්බන්ධතාවයේ මුල, බී \u003d 1,1486698 හි මූලධනය මෙතැන් සිට අපි තීරණය කරමු. එහි ප්රති ing ලයක් ලෙස ඇති අංකය දන්නා අංගය සඳහා එක් ප්රකාශයක් ලෙස ආදේශ කර ඇත, අප ලබා ගනී: A1 \u003d A5 / B4 \u003d 30 / (1,148696) 4 \u003d 17,4304966.

මේ අනුව, බී.එන් හි ප්රගතියෙහි හරයට සමාන වන අතර, Bn-1 * 17,2304966 \u003d B \u003d 1,148698 හි ජ්යාමිතික ප්රගතිය අපට හමු විය.

ජ්යාමිතිකගේ ප්රගතිය කොහෙද?

එය මෙම සංඛ්යාත්මක මාලාව ප්රායෝගිකව භාවිතා කිරීම සඳහා නොවන්නේ නම්, ඔහුගේ අධ්යයනය තනිකරම න්යායාත්මක උනන්දුව දක්වා අඩු කරනු ඇත. නමුත් මෙම යෙදුම පවතී.

පහත දැක්වෙන්නේ වඩාත් ප්රසිද්ධ උදාහරණ 3 ය:

• XENO හි විරුද්ධාභාසය, dexturest අචිලස් මන්දගාමී කැස්බෑවෙකු සමඟ සම්බන්ධ විය නොහැකි අතර, අනන්ත අනුපිළිවෙල අඩු කිරීමේ සංකල්පය භාවිතා කරමින් විසඳා ඇත.
• චෙස් පුවරුවේ සෑම සෛලයකම තිරිඟු ධාන්ය තිබේ නම්, 1 වන සෛලයට 1 - 3, 3 වන - 3 හි 1 - 3 සහ ඒ සඳහා වන සියලුම සෛල පිරවීම සඳහා, පසුව පුවරුවේ සියලු සෛල පිරවීමට නියමිතය ධාන්ය!
• "හැනෝයි කුළුණ" එක් සැරයටියක සිට තවත් සැරයටියක සිට තවත් සැරයටියකට නැවත සකස් කිරීම සඳහා, 2n - 1 මෙහෙයුම් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ, එනම්, භාවිතා කරන තැටි සංඛ්යාවේ ඔවුන්ගේ සංඛ්යාව ජ්යාමිතික ප්රගතියෙහි වැඩි වේ.