විකර්ණ හරහා සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම. සමාන්තර චලිතය සහ එහි ගුණාංග
සමාන්තර චලිතයපැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයකි.
මෙම රූපයේ, ප්රතිවිරුද්ධ පැති සහ කෝණ එකිනෙකට සමාන වේ. සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණ එක් ස්ථානයක ඡේදනය වන අතර එය අඩකින් අඩු වේ. සමාන්තර චලිත ප්රදේශ සූත්‍ර මඟින් පැති, උස සහ විකර්ණ අනුව අගය සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. විශේෂ අවස්ථා වලදී සමාන්තර චලිතය ද ඉදිරිපත් කළ හැක. ඒවා සෘජුකෝණාස්රාකාර, හතරැස් සහ රොම්බස් ලෙස සැලකේ.
ආරම්භ කිරීම සඳහා, සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය උසින් සහ එය පහත් කර ඇති පැත්ත ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් සලකා බලන්න.
මෙම නඩුව සම්භාව්ය එකක් ලෙස සලකනු ලබන අතර අතිරේක විමර්ශනයක් අවශ්ය නොවේ. පැති දෙකක් හරහා ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය සහ ඒවා අතර කෝණය සලකා බැලීම වඩා හොඳය. ගණනය කිරීමේදී එකම ක්රමය භාවිතා වේ. පැති සහ ඒවා අතර කෝණය ලබා දී ඇත්නම්, ප්රදේශය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ: 
a = 4 cm, b = 6 cm පැති සහිත සමාන්තර චලිතයක් ලබා දී ඇතැයි සිතමු.ඒවා අතර කෝණය α = 30 ° වේ. ප්රදේශය සොයා ගන්න: 
විකර්ණ හරහා සමාන්තර චලිත ප්රදේශය
විකර්ණ අනුව සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සඳහා වන සූත්රය ඔබට ඉක්මනින් අගය සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.
ගණනය කිරීම් සඳහා, ඔබට විකර්ණ අතර පිහිටා ඇති කෝණයෙහි අගය අවශ්ය වේ.
විකර්ණ හරහා සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් සලකා බලමු. D = 7 cm, d = 5 cm යන විකර්ණ සහිත සමාන්තර චලිතයක් ලබා දෙන්න.ඒවා අතර කෝණය α = 30 ° වේ. අපි දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කරමු: 
විකර්ණයක් හරහා සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් අපට විශිෂ්ට ප්‍රති result ලයක් ලබා දුන්නේය - 8.75.
විකර්ණය හරහා සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය දැන ගැනීමෙන් ඔබට සිත්ගන්නාසුලු ගැටළු රාශියක් විසඳා ගත හැකිය. අපි ඒවායින් එකක් බලමු.
කාර්ය:වර්ග අඩි 92 ක වපසරියක් සහිත සමාන්තර චලිතයක් ලබා දී ඇත. බලන්න F ලක්ෂ්‍යය එහි BC පැත්තේ මැද පිහිටා ඇත. අපගේ සමාන්තර චලිතයේ ඇති ADFB trapezoid ප්රදේශය සොයා ගනිමු. පළමුව, කොන්දේසි අනුව අපට ලැබුණු සෑම දෙයක්ම අඳින්න.
අපි විසඳීම ආරම්භ කරමු: 
අපගේ කොන්දේසි අනුව, ah = 92, සහ ඒ අනුව, අපගේ trapezoid ප්රදේශය සමාන වනු ඇත 
සටහන... මෙය ජ්යාමිතික ගැටළු සහිත පාඩමේ කොටසකි (සමාන්තර චලිත කොටස). මෙතන නැති ජ්‍යාමිතිය ප්‍රශ්නයක් විසඳන්න ඕන නම් ඒ ගැන ෆෝරම් එකේ ලියන්න. ගැටළු විසදුම්වල වර්ග මූලයක් උකහා ගැනීමේ ක්‍රියාව දැක්වීමට, සංකේතය √ හෝ sqrt () භාවිතා කරන අතර රැඩිකල් ප්‍රකාශනය වරහන් තුළ දක්වා ඇත.
න්යායික ද්රව්ය
සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්‍ර සඳහා පැහැදිලි කිරීම්:
- සමාන්තර චලිතයක වර්ගඵලය එහි එක් පැත්තක දිගේ ගුණිතයට සමාන වන්නේ මෙම පැත්තට පහත් කරන ලද උස අනුවය
- සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය එහි යාබද පැති දෙකේ ගුණිතයට සමාන වන්නේ ඒවා අතර ඇති කෝණයේ සයිනයෙන්
- සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය එහි විකර්ණවල ගුණිතයෙන් අඩක් වන්නේ ඒවා අතර ඇති කෝණයේ සයිනයෙන්
සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා කාර්යයන්
කාර්ය.සමාන්තර චලිතයක, කුඩා උස සහ කුඩා පැත්ත පිළිවෙලින් 9 cm සහ මූල 82 ට සමාන වේ. විශාල විකර්ණය 15 cm වේ. සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය සොයන්න.
විසඳුමක්.
සමාන්තර චලිත ABCD හි පහළ උස, B ලක්ෂ්‍යයේ සිට විශාල AD පාදය දක්වා පහත හෙලීම, BK ලෙස දක්වමු.
කුඩා උසකින්, කුඩා පැත්තකින් සහ විශාල පාදයක කොටසකින් සාදන ලද සෘජු කෝණික ත්රිකෝණයක ABK කකුලේ අගය සොයන්න. පයිතගරස් ප්රමේයය මගින්:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
සමාන්තර චලිතය BC හි ඉහළ පාදය දිගු කර එහි පහළ පාදයේ සිට උස AN එය මතට පහත් කරන්න. AN = BK සෘජුකෝණාස්රයේ පැති ANBK ලෙස. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සෘජු කෝණික ත්රිකෝණයේ ANC පාදයේ NC සොයන්න.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC = 12
දැන් ABCD සමාන්තර චලිතයේ BC විශාල පාදය සොයා ගන්න.
BC = NC - NB
NB = AK සෘජුකෝණාස්රයේ පැති ලෙස අපි සැලකිල්ලට ගනිමු
BC = 12 - 1 = 11
සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය පාදයේ ගුණිතයට සහ මෙම පාදයේ උසට සමාන වේ.
S = අහ්
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
පිළිතුර: 99 cm 2.
කාර්ය
AVSD හි සමාන්තර චලිතයෙහි, ලම්බක VO AC විකර්ණය මතට පහත් කෙරේ. AO = 8, OC = 6 සහ BO = 4 නම් සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය සොයන්න.
විසඳුමක්.
අපි විකර්ණ АС මතට තවත් ලම්බක DK එකක් දමමු.
ඒ අනුව AOB සහ DKC, COB සහ AKD යන ත්‍රිකෝණ යුගල වශයෙන් සමාන වේ. එක් පැත්තක් සමාන්තර චලිතයේ ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තයි, එය විකර්ණයට ලම්බක වන බැවින් එක් කෙළවරක් කෙළින් වන අතර ඉතිරි කෝණවලින් එකක් සමාන්තර චලිතයේ සහ තත්පර විකර්ණයේ සමාන්තර පැති සඳහා අභ්‍යන්තර කුරුසයකි.
මේ අනුව, සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය පෙන්නුම් කරන ලද ත්රිකෝණවල ප්රදේශයට සමාන වේ. එනම්
සමාන්තර = 2S AOB + 2S BOC
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ප්රදේශය කකුල් වල නිෂ්පාදිතයෙන් අඩක් වේ. කොහෙද
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
පිළිතුර: 56 cm 2.
මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු විසඳීමේදී, අමතරව මූලික ගුණාංග සමාන්තර චලිතයසහ අනුරූප සූත්‍ර, ඔබට පහත සඳහන් දෑ මතක තබා ගත හැක:
- සමාන්තර චලිතයක අභ්‍යන්තර කෝණයේ ද්වී කොට්ඨාශය එයින් සමද්වීපාද ත්රිකෝණයක් කපා දමයි
- සමාන්තර චලිතයේ එක් පැත්තකට යාබදව ඇති අභ්‍යන්තර කෝණවල ද්විභාණ්ඩ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක වේ.
- සමාන්තර චලිතයක ප්රතිවිරුද්ධ අභ්‍යන්තර කොනෙන් මතුවන ද්විභාණ්ඩ එකිනෙකට සමාන්තරව හෝ එක් සරල රේඛාවක පිහිටයි
- සමාන්තර චලිතයක විකර්ණවල වර්ගවල එකතුව එහි පැතිවල වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ
- සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය විකර්ණවල ගුණිතයෙන් අඩක් සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයින් වේ.
මෙම ගුණාංග භාවිතා කරන විසඳුමේ කාර්යයන් අපි සලකා බලමු.
අරමුණ 1.
ABCD හි සමාන්තර චලිතයේ C කෝණයේ ද්විභාෂාව M ලක්ෂ්‍යයේ දී AD පැත්ත ඡේදනය වන අතර E ලක්ෂ්‍යයේ දී A ලක්ෂ්‍යයෙන් ඔබ්බට AB පැත්ත අඛණ්ඩව ඡේදනය වේ. AE = 4, DМ = 3 නම් සමාන්තර චලිතයේ පරිමිතිය සොයන්න.
විසඳුමක්.
1. CMD ත්‍රිකෝණය සමද්වීපක වේ. (දේපල 1). එබැවින්, CD = MD = 3 සෙ.මී.
2. EAM ත්‍රිකෝණය සමද්වීපක වේ.
එබැවින්, AE = AM = 4 සෙ.මී.
3. AD = AM + MD = 7 සෙ.මී.
4. පරිමිතිය ABCD = 20 සෙ.මී.
පිළිතුර. 20 සෙ.මී.
අරමුණ 2.
විකර්ණ අඳිනු ලබන්නේ උත්තල චතුරස්‍ර ABCD වලිනි. ABD, ACD, BCD යන ත්රිකෝණවල ප්රදේශ සමාන බව දන්නා කරුණකි. ලබා දී ඇති චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයක් බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුමක්.
1. BE කරමු - ත්රිකෝණයේ උස ABD, CF - ත්රිකෝණයේ උස ACD. ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව, ත්රිකෝණවල ප්රදේශ සමාන වන අතර ඒවාට පොදු පාදක AD ඇති බැවින්, මෙම ත්රිකෝණවල උස සමාන වේ. BE = CF.
2. BE, CF AD ට ලම්බක වේ. B සහ C ලකුණු AD රේඛාවේ එකම පැත්තේ පිහිටා ඇත. BE = CF. එබැවින් සරල රේඛාව ВС || දැන්වීම. (*)
3. АL ත්රිකෝණයේ උස АСD, BK - ත්රිකෝණයේ උස BCD වේ. ගැටලුවේ තත්වය අනුව, ත්රිකෝණවල ප්රදේශ සමාන වන අතර ඒවාට පොදු පාදක සංයුක්ත තැටියක් ඇති බැවින්, මෙම ත්රිකෝණවල උස සමාන වේ. AL = BK.
4. AL සහ BK CD එකට ලම්බක වේ. ලකුණු B සහ A සරල රේඛා CD එකේ එකම පැත්තේ පිහිටා ඇත. AL = BK. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සරල රේඛාව AB || CD (**)
5. කොන්දේසි වලින් (*), (**) පහත දැක්වේ - ABCD සමාන්තර චලිතය.
පිළිතුර. ඔප්පු කර ඇත. ABCD - සමාන්තර චලිතය.
අරමුණ 3.
ABCD සමාන්තර චලිතයේ BC සහ CD පැතිවල M සහ H ලකුණු පිළිවෙලින් සලකුණු කර ඇත, එවිට BM සහ HD කොටස් O ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වේ;<ВМD = 95 о,
විසඳුමක්.
1. ත්රිකෝණයේ DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. සෘජු කෝණික ත්රිකෝණයක DHC ඉන්පසු<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 නමුත් CD = AB. එවිට AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = පිළිතුර: AB: ND = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = කාර්යය 4. සමාන්තර චලිතයේ එක් විකර්ණයක්, 4√6 දිග, පාදම සමඟ 60 ° ක කෝණයක් සාදන අතර, දෙවන විකර්ණය එම පාදය සමඟම 45 ° ක කෝණයක් සාදයි. දෙවන විකර්ණය සොයන්න. විසඳුමක්.
1. AO = 2√6. 2. අපි සයිනස් ප්රමේයය AOD ත්‍රිකෝණයට යොදන්නෙමු. AO / sin D = OD / sin A. 2√6 / sin 45 о = OD / sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6. පිළිතුර: 12.
කාර්යය 5. පැති 5√2 සහ 7√2 සහිත සමාන්තර චලිතයකට සමාන්තර චලිතයේ කුඩා කෝණයට සමාන විකර්ණ අතර කුඩා කෝණයක් ඇත. විකර්ණවල දිගවල එකතුව සොයන්න. විසඳුමක්.
d 1, d 2 සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණ වන අතර, විකර්ණ සහ සමාන්තර චලිතයේ කුඩා කෝණය අතර කෝණය φ ට සමාන වේ. 1. වෙනස් දෙකක් ගණන් කරමු S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin φ, S ABCD = 1/2 AС ВD sin AОВ = 1/2 d 1 d 2 sin ф. අපි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු 5√2 7√2 sin ф = 1 / 2d 1 d 2 sin ф හෝ 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. සමාන්තර චලිතයේ පැති සහ විකර්ණ අතර අනුපාතය භාවිතා කරමින්, අපි සමානාත්මතාවය ලියන්නෙමු (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. අපි පද්ධතිය සම්පාදනය කරමු: (d 1 2 + d 2 2 = 296, අපි පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය 2 න් ගුණ කර එය පළමු එකට එකතු කරන්නෙමු. අපට ලැබෙන්නේ (d 1 + d 2) 2 = 576. එබැවින් Id 1 + d 2 I = 24. d 1, d 2 යනු සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණවල දිග වන බැවින්, d 1 + d 2 = 24 වේ. පිළිතුර: 24.
කාර්යය 6. සමාන්තර චලිතයේ පැති 4 සහ 6 වේ. විකර්ණ අතර තියුණු කෝණය අංශක 45 කි. සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න. විසඳුමක්.
1. AOB ත්‍රිකෝණයෙන්, කෝසයින් ප්රමේයය භාවිතා කරමින්, අපි සමාන්තර චලිතයේ පැත්ත සහ විකර්ණ අතර සම්බන්ධය ලියන්නෙමු. AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2 / 2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. ඒ හා සමානව, අපි AOD ත්‍රිකෝණය සඳහා සම්බන්ධතාවය ලියන්නෙමු. අපි එය සැලකිල්ලට ගනිමු<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. අපට d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 සමීකරණය ලැබේ. 3. අපට පද්ධතියක් තිබේ දෙවන සමීකරණයෙන් පළමුවැන්න අඩු කිරීමෙන් අපට 2d 1 d 2 √2 = 80 හෝ d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10. සටහන:මෙම සහ පෙර ගැටලුවේ දී, පද්ධතිය සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳීමට අවශ්ය නැත, මෙම ගැටලුව තුළ ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, අපට විකර්ණවල නිෂ්පාදිතය අවශ්ය වේ. පිළිතුර: 10. කාර්යය 7. සමාන්තර චලිතයේ වර්ගඵලය 96 වන අතර එහි පැති 8 සහ 15 වේ. කුඩා විකර්ණයේ වර්ග සොයා ගන්න. විසඳුමක්.
1.S ABCD = AB · AD · sin BAD. අපි සූත්‍රයේ ආදේශකයක් කරමු. අපිට 96 = 8 15 sin BAD ලැබෙනවා. එබැවින් sin ВAD = 4/5. 2. cos BAD සොයන්න. sin 2 BAD + cos 2 BAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1.cos 2 BAD = 9/25. ගැටළු ප්‍රකාශය අනුව, අපි කුඩා විකර්ණයේ දිග සොයා ගනිමු. BAD කෝණය තියුණු නම් BD විකර්ණය කුඩා වේ. එවිට cos BAD = 3/5. 3. කෝසයින් ප්රමේයය මගින් ABD ත්‍රිකෝණයෙන් අපි විකර්ණ BD හි වර්ග සොයා ගනිමු. BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 · AB · BD · cos BAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145. පිළිතුර: 145.
තවමත් ප්‍රශ්න තිබේද? ජ්යාමිතික ගැටලුවක් විසඳන්නේ කෙසේදැයි විශ්වාස නැද්ද? වෙබ් අඩවිය, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ. සමාන්තර චලිත ප්රදේශය. විභාගය සඳහා වන කාර්යයන් ඇතුළුව ප්රදේශ ගණනය කිරීම හා සම්බන්ධ ජ්‍යාමිතියේ බොහෝ ගැටළු වලදී, සමාන්තර චලිතයක සහ ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා සූත්‍ර භාවිතා වේ. ඒවායින් කිහිපයක් තිබේ, මෙන්න අපි ඒවා සලකා බලමු. මෙම සූත්‍ර ගණන් කිරීම ඉතා පහසු වනු ඇත, මෙම යහපත විමර්ශන පොත්වල සහ විවිධ වෙබ් අඩවි වල දැනටමත් ප්‍රමාණවත් වේ. මම සාරය ප්‍රකාශ කිරීමට කැමතියි - එවිට ඔබ ඒවා හිර කර නොගෙන, නමුත් තේරුම් ගැනීමට සහ ඕනෑම මොහොතක පහසුවෙන් මතක තබා ගත හැකිය. ලිපියේ කරුණු අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු, ඔබට මෙම සූත්‍ර කිසිසේත් ඉගෙන ගැනීමට අවශ්ය නොවන බව ඔබට වැටහෙනු ඇත. වෛෂයිකව කතා කරන විට, ඒවා දිගු කාලයක් කටපාඩම් කරන තීරණ වල බහුලව දක්නට ලැබේ. 1.
එබැවින් අපි සමාන්තර චලිතය දෙස බලමු. අර්ථ දැක්වීම මෙසේය. ඇයි ඒ? එය ඉතා සරලයි! සූත්‍රයේ තේරුම කුමක්දැයි පැහැදිලිව පෙන්වීමට, අපි අමතර ඉදිකිරීම් කිහිපයක් කරන්නෙමු, එනම්, අපි උස සැලසුම් කරන්නෙමු: ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය (2) ත්රිකෝණයේ ප්රදේශයට සමාන වේ (1) - සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවයේ දෙවන ලකුණ "කකුල සහ කර්ණය දිගේ." දැන් අපි දෙවැන්න මානසිකව "කපා" දමා එය පළමු එකට අධිස්ථාපනය කිරීමෙන් මාරු කරන්නෙමු - අපට සෘජුකෝණාස්රයක් ලැබේ, එහි ප්රදේශය මුල් සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සමාන වේ: සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය එහි යාබද පැතිවල ගුණිතයට සමාන වේ. ස්කීච් එකෙන් ඔබට පෙනෙන පරිදි, ප්රතිඵලය වන සෘජුකෝණාස්රයේ එක් පැත්තක් සමාන්තර චලිතයේ පැත්තට සමාන වන අතර අනෙක් පැත්ත සමාන්තර චලිතයේ උසට සමාන වේ. එබැවින්, අපි සමාන්තර චලිතය S = a ∙ h හි ප්රදේශය සඳහා සූත්රය ලබා ගනිමුඒ 2. අපි දිගටම කරගෙන යමු, එහි ප්රදේශය සඳහා තවත් එක් සූත්‍රයක්. අපිට තියෙනවා: අපි පැති a සහ b ලෙස නම් කරමු, ඒවා අතර කෝණය γ "ගැමා", උස h a වේ. සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න:
(
(සෘජු කෝණික ත්රිකෝණයක 30 ° ක කෝණයක් ප්‍රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇති කකුල, උපකල්පිතයෙන් අඩකට සමාන වන බැවින්).
එහි ප්රදේශයේ මාර්ග.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
උපදේශකයෙකුගෙන් උපකාර ලබා ගැනීමට - ලියාපදිංචි වන්න.
පළමු පාඩම නොමිලේ!
සමාන්තර චලිත සූත්‍රයක ප්රදේශය
