Mafunzo ya video 2: Tatizo la piramidi. Kiasi cha piramidi

Mafunzo ya video 3: Tatizo la piramidi. Piramidi sahihi

Mhadhara: Piramidi, msingi wake, mbavu za nyuma, urefu, uso wa upande; piramidi ya pembetatu; piramidi sahihi

Piramidi Ni mwili dhabiti ambao una poligoni kwenye msingi wake, na nyuso zake zote zina pembetatu.

Kesi fulani ya piramidi ni koni iliyo na duara kwenye msingi wake.

Hebu fikiria mambo kuu ya piramidi:

Apothem Ni sehemu ya mstari inayounganisha sehemu ya juu ya piramidi na katikati ya makali ya chini ya uso wa upande. Kwa maneno mengine, ni urefu wa sehemu ya piramidi.

Takwimu inaonyesha pembetatu ADS, ABS, BCS, CDS. Ikiwa unatazama kwa makini majina, unaweza kuona kwamba kila pembetatu ina barua moja ya kawaida kwa jina lake - S. Hiyo ni, hii ina maana kwamba nyuso zote za upande (pembetatu) hukutana kwa hatua moja, ambayo inaitwa juu ya piramidi. .

Sehemu ya OS, ambayo inaunganisha vertex na hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (katika kesi ya pembetatu, katika hatua ya makutano ya urefu), inaitwa. urefu wa piramidi.

Sehemu ya diagonal ni ndege ambayo inapita juu ya piramidi, pamoja na moja ya diagonals ya msingi.

Kwa kuwa uso wa nyuma wa piramidi una pembetatu, basi ili kupata eneo la uso wa pande zote, ni muhimu kupata maeneo ya kila uso na kuyaongeza. Nambari na umbo la nyuso hutegemea umbo na saizi ya pande za poligoni ambayo iko kwenye msingi.

Ndege pekee kwenye piramidi ambayo sehemu yake ya juu sio yake inaitwa msingi piramidi.

Katika takwimu, tunaona kwamba kuna parallelogram chini, hata hivyo, kunaweza kuwa na poligoni yoyote ya kiholela.

Sifa:

Fikiria kesi ya kwanza ya piramidi ambayo ina kingo za urefu sawa:

• Mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi kama hiyo. Ikiwa unapanga juu ya piramidi kama hiyo, basi makadirio yake yatakuwa katikati ya duara.
• Pembe kwenye msingi wa piramidi ni sawa kwa kila uso.
• Katika kesi hii, hali ya kutosha kwa ukweli kwamba mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi, na pia kudhani kuwa kingo zote ni za urefu tofauti, tunaweza kuzingatia pembe sawa kati ya msingi na kila makali ya piramidi. nyuso.

Ikiwa utapata piramidi ambayo pembe kati ya nyuso za upande na msingi ni sawa, basi mali zifuatazo ni kweli:

• Utakuwa na uwezo wa kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, ambayo juu yake inakadiriwa hasa katikati.
• Ikiwa unachora kwa kila upande wa makali ya urefu hadi msingi, basi watakuwa na urefu sawa.
• Ili kupata eneo la uso wa nyuma wa piramidi kama hiyo, inatosha kupata eneo la msingi na kuzidisha kwa nusu ya urefu wa urefu.
• S bp = 0.5P oc H.
• Aina za piramidi.
• Kulingana na ambayo poligoni iko chini ya piramidi, inaweza kuwa triangular, quadrangular, nk Ikiwa polygon ya kawaida (yenye pande sawa) iko kwenye msingi wa piramidi, basi piramidi hiyo itaitwa mara kwa mara.

Piramidi ya kawaida ya pembetatu

Mafunzo haya ya video yatasaidia watumiaji kupata wazo la mandhari ya Piramidi. Piramidi sahihi. Katika somo hili tutafahamiana na dhana ya piramidi, tutaipa ufafanuzi. Hebu fikiria piramidi ya kawaida ni nini na ina mali gani. Kisha tunathibitisha nadharia kwenye uso wa upande wa piramidi ya kawaida.

Katika somo hili tutafahamiana na dhana ya piramidi, tutaipa ufafanuzi.

Fikiria poligoni A1 A2...A n, ambayo iko kwenye ndege α, na uhakika P, ambayo haina uongo katika ndege α (Mchoro 1). Hebu tuunganishe hoja P na vilele A 1, A 2, A 3, … A n... Tunapata n pembetatu: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R na kadhalika.

Ufafanuzi... Polyhedron RA 1 A 2 ... A n linajumuisha n-gonal A1 A2...A n na n pembetatu RA 1 A 2, RA 2 A 3 …PA n A n-1 inaitwa n-piramidi ya kona. Mchele. 1.

Mchele. 1

Fikiria piramidi ya quadrangular PABCD(Mtini. 2).

R- juu ya piramidi.

ABCD- msingi wa piramidi.

RA- ubavu wa upande.

AB- makali ya msingi.

Kutoka kwa uhakika R kuacha perpendicular NS kwenye ndege ya msingi ABCD... Perpendicular inayotolewa ni urefu wa piramidi.

Mchele. 2

Uso kamili wa piramidi una uso wa nyuma, ambayo ni, eneo la nyuso zote za nyuma, na eneo la msingi:

S kamili = S upande + S kuu

Piramidi inaitwa sahihi ikiwa:

• msingi wake ni poligoni ya kawaida;
• sehemu ya mstari inayounganisha juu ya piramidi na katikati ya msingi ni urefu wake.

Maelezo juu ya mfano wa piramidi ya kawaida ya quadrangular

Fikiria piramidi ya kawaida ya quadrangular PABCD(Mtini. 3).

R- juu ya piramidi. Msingi wa piramidi ABCD- quadrangle ya kawaida, yaani, mraba. Hatua O, hatua ya makutano ya diagonals, ni katikati ya mraba. Ina maana, RO ni urefu wa piramidi.

Mchele. 3

Maelezo: katika sahihi n-gon, katikati ya duara iliyoandikwa na katikati ya duara sanjari. Kituo hiki kinaitwa kitovu cha poligoni. Wakati mwingine inasemekana kuwa juu inakadiriwa katikati.

Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka juu yake inaitwa apothem na kuashiria h a.

1. kingo zote za upande wa piramidi ya kawaida ni sawa;

2. nyuso za upande ni pembetatu za isosceles sawa.

Uthibitisho wa mali hizi hutolewa na mfano wa piramidi ya kawaida ya quadrangular.

Imetolewa: PAVSD- piramidi ya kawaida ya quadrangular,

ABCD- mraba,

RO- urefu wa piramidi.

Thibitisha:

1. PA = PB = PC = PD

2.∆АВР = ∆ВСР = ∆СDP = ∆DAP Tazama Mtini. 4.

Mchele. 4

Ushahidi.

RO- urefu wa piramidi. Hiyo ni, moja kwa moja RO perpendicular kwa ndege ABC, na hivyo moja kwa moja AO, VO, SO na FANYA amelala ndani yake. Hivyo pembetatu ROA, ROV, ROS, POD- mstatili.

Fikiria mraba ABCD... Inafuata kutoka kwa mali ya mraba hiyo AO = BO = CO = FANYA.

Kisha pembetatu za kulia zina ROA, ROV, ROS, POD mguu RO- jumla na miguu AO, VO, SO na FANYA ni sawa, ambayo ina maana kwamba pembetatu hizi ni sawa katika miguu miwili. Usawa wa pembetatu unamaanisha usawa wa sehemu, PA = PB = PC = PD. Kipengee cha 1 kimethibitishwa.

Sehemu AB na Jua ni sawa, kwa kuwa ni pande za mraba sawa, RA = PB = RS... Hivyo pembetatu ABP na HRV - isosceles na sawa kwa pande tatu.

Vile vile, tunaona kwamba pembetatu ATS, BCP, CDP, DAP ni isosceles na sawa, kama inavyotakiwa kuthibitisha katika aya ya 2.

Sehemu ya uso ya piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi mara apothem:

Kwa uthibitisho, tutachagua piramidi ya kawaida ya triangular.

Imetolewa: RAVS- piramidi ya kawaida ya triangular.

AB = BC = AC.

RO- urefu.

Thibitisha: ... Tazama Mtini. 5.

Mchele. 5

Ushahidi.

RAVS- piramidi ya kawaida ya triangular. Hiyo ni AB= AC = KK... Hebu iwe O- katikati ya pembetatu ABC, basi RO ni urefu wa piramidi. Pembetatu ya usawa iko kwenye msingi wa piramidi ABC... taarifa, hiyo .

Pembetatu RAV, RVS, RSA- pembetatu za isosceles sawa (kwa mali). Piramidi ya pembetatu ina nyuso tatu za upande: RAV, RVS, RSA... Hii inamaanisha kuwa eneo la uso wa upande wa piramidi ni sawa na:

Upande wa S = 3S RAV

Nadharia imethibitishwa.

Radi ya duara iliyoandikwa kwenye msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ni 3 m, urefu wa piramidi ni m 4. Pata eneo la uso wa upande wa piramidi.

Imetolewa: piramidi ya kawaida ya quadrangular ABCD,

ABCD- mraba,

r= m 3,

RO- urefu wa piramidi;

RO= 4 m.

Tafuta: S upande. Tazama Mtini. 6.

Mchele. 6

Suluhisho.

Kwa nadharia iliyothibitishwa,.

Wacha tupate upande wa msingi kwanza AB... Tunajua kwamba radius ya duara iliyoandikwa chini ya piramidi ya kawaida ya quadrangular ni 3 m.

Kisha, m.

Tafuta eneo la mraba ABCD na upande wa 6 m:

Fikiria pembetatu BCD... Hebu iwe M- katikati ya upande DC... Kwa sababu O- katikati BD, basi (m).

Pembetatu DPC- isosceles. M- katikati DC... Hiyo ni, RM- wastani, na hivyo urefu katika pembetatu DPC... Kisha RM- apothem ya piramidi.

RO- urefu wa piramidi. Kisha, moja kwa moja RO perpendicular kwa ndege ABC, na hivyo mstari wa moja kwa moja OM amelala ndani yake. Tafuta apothem RM kutoka kwa pembetatu ya kulia ROM.

Sasa tunaweza kupata uso wa upande wa piramidi:

Jibu: 60 m 2.

Radi ya duara iliyozungukwa kuhusu msingi wa piramidi ya kawaida ya pembetatu ni m. Eneo la uso wa upande ni 18 m 2. Tafuta urefu wa apothem.

Imetolewa: ABCP- piramidi ya kawaida ya pembetatu,

AB = BC = CA,

R= m,

S upande = 18 m 2.

Tafuta:. Tazama Mtini. 7.

Mchele. 7

Suluhisho.

Katika pembetatu ya kawaida ABC radius ya duara iliyozungushwa imetolewa. Tutafute upande AB pembetatu hii kwa kutumia nadharia ya sine.

Kujua upande wa pembetatu ya kawaida (m), tunapata mzunguko wake.

Kwa nadharia juu ya eneo la uso wa piramidi ya kawaida, wapi h a- apothem ya piramidi. Kisha:

Jibu: 4 m.

Kwa hivyo, tulichunguza piramidi ni nini, piramidi ya kawaida ni nini, na tukathibitisha nadharia kwenye uso wa upande wa piramidi ya kawaida. Katika somo linalofuata, tutajulishwa kwa Piramidi Iliyokatwa.

Bibliografia

1. Jiometri. Darasa la 10-11: kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu (viwango vya msingi na wasifu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Toleo la 5, Mch. na kuongeza. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 p.: Mgonjwa.
2. Jiometri. Daraja la 10-11: Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya jumla / Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: Mgonjwa.
3. Jiometri. Daraja la 10: Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu zilizo na masomo ya kina na maalum ya hisabati / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Toleo la 6. - M .: Bustard, 008 .-- 233 p.: mgonjwa.

1. Lango la mtandao "Yaklass" ()
2. Lango la mtandao "Tamasha la mawazo ya ufundishaji" Septemba 1 "()
3. Lango la mtandao "Slideshare.net" ()

Kazi ya nyumbani

1. Je! poligoni ya kawaida inaweza kuwa msingi wa piramidi isiyo ya kawaida?
2. Thibitisha kuwa kingo zisizounganishwa za piramidi ya kawaida ni za kawaida.
3. Pata thamani ya pembe ya dihedral kwenye upande wa msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ikiwa apothem ya piramidi ni sawa na upande wa msingi wake.
4. RAVS- piramidi ya kawaida ya triangular. Tengeneza pembe ya mstari wa dihedral kwenye msingi wa piramidi.

Ufafanuzi. Ukingo wa upande ni pembetatu, kona moja ambayo iko juu ya piramidi, na upande wa pili unafanana na upande wa msingi (polygon).

Ufafanuzi. Mbavu za upande ni pande za kawaida za nyuso za upande. Piramidi ina kingo nyingi kama pembe za poligoni.

Ufafanuzi. Urefu wa piramidi- hii ni perpendicular, imeshuka kutoka juu hadi msingi wa piramidi.

Ufafanuzi. Apothem- hii ni perpendicular kwa uso wa upande wa piramidi, iliyopunguzwa kutoka juu ya piramidi hadi upande wa msingi.

Ufafanuzi. Sehemu ya diagonal ni sehemu ya piramidi na ndege inayopita juu ya piramidi na ulalo wa msingi.

Ufafanuzi. Piramidi sahihi ni piramidi ambayo msingi ni poligoni ya kawaida, na urefu unashuka hadi katikati ya msingi.

Kiasi na eneo la uso wa piramidi

Mfumo. Kiasi cha piramidi kupitia eneo la msingi na urefu:

Tabia za piramidi

Ikiwa kingo zote za upande ni sawa, basi mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi, na katikati ya msingi sanjari na katikati ya duara. Pia, perpendicular imeshuka kutoka juu inapita katikati ya msingi (mduara).

Ikiwa kingo zote za upande ni sawa, basi zimewekwa kwenye ndege ya msingi kwa pembe sawa.

Kingo za upande ni sawa wakati zinaunda pembe sawa na ndege ya msingi au ikiwa mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi.

Ikiwa nyuso za upande zinakabiliwa na ndege ya msingi kwa pembe moja, basi mduara unaweza kuandikwa kwenye msingi wa piramidi, na juu ya piramidi inakadiriwa katikati yake.

Ikiwa nyuso za upande zinakabiliwa na ndege ya msingi kwa pembe sawa, basi apothems ya nyuso za upande ni sawa.

Mali ya piramidi ya kawaida

1. Juu ya piramidi ni sawa kutoka pembe zote za msingi.

2. Mbavu zote za upande ni sawa.

3. Mbavu zote za upande huteremka kwa pembe sawa hadi msingi.

4. Ahemu za nyuso zote za upande ni sawa.

5. Maeneo ya nyuso zote za upande ni sawa.

6. Nyuso zote zina pembe za dihedral (gorofa).

7. Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi. Katikati ya nyanja iliyozunguka itakuwa hatua ya makutano ya perpendiculars ambayo hupita katikati ya kando.

8. Tufe inaweza kuandikwa kwenye piramidi. Katikati ya tufe iliyoandikwa itakuwa sehemu ya makutano ya vipengee viwili vinavyotokana na pembe kati ya makali na msingi.

9. Ikiwa katikati ya nyanja iliyoandikwa inapatana na katikati ya nyanja iliyozunguka, basi jumla ya pembe za ndege kwenye vertex ni sawa na π au kinyume chake, pembe moja ni sawa na π / n, ambapo n ni nambari. ya pembe chini ya piramidi.

Uunganisho wa piramidi na nyanja

Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi wakati polihedron iko chini ya piramidi ambayo mduara unaweza kuelezewa (hali ya lazima na ya kutosha). Katikati ya nyanja itakuwa mahali pa makutano ya ndege zinazopita perpendicularly kupitia midpoints ya kando ya kando ya piramidi.

Tufe inaweza kuelezewa kila wakati karibu na piramidi yoyote ya pembetatu au ya kawaida.

Tufe inaweza kuandikwa kwenye piramidi ikiwa ndege mbili za pembe za ndani za piramidi zinaingiliana kwa wakati mmoja (hali ya lazima na ya kutosha). Hatua hii itakuwa katikati ya nyanja.

Uunganisho wa piramidi na koni

Koni inaitwa iliyoandikwa kwenye piramidi ikiwa vichwa vyao vinafanana na msingi wa koni umeandikwa kwenye msingi wa piramidi.

Koni inaweza kuandikwa kwenye piramidi ikiwa apothems ya piramidi ni sawa kwa kila mmoja.

Koni inaitwa circumscribed kuzunguka piramidi ikiwa vilele vyake vinapatana, na msingi wa koni umewekwa karibu na msingi wa piramidi.

Koni inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa kingo zote za upande wa piramidi ni sawa kwa kila mmoja.

Uunganisho wa piramidi na silinda

Piramidi inasemekana imeandikwa kwenye silinda ikiwa sehemu ya juu ya piramidi iko kwenye msingi mmoja wa silinda, na msingi wa piramidi umeandikwa kwenye msingi mwingine wa silinda.

Silinda inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi.

Tetrahedron ina nyuso nne na vipeo vinne na kingo sita, ambapo kingo zozote mbili hazina vipeo vya kawaida lakini hazigusi.

Kila kipeo kina nyuso tatu na kingo zinazounda kona ya triangular.

Sehemu inayounganisha vertex ya tetrahedron na katikati ya uso kinyume inaitwa tetrahedron ya kati(GM).

Bimedian ni sehemu inayounganisha sehemu za kati za kingo tofauti ambazo hazijagusana (KL).

Wawili wote na wapatanishi wa tetrahedron hukutana katika hatua moja (S). Katika kesi hii, bimedians imegawanywa katika nusu, na wapatanishi katika uwiano wa 3: 1, kuanzia juu.

Ufafanuzi. Piramidi yenye pembe kali- hii ni piramidi ambayo apothem ni zaidi ya nusu ya urefu wa upande wa msingi.

Ufafanuzi. Piramidi ya kupuuza- hii ni piramidi ambayo apothem ni chini ya nusu ya urefu wa upande wa msingi.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya kawaida- tetrahedron ambayo nyuso zote nne ni pembetatu za usawa. Ni mojawapo ya poligoni tano za kawaida. Katika tetrahedron ya kawaida, pembe zote za dihedral (kati ya nyuso) na pembe za trihedral (kwenye vertex) ni sawa.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya mstatili inaitwa tetrahedron yenye pembe ya kulia kati ya kingo tatu kwenye vertex (kingo ni perpendicular). Nyuso tatu zinaunda kona ya pembetatu ya mstatili na nyuso ni pembetatu za kulia, na msingi ni pembetatu ya kiholela. Maneno ya sehemu yoyote ni sawa na nusu ya upande wa msingi ambao apothem inaangukia.

Ufafanuzi. Equhedral tetrahedron inayoitwa tetrahedron ambayo nyuso za upande ni sawa na kila mmoja, na msingi ni pembetatu ya kawaida. Kwa tetrahedron vile, nyuso ni pembetatu za isosceles.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya Orthocentric inaitwa tetrahedron ambayo urefu wote (perpendiculars) ambao hupunguzwa kutoka juu hadi uso wa kinyume huingiliana kwa hatua moja.

Ufafanuzi. Piramidi ya nyota inaitwa polihedron ambayo msingi wake ni nyota.

Piramidi. Piramidi iliyokatwa

Piramidi inaitwa polihedron, ambayo moja ya nyuso zake ni poligoni ( msingi ), na nyuso zingine zote ni pembetatu zilizo na vertex ya kawaida ( nyuso za upande ) (Mtini. 15). Piramidi inaitwa sahihi , ikiwa msingi wake ni poligoni ya kawaida na juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya msingi (Mchoro 16). Piramidi ya pembetatu ambayo kingo zote ni sawa inaitwa tetrahedron .

Ubavu wa upande piramidi ni upande wa uso wa upande ambao sio wa msingi Urefu piramidi inaitwa umbali kutoka juu yake hadi ndege ya msingi. Kingo zote za nyuma za piramidi ya kawaida ni sawa kwa kila mmoja, kingo zote za nyuma ni pembetatu za isosceles sawa. Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka juu inaitwa apothem . Sehemu ya diagonal sehemu ya piramidi inaitwa ndege inayopitia kingo mbili za upande ambazo sio za uso mmoja.

Eneo la uso wa baadaye piramidi inaitwa jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande. Eneo kamili la uso inayoitwa jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande na msingi.

Nadharia

1. Ikiwa katika piramidi kingo zote za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi, basi sehemu ya juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya duara iliyozungukwa juu ya msingi.

2. Ikiwa katika piramidi kando zote za upande zina urefu sawa, basi sehemu ya juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya mduara unaozunguka juu ya msingi.

3. Ikiwa katika piramidi nyuso zote zimeelekezwa kwa usawa kwenye ndege ya msingi, basi juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya mduara ulioandikwa kwenye msingi.

Ili kuhesabu kiasi cha piramidi ya kiholela, formula ifuatayo ni sahihi:

wapi V- kiasi;

S kuu- eneo la msingi;

H- urefu wa piramidi.

Kwa piramidi sahihi, fomula ni sahihi:

wapi uk- mzunguko wa msingi;

h a- apothem;

H- urefu;

S kamili

S upande

S kuu- eneo la msingi;

V- kiasi cha piramidi sahihi.

Piramidi iliyokatwa inayoitwa sehemu ya piramidi, iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya secant sambamba na msingi wa piramidi (Mchoro 17). Piramidi iliyopunguzwa mara kwa mara inaitwa sehemu ya piramidi ya kawaida, iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya secant sambamba na msingi wa piramidi.

Misingi piramidi zilizopunguzwa - polygons sawa. Nyuso za upande - trapezoid. Urefu piramidi iliyopunguzwa ni umbali kati ya besi zake. Ulalo piramidi iliyopunguzwa inaitwa sehemu inayounganisha wima ambazo hazilala kwenye uso mmoja. Sehemu ya diagonal sehemu ya piramidi iliyopunguzwa inaitwa ndege inayopita kwenye kingo mbili za kando ambazo si za uso mmoja.

Kwa piramidi iliyopunguzwa, fomula zifuatazo ni halali:

(4)

wapi S 1 , S 2 - maeneo ya besi ya juu na ya chini;

S kamili- eneo la jumla la uso;

S upande- eneo la uso wa upande;

H- urefu;

V- kiasi cha piramidi iliyopunguzwa.

Kwa piramidi sahihi iliyopunguzwa, formula ni sahihi:

wapi uk 1 , uk 2 - mzunguko wa besi;

h a- apothem ya piramidi ya kawaida iliyopunguzwa.

Mfano 1. Katika piramidi ya kawaida ya pembetatu, pembe ya dihedral kwenye msingi ni 60º. Pata tangent ya angle ya mwelekeo wa makali ya upande kwa ndege ya msingi.

Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (mtini 18).

Piramidi ni ya kawaida, kwa hivyo kwenye msingi kuna pembetatu ya usawa na nyuso zote za upande ni pembetatu za isosceles sawa. Pembe ya dihedral kwenye msingi ni pembe ya mwelekeo wa uso wa upande wa piramidi kwa ndege ya msingi. Pembe ya mstari ni pembe a kati ya perpendiculars mbili: na i.e. Sehemu ya juu ya piramidi inaonyeshwa katikati ya pembetatu (katikati ya duara na mduara ulioandikwa kwenye pembetatu. ABC) Pembe ya mwelekeo wa mbavu ya upande (kwa mfano SB) Je, pembe kati ya makali yenyewe na makadirio yake kwenye ndege ya msingi. Kwa ubavu SB pembe hii itakuwa pembe SBD... Ili kupata tangent, unahitaji kujua miguu HIVYO na OB... Acha urefu wa sehemu BD ni sawa na 3 a... Nukta O sehemu BD imegawanywa katika sehemu: na Kutoka tunapata HIVYO: Kutoka tunapata:

Jibu:

Mfano 2. Pata kiasi cha piramidi ya kawaida ya quadrangular iliyopunguzwa ikiwa diagonals ya besi zake ni cm na cm, na urefu ni 4 cm.

Suluhisho. Ili kupata kiasi cha piramidi iliyopunguzwa, tunatumia formula (4). Ili kupata eneo la besi, unahitaji kupata pande za mraba wa msingi, ukijua diagonal zao. Pande za besi ni 2 cm na 8 cm, kwa mtiririko huo, kwa hivyo maeneo ya besi na Baada ya kubadilisha data zote kwenye fomula, tunahesabu kiasi cha piramidi iliyopunguzwa:

Jibu: 112 cm 3.

Mfano 3. Pata eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ya triangular iliyopunguzwa, pande za besi ambazo ni 10 cm na 4 cm, na urefu wa piramidi ni 2 cm.

Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (mtini 19).

Uso wa upande wa piramidi hii ni trapezoid ya isosceles. Ili kuhesabu eneo la trapezoid, unahitaji kujua msingi na urefu. Misingi hutolewa kwa hali, urefu tu bado haujulikani. Tutapata kutoka wapi A 1 E perpendicular kutoka kwa uhakika A 1 kwenye ndege ya msingi wa chini, A 1 D- perpendicular kutoka A 1 juu AS. A 1 E= 2 cm, kwa kuwa hii ni urefu wa piramidi. Kutafuta DE hebu tufanye mchoro wa ziada, ambao utaonyesha mtazamo wa juu (mtini 20). Hatua O- makadirio ya vituo vya besi za juu na za chini. tangu (tazama mtini 20) na Kwa upande mwingine sawa Je, radius ya duara iliyoandikwa na OM- radius ya duara iliyoandikwa:

MK = DE.

Kwa nadharia ya Pythagorean kutoka

Sehemu ya uso wa upande:

Jibu:

Mfano 4. Chini ya piramidi iko trapezoid ya isosceles, ambayo msingi wake a na b (a> b) Kila uso wa upande huunda pembe na ndege ya msingi ya piramidi sawa na j... Pata eneo la jumla la piramidi.

Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (mtini 21). Jumla ya eneo la piramidi SABCD sawa na jumla ya maeneo na eneo la trapezoid ABCD.

Hebu tutumie taarifa kwamba ikiwa nyuso zote za piramidi zimeelekezwa kwa usawa kwenye ndege ya msingi, basi kilele kinapangwa katikati ya mduara ulioandikwa kwenye msingi. Hatua O- makadirio ya vertex S kwenye msingi wa piramidi. Pembetatu SOD ni makadirio ya orthogonal ya pembetatu CSD kwenye ndege ya msingi. Kwa nadharia juu ya eneo la makadirio ya orthogonal ya takwimu ya ndege, tunapata:

Vile vile, ina maana Kwa hivyo, kazi ilipunguzwa kupata eneo la trapezoid ABCD... Chora trapezoid ABCD tofauti (mtini 22). Hatua O- katikati ya mduara iliyoandikwa kwenye trapezoid.

Kwa kuwa duara linaweza kuandikwa katika trapezoid, ama Kutoka, kwa nadharia ya Pythagorean, tunayo.

• apothem- urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida, ambayo hutolewa kutoka juu yake (kwa kuongeza, apothem ni urefu wa perpendicular, ambayo hupunguzwa kutoka katikati ya poligoni ya kawaida hadi 1 ya pande zake);
• nyuso za upande (ASB, BSC, CSD, DSA) - pembetatu zinazoungana kwenye vertex;
• mbavu za upande ( AS , BS , Cs , DS ) - pande za kawaida za nyuso za upande;
• juu ya piramidi (t. S) - hatua inayounganisha kando ya kando na ambayo haina uongo katika ndege ya msingi;
• urefu ( HIVYO ) - sehemu ya perpendicular, ambayo hutolewa kwa njia ya juu ya piramidi kwa ndege ya msingi wake (mwisho wa sehemu hiyo itakuwa juu ya piramidi na msingi wa perpendicular);
• sehemu ya diagonal ya piramidi- sehemu ya piramidi, ambayo inapita juu na diagonal ya msingi;
• msingi (ABCD) - poligoni ambayo si ya sehemu ya juu ya piramidi.

Tabia za piramidi.

1. Wakati mbavu zote za upande zina ukubwa sawa, basi:

• ni rahisi kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, wakati juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mduara huu;
• mbavu za upande huunda pembe sawa na ndege ya msingi;
• zaidi ya hayo, mazungumzo pia ni ya kweli, i.e. wakati kingo za upande huunda pembe sawa na ndege ya msingi, au wakati mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi na sehemu ya juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya duara hili, basi kingo zote za piramidi zina ukubwa sawa.

2. Wakati nyuso za upande zina pembe ya mwelekeo kwa ndege ya msingi wa ukubwa sawa, basi:

• ni rahisi kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, wakati juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mduara huu;
• urefu wa nyuso za upande ni za urefu sawa;
• eneo la uso wa upande ni ½ ya bidhaa ya mzunguko wa msingi kwa urefu wa uso wa upande.

3. Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa poligoni iko kwenye msingi wa piramidi ambayo duara inaweza kuelezewa (hali ya lazima na ya kutosha). Katikati ya tufe itakuwa mahali pa makutano ya ndege zinazopita katikati ya kingo za piramidi zilizo sawa kwao. Kutoka kwa nadharia hii, tunahitimisha kuwa nyanja inaweza kuelezewa karibu na pembetatu yoyote na karibu na piramidi yoyote ya kawaida.

4. Tufe inaweza kuandikwa kwenye piramidi ikiwa ndege za bisector za pembe za ndani za dihedral za piramidi zinaingiliana kwenye hatua ya 1 (hali ya lazima na ya kutosha). Hatua hii itakuwa katikati ya nyanja.

Piramidi rahisi zaidi.

Kwa idadi ya pembe, msingi wa piramidi umegawanywa katika triangular, quadrangular, na kadhalika.

Piramidi itakuwa pembetatu, ya pembe nne, na kadhalika, wakati msingi wa piramidi ni pembetatu, quadrangle, na kadhalika. Piramidi ya pembetatu ni tetrahedron - tetrahedron. Quadrangular - pentahedron na kadhalika.