Mistari ab na bc ni sambamba, kuingiliana na kuvuka. Ufafanuzi

Nadharia. Ikiwa mstari mmoja umewekwa kwenye ndege fulani, na mstari mwingine unaingilia ndege hii kwa hatua isiyo ya mstari wa kwanza, basi mistari hii miwili inapita. Ishara ya kuvuka mistari Uthibitisho. Hebu mstari uongo katika ndege, na mstari b kati ya ndege katika hatua B, ambayo si ya mstari a. Ikiwa mistari a na b itawekwa kwenye ndege moja, basi uhakika B pia ungekuwa katika ndege hii. Kwa kuwa kuna ndege moja tu inayopita kwenye mstari na uhakika nje ya mstari huu, basi ndege hii lazima iwe ndege. Lakini basi mstari wa moja kwa moja b ungelala kwenye ndege, ambayo inapingana na hali hiyo. Kwa hiyo, mistari ya moja kwa moja a na b hailala katika ndege moja, i.e. kuchana.

Je, kuna jozi ngapi za mistari ya skew ambayo ina kingo za prism ya kawaida ya triangular? Suluhisho: Kwa kila makali ya besi kuna kingo tatu zinazoingiliana nayo. Kwa kila makali ya upande kuna mbavu mbili zinazoingiliana nayo. Kwa hivyo, nambari inayotakiwa ya jozi za mistari ya skew ni Zoezi la 5

Je, kuna jozi ngapi za mistari ya skew ambayo ina kingo za prism ya kawaida ya hexagonal? Suluhisho: Kila makali ya besi hushiriki katika jozi 8 za mistari ya kuvuka. Kila ukingo wa pembeni hushiriki katika jozi 8 za mistari ya kuvuka. Kwa hivyo, nambari inayotakiwa ya jozi za mistari ya skew ni Zoezi la 6

Ikiwa mistari miwili kwenye nafasi ina nukta ya kawaida, basi mistari hii miwili inasemekana kuingiliana. Katika kielelezo kifuatacho, mistari a na b inakatiza kwenye hatua A. Mistari a na c haiingiliani.

Mistari yoyote miwili iliyonyooka ina nukta moja tu ya kawaida au haina alama za kawaida.

Mistari sambamba

Mistari miwili angani inaitwa sambamba ikiwa imelala kwenye ndege moja na haiingiliani. Ili kuashiria mistari sambamba, tumia ikoni maalum - ||.

Nukuu a||b inamaanisha kuwa mstari a unalingana na mstari b. Katika takwimu iliyotolewa hapo juu, mistari a na c ni sambamba.

Nadharia ya Mistari Sambamba

Kupitia hatua yoyote katika nafasi ambayo haipo kwenye mstari uliopewa, hupita mstari unaofanana na uliopewa na, zaidi ya hayo, moja tu.

Kuvuka mistari

Mistari miwili iliyo kwenye ndege moja inaweza kukatiza au kuwa sambamba. Lakini katika nafasi, mistari miwili iliyonyooka sio lazima iwe ya ndege hii. Wanaweza kuwa katika ndege mbili tofauti.

Ni dhahiri kwamba mistari iliyo katika ndege tofauti haiingiliani na sio mistari inayofanana. Mistari miwili ambayo hailala kwenye ndege moja inaitwa kuvuka mistari iliyonyooka.

Takwimu ifuatayo inaonyesha mistari miwili ya moja kwa moja inayoingiliana a na b, ambayo iko katika ndege tofauti.

Jaribu na nadharia kwenye mistari ya skew

Ikiwa moja ya mistari miwili iko kwenye ndege fulani, na mstari mwingine unaingiliana na ndege hii kwenye hatua isiyo ya uongo kwenye mstari wa kwanza, basi mistari hii inaingiliana.

Nadharia kwenye mistari ya skew: kupitia kila mistari miwili inayoingiliana kunapita ndege sambamba na mstari mwingine, na, zaidi ya hayo, moja tu.

Kwa hivyo, tumezingatia kesi zote zinazowezekana za nafasi za jamaa za mistari kwenye nafasi. Kuna watatu tu kati yao.

1. Mistari hukatiza. (Hiyo ni, wana jambo moja tu la kawaida.)

2. Mistari ni sambamba. (Hiyo ni, hawana alama za kawaida na wanalala kwenye ndege moja.)

3. Mistari iliyonyooka huvuka. (Hiyo ni, ziko katika ndege tofauti.)

Haikupita hata dakika moja kabla ya kuunda faili mpya ya Verdov na kuendelea na mada ya kupendeza kama hii. Unahitaji kunasa wakati wa hali ya kufanya kazi, kwa hivyo hakutakuwa na utangulizi wa sauti. Kutakuwa na kupigwa kwa prosaic =)

Nafasi mbili za moja kwa moja zinaweza:

1) kuzaliana;

2) kuingilia kati kwa uhakika;

3) kuwa sambamba;

4) mechi.

Kesi nambari 1 kimsingi ni tofauti na kesi zingine. Mistari miwili iliyonyooka hukatiza ikiwa haijalala kwenye ndege moja. Inua mkono mmoja juu na upanue mkono mwingine mbele - hapa kuna mfano wa kuvuka mistari. Katika pointi No 2-4 mistari ya moja kwa moja lazima uongo katika ndege moja.

Jinsi ya kujua nafasi za jamaa za mistari kwenye nafasi?

Fikiria nafasi mbili za moja kwa moja:

- mstari wa moja kwa moja unaoelezwa na uhakika na vector ya mwelekeo;
- mstari wa moja kwa moja unaoelezwa na uhakika na vector ya mwelekeo.

Kwa ufahamu bora, wacha tufanye mchoro wa kimkakati:

Mchoro unaonyesha mistari iliyonyooka inayokatiza kama mfano.

Jinsi ya kukabiliana na mistari hii moja kwa moja?

Kwa kuwa pointi zinajulikana, ni rahisi kupata vector.

Ikiwa moja kwa moja kuchana, kisha vekta sio coplanar(tazama somo Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa vectors), na, kwa hiyo, kiashiria kinachojumuisha kuratibu zao sio sifuri. Au, ambayo kwa kweli ni kitu kimoja, itakuwa sio sifuri: .

Katika kesi No 2-4, muundo wetu "huanguka" kwenye ndege moja, na vectors coplanar, na bidhaa iliyochanganywa ya vekta zinazotegemea mstari ni sawa na sifuri: .

Hebu kupanua algorithm zaidi. Hebu kujifanya hivyo Kwa hiyo, mistari ama inaingiliana, ni sambamba, au sanjari.

Ikiwa veta za mwelekeo colinear, basi mistari ni ama sambamba au sanjari. Kwa msumari wa mwisho, napendekeza mbinu ifuatayo: kuchukua hatua yoyote kwenye mstari mmoja na ubadilishe kuratibu zake katika equation ya mstari wa pili; ikiwa kuratibu "zinafaa," basi mistari inalingana; ikiwa "haifai," basi mistari ni sambamba.

Algorithm ni rahisi, lakini mifano ya vitendo bado itasaidia:

Mfano 11

Jua msimamo wa jamaa wa mistari miwili

Suluhisho: kama ilivyo katika shida nyingi za jiometri, ni rahisi kuunda suluhisho kwa nukta:

1) Tunachukua vidokezo na viboreshaji vya mwelekeo kutoka kwa hesabu:

2) Tafuta vekta:

Kwa hivyo, vekta ni coplanar, ambayo ina maana kwamba mistari iko kwenye ndege moja na inaweza kuingiliana, kuwa sambamba, au sanjari.

4) Wacha tuangalie vekta za mwelekeo kwa collinearity.

Wacha tuunde mfumo kutoka kwa kuratibu zinazolingana za veta hizi:

Kutoka kila mtu equations ifuatavyo kwamba, kwa hiyo, mfumo ni thabiti, kuratibu sambamba za vectors ni sawia, na vectors ni collinear.

Hitimisho: mistari ni sambamba au sanjari.

5) Jua ikiwa mistari ina alama za kawaida. Wacha tuchukue hatua ya mstari wa kwanza na tubadilishe kuratibu zake katika hesabu za mstari:

Kwa hivyo, mistari haina pointi za kawaida, na hawana chaguo ila kuwa sambamba.

Jibu:

Mfano wa kuvutia wa kutatua peke yako:

Mfano 12

Jua nafasi za jamaa za mistari

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Tafadhali kumbuka kuwa mstari wa pili una herufi kama kigezo. Mantiki. Kwa ujumla, hizi ni mistari miwili tofauti, hivyo kila mstari una parameter yake.

Na tena nakuomba usiruke mifano, kazi ninazopendekeza ni mbali na nasibu ;-)

Matatizo na mstari katika nafasi

Katika sehemu ya mwisho ya somo, nitajaribu kuzingatia idadi kubwa ya shida tofauti na mistari ya anga. Katika kesi hii, utaratibu wa asili wa hadithi utazingatiwa: kwanza tutazingatia matatizo na mistari ya kuvuka, kisha kwa mistari ya kuingiliana, na mwisho tutazungumzia juu ya mistari inayofanana katika nafasi. Walakini, lazima niseme kwamba kazi zingine za somo hili zinaweza kutengenezwa kwa visa kadhaa vya eneo la mistari mara moja, na katika suala hili, mgawanyiko wa sehemu hiyo katika aya ni ya kiholela. Kuna mifano rahisi, kuna mifano ngumu zaidi, na tunatumai kila mtu atapata kile anachohitaji.

Kuvuka mistari

Acha nikukumbushe kwamba mistari iliyonyooka hukatiza ikiwa hakuna ndege ambayo wote wawili wamelala. Nilipokuwa nikifikiria mazoezi hayo, tatizo la mnyama mkubwa lilikuja akilini mwangu, na sasa ninafurahi kuwasilisha kwako joka lenye vichwa vinne:

Mfano 13

Imepewa mistari iliyonyooka. Inahitajika:

a) thibitisha kuwa mistari inakatiza;

b) kupata equations ya mstari kupita kwa uhakika perpendicular kwa mistari iliyotolewa;

c) kutunga milinganyo ya mstari ulionyooka ambao una kawaida perpendicular kuvuka mistari;

d) pata umbali kati ya mistari.

Suluhisho: Anayetembea atamiliki barabara:

a) Hebu tuthibitishe kwamba mistari inapishana. Wacha tupate vidokezo na viboreshaji vya mwelekeo wa mistari hii:

Wacha tupate vekta:

Hebu tuhesabu bidhaa mchanganyiko wa vekta:

Hivyo, vectors sio coplanar, ambayo ina maana kwamba mistari huingiliana, ambayo ndiyo iliyohitajika kuthibitishwa.

Labda kila mtu amegundua kwa muda mrefu kuwa kwa kuvuka mistari algorithm ya uthibitishaji ndio fupi zaidi.

b) Tafuta milinganyo ya mstari unaopita kwenye nukta na ni sawa na mistari. Wacha tufanye mchoro wa kimkakati:

Kwa mabadiliko nilituma moja kwa moja NYUMA moja kwa moja, angalia jinsi inavyofutwa kidogo kwenye sehemu za kuvuka. Ufugaji mseto? Ndiyo, kwa ujumla, mstari wa moja kwa moja "de" utavuka na mistari ya awali ya moja kwa moja. Ingawa hatupendezwi na wakati huu, tunahitaji tu kuunda mstari wa pembeni na ndivyo hivyo.

Ni nini kinachojulikana kuhusu "de" ya moja kwa moja? Hatua ya mali yake inajulikana. Hakuna vekta ya mwongozo ya kutosha.

Kwa mujibu wa hali hiyo, mstari wa moja kwa moja lazima uwe perpendicular kwa mistari ya moja kwa moja, ambayo ina maana kwamba mwelekeo wake vector itakuwa orthogonal kwa vectors mwelekeo. Tayari unajulikana kutoka kwa Mfano wa 9, hebu tupate bidhaa ya vector:

Wacha tutunge hesabu za mstari wa moja kwa moja "de" kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:

Tayari. Kimsingi, unaweza kubadilisha ishara katika denominators na kuandika jibu katika fomu , lakini hakuna haja ya hii.

Ili kuangalia, unahitaji kubadilisha viwianishi vya uhakika katika milinganyo ya mstari wa moja kwa moja inayosababisha, kisha utumie bidhaa ya scalar ya vekta hakikisha kwamba vekta ni ya orthogonal kwa vekta za mwelekeo "pe moja" na "pe mbili".

Jinsi ya kupata hesabu za mstari ulio na perpendicular ya kawaida?

c) Tatizo hili litakuwa gumu zaidi. Ninapendekeza kwamba dummies iruke hatua hii, sitaki kupoza huruma yako ya dhati kwa jiometri ya uchambuzi =) Kwa njia, inaweza kuwa bora kwa wasomaji walioandaliwa zaidi kushikilia pia, ukweli ni kwamba kwa suala la ugumu mfano. inapaswa kuwekwa mwisho katika kifungu, lakini kulingana na mantiki ya uwasilishaji inapaswa kuwa hapa.

Kwa hivyo, unahitaji kupata equations ya mstari ambayo ina perpendicular ya kawaida ya mistari ya skew.

- hii ni sehemu inayounganisha mistari hii na perpendicular kwa mistari hii:

Hapa kuna mtu wetu mzuri: - perpendicular ya kawaida ya mistari inayoingiliana. Yeye ndiye pekee. Hakuna mwingine kama hayo. Tunahitaji kuunda milinganyo ya mstari ulio na sehemu hii.

Ni nini kinachojulikana kuhusu "um" moja kwa moja? Vector yake ya mwelekeo inajulikana, iliyopatikana katika aya iliyotangulia. Lakini, kwa bahati mbaya, hatujui hatua moja ya mstari wa moja kwa moja "em", wala hatujui mwisho wa perpendicular - pointi . Je, mstari huu wa pembeni unaingiliana wapi na mistari miwili ya asili? Katika Afrika, katika Antaktika? Kutoka kwa mapitio ya awali na uchambuzi wa hali hiyo, haijulikani kabisa jinsi ya kutatua tatizo ... Lakini kuna hila ngumu inayohusishwa na utumiaji wa hesabu za parametric za mstari wa moja kwa moja.

Tutaunda hatua kwa hatua:

1) Wacha tuandike tena hesabu za mstari wa kwanza katika fomu ya parametric:

Hebu tufikirie jambo hilo. Hatujui kuratibu. LAKINI. Ikiwa nukta ni ya mstari uliopeanwa, basi viwianishi vyake vinalingana na , wacha tuiashiria kwa . Kisha kuratibu za uhakika zitaandikwa kwa fomu:

Maisha yanazidi kuwa bora, mtu asiyejulikana bado sio watatu wasiojulikana.

2) Hasira sawa lazima ifanyike kwenye hatua ya pili. Wacha tuandike tena hesabu za mstari wa pili katika fomu ya parametric:

Ikiwa hatua ni ya mstari fulani, basi yenye maana maalum sana viwianishi vyake lazima vikidhi milinganyo ya parametric:

Au:

3) Vekta, kama vekta iliyopatikana hapo awali, itakuwa vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja. Jinsi ya kujenga vekta kutoka kwa pointi mbili ilijadiliwa katika kumbukumbu ya wakati darasani Vectors kwa dummies. Sasa tofauti ni kwamba kuratibu za vekta zimeandikwa na maadili yasiyojulikana ya parameter. Kwa hiyo? Hakuna mtu anayekataza kutoa kuratibu zinazolingana za mwanzo wa vekta kutoka kwa kuratibu za mwisho wa vekta.

Kuna pointi mbili: .

Kupata vector:

4) Kwa kuwa vekta za mwelekeo ni collinear, vekta moja inaonyeshwa kwa mstari kupitia nyingine kwa mgawo fulani wa uwiano "lambda":

Au ratibu-kwa-kuratibu:

Iligeuka kuwa ya kawaida zaidi mfumo wa milinganyo ya mstari na tatu zisizojulikana, ambazo zinaweza kutatuliwa kwa kawaida, kwa mfano, Njia ya Cramer. Lakini hapa inawezekana kuondoka kwa hasara kidogo; kutoka kwa equation ya tatu tutaelezea "lambda" na kuibadilisha katika hesabu za kwanza na za pili:

Hivyo: , na hatuhitaji "lambda". Ukweli kwamba maadili ya parameta yaligeuka kuwa sawa ni ajali tu.

5) Anga inasafisha kabisa, wacha tubadilishe maadili yaliyopatikana kwa pointi zetu:

Vector ya mwelekeo haihitajiki hasa, kwani mwenzake tayari amepatikana.

Daima inavutia kuangalia baada ya safari ndefu.

:

Usawa sahihi hupatikana.

Wacha tubadilishe viwianishi vya nukta kwenye milinganyo :

Usawa sahihi hupatikana.

6) Chord ya mwisho: wacha tuunda hesabu za mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta (unaweza kuichukua) na vekta ya mwelekeo:

Kimsingi, unaweza kuchagua hatua "nzuri" na kuratibu kamili, lakini hii ni mapambo.

Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari inayoingiliana?

d) Tunakata kichwa cha nne cha joka.

Mbinu ya kwanza. Sio hata njia, lakini kesi ndogo maalum. Umbali kati ya mistari ya kuvuka ni sawa na urefu wa perpendicular yao ya kawaida: .

Pointi zilizokithiri za perpendicular ya kawaida kupatikana katika aya iliyotangulia, na kazi ni ya msingi:

Njia ya pili. Katika mazoezi, mara nyingi mwisho wa perpendicular ya kawaida haijulikani, hivyo mbinu tofauti hutumiwa. Ndege sambamba zinaweza kuchorwa kupitia mistari miwili ya moja kwa moja inayokatiza, na umbali kati ya ndege hizi ni sawa na umbali kati ya mistari hii iliyonyooka. Hasa, perpendicular ya kawaida hujitokeza kati ya ndege hizi.

Wakati wa jiometri ya uchanganuzi, kutoka kwa mazingatio hapo juu, fomula hutolewa kwa kupata umbali kati ya mistari iliyonyooka inayokatiza:
(badala ya pointi zetu "um moja, mbili" unaweza kuchukua pointi za kiholela za mistari).

Mchanganyiko wa bidhaa za vekta tayari imepatikana katika nukta "a": .

Bidhaa ya Vector ya vekta kupatikana katika aya "kuwa": , wacha tuhesabu urefu wake:

Hivyo:

Wacha tuonyeshe nyara kwa kiburi katika safu moja:

Jibu:
A) , ambayo ina maana kwamba mistari iliyonyooka inaingiliana, ambayo ndiyo ilitakiwa kuthibitishwa;
b) ;
V) ;
G)

Nini kingine unaweza kusema kuhusu kuvuka mistari? Kuna pembe iliyofafanuliwa kati yao. Lakini tutazingatia fomula ya pembe ya ulimwengu katika aya inayofuata:

Nafasi za kukatiza zilizonyooka lazima ziko kwenye ndege moja:

Wazo la kwanza ni kuegemea sehemu ya makutano kwa nguvu zako zote. Na mara moja nikafikiria, kwa nini ujikane tamaa sahihi?! Hebu kupata juu yake sasa hivi!

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari ya anga?

Mfano 14

Tafuta mahali pa makutano ya mistari

Suluhisho: Wacha tuandike tena hesabu za mistari katika fomu ya parametric:

Kazi hii ilijadiliwa kwa kina katika Mfano Na. 7 wa somo hili (ona. Milinganyo ya mstari katika nafasi) Na kwa njia, nilichukua mistari ya moja kwa moja wenyewe kutoka kwa Mfano Nambari 12. Sitasema uongo, mimi ni wavivu sana kuja na mpya.

Suluhisho ni la kawaida na tayari limepatikana wakati tulipokuwa tukijaribu kubaini hesabu za kipenyo cha kawaida cha mistari inayoingiliana.

Sehemu ya makutano ya mistari ni ya mstari, kwa hivyo kuratibu zake zinakidhi hesabu za parametric za mstari huu, na inalingana nao. thamani maalum ya parameta:

Lakini hatua hii pia ni ya mstari wa pili, kwa hivyo:

Tunalinganisha hesabu zinazolingana na kufanya kurahisisha:

Mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na mbili zisizojulikana hupatikana. Ikiwa mistari inaingiliana (ambayo imethibitishwa katika Mfano Na. 12), basi mfumo lazima ufanane na una suluhisho la pekee. Inaweza kutatuliwa Njia ya Gaussian, lakini hatutafanya dhambi na uchawi kama huo wa shule ya chekechea, tutafanya rahisi zaidi: kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tunaelezea "te sifuri" na kuibadilisha katika milinganyo ya pili na ya tatu:

Milinganyo miwili ya mwisho iligeuka kuwa sawa, na inafuata kutoka kwao kwamba . Kisha:

Wacha tubadilishe dhamana iliyopatikana ya parameta kwenye hesabu:

Jibu:

Ili kuangalia, tunabadilisha thamani iliyopatikana ya parameta kwenye milinganyo:
Kuratibu sawa zilipatikana ambazo zinahitajika kuangaliwa. Wasomaji makini wanaweza kubadilisha viwianishi vya nukta katika milinganyo asilia ya kanuni za mistari.

Kwa njia, iliwezekana kufanya kinyume chake: pata uhakika kupitia "es zero", na uangalie kupitia "te zero".

Ushirikina unaojulikana wa hisabati unasema: ambapo makutano ya mistari yanajadiliwa, daima kuna harufu ya perpendiculars.

Jinsi ya kujenga mstari wa nafasi perpendicular kwa fulani?

(mistari inakatiza)

Mfano 15

a) Andika milinganyo ya mstari unaopita kwenye ncha moja kwa moja hadi kwenye mstari (mistari inakatiza).

b) Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.

Kumbuka : kifungu "mistari hukatiza" - muhimu. Kupitia hatua
unaweza kuteka idadi isiyo na kipimo ya mistari ya perpendicular ambayo itaingiliana na mstari wa moja kwa moja "el". Suluhisho pekee hutokea katika kesi wakati mstari wa moja kwa moja wa perpendicular kwa hatua fulani hutolewa mbili iliyotolewa na mstari ulionyooka (ona Mfano Na. 13, nukta “b”).

A) Suluhisho: Tunaashiria mstari usiojulikana kwa . Wacha tufanye mchoro wa kimkakati:

Ni nini kinachojulikana kuhusu mstari wa moja kwa moja? Kulingana na hali, hatua inatolewa. Ili kutunga equations ya mstari wa moja kwa moja, ni muhimu kupata vector ya mwelekeo. Vekta inafaa kabisa kama vekta kama hiyo, kwa hivyo tutashughulika nayo. Kwa usahihi zaidi, hebu tuchukue mwisho usiojulikana wa vector kwa scruff ya shingo.

1) Wacha tuchukue vekta ya mwelekeo wake kutoka kwa hesabu za mstari wa moja kwa moja "el", na tuandike tena hesabu zenyewe kwa fomu ya parametric:

Wengi walidhani kwamba sasa kwa mara ya tatu wakati wa somo mchawi atatoa swan nyeupe kutoka kwa kofia yake. Fikiria hoja na viwianishi visivyojulikana. Kwa kuwa uhakika ni , viwianishi vyake vinakidhi hesabu za parametric za mstari wa moja kwa moja "el" na zinalingana na thamani maalum ya parameta:

Au kwa mstari mmoja:

2) Kwa mujibu wa hali hiyo, mistari lazima iwe perpendicular, kwa hiyo, vectors yao ya mwelekeo ni orthogonal. Na ikiwa veta ni za orthogonal, basi zao bidhaa ya scalar sawa na sifuri:

Nini kimetokea? Mlinganyo rahisi zaidi wa mstari na moja isiyojulikana:

3) Thamani ya parameta inajulikana, hebu tupate uhakika:

Na vector ya mwelekeo:
.

4) Wacha tutunge hesabu za mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:

Madhehebu ya sehemu hiyo yaligeuka kuwa ya sehemu, na hii ndio kesi wakati inafaa kuondoa sehemu. Nitazizidisha kwa -2:

Jibu:

Kumbuka : mwisho mkali zaidi wa suluhisho umerasimishwa kama ifuatavyo: hebu tutengeneze milinganyo ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo. Hakika, ikiwa vector ni vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja, basi collinear vector , kwa kawaida, pia itakuwa vector inayoongoza ya mstari huu wa moja kwa moja.

Uthibitishaji una hatua mbili:

1) angalia vectors ya mwelekeo wa mistari kwa orthogonality;

2) tunabadilisha kuratibu za nukta katika hesabu za kila mstari, zinapaswa "kutoshea" huko na huko.

Kulikuwa na mazungumzo mengi kuhusu vitendo vya kawaida, kwa hivyo niliangalia rasimu.

Kwa njia, nilisahau hatua nyingine - kujenga uhakika "zyu" ulinganifu kwa uhakika "en" kuhusiana na mstari wa moja kwa moja "el". Hata hivyo, kuna "analog ya gorofa" nzuri, ambayo inaweza kupatikana katika makala Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Hapa tofauti pekee itakuwa katika uratibu wa ziada wa "Z".

Jinsi ya kupata umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari kwenye nafasi?

b) Suluhisho: Hebu tutafute umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.

Mbinu ya kwanza. Umbali huu ni sawa kabisa na urefu wa perpendicular:. Suluhisho ni dhahiri: ikiwa pointi zinajulikana , Hiyo:

Njia ya pili. Katika matatizo ya vitendo, msingi wa perpendicular mara nyingi ni siri iliyofungwa, kwa hiyo ni busara zaidi kutumia formula iliyopangwa tayari.

Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari unaonyeshwa na formula:
, iko wapi vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja "el", na - bure hatua inayomilikiwa na mstari fulani.

1) Kutoka kwa milinganyo ya mstari tunachukua vekta ya mwelekeo na sehemu inayopatikana zaidi.

2) Hoja inajulikana kutoka kwa hali, noa vekta:

3) Hebu tupate bidhaa ya vector na kuhesabu urefu wake:

4) Kuhesabu urefu wa vekta ya mwongozo:

5) Kwa hivyo, umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari:

mistari L1 na l2 huitwa skew ikiwa hazilala kwenye ndege moja. Acha a na b ziwe viveta vya mwelekeo wa mistari hii, na acha alama M1 na M2 ziwe za mistari l1 na l2, mtawaliwa.

Kisha vekta a, b, M1M2> si coplanar, na kwa hiyo bidhaa zao mchanganyiko si sawa na sifuri, yaani (a, b, M1M2>) =/= 0. Taarifa ya kinyume pia ni kweli: ikiwa (a, b) , M1M2> ) =/= 0, kisha vekta a, b, M1M2> si coplanar, na kwa hiyo, mistari l1 na l2 hazilala katika ndege moja, yaani, zinaingiliana. ikiwa na tu ikiwa hali (a, b, M1M2>) =/= 0, ambapo a na b ni viveta vya mwelekeo wa mistari, na M1 na M2 ni alama zinazomilikiwa, mtawaliwa, kwa mistari hii. Hali (a, b, M1M2>) = 0 ni hali ya lazima na ya kutosha kwa ukweli kwamba mistari iko kwenye ndege moja. Ikiwa mistari imetolewa na milinganyo yao ya kisheria

kisha a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) na sharti (2) imeandikwa hivi:

Umbali kati ya mistari ya kuvuka

huu ni umbali kati ya moja ya mistari inayokatiza na ndege inayolingana nayo, ikipita kwenye mstari mwingine.Umbali kati ya mistari inayokatiza ni umbali kutoka sehemu fulani ya moja ya mistari inayokatiza hadi kwenye ndege inayopita kwenye mstari mwingine sambamba na wa kwanza. mstari.

26.Ufafanuzi wa duaradufu, mlinganyo wa kisheria. Utoaji wa mlinganyo wa kisheria. Mali.

Duaradufu ni eneo la kijiometri la pointi kwenye ndege ambayo jumla ya umbali hadi pointi mbili zilizolengwa F1 na F2 za ndege hii, inayoitwa foci, ni thamani ya mara kwa mara. Katika kesi hii, sadfa ya foci ya duaradufu ni haijatengwa. Ikiwa ladha zinalingana, basi duaradufu ni duara. Kwa duaradufu yoyote unaweza kupata Cartesian mfumo wa kuratibu hivi kwamba duaradufu itaelezewa na mlingano (mlingano wa kisheria wa duaradufu):

Inaelezea duaradufu inayozingatia asili, ambayo shoka zake zinapatana na shoka za kuratibu.

Ikiwa upande wa kulia kuna kitengo kilicho na ishara ya minus, basi equation inayotokana ni:

inaeleza duaradufu kimawazo. Haiwezekani kuonyesha duaradufu kama hiyo kwenye ndege halisi. Wacha tuonyeshe foci kwa F1 na F2, na umbali kati yao kwa 2c, na jumla ya umbali kutoka kwa sehemu ya kiholela ya duaradufu hadi foci kwa 2a.

Ili kupata equation ya duaradufu, tunachagua mfumo wa kuratibu Oxy ili foci F1 na F2 iko kwenye mhimili wa Ox, na asili inafanana na katikati ya sehemu F1F2. Kisha foci itakuwa na viwianishi vifuatavyo: na Acha M(x;y) iwe sehemu ya kiholela ya duaradufu. Kisha, kwa mujibu wa ufafanuzi wa ellipse, i.e.

Hii, kimsingi, ni mlinganyo wa duaradufu.

27. Ufafanuzi wa hyperbola, equation canonical. Utoaji wa mlinganyo wa kisheria. Mali

Hyperbola ni eneo la kijiometri la pointi kwenye ndege ambayo thamani kamili ya tofauti katika umbali hadi pointi mbili zisizobadilika F1 na F2 za ndege hii, inayoitwa foci, ni thamani isiyobadilika. Acha M(x;y) iwe ya kiholela. hatua ya hyperbola. Kisha, kulingana na ufafanuzi wa hyperbola |MF 1 - MF 2 |=2a au MF 1 - MF 2 =±2a,

28. Ufafanuzi wa parabola, mlinganyo wa kisheria. Utoaji wa mlinganyo wa kisheria. Mali. Parabola ni HMT ya ndege ambayo umbali wake hadi sehemu fulani isiyobadilika F ya ndege hii ni sawa na umbali wa mstari fulani uliowekwa sawa, ambao pia uko kwenye ndege inayozingatiwa. F - lengo la parabola; mstari uliowekwa ni moja kwa moja ya parabola. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 =px2;

Mali: 1. Parabola ina mhimili wa ulinganifu (mhimili wa parabola); 2.Wote

parabola iko katika nusu-ndege ya kulia ya ndege ya Oxy saa p>0, na upande wa kushoto

ikiwa uk<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.